三角函数之 恒等变换之 和差公式3． 若是的内角,且, , 则．
5.已知，求的值；
6．（全国卷Ⅱ）已知锐角三角形ABC中， 求证：；
7．已知是方程的两个根，且则等于
A. B. 或 C. 或 D.
10.式子的值为（ ）
A. B. C. － D. －
14.化简的值为 （ ）
A． B． C． D．
15.在△ABC中，角C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan A tan B的值为( )．
A． B． C． D．
16.若，，则等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17．若都是锐角，且，则
19.已知.
（1）求的值; (2) 求的值.
答案
3.
5.【解】∵；,
两式相加得,……①
两式相减得,……②
②÷①得＝.
6.【证明】
所以
7.D 10.C 14.C
15.B 解析：由题意得
tan C＝tan[π－(A＋B)]
＝－tan(A＋B)＝－
＝－，
又tan A＋tan B＝，解得tan A tan B＝.故选B.
16.D 17.
19. 【答案】 (1) .
(2)原式
.
三角函数恒等变换 ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= -m m 说明：和差角公式和二倍角公式主要用于诱导公式无法使用的复合角求值问题，对于已知部分，要尽量和所求部分找出角度之间的关系。公式优先级：二倍角》诱导公式》和差角。 题型一，和差角公式的直接应用 分为展开计算和合并计算两类。对于展开计算即给角求角问题，无论所给的是否为单角，一律看成单角并用其凑出所求角；合并计算针对于给出正余弦的和差式，要想法朝角度的和差角展开式式凑，具体为先统一为两角再合并。 1计算： （1）??+??20sin 80sin 20cos 80cos = ； （2）??+??55cos 10cos 35cos 80cos = ； （3）cos 5πcos 103π-sin 5πsin 103π＝ ； （4）－sin 3πcos 6π+sin 6πcos 3π =__________； （5） sin 2πcos 6π－cos 2πsin 6π = _________ ； （6）cos 3πcos 6π+sin 6πsin 3π =____________； （7）cos 4πcos 2π－sin 2πsin 4 π =_____________；
三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 2019年 1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2 2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ． ①④ B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①③④ 3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ，且π4g ??= ???3π8f ?? = ??? A.2- B. D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0， 2 π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C ． 3 D 5 5.（2019江苏13）已知tan 2 π3tan 4αα=-? ?+ ?? ?，则πsin 24α??+ ?? ?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R . （1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；
（2）求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 2010-2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅲ)若1 sin 3 α=，则cos2α= A ． 89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 2．（2016年全国III ）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= A ． 6425 B ．4825 C ．1 D ．1625 3．（2016年全国II ）若3 cos( )45π α-=，则sin 2α=（ ） A ．7 25 B ．15 C ．15- D ．725- 4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-= A ． B C ．12- D ．1 2 5．（2015重庆）若tan 2tan 5 π α=，则 3cos()10sin() 5 π απ α- -＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则 A ．0sin >α B ． 0cos >α C ． 02sin >α D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0, )2π α∈，(0,)2 π β∈，且1sin tan cos βαβ+= ，则 A ．32 π αβ-= B ．22 π αβ-= C ．32 π αβ+= D ．22 π αβ+= 8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则 2222sin sin sin B A A -的值为（ ） A ．19- B ． 13 C ．1 D ．72
三角函数 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，(C (α－β)) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，(C (α＋β)) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，(S (α－β)) sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，(S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β ，(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .(T (α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α . 3．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . 4．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋ b 2，cos φ＝ a a 2＋ b 2. 练习题： 1．sin 18°cos 27°＋cos 18°sin 27°的值是( ) A.22 B.12 C.32 D ．－22 2.(2016·全国丙卷)若tan α＝34 ，则cos 2α＋2sin 2α等于( ) A.6425 B.4825 C ．1 D.1625 3．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010 ，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255 C.55 D ．－55 4．若函数f (x )＝－sin 2 x ＋12 (x ∈R)，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数
两角和与差的正弦、余弦、正切 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换； 2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质 2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键． 知识点回顾 1． 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C α－β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C α＋β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S α－β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S α＋β) tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β (T α－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β (T α＋β) 2． 二倍角公式 sin 2α＝ααcos sin 2； cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 T α±β可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan α＋β＝tan α－tan β tan α－β－1. 4． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α －φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．
函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
三角函数恒等变换 一、三角函数的诱导公式 1、下列各角的终边与角α的终边的关系 角 2k π+α(k ∈Z) π+α -α 图示 与α角终边的关系 相同 关于原点对称 关于x 轴对称 角 π-α 2π -α 2 π +α 图示 与α角终边的关系 关于y 轴对称 关于直线y=x 对称 2、六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α (k ∈Z) π+α -α π-α 2 π -α 2 π +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α - cos α cos α - cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α - tan α - tan α 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 注：诱导公式可概括为的各三角函数值的化简公式。记忆规律是：奇变偶不变，
符号看象限。其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号。 二、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 . sinα= 2 2tan 2 1tan 2 α α + , cosα= 2 2 1tan 2 1tan 2 α α - + 3、形如asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα=22 a b +sin(α+β).其中cosβ= 22 a a b + ,sinβ= 22 b a b +三、简单的三角恒等变换
三角函数恒等变形公式 以下总结了三角函数恒等变形公式含倍角公式、辅助角公式、三角和的三角函数、两角和与差的三角函数 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A2+B2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A2+B2)^(1/2) cost=A/(A2+B2)^(1/2) tant=B/A Asinα-Bcosα=(A2+B2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos2(α)-sin2(α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan2(α)] 三倍角公式： sin(3α)=3sinα-4sin3(α)=4sinα·sin(60+α)sin(60-α) cos(3α)=4cos3(α)-3cosα=4cosα·cos(60+α)cos(60-α) tan(3α)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan2(α/2)] cosα=[1-tan2(α/2)]/[1+tan2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
§6.3 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 【复习目标】 1．掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式； 2．能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值． 3．能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式证明． 【双基诊断】 （以下巩固公式） 1、163°223°253°313°等于 （ ） A.－2 1 B.2 1 C.－ 2 3 D. 2 3 2、在△中，已知2，那么△一定是 （ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 3、??-?70sin 20sin 10cos 2的值是 （ ） A.2 1 B. 2 3 C. 3 D.2 4、已知α－β=2 1，α－β=3 1，则（α－β）.
5、已知5 3sin ),,2 (=∈αππα，则=+)4 tan(πα 。 6、若 t =+)sin(απ，其中α是第二象限的角，则 =-)cos(απ 。 7、化简 1tan151tan15+-o o 等于 （ ） ()A () B () C 3 () D 1 8、(1tan 20)(1tan 21)(1tan 24)(1tan 25)++++=o o o o （ ） ()A 2 ()B 4 ()C 8 ()D 16 9、已知α和（4 π－α）是方程2 0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 （ ） B.2 10、0015tan 75tan += 。 11、设14°14°，16°16°， 6 6，则a 、b 、c 的大小关系是 （ ） ＜b ＜c ＜c ＜b ＜c ＜a ＜a ＜c 12、△中，若2a ，60°，则.
正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) ·
倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2) cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2) tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
《三角函数恒等变换》知识归纳与整理 一、 基本公式 1、必须掌握的基本公式 （1） 两角和与差的三角函数 S S C C C βαβαβα =±) ( 同名乘积的和与差 S C C S S βαβαβα±=±) ( 异名乘积的和与差 T T T T T β αβαβα 1) (±=± （2） 二倍角的三角函数 C S S ααα22 = S C S C C 2 22222112ααααα -=-=-= 差点等于1 T T T 2 212α αα -= （3） 半角的三角函数 212 C S α α-± = 2 12 C C α α+± = C C T α α α +-± =112 θ θ θθθsin cos 1cos 1sin 2 -=+= T 2、理解记忆的其他公式 （1） 积化和差 ][21)()(C C C C βαβαβα-++= =S S βα][21)()-(C C βαβα+- ][21)()(S S C S βαβαβα-++= ][21)()(S S S C βαβαβα-+-=
（2） 和差化积 ][22 2 C S S S βα βαβα-+=+ ][22 2 C S S S βαβαβα+-=- ][22 2 C C C C βα βαβα-+=+ ][22 2 S S C C βα βαβα-+-=- （3） 万能公式（全部用正切来表示另外的三角函数称为万能公式） T T S 2 2 212α α α+ = T T C 22 2211αα α +-= T T T 2 2 212α α α- = （4） 辅助角公式 )sin(cos sin 2 2 ?++= +x x b x a b a 其中：a b = ?tan 常见的几种特殊辅助角公式： ① )4 sin(2cos sin π + =+x x x ② )3sin(2cos 3sin π +=+x x x ③ )6 sin(2cos sin 3π + =+x x x ④ )4sin(2cos sin π -=-x x x ⑤ )3 sin(2cos 3sin π -=-x x x ⑥ )6 sin(2cos sin 3π -=-x x x
三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
数学必修4三角函数常用公式及结论 一、三角函数与三角恒等变换 2、同角三角函数公式 sin 2α+ cos 2α= 1 α αcos tan = 3、二倍角的三角函数公式 sin2α= 2sin αcos α cos2α=2cos 2α-1 = 1-2 sin 2α= cos 2α- sin 2α α α α2 tan 1tan 22tan -= 45 1- cos2α= 2 sin 2α 6、两角和差的三角函数公式 sin (α±β) = sin αcos β土cos αsin β cos (α±β) = cos αcos β干sin αsin β ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan μ±= ± 7、两角和差正切公式的变形： tan α±tan β= tan (α±β) (1干tan αtan β) ααtan 1tan 1-+=ααtan 45tan 1tan 45tan ?-+?= tan (4π+α) ααtan 1tan 1+-=α αtan 45tan 1tan 45tan ?+-?= tan (4π -α) 8
10、三角函数的诱导公式 “奇变偶不变，符号看象限。” sin (π－α) = sin α， cos (π－α) = －cos α， tan (π－α) = －tan α； sin (π+α) = －sin α cos (π+α) = －cos α tan (π+α) = tan α sin (2π－α) = －sin α cos (2π－α) = cos α tan (2π－α) = －tan α sin (－α) = －sin α cos (－α) = cos α tan (－α) = －tan α sin (2π－α) = cos α cos (2 π－α) = sin α sin (2π+α) = cos α cos (2 π+α) = －sin α 11.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π ω = ；函数 tan()y x ω?=+，,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π ω = . 解三角形知识小结和题型讲解 一、 解三角形公式。 1. 正弦定理 2. 余弦定理 在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式. 3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A ○ 1).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=（注：二倍角的关系） ○2),2 sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A +=+= 5.几个重要的结论 ○ 1B A B A B A cos cos ,sin sin <>?>； ○2三内角成等差数列0 120,60=+=?C A B 2(ABC ) sin sin sin a b c R R A B C ===?是的外接圆半径222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-222 222 222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B a c a b c C ab +-=+-= +-=
函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1、 B A = {|,}x x A x B 或 ;B A = {|,}x x A x B 且; {|,}U C A x x U x U 且 2、 当n 为奇数时, a a n n ;当n 为偶数时,a a n n 、 3、 ⑴m n m n a a 1,,,0* m N n m a ; ⑵ 01 n a a n n ; 4、 运算性质: ⑴ Q s r a a a a s r s r ,,0;⑵ Q s r a a a rs s r ,,0;⑶ Q r b a b a ab r r r ,0,0、 5、指数函数解析式: 1,0 a a a y x 6、指数函数性质: 7、指数与对数互化式:log x a a N x N ; 8、对数恒等式:log a N a N 9、基本性质:01log a ,1log a a 、 10、运算性质:当0,0,1,0 N M a a 时: ⑴ N M MN a a a log log log ;⑵ N M N M a a a log log log ;⑶M n M a n a log log 、 11、换底公式:a b b c c a log log log 0,1,0,1,0 b c c a a 、 12、重要公式:log log n m a a m b b n 13、倒数关系:a b b a log 1 log 1,0,1,0 b b a a 、
14、对数函数解析式: 1,0log a a x y a 15、对数函数性质: 16、几种幂函数的图象: 17、 与角 终边相同的角的集合: Z k k ,2 、 18、弧长公式:l R 、( 为弧度制下角) 19、扇形面积公式:211 =||22 S lR R 、 20、 设 就是一个任意角, 设点 ,P x y 为角 终边上任意一点,那么: sin y r ,cos x r ,tan y x , (设22r x y sin , cos , tan 在四个象限的符号与三角函数线的画法、 21 、 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 22 、 特 殊 角 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270等的三角函数值、 6 4 3 2 23 34 32 2 sin 1 a 10 a 图 象 2.5 1.5 0.5-0.5 -1-1.5 -2 -2.5 -1 11 2.51.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 1 性 质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)在 (0,+∞)上就是增函数 (4)在(0,+∞)上就是减函数 (5)0log ,1 x x a ; 0log ,10 x x a (5)0log ,1 x x a ; 0log ,10 x x a T M A O P x y
三角函数 三角恒等变换知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α 角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断 3 α 所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，x y O x y O
r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （3）特殊角的三角函数值： α 0 6 π 4 π 3 π 2 π π 2 3π sin α cos α αtan αcot 三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系 x y O a x y O a x y O a y O a 平方关系 sin 2α+ cos 2α=1， 1+tan 2α=α2cos 1， 1+cot 2α=α2sin 1 倒数关系 tan α·cot α=1 商数关系 α α cos sin =tan α
三角函数知识点总结 1、任意角： 正角： ；负角： ；零角： ； 2、角α的顶点与 重合，角的始边与 重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 3、与角α终边相同的角的集合为 4、已知α是第几象限角，确定()*n n α ∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份， 再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象 限对应的标号即为n α 终边所落在的区域． 5、 叫做1弧度． 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是 ． 7、弧度制与角度制的换算公式： 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l= ．S= 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距 离是() 220r r x y =+>，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：． 12、同角三角函数的基本关系：(1) ; (2) ;(3) 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-．
三角函数的性质及三角恒等变形 概述：三角函数的基础是平面几何中的相似形与圆，但研究的方法是采用代数中函数的研 究方法和代数运算的方法，于是使三角函数成了联系几何和代数的桥梁，使它在几何和代数中都能有所作为。这无疑使三角函数在复数、立体几何和解析几何中有着广泛的应用。【考点梳理】 一、考试内容 1.角的概念的推广，弧度制。 2.任意角的三角函数、单位圆中的三角函数、同角三角函数的基本关系、正弦、余弦的诱导公式。 3.两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切。 4.正弦函数、余弦函数的图像和性质、周期函数、函数y=Asin(ωx+?)的图像、正切函数的图像和性质、已知三角函数值求角。 5.余弦定理、正弦定理。利用余弦定理、正弦定理解斜三角形。 二、考试要求 1.理解任意角的概念、弧度制的意义，并能正确地进行弧度和角度的换算。 2.掌握任意角的三角函数的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数和最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确地运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 5.了解正 弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y= Asin(ωx+?)的简图，理解A、ω、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin,arccos,arctan x x x表示。 7.掌握余弦定理、正弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。 （2005年考纲删减知识点：“能利用计算器解决三角形的计算问题”） 三、知识网络： 【命题研究】 分析近五年的全国高考试题，有关三角函数的内容平均每年有25分，约占17%，浙江
高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结 一、角的概念和弧度制： （1）在直角坐标系内讨论角： 角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。 （2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α 角终边关于x y =轴对称的角的集合： ； ②一些特殊角集合的表示： 终边在坐标轴上角的集合： ； 终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示： ①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ； 第一、三象限角： ； ②写出图中所表示的区间角： （4）正确理解角： 要正确理解“o o 90~0间的角”= ； “第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o 90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2 α 所在的象限。 来判断3 α 所在的象限
（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一 已知角α的弧度数的绝对值r l = ||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。 （7）弧长公式： ；半径公式： ； 扇形面积公式： ； 二、任意角的三角函数： （1）任意角的三角函数定义： 以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个 异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ； =αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ； 如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线； 比较)2 , 0(π ∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。 （3）特殊角的三角函数值： 三、同角三角函数的关系与诱导公式：
三角函数与三角恒等变换（知识点） 1．⑴ 角度制与弧度制的互化：π弧度180=o ，1180 π =o 弧度，1弧度180 ( )π =o '5718≈o . ⑵ 弧长公式：||l R α=；扇形面积公式：211 ||22 S R Rl α= =. 2．三角函数定义： ⑴ 设α是一个任意角，终边与单位圆交于点P (x ,y )，那么y 叫作α的正弦，记作sin α；x 叫作α的 余弦，记作cos α； y x 叫作α的正切，记作tan α. ⑵ 角α中边上任意一点P 为(,)x y ，设||OP r =，则： sin ,cos ,y x r r αα==tan y x α=. 三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 3．三角函数线： 正弦线：MP ； 余弦线：OM ； 正切线： AT . 4 六组诱导公式统一为“()2 k Z α±∈” ，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. 5．同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+=（平方关系）；sin tan cos α αα =（商数关系）. 6．两角和与差的正弦、余弦、正切：① sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； ② cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ； ③ tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=m . 7．二倍角公式：① sin22sin cos ααα=； ② 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-= -=-； ③ 22tan tan 21tan α αα =-. 变形：21cos2sin 2αα-=；21cos2cos 2 α α+=. （降次公式） 8．化一：sin cos )y a x b x x x =+)x ?+. 9. 物理意义：物理简谐运动sin(),[0,)y A x x ω?=+∈+∞，其中0,0A ω>>. 振幅为A ，表示物体离开平衡位置的最大距离；周期为2T π ω = ，表示物体往返运动一次所需的时间；频率为12f T ω π = = ，表示物体在单位时间内往返运动的次数；x ω?+为相位；?为初相.
三角函数与三角恒等变换(A) 一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r ，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若3 1sin(3)lg 10 α π+=，则tan(π＋α)＝________. 3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角. 4. 适合52 sin 23m x m -= -的实数m 的取值范围是_________. 5. 若tan α＝3，则cos2α＋3sin 2α＝__________. 6. 函数 sin 24y x π? ?=+ ?? ?的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一) 7. 把函数 4cos 13y x π? ? =+ + ?? ? 的图象向左平移?个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则 ? 的最小正值为___________. 8. 若方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则常数k 的取值范围是__________. 9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________. 10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则si n (α＋β)＝__________. 11. 函数2cos 1 52sin 5x y x ππ? ?+- ???=? ?+ ? ? ?的递减区间是___________. 12. 已知函数f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)＝1，那么sin (5)2f ππ? ?+=???? __________. 13. 若函数y ＝sin(x ＋?)＋cos(x ＋?)是偶函数，则满足条件的?为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________. 二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知3tan 4 θ=- ，求2 2sin cos cos θθθ+-的值. 16. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝2si nx (si nx ＋c os x ). (1) 求函数f (x )的最小正周期和最大值；