第十一章一元线性回归
要求:
（1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。
（2）计算产量与生产费用之间的线性相关系数。
（3）对相关系数的显著性进行检验（a= 0.05 ）,并说明二者之间的关系强度。
解：⑴利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下：
产量（台）
从散点图的形态可知，产量与生产费用之间存在正的线性相关。
（2）利用Excel的数据分析中的相关系数功能，得到产量与生产费用的线
性相关系数r = 0.920232。
（3）计算t统计量，得到t = 7.435453,在a= 0.05的显著性水平下，临界
值为2.6337,统计量远大于临界值，拒绝原假设，产量与生产费用之间存在显著的正线性相关关系。r大于0.8,高度相关。
11.2学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：h）和考试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，得到的数据如下：
复习时间x考试分数y
2064
1661
3484
2370
2788
3292
1872
2277
要求：
（1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态
（2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
解：⑴利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下：
考试分数Y
从散点图的形态来看，考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。
（2）r = 0.862109,大于0.8,高度相关。
11.3根据一组数据建立的线性回归方程为y =10-0.5x
要求:
(1)解释截距氏的意义。
(2)解释斜率？意义。
(3)计算当x = 6时的E(y)。
解：(1)在回归模型中，一般不能对截距项赋予意义C
(2)斜率的意义为：当x增加1时，y减小0.5
(3)当x = 6 时，E(y) = 10—0.5 * 6 = 7。
11.4 设SSR = 36, SSE = 4, n = 18。
要求：
(1)计算判定系数R2并解释其意义。
(2)计算估计标准误差S e并解释其意义。
解: SST = SSR+SSE = 36+4 = 40
2
R = SSR / SST = 36 /40 = 0.9意义为自变量可解释因变量变异的90%，自因变量与自变量之间存在很高的线性相关关系。
⑵"霄=0.5,这是随机项的标准误差的估计值。
11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运送距离和运送时间的关系，因此，他抽出了公司最近10辆卡车运货记录的随机样本，得到运送距离(单位: km)和运送时间(单位：天)的数据如下：
•运送时间y
要求：
（1） 绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2） 计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
（3） 利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义 解：
（1）利用Excel 绘制散点图，如下：
运送时间y
从散点图的形态来看，运送时间和运送距离之间存在正的线性相关关系。 （2） 计算的相关系数为0.9489,这是一个很高的相关系数。 （3） 用OLS 方法估计得到模型参数为 凤=0.118129,阳0.003585, 回归方程为：运送时间 =0.118129 + 0.003*运送距离，意义为：运送距离 每增加1km ,运送时间增加0.003383天，即0.086小时。
11.6下面是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP ）和人均消费水 平的统计数据:
地区
人均GDP （元）
人均消费水平（元）
北京 22460 7326 辽宁 11226 4490 上海 34547 11546 江西 4851 2396 河南 5444 2208 贵州 2662 1608 陕西
4549
2035
•人幻消费水平（元）
要求：
（1） 人均GDP 作自变量，人均消费水平左因变量，绘制散点图，并说明 者之间的关系形态。
（2） 计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 （3） 禾U 用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 （4） 计算判定系数，并解释其意义。
（5） 检验回归方程线性关系的显著性（a= 0.05）。
（6） 如果某地区的人均 GDP 为5000元，预测其人均消费水平。
（7） 求人均GDP 为5000元时，人均消费水平95%的置信区间和预测区间 解： （1）利用Excel 绘制的散点图如下：
人均消费水平（元）
从散点图来看，人均消费水平与人均GDP 之间存在很强的正线性相关关系。 （2） r = 0.998,高度相关。
（3）用OLS 方法估计得到模型参数为?0= 734.69, ?= 0.308,回归方程 为： 人均消费水平 =734.69 + 0.308*人均GDP ，
意义为：人均GDP 每增加1元，人均消费水平增加0.31元，此值即为经 济学中的边际消费倾向。这里截距可解释为人均 GDP 为0时，居民的消费支出 为734元/年，即经济学中的自发支出。
（4） 判定系数R 2 = 0.996,人均消费水平变异的99%可由人均GDP 来解释。 （5） 这是一个一元线性回归模型，只需要检验斜率系数的显著性即可。斜 率
系数的t 统计量
t 二？, S e =0.308/0.0085=36.49,
显著性水平为0.05,自由度为7-2=5，临界值为3.16,统计量远大于临界值，是高度显著的。
（6）将人均GDP代入到估计的回归方程，计算得到人均消费水平的期望值为2278元。
（7）查表得—（7 -2）=2.570582，点估计值为2278元，标准误差为247.3035, 人均消费水平95%的置信区间为
H 52539717
2278 一2.570582*247.3035* 2278 一287.27
V 7 854750849.7
即（1990.73,2565.27。
而人均消费水平95%的预测区间为
/1 52539717
2278 —2.570582*247.3035* *1 2278 _ 697.21
V 7 854750849.7
即区间（1580.79, 2975.21）,对个别值的预测精确度比对总体均值的预测低。
11.7随机抽取10家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行了调查，所得数据如下：
航空公司编号航班正点率（% ）投诉次数（次）181.821
276.658
376.685
475.768
573.874
672.293
771.272
870.8122
991.418
1068.5125要求:
(1)绘制散点图，说明二者之间的关系形态。
(2)用航班正点率左自变量，顾客投诉次数左因变量，求出估计的回归方程，并解释回归系数的意义。
(3)检验回归系数的限制性(若0.05 )。
(4)如果航班正点率为80%，估计顾客投诉次数。
(5)求航班正点率为80%时，顾客投诉次数95%的置信区间和预测区间解：(1)
散点图如下。
投诉次数
从散点图的形态来看，航班正点率与顾客投诉次数之间有负的线性相关关系。
(2)用Excel回归分析，得到估计的回归方程如下：
顾客投诉次数=430.1892 -4.70062*航班正点率
斜率系数为-4.70062,表示航班正点率提高1个百分点，顾客投诉次数减少4.7次。符号为负，与理论相符。截距系数一般不赋予意义。
(3)一元回归只要检验斜率系数的显著性即可。斜率西数的t统计量为
t=^Js e= -4.70062/ 0.947894=—4.95902
相应的P值为0.001108，小于0.05, t统计量是显著的。
(4)由估计的回归方程，得到果航班正点率为80%，估计顾客投诉次数为430.1892 - 4.70062*80 = 54.1396 （次）
(5)查表得t一.2(10 -2) =2.306004，点估计值为54.1396元，标准误差为18.887,故置信区间为
H~17.1396
54.1396 _ 2.306004*18.887 , +----------- =54.1396 _ 16.47989
V10 397.024
即区间(37.6597,70.61949。
而预测区间为
54
・1396
心
06004
*
18
.
887■1+110 +爲396曲1396一46.56756
即区间(7.57204,100.7071)
11.8下面是20个城市写字楼由出租率和每平方米月租金的数据。
地区编号出租率（%）每平方米月租金（元）170.699
269.874
373.483
467.170
570.184
668.765
763.467
873.5105
971.495
1080.7107
1171.286
1262.066
1378.7106
1469.570
1568.781
1669.575
1767.782
1868.494
1972.092
2067.976设月租金为自变量，出租率为因变量，用Excel进行回归，并对结果进行解释和分析
解：回归分析结果如下:
回归分析残差
总计
1223.1223.130.93 2.8E-05
403403318
18
129.87.213
452622
352.9
855
Coeffi 标准
cients 误差
t Stat
P-val
ue
Lower Upper 下限
95% 95% 95.0%
In tercept
X Variable 1 49.317 3.80512.96 1.45E
41.32364
57.3141.323
68016123-1017264 0.24920.044 5.561 2.8E-
0.15508
0.3430.1550
2381761053658
SUMMARY OUTPUT
回归统计
Multiple R 0.7950
8
R Square 0.6321
51
Adjusted R0.6117 Square15
标准误差2.6858
19
观测值20
方差分析
df SS MS F Sig nifica
nee F
结果分析如下：
（1）斜率系数的t统计量在95%的显著性水平下是高度显著的，斜率系数等于0.2492,表示每平方米月租金提高1元，出租率将提高0.2492个百分点。
（2）判断系数R2等于6321，表示出租率的变异可由月租金解释63.21%。判断系数不算很高，可能还有其它的变量影响出租率。
11.9某汽车生产商欲了解广告费用（x）对销售量（y）的影响，收集了过
19
去12年的有关数据。通过计算得到下面的有关结果: 方差分析表
参数估计表
要求：
（1）完成上面的方差分析表。
（2）汽车销售量的变差中有多少是由广告费用的变动引起的?
（3）销售量与广告费用之间的相关系数是多少？
（4）写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。
（5）检验线性关系的显著性（0=0.05）。
解：（1）此为一元线性回归，由自由度可知，样本容量n = （11+1）=12由此可计算各自由度和SS。进而计算各均方误，最后计算出F统计量
（MSR/MSE）。结果如下：
方差分析表
（2）计算判断系数,
R2=叠二遊遊
=0.9755
SST 1642866.67
表明销售量的变异有97.55%是由广告费用的变东引起的。
（3）一元线性回归模型中，相关系数等于判断系数的平方根，即r = 0.9877（4）根据估计得到的模型参数，回归方程如下：
y? =363.6891 1.420211x i
表示广告费用增加1单位，销售量将平均增加1.42单位。
（5）由参数估计表可知，斜率系数的t统计量等于19.97749,这是一个在
显著性水平0.05下高度显著的统计量。
11.10根据下面的数据建立回归方程，计算残差，判断系数R2，估计标准误差S e,并分析回归方程的拟合优度。
x y
1547
836
1956
1244
521
第11章一元线性回归 三、选择题 1.具有相关关系的两个变量的特点是（）。 Ａ. 一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定 Ｂ. 一个变量的取值由另一个变量唯一确定 Ｃ. 一个变量的取值增大时，另一个变量的取值也一定增大 Ｄ. 一个变量的取值增大时，另一个变量的取值肯定变小 2.下面的各问题中，哪个不是相关分析要解决的问题（）。 Ａ. 判断变量之间是否存在关系 Ｂ. 判断一个变量数值的变化对另一个变量的影响 Ｃ. 描述变量之间的关系强度 Ｄ. 判断样本所反映的变量之间的关系能否代表总体变量之间的关 3.下面的假定中，哪个属于相关分析中的假定（）。 Ａ. 两个变量之间是非线性关系 Ｂ. 两个变量都是随机变量 Ｃ. 自变量是随机变量，因变量不是随机变量 Ｄ. 一个变量的数值增大，另一个变量的数值也应增大 4.根据下面的散点图，可以判断两个变量之间存在（） Ａ. 正线性相关关系Ｂ. 负线性相关关系 Ｃ. 非线性关系Ｄ. 函数关系 5.根据下面的散点图，可以判断两个变量之间存在（） Ａ. 正线性相关关系Ｂ. 负线性相关关系 Ｃ. 非线性关系Ｄ. 函数关系 6.如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称两个变量之间为（）。Ａ. 正线性相关相关Ｂ. 负线性相关关系
Ｃ. 线性相关关系 Ｄ. 非线性相关关系 7.如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上称为两个变量之间为 （ ）。 Ａ. 完全相关关系 Ｂ. 正线性相关关系 Ｃ. 非线性相关关系 Ｄ. 负线性相关关系 8.下面的陈述哪一个是错误的 （ ）。 Ａ. 相关系数是度量两个变量之间线性关系强度的统计量 Ｂ. 相关系数是一个随机变量 Ｃ. 相关系数的绝对值不会大于 １ Ｄ. 相关系数不会取负值 9.根据你的判断，下面的相关系数取值哪一个是错误的 （ ）。 Ａ. -0.86 Ｂ. 0.78 Ｃ. 1.25 Ｄ. 0 10.下面关于相关系数的陈述中哪一个是错误的 （ ）。 Ａ. 数值越大说明两个变量之间的关系就越强 Ｂ. 仅仅是两个变量之间线性关系的一个度量，不能用于描述非线性关系 Ｃ. 只是两个变量之间线性关系的一个度量，不一定意味着两个变量一定有因果关系 Ｄ. 绝对值不会大于1 11.变量x 与y 之间的负相关是指 （ ）。 Ａ. x 值增大时y 值也随之增大 Ｂ. x 值减少时y 值也随之减少 Ｃ. x 值增大时y 值随之减少,或x 值减少时y 值随之增大 Ｄ. y 的取值几乎不受x 取值的影响 12.如果相关系数r ＝0,则表明两个变量之间 （ ）。 Ａ. 相关程度很低 Ｂ. 不存在任何关系 Ｃ. 不存在线性相关关系 Ｄ. 存在非线性相关关系 13.设产品产量与产品单位成本之间 的线性相关系数为-0.87,这说明二者之间存在着 （ ）。 Ａ. 高度相关 Ｂ. 中度相关 Ｃ. 低度相关 Ｄ. 极弱相关 14.设有4组容量相同的样本数据，即n=8，相关系数分别为： ,89.0,74.0,65.0321===r r r 92.04=r ,若取显著性水平05.0=α进行显著性检验，哪一个相关系数在统计上是不显著的 （ ） Ａ. 1r Ｂ. 2r Ｃ. 3r Ｄ. 4r 15.下面哪一个问题不是回归分析要解决的问题 （ ）。 Ａ. 从一组样本数据出发,确定出变量之间的数学关系式 Ｂ. 对数学关系式的可信程度进行各种统计检验,并从影响某一特定变量的诸多变量中 找出 哪些变量的影响是显著的,哪些是不显著的 Ｃ. 利用所求关系式,根据一个或几个变量的取值来估计或预测另一个特定变量的取值 Ｄ. 度量两个变量之间的关系强度 16.在回归分析中,被预测或被解释的变量称为 （ ）。 Ａ. 自变量 Ｂ. 因变量
12．9 一元线性回归 以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。 一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。一元线性回归问题主要分以下三个方面： （1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。 （2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。 （3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。 12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线 在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。 例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100 解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。 设这条直线的方程为y ˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。 图12.11 下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。 2．最小二乘法与回归方程 在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。我 们所要求的直线应该是使所有︱y i －y ˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q= 21 )ˆ(i n i i y y -∑=最小。
《土地利用规划学》 一元线性回归分析 学院：资源与环境学院 班级：2013009 姓名：x 学号：201300926 指导老师：x
目录 一、根据数据绘制散点图： (1) 二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： (1) 1）最小二乘法原理 (1) 2）求回归直线方程的步骤 (3) 三、回归模型的检验： (4) 1）拟合优度检验（R2）： (4) 2）相关系数显著性检验： (5) 3）回归方程的显著性检验（F 检验） (6) 四、用excel进行回归分析 (7) 五、总结 (15)
一、根据数据绘制散点图： ◎由上述数据，以销售额为y 轴（因变量），广告支出为X 轴（自变量）在EXCEL 可以绘制散点图如下图： ◎从散点图的形态来看，广告支出与销售额之间似乎存在正的线性相关关系。大致分布在某条直线附近。所以假设回归方程为： x y βα+= 二、用最小二乘法确定回归直线方程的参数： 1）最小二乘法原理 年份 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 广告支出 （万元）x 4.00 7.00 9.00 12.00 14.00 17.00 20.00 22.00 25.00 27.00 销售额y 7.00 12.00 17.00 20.00 23.00 26.00 29.00 32.00 35.00 40.00
最小二乘法原理可以从一组测定的数据中寻求变量之间的依赖关系，这种函数关系称为经验公式。 考虑函数y=ax+b ，其中a,b 为待定常数。如果Pi(xi,yi)（i=1,2,...,n ）在一条直线上，则可以认为变量之间的关系为y=ax+b 。但一般说来, 这些点不可能在同一直线上. 记Ei=yi-(axi+b)，它反映了用直线y=ax+b 来描述x=xi ，y=yi 时，计算值y 与实际值yi 的偏差。当然，要求偏差越小越好，但由于Ei 可正可负，所以不能认为当∑Ei=0时，函数y=ax+b 就好好地反应了变量之间的关系，因为可能每个偏差的绝对值都很大。为了改进这个缺陷，就考虑用∑|Ei|。但绝对值不易做解析运算，因此，进一步用∑Ei 2 来度量总偏差。因偏差的平方和最小可以保证每个偏差都不会很大。于是问题归结为确定y=ax+b 中的常数a 和b ，使 为最小。这种确定系数a,b 的方法称为最小二乘法。 ◎要使Q 最小，可由极值原理得: ◎所以可以导出方程组： ◎两个方程联立求解可得回归方程的参数： ()()Q y y y a bx i i n i i i n =-=--==∑∑ 1 2 1 2 ()()????Q a y a bx Q b y a bx x i i i i i =---==---=∑∑2020y na b x x y a x b x i i i i i i ∑∑∑∑∑=+=+2
第11章一元线性回归（相关与回归）学习指导 一、本章基本知识梳理 基本知识点 含义或公式 相关关系 客观现象之间确实存在的、但在数量表现上不是严格对应的依存关系。 函数关系 客观现象之间确实存在的、而且数量表现上是严格对应的依存关系。 因果关系 有相关关系的现象中能够明确其中一种现象(变量)是引起另一种现象(变量)变化的原因，另一种现象是这种现象变化的结果。起影响作用的现象(变量)称为“自变量”；而受自变量影响发生变动的现象(变量)称为“因变量”。 因果关系?相关关系，但相关关系中还包括互为因果关系的情况。 相关关系的种类 按涉及变量多少分为单相关、复相关；按相关方向分为正相关、负相关；按 相关形态分为线性相关、非线性相关等。 线性(直线) 相关系数 简称相关系数，反映具有直线相关关系的两个变量关系的密切程度。 () () ∑∑∑∑∑∑∑ - - -= = 2 2 2 2 y y n x x n y x xy n S S S r y x xy 相关系数的 显著性检验 ——t 检验 ()(). 2;,212:0 :,0:0 2 02 2 1 H n t t H n t t r n r t H H ，拒绝 不能拒绝 检验统计量-?-?--= ≠=α α ρρ 回归方程中的 参数β0和β1 为回归直线的截距、起始值，表示在没有自变量x 的影响(即x =0)时， 其他各种因素对因变量y 的平均影响； β1为回归系数、斜率，表示自变量x 每变动一个单位，因变量y 的平均变动 量。 β1的最小平方估计：∑∑∑∑∑ ?? ? ??--= 2 2 1 x x n y x xy n β 估计标准误差 反映因变量实际值与其估计值之间的平均差异程度，表明其估计值对实际值的代表性强弱。其值越大，实际值与估计值之间的平均差异程度越大，估计值的代表性越差。 ()代替。用大样本条件下，分母可 ；n n y y S e 2 ?2 --= ∑ 总离差平方和S S T 反映因变量的n 个观察值与其均值的总离差。 回归离差平方和S S R 反映自变量x 的变化对因变量y 取值变化的影响；或者说，是由于x 与y 之间的线性关系引起的y 取值的变化，也称为可解释的平方和。 残差平方和（剩余）S S E 反映除x 以外的其他因素对y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或残差平方和。
第二章一元线性回归模型 基本要求： 1、了解相关与回归的概念 2、理解线性回归模型的假定 3、掌握普通最小二乘法 4、理解最小二乘估计量的性质 5、会进行回归模型的检验 第一节一元线性回归模型概述 一、相关与回归的基本概念 （一）变量之间的关系 各种经济变量之间的关系，一般可以分成两类，即完全确定的关系和非确定性的依存关系。 1．确定性关系或函数关系 如果一个变量值能被一个或若干个其他变量值按某一规律唯一的确定，则这类变量之间就具有完全确定的关系。 例如，当每吨水的价格为P元时，居民应缴纳的水费Y（元）与用水量X（吨）之间的关系可表示为Y=PX。 2．非确定性关系 如果变量之间既存在密切的数量关系，又不能由一个（或几个）变量之值精确的求出另一个变量之值，但在大量统计资料的基础上，可以判别这类变量之间的数量变化具有一定的规律性，也称为统计相关关系。 例如消费支出Y与可支配收入X之间有一定的关系，在一定范围内，收入增加，在理论上可以估计出增加的消费支出额。但应看到，可支配收入虽然是影响消费支出的重要因素，却不是唯一的因素。因此，根据可支配收入并不能精确的求出消费支出，也就不能用精确的函数关系表达式来表示这两个变量之间的关系。 计量经济学就是研究变量间的非确定关系的，变量间的统计相关关系可以通过相关分析和回归分析来研究。 （二）相关分析 1、涵义 相关分析是通过对经济现象的依存关系的分析，找出现象间的相互依存的形式和相关程度，以及依存关系的变动规律。 2、类型——从变量间的依存形式看，可分为线性相关和非线性相关。 线性相关反映变量间的依存关系可以近似的表示为一条直线；变量间的依存关系近似的表示为一条曲线则称为非线性相关。
一元线性回归 一、一元线性回归模型的数学形式 ε ββ++=x y 10 对两边求数学期望和方差得：i i x y E 10)(ββ+=，2)var(σ=i y 随 机变量y 的期望不等，方差相等，因而i y 是独立随机变量，但并不同分布，而i ε是独立同分布的随机变量。 估计参数1?β在实际应用中表示自变量x 每增加一个单位时因变量y 平均增加数量。 一元回归的一般形式用矩阵表示： ????????????=n y y y y 21，????????????=n x x x x 21111，???? ? ? ??????=n εεεε 21，??????=10βββ，模型表示有：?????I ==+=n E x y 2)var(0)(σεεεβ 其中n I 为n 阶单位矩阵。 二、参数估计 需注意，极大似然估计是在),0(~2σεN i 的正态分布假设下求得的，而最小二乘估计则对分布假设没有要求，另外，n y y y ,,,21 是独立的正态分布样本，但并不是同分布的，期望值i i x y E 10)(ββ+=不相等。 三、最小二乘估计的性质 1、线性性：估计量10?,?ββ为随机变量i y 的线性函数 2、无偏性：y ?,?,?01ββ是y ,,01ββ无偏估计 3、10?,?ββ的方差 ∑∑ ∑===-= ???? ? ????? ?? --=n j j i n i n j j i x x y x x x x 12 21 2 1 21 )()var()()?var(σβ，2 1 220) () (1)?var(σβ?? ??? ? ? ???? ? -+=∑ =n i i x x x n 从上面两个式子可以看出，要想使10,ββ的估计值10?,?ββ更稳定，在收集数据时，就应该考虑x 的取值尽可能分散一些，不要挤在一块，样本量应尽可能大一些，样本量n 太小时估计量的稳定性肯定不会太好。 从))(1,(~?22 00σββ?? ?? ??+xx L x n N ;), (~?2 11xx L N σββ;其中∑=-=n i i xx x x L 1 2 ) (可以得到：
一元线性回归分析及其应用 一元线性回归分析是一种常用的统计学方法，用于探讨两个变量之间的线性关系。在实际应用中，一元线性回归分析广泛用于经济学、社会科学、生物医学等领域，以揭示因变量与自变量之间的因果关系。本文将详细介绍一元线性回归分析的方法及应用。 一元线性回归分析源于英国统计学家弗朗西斯·高尔顿的研究。他在19世纪末对英国公民的身高和臂展进行了研究，发现两者之间存在线性关系。在此背景下，一元线性回归分析逐渐发展成为一种用于研究两个变量之间关系的方法。 在进行一元线性回归分析时，我们需要首先构建一个线性回归模型。假设因变量为y，自变量为x，则线性回归模型可表示为y = a + bx，其中a为截距，b为斜率。 为了使得线性回归模型能够更好地拟合数据，我们需要选择合适的回归系数。最小二乘法是一种常用的方法，它通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，来求解回归系数。 构建完线性回归模型后，我们需要对模型进行检验，以确保其有效性。常用的检验方法包括R方检验、t检验和F检验。
一元线性回归分析在各个领域都有广泛的应用。在经济学中，研究者常用一元线性回归分析来研究某个经济指标与另一个或多个因素之 间的关系。例如，研究国内生产总值（GDP）与失业率之间的关系，以分析经济政策对失业率的影响。在社会科学中，一元线性回归分析常用于研究某个社会现象与某个或多个自变量之间的关系，如研究教育程度对收入的影响。在生物医学领域，一元线性回归分析可用于研究某个生物指标与某个或多个自变量之间的关系，例如研究血压与年龄之间的关系。 在这些应用场景中，一元线性回归分析具有以下优势：它能够揭示因变量与自变量之间的线性关系，从而有助于我们理解现象之间的因果关系。相比其他复杂的数据分析方法，一元线性回归分析较为简单，易于理解和实施。通过选择合适的自变量和建立合理的回归模型，我们可以对未来进行预测，并为政策制定提供科学依据。 一元线性回归分析是一种重要的统计学方法，用于研究两个变量之间的线性关系。在实际应用中，它广泛用于经济学、社会科学、生物医学等领域。通过构建合适的线性回归模型，并选择合适的回归系数，我们可以更好地理解现象之间的因果关系。对回归模型的检验也保证了其有效性。在未来的研究中，可以进一步探讨一元线性回归分析在
实验 一元线性回归分析 一、 问题 考察温度对产量的影响，测得下列10组数据： 二、要求 （1）试画出这10对观测值的散点图。 （2）求Y 和X 的相关系数，并判断X 、Y 是否存在线性相关性。 （3）用最小二乘法求出Y 对x 的线性回归方程。 （4）求出回归的标准误差 与回归拟合系数2 R . （5）对回归方程做显著性检验。 （6）画出回归残差图并做相应分析。 （7）若温度为62C ，则产量为多少，并给出置信水平为95％的预测区间。 三、目的和意义 学会使用R 软件来做回归分析问题。 四、实验步骤 1. 绘制x 与y 的散点图，初步确定回归方程，输入下列程序： > X<- matrix(c(20,13.2,25,15.1,30,16.4,35,17.1,40,17.9,45,18.7,50,19.6,55,21.2,60,22.5,65,24.3),ncol=2,byrow=T,dimnames=list(1:10,c("x","y"))) > forbes<-as.data.frame(X)
> plot(forbes$x,forbes$y) 图表 1 从窗口中可以观察到，x与y大致成线性关系，假设其为; 2.做回归分析，输入下列程序： > lm.sol<-lm(y~x,data=forbes) > summary(lm.sol) 得到 Call: lm(formula = y ~ x, data = forbes) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.67273 -0.33333 -0.07273 0.34545 0.68182 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 9.12121 0.47708 19.12 5.8e-08 ***
一元线性回归的基本步骤一元线性回归分析的基本步骤如下： • 1、散点图判断变量关系（简单线性）； 2、求相关系数及线性验证； 3、求回归系数，建立回归方程； 4、回归方程检验； 5、参数的区间估计； 6、预测； • • • 请点击输入图片描述• 一、什么是回归分析法
“回归分析”是解析“注目变量”和“因于变量”并明确两者关系的统计方法。此时，我们把因子变量称为“说明变量”，把注目变量称为“目标变量址(被说明变量)”。清楚了回归分析的目的后，下面我们以回归分析预测法的步骤来说明什么是回归分析法： 回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。 只有当变量与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义。因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。 进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和因变量的相关的程度。 二、回归分析的目的 回归分析的目的大致可分为两种： 第一，“预测”。预测目标变量，求解目标变量y和说明变量(x1，x2，…)的方程。 y=a0+b1x1+b2x2+…+bkxk+误差（方程A） 把方程A叫做(多元)回归方程或者(多元)回归模型。a0是y截距，b1，b2，…，bk是回归系数。当k=l时，只有1个说明变量，叫做一元回归方程。根据最小平方法求解最小误差平方和，非求出y截距和回归系数。若求解回归方程．分别代入x1，x2，…xk的数值，预测y的值。 第二，“因子分析”。因子分析是根据回归分析结果，得出各个自变量对目标变量产生的影响，因此，需要求出各个自变量的影响程度。 希望初学者在阅读接下来的文章之前，首先学习一元回归分析、相关分析、多元回归分析、数量化理论I等知识。 根据最小平方法，使用Excel求解y=a+bx中的a和b。
一元线性回归分析 （1）基本概念 回归分析：通过大量的观测发现变量之间存在的统计规律性，并用一定的数学模型表示变量相关关系的方法 只有一个自变量并且统计量成大体一次函数的线性关系的回归分析叫一元线性回归分析。 在一元线性回归中，我们用 Y a bX =+作为回归方程，代表X 与Y 的线性关系 其中：a 表示该直线在Y 轴的截距 b 表示该直线的斜率也就是 Y 的变化率 X 为自变量，通常是研究者事先选定的数值 Y 为对应于X 对变量Y 的估计值 （2）最小二乘法 所谓最小二乘法，就是如果散点图中每一点沿Y 轴方向到直线的距离的平方和最小，则认为这条直线的代表性最好，即使用其作为回归方程。这样我们使得 ()2 Y Y =-∑总误差最小。
Y a bX =+ 其中()()()2 X X Y Y b X X --=-∑∑；a Y bX =- 2．一元线性回归方程的检验 （1）方差分析法 R E MS F MS = 其中()()222T Y SS Y Y Y n =-=- ∑∑∑而其1T df n =- ()()2222R X SS Y Y b X n ⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎣⎦ ∑∑∑其1R df = E T R SS SS SS =-其2E df n =- （2）回归系数检验 b b t SE = 其中b SE = 而 XY s = Y 为中心Y 值上下波动的标准差 （在知道相关系数时XY Y s s =）一元线性回归方程的应用 回归分析的目的，就是在测定自变量X 与因变量Y 的关系为显著相关
后，借助于你和的较优回归模型来预测在自变量X 为一定值时因变量Y 的发展变化。当我们根据给出的X 值而预测得到点估计Y 时，Y 只代表了预测值的中点，而计算在特定置信区间内的区间估计则依靠以下公式： 2p XY Y t s α±⋅n 很大时近似为1 其中t 的自由度取 n-2，p Y 为对应该P X 的方程解出的点估计Y 值 文章来源：博仁教育
第十一章 一元线性回归 1. 1.(1)产量与生产费用之间正的线性相关关系。 （2）92023 2.0=r 。 （3）检验统计量2281.24222.142 =>=αt t ，拒绝原假设，相关系数显著。 2. 8621.0=r 5. (1)
（2）9489.0=r 。 （3）x y 00358.01181.0ˆ+=。回归系数00358.0ˆ1 =β表示运送距离每增加1公里，运送时间平均增加0.00358天。 6. (1) 二者之间为高度的正线性相关关系。 （2）998128.0=r ，二者之间为高度的正线性相关关系。 （3）估计的回归方程为：x y 308683.06928.734ˆ+=。回归系数308683.0ˆ1 =β表示人均GDP 每增加1元，人均消费水平平均增加0.308683元。 （4）判定系数996259.02 =R 。表明在人均消费水平的变差中，有99.6259%是由人均 GDP 决定的。 （5）检验统计量61.6692.1331=>=αF F ，拒绝原假设，线性关系显著。 （6）1078.22785000308683.06928.734ˆ5000=⨯+=y （元）。 7.（1）数据散点图如下： 00.20.40.60.811.21.465 70 75 80 85 航班正点率(%) 投诉率（次/10万名乘客） （2）根据散点图可以看出，随着航班正点率的提高，投诉率呈现出下降的趋势，两者之间存在着一定的负相关关系。 （3）设投诉率为Y ，航班正点率为X
建立回归方程 12i i i Y X u ββ=++ 估计参数为 ^ 6.01780.07i i Y X =- （4）参数的经济意义是航班正点率每提高一个百分点，相应的投诉率（次/10万名乘客）下降0.07。 （5）航班按时到达的正点率为80%，估计每10万名乘客投诉的次数可能为： 4187.08007.00178.6ˆ=⨯-=i Y （次/10万） 8.Excel 输出的结果如下 Multiple R 0.7951 R Square 0.6322 Adjusted R Square 0.6117 标准误差 2.6858 观测值 20 方差分析 df SS MS F Significance F 回归分析 1 223.1403 223.1403 30.9332 2.79889E-05 残差 18 129.8452 7.2136 总计 19 352.9855 Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95% Intercept 49.3177 3.8050 12.9612 0.0000 41.3236 57.3117 X Variable 1 0.2492 0.0448 5.5618 0.0000 0.1551 0.3434 9.（1）方差分析表中所缺的数值如下 方差分析表 变差来源 df SS MS F Significance F 回归 1 1422708.6 1422708.6 354.277 2.17E-09 残差 10 40158.07 4015.807 — — 总计 11 1642866.67 — — — （2）%60.868660.067 .164286660.14227082 === =SST SSR R 。表明汽车销售量的变差中有 86.60%是由于广告费用的变动引起的。 （3）9306.08660.02 === R r 。 （4）x y 420211.16891.363ˆ+=。回归系数420211.1ˆ1 =β表示广告费用每增加一个单位，销售量平均增加1.420211个单位。 （5）Significance F ＝2.17E-09<05.0=α，线性关系显著。
第十一章一元线性回归练习题答案 二．填空题 1. 不能；因为该相关系数为样本计算出的相关系数，它的大小受样本数据波动的影响，它是否显著尚需 检验；t 检验; 2. 图1；不能；因为图1反映的是线性相关关系，图2反映的是非线性性相关关系，相关系数只能反映 线性相关变量间的相关性的强弱，不能反映非线性相关性的强弱。 三．计算题 1.（1） SSR 的自由度是1，SSE 的自由度是18。 （2）2418 /6080220/1/==-= SSE SSR F (3)判定系数%14.57140 802 === SST SSR R 在y 的总变差中，由57.14％的变差是由于x 的变动说引起的。 (4)7559.05714.02-=-=-=R r 相关系数为-0.7559。 (5)线性关系显著和：线性关系不显著 和y x y x H 10H : 因为414.424=>=αF F ，所以拒绝原假设，x 与y 之间的线性关系显著。 2.（1） 方差分析表 df SS MS F Significance F 回归分析 1 425 425 85 0.017 残差 15 75 5 － － 总计 16 500 － － － （2）判定系数%8585.0500 425 2 ==== SST SSR R 表明在维护费用的变差中，有85％的变差可由使用年限来解释。 （3）9220.085.02===R r 二者相关系数为0.9220，属于高度相关 （4） x y 248.1388.6ˆ+= 分布；显著。 的自由度为t n r n r t 2);12 ||2 ---=
回归系数为1.248，表示每增加一个单位的产量，该行业的生产费用将平均增长1.248个单位。 （5）线性关系显著性检验： 线性关系显著 ：生产费用和产量之间性关系不显著生产费用和产量之间线10:H H 因为Significance F=0.017<05.0＝α,所以线性关系显著。 （6） 348.3120248.1388.6248.1388.6ˆ＝＝⨯++=x y 当产量为10时，生产费用为31.348万元。
一元线性回归在公司加班制度中的应用 院（系）： 专业班级： 学号姓名： 指导老师： 成绩： 完成时间：
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x 为每周签发的新保单数目，y 为每周加班时间（小时），数据如表所示 y 3.5 1.0 4.0 2.0 1.0 3.0 4.5 1.5 3.0 5.0 1. 画散点图。 2. x 与y 之间大致呈线性关系？ 3. 用最小二乘法估计求出回归方程。 4. 求出回归标准误差σ∧ 。 5. 给出0 β∧ 与1 β∧ 的置信度95%的区间估计。 6. 计算x 与y 的决定系数。 7. 对回归方程作方差分析。 8. 作回归系数1 β∧ 的显著性检验。 9. 作回归系数的显著性检验。 10. 对回归方程做残差图并作相应的分析。 11. 该公司预测下一周签发新保单01000x =，需要的加班时间是多少？
12.给出0y的置信度为95%的精确预测区间。 13.给出 () E y的置信度为95%的区间估计。 四、实验过程及分析 1.画散点图 如图是以每周加班时间为纵坐标，每周签发的新保单为横坐标绘制的散点图，从图中可以看出，数据均匀分布在对角线的两侧，说明x和y之间线性关系良好。 2.最小二乘估计求回归方程
一元线性回归分析 客观世界中普遍存在着变量间的关系，而变量间的关系一般可分为两类：确定性关系和非确定性关系。 1 一元线性回归模型 设随机变量Y 与普通变量x 间存在相关关系，且假设对于x 的每一个取值有 2~(, )Y N a bx σ+ 其中a 、b 及2 σ都是不依赖于x 的未知参数。记()Y a bx ε=-+，则对Y 做这样的正态假设，相当于假设 2, ~(0,)Y a bx N εεσ=++ （1） 其中未知参数,a b 及2 σ都是不依赖于x 。（1）式称为一元线性回归模型，其中b 称为回归系数。 （1）式表明，因变量Y 由两部分组成，一部分是x 的线性函数a bx +，另一部分是随机误差ε，是人不可控制的。 下面的任务是对a 、b 的估计。 2 参数a 、b 的最小二乘估计 取x 的n 个不全相同的取值12,, ,n x x x ，作n 次独立试验，得到样本 1122(,),(,), ,(,)n n x Y x Y x Y （2） 和样本观测值 1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y （3） 把样本观测值（3）代入（1）得 (1,2, )i i i y a bx i n ε=++= 而使 2 21 1 (,)()n n i i i i i Q a b y a bx ε====--∑∑ 达到最小为原则对未知参数a 和b 的估计称为未知参数a 和b 的最小二乘估计，估计值记为 ˆa 和ˆb 。这时称 ˆˆˆy a bx =+ 为Y 关于x 的经验回归方程，简称回归方程。其图象称为回归直线。 最终求得ˆa 和ˆb 的表达式：
1111222 111 11()()()() ˆ()()ˆ1ˆˆn n n n i i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i n x y x y x x y y b n x x x x b a y x y bx n n =========⎧ ---⎪⎪==⎪--⎨ ⎪ ⎪=-=-⎪ ⎩ ∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 3 最小二乘估计 e X Y +=β ˆ βˆˆX Y = 基本思想（原则）：寻找实际值与拟合值的离差平方和为最小的回归直线。 多元线性回 归模型的“残差平方和”为： 21101 22 )ˆˆˆ()ˆ(ki k i i n i i i i X X Y Y Y e Q βββ----=-=∑=∑= 要使“残差平方和”达到最小，其充分条件是 k j e Q j i j ，，⋅⋅⋅==∂∂=∂∂∑20ˆ) (ˆ2 ββ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎬⎫ =----∑-=∂∂=----∑-=∂∂=----∑-=∂∂0)ˆˆˆ(2ˆ0)ˆˆˆ(2ˆ0)ˆˆˆ(2ˆ11011101 1100ki ki k i i k i ki k i i ki k i i X X X Y Q X X X Y Q X X Y Q ββββββββββββ e X Y +=β ˆ 有 e X X X Y X '+'='βˆ β ˆ''X X Y X = 1(')X X -存在，用X X '左乘方程两边，得参数(向量)β的最小二乘估计为： Y X X X ')'(ˆ1-=β 4 相关mathematic 函数的用法 Import[“file ”] 从文件中导入数据，将返回相应mathematica 中的完整版本 Import[“file ”，elements] 从文件中导入指定元素 Listplot[{y1，y2，}]画出散点图 绘制值列表，每个点的x 坐标取为1，2， Solve[expr ，vars] 求解以vars 为变量的方程组或不等式组 Graphics[primitives ，options] 表示一个二维图形 Show[graphics ，options] 按指定选项显示图形
一元线性回归分析实验报告
一元线性回归在公司加班制度中的应用 院（系）： 专业班级： 学号姓名： 指导老师： 成绩： 完成时间：
一元线性回归在公司加班制度中的应用 一、实验目的 掌握一元线性回归分析的基本思想和操作，可以读懂分析结果，并写出回归方程，对回归方程进行方差分析、显著性检验等的各种统计检验 二、实验环境 SPSS21.0 windows10.0 三、实验题目 一家保险公司十分关心其总公司营业部加班的程度，决定认真调查一下现状。经10周时间，收集了每周加班数据和签发的新保单数目，x 为每周签发的新保单数目，y 为每周加班时间（小时），数据如表所示 y 3. 5 1.0 4.0 2. 1.0 3.0 4.5 1. 5 3.0 5.0 1. 画散点图。 2. x 与y 之间大致呈线性关系？ 3. 用最小二乘法估计求出回归方程。 4. 求出回归标准误差σ∧ 。
可以写出其回归方程如下： 0.1180.004y x =+ 3.求回归标准误差σ∧ ANOVA a 模型 平方和 自由度 均方 F 显著性 1 回归 16.682 1 16.682 72.396 .000b 残差 1.843 8 .230 总计 18.525 9 a. 因变量：y b. 预测变量：(常量), x 由方差分析表可以得到回归标准误差：SSE=1.843 故回归标准误差： 2= 2SSE n σ∧-，2σ∧=0.48。 4.给出回归系数的置信度为95%的置信区间估计。 由回归系数显著性检验表可以看出，当置信度为95%时： 0β∧ 的预测区间为[-0.701,0.937], 1β∧ 的预测区间为 [0.003,0.005].0β∧的置信区间包含0，表示0β∧ 不拒绝为0的原假设。 6.计算x 与y 的决定系数。 模型摘要 模型 R R 方 调整后 R 方 标准估算的误差 1 .949a .900 .888 .4800
实验报告 金融系金融学专业________________ 级_____________ 班实验人：实验地点：____________________ 实验日期： ______________ 实验题目：进行相应的分析，揭示某地区住宅建筑面积与建造单位成本间的关系 实验目的：掌握最小二乘法的基本方法，熟练运用Eviews软件的一元线性回归的操作，并能够对结果进行相应的分析 实验内实验米用了建筑地编号为1号至12号的数据，通过模型设计、估计参数、检验统计量、回归预测四个步骤对数据进行相关分析。 实验步骤: 、模型设定 1.建立工作文件。双击eviews，点击File/New/Workfile，在出现的对话框中选择数据 频率，因为该例题中为截面数据，所以选择 中设定变量个数，这里输入12。 unstructured/undated 在observations WorkfEle Create V.'orkfite structure t/pe ^j^nstructured f Undated 一刁Irregular Dated and Panel workfies may be made from Unstructured! workfiles by later specifying date and/or other identifie r series. OK Cancel -Dmta range Observations：112 Names [optionaf) WF: I Page：f 2.输入数据。在eviews命令框中输入data X 丫，回车出现group窗口数据编辑框，在
第十一章一元线性回归 本章主要介绍数值型自变量和数值型因变量之间关系的分析方法， 这就是相 关与回归分析。如果研究的是两个变量之间的关系，称为简单相关与简单回归分 析；如果研究的是两个以上变量之间的关系， 称为多元相关与多元回归分析。 本 章主要讨论简单线性相关和简单线性回归的基本方法。 本章知识结构如下： 1、 判断变量间的相关性 主要方法卩）散点图法 一 b ）相关系数法 2、 相关关系的显著性检验 r 的显著性检验 步骤：®提出假设G2计算检验的统计量t ③进行决策（即比较t 与t ：.2） 3、 一元线性回归 『、建立模型y =B°+》Xl +£ 主要方法 $）线性关系的检验――模型的检验，即F 检验 主要方法1b ）回归系数的检验，即t 检验 6利用回归方程进行预测 类型尸）点估计 lb ）区间估计 7、残差分析 V 残差、残差图及标准化残差 主要知识点： 变量间关系的度量 变量之间的关系可分为两种类型，即函数关系和相关关系。 变量之间存在的不确定的数量关系，称为相关关系。 相关关系的特点：一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定，当变量 y 的取值可能有几个。对这种关系不确定的变量显然不能用函数关系来描述， 但也 不是无规律可循。相关与回归分析正是描述与探索这类变量之间关系及其规律的 统计方法。 判断相关性的方法： 方法一：散点图法 散点图是描述变量之间关系的一种直观方法， 从中可以大体上看出变量之间 的关系形态及关系强度。 方法二：相关系数法 1 X 1 元 线 性 回 归 方法及步骤^2、写出回归方程E （y 》Bo+B 3利用最小二乘法对参数进行估计 4、回归方程拟合优度的判断 2 a ）判定系数法 R 主要方法 lb ）估计标准误差S e 5、回归方程的显著性检验
第十一章一元线性回归 11.1从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用的数据如下： 企业编号产量（台）生产费用（万元）企业编号产量（台）生产费用（万元） 1 40 130 7 84 165 2 42 150 8 100 170 3 50 155 9 116 167 4 5 5 140 10 125 180 5 65 150 11 130 175 6 78 154 12 140 185 要求： （1）绘制产量与生产费用的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算产量与生产费用之间的线性相关系数。 （3）对相关系数的显著性进行检验（α = 0.05），并说明二者之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态可知，产量与生产费用之间存在正的线性相关。 （2）利用Excel的数据分析中的相关系数功能，得到产量与生产费用的线性相关系数r = 0.920232。 （3）计算t统计量，得到t = 7.435453，在α = 0.05的显著性水平下，临界值为2.6337，统计量远大于临界值，拒绝原假设，产量与生产费用之间存在显著
的正线性相关关系。r大于0.8，高度相关。 11.2 学生在期末考试之前用于复习的时间（单位：h）和考试分数（单位：分）之间是否有关系？为研究这一问题，以为研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，得到的数据如下： 复习时间x考试分数y 20 64 16 61 34 84 23 70 27 88 32 92 18 72 22 77 要求： （1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断二者之间的关系形态。 （2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 解：(1)利用Excel的散点图绘制功能，绘制的散点图如下： 从散点图的形态来看，考试分数与复习时间之间似乎存在正的线性相关关系。 （2）r = 0.862109，大于0.8，高度相关。 11.3根据一组数据建立的线性回归方程为ˆ100.5 =-。 y x