高一直观图三视图及体积面积计算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为
2．如图为某几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）
A．圆锥 B．三棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
3．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）
4．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）
A．6 B．8 C．2＋2．2＋3
5．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是（）
6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
A ．13+
B ．23+
C ．122+
D ．22
7．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．64
B ．72
C ．80
D ．112
9．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）
A ．
83
π
B ．32π
C ．8π
D ．82π 10．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）
A ．π
B ．
2π C ．3π D ．6
π 11． 三棱锥S -ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图所示,则其侧视图
的面积为 （ ）
A 6
B 6．2
2
D 2
13．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．12 14．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是（ ）
A 、
1
3
B 、32
C 、33
D 、36
15．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为
（ ）
A ．24－
32π B ．24－3π C ．24－π D ．24－2
π 16．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为
A ．36
B ．8
C ．38
D ．12
17．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）
A ．3
1cm B ．3
2cm C ．3
3cm D ．3
6cm 18．已知几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为 （ ）
A ．
3
4
B ．4
C ．324
D ．334
19．如图是一个四棱锥的三视图,则该几何体的体积为（ ）
（A ）
403 （B ）323 （C ）163 （D ）28
3
20．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．108cm3 B．100 cm3 C．92cm3 D．84cm3
21．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为
103，则h=( )
A．
3
2
B．3 C．33 D．53
22．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A．
2
8
3
π
- B．8
3
π
- C．82π
- D．
2
3
π
23．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
N
M
F
E
D C
B
A
①BM与ED平行
②CN与BE是异面直线
③CN与BM成?
60角
④DM与BN是异面直线
以上四个结论中，正确结论的序号是（）
A．①②③ B．②④ C．③④ D．①③④
24．（2014?未央区二模）已知三棱锥的正视图与俯视图如图，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能为（）
A. B. C.
D.
二、填空题
25．水平放置的某三角形的直观图是直角边为2的等腰直角三角形，如图，则原三角形的面积是．
26．三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于．
27．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体
的体积是 cm3．
m 28．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为________3
29．如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是__ ___cm2，体积为_ __ cm3．
30．如图，网格纸上正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的
各条棱中，最长的棱的长度为．
31．某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为___________.
32．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体最长棱的棱长为
cm ．
33．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的表面积为________________ .
34．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积是_________；
正(主)视图
俯视图侧(左)视图
3
4
4
3
3
3
三、解答题
35．一个多面体的直观图及三视图如图所示，其中 M ，N 分别是 AF 、BC 的中点
（1）求证：MN ∥平面CDEF ； （2）求多面体A-CDEF 的体积．
36．如图，某多面体的直观图及三视图如图所示： E,F 分别为PC,BD 的中点
（1）求证：PAD EF 平面// （2）求证：PAD PDC 平面平面 （3）求此多面体的体积
A
P
B
C E
F
D 1 2
2
侧视图
俯视图
1 1 11
2 1
立体几何三视图体积表面积 一、选择题 1．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ） （A ）48122+ （B ）48242+ （C ）72122+ （D ）72242+ 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） （A ）22 （B ）43 （C ）8 3 （D ）4 3．一个几何体的三视图如图，则其体积为（ ） A ．20 3 B ．6 C ．16 3 D ．5 % 4．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于 （ ） /正视图 俯视图 2 2 2
A ． 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．6 3 5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ） A ．3 4π B ．23π C ．π D ．π3 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ） ! A ．80 B ．40 C ．803 D ．403 7．某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为 正视图 侧视图 俯视图
（A）200+9π （B）200+18π （C）140+9π （D）140+18π 8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（） 侧（左）视图 俯视图 正视图 1 1 1 1 2 2 * A B C D 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A．π2B．2π2C． 3 π D． 2 3 π 10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）
A ．8π B ．16π C ．32π D ．64π 二、填空题 ) 11．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______． 12．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______. 13．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为 ，外接球的表面积为 ． 14．用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____3m ． & 15．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________． 16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的
常见几何体的体积和表面积公式及三视图 公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-
常见几何体的体积和表面积公式及三视图谨记常见几何体的三视图特点：一般情况下，（1）视图中有两个是矩形的几何体是柱体；（2）视图中有两个是三角形的几何体是锥体；（3）视图有两个是梯形的几何体是台体；（4）视图中有两个是圆的几何体是球. （2016年全国II高考）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为 【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( )【2017浙江，3】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 【2013课标全国Ⅰ，理8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3. （2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 28π3，则它的表面积是 【2017山东，理13】由一个长方体和两个1 4 圆柱体构成的几何体的三视图如右图，则该 几何体的体积为 . 【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）
三视图及其表面积体积 一、选择题 1．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ） A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ） A ．38 B ．π34 C ．π12 D ．π338 3．某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（ ） A. 320 B. 10 C. 340 D. 3 50 4．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为233 ，则该锥体的俯视图可以是（ ）
A ． B ． C ． D ． 5．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ） A.π23 B.3+π C.323+π D.325+π 6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ） A ．126+π B ．246+π C ．1212+π D ．1224+π 7．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 8．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为
A ．8π3+ B ．8π23+
C ． 8π83+ D ．8π163+ 9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A ．320 B ．316 C ．68π - D ．38π - 10．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．22514++ B ．16214+ C ．8214+ D ．814+ 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.16 B.26 C.32 D.25 2034+12．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥
三视图求表面积体积1．一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A. 1 B. 43 3 C. 2 D. 83 3 2．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（） A. 30π B. 29π C. 29 2 π D. 216π 3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为
A. 8 B. 16 2 C. 10 D. 62 4．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A. 43 π B. 3π C. 3 D. π 5．若一个正四面体的表面积为1S ，其切球的表面积为2S ，则 12S S =（ ） A. 6π B. 63 C. 43 D. 43 6．已知直三棱柱111ABC A B C -中， 90BAC ∠=?，侧面11BCC B 的面积为4，则直三棱柱111ABC A B C -外接球表面积的最小值为（ ） A. 4π B. 8π C. 16π D. 32π 7．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且5,7,2AB BC AC ===，则此三棱锥的外接球的体积为（ ） A. 83π B. 82 C. 163π D. 323 π 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 （ ）
A. 7 2 π B. 4π C. 9 2 π D. 5π 9．某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形，则该四棱锥的体积是（） A. 4 3 B. 22 3 C. 23 D. 8 3 10．某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（） A. 13π B. 16π C. 25π D. 27π 11．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）
由三视图求表面积和体积一、方法与技巧 二、常见几何体 1．（2016?XX模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．60 B．54 C．48 D．24 【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4， 底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5． ∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60． 故选：A． 2．（2016?凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（） A．6 B．12 C．24 D．36 【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥 其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3 故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12 故选B 3．（2016?XX校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． B． C．27﹣3πD．18﹣3π 【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，
由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2， 圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==， 故选：B． 4．（2016?XX二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（） A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3 【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3 故选A 5．（2016?江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（） A．12πB．15πC．24πD．36π 【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5， 底面圆的面积S1=π×（）2=9π． 侧面积S2=π×3×5=15π， 表面积为S1+S2=24π． 故选C．
常见几何体的体积和表面积公式及二视图 S宜楼ttm ? h『S IE檢台帽=^y （c+c z）// 2.圆柱、側锥"圆台的侧面积与表面积（厂*‘为底面半径显为母线长} 侧面积S. 比=2砒无卄=罰S^=7r（r+/）/ z） 表面积S.柱需=2nr（r+/）升卄=nr■（厂+Z）=7t（r+/）/+K（r2 1 1 ______________________________ 4 ?铁体=&7 "台第=石（'+ JSS+S‘ ）h = — ^R z
谨记常见几何体的三视图特点：一般情况下， （1）视图中有两个是矩形的几何体是柱体； （2）视图 中有两个是三角形的几何体是锥体； （ 3 ）视图有两个是梯形的几何体是台体； （4 ）视图中有两个是 圆的几何体是球? （2016年全国II 高考）下图是由圆柱与圆锥组 （2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的 儿何体 葭观图 W( 图 俯觇圈 说明 正三 正三棱锥的M 个觇图是3 牛三角形 正四 正六 正pq 棱無的3亍观图是2 亍三角壮和1个正方形 f 含对角线） 正六棱無的3个幌图是2 个 三角形和1个六边形 （含对角线） 圆議的3个视图息2个 尊腰三角形和1个岡 说明 正四 棱台 正检台仪闘台的正觇图、 侧视图均为梯形■帕觇图 为环形 球的3平视罔均为圈
【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正视图和 俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为（） 【2013课标全国I,理8】某几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积为 （2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示 cm）,则该几何体的表面积是 3 cm . A T 正视图 Q 俯视图 2 2 正视图侧视图 【2017浙江，3】某几何体的三视图如 图所示（单位：cm）,则该几何体的体 3 积（单位：cm）是 （单 位: 体 2 cm
常见几何体的体积和表面积公式及三视图
谨记常见几何体的三视图特点：一般情况下，（1）视图中有两个是矩形的几何体是柱体；（2）视图中有两个是三角形的几何体是锥体；（3）视图有两个是梯形的几何体是台体；（4）视图中有两个是圆的几何体是球. （2016年全国II高考）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体
为 积为 【2011全国新课标，理6】在一个几何体的三视图中，正 视图和俯视图如下图所示，则相应的侧视图可以为( ) 【2017浙江，3】某几何体的三视图 如图所示（单位：cm），则该几何体 的体积（单位：cm3）是 【2013课标全国Ⅰ，理8】某几何体的三视图 如图所示，则该几何体的体积为 （2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所 示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是cm3. （2016年全国I高考）如图，某几何体 的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条互相垂直的半径.若该几何体的体 积是 28π 3 ，则它的表面积是 【2017山东，理13】由一个长方体和两个1 4 圆柱体构 成的几何体的三视图如右图，则该几何体的体积为 .
【2014课标Ⅰ，理12】如图，网格纸上小正方 形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视 图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 （） 【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所 示，则该四棱锥的最长棱的长度为 【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所 示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角 三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰 直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯 形，这些梯形的面积之和为 【2017课标II，理4】如图，网格纸上小正方形 的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图， 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则 该几何体的体积为（） （2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所 示，则该三棱锥的体积为（） 【2012全国，理7】如图，网格纸上小正方形 的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图， 则此几何体的体积为( )
空间几何体的三视图、表面积、体积专题练习（宋） 1、若一个几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且体积为1 2 ,则该几何体的俯视图是( ) 2. 3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为2的正方形， 主视图与左视图是边长为2的正三角形，则其全面积是 A．8 B．12 C ．4(1D ． 4. A．1 4+ πB．1 3 4 + π C．8 3 4 + π D．8 4+ π 5. 如右图，已知一个锥体的正（主）视图，侧（左）视图和 俯视图均为直角三角形，且面积分别为3，4，6，则该锥 体的体积为 A．24B．8C．12D．4 6.如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视 图轮廓为正方形，则其体积是() A. 42 3 B. 43 3 C. 3 6 D. 8 3 俯视图
7.用大小相同的且体积为1的小立方块搭一个几何体，使它的主视图 和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A ．9与13 B ．7与10 C ．10与16 D ．10与15 8.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 9.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中 ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边 形，那么该几何体的侧视图的面积为 A.12 B.32 C.2 3 D.6 10. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象可能是（ ） 11.(2008年海南宁夏卷)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a ＋b 的最大值为( ) A. 22 B. 23 C. 4 D. 2 5 12.如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F 这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位 置，则字母A,B,C 对面的字母分别为 ( ) (A) D ,E ,F ( B) F ,D ,E ( C) E, F ,D ( D) E, D,F 13.一个正三棱柱的三视图如下所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ）. A. 2， B. 2 C. 4，2 D. 2，4 14如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（ ）. （不考虑接触点） 主视图 正视图侧视图 俯视图 A 俯视图 左视图 正视图 俯视图 侧视图 C A
第2讲空间几何体的表面积与体积 考点 考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大． 【复习指导】 本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题． 基础梳理 1．柱、锥、台和球的侧面积和体积 2. (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．
两种方法 (1)解与球有关的组合体问题的方法，一种是切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图． (2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高．这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )． A．4πS B．2πS C．πS D.23 3 πS 解析设圆柱底面圆的半径为r，高为h，则r＝S π ， 又h＝2πr＝2πS，∴S圆柱侧＝(2πS)2＝4πS. 答案 A 2．(2012·东北三校联考)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )． A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 解析由于长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，则长方体的体对角线长为2a2＋a2＋a2＝6a.又长方体外接球的直径2R等于长方体的体对角线，∴2R＝6a.∴S球＝4πR2＝6πa2. 答案 B
专题五立体几何 第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积 考点一空间几何体的三视图与直观图 1．三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系 S′＝ 2 4S. [对点训练] 1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()
[解析]两个木构件咬合成长方体时，小长方体(榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A，故选A. [答案] A 2．(2018·河北衡水中学调研)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为() [解析]过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形，故选C.
[答案] C 3．(2018·江西南昌二中模拟)一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( ) A ．8 B ．4 C ．4 3 D ．4 2 [解析] 由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AB ＝AC ＝4，DB ＝2，则易得S △P AC ＝S △ABC ＝8，S △CPD ＝12，S 梯形ABDP ＝12，S △BCD ＝1 2×42×2＝42，故选D.
由三视图求表面积和体积 一、方法与技巧 二、常见几何体 1．（2016?益阳模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（） A．60 B．54 C．48 D．24 【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，
底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5． ∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60． 故选：A． 2．（2016?凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（） A．6 B．12 C．24 D．36 【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥 其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3 故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12 故选B 3．（2016?衡水校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．B．C．27﹣3πD．18﹣3π 【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱， 由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2， 圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==， 故选：B． 4．（2016?广元二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）
A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3 【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3 故选A 5．（2016?江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（） A．12πB．15πC．24πD．36π 【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5， 底面圆的面积S1=π×（）2=9π． 侧面积S2=π×3×5=15π， 表面积为S1+S2=24π． 故选C． 6．（2016?安康二模）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．B．C．D．
三视图及其表面积体积 一、选择题 1．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ） A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ） A ． 3 8 B ．π34 C ．π12 D ．π338 3．某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（ ） # A. 320 B. 10 C. 340 D. 3 50 4．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为 23 3 ，则该锥体的俯视图可以是（ ） A ． B ． C ． D ．
5．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ） A.π23 B.3+π C.323+π D.32 5 +π 6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ） （ A ．126+π B ．246+π C ．1212+π D ．1224+π 7．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 8．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为 A ． 8π3+ B ．8π 2 3+ C ． 8π83+ D ．8π163+ 9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （ ） }
温馨提示： 此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块。 考点30 空间几何体的结构及其三视图和直观 图、空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1.(2015·浙江高考理科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 是 ( ) cm 3 cm 3 C. 3323cm D. 3 403cm 【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解. 【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积V=23 +×22 ×2=(cm 3 ). 2.(2015·浙江高考文科·T2)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 是 ( ) cm 3 cm 3 C. cm 3 D. cm 3
【解题指南】由几何体的三视图判断原几何体的构成,再求解. 【解析】选C.由题意得,该几何体为一正方体与四棱锥的组合,所以体积 3 32 2231223=??+=V (cm 3). 3. （2015·安徽高考文科·T9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积 是 ( ) （A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22 【解题指南】根据三视图做出几何体的直观图进行计算。 【解析】选C 。由该几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示： 其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ABC ?，由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=2，取AC 中点O 连接PO,BO ，则在Rt POB 中，PO=BO=1，可得PB=2，所以 31 =22+22=2+32S ? ???C 。 4. （2015·安徽高考理科·T7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） A 、13+、23+ C 、122+、22
第3课时由三视图确定几何体的表面积或 李度一中陈海思体积 【知识与技能】 熟练掌握已知空间几何体的三视图求其表面积和体积的方法. 【过程与方法】 1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力. 2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维. 【情感态度】 通过研究三视图，研究我国著名建筑物的三视图研究，培养学生的爱国情结. 【教学重点】 观察，实践，猜想和归纳的探究过程. 【教学难点】 如何引导学生进行合理的探究. 一、复习提问 1.如何求空间几何体的表面积和体积（例如：球，棱柱，棱台等）； 2.三视图与其几何体如何转化. 二、思考探究，获取新知 如图是一个几何体的三视图，已知左视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：m)，求该几何体的面积和体积. 解该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的
高为3cm.则底面边长为2cm ，故S 底面面积=）（2cm 3232=÷ S 侧面面积=2×3×3=18 (cm2) 故这个几何体的表面积S = 2S 底面面积十S 侧面面积 =）（2cm 1832+ 三棱柱的体积是V=）（3cm 3333=? 【教学说明】空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清 楚，然后再代公式进行计算. 求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那么请同学们动脑筋想一想，假设没 有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积呢？此时应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算 思考 如何求出四棱台的表面积和体积？ 请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么（让学生思考）. 【总结归纳】求组合几何体的表面积的时候容易出错. 三、典例精析、掌握新知 例1 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ） A.52 B.32 C24 D.9 【分析】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，因此这个长方体的体积为4×2×3 = 24(平 方单位） 【答案】C
1 立体几何三视图体积表面积 1 2 3 一、选择题 4 1．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ） 5 6 （A ）48122+（B ）48242+7 （C ）72122+（D ）72242+8 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 9 10 （A ）2 （B ）43 （C ）8 3 （D ）4 11 3．一个几何体的三视图如图，则其体积为（ ） 12 侧视图 正视图 俯视图 2 2 2
13 A ． 203 B ．6 C ．16 3 D ．5 14 4．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体15 积等于 （ ） 16 17 A ． 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．6 3 18 5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的19 正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ） 20 21 A ． 3 4π B ．23π C ．π D ．π3 22 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ） 23 正视图 侧视图 俯视图
3 24 A ．80 B ．40 C ． 803 D ．403 25 7．某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为 26 27 （A ）200+9π 28 （B ）200+18π 29 （C ）140+9π 30 （D ）140+18π 31 8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ） 32 侧（左）视图 俯视图 正视图 111 12 2 33 A B C 34
D 35 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 36 37 A ．π2 B ．2π2 C ． 3 π D ．23π 38 10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ） 39 40 A ．8π B ．16π C ．32π D ．64π 41 42 43 二、填空题 44 11．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______． 45 46 47 12．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______. 48
由三视图求面积、体积 1．由三视图求面积、体积 【知识点的认识】 1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度； （2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度． 2．三视图的画图规则： （1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐； （2）长对正：主视图和俯视图的长相对应； （3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等． 3．常见空间几何体表面积、体积公式 圆柱：?圆柱=2??(?+?) （1）表面积公式：{圆锥：?圆锥=??(?+?) 圆台：?圆台=?(?2+?′2+??+ ?′?) 球：?球=4??2 柱体：?柱=?? 1 锥体：?锥=?? （2）体积公式：{
台体：?台=(?+??′+?′)? 3 3 球：?球=4?? 3 1/ 3
【解题思路点拨】 1．解题步骤： （1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球） （2）选对应公式 （3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高） （4）代公式计算 2．求面积、体积常用思想方法： （1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解； （2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法； （3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积； （4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法． 【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算． 例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A.8﹣2π B.8﹣π C.8 ―? 2D.8 ― ? 4 1 分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入 4 正方体与圆柱的体积公式计算．
三视图及表面积、体积 由三视图还原几何体的方法： 也可以根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题． 常见的有以下几类： （1）三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥； （2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥； （3）三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥； （4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱； （5）三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱； （6）三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱； 1．【2017·全国卷】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 2．【2017·浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是 A ．12+π B ．32+π C ．123+π D ．32 3+π
3．【2017·北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A ．23 B ．32 C ．22 D ．2 【答案】B 4．【2016·全国卷Ⅱ】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A ．π20 B ．π24 C ．π28 D ．π32 【答案】C 5．【2016·北京卷】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A ．61 B ．31 C ．21 D ．1 【答案】A
6．【2015·陕西卷】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．π3 B ．π4 C ．42+π D ．43+π 【答案】D 7．【2016·全国卷Ⅲ】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 A ．53618+ B ．51854+ C ．90 D ．81 【答案】B 8．【2015·全国卷Ⅱ】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A ．81 B ．71 C ．61 D ．5 1 【答案】D 9．【2016·山东卷】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为
由三视图求面积、体积（北京习题集）（教师版） 一．选择题（共10 小题） 1．（2019 秋?通州区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长度为 ( ) A． 2 7 B． 4 2 C． 2 11 D． 4 3 m 2．（2020?朝阳区模拟）若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为，如图是某四面体的三视 n 图，则这个四面体的直度为 ( ) 1 1 3 A．B．C．D．1 4 2 4 3．（2020?平谷区一模）某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．0 4．（2019 秋?房山区期末）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( )
2 4 A．B．C．2 D．4 3 3 4 3 5．（2020?延庆区一模）某四棱锥的三视图所示，已知该四棱锥的体积为，则它的表面积为 ( ) 3 A．8 B．12 C． 4 4 3 D．20 6．（2020?门头沟区一模）某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 1 的等腰直角三角形和边长为 1 的正方形，则该几何体中最长的棱长为 ( ) A． 2 B． 3 C．1 D． 6
7．（2019 秋?大兴区期末）某四棱锥的三视图如图所示，如果方格纸上小正方形的边长为 1，那么该四棱锥体积为 ( ) A．4 B．10 C．12 D．30 8．（2020?朝阳区模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥中最长的棱的长度为 ( ) A． 5 B．3 C． 6 D． 2 3 9．（2019 秋?昌平区期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) 8 4 A．B．C． 2 2 D．4 3 3 10．（2020?房山区一模）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ( )
十三 三视图与体积、表面积 1．由三视图求面积 例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________． 【答案】33π 【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积211 43182 S = ?π?=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π??=π，∴表面积为1233S S S =+=π． 2．由三视图求体积 例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．4 B ． C ． D ．8 【答案】D 【解析】由于长方体被平面所截， ∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，
从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=， ∴22416V =?=长方体，∴1 82 V V ==长方体，故选D ． 一、单选题 1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =??+??-π?+π?=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ） 对点增分集训
4, 由二视图求表面积和体积 方法与技巧 提風：商单几何体的三视图可概 括如下： (1) 棱柱：两矩形和一多边形$ (2) 械锥；两三角形和一梦边形』 (3) 械台*两拼形和两多边形(多 边 瞄相似且顶点相连)* (4) Ifl 拄*两矩形舸一M t (5) 圆锥：两三角号和一个带有3D 心的?h (6) m 台：荫辅形和两同心圆$ 竹) 球：三个大小相等的圆* L 技巧：根据几何体的三視图想 象其 直观图时*可以从熟知的某 一视图出发，想字岀直观图'再验 证其他视图是否正璃. 2, 技巧：根据几何体的直现田想 象 其三视田时，若儿何体是某一 熟蠱的几何图形通过分割形成 的，可以将几何体还原塔求 3. 技巧：同一几何体的三视图，由 于 几何体放ZUX 不同，几何体 的三视谢也不一致. 4. 技巧：本题中根据正视图粗例 视 困知，三核锥一条侧祓与底而 蠡直，结合其直观图抑斷三視图 的敎择在直观图中对应的几何量■ 解法蘭簿二：将三视图还原成直 观图是解决该类问题的关键?其 解题技巧是熟练拿握一些简单几 何体的三觇图，想象该几何体的 构曲復或将三亍方向获得的信恵 综合?绘制几何图形，然后检验其 三視图是否与已知相符合，确保 无误后再进行计算. 提醮：说三视图为栽体考查凡何 怵的衷面积、体和，关键是能够对 给出的三观图进行恰省的分析” 从三视圉中发现凡何体中务无彖 间的位11关系及数量关系* 二、常见几何体 1. ( 2016?益阳模拟)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( A . 60 B . 54 C . 48 D . 24 【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为 ?— 4 — ? t 3 1 正视團
由三视图求表面积和体积 一、 方法与技巧 二、常见几何体 1．（2016?益阳模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ） A ．60 B ．54 C ．48 D ．24 【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，
底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5． ∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60． 故选：A． 2．（2016?凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（） A．6 B．12 C．24 D．36 【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥 其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3 故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12 故选B 3．（2016?衡水校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．B．C．27﹣3πD．18﹣3π 【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱， 由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2， 圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==， 故选：B． 4．（2016?广元二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）
A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3 【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3 故选A 5．（2016?江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（） A．12πB．15πC．24πD．36π 【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5， 底面圆的面积S1=π×（）2=9π． 侧面积S2=π×3×5=15π， 表面积为S1+S2=24π． 故选C． 6．（2016?安康二模）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．B．C．D．