第四章派生高斯过程
－G a u s s i a n D e r i v e d P r o c e s s e s
在工程问题中应用概率论可以按照以下三个步骤来进行：
如果得到的结果不满意，则应对问题进行更加全
面的数学描述，并重复上述步骤。
信号检测理论中，最重要的概率密度函数[probability density function （PDF）]是高斯（或称正态）概率密度函数，最常遇到的随机过程是高斯随机过程。针对高斯噪声，信号检测理论相对而言十分完备。高斯分布的特点之一就是易于得出解析解。
某些情况下，我们不经证明直接采用高斯假设。这样做的原因有：
并非所有过程都服从或近似服从高斯分布。非高斯分布的例子，例如，闪电对无线电系统的干扰；雷达和声纳系统中杂波，它们是由不感兴趣的目标引起的，不属于热噪声。我们仅详细讨论高斯过程。
4.1 高斯概率密度－The Gaussian Probability Density
一维标准高斯概率密度函数：
（1） 一般的一维高斯密度：
（2）
参数2
,σm 分别是x 的期望和方差。也称正态密度，
记为),(2
σm N 。
图4.1 高斯概率密度函数 图4.2 概率纸上画出的高斯概率分布函数
概率分布函数为○1
∫
∫?∞
?∞?==σ/)()()()(m X z X
x x dz z p dx x p X P （3）
该积分无闭合解，但被制成表格以供查找，并且被内置在许多计算器和软件中，如图4.2所示。 随机变量x 的特征函数为
()()exp()x x p x j x dx ωω∞
?∞Φ=∫
均值为m ，方差为2
σ的高斯变量，其特征函数为
（4） 特征函数是密度函数Fourier 变换的共轭。
将一维高斯密度推广至n 维，联合概率密度函数为
]2/)()(exp[|]|)2[()(1
T
2
/1m x C m x C x ???=??n
x
p π （5）
式中x 为n 维列向量， C 是n n ×维矩阵C 的行列式。m 是随机向量x 的数学期望：
x m E =，
C 是随机向量x 的协方差矩阵：
T
m x m x C ))((??=E 。
此密度记为),(C m N ，假定矩阵C 是非奇异的，则有0≠C .
二元正态密度:
??
??
??=????????????=222
12121
2
22221122112
11 )())(())(()(σσρσσρσσ
m x m x m x m x m x m x C E
式中ρ是两随机变量的相关系数。将其代入（5）
式有
)]
1(2/)/)(/))((2/)(exp[ ]
)1(2/[1),(2
22
2
2221221121
2
112
/122121ρσσσρσρσπσ??+?????×?=m x m x m x m x x x p
n 维随机向量中，如果i
x 互不相关，也即
j i m x m x j
j i i ≠=??,0))((E ，
则)/diag(121
i
σ=?C ，且
∏=???
?
?????=n
i i i i i x m x p 12
2
1
2
/12)(exp ])2[()(σσπx （6）
因此变量i
x 是相互独立的。
随机向量x 联合概率密度函数的特征函数为○2：
x x ωx ωd j p x x )exp()()(T
∫∞
∞
?=Φ
可以证明
)2/exp()(C ωωωm ωT
T
?=Φj x
（7）
高斯向量的线性变换仍为高斯向量。 假设Lx y =，其中L 可逆。则
)(abs /)()(1
L y L y ?=x
y
p p （8）
因为○3
]
2/)()()(exp[|]
|)2[( ]2/)()(exp[|]|)2[( ]2/)()(exp[|]
|)2[()(1
T T
2
/11
1T T 2
/11
1T 12/11Lm y LCL Lm y C Lm y L C L Lm y C m y L C m y L C y L ???=???=???=???????????n
n n x p πππ
所以
1/2
T T 1
1/2T
1/2
T T 1
1/2
T
1/2
T
T 1
()[(2)||]exp[()()()/2]/abs(||)
[(2)](||||||)exp[()()()/2]
[(2)]||
exp[()()()/2]
n
y n n p πππ????????=???=?????=???y C y Lm LCL y Lm L L C L y Lm LCL y Lm L CL y Lm LCL y Lm
可见Lx y =是均值为
Lm m =y
方差为
T
LCL
C =y （9）
的高斯向量。 设线性变换
x L y 11=
中1
y 是m 维向量，x 是n 维向量，1
L 是n m ×行满秩矩阵)(n m ≤。可以通过定义新变量m i x y i
i
>=,获得增广矩阵L ，
?
?????=I 0L L |1
其中，I 是)()(m n m n ?×?单位矩阵，0是m m n ×?)(零矩阵。
先通过上述方法求得Lx y =的联合概率密度函数)(y y
p ，然后可以获得1
y 的边缘概率密度函数为
∫∞
∞
?+=n m y y dy dy p p "11)()(y y
（10） 1y 的数学期望和方差分别为
○
4
T
1
1T
1111111)]()][([)( CL
L m x L m x L C m
L x L y m 1=??====E E E
与（9）式中L 是方阵的情况相同。
线性系统的输出是对输入的加权求和。由上面分析可知，当输入为高斯过程时，输出也是高斯的。
通过线性变换使随机变量之间解相关。
考虑期望为m、协方差为()()′
E的复随
=??
C x m x m
机向量x，撇号表示共轭转置。下面研究如何找到一个线性变换，用其能将随机向量x变换为另一个随机向量y，其分量i y之间不相关。
问题的关键是寻求变换矩阵T使得随机变量
′=y T x （11）
的协方差矩阵具有如下形式：
[()][()]y
′′′′=??==C T x m T x m T CT ΛE （12）
此处Λ是一个对角阵，其对角线上元素为新变量i
y 的方差。一个方法是根据矩阵C 的标准特征向量来确定变换T .
协方差矩阵是Hermite 阵，因为
C m x m x m x m x C =′??=′′??=′]))([(]))([(E E
另外，它至少是半正定的，因为对于任意向量v ，总有
|| ]][[2
≥?′=′
?′?′=′=m)(x v m)(x v m)(x v Cv v E E r
若除0v =外总有0>r ，则称C 为正定的。以下讨论
我们假设C 是正定阵，则它的所有特征值都是正实数，并对应于n 个线性无关的特征向量：
m
m m
t Ct λ=， m=1…n
可以将这些特征向量排列为n n ×矩阵T ：
],[1
n
t t T "= （13）
从该矩阵结构可知，矩阵T 具有以下性质：
T ΛΛt t t t Ct Ct t t C CT =====],[],[ ]
,[],[11111n n n n n """"λλ
（14.）
此处Λ是元素为m
λ的对角阵：
?????????
?=n λλ%1
Λ 由于T 中的列向量是线性无关的，所以T 可逆，由
（14） 式有
ΛCT T 1
=? （15）
T 经过正交归一化后成为一个酉矩阵：
I T T =′
因此1
?=′T T 。由于ΛCT T =′，所求的线性变换就是T ：
x T y ′=
例4.1 当协方差矩阵为
?
?????????????=49428434728782
331C 求使随机向量解相关的线性变换。
方法：求特征值＝》特征向量＝》正交归一化 混合中心矩
对零均值高斯向量，有
11
)()()(1
1
=Φ???
?=ωωωωx b n
b B
B
b n
b n n j x x ""E （16）
其中∑=i
b B ，i
b 是任意非负整数。作为（16）式的一个特例，对于四元零均值联合高斯密度，有
23
14
24
13
34
12
4
321)(R R R R R R x x x x ++=E
或
)()()()()()()(3
24
14
23
14
32
14
321x x x x x x x x x x x x x x x x E E E E E E E ++=（17）
例4.2 设)()(2
t x t y =且)(t x 是零均值平稳高斯过程，相关函数为)(τx
R ，则
)
(2)0( )]()([2)]()][([
)]()()()([)]()([)(222
2
2
2
2τττττττx
x y R R t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x R +=?+?=??=?= E E E E E
高斯随机过程
对随机过程()x t 在任意时刻i
t 进行采样，可以获得一组随机变量()i
x t ,1,,i n =". 如果对于任意i
t 和n ，随机变量)(i
t x n i ,,1,"=具有n 维联合高斯密度，则称此随机过程是高斯过程。其协方差矩阵为：
)
()(),( )]()()][()([j i j i x j j i i ij t m t m t t R t m t x t m t x C ?=??=E
本科实验报告 实验名称：窄带高斯随机过程的产生
一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验内容 本实验模拟产生一段时长为5ms 的窄带高频随机过程X(t)的样本函数。根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为 t f t A t f t A t X s c 002cos )(2cos )()(ππ-= 其中，A c (t)和A s (t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，然后用两个正交载波cos2πf 0t 和sin2πf 0t 进行调制，如图所示。 假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为4 ) /(11 )()(f f f G f G s c ?+= =，其中f ?为功率谱密度的3dB 带宽。在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms 的低通过程Ac(t)和As(t)，然后按图所示合成X(t)，其中f 0=1000/π，要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)、X(t)的波形。 三、实验原理 （一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法
首先将X(t)进行周期延拓，得到一个周期信号，再对周期信号进行傅里叶级数展开，即 ∑∞ -∞ == k k f j k e X t X 02~ )(π)1(0d T f = 由于傅里叶级数是X k 的线性组合，所以，如果X k 是零均值的高斯随机变量，那么)(~ t X 也是零均值高斯过程，如果{X k }是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即 ∑∞ -∞ =-= k k X kf f g f G )()(02~δ))|(|(22 k k X E g = 通过选择g k 就可以得到期望的功率谱。 假定Gx(f)是带限的，即 0)(=f G x (|f|>B) 那么，{g k 2}只有有限项，即{2 2120212,,...,,...,,M M M M g g g g g -+--}，其中M=[B/f 0]，[· ]表示取整，与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。因此，只需产生2M+1个相互正交的零均 值高斯随机变量{M M M M X X X X X ,,...,,...,,101-+--}，其方差22)|(|k k g X E =，并在1式中将时间限定为(0,Td)就可以得到模拟过程X(t)。2k g 应与)(0kf G x 成比例，即)(02kf G g x k β=， 系数β的选择满足下式： ∑? ∑∑-=-=-=== = M M k X B B M M k M M k k k X kf G g X E df f G )(]|[|)(0-2 2 β 即 ∑?-== M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β 总结如下： 1.根据所需过程的时长Td 确定频率f 0，并确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f 0]； 2.根据∑?-==M M k X B B X kf G df f G ) ()(0 -β确定β； 3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即 M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β
第3章 平稳随机过程的谱分析 付里叶变换是处理确定性信号的有效工具，它信号的频域内分析处理信号，常常使分析工作大为简化。 对于随机信号，是否也可以应用频域分析方法？付里叶变换是否可引入随机信号中？ 3.1 随机过程的谱分析 3.1.1 回顾：确定性信号的谱分析 )(t f 是非周期实函数， )(t f 的付里叶变换存在的充要条件是： 1．)(t f 在),(∞-∞上满足狄利赫利条件； 2．)(t f 绝对可积： +∞
3.1.2 随机过程的功率谱密度 一、样本函数的平均功率 问题1：由于付里叶变换是针对确定性函数进行的，在处理随机过程)(t X 时，取 )(t X 的一个样本函数)(t x （在曲线族中取某一曲线）来进行付里叶分 析。 问题2：随机过程)(t X 的样本函数)(t x 一般不满足付里叶变换的条件，它的总能 量是无限的，需考虑平均功率。 若随机过程)(t X 的样本函数)(t x 满足 +∞<=? -∞→T T T dt t x T W 2 )(21 lim W 称为样本函数)(t x 的平均功率。 对于平稳过程，其样本函数的平均功率是有限的。 二、截取函数 对于)(t X 的一个样本函数)(t x ，在)(t x 中截取长为T 2的一段，记为)(t x T ， 它满足： ???? ?≥<=T t T t t x t x T 0 ) ()( 称)(t x T 为)(t x 的截取函数。 三、截取函数的付里叶变换 0>T ，取定后，)(t x T 的付里叶变换一定存在： ??--+∞ ∞--==T T t j t j T T dt e t x dt e t x X ωωω)()()( 其付里叶逆变换为： ? +∞ ∞ -= ωωπ ωd e X t x t j T T )(21 )( 其帕塞瓦（Parseval ）等式为 ? ? ? +∞ ∞ --+∞ ∞ -= =ωωπ d X dt t x dt t x T T T T 2 2 2 )(21 )()(
第二章平稳随机过程的谱分析 本章要解决的问题： ●随机信号是否也可以应用频域分析方法? ●傅里叶变换能否应用于随机信号？ ●相关函数与功率谱的关系 ●功率谱的应用 ●采样定理 ●白噪声的定义 2.1 随机过程的谱分析 2.1.1 预备知识 1、付氏变换: 对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即： 满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：
其反变换为： 2、帕赛瓦等式 由上面式子可以得到： ——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。 物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(-∞,∞)区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被积函数 2 ) (ωX X 表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称 2 ) (ωX X 为 能量谱密度。 2.1.2、随机过程的功率谱密度 一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？ 随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量
一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。 但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。 为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做 某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。 x(t): 截取函数T 图2.1 x(t)及其截取函数 x(t)满足绝对可积条件。因此，当x(t)为有限值时，裁取函数T x(t)的傅里叶变换存在，有 T x(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达很明显，T 式的变化）
第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为
平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程
1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。
二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=-
如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ?
100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise
本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生
一、实验目的 熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。 二、实验原理 （一）窄带随机过程的产生原理 窄带随机过程可以表示为下面的准正弦振荡的形式： cos X t A t ωτ?τ0()=()[+()] 或者表示为同相分量与正交分量的合成： 00cos sin c s X t A t t A t t ωω()=()-() 其中c A t ()与s A t ()均为低频变化的随机过程，可以通过模拟其分布及功率谱特性来实现窄带随机过程的产生。 （二）用频域法模拟任意随机过程 模拟一个时长为d T 的高斯随机过程的一个样本函数()X t , 要求功率谱密度满足指定的形式，先将()X t 进行周期性延拓，并做DFS ()0201()j k k f k d X e f T X t π∞ ∞ =-= = ∑ 若k X 是零均值的高斯随机变量，那么()X t 也是零均值的高斯随机过程。若 {}k X 是两两正交的序列 ()2 220()(())k k k k X g f k G f E X f g δ=-∞ ∞ = -=∑ 即可以控制k g 得到期望的功率谱。 假定()(0 )X G f B f =>，即()X G f 带限，则{}2k g 为有限项，对应的DFS 系数{}k X 也为21M +项0()B M f ?? =????，因此只需产生21M +个相互正交的零均值 高斯随机变量{}101,, ,, ,,M M M M X X X X X --+-，其方差为2 2 ()k k E X g =。2k g 应与()0X G kf 成比例，即()2 0X k G g kf β=，则有
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =? 随机信号分析 目录 CONTENTS CONTENTS 严平稳随机过程平稳随机过程的基本概念 -2.5-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t1t2t3t4t5t6t7t8快艇航行噪声随时间变化的观测实验第1次观测第2次观测第3次观测 ()()x m t E X t =????随机过程的数学期望()1x m t ()4x m t () 5x m t 如果数学期望与时间无关，将简化分析和计算！ ()x x m t m = -2.5-2 -1.5-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t1t2t3t4t5t6t7t8快艇航行噪声随时间变化的观测实验第1次观测第2次观测第3次观测 随机过程的自相关函数????=?R t t E X t X t X ,1212)()()(R t t X ,23) (?=τt t 320R t t X ,56)(?=τt t 650如果自相关函数与观察起始时刻无关，只和观察的两个随机变量的时间差有关？ ==?ττR t t R t t X X ,,1221)()(有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 严平稳随机过程 随机过程X t ，若它的n 维概率密度(或n 维分布函数) 不随时间起点选择的不同而改变 就是说，对任何n 和ε，随机过程X t 的n 维概率密度满足： +++=εεεf x x x t t f x x x t t X n n X n n ,,,;,,,t ,,,;,,,t 12121212)()(f x x x t t n n ,,,;,,,t 1212) (则称X t 为严(格)平稳过程，或称X t 为狭义平稳过程。 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺） 随机过程分析 摘要随着科学的发展，数学在我们日常的通信体系中有着越来越重的地位，因为在科学研究中，只有借助于数学才能精确地描述一个现象的不同量之间的关系,从最简单的加减乘除，到复杂的建模思想等等。其中，随机过程作为数学的一个重要分支，更是在整个通信过程中发挥着不可小觑的作用。如何全面的对随机信号进行系统和理论的分析是现在通信的关键，也是今后通信业能否取得巨大进步的关 键。 关键字通信系统随机过程噪声 通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。下面对随机过程进行分析。 一、随机过程的统计特性 1、数学期望:表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心， ?∞ ∞-==11);()]([)(dx t x xp t X E t a 2、方差:表示随机过程在时刻t 对于均值a(t)的偏离程度。 即均方值与均值平方之差。 {}?∞∞--=-=-==112222);()]([)]()([))](()([)]([)(dx t x p t a x t a t X E t X E t X E t X D t δ 3、自协方差函数和相关函数: 衡量随机过程任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。 （1）自协方差函数定义 {} )]()()][()([);(221121t a t X t a t X E t t C x --=??∞∞-∞ ∞---=2121212211),;,()]()][([dx dx t t x x p t a x t a x 式中t1与t2是任意的两个时刻；a (t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望； 用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。 （2）自相关函数 ??∞∞-∞ ∞-==2121212212121),;,()]()([),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X 用途：a 用来判断广义平稳； b 用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。 二、平稳随机过程 1、定义（广义与狭义）： 则称X(t)是平稳随机过程。该平稳称为严格平稳，狭义平稳或 高斯随机过程 高斯分布 ?中心极限定理证明：在满足一定条件下，大量随机变量和的极限分布是高斯分布。?特殊地位：无线电技术理论中最重要的概率分布。 ?噪声理论、信号检测理论、信息理论?高斯过程-统计特性最简单 {}{}ik X i k X X i k X X k i X k i X ik X i k X X X k i X k i X ik n n ik n n ik C m t t R m t t R m t t R t t C C m t t R m m t t R t t C C C C C C =??=?+?+=′?++=++=′??=?==′=′=××2222)()]()[(),(),()(),(),(..,.........εεεεεεv v Q X i X i X X m t m t m m ==+=′)()(εQ ) ,...,;,...,(),...,;,...,(1111n n X n n X t t x x f t t x x f =++∴εε所以，高斯随机过程的宽平稳?等价严平稳。 C C v v =′X X M M =′∴ 如果高斯过程X(t)在n 个不同时刻的状态两两互不相关，即 则这些状态之间也是互相独立的。n t t ,..., 1) (),...,(1n t X t X )(,0)])()()([(),(k i m t X m t X E t t C C k k i i k i X ik ≠=??==0 =ik C ?????? ????????=)(0...0:...:::...)(00...0)(22212n t t t C σσσv 2、互不相关?互相独立 证明：由于则: 关于平稳过程中的各态历经性的综述 首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当 12,,n t h t h t h T +++∈…,时，n 维随机变量 （X(1t ),X(2t ),…,X(t n )） 和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。 但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。 定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即 〈X （t ）〉=1lim ()2T T T X t dt T -→∞? 存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。 定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即 ()X t X t τ（+）=1lim (+)()2T T T X t X t dt T τ-→∞? 若〈()X t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx(τ)和Ry(τ)。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +== 11 )()()( 则频率响应为Ω += ΩjRC j H 11 )( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0 n j P X = Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 2 02 12 /)()()(Ω+= ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()?? ∞ ∞-Ω∞ ∞ -ΩΩΩ+= ΩΩ= d e RC n d e j P R j j Y Y τ τ π π τ22012/21 )(21 )( 电压：y(t) 电流：i(t) 高斯的确是神一般的存在 2012-05-06 23:25:44| 分类：默认分类|举报|字号订阅 高斯能完整地背出圆周率——是倒着背。byAnonymous 高斯口渴时会用巴拿赫-塔斯基悖论弄出更多橙汁。by jieh 高斯不能理解随机过程，因为他能预测随机数。by aaa 高斯小时候，老师让他算从1到100的和。他计算了这个无穷级数的和，然后一个一个地减去从100开始的所用自然数。而且，是心算。by Joe 一位数学家、一位物理学家、一位工程师走进酒吧，酒吧招待说：“您好，高斯教授。”by Win 询问高斯一个命题是真的还是假的，构成了一个严格的证明。by Anonymous 有一次高斯证明了一条公理，但他不喜欢它，所以他又证明了它是假命题。by colemanja 高斯通过在证明结束时省去“QED”来保护热带雨林。by shc 有一次高斯在森林里迷路了，于是他加了几条边把它变成了一棵树。by roche 高斯用奥卡姆剃刀剃胡子。by SBB 上帝不掷骰子，除非高斯答应让他赢一次。by Matt 空集的定义是高斯无法证明的定理的集合。by Joe 高斯不承认复数，因为他们太简单了。by zxcv （复数：complex number） 费马认为他的书的边缘太小，写不下费马大定理的证明。高斯找到了一个证明，对这个证明而言那本书的边缘太大了。by Manzano 数学家常常把证明留给作者作为习题；只有高斯把证明留给上帝作为习题。by Anonymous 当哥德尔听说了高斯能证明一切命题，他让高斯证明“存在高斯不能证明的命题”高斯证出来了，但还是不存在他不能证明的命题。量子态就是这样产生的。by spevak 怪兽群害怕高斯。by Youler （怪兽群，一般译作魔群，最大的散在单群） 高斯钢笔里的墨水能治癌症。遗憾的是，高斯的一切计算都在头脑中进行，他不用钢笔。by scuderia 一个典型的人类大脑有着10^-9到10^-8高斯的磁场。“高斯”这个单位的引入是为了描述高斯大脑中的磁场。这是巧合吗？我想不是。by Charles 高斯是这样证明良序定理的：他瞪着那个集合，直到集合中的元素出于纯粹的恐惧而排成一排。by squattingmouse 上帝创造了自然数。其它的都是高斯的作品。by Ravi 如果G是高斯证明了的定理的集合，那么G的幂集里的元素比G本身要少。by ras341 高斯不使用拉格朗日乘数法，因为对他而言根本不存在约束条件。by Greg A 没有诺贝尔数学奖，因为第一年高斯就把所有奖金拿走了。by Manzano Erd?s 相信上帝手中有一本包含世间所有精妙证明的天书。上帝相信这本书在Gauss 手上。Gauss 把无穷当作归纳证明中的第一个非平凡的情况。 Gauss 不用任何公理就能证明一个定理。 Gauss 不理解什么是P=NP。在他看来，一切都是常数级别的。 Gauss 从后往前列举了一下质数，就知道了质数有无穷多。 Gauss 从来不会用光书本页面边缘的空白。 Gauss 的Erd?s 数为-1。 Gauss 等于自己的幂集。 Gauss 可以化圆为方，再把它变成一个四维球。 Gauss 可以既无重复又无遗漏地走遍K?nigsberg 的七座桥。第2章 随机过程习题及答案
2.9 严平稳随机过程
随机过程分析
高斯随机过程
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
随机过程习题答案
高斯的确是神一般的存在
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