三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换
2019年
1.（2019北京9）函数f (x )=sin 2
2x 的最小正周期是 ________. 2.（2019全国Ⅲ理12）设函数()f x =sin （5
x ωπ
+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：
①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,
10
π
）单调递增 ④ω的取值范围是[1229
510
，)
其中所有正确结论的编号是
A ． ①④
B ． ②③
C ． ①②③
D ． ①③④
3.（2019天津理7）已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?π=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π
，且π4g ??=
???3π8f ??
= ???
A.2-
B.
D.2 4.（2019全国Ⅱ理10）已知α∈(0，
2
π)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=
A ．
15
B
．
5
C
．
3
D
5
5.（2019江苏13）已知tan 2
π3tan 4αα=-?
?+ ??
?，则πsin 24α??+ ??
?的值是_________. 6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R .
（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；
（2）求函数22[()][()]124
y f x f x ππ
=+
++ 的值域. 2010-2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅲ)若1
sin 3
α=，则cos2α= A ．
89
B ．
79
C ．79
-
D ．89
-
2．（2016年全国III ）若3
tan 4
α=
，则2cos 2sin 2αα+= A ．
6425 B ．4825 C ．1 D ．1625
3．（2016年全国II ）若3
cos(
)45π
α-=，则sin 2α=（ ） A ．7
25
B ．15
C ．15-
D ．725-
4．（2015新课标Ⅰ）sin 20cos10cos160sin10-=
A
． B
C ．12-
D ．1
2
5．（2015重庆）若tan 2tan
5
π
α=，则
3cos()10sin()
5
π
απ
α-
-＝
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．（2014新课标Ⅰ）若0tan >α，则
A ．0sin >α
B ． 0cos >α
C ． 02sin >α
D ． 02cos >α 7．（2014新课标Ⅰ）设(0,
)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos βαβ+=
，则 A ．32
π
αβ-=
B ．22
π
αβ-=
C ．32
π
αβ+=
D ．22
π
αβ+=
8．（2014江西）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则
2222sin sin sin B A
A
-的值为（ ）
A ．19-
B ．
13 C ．1 D ．72
9．(2013新课标Ⅱ)已知2sin 23α=
，则2
cos ()4
πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23
10．（2013浙江）已知2
10
cos 2sin ,=
+∈αααR ，则=α2tan A ．
34 B ．4
3
C ．43-
D ．34-
11．（2012山东）若??
?
???∈2,4ππθ，8
7
32sin =
θ，则=θsin A ．
53 B ．54 C ．47 D ．4
3
12．(2012江西)若
sin cos 1
sin cos 2
αααα+=-，则tan2α=
A ．?34
B ．34
C ．?43
D ．43
13．（2011新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，
则cos2θ= A ．45-
B ．35-
C ．35
D ．45
14．（2011浙江）若02
π
α＜＜
，02π
β-
＜＜，1cos()43πα+=
，
cos()42πβ-=则cos()2
β
α+= A
B
．- C
D
．15．（2010新课标）若4cos 5α=-
，α是第三象限的角，则
1tan
21tan 2
α
α+=- A ．12
-
B ．
12
C ．2
D ．-2
二、填空题
16．(2018全国卷Ⅰ)已知函数()2sin sin 2=+f x x x ，则()f x 的最小值是_____． 17．(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，则sin()+=αβ___． 18．（2017
新课标Ⅱ）函数2
3()sin 4f x x x =-
([0,])2
x π
∈的最大值是 ． 19．（2017北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴
对称．若1
sin 3
α=
，则cos()αβ-=___________． 20．（2017江苏）若1
tan()46
πα-=，则tan α= ．
21．（2015四川）=+
75sin 15sin ． 22．（2015江苏）已知tan 2α=-，()1
tan 7
αβ+=
，则tan β的值为_______． 23．（2014新课标Ⅱ）函数()()()sin 22sin cos f x x x ???=+-+的最大值为____． 24．（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若1tan 42
πθ?
?
+= ??
?，则sin cos θθ+=___． 25．（2013四川）设sin 2sin αα=-，(
,)2
π
απ∈，则tan 2α的值是_____．
26．（2012江苏）设α为锐角，若4cos 65απ??+= ??
?，则sin 212απ?
?+ ???的值为 ．
三、解答题
27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4
tan 3
α=
，cos()5αβ+=-．
(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值．
28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点
34
(,)55
P --．
(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5
sin()13
αβ+=
，求cos β的值．
29．（2017浙江）已知函数22
()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．
（Ⅰ）求2(
)3
f π
的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间． 30．(2014江苏)已知),2
(ππ
α∈，55sin =α．
(1)求)4
sin(
απ
+的值；
(2)求)26
5cos(
απ
-的值．
31．（2014江西）已知函数()()
()θ++=x x a x f 2cos cos 22
为奇函数，且04=??
?
??πf ，其中()πθ，，0∈∈R a ．
（1）求θ，
a 的值； （2）若??
? ??∈-=???
??ππαα，，
2524f ，求??? ??
+3sin πα的值．
32．（2013广东）已知函数(),12f x x x R π?
?=
-∈ ??
?．
(1) 求3f π??
???
的值； (2) 若33cos ,,252πθθπ??=
∈ ???
，求6f πθ?
?- ??
?．
33．（2013北京）已知函数2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+
（1）求()f x 的最小正周期及最大值；
（2）若(
,)2
π
απ∈，且()2
f α=
，求α的值． 34．（2012广东）已知函数()2cos()6
f x x π
ω=+
，
（其中0ω>，x R ∈）的最小正周期为10π． (1)求ω的值； (2)设,[0,
]2π
αβ∈,56(5)35f απ+=-,516
(5)617
f βπ-=,求cos()αβ+的值．
答 案 2019年
1.解析：因为2
1
cos 411
sin 2cos 422
x f x x x -==
=-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ??
+
∈π+????
， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265
ωπ
ππ+
<π， 所以
1229
5
10
ω<
，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,
)10
x π
∈时，(2),5510x ωωππ+π??+∈????， 若()f x 在0,10π??
???
单调递增， 则
(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229
5
10
ω<
，故③正确． 故选D ．
3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0?=，()sin f x A x ω=.
将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为
()g x ，即()1sin 2g x A x ω??= ???
，
因为()g x 的最小正周期为2π，所以
2212
ωπ
=π，得2ω
=， 所以()sin g x A x =，()sin
2f x A x =
.
若4g π??
=
???sin 442g A A ππ??=== ?
??
2A =，
所以()2sin 2f x x =
，332sin 22sin 28842f ππ3π????
=?=== ? ?????
故选C ．
4.解析：由2sin 2cos21αα=+，得24sin cos 2cos ααα=. 因为π0,2
α??∈ ??
?
，所以cos 2sin αα=.
由22
cos 2sin sin cos 1
αααα=??+=?
，得sin α=.故选B. 5.解析 由
tan 23tan()4α
α=-π+，得tan 2
3tan tan 4
1tan tan
4
ααα=-π+π
-， 所以tan (1tan )21tan 3ααα-=-+，解得tan 2α=或1tan 3
α=-．
当tan 2α=时，2
2tan 4
sin21tan 5
ααα==+，221tan 3cos21tan 5ααα-==-+，
43sin(2)sin2cos cos2sin 44455αααπππ+=+=-=
当1tan 3α=-时，2
2tan 3
sin21tan 5
ααα==-+，221tan 4cos21tan 5ααα-==+，
所以34sin(2)sin2cos cos2sin 444525210αααπππ+
=+=-?+?=. 综上，sin(2)4
απ
+
的值是
10． 6.解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=
或3π2
． （2）2
2
22ππππsin sin 124124y f
x f x x x ?
???????????=+++=+++ ? ? ? ????????????
??
???
ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ???
?-+-+ ? ?
?????=+=--????
π123x ?
?=+ ??
?．
因此，函数的值域是[1． 2010-2018年
1．B 【解析】2
21
7
cos 212cos 12()39
αα=-=-?=
．故选B ． 2．A 【解析】由sin 3tan cos 4ααα=
=，22cos sin 1αα+=，得3sin 5α=，4
cos 5
α=或 3sin 5α=-，4cos 5α=-，所以24
sin 22sin cos 25
ααα==
， 则2
164864
cos 2sin 2252525
αα+=
+=
，故选A ． 3．D
【解析】因为3cos cos )45πααα??
-=+= ???
，所以sin cos 5αα+=
， 所以181sin 225α+=
,所以7
sin 225
α=-,故选D ． 4．D 【解析】原式=1
sin 20cos10cos 20sin10sin(2010)sin 302
+=+==
． 5．C 【解析】
3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin
1010tan cos sin
55
ππ
αππα+=- 33cos 2tan sin 105102tan
cos
sin
555ππππ
π
π
+=
-33cos cos 2sin sin
510510sin
cos
55πππππ
π
+= ＝155(cos cos )(cos cos )2
1010101012sin 25πππππ++-3cos
103cos 10
ππ==，选C ． 6．C 【解析】 tan 0α>知α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，
故sin 22sin cos 0ααα=>，选C ． 7．B 【解析】由条件得
sin 1sin cos cos αβ
αβ
+=，即sin cos cos (1sin )αβαβ=+， 得sin()cos sin()2
π
αβαα-==-，又因为2
2
π
π
αβ-
<-<
，02
2
π
π
α<
-<
，
所以2
π
αβα-=
-，所以22
π
αβ-=
．
8．D 【解析】2222sin sin sin B A A -=22sin 2()12()1sin B b A a -=-，∵32a b
=，∴上式=7
2
． 9．A 【解析】因为2
1cos 2()1cos(2)1sin 242cos ()4222
ππ
ααπαα++++-+===
， 所以2211sin 213cos ()4226
παα-
-+===，选A. 10．C
【解析】由2
2(sin 2cos )αα+=可得2222sin 4cos 4sin cos 10
sin cos 4
αααααα++=+，进一步整理可得2
3tan 8tan 30αα--=，解得tan 3α=或1
tan 3
α=-，
于是2
2tan 3
tan 21tan 4ααα=
=--． 11．D 【解析】由42ππθ??∈????
，可得],2[
2ππ
θ∈，8
1
2sin 12cos 2-=--=θθ， 43
22cos 1sin =-=
θθ，答案应选D ． 另解：由42ππθ??
∈????
，
及sin 2=
8θ
，可得sin cos θθ+==
344===+，而当42ππθ??
∈????
，时 θθcos sin >，结合选项即可得4
7cos ,4
3
sin =
=θθ． 12．B 【解析】分子分母同除cos α得：
sin cos tan 11
,sin cos tan 12
αααααα++==--∴tan 3α=-，
∴2
2tan 3
tan 21tan 4
ααα=
=- 13．B 【解析】由角θ的终边在直线2y x =上可得，tan 2θ=，
2222
2
222cos sin 1tan 3
cos 2cos sin cos sin 1tan 5
θθθθθθθθθ--=-===-++．
14．C 【解析】cos()cos[()()]2442βππβαα+
=+--cos()cos()442
ππβ
α=+-
sin()sin()442ππβα++-，而3(,)444πππα+∈，(,)4242
πβππ-∈，
因此sin(
)4
3π
α+=
，sin()423
πβ-=，
则1cos()233339
β
α+
=?+=． 15．A 【解析】 ∵4cos 5α=-
，且α是第三象限，∴3
sin 5
α=-， ∴
1tan
21tan
2αα
+=
-2
cos
sin
(cos
sin )2
222
cos sin (cos sin )(cos sin )
222222ααα
α
α
α
α
ααα
++=
--+
221sin 1sin 1cos 2cos sin 22
ααααα++===--．
16
．2
-
【解析】解法一 因为()2sin sin 2=+f x x x ， 所以2
1()2cos 2cos 24cos 2cos 24(cos )(cos 1)2
'=+=+-=-+f x x x x x x x ，
由()0'≥f x 得
1cos 12≤≤x ，即2233
ππ
ππ-+≤≤k x k ，
， 由()0'≤f x 得11cos 2-≤≤x ，即223
π
πππ++≤≤k x k
或223
π
πππ--≤≤k x k ，∈Z k ，
所以当23
π
π=-
x k （∈Z k ）时，()f x 取得最小值，
且min ()(2)2sin(2)sin 2(2)3332
π
πππππ=-
=-+-=-f x f k k k ． 解法二 因为()2sin sin 22sin (1cos )=+=+f x x x x x ， 所以2
2
2
3
[()]4sin (1cos )4(1cos )(1cos )=+=-+f x x x x x
443(1cos )(1cos )(1cos )(1cos )27
[]344
-++++++?=≤x x x x ，
当且仅当3(1cos )1cos -=+x x ，即1
cos 2
=x 时取等号， 所以2
270[()]4≤≤
f x ， 所以()f x
的最小值为． 17．1
2
-
【解析】∵sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ， ∴2
2
sin cos 2sin cos 1αβαβ++= ①，
22cos sin 2cos sin 0αβαβ++= ②，
①②两式相加可得
2222sin cos sin cos 2(sin cos cos sin )1ααββαβαβ+++++=，
∴1sin()2
αβ+=-
． 18．1【解析】化简三角函数的解析式，则
(
)2231
1cos cos 44
f x x x x x =--
=-+
=2(cos 1x -+， 由[0,]2
x π∈可得cos [0,1]x ∈
，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 19．7
9
-
【解析】∵角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2k αβππ+=+， 所以1
sin sin(2)sin 3k βππαα=+-==，cos cos βα=-；
222cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 1αβαβαβααα-=+=-+=-
2172()139
=?-=-．
20．75【解析】tan()tan
744tan tan[()]445
1tan()tan 44
ππ
αππααππα-+=-+==--?． 21
．
2
6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)+=+=+=．
22．3【解析】1
2
tan()tan 7tan tan()32
1tan()tan 17
αβαβαβααβα++-=+-===++-． 23．1【解析】()sin[()]2sin cos()f x x x ????=++-+
sin()cos cos()sin x x ????=+-+
sin()sin x x ??=+-=．∵x R ∈，所以()f x 的最大值为1．
24．
5-
【解析】∵1tan 42πθ?
?+= ???
,可得1tan 3θ=-，∴sin θθ==，
sin cos θθ+=5
-
．
25【解析】 sin 22sin cos sin αααα==-，则1cos 2α=-
，又(,)2
π
απ∈，
则tan α=22tan tan 21tan ααα=
==-
26．
50217【解析】 因为α为锐角，cos()6πα+=45,∴sin()6πα+=3
5
， ∴sin2(,2524)6
=
+
π
αcos2(7
)625πα+=， 所以sin(50
2
17251722]4
)6
(2sin[)12
2=?=
-
+
=+
π
π
απ
α． 27．【解析】(1)因为4tan 3α=
，sin tan cos ααα=，所以4
sin cos 3
αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29
cos 25
α=， 因此，27cos22cos 125
αα=-=-
． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．
又因为cos()αβ+=sin()αβ+= 因此tan()2αβ+=-．
因为4tan 3α=
，所以22tan 24
tan 21tan 7
ααα==--， 因此，tan 2tan()2
tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+=
=-+． 28．【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5
α=-
， 所以4sin()sin 5απα+=-=
． (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3
cos 5
α=-，
由5sin()13αβ+=
得12cos()13
αβ+=±． 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-
或16cos 65
β=-．
29．【解析】（Ⅰ）由2sin
3π=21
cos 32
π=-，
2
(
)3
f π
2211()()22=---- 得2(
)23
f π
=． （Ⅱ）由2
2
cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得
()cos 222sin(2)6
f x x x x π
=-=-+
所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得
32222
6
2
k x k π
π
π
ππ++
+≤≤
，k ∈Z 解得
26
3
k x k π
π
ππ++≤≤
,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[
,
]6
3
k k π
π
ππ++(k ∈Z )．
30．【解析】（1）∵()
sin 2ααπ∈π=，，，∴cos α==
()
sin sin cos cos sin sin )444αααααπππ+=++=；
（2）∵2243
sin 22sin cos cos 2cos sin 55
αααααα==-=-=，
∴()()
314cos 2cos cos2sin sin 2666525ααα5π5π5π-=+=+?-=
31．【解析】（1）因为()()
()2
2cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数，而212cos y a x =+为偶函数，所
以2cos(2)y x θ=+为奇函数，又()0,θπ∈，
得2
π
θ=．
所以()f x =2sin 22cos x a x -?+（）
由04=??
?
??πf ，得(1)0a -+=，即 1.a =- （2）由（1）得：()1
sin 4,2f x x =-因为
12sin 425f αα??
=-=- ???
，得4sin ,5α=
又2παπ??
∈ ???
，
，所以3cos ,5α=- 因此sin sin cos sin cos 333πππααα??+=+= ??
?
32．【解析】（1
）(
) 1.3124f π
π
π
-
==
（2）33cos ,52
π
θ=由于<θ<2π，
所以4sin 5
θ===-，
因此())6
612
f π
π
π
θθ-
=-
-
=
)cos sin )444
341()52525
πππ
θθθ=-==?-?=-
33．【解析】：（1）2
1
()(2cos 1)sin 2cos 42
f x x x x =-+
1cos 2sin 2cos 42x x x =+11
sin 4cos 422x x =+
sin(4)24
x π
=
+ 所以，最小正周期242
T ππ
=
= 当424
2
x k π
π
π+
=+
(k Z ∈)，即216
k x ππ
=
+(k Z ∈)
时，max ()2f x =． （2
）因为())242f παα=+=，所以sin(4)14
π
α+=， 因为
2π
απ<<，所以
9174444
πππ
α<+<
， 所以5442ππα+=，即916
π
α=．
34．【解析】（1）21
105T ππωω==?=．
（2）56334
(5)cos()sin ,cos 352555f ππαααα+=-?+=-?==
516815(5)cos ,sin 6171717
f πβββ-=?==．
4831513
cos()cos cos sin sin 51751785
αβαβαβ+=-=?-?=-．
第三讲 历年高考三角函数真题 典型题型真题突破 【例1】(2007年江西)若πtan 34α?? -= ??? ，则cot α等于（ ） A ．2- B ．1 2 - C ． 12 D ．2 【例2】(2007年陕西)已知sin 5 α=，则44 sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ． 15 D ． 35 【例3】(2005年湖北) 若)2 0(tan cos sin π αααα< <=+，则∈α( ) A ．（0， 6π） B ．（6π，4π） C ．（4π，3π） D ．（3π，2 π ） 【例4】(2007年浙江)已知11sin 225θ+=，且324θππ ≤≤，则cos2θ的值是____． 【例5】(2007年江苏)若1cos()5αβ+=，3 cos()5 αβ-=，则tan tan αβ?=_____ 【例6】(2006年重庆)已知()33,,,sin ,45παβπαβ?? ∈+=- ??? 12sin()413πβ-=，则 cos()4 π α+=____. 【例7】（2005年重庆）已知α、β均为锐角，且αβαβαtan ),sin()cos(则-=+= 【例8】(1996年全国)tan 20tan 4020tan 40++?。。。。 的值是_______ 【例9】(2007年四川)已知0,14 13 )cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,(Ⅰ)求α2tan 的值. （Ⅱ）求β. 【例10】(2005年浙江)已知函数f(x)＝－3sin 2 x ＋sinxcosx ． (Ⅰ) 求f( 256 π )的 值;(Ⅱ) 设α∈(0，π)，f( 2 α)＝41 －2，求sin α的值．
《三角函数》大题总结 1.【2015高考新课标2，理17】ABC ?中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠， ABD ?面积是ADC ?面积的2倍． (Ⅰ) 求 sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，DC = BD 和AC 的长． 2.【2015江苏高考，15】在ABC ?中，已知 60,3,2===A AC AB . （1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值. 3.【2015高考福建，理19】已知函数f()x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2 p 个单位长度. (Ⅰ)求函数f()x 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于x 的方程f()g()x x m +=在[0,2)p 内有两个不同的解,a b ． （1)求实数m 的取值范围； （2)证明：22cos ) 1.5 m a b -=-( 4.【2015高考浙江，理16】在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4 A π =，22b a -=12 2c . （1）求tan C 的值； （2）若ABC ?的面积为7，求b 的值.
5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ?? ? . （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ?? == ??? , 求ABC ?面积的最大值. 6.【2015高考天津，理15】已知函数()22sin sin 6f x x x π??=-- ?? ? ，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34 p p -上的最大值和最小值. 7.【2015高考安徽，理16】在ABC ?中，3,6,4 A A B A C π ===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长. 8.【2015高考重庆，理18】 已知函数()2sin sin 2 f x x x x π ??=- ? ? ? （1）求()f x 的最小正周期和最大值； （2）讨论()f x 在2, 6 3ππ?? ???? 上的单调性.
三角函数的诱导公式（一） [学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 知识点一诱导公式一～四 (1)公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. (2)公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α. (3)公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α. (4)公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α. 思考1任意角α与π＋α，－α，π－α的终边之间有怎样的对称关系 思考2设任意角α的终边与单位圆交于点P(x0，y0)，分别写出π＋α，－α，π－α的终边与单位圆的交点坐标． 知识点二诱导公式的记忆 2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，π－α，－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”． 思考你能用简洁的语言概括一下诱导公式一～四的作用吗
题型一 给角求值 例1 求下列各三角函数值． (1)sin(－83π)； (2)cos 196π； (3)sin[(2n ＋1)π－23π]． 解 (1)sin(－83π)＝－sin 83π＝－sin(2π＋23π) ＝－sin 23π＝－sin(π－π3) ＝－sin π3＝－32. (2)cos 196π＝cos(2π＋76π) ＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32. (3)sin[(2n ＋1)π－23π]＝sin[2n π＋(π－23π)] ＝sin π3＝32. 跟踪训练1 求下列三角函数值． （1）sin ??? ?－436π； (2)cos 296π； (3)tan(－855°)． 解 (1)sin ??? ?－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ??? ?π＋π6＝sin π6＝12； (2)cos 296π＝cos(4π＋56π) ＝cos 56π＝cos ??? ?π－π6 ＝－cos π6＝－32；
三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα
高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题,含答案 免费) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得? ??=+=，1cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得.55cos 5 5 2sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=?? ?????==x x x x 2．求 ) 330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan( ----的值． 解：原式 ) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-= .3330 cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---= 3．若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求sin x cos x 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=?? ?????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =103 cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )， 所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有?- =10 3cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ． 证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证．
三角函数高考题及练习题(含答案)
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三角函数高考题及练习题（含答案） 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质． 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)． 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等． 1. 函数y ＝2sin 2? ???x －π 4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”) 函数． 答案：π 奇 解析：y ＝－cos ? ???2x －π 2＝－sin2x. 2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3 解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．
3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，? ???|φ|<π 2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________． 答案：π4 解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π 2 ，所 以φ＝π4 . 4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间? ???0，π 3上的最大值是2，则ω＝________． 答案：34 解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在? ???0，π 3上单调递增，且在这个区间 上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3 4 . 题型二 三角函数定义及应用问题 例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P 的坐标是??? ?12，3 2，求f(θ)的值； (2) 若点P(x ，y)为平面区域???? ?x ＋y ≥1， x ≤1， y ≤1 上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求 函数f(θ)的最小值和最大值． 解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝ 32，cos θ＝1 2 ，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π 3 ，从而求出 f(θ)＝2)． (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ? ???θ＋π 6， ∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π 3 ，f (θ)max ＝2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、
三角函數誘導公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：
对于k2π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(42π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。 当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。 所以sin(2π－α)＝－sinα 上述的记忆口诀是： 奇变偶不变，符号看象限。 公式右边的符号为把α视为锐角时，角k2360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变；符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”． 这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”； 第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”； 第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”； 第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”． 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三正切,四余弦
三角函数公式大全三角函数定义 函数关系 倒数关系： 商数关系： 平方关系： ． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数
名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 其中的奇偶是指的奇偶倍数，变余不变试制三角函数的名称变化若变，则是正弦变余弦，正切变余切------------------奇变偶不变 根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋，来判断三角函数的符号-------------符号看象限 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终 边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数 值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得 到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终 边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的 三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负 值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角 的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项 数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
三角函数(1985年——20XX 年高考试题集) 一、选择题 1. t an x ＝1是x ＝4 5π 的 。(85(2)3分) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 函数y ＝2sin2xcos2x 是 。(86(4)3分) A.周期为2 π的奇函数 B.周期为2π 的偶函数 C.周期为4 π 的奇函数 D.周期为4 π 的偶函数 3. 函数y ＝cosx －sin 2x －cos2x ＋ 4 17 的最小值是 。(86广东) A. 4 7 B.2 C.49 D.4 17 E. 4 19 4. 函数y ＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是 。(88(6)，91(3)3分) A.π B.2π C.2 π D.4π 5. 要得到函数y ＝sin(2x － 3 π )的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 。(87(6)3分) A.向左平移3π B.向右平移3π C.向左平移6π D.向右平移6 π 6. 若α是第四象限的角，则π－α是 。(89上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 7. t an 70°＋tan50°－3tan70°tan50°的值是 。(90广东) A.3 B. 3 3 C.－ 3 3 D.－3 8. 要得到函数y ＝cos(2x － 4 π )的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象 。(89上海) A.向左平移8π个单位 B.向右平移8 π 个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位 9. 函数y ＝ cotx | cotx ||tanx |tanx cosx |cosx ||sinx |sinx +++的值域是 。(90(6)3分) A.{－2，4} B.{－2，0，4} C.{－2，0，2，4} D.{－4，－2，0，4} 10. 若函数y ＝sin(ωx)cos(ωx)(ω＞0)的最小正周期是4π，那么常数ω为 。(92(2)3) A.4 B.2 C.2 1 D. 4 1 注:原考题中无条件“ω＞0”，则当ω取负值时也可能满足条件 11. 在直角三角形中两锐角为A 和B ，则sinAsinB 。(93(6)3分) A.有最大值 2 1 和最小值0 B.有最大值 2 1 ，但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D.有最大值1，但无最小值 12. 角α属于第二象限，且|cos 2α|＝－cos 2α，则2 α 角属于 。(90上海) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角
三角函数有关诱导公式一览表 公式 ) ( tan ) 2 tan( cos ) 2 cos( sin ) 2 sin( .1Z k k k k ∈ ? ? ? ? ? = + = + = + α α π α α π α α π ? ? ? ? ? = + - = + - = + α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .2 ? ? ? ? ? - = - = - - = - α α α α α α tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .3 ? ? ? ? ? - = - - = - = - α α π α α π α α π tan ) tan( cos ) cos( sin ) sin( .4 ? ? ? ? ? = - = - α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .5 ? ? ? ? ? - = + = + α α π α α π sin ) 2 cos( cos ) 2 ( sin .6 ? ? ? ? ? - = - - = - α α π α α π sin ) 2 3 cos( cos ) 2 3 ( sin .7 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看先象限 图形 简记结合图形，7组公式可用口诀概括为：“奇变偶不变，符号看象限” 说明①公式的推导思路：前面4组通过找角的终边位置关系—坐标关系—三角函数关系而得出（后面3组通过角的变换，进而借助前面的有关公式转化得到）②各组诱导公式都可用含角度的形式
③在应用诱导公式解题时，基本思路是：“负化正，大化小，化成锐角再求值”。 一定要记清特殊角的三角函数值，根据问题做到准确应用，正确求解。
高考题历年三角函数题 型总结 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高考题历年三角函数题型总结 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．
ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13 A =。 (Ⅰ)求A B A C ； (Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。 设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值。 已知函数2 ()2cos 2sin f x x x =+ （Ⅰ）求()3 f π 的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值 设函数()3sin 6f x x πω?? =+ ?? ? ，0ω＞，(),x ∈-∞+∞，且以 2 π 为最小正周期． （1）求()0f ；（2）求()f x 的解析式；（3）已知9 4125f απ??+= ?? ?，求sin α的值． 已知函数2 ()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。 (II) 求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合。
在ABC 中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且 2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。 (17)（本小题满分12分） 已知函数2()sin()cos cos f x x x x πωωω=-+（0ω>）的最小正周期为π， （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,16π?? ???? 上的最小值. 在?ABC 中， cos cos AC B AB C = 。 （Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin 4B 3π? ?+ ?? ?的值。 ABC 中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B = ，3 cos 5 ADC ∠=，求AD 。 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且222333b c a +-=.
1.2.3 一．导学目标： 12．简。 二．知识回顾： 任意角的三角函数 sinα= cos α= 三．新知导学 1.观察图像,240,120,60000 2.与α终边相同的角k ?+α角函数值 ααcos )360cos(sin )360sin(00=?+=?+k k 3.)(1800απα--值 αα αcos )180cos(sin )180sin(00-=-=-4. )(1800απα++的三角函数值 ααααcos )180cos(sin )180sin(00-=+-=+ 5. )2(3600απα--或 α-的三角函数值 ααα αcos )360cos(sin )360sin(00=--=-注：上述公式中，α公式中απαπαπ-+-2,,四．例题分析与巩固训练 例1.求值 （1）0300sin （2）
分析：应用诱导公式化为特殊角（0 )6(300π )4(450π )3 (600π )2(900π ）等的三角函数值 解：（1）0300sin =)60360sin(00-=060sin -=23 - （2）23 6cos )6cos(67cos -=-=+=π π ππ （3）πππππ43 tan )43 2tan(411 tan )411 tan(-=+-=-=- 14tan )4tan(==--=π π π 巩固训练： 1.=-)4sin(π 2.=π67 tan 3，=-)750cos(0 4.=01020tan 例2.判断下列函数的奇偶性 （1）x x f cos 1)(+= （2）x x x f cos sin )(?= 分析：①函数定义域关于原点对称 ②求)(x f -，若)()(x f x f -=-，函数为奇函数 若)()(x f x f =-，函数为偶函数 解：（1）)(x f 定义域为R )(cos 1)cos(1)(x f x x x f =+=-+=- ∴)(x f 是偶函数 （2）)(x f 定义域为R )(cos sin )cos()sin()(x f x x x x x f -=-=--=-
3 22.设/XABC的内角A B, C所对的边长分别为q, b, c , ^acosB-bcosA =-c . 5 (I )求tan A cot B 的值； (U)求tan(A-B)的最大值. 3解析：(1)在左ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA = -c 5 3 3 3 3 可得sin 人cos B-sinB cos A = -siiiC = - sin(A + B) = $ sin 人cos B + - cos A sin B 即siii A cos B = 4 cos A siii B ,则tail A cot 8 = 4： (II)由taiiAcotB = 4得tanA = 4tanB>0 一_ x tan A - tan B 3 tan B 3 “ 3 tan( A 一B) = -------------- = ---------- -- = ----------------- W - 1+tail A tail B l + 4taii_B cot B + 4 tan B 4 当且仅当4tanB = cotB,tmiB = i,taiiA = 2时，等号成立， 2 1 3 故当tail A = 2, tan ^ =—时，tan( A - B)的最大值为—. 5 4 23. ----------------------------------在△ABC 中，cosB = ， cos C =—. 13 5 (I )求sin A的值； 33 (U)设ZVIBC的面积S AABC = —,求BC的长. 解： 512 (I )由cosB = 一一，得sinB = —, 13 13 4 3 由cos C =-,得sin C =-. 55 一33 所以sin A = sin(B + C) = sin B cos C + cos B sill C = —. (5) ................................................................................................................................... 分 33 1 33 (U)由S.ARC = 一得一xABxACxsinA = —, 2 2 2 33 由(I)知sinA =—, 65 故ABxAC = 65, (8) ................................................................................................................................... 分 又AC =竺主=史仙, sinC 13 20 13 故—AB2 =65, AB = — . 13 2 所以此=性叫11 siiiC (I)求刃的值;10分 24.己知函数/(x) = sin2a)x+j3 sin cox sin 尔+习2)(刃＞0)的最小正周期为兀.
1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五． （2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 一、复习： 诱导公式（一） tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+?=+?=+?k k k 诱导公式（二） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+?-=+?-=+? 诱导公式（三） tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=- 诱导公式（四） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-?-=-?=-? 对于五组诱导公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②这四组诱导公式可以概括为： 符号。 看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k 总结为一句话：函数名不变，符号看象限 练习1：P27面作业1、2、3、4。 2：P25面的例2：化简 二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin( ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2 cos( cos )2sin(ααπ ααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限
三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一： sin()-sin αα-=； cos()cos αα-= ； tan()tan αα-=- 公式二： ααπ-sin sin(=+）； ααπ-cos cos(=+）； ααπtan tan(=+）． 公式三： ααπsin sin(=-）； ααπ-cos cos(=-）； ααπtan tan(-=-） 公式四： sin(2sin παα-=-）； cos(2cos παα-=）； tan(2tan παα-=-） 公式五： sin( 2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式六： sin(2π+α) = cos α； cos(2π +α) =- sin α． 公式七： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式八： sin(32π+α) = -cos α； cos(32 π +α) = sin α． 公式九：απαsin )2sin(=+k ； απαcos )2cos(=+k ； απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 方法点拨： 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函 数名，偶数就不变
例1、求值（1）29cos( )6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___． （3）16 sin()3 π-= __________． 的值。 求：已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A ． sin （α＋180°）=－sin α B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β） C ． sin （－α－360°）=－sin α D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 例5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于【 】 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角）符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值． 提示：先化简，再将1sin 3 θ=代入化简式即可．
三角函数历年高考题汇编 一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．． 是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ）
三角函数诱导公式大全 三角函数诱导公式 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. （奇变偶不变） 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 （符号看象限） 例如： sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。