湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥
，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π
B
．
2
C ．12π
D ．24π
2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆2
2
:4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．圆
3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞
B ．(,1]-∞
C ．(0,)+∞
D ．[1,)+∞
4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥
5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ．
163
i B ．6i C ．
203
i D ．20
6．已知x ，y 满足不等式00224
x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ）
A ．[2，4]
B ．[4，6]
C ．[5，8]
D ．[6，7]
7．点,,A B C 是单位圆O 上不同的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点M ，若
,(0,0),2OC mOA nOB m n m n =+>>+=，则AOB ∠的最小值为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
23
π 8．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则3z x y =-+的最大值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．32
-
D ．2-
9．已知集合{}3|20,|0x P x x Q x x -⎧⎫
=-≤=≤⎨⎬⎩⎭
，则()R P Q 为（ ） A ．[0，2)
B ．(2，3]
C ．[2，3]
D ．(0，2]
10．已知3
1
(2)(1)mx x
--的展开式中的常数项为8，则实数m =（ ）
A ．2
B ．-2
C ．-3
D ．3
11．函数
的定义域为（ ）
A ．[，3）∪（3，+∞）
B ．（-∞，3）∪（3，+∞）
C ．[，+∞）
D ．（3，+∞）
12．已知奇函数()f x 是R 上的减函数，若,m n 满足不等式组()(2)0
(1)0()0f m f n f m n f m +-≥⎧⎪
--≥⎨⎪≤⎩
，则2m n -的最小值为（ ）
A ．-4
B ．-2
C ．0
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x ，y 满足条件21210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，则23z x y =-的最大值为__________.
14．若函数()x
f x a =(a ＞0且a ≠1)在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2](1＜m ＜n )，则a 的取值范围是_______．
15．已知x ，y 满足约束条件，则的最小值为___
16．抛物线24y x =的焦点F 到准线l 的距离为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设数列{}n a ，其前n 项和2
3n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.
(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =
-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：2
13
n T ≤<.
18．（12分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是等腰梯形，//AD BC ，2AD =，4BC =，60ABC ∠=︒，PAD △为等边三角形，且点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ，点E 在线段BC 上，且:1:3CE EB =.
（1）求证：DE ⊥平面PAD . （2）求二面角A PC D --的余弦值. 19．（12分）已知函数(
)
()(1)1x
f x x e =+-. （Ⅰ）求()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程； （Ⅱ）已知()f x ax ≥在R 上恒成立，求a 的值.
（Ⅲ）若方程()f x b =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：2111
eb
x x b e -≤++
-. 20．（12分）在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为23的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，2SA SC ==，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.
（1）证明：AC SB ⊥； （2）求三棱锥B CMN -的体积.
21．（12分）已知等比数列{}n a 中，12a =，32a +是2a 和4a 的等差中项． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记2log n
n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
22．（10分）()ln f x x ax =-有最大值，且最大值大于0. （1）求a 的取值范围； （2）当13
a =
时，()f x 有两个零点()1212,x x x x <，证明：2
12 30x x <. (参考数据：ln0.90.1≈-)
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【解析】
首先根据垂直关系可确定OP OA OB OC ===，由此可知O 为三棱锥外接球的球心，在PAB ∆中，可以算出AP 的一个表达式，在OAG ∆中，可以计算出AO 的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【详解】
取AP 中点O ，由AB BP ⊥，AC PC ⊥可知：OP OA OB OC ===，
O ∴为三棱锥P ABC -外接球球心，
过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，连接AH 交BC 于G ，连接OG ，HB ，HC ，
PB PC =，HB HC ∴=，AB AC ∴=，G ∴为BC 的中点
由球的性质可知：OG ⊥平面ABC ，OG//PH ∴，且1
12
OG PH ==． 设AB x =，
2PB =12AO PA ∴=
=
122
AG BC x =
=，∴在OAG ∆中，222AG OG OA +=，
即2
2
12x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，解得：2x =，
∴三棱锥P ABC -的外接球的半径为：AO =
==
∴三棱锥P ABC -外接球的表面积为2412S R ππ==．
故选：C . 【点睛】
本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置. 2、B 【解析】
根据线段垂直平分线的性质，结合三角形中位线定理、圆锥曲线和圆的定义进行判断即可. 【详解】
因为线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，如下图所示：
所以有122PF PM PF MF ==-，而,O N 是中点，连接ON ，故224MF ON ==， 因此21214(4)PF PF F F -=<
当N 在如下图所示位置时有，所以有122PF PM PF MF ==+，而,O N 是中点，连接ON ,
故224MF ON ==，因此12214(4)PF PF F F -=<，
综上所述：有12214(4)PF PF F F -=<，所以点P 的轨迹是双曲线. 故选：B 【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了数学运算能力和推理论证能力，考查了分类讨论思想. 3、B
【解析】
转化2
2ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞为2ln a x x +，构造函数()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，利用导数研究单调性，求
函数最值，即得解. 【详解】
由2
2ln ,[1,)x x x ax x -+∈+∞，可知2ln a x x +．
设()2ln ,[1,)h x x x x =+∈+∞，则2
()10h x x
'
=+>， 所以函数()h x 在[1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)1h x h ==． 所以min ()1a h x =． 故a 的取值范围是(,1]-∞． 故选：B 【点睛】
本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 4、D 【解析】 试题分析：
m α⊥，
,n βαβ∴⊥,故选D.
考点：点线面的位置关系. 5、C 【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果. 【详解】
()()()32326z i a i a a i =-+=++-
∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数， ∴320a +=且60a -≠ 得2
3a =-
，此时203
z i =
故选：C. 【点睛】
本题考查复数的概念与运算，属基础题. 6、B 【解析】
作出可行域，对t 进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解. 【详解】
画出不等式组0024x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+=⎩
所表示的可行域如图△AOB
当t ≤2时，可行域即为如图中的△OAM ，此时目标函数z ＝9x +6y 在A （2，0）取得最大值Z ＝18不符合题意
t ＞2时可知目标函数Z ＝9x +6y 在224x y t x y +=⎧⎨+=⎩
的交点（824
33t t --，）处取得最大值，此时Z ＝t +16
由题意可得，20≤t +16≤22解可得4≤t ≤6 故选：B ． 【点睛】
此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法. 7、D 【解析】
由题意得2212cos m n mn AOB =++∠，再利用基本不等式即可求解． 【详解】
将OC mOA nOB =+平方得2212cos m n mn AOB =++∠，
222211()2331
cos 1122222()
2
m n m n mn AOB m n mn mn mn ---++∠===-+≤-+=-
+⨯ （当且仅当1m n ==时等号成立），
0AOB π<∠<， AOB ∴∠的最小值为
23
π
， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的应用，考查基本不等式的应用，属于中档题． 8、A 【解析】
画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案． 【详解】
画出不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
所表示平面区域，如图所示，
由目标函数3z x y =-+，化为直线3y x z =+，当直线3y x z =+过点A 时， 此时直线3y x z =+在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，
又由2100x y y -+=⎧⎨=⎩
，解得(1,0)A -，
所以目标函数的最大值为3(1)03z =-⨯-+=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
9、B 【解析】
先求出{}{}|2,|03P x x Q x x =≤=<≤，得到{|2}R
P x x =>，再结合集合交集的运算，即可求解.
【详解】
由题意，集合{}3|20,|
0x P x x Q x x -⎧⎫
=-≤=≤⎨⎬⎩⎭
， 所以{}{}|2,|03P x x Q x x =≤=<≤，则{|2}R
P x x =>，
所以(){|23}(2,3]R P Q x x =<≤=.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 10、A 【解析】
先求3
1
(1)x
-的展开式，再分类分析(2)mx -中用哪一项与3
1(1)x
-相乘，将所有结果为常数的相加，即为
31
(2)(1)mx x
--展开式的常数项，从而求出m 的值.
【详解】
31(1)x -展开式的通项为31331
1()(1)r r r r r r r T C C x x
--+=⋅-=⋅-，
当(2)mx -取2时，常数项为0
322C ⨯=，
当(2)mx -取mx -时，常数项为11
3(1)3m C m -⨯⨯-=
由题知238m +=，则2m =. 故选：A. 【点睛】
本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对(2)mx -所取的项要进行分类讨论，属于基础题. 11、A 【解析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】
因为函数，
解得且
；
函数的定义域为
, 故选A ．
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域由不等式
求出.
12、B 【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
奇函数()f x 是R 上的减函数，则()00f =，且2100m n m n m ≤-⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，画出可行域和目标函数，
2z m n =-，即2n m z =-，z 表示直线与y 轴截距的相反数，
根据平移得到：当直线过点()0,2，即0.2m n ==时，2z m n =-有最小值为2-. 故选：B .
【点睛】
本题考查了函数的单调性和奇偶性，线性规划问题，意在考查学生的综合应用能力，画出图像是解题的关键.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
13
【解析】
作出可行域，由23z x y =-得233z y x =-，平移直线233
z
y x =-，数形结合可求z 的最大值. 【详解】
作出可行域如图所示
由23z x y =-得233
z y x =-，则3z
-是直线在y 轴上的截距.
平移直线233
z y x =
-，当直线经过可行域内的点M 时，3z
-最小，此时z 最大.
解方程组210x y x y +=-⎧⎨-=⎩，得13
1
3x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，11,33M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭.
max 111
23333
z ⎛⎫⎛⎫∴=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
故答案为：13
. 【点睛】
本题考查简单的线性规划，属于基础题. 14、 (1，2
e e ) 【解析】
()x f x a =在定义域[m ，n ]上的值域是[m 2，n 2]，等价转化为()x f x a =与2y
x 的图像在(1，+∞)上恰有两个交点，
考虑相切状态可求a 的取值范围. 【详解】
由题意知：()x
f x a =与2y
x 的图像在(1，+∞)上恰有两个交点
考查临界情形：0x
y a =与2y
x 切于0x ，
00
22200
000
(1,)ln 2x e e x a x a e a e a a x ⎧=⎪⇒=⇒∈⎨=⎪⎩． 故答案为：2
(1,)e e . 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 15、 【解析】
先根据约束条件画出可行域，再由表示直线在y 轴上的截距最大即可得解.
【详解】
x ，y 满足约束条件，画出可行域如图所示.目标函数，即.
平移直线，截距最大时即为所求. 点A （，
），
z 在点A 处有最小值：z ＝2，
故答案为：. 【点睛】
本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 16、
【解析】
试题分析：由题意得，因为抛物线2
4y x =，即2
11
,48x y p =
∴=，即焦点F 到准线l 的距离为18
.
考点：抛物线的性质．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）63n a n =-+，1
2n n b +=；（2）详见解析.
【解析】
（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，22
13[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+， 当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2
132b b b =， ∴3
123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，
∴831582q q q -+
=-+⇒=或1
2
q =-（舍去）， ∴21
22n n n b b q -+==；
（2）由（1）可得：111112211
(22)(21)(21)(21)2121
n n n n n n n n n c +++++===-------，
∴123n n T c c c c =+++
+2231111111
(
)()(
)21212121
2121
n n +=-+-++------- 1
1112
1n +=-
<-，显然数列{}n T 是递增数列，
∴123n T T ≥=，即2
13
n T ≤<.）
18、（1）证明见解析（2【解析】
（1）由等腰梯形的性质可证得DE AD ⊥,由射影可得PG ⊥平面ABCD ,进而求证；
（2）取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面APC 与平面DPC 的法向量,再利用数量积求解即可. 【详解】
（1）在等腰梯形ABCD 中,
点E 在线段BC 上,且:1:3CE EB =,
∴点E 为BC 上靠近C 点的四等分点,
2AD =,4BC =,1CE =,
∴DE AD ⊥,
点P 在底面ABCD 上的射影为AD 的中点G ,连接PG ,
PG ∴⊥平面ABCD ,
DE ⊂平面ABCD ,PG DE ∴⊥.
又AD PG G ⋂=,AD ⊂平面PAD ,PG ⊂平面PAD ,
DE ∴⊥平面PAD .
（2）取BC 的中点F ,连接GF ,以G 为原点,GA 所在直线为x 轴,GF 所在直线为y 轴,GP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
由（1）易知,DE CB ⊥,1CE =, 又60ABC DCB ∠=∠=︒,3DE GF ∴=2AD =,PAD △为等边三角形,3PG ∴=,
则(0,0,0)G ,(1,0,0)A ,(1,0,0)D -,3)P ,(3,0)C -,
(3)AC ∴=-,,,(13)AP =-,()3DC =-,
,,3)DP =,
设平面APC 的法向量为111(,,)m x y z =,
则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即1111330
30
x x z ⎧-+=⎪⎨
-=⎪⎩, 令13x =则13y =,11z =,3,)1(3,m ∴=, 设平面DPC 的法向量为222(,,)n x y z =,
则00n DC n DP ⎧⋅=⎨
⋅=⎩,即222230
30
x x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩,
令2x =,则21y =,21z =-,3,1,()1n ∴=-, 设平面APC 与平面DPC 的夹角为θ,则
33cos 13m n m n
θ⋅+=
==⋅⨯
∴二面角A PC D --【点睛】
本题考查线面垂直的证明,考查空间向量法求二面角,考查运算能力与空间想象能力. 19、（Ⅰ）()11e
y x e
-=+；
（Ⅱ）1a =；（Ⅲ）证明见解析 【解析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可.
（Ⅱ）求导分析函数的单调性,并构造函数()()h x f x ax =-根据单调性分析可得()h x 只能在0x =处取得最小值求解即可.
（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）的结论可知()()11e f x x e -≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立,再分别设()11e
b x e
-=+ b x =的解为3x 、4x .再根据不等式的性质证明即可. 【详解】
（Ⅰ）由题()'()11x x
f x e e x =-++,故1
'(1)11
1e
f e -=
=---.且(1)0f -=. 故()f x 在点(1,(1))f --处的切线方程为()11e
y x e
-=
+. （Ⅱ）设()()()()
110x
h x f x ax x e ax =-=+--≥恒成立,故()()'21x
h x x e a =+--.
设函数()()2x
x x e ϕ=+则()()'3x
x x e ϕ=+,故()()2x
x x e ϕ=+在(),3-∞-上单调递减且()0x ϕ<,又()x ϕ在
()3,-+∞上单调递增.
又()02ϕ=,即()'01h a =-且()00h =,故()h x 只能在0x =处取得最小值, 当1a =时，此时()()'22x
h x x e =+-,且在(),0-∞上()'0h x <,()h x 单调递减.
在()0,∞+上()'0h x >,()h x 单调递增.故()()00h x h ≥=,满足题意；
当1a >时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解00x >,且()h x 在()00,x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾；
当1a <时，此时()()21x
x x e a ϕ=+=+有解030x -<<,且()h x 在()0,0x 上单调递减,与()(0)h x h ≥矛盾；
故1a =
（Ⅲ）()()'()2111x x x e x f x x e e ++=-+=-.由（Ⅰ）,()2'()1x
x f x e +=-在(),3-∞-上单调递减且'()0f x <,
又
'()f x 在()3,-+∞上单调递增,故'()0f x =最多一根.
又因为()1
1
1'(1110)2f e e ---+=-=--<,()0
02'(010)1f e =-+=>, 故设'()0f x =的解为x t =,因为()()'1'00f f -⋅<,故()1,0t ∈-. 所以()f x 在(),t -∞递减,在(),t +∞递增.
因为方程()f x b =有两个实数根12,x x ,故()b f t > . 结合（Ⅰ）（Ⅱ）有()()11e
f x x e
-≥
+,()f x x ≥在R 上恒成立. 设()11e
b x e
-=
+ 的解为3x ,则31x x ≤；设b x =的解为4x ,则42x x ≥. 故311eb
x e
=
--,4x b =. 故214311
eb
x x x x b e -≤-≤++-,得证. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.
20、（1）证明见解析；（2【解析】
（1）取AC 中点D ，连接SD ，DB ，证明AC ⊥平面SDB ，由线面垂直的性质可得AC SB ⊥； （2）由B CMN N CMB V V --=，即可求得三棱锥B CMN -的体积． 【详解】
解：（1）证明：取AC 中点D ，连接SD ，DB .
因为SA SC =，AB BC =，所以AC SD ⊥且AC BD ⊥， 因为SD
BD D =，SD ⊂平面SDB ，BD ⊂平面SDB ，所以AC ⊥平面SDB .
又SB ⊂平面SDB ，所以AC SB ⊥；
（2）解：因为AC ⊥平面SDB ，AC ⊂平面ABC ，所以平面SDC ⊥平面ABC ， 过N 作NE BD ⊥于E ，则NE ⊥平面ABC ， 因为平面SAC ⊥平面ABC ，SD AC ⊥，平面SAC 平面ABC AC =，SD ⊂平面SAC ，所以SD ⊥平面ABC ，
又因为NE ⊥平面ABC ，所以//NE SD ， 由于SN NB =，所以NE SD = 所以33
CMB S CM BM ∆=⋅=
所以13313
32B CMN N CMB CMB V V S NE --∆==⋅==
【点睛】
本题考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握线面垂直的判定与性质，属于中档题．
21、（1）2n
n a =（2）()1
212
n n T n +=+-
【解析】
（1）用等比数列的首项和公比分别表示出已知条件，解方程组即可求得公比，代入等比数列的通项公式即可求得结果； （2）把（1）中求得的结果代入b n ＝a n •log 2a n ，求出b n ，利用错位相减法求出T n ． 【详解】
(1)设数列{}n a 的公比为q ， 由题意知：()32422a a a +=+，
∴32220q q q -+-=，即()()
2
210q q -+=.
∴2q
，即1222n n n a -==.
(2)2n
n b n =，
∴23
1222322n n T n =+++
+.①
()23412122232122n n n T n n +=+++
+-+.②
①－②得1
2
3
4
1222222n n n T n +-=++++
+-
()1212n n +=---
∴()1
212n n T n +=+-.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和等差中项的概念以及错位相减法求和，考查运算能力，属中档题． 22、（1）10,e ⎛
⎫
⎪⎝⎭
；（2）证明见解析. 【解析】
（1）求出函数()y f x =的定义域为()0,∞+，()1ax
f x x
=
'-，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析函数()y f x =的单调性，求出函数()y f x =的最大值，即可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围； （2）利用导数分析出函数()y f x =在()0,3上递增，在()3,+∞上递减，可得出1203x x <<<，由
()()12112221113030103ln ln 303x f x f f x f x x x x ⎛⎫
⎛⎫-=-
=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，构造函数()210
3ln ln 303x g x x x =-+-，证明出
()10g x >，进而得出()22130f x f x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，再由函数()y f x =在区间()3,+∞上的单调性可证得结论.
【详解】
（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，且()1ax
f x x
='-. 当0a ≤时，对任意的0x >，()0f x '>，
此时函数()y f x =在()0,∞+上为增函数，函数()y f x =为最大值； 当0a >时，令()0f x '=，得1x a
=. 当1
0x a
<<
时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增； 当1
x a
>
时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减. 所以，函数()y f x =在1
x a
=
处取得极大值，亦即最大值，
即()max 1ln 10f x f a a ⎛⎫
==-->
⎪⎝⎭
，解得10a e <<. 综上所述，实数a 的取值范围是1
0a e
<<； （2）当13
a =
时，()1
ln 3f x x x =-，定义域为()0,∞+，
()11333x
f x x x
-'=-=，当03x <<时，()0f x '>；当3x >时，()0f x '<.
所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,3，单调递减区间为()3,+∞. 由于函数()y f x =有两个零点1x 、2x 且12x x <，1203x x ∴<<<，
()()12112222111130303010ln ln 3x f x f f x f x x x x x ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=-
=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭11
21103ln ln 303x x x =-+-， 构造函数()2
10
3ln ln 303x g x x x =-
+-，其中03x <<， ()3233
3120960
33x x g x x x x
-+'=--=-， 令()3
2
960h x x x =-+，()()2
31836h x x x x x '=-=-，当03x <<时，()0h x '<，
所以，函数()y h x =在区间()0,3上单调递减，则()()360h x h >=>，则()0g x '<. 所以，函数()y g x =在区间()0,3上单调递减，
103x <<，()()1101
33ln 31ln 30ln 0.9099
g x g ∴>=-+
-=+>， 即()()()211221130300f x f f x f g x x x ⎛⎫
⎛⎫
-=-
=> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，即()22130f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 103x <<，21303010393
x ∴
>=>且23x >，而函数()y f x =在()3,+∞上为减函数， 所以，221
30x x <，因此，2
1230x x <. 【点睛】
本题考查利用函数的最值求参数，同时也考查了利用导数证明函数不等式，利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于难题.
湖南省百所重点高中2024学年高三3月线上第二次月考数学试题试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥ ，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B ． 2 C ．12π D ．24π 2．已知定点1(4,0)F -，2(4,0)F ，N 是圆2 2 :4O x y +=上的任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 3．若不等式22ln x x x ax -+对[1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,)+∞ D ．[1,)+∞ 4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥ D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ） A ． 163 i B ．6i C ． 203 i D ．20 6．已知x ，y 满足不等式00224 x y x y t x y ≥⎧⎪≥⎪ ⎨+≤⎪⎪+≤⎩，且目标函数z ＝9x +6y 最大值的变化范围[20，22]，则t 的取值范围（ ） A ．[2，4] B ．[4，6] C ．[5，8] D ．[6，7]
衡阳市八中2024届高三第二次月考 政治试题 注意事项：本试卷满分为100分，时量为75分钟 一、单选题（每小题3分，共48分） 1．列宁说：“所谓阶级，就是这样一些大的集团，这些集团在历史上一定社会生产体系中所处的地位不同，对生产资料的关系不同，在社会劳动组织中所起的作用不同，因而领得自己所支配的那份社会财富的方式和多寡也不同。”由此，我们判断一个阶级是否是统治阶级，最主要是看其（） A.在社会劳动组织中的作用C.对生产资料的占有程度 B.对社会财富的拥有程度D.在社会生产体系中的地位 2．马克思在《资本论》中指出：“由于资本积累而提高的劳动价格，实际上不过表明，雇佣工人为自己铸造的金锁链已经够长够重，容许把它略微放松一点。“这说明（） ①资产阶级为维持自己的统治不断调和阶级矛盾 ②资本家的措施改变了资本主义的剥削关系 ③资产阶级剥削工人采用了更为隐蔽的手段 ④工人阶级实质上成为受苦最深的阶级 A.①②8.①⑧ C.②④ D.③④ 3．在党的百年奋斗史中，党团结带领人民艰辛探索，从我国国情出发，坚持走自己的路，领导古老的东方大国创造出人类历史上前所未有的发展奇迹。以下选项中符合从我国国情出发，坚持走自己的路的是（） ①在共产党领导下，建立无产阶级政权，使全体社会成员全面发展 ②中国特色社会主义进入新时代，我国发展站在了新的历史方位上 ⑧以农村包围城市、武装夺取政权、最后夺取全国胜利的新民主主义道路 ④到本世纪中叶，全面建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国 A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 4．李大钊满怀激情地赞扬十月革命是“20世纪中世界革命的先声”。他预言：“试看将来的环球，必是赤旗的世界。”1919年毛泽东在湘江评论》上发表民众的大联合》一文，热情歌项十月革命的胜利。十月革命的胜利（） ①为社会主义制度在中国建立提供了具体的方法论的指导 ②使中国先进分子看到了解决中国问题的出路 ③指导中国共产党领导人民开始进行社会主义革命 ④使中国出现了初步具有共产主义思想的革命者 A.①② B.②④ C.③④ D.①③ 5.2023年4月7日下午，北京市学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想主题教育工作会议召开。市委书记尹力指出，在全党开展学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想主题教育，是推动贯彻党的二十大战略部署的有力举措，是深入推进新时代党的建设新的伟大工程的重大部署，开展这一主题教育活动能（） ①拓展中国特色社会主义的内涵和外延 ③确保实现民族独立、人民解放和国家富强②凝心铸魂，使我们党充满蓬勃生机和活力④学思践悟，增进对党的创新理论成果认同 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
三湘名校教育联盟2021-2022学年度3月大联考高三数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知全集[]3,1-=U ，集合{} []2,1,1ln -=<=B x x A ，则=)(B A C U （ ） A.[](]3,20,1 - B.[][]3,0,1e - C.[)[]3,20,1 - D.[](]e ,20,1 - 2.已知复数z 满足i z i 22)1(2 +=-，则=⋅z z （ ） A.2 B.0 C.i +-1 D.i 2 3.某市政府部门为了解该市的“全国文明城市”创建情况，在该市的12个区县市中随机抽查到了甲、乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核.在两个县的量化考核成绩（均为整数）中各随机抽取20个，得到如图数据（用频率分布直方图估计总体平均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）.关于甲乙两县的考核成绩，下列结论正确的是（ ） A.甲县平均数小于乙县平均数 B.甲县中位数小于乙县中位数 C.甲县众数不小于乙县众数 D.不低于80的数据个数，甲县多于乙县 4.若x x x a x f cos 4 2sin )21()(+--=是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A.⎪⎭ ⎫⎢⎣⎡+∞,45 B.(]1,-∞- C.⎥⎦ ⎤ ⎝ ⎛∞-4 5, D.[)+∞,1 5.已知4 0π θ<<，设θθθ θ2sin ,) 2sin 1(22cos ,2tan =-==c b a ，则的大小关系是（ ） A.c b a >> B.a c b >> C.c a b >> D.b a c >>
湘阴县知源高级中学2023届高三第二次月考 数学科试卷 满分：150分 考试时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x|x >−1}，B ={x|x <2}，则A ∪(∁R B)= ( ) A. {x|x >−1} B. {x|x ≥−1} C. {x|x <−1} D. {x|−1
雅礼中学2023届高三月考试卷(二) 数学 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,时量120分钟，满分150分. 第I 卷 一、选择题:本题共8小题 ,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合{}220,{2}M x x x N =--=<∣, 则M N ⋂= A. (0,2) B. [0,2] C. [-1,4) D. [-1,2] 2. 在平面直角坐标系xOy 中, 以点(0，1)为圆心且与直线10x y --=相切的圆的标准方程为 A. 22(1)2x y +-= B. 22(1)1x y -+= C. 22(1)x y +-= D. 22(1)4x y -+= 3．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的 Logistic 模型：-0.23(-53) ()1t K I t e = +，其中K 为最大确诊病例数.当()* 0.95I t K =时， 标志着已初步遏制疫情，则*t 约为(ln193)≈ A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 4．在某种信息传输过程中，用6个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息.在所有信息中随机取一信息，则该信息恰有2个1的概率是 A ．516 B ．11 32 C ． 1532 D ． 1516 5. 已知圆锥的母线长为 2 , 轴截面顶角的正弦值是 1 2 , 过圆锥的母线作截面,则截面面积的最大值是 A. 1 C. 1 或 2 D. 2 6. 设函数2()(,,)f x ax bx c a b c =++∈R , 若1x =-为函数()()x g x e f x =的一个极值点, 则下列图象不可能为()y f x =的图象的是
湖南省百所重点中学2024年高三统一质量检测试题数学试题试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 2 8 c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >> D ．b a c >> 2．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线 CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ） A ．m n = B ．2m n =+ C ．m n < D ．8m n +< 3．已知实数ln3 33,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．b a c << D ．a c b << 4．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2() e () x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( ) A ．20,3 ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2,03 ⎡⎤-⎢⎥⎣ ⎦ C ．[0,)+∞ D ．(,0]-∞ 5．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ） A ． 689 8 B ． 689 6 C ． 26 8 D ． 526 6 6．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+的图象的一条对称轴为12 x π =，将函数()f x 的图象向右平行移动 4 π 个单位长度后得到函数()g x 图象，则函数()g x 的解析式为（ ）
福建省惠安一中等重点中学2024届高三月考试卷（二）数学试题 请考生注意： 1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，38 4b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，|(0)| c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c << 2．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲 线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ． 13 2 B ．5 C ．25 D ．13 3．函数()()23 ln 1x f x x += 的大致图象是 A ． B ． C ． D ． 4．已知复数12i z i -=-（i 为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．31,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的单调函数的是( ) A ．()() ln 1f x x =+ B ．()1 f x x -= C ．()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ D ．()() ()()2,00,01,02x x x f x x x ⎧<⎪⎪⎪ ==⎨⎪⎛⎫⎪- > ⎪⎪⎝⎭ ⎩
湖南省郴州市第二中学2024学年数学高三上期末达标检测试题 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( ) A ． 23 B ． 163 C ．6 D ．与点O 的位置有关 2．已知b a b c a 0.212 1()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a << 3．若实数x 、y 满足2 1y x y y x ≤⎧⎪ +≥⎨⎪≥⎩ ，则2z x y =+的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．2 D ． 32 4．已知全集，，则（ ） A ． B ． C ． D ． 5．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6 π ，则它的一条对称轴方程可能是（ ） A ．6 x π = B ．3 x π = C ．12 x π = D ．512 x π= 6．已知函数2 ln(2),1, ()1,1, x x f x x x -⎧=⎨ -+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎡⎤ - ⎢⎥⎣⎦ B ．[0,1] C ．[1,)+∞ D ．[0,2] 7．设全集()(){} 130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )
2024学年湖南省株洲市茶陵县二中高三下学期期末教学质量检测试题（一模）数学试题 请考生注意： 1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若双曲线()22210x y a a -=>的一条渐近线与圆()2 222x y +-=至多有一个交点，则双曲线的离心率的取值范围 是（ ） A ．) +∞ B ．[)2,+∞ C ．( D ．(]1,2 2．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为9 8 ，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30 C ．31 D ．32 3．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1 ()(2)2 f x f x = +，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈） ，且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．1,32⎡⎫ +∞⎪⎢ ⎣⎭ C ．3,64⎡⎫ +∞⎪⎢ ⎣⎭ D ．7,64⎡⎫ +∞⎪⎢ ⎣⎭ 4．已知函数()ln a f x x a x =- +在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤ -⎢ ⎥-⎣⎦ B ．e ,11e ⎡⎫ ⎪⎢ -⎣⎭ C ．e ,11e ⎡⎫ -⎪⎢ -⎣⎭ D ．[ )1,e - 5．若函数2()x f x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2 4 ( ,)e +∞ B ．2 4(0, )e C ．2(0,4)e D ．(0,)+∞ 6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足1 3 AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ． 7388 BA BC - B ．3788BA BC - C ．3788BA BC + D ．7388 BA BC + 8．设集合{} 2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为
2024学年湖南省茶陵县第三中学高三年级摸底考试（数学试题）试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数()(0)f x x x x =- >，()x g x x e =+，()()ln 0h x x x x =+>的零点分别为1x ，2x ，3x ，则（ ） A ．123x x x << B ．213x x x << C ．231x x x << D ．312x x x << 2．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ） A ．112- B ．2360 C ．1120 D ．4360 3．已知函数()()0x e f x x a a =->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,e C ．(),e +∞ D ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知a ，b ，R c ∈，a b c >>，0a b c ++=．若实数x ，y 满足不等式组040x x y bx ay c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≥⎩，则目标函数2z x y =+（ ） A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，有最小值 C ．无最大值，有最小值 D ．无最大值，无最小值 5．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6- B ．6 C ．5 D ．5- 6．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )． A ．12 B 5 C 5 D ．5 7．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政
湘西市重点中学2024届高三3月份测试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若实数,x y 满足的约束条件03020y x y x y ≥⎧⎪ +-≤⎨⎪-≥⎩ ，则2z x y =+的取值范围是（ ） A ．[ )4+∞， B ．[] 06， C ．[]04， D ．[)6+∞， 2．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.1 60dB L =，275dB L =，那么 1 2 I I =（ ） A ．4 510 B ．4 510- C ．32 - D ．3 210- 3．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3578122()3()66a a a a a ++++=，则14S = A ．56 B ．66 C ．77 D ．78 4．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、 B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知抛物线2 ()20C x py p ：＝＞的焦点为1(0)F ， ，若抛物线C 上的点A 关于直线22l y x +：＝对称的点B 恰好在射线()113y x ≤＝ 上，则直线AF 被C 截得的弦长为（ ） A ． 919 B ． 100 9 C ． 118 9 D ． 127 9 ()()
湖南省株洲市醴陵市第二中学2024学年高三5月毕业考试数学试题理试题 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x = 交于点N ，3 OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()2 2 211x y -+-= B ．()()22 211x y +++= C ．()()2 2 215x y -+-= D ．()()2 2 215x y +++= 3．已知10 1 1M dx x =+⎰，20 cos N xdx π =⎰，由程序框图输出的S 为（ ） A ．1 B ．0 C ． 2 π D ．ln 2 4．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j i a a 仍是该数列中的项，则（ ） A ．593,36a S >< B ．593,36a S >> C ．693,36a S >> D ．693,36a S ><
2024届湖南明德中学高三4月月考（模拟）数学试题试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设x ∈R ，则“|1|2x -< “是“2x x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必条件 2．已知函数()cos 221f x x x =++，则下列判断错误的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的值域为[1,3]- C ．()f x 的图象关于直线6 x π = 对称 D ．()f x 的图象关于点,04π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 对称 3．已知函数()2 121f x ax x ax =+++-（a R ∈）的最小值为0，则a =（ ） A ． 1 2 B ．1- C ．±1 D ．12 ± 4．在三棱锥P ABC -中，AB BP ⊥，AC PC ⊥，AB AC ⊥，PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（ ） A ．3π B C ．12π D ．24π 5．已知函数()cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12 x π =- B ．12 x π = C ．3 x π =- D ．3 x π = 6．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序， 得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）
2024学年江西省新余四中高三下学期第二次月考数学试题文试题 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A ．-1 B ．1 C ．0 D ．2 2．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面 ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ） A ．αβγ≥≥ B ．βαγ≥≥ C ．αγβ≥≥ D ．γαβ≥≥ 3．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( ) A ．16163 π+ B ．8163 π+ C ． 32833 π+ D ． 321633 π+ 4．已知函数()(),1 2,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩ ，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）
A ．()1,11,12e e -⎛⎫ - ⎪⎝⎭ B ．(]1,11,12e e -⎛⎫ - ⎪⎝⎭ C ．()1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．(]1,11,13e e -⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ） A ．甲的数据分析素养高于乙 B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C ．乙的六大素养中逻辑推理最差 D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 6．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-， 上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1） 7．设m ，n 均为非零的平面向量，则“存在负数λ，使得m n λ=”是“0m n ⋅<”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 8．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ． 17 21 B ． 1928 C ． 79 D ． 2328 9．已知函数()sin(2)4f x x π =- 的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4 g x x π =+的图象，则ϕ的最小
2024学年全国百强名校高三下学期第二次联考试题数学试题试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈ 的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式2 3112 V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ． 227 B ． 157 50 C ． 289 D ． 337 115 2．已知集合{}|0A x x =<，{} 2 |120B x x mx =+-=，若{}2A B =-，则m =（ ） A ．4 B ．－4 C ．8 D ．－8 3．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ） A ．[0,4] B ．{0,2,4} C ．{2,4} D ．[2,4] 4．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x ' ，当0x ≥时，恒有 ())03 (x f f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A ．{|31}x x -<<- B ．1 {|1}3 x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3 x >- 5．将函数 ()2cos 2f x x x =-向左平移6π 个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 对称 C ．图象关于直线6x π = 对称，在,123ππ⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ 上的最小值为1
湖南省茶陵县第三中学2024届高中毕业班第二次质量检测试题数学试题 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛ ⎫ += ⎪⎝ ⎭ （ ） A ．1 B ． 22 C 62 - D 62 +3．已知复数168i z =-，2i z =-，则1 2 z z =（ ） A ．86i - B ．86i + C ．86i -+ D ．86i -- 4．下列四个图象可能是函数35log |1| 1 x y x += +图象的是（ ）
A ． B ． C ． D ． 5．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两 点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ） A 6 B ． 34 C ． 12 D 36．下列与函数y x = 定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2 x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2 1log y x = D ．1 4y x = 7．总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为
长沙市一中2023届高三月考试卷（三） 数学 时量：120分钟满分：150分 得分__________. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{} { } ln ,e 1x A x y x B y y ====-∣∣，则A B ⋃=（ ） A.R B.[)0,∞+ C.()1,∞-+ D.∅ 2.已知复数z 满足()1i 22i z -=+，则z 的共轭复数z =（ ） A.2 B.2- C.2i D.2i - 3.过点()3,1作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A.3450x y --= B.34130x y +-= C.34130x y +-=或3x = D.3450x y --=或3x = 4.设m n ､是空间两条不同直线，αβ､是空间两个不同平面，则下列选项中错误的是（ ） A.当n α⊥时，“n β⊥”是“αβ∥的充要条件 B.当m α⊂时，“m β⊥”是“”αβ⊥的充分不必要条件 C.当m α⊂时，“//n α”是“//m n ”的必要不充分条件 D.当m α⊂时，“n α⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件 5.已知ln ,2,2tan 13a b c π ⎫ ===⎪⎪⎭ ，则,,a b c 的大小关系是（ ） A.c b a >> B.a b c >> C.b a c >> D.a c b >> 6.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11B C ，1BB 的中点， G 为面对角线1A D 上的一点，且()101DG DA λλ=，若1 AC ⊥平面EFG ，则λ=（ ） A. 14 B.13 C.4 D.12 7.已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线
湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高三上学期月考（二） 数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知全集U =R ，集合{}2,3,4A =，集合{}0,2,4,5B =，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}2,4 B ．{}0 C ．{}5 D ．{}0,5 2．若i 1i a z +=-（i 为虚数单位）是纯虚数，则=a （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 3．已知函数()y f x =的图像在点()()33P f ,处的切线方程是27y x =-+，则 ()()33f f '-=（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3 4．命题p ：“2R,240x ax ax ∃∈+-≥”为假命题，则a 的取值范围是（ ） A ．40a B ．40a -≤< C ．30a -≤≤ D ．40a -≤≤ 5．当102 x <≤时，4log x a x <，则a 的取值范围是（ ） A ．⎛ ⎝⎭ B ．⎫⎪⎪⎝⎭ C ． D ．2) 6．已知函数π()sin (0)3f x x ωω⎛ ⎫=+> ⎪⎝ ⎭在π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．81114,4,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ B ．111417,4,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C ．111417,5,333⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ D ．141720,5,333⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第