组合数学第四版答案
组合数学第四版答案
【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】
>1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a- b|=5；（2）|a-b|?5；
解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，
由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。所以这样的序列有90对。（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4 或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。当|a- b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。当此类推当
|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，
当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对
所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520
1.2题5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a 和b之间正好有3个女生的排列是多少？
所以总的排列数为上述6种情况之和。
1.3题m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若
(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。
解：(a) 可以考虑插空的方法。
n个女生先排成一排，形成n+1个空。因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。
则男生不相邻的排列个数为
pp
n
n
n?1m
(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m
个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。因此，共有n!?(m?1)!种可能。
(c)男生a和女生b排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此
有2！种可能，a、b组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！(这里实际上是m+n-2个学生和ab的组合形成的)种可能。共有组
合数为2!?(m?n?1)! 1.4题26个英文字母进行排列，求x和y之间有5个字母的排列数解：c（24，5）*13！
1.5题求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。
1.7题试证：(n?1)(n?2)?(2n)被2n除尽。
n
证明：因(2n)!?2n!(2n?1)!!
(n?1)(n?2)?(2n)n!(n?1)(n?2)?(2n)(2n)!
(2n?1)!! nnn
2n!2n!2
因为(2n-1)!!是整数所以(n?1)(n?2)?(2n)能被2n除尽。
1．8题求10和20的公因数数目。
404040403010306030402030
解：因为10?2*5?2*5*520?2*5?2*2*5
4030
它们最大公因子为2*5转化为求最大公因子能除尽的整数个数，
能
除尽它的整数是 2a*5b,0??a??40,0??b??30
根据乘法法则，能除尽它的数个数为41*31=1271
2
1.9题试证n的正除数的数目是奇数。
2
证明：设有0?a?n,n?b?n2, 则一定有表达式n?a?b，
则可知符合范围的a和b必成对出现，所以为偶数。
22
又当a=b=n时，表达式n=a?b仍然成立。所以n的正除数的数目是―偶数?1‖为奇数。 1.10题证任一正整数n可唯一地表成如下形式: 证：对n用归纳法。
,0≤ai≤i,i＝1,2,…。
40
30
由假设对n-k!,命题成立，设
，其中ak≤k-1,，命题成立。
再证表示的唯一性：设
, 不妨设aj＞bj,令j=max{i|ai≠bi}
(aj?bj)?j(bi?ai)?i!?ji?ibi?ai?i(bi?ai)?i! 矛盾，命题成立。
1.11题证明nc(n-1,r)= (r+1)c(n,r+1),并给予组合解释.
证：nc(n?1,r)?n
(n?1)!(r?1)?n!(r?1)?n!
(r?1)c(n,r?1)
r!?(n?r?1)!(r?1)?r!?(n?r?1)!(r?1)!?(n?r?1)!
所以左边等于右边
组合意义：等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；
等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。所以两种方案数相同。 1.12题证明等式：
kc(n,k)?n2
k?1
n
n?1
n?1?n?n?1?n?1?n?1?n?1
n?n?nc(n?1,0)?c(n?1,1)?l?c(n?1,n?1)?n2?右边?? 证明：等式左边??n
k?1?k?1?k?1?k?1?s?0?s?
n
1.13题有n个不同的整数，从中间取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。
解题思路：（取法由大到小）
第1步：从n个数由大到小取一个数做为第一组，其它n-1个数为第二组，
组合数为：c（n,1）*{c(n-1,1)+c(n-1,2)-…+c(n-1,n-1)}
第2步：从n个数由大到小取两个数做为第一组，其它n-2个数为第二组，
组合数为：c（n,2）*{c(n-2,1)+c(n-2,2)-…+c(n-2,n-2)} …
第n-2步：从n个数由大到小取n-2个数做为第一组，其它2个数为第二组，组合数为：c（n,n-2）*{c(2,1)} 第n-1步：从n个数由大到小取n-1个数做为第一组，其它1个数为第二组，组合数为：c （n,n-1）*{c(1,1} 总的组合数为：
c(n,1)?{c(n?1,1)?c(n?1,2)c(n?1,n?1)}?c(n,2)?{c(n?2,1)?c(n? 2,2)c(n?2,n?2)}
c(n,n?2)?{c(2,1)?c(n,n?1)?c(1,1)}
1.14 题6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定一引擎开始有多少种方案？
解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有c(3,1)种取法，
第2步从特定引擎一边的2个中取1个有c(2,1)种取法，
第3步从特定引擎对面的2个中取1个有c(2,1)中取法，剩下的
每边1个取法固定。所以共有c(3,1)?c(2,1)?c(2,1)=12种方案。
1.15题求1至1000000中0出现的次数。
解：当第一位为0时，后面6位组成的数可以从1-100000，共100000个0；
当第二位为0时，当第一位取0-9时，后面5位可以取1-9999，此外当第一位取0时，后面5位还可以取为
10000，这样共有9999*10+1=99991个0；
同理第三位为0时，共有99901个0；第四位为0时，共有99001个0；第五位为0时，共有90001个0；
第六位为0时，只有1个0；
这样总共的0数为：
100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。
1.16题n个相同的球放到r个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。
解：如果用―o‖表示球，用―|‖表示分界线，就相当于用r-1个―|‖把n个―o‖分成r份，要求是每份至少有一个球。如下图所示：00|00000000|00000000|00000|000000……
对于第一个分界线，它有n-1种选择，对于第二个分界线只有n-2个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们之间就没有了球，这不合要求)，依次第r-1个分界线只有n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!,所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*…*(n-r+1)/(r-1)!=c(n-1,r-1)。1.18题8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？
5
解：要求空盒不相邻，这样球的位置共有8种。而不同标志的球的排列有p5?5!。所以共有8*5！种排列。 8
a)1 111
b) 1 111
在a)中剩下的一个球有四种位置，b)中剩下的一个球也有四种位
置，两者合起来一共有8种1.17题n和r都是正整数，而且r?n，试证
下列等式： (a)p?np
rn
n?1r?1
(b)
1
pp
r
(n?r?1)p?r!?r(p
1
1
(c)
n?1r?1
p
nn?r
p
n?1r
,r?n
(d)
p
n?1r
p?rp
(e)
n?1
p
l?
p
r
r?1
)
解：(a) n
(n?1)!n!
pr?1?n?(n?r)!?(n?r)!?
n?1
n
p
等式成立。
nn!n!
等式成立。 ??pr?1pr(n?r?1)!(n?r)!
n?1nnn(n?1)!n!
(c) pn?r(n?r?1)!(n?r)!pr等式成立。
n?rr
(b) (n?r?1)?(n?r?1)?
(d)
n!n!n!(n?r?1)n!(n?1)!?n!?r?r?n!(n?1)!
pr?rpr?1?(n?r)!?r?(n?r?1)!?(n?r?1)!?r?(n?r?1)!?(n?r?1)!?(n?1 ?r) !?
n
n
p
n?1r
(e)利用(d)的结论可证明本题。
r!?r(p
1
p
n?1r?1
l?
p
r
r?1
)?
p
p?rp?rp?rp?l?rp?rp?p?rp?rp?l?rp?rp?p r
r?1
r?1
r?1
rr
r
r?1r?1
r?2r?1
n?1r?1
n
r?1
r?1r
r?1r?1
r?2r?1
n?1r?1
1
r
rp
n
rp
n?1
l?rp
r
n?1r
r?1
1.19题n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n≤m+1,试
问不存在两个1相邻的符号串的数目。解：m个0进行排列，留出
m+1个空挡，任选n 个空挡放1，共有c(m+1,n)种方案.
1.21题一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球，每次
从中随机取走一个球，已知前面取走6个，其中3个是白的，试问
取第6个球是白球的概率。
解：c（6,2）*c(5,2)*c(5,3)/c(5,3)c(7,3)c(6,3)=3/14
1.20 题甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，而且7人中男同志占5人，试问有多少中方案？
解：1.甲单位出4个男同志，乙单位出1个男同志，从乙单位出2 个女同志c(10,4)*c(15,1)*c(10,2)=141750 2. .甲单位出3个男同志，乙单位出2个男同志，从甲单位出1个女同志,从乙单位出1个女同志。 c(10,3)*c(15,2)*c(4.1)*c(10,1)=504000
3. .甲单位出2个男同志，乙单位出3个男同志，从甲单位出2个女
同志. c(10,2)*c(15,3)*c(4,2)=122850 1+2+3即为所求，总的方案数
为768600 1.22题求图1-22中从o到p的路经数: (a) 路径必须经
过a点; (b) 路径必须过道路ab; (c) 路径必须过a和c(d) 道路ab 封锁(但a,b两点开放) 解: (a)分两步走o(0,0)→a(3,2) a(3,2)→p(8,5)，根据乘法法则: ?3?2??3?5?
n2??3560
3?2??4?3?(b)分两步走o(0,0)→a(3,2), b(4,2)→p(8,5)，根据乘法法则:n350
2??3?
3?2??3?1??2?2?
(c)分三步走: o(0,0)→a(3,2), a(3,2)→c(6,3), c(6,3)→p(8,5), 根据
乘法法则: n?? ??2?1?2???240
（d）ab封锁路径数加必经ab路径数即o(0,0)→p(8,5)的
所有路径数有加法法则可得：
5?8??3?2??4?3?
n??
523???1287?350?937?
1.23题令s={1,2,…,n+1},n≥2,t={(x,y,z)|x,y,z∈s, xz, yz}, 试证 :|t|? ?n?1??n?1?2
k2?? k?1?2??3?
n
证明：要确定x,y,z的取值，有两种方法，
2
2
2
k
k?1
n
2
种可能。故|t|?
k
k?1
n
2
。
(2)由xz, yz，可以分为三种情况：
①x=yz,x,y可看作一个元素，这种情况等价于从1,2,…,n+1中取2
个进行组合，然后比较大小，小者为x(y),大者为z,其组合数为?
n?1?
； ?2?
n?1?
②xyz,等价于从1,2,…,n+1中取3个进行组合，然后比较大小可得x,y,z,其组合数为；
3?n?1?
③yxz,等价于从1,2,…,n+1中取3个进行组合，然后比较大小可得x,y,z,其组合数为。
3??
n?1??n?1??n?1?
所以满足题意的x,y,z的组合数为?n?1?+?n?1?+?
＝2??。 3??3?
2??32??
n?1??n?1?
由于这两种方法是等价的，故可得|t|??k22??。证毕。
k?1?2??3?
n
1.24题a={(a, b)|a, b∈z, 0≤a≤9,0≤b≤5} (a) 求x-y平面上以a 作顶点的长方形的数目. (b) 求x-y平面上以a作顶点的正方形数目.
解(b)：如下图(b)，网格左边是b的取值，下面是a的取值。网格里是x-y平面上对应每个顶点a(a,b)所得的正方形的数目。
1.26题s={1,2,……，1000}，a,b∈s,使ab≡0 mod 5,求数偶{a,b}的数目
解：根据题意，ab可以整除5，2*c（200，1）*1000=400000 1.25题平面上有15个点p1,p2。。。Ｐ15，其中p1p2p3p4p5共线，
此外不存在3点共线的。(1)求至少过15个点中两点的直线的数目(2)求由15个点中3点组成的三角形的数目
解：1)由题意知：p1p2p3p4p5共线，此外不存在3点共线的，所以与这五点分别相连的其他的十点的直线数目为：5*10=50。另外十个点两两相连得直线数目为：c102=45
又因为p1p2p3p4p5共线，所以可算作一条至少2点相连的直线所以至少过15个点中两点的直线的数目=50+45+1=96
2)有三种情况 a：没有p1p2p3p4p5这五个点的三角个数：
c103=120
b：有这五个点的其中一个点：5*c102 225 c：有着五个点的两个点：10*c52=100 由15个点中3点组成的三角形的数目=425 故数目为c(15,2)-c(5,2)+1
(b) c(5,0)c(10,3)+c(5,1)c(10,2)+c(5,2)c(10,1)
1.27 题 6位男宾，5位女宾围一圆桌而坐，（1）女宾不相邻有多少种方案？（2）所有女宾在一起有多少种方案？（3）一女宾a和两位男宾相邻又有多少种方案？
解：（1）若5位女宾不相邻，先考虑6位男宾围圆桌而做的方案数，然后女宾插入 q（6，6）*6*5*4*3*2=86400（2）把5位女宾看成一个整体，然后插入q（6，6）*6*p(5,5)=86400（3）c（5，1）*c（6，2）*q（8，8）=194000
c(5,1)*c(6,2)*c(5,2)*p(4,2)*7！
1.28题 k和n都是正整数，kn位来宾围着k张圆桌而坐，试求其方案数。
解：若每个圆桌的的人数相等，则每个桌子有n个人。因为圆周排列的个数为因此本题的结果为
p
r
(kn)!(kn)!
k。
n?n?nn
1.29 题从n个对象中取个r做圆排列，求其方案数目。1=r=n 解：c(n,r)*q（r,r）=c(n,r)*(r-1)!
1.31题试证任意r个相邻数的连乘：(n?1)(n?2)?(n?r) 被r！除尽.
【篇二：组合数学+卢开澄版++答案第四章】
x是群g的一个元素，存在一最小的正整数m，使xm=e，则称m 为x
m
n
m?n
m
,等式右边x x＝x
nmm?n
，?ab?ba，即所有
的阶，试证：
c=｛e,x,x2, …,xm-1｝证：
x是g的元素，g满足封闭性所以，xk是g中的元素c∈g
再证c是群：
xa∈c, (xa)-1= xb=xm-a
4.3设g是阶为n 的有限群，则g的所有元素的阶都不超过n.
证明：设g是阶为n 的有限群，a是g中的任意元素，a的阶素为k，则此题要证k?n
首先考察下列n+1个元素
a,a,a,a,..a..
234n?1
由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于g,，而g中仅有n 个元素，所
以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不
妨设为
a
i
a
i
i?j
（1?j?n）
j
a
a?a
j
j
由群的性质3可知，a是单位元，即a=e，又由元素的阶数的定义可知，当a为k阶元素时a=e，且k是满足上诉等式的最小正整数，由此可证k?j?n
k
4.4 若g是阶为n的循环群，求群g的母元素的数目，即g的元素
可表示a的幂：
a,a2……..an
所以群g中母元素的数目为n(1-1/p1)………(1-1/pk)个. 4.5
证明循环群的子群也是循环群
证明：设h是g=a的子群，若h=e,显然h是循环群，否则取h 中
最小的正方幂元am，下面证明am是h的生成元,易见am?h，只要证明h中的任何元素都可以表成am的整数次方，由除法可知存在q 和r,使得l=qm+r,其中0?r?m-1,因此有ar=al?qm，因为am是h 中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出
a
=amq?{am}证明完毕。
4.6 若h是g的子群，x和y是g的元素，试证xh?yh或为空，或xh?yh 4.7若h是g的子群,|h|=k,试证：
|xh|=k 其中x?g.
证明：∵h是g的子群，x?g ∴|xh|≤k
如果|xh|k,则必存在a,b?h,使得xa=xb, 因为且x?g所以存在逆元x-1xa=x-1xb ∴a=b ∴|h|k 又∵|h|=k ∴|xh|=k
.4.8 有限群g的阶为n，h是g的子群，则h的阶必除尽g的阶。答案：已知|g|=n, |h|=|g|
m
r
设g={a0,a1,a2.......an?1}， h={b0,b1,b2......bn?1}
因为h是g的子群，所以在h中的一个(bm)r一定在g中对应一个am使得
m
(b)?a
，
所以有brm?am，则rm一定是m的倍数，所以则h的阶必除尽g 的阶。
4．9 g是有限群，x是g的元素，则x的阶必除尽g的阶。
解：证：设|g|=g,则x,x2,x3,?,xg?1中必有相同元。设xk?xl,
1?k?l?g?1，则xl?k?e，1?l?k?g。
对于给定的x，存在最小的正整数r，使得xr?e。于是
h?{x,x2,x3,?,xr}是g 的子群，
若h?g，则?a?h，显然，h?ha??，h?ha?2r。若h?ha?g，则
2r?g,r|gr(k?1)?g
，否则?b?h?ha，hb?(h?ha)??。于是h?ha?hbg，，r|g。证毕。
4.10 若x和y在群g作用下属于同一等价类，则x所属的等价类
ex，y所属的等价类ey有
|ex| = |ey|
解：因为x和y在群g作用下属于同一等价类，所以x和y在群g
作用下存在置换p1使x和y互相转变，即
ex = ey={x,y}
所以|ex| = |ey|。
置换群: 格式: (1)9 ,1个.(1)3(2)3,4个.(1) (4)2,2个.(1)(2)4,1个
=(36+24+4)/8=8
其中划横线为红色,其它为蓝色.共8种着色方案.
4.12：试用burnside引理解决n个人围一圆桌坐下的方案问题。解：
图一
c1
……………………………………
如图：n个人围成一个圆桌的所有排列如上图所示。一共n!个。…………………………
旋转360/i，i={n,n-1,n-2,……1}；得到n种置换
当且仅当i=1的置换（即顺时针旋转360/1度：
p1=(c1)(c2)……(cn!);）
时有1阶循环存在（因为只要圆桌转动，所有圆排列中元素的绝对
位置都发生了变化，所以不可能有1阶循环存在）。
不同的等价类个数就是不同的圆排列个数，根据burnside引理，所以一共有(n-1)!种排列。
4.13 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案，旋转使之重合作为相同处理
解：首先对每个顶点进行编号，分别为1，2，3，4，5，6，根据旋转的角度不同，共可以旋转6次，得到不同的旋转方式c(1)=6 4??5? 6旋转0度： 1??1??23
旋转60度： 2??123456? c(1)=1 旋转120度：3??135??246?
c(1)=2 旋转180度：4??14??25??36? c(1)=3 旋转240度：
5??153??264? c(1)=2 旋转300度：6??165432? c(1)=1 所以g=6，根据polya定理，m=5，
l?11g
mc(1)?mc(2)?...?mc(6)?
612321
5?5?5?5?5?5??6
2635
故一共2635种涂色方案
4.15 对一个正六面体的8个顶点，用y和r两种颜色染色，使其中有5个顶点用色y，其余3个顶点用色r，求其方案数。
解：相当于4.7节中例2中求b5r3的系数，为
[c(8,5)+8c(2,1)]/24=3
【篇三：李凡长版组合数学课后习题答案习题4】1. 求下列数列的生成函数：（1）{0,1,16,81,…,n4,…}解：g{k}=
4
x(1?11x?11x2?x3)
5
（1?x）
3??4??n?3??（2）,??,?, 333??
n?3??1解：g??=??(1?x)4 n
（3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：a(x)=1+2x2+3x4+4x6+…=（（4）{1,k,k2,k3,…}
解：a(x)=1+kx+k2x2+k3x3+…=
1
. 1?kx12
）. 2
2. 求下列和式：（1）14+24+…+n4
解：由上面第一题可知，{n4}生成函数为
x(1?11x?11x2?x3)?k
axa(x)==， ?k5
（1?x）k?0
此处ak=k.令bn=1+2+…+n，则bn=?ak，由性质3即得数列{bn}的生
4
4
4
4
k?0n
i?5?i
x. 成函数为 b(x)= ?bnx==(x?11x?11x?x)i1?xi?1?n?0?
n
a(x)
234
比较等式两边xn的系数，便得
n?1?5??n?2?5??n?3?5??n?4?5?444
1+2+…+n=bn=11?n?2??11?n?3n?4? n?1 30 1
n(n?1)(6n3?9n2?n?1)
2x(1?x)
解：{ n(n+1)}的生成函数为a(x)=
kax=，此处ak= n(n+1). ?k3
k?0n
函数为b(x)=
bnx=
n
n?0
a(x)1?x
=
2x(1?x)4
=2x??
k?3?k
x. ?k?k?0?
n
比较等式两边xn的系数，便得
24
n?2?n(n?1)(n?2)
n?13??
3. 利用生成函数求解下列递推关系：f(n)?7f(n?1)?12f(n?2)（1）?;
f(0)?2,f(1)?7解：令a(x)=?f(n)xn n?0?
则有a(x)-f(0)-f(1)x=
f(n)x=?(7f(n?1)?12f(n?2))x
n
n?2?
n?2
n
=7x?f(n)x?12x
n?1
2
f(n)x
n?0
n
=7x(a(x)-f(0))-12xa(x).
将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得 ? 2?7x11nn
a(x)(3?4). ?2
1?7x?12x1?3x1?4xn?0
2
f(n)?3f(n?1)?5?3n
（2）?;
f(0)?0
解：令a(x)=?f(n)xn，则有
n?0?
a(x)-f(0)=
(3f(n?1)?5?3
n?1
n
)x=3x?f(n)x?15x?3nxn
n
n
n?0
n?0
15x(1?3x)2
第1章 排列与组合 1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5. a a b b a b -=-≤ [解] (a) 5=-b a 将上式分解，得到55 a b a b -=+?? -=-? a = b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a (610)511(454)1651141531+?+?-=?+?=个点。 1.2 5个女生，7个男生进行排列， (a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？ (c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？ [解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。 （7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400 (b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有5 8C 种选择。将女生插入，有5!种方案。故按乘法原理，有： 7!×5 8C ×5!=33868800(种)方案。 (c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有3 5C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8! 由于A ，B 可交换，如图 **A***B** 或 **B***A** 故按乘法原理，有： 2×3 5C ×3!×8!=4838400（种） 1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若 (a) 男生不相邻(m ?n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案. [解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种
第三章 3.12.一年级有100名学生参加中文，英语和数学的考试，其中92人通过中文考试，75人通 过英语考试，65人通过数学考试；其中65人通过中，英文考试，54人通过中文和数学考试，45人通过英语和数学考试，试求通过3门学科考试的学生数。 [解].令：A 1={通过中文考试的学生} A 2={通过英语考试的学生} A 3={通过数学考试的学生} 于是 |Z| =100，|A 1|=92，|A 2|=75，|A 3|=65 |A 1∩A 2|=65，|A 1∩A 3|=54，|A 2∩A 3|=45 此题没有给出： 有多少人通过三门中至少一门； 有多少人一门都没通过。 但是由 max{ |A 1|,|A 2|,|A 3| }=max{92,75,65}=92 故可以认为： 至少有92人通过三门中至少一门考试，即100≥|A 1∪A 2∪A 3|≥92 至多有8人没通过一门考试，即0≤|1A ∩2A ∩3A | ≤8 于是，根据容斥原理，有 |A 1∪A 2∪A 3|=(|A 1|+|A 2|+|A 3|)-(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)+|A 1∩A 2∩A 3| 即 |A 1∩A 2∩A 3|=|A 1∪A 2∪A 3|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|) =|A 1∪A 2∪A 3|-(92+75+65)+(65+54+45) =|A 1∪A 2∪A 3|-232+164 =|A 1∪A 2∪A 3|-68 从而由 92-68≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤100-68 即 24≤|A 1∪A 2∪A 3|-68≤32 可得 24≤|A 1∩A 2∩A 3| ≤32 故此，通过3门学科考试的学生数在24到32人之间。 也可用容斥原理，即 |1A ∩2A ∩3A |=|Z|-(|A 1|+|A 2|+|A 3|)+(|A 1∩A 2|+|A 1∩A 3|+|A 2∩A 3|)-|A 1∩A 2∩A 3| =100-(92+75+65)+(65+54+45)-|A 1∩A 2∩A 3| =100-232+164-|A 1∩A 2∩A 3|
★★★第一章：★★★ 1、用六种方法求839647521之后的第999个排列。提示：先把999换算成递增或递减进位制数，加到中介数上，就不用计算序号了。 解： 字典序法递增进位 制法递减进位 制法 邻位对换法 839647521的中介数72642321 ↑ 67342221 ↑ 12224376 ↓ 10121372↓ 999的中介 数 121211↑121211↑1670↓1670↓ 839647521后999的中介数73104210 ↑ 67504110 ↑ 12230366 ↓ 10123362↓ 839647521后999个的排列842196537 859713426 389547216 → 3 ← 8 → 4 → 5 → 7 → 6 ← 9 ← 21 ★★★第二章★★★ 例5：10个数字（0到9）和4个四则运算符(+,-,×,÷) 组成的14个元素。求由其中的n个元素的排列构成一算术表达式的个数。 因所求的n个元素的排列是算术表达式，故从左向右的最后一个符号必然是数字。而第n-1位有两种可能，一是数字，一是运算符。如若第n-1位是十个数字之一，则前n-1位必然构成一算术表达式。 10a n-1 如若不然，即第n-1位是4个运算符之一，则前n-2位必然是算术表达式。40a n-2,根据以上分析，令a n表示n个元素排列成算术表达式的个数。则 a2=120指的是从0到99的100个数，以及±0,±1,...,±9, 利用递推关系(2-8-1)，得a0=1/2 特征多项式x2-10x-40 。它的根是 解方程 得
例7：平面上有一点P，它是n个域D1,D2,...,D n的共同交界点，见图2-8-4现取k种颜色对这n个域进行着色，要求相邻两个域着的颜色不同。试求着色的方案数。 令a n表示这n个域的着色方案数。无非有两种情况 （1）D1和D n-1有相同的颜色； （2）D1和D n-1所着颜色不同。 第一种情形，域有k-1种颜色可用，即D1D n-1域所用颜色除外；而且从D1到D n-2的着色方案，和n-2个域的着色方案一一对应。后一种D n域有k-2种颜色可供使用；而且从D1到D n-1的每一个着色方案和n-1个域的着色方案一一对应。 利用(2-8-3)得a1=0,a0=k ，(2-8-3)的特征方程为 习题： 4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中AB至少出现一次的排列数目。 解设a n为所求个数，b n为不出现AB的串的个数 a n+ b n=4n, b n=4b n-1-b n-2, // b n-2：前n-2个组成的串中不出现AB的串的个数，最后两位是AB.
组合数学 双卢 答案 1.1 题 从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足 （1）|a-b|=5； （2）|a-b|≤5； 解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5， 由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。 当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。 所以这样的序列有90对。 （2）：由题意知，|a-b|≤5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0； 由上题知当|a-b|=5时 有90对序列。 当|a-b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。 当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对， 当|a-b|=0时有50对 所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？ 解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！×5！， （b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！ （c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下： 6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*2 1．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*2 2．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*2 3．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*2 4．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*2 5．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。 1.3题 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m,n 都是正整数，若 (a)男生不相邻)1(+≤n m ; (b)n 个女生形成一个整体； (c)男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：(a) 可以考虑插空的方法。 n 个女生先排成一排，形成n+1个空。因为1+≤n m 正好m 个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。 则男生不相邻的排列个数为 p p n m n n 1+? (b) n 个女生形成一个整体有n ！种可能，把它看作一个整体和m 个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。 因此，共有)!1(!+?m n 种可能。 (c)男生A 和女生B 排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有2！种可能， A 、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！ (这里实际上是m+n-2个学生和AB 的组合形成的)种可能。共有组合数为)!1(!2-+?n m 1.4题 26个英文字母进行排列，求x 和y 之间有5个字母的排列数 解：C （24，5）*13！ 1.5题 求3000到8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。 解：根据题意，千位可以从3，4，5，7，6中选取，个位可以从1，3，5，7，9中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=1232 1.6 题 计算，1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！ 解：由序数法公式可知 1!+1=2! 2·2!+1·1!+1=3! 3·3！+2·2！+1·1！+1=4！ n·n!+(n-1)(n-1)!+。。。+2·2!+1·1!+1= (n+1)! 所以1·1！+2·2！+3·3！+。。。+n·n ！=(n+1)!－１ 1.7题 试证：)2()2)(1(n n n ++被2n 除尽。 证明：因!)!12(!2)!2(-=n n n n !)!12(2 !)! 2(2!)2()2)(1(!2)2()2)(1(-==++=++n n n n n n n n n n n n n n
组合数学卢开澄答案 【篇一：组合数学-卢开澄-习题答案】 第一章答案 1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} ) (b) 45?5+(4+3+2+1) = 235 ( 1?2?6, 2?3?7, 3?4?8, …,45?46?50, 46?47?50, 47?48?50, 48?49?50, 49?50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! p(8,5) (c) 2 p(5,3) 8! 3. (a) n!p(n+1, m)(b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 p(24,5) 20! 5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2?5?p(8,2)+3?4?p(8,2). 6. (n+1)!-1 7. 用数学归纳法易证。 8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m5n,个数为41?31. 9. 设有素数因子分解n=p1n11p2 n22…pk nkk, 则n2的除数个数为 ( 2n1+1) (2n2+1) …(2nk+1). 10．1）用数学归纳法可证n能表示成题中表达式的形式； 2）如果某n可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a3；…；这说明表达式是唯一的。 11．易用c(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。组合意义： 右：从n个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数； 左：上述组合中，先从n个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 c(n-1,r) 次。 12．考虑?cx?(1?x),求导数后有?kcnkxk?1?n(1?x)n?1, kn k n k?0 k?0 n n 令x=1, 即知?kcnk?n2n?1. k?0
习题四 4.1.若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂，即a= x m，则称这个群为循环群。若群的 元素交换律成立，即a , b∈G满足 a⋅b = b⋅a 则称这个群为阿贝尔(Abel)群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。 [证].设循环群(G, ⋅)的生成元是x0∈G。于是，对任何元素a , b∈G，∃m，n∈N，使得a= x0m , b= x0n ,从而 a⋅b = x0m⋅x0n = x0m +n (指数律) = x0n +m (数的加法交换律) = x0n⋅x0m(指数律) = b⋅a 故⋅运算满足交换律；即(G, ⋅)是交换群。 4.2.若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证： C={e,x,x2, ⋯,x m-1} 是G的一个子群。 [证].(1)非空性C ≠∅：因为∃e∈G； (2)包含性C⊆G：因为x∈G，根据群G的封闭性，可知x2, ⋯,x m-1,(x m=)e∈G，故C⊆G； (3)封闭性∀a , b∈C⇒ a ⋅b∈C：∀ a , b∈C，∃k，l∈N (0≤k 题目： 1. 已知集合A={a,b,c,d},求A的子集的个数。 答案： 集合A={a,b,c,d}的子集的个数可以用组合数学中的2^n来计算，其中n表示集合A中 元素的个数，即n=4，因此A的子集的个数为2^4=16。 A的子集可以分为空集和非空集，空集只有 一个，即空集，而非空集有15个，它们分 别是：{a}、{b}、{c}、{d}、{a,b}、{a,c}、{a,d}、{b,c}、{b,d}、{c,d}、{a,b,c}、{a,b,d}、{a,c,d}、{b,c,d}、{a,b,c,d}。 由此可知，集合A={a,b,c,d}的子集的个数为16个。 2. 已知集合A={1,2,3,4,5},求A的子集的个数。 答案： 集合A={1,2,3,4,5}的子集的个数可以用组合数学中的2^n来计算，其中n表示集合A 中元素的个数，即n=5，因此A的子集的个 数为2^5=32。 A的子集可以分为空集和非空集，空集只有 一个，即空集，而非空集有31个，它们分 别是：{1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{1,2}、{1,3}、{1,4}、{1,5}、{2,3}、{2,4}、{2,5}、{3,4}、{3,5}、{4,5}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,3,4}、{1,3,5}、{1,4,5}、{2,3,4}、{2,3,5}、{2,4,5}、{3,4,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,3,4,5}、{2,3,4,5}、{1,2,3,4,5}。 由此可知，集合A={1,2,3,4,5}的子集的个数为32个。 第6章 容斥原理及应用 6.7 练习题 3、求出从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数个数。 解：∵100001002=,9261213=,10648223= ∴从1到10000，共有100个平方数，21个立方数 又∵409646=，1562556= ∴从1到10000，共有4个6次方数，也就是共有4个数既是平方数又是立方数 计算：10000-100-21+4=9883 ∴从1到10000既不是完全平方数也不是完全立方数的整数有9883个 □ 4、确定多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34， 的12-组合的个数。 解：设T ：{}d c b a S ⋅∞⋅∞⋅∞⋅∞=,,,*的所有12-组合 1A ：a 的个数大于4的12-组合 2A ：b 的个数大于3的12-组合 3A ：c 的个数大于4的12-组合 4A ：d 的个数大于5的12-组合 要求的是： 4321A A A A ⋂⋂⋂ = T )(4321A A A A +++- )(434232413121A A A A A A A A A A A A ⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+⋂+ )(432431421321A A A A A A A A A A A A ⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂- )(4321A A A A ⋂⋂⋂+ T =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+121412=455 1A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 2A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+8148=165 3A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+7147=120 4A =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+6146=84 21A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 31A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 41A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1141=4 32A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3143=20 42A A ⋂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2142=10 43A A ⋂=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+1141=4 321A A A ⋂⋂=421A A A ⋂⋂=431A A A ⋂⋂=432A A A ⋂⋂=4321A A A A ⋂⋂⋂=0 455-（120+165+120+84）+（20+10+4+20+10+4）=34 ∴多重集{}d c b a S ⋅⋅⋅⋅=5,4,34， 的12-组合的个数是34 □ 9、确定方程 204321=+++x x x x 满足 611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x 的整数解的个数。 解：设 116x y -=， 227x y -=， 338x y -=， 446x y -= 则原方程等价于 确定方程 74321=+++y y y y 满足 501≤≤y ， 702≤≤y ， 403≤≤y ， 404≤≤y 的整数解的个数。 设S ：74321=+++y y y y 的所有非负整数解的集合 1A ：74321=+++y y y y 的所有满足61≥y 的非负整数解的集合 2A ：74321=+++y y y y 的所有满足82≥y 的非负整数解的集合 3A ：74321=+++y y y y 的所有满足53≥y 的非负整数解的集合 4A ：74321=+++y y y y 的所有满足54≥y 的非负整数解的集合 若j i ≠，则∅=⋂j i A A ,那么要求的是： 作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m+1)行 1 1 2 m m + ⎛⎫ + ⎪ ⎝⎭ 列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以 选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有 1 2 m+ ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 种，这样一列中两个同色单元格的位 置组合共有 1 2 m m + ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ 种情况 １.１ 从{}5021，，，⋅⋅⋅中找两个数{}b a ,，使其满足 （1） 5||=-b a ； （2）5||≤-b a 解：（1）根据5||=-b a 可得 5 5-=-=-b a b a 或 则有 种 种4545 共有90种。 （2）根据5||≤-b a 得 ) 50,,2,1(,5 5{⋅⋅⋅∈+≤≤-b a b a b 则：当5≤b 时，有 1=b ， 61≤≤a ， 则有 6种 2=b ， 71≤≤a ， 则有7种 3=b ， 81≤≤a ， 则有8种 4=b ， 91≤≤a ， 则有 9种 5=b ， 101≤≤a ， 则有10种 当455≤ 第二章作业答案 7. 证明，对任意给定的52个整数，存在两个整数，要么两者的和能被100整除，要么两者的差能被100整除。 证明 用100分别除这52个整数，得到的余数必为0, 1,…, 99这100个数之一。将余数是0的数分为一组，余数是1和99的数分为一组，…，余数是49和51的数分为一组，将余数是50的数分为一组。这样，将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道，存在两个整数分在了同一组，设它们是a 和b 。若a 和b 被100除余数相同，则b a -能被100整除。若a 和b 被100除余数之和是100，则b a +能被100整除。 11. 一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排她的学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。 证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。因为她每天至少学习1小时，所以 3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间 不超过 60 小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。3721,,,a a a , 13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相 同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。 14. 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉、100个桔子和100个梨。如果我每分钟从袋子里取出一个水果，那么需要多少时间我就能肯定至少已拿出了1打相同种类的水果？ 解 由加强形式的鸽巢原理知道，如果从袋子中取出451)112(4=+-⨯个水果，则能肯定至少已拿出12个相同种类的水果。因此，需要45分钟。 17. 证明：在一群1>n 个人中，存在两个人，他们在这群人中有相同数目的熟人（假设没有人与他/她自己是熟人）。 证明 因为每个人都不是自己的熟人，所以每个人的熟人的数目是从0到1-n 的整数。若有两个人的熟人的数目分别是0和1-n ，则有人谁都不认识，有人认识所有的人，这是不可能的。因此，这n 个人的熟人的数目是1-n 个整数之一，必有两个人有相同数目的熟人。 第三章作业答案 6. 有多少使下列性质同时成立的大于5400的整数？ (a) 各位数字互异。 (b) 数字2和7不出现。 解 因为只能出现数字0, 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9，所以整数的位数至多为8。 测试题 ——组合数学 一、选择题 1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（） A.有一名学生分得11本书 B.至少有一名学生分得11本书 C.至多有一名学生分得11本书 D.有一名学生分得至少11本书 2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（） A.!63⨯ B.!64⨯ C.!66⨯ D.!68⨯ 3. 10名嘉宾和4名领导站成一排参加剪彩，其中领导不能相邻，则站位方法总数为（） A.()4,11!10P ⨯ B.()4,9!10P ⨯ C.()4,10!10P ⨯ D.!3!14- 4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510 B.⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛510510 C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49 D.⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4949 5. 设x,y 均为正整数且20≤+y x ，则这样的有序数对()y x ,共有（）个 A.190 B.200 C.210 D.220 6. 仅由数字1，2，3组成的七位数中，相邻数字均不相同的七位数的个数是（） A.128 B.252 C.343 D.192 7. 百位数字不是1且各位数字互异的三位数的个数为（） A.576 B.504 C.720 D.336 8. 设n 为正整数，则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k n 02等于（） A.n 2 B.12-n C.n n 2⋅ D.12-⋅n n 9. 设n 为正整数，则() k k n k k n 310 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=的值是（） A.n 2 B.n 2- C.()n 2- D.0 10.设n 为正整数，则当2≥n 时，∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n k k k 22=() A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3n B.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+21n C.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+31n D.22+⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛n 第1章 排列与组合 1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5. a a b b a b -=-≤ [解] (a) 5=-b a 将上式分解，得到55 a b a b -=+⎧⎨ -=-⎩ a = b –5，a=1，2，…，45时，b ＝6，7，…，50。满足a=b-5的点共50-5=45个点. a = b+5，a=5，6，…，50时，b ＝0，1，2，…，45。满足a=b+5的点共45个点. 所以，共计2×45=90个点. (b) 5≤-b a (610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。 1.2 5个女生，7个男生进行排列， (a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？ (c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？ [解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。 （7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400 (b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有5 8C 种选择。将女生插入，有5!种方案。故按乘法原理，有： 7!×5 8C ×5!=33868800(种)方案。 (c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有3 5C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8! 由于A ，B 可交换，如图 **A***B** 或 **B***A** 故按乘法原理，有： 2×3 5C ×3!×8!=4838400（种） 1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若 (a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起； 分别讨论有多少种方案. [解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种组合数学课后习题答案
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