圆锥曲线与平面向量交汇问题热点透视
由于平面向量具有代数（坐标）表示和几何（有向线段）表示的特点，这就使其成为表述圆锥曲线问题的重要载体。圆锥曲线与平面向量的交汇问题是近几年各省市新课程高考考查的热点之一，这类问题往往与向量、函数、方程、不等式、数列等知识相融合，具有知识点多、覆盖面广、综合性强的特点，能有效考查学生的思维水平和综合能力。下面结合近几年的部分高考题，介绍高考对这类问题考查的六大热点，供复习参考。
热点1——求圆锥曲线的方程
例1如图1，A,B,C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，AC ⊥BC ，|BC|=2|AC|，求椭圆的方程。
思路：建系，设点C 的坐标，将向量间的关系（垂直关系、长度关系）转
化为代数表达式，从而确定椭圆的方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0)
椭圆方程为
1422
2=+b
y x 。设点C 的坐标 为(m,n)，则点B 的坐标为(－m,－n). ∵AC ⊥BC ，∴AC .BC=0，
即(m －2, n) (2m,2n)=0， 图1 ∴m 2－2m+n 2=0
(*)
∵|BC|=2|AC|，∴|CO|=|AC|，即1,)2(2222=∴+-=+m n m n m 将m=1代入(*)得，n=1，∴C(1,1). 将x=1，y=1代入椭圆方程得，
3
411412
2=∴=+b b ，. 故椭圆方程为143422=+y x 例2已知△OFQ 的面积S=26, 且m =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14
6
(
,||c m c OF -==，当||OQ 取得最小值时，求此双
曲线方程。
思路：设点Q 的坐标，将向量的数量积、长度转化为代数表达式，再求目标函数的最小值，从而确定双曲线的方程。
解：设双曲线方程为122
22=-b
y a x ， Q （x 0, y 0）。
),(00y c x FQ -= ， S △OFQ =62||||2
1
0=y OF ，∴c y 640±=。 ),)(0,(00y c x c -=?=c(x 0－c)=c x c 4
6
)146(
02=?-。
,3296
832220
2
≥+=+=c
c y x
当且仅当)6,6()6,6(,||,4,96
8322-==或此时最小时即Q c c
c ， 所以1124.12
4161662222
222
2=-?????==??????=+=-y x b a b a b
a 故所求的双曲线方程为。 类型2——求待定字母的值
例3设双曲线C ：)0(1222
>=-a y a
x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点
A 、
B ，直线L 与y 轴交于点P ，且PA=
PB 12
5
，求a 的值 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(0,1)
∵PA=
),1,(125)1,(,1252211-=-∴y x y x PB ∴x 1=212
5x .
联立，?????=-=+112
22y a
x y x 消去y 并整理得，(1－a 2)x 2+2a 2x －2a 2=0 (*)
∵A 、B 是不同的两点，∴?????>-+≠-，
，
0)1(84012
242
a a a a ∴0 2 12a a --， 即2222 22212125,121217a a x a a x --=--=且，消去x 2得，2212a a --=60 289 ， ∴a=1317± ，∵0 17 。 类型3——求动点的轨迹 例4如图2 ，动直线1+=kx y 与y 轴交于点A ，与抛物32-=x y 交于不同的两点B 和C, 且满足BP=λPC ， AB=λAC ，其中.R ∈λ 。求ΔPOA 的重心Q 的轨迹。 思路：将向量表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q 的轨迹方程，再运用判别式确定实数k 的取值范围，从而确定轨迹的形状。 解：由???-=+=3 1 2x y kx y 得，k 2x 2+(2k －1)x+4=0. 由???>?≠0 0k ?.061 21≠<<-k k 且 设P(x ’,y ’)，B(x 1，y 1)，C(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=221k k -, x 1.x 2=24 k . 由PC BP λ=?),(11y y x x -'-'=),(22y y x x '-'-λ ? 1x x -'=λ)(2x x '- 由)1,()1,(2211-=-?=y x y x AC AB λλ?1x =λ2x 。 .218 2021212211k x x x x x x x x x x x -=+='?'-=-'∴ ≠λΘ ?.211 612181k k k k x k y -+=+-= +'=' 消去k 得， x ’－2 y ’－6=0 (*) 设重心Q(x,y)，则???-='='???? ???? +'='=133313 y y x x y y x x ，代入(*)式得，3x －6y －4=0。 因为3 8 434812406121≠< x x x x k k 且且且 故点Q 的轨迹方程是3x －6y －4=0（3 8 434≠< －6y －4=0上且不包括点)3 2 ,38(),34,4(),0,34(C B A 的线段AB 。 类型4——证明定值问题 例5已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右 焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线。设M 为椭圆上任意一点，且μλ+=，其中.,R ∈μλ证明：22μλ+为定值。 思路：设A 、B 、M 三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。 解：设椭圆方程为).0,(),0(122 22c F b a b y a x >>=+ 则直线AB 的方程为 .c x y -=代入椭圆方程中，化简得，.02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则.,22 22 2222122 221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由 +与)1,3(-=共线，),(2121y y x x ++=+得， 0)()(32121=+++x x y y 。又,,2211c x y c x y -=-= .3,232,23,0)()2(32 22 22212121b a c b a c a c x x x x c x x =∴=+=+∴=++-+∴即 而,222 b a c -=于是2 2222 1,23c b c a == 。 因此椭圆方程为.33,1322222 22b y x b y b x =+=+即 设M(x, y), 由μλ+=得，),(),(),(2211y x y x y x μλ+=， .2121y y y x x x μλμλ+=+=∴且 因M 为椭圆上一点，所以.3)(3)(2221221b y y x x =+++μλμλ 即221212 222 2212123)3(2)3()3(b y y x x y x y x =+++++λμμλ ① 又2 222212 1,23,23c b c a c x x ===+，.83222222221c b a b a c a x x =+-= 则 22121212121213)(34))((33c c x x x x c x c x x x y y x x ++-=--+=+ .032 923222=+-=c c c 而,3322121b y x =+,332 2222b y x =+ 代入①得，22μλ+=1，22μλ+为定值。 类型5——探索点、线的存在性 例6在△ABC 中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD ⊥BC 于D ，△ABC 的垂心 H 分有向线段AD 。所成的比为3 1 设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H ，使 思路：先将AC ⊥BH 转化为代数关系，由此获得动点H 的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数（坐标）关系，通过解代数方程组获解。 解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知)34, (y x A ∵H 为垂心 ∴AC ⊥BH ，∴0),2)(3 4,2(=+-y x y x ， 整理得，动点H 的轨迹方程为 13 42 2=+y x )0(≠y 。 22)1(||y x HP ++= ， 2||=PQ ， 22)1(||y x HQ +-=。 假设 | |||||HQ PQ HP | || || |HQ HP PQ + = 即 1)1(1)1(1 2 2 2 2=+-+ ++y x y x ① ∵H 在椭圆上 a=2, b=3, c=1，P 、Q 是焦点， ∴42==+a HQ HP ，即∴4)1()1(2222=+-+++y x y x ② 由①得，=+-?++2222)1()1(y x y x 4)1()1(2222=+-+++y x y x ③ 联立②、③可得，2)1()1(2222=+-=++y x y x ， ∴,3,0±==y x 显然满足H 点的轨迹方程13 42 2=+y x ， 故存在点H （0，±3）| |||||HQ PQ HP 类型6——求相关量的取值范围 例7给定抛物线C ：x y 42 =，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于 A 、 B 两点，且[]9,4,∈=λλAF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围。 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l 在y 轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由λ=得，),1(),1(1122y x y x --=-λ，即 ?? ?-=-=-② ①1 212) 1(1y y x x λλ 由②得，.2122 2 y y λ= Θ,4121x y =12222 2 ,4x x x y λ=∴=③ 。 联立①、③得，λ=2x 。 而).2,(),2,(,0λλλλλ-∴>B B 或当直线l 垂直于x 轴时，,1=λ不符合题意。 因此直线l 的方程为)1(2)1(-=-x y λλ或).1(2)1(--=-x y λλ 直线l 在y 轴上的截距为 12-λλ或.12--λλ由1 2 1212-+ +=-λλλλ知，12-λλ在[]9,4∈λ上递减的，所以 ,341243≤-≤λλ.4 31234-≤--≤-λλ 于是直线l 在y 轴上截距的变化范围是.34,4343,34?? ? ?????????--Y 由上可见，解圆锥曲线与平面向量交汇题的关键是：设相关点的坐标，将平面向量用坐标表示，运用相应的平面向量坐标运算法则（加、减、乘、数乘向量）或运算律或数量积的意义，将问题中向量间的关系（相等、垂直、平行、和差、数量积等）转化为代数关系。当然，在解题过程中还要涉及到圆锥曲线问题中一些常见方法，如解方程组、解不等式（组）、消元、利用根的判别式求字母的取值范围、利用韦达定理建构方程等等。这种问题有一定的难度，必须加强训练才能逐渐把握。 专题五 直线 圆锥曲线 平面向量 一 能力培养 1,函数与方程思想 2,数形结合思想 3,分类讨论思想 4,转化能力 5,运算能力 二 问题探讨 问题1设坐标原点为O,抛物线2 2y x =与过焦点的直线交于A,B 两点,求OA OB ? 的值. 问题2已知直线L 与椭圆22 221x y a b +=交于P,Q 不同两点,记OP,OQ 的斜率分别为 OP k ,OQ k ,如果22OP OQ b k k a ?=-,求PQ 连线的中点M 的轨迹方程. 问题3给定抛物线C:24y x =,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A,B 两点. (I)设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小; (II)设FB AF λ= ,若[4,9]λ∈,求l 在y 轴上截距的变化范围. 问题4求同时满足下列三个条件的曲线C 的方程: ①是椭圆或双曲线; ②原点O 和直线1x =分别为焦点及相应准线; ③被直线0x y +=垂直平分的弦AB 的长为 三 习题探 选择题 1已知椭圆2215x y k +=的离心率e =,则实数k 的值为 A,3 B,3或 253 3 2一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +++=都外切,则动圆圆心的轨迹为 A,圆 B,椭圆 C,双曲线的一支 D,抛物线 3已知双曲线的顶点为(2,1)-与(2,5),它的一条渐近线与直线340x y -=平行,则双曲 线的准线方程是 A,925y =± B,925x =± C,1225y =± D,1225x =± 4抛物线22y x =上的点P 到直线4y x =+有最短的距离,则P 的坐标是 A,(0,0) B,1(1,)2 C,1(,1)2 D,11(,)22 5已知点F 1 (,0)4,直线l :14 x =-,点B 是l 上的动点.若过B 垂直于y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点M,则点M 的轨迹是 A,双曲线 B,椭圆 C,圆 D,抛物线 填空题 6椭圆22 221x y a b +=(0)a b >>上的一点到左焦点的最大距离为8,到右准线的最小距离 为103 ,则此椭圆的方程为 . 7与方程3x y =的图形关于y x =-对称的图形的方程是 . 8设P 是抛物线2 440y y x --=上的动点,点A 的坐标为(0,1)-,点M 在直线PA 上, 且分PA 所成的比为2:1,则点M 的轨迹方程是 . 9设椭圆与双曲线有共同的焦点12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍, 则椭圆与双曲线的交点轨迹是 . 解答题 10已知点H (3,0)-,点P 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线PQ 上, 且满足0HP PM ?= ,32 PM MQ =- . 圆锥曲线方法归纳 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点则有 1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422 2 12221 =-+-y y x x ?()() ()() 3421212121y y y y x x x x +--=+-?AB k =b a 43- (ⅰ)涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦斜率问题时，常用“点差法”“设而不求”整体来求，借助于一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解．但在求得直线方程后，一定要代入原方程进行检验． (ⅱ)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤： 设点——设出弦的两端点坐标 ↓ 代入——代入圆锥曲线方程 ↓ 作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开 ↓ 整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解 1. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，求椭圆上以(1, 1)为中点的弦所在的直线方程？ 2. 如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦被点A (4, 2)平分，求这条弦所在的直线方程 3. 已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点，且线段AB 的中 点在直线l ：x －2y ＝0上，则此椭圆的离心率为 ． 4. 过点M (1, 1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a ＞b ＞0)相交于A , B 两点， 若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 5. 已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A , B 两点，若 线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ． 6. 已知双曲线E 的中心为原点，F (3, 0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A , B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为 专题12 向量与圆锥曲线 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．点P(-3,1)在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的 光线,经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A ) ( A ) 33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 2 1 2．已知双曲线22 12 y x -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ?=则点M 到x 轴的距离为（C ） （A ） 43 （B ）5 3 （C 23 （D 3 3．设过点P (x ,y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA =且1OQ AB =，则点P 的轨迹方程 是（ D ） A ．22331(0,0)2x y x y + =>> B ．223 31(0,0)2x y x y -=>> C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．223 31(0,0)2 x y x y +=>> 4．已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足 0=?+?MP MN ，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（ B ） （A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= 5．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．0,(1,1)k b =∈- 6．已知两定点()( ) 12 2,0,2,0F F -，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹 是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。如果63AB =，且曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求m 的值和?ABC 的面积S 。 【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E 是以 ()) 122,0,2,0F F -为焦点的双曲线的左支， 且2,1c a ==，易知1b =， 故曲线E 的方程为()2 2 10x y x -=< 设()()1122,,,A x y B x y ，由方程组22 1 1 y kx x y =-?? -=? 圆锥曲线知识点全归纳 完整精华版 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020 圆锥曲线知识点全归纳（精华版） 圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 直线圆锥曲线有关向量的问题 咼考考什么 知识要点: 1直线与圆锥曲线的公共点的情况 直线：ax by c 0 曲线：f (x, y) 0 2?连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系 3?以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4. 几何与向量综合时可能出现的向量内容 (3)给出，等于已知是的中点； (5) 给出以下情形之一：①；② 存在实数；③若存在实数 ，等于已知三点共线 (6) 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 (7) 给出，等于已知，即是直角，给出，等于已知是钝角，给出，等于已知是锐角。 (9) 在平行四边形中，给出，等于已知是菱形 ； (10) 在平行四边形中，给出，等于已知是矩 形 ； (11) 在中，给出，等于已知是的外心(三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角 形三边垂直平分线的交点)； (1)没有公共点 方程组无解 (2) 一个公共点 i) 相交 A 0 ii) 相切 A 0, (3)两个公共点 A 0, 0 2 (或A'y 2 B'y C' 0) Ax Bx C 0 来计算弦长，常用的弦长公式: AB 41 ―k 2 x 1 x 2 (12) 在中，给出，等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点)； (13) 在中，给出，等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点)； (16)在中，给出，等于已知是中边的中线 高考怎么考 主要题型： 1 ?三点共线问题； 2 ?公共点个数问题； 3 ?弦长问题； 4.中点问题；5 .定比分点问题；6.对称问题；7.平行与垂直问题；8.角的问题。 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 (1) 考查学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 (2) 考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方 程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 特别提醒： 法和韦达定理是解决直线和圆锥曲线位置关系的重要工具。 关于y 轴对称，0 (1) 求椭圆C 2的方程； (2) 设O 为坐标原点，点 A, B 分别在椭圆G 和C 2上，O B= 2OA 求直线AB 的方程. 2 2 y x 解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为—+ = 1(a >2), a 4 其离心率为 ,故 —-= ，贝U a = 4,故椭圆C2的方程为鲁+x = 1. 2 a 2 16 4 (2)解法一：A , B 两点的坐标分别记为(X A , y A ) , (X B , y s ), 由O B= 2了及(1)知，0 A B 三点共线且点 A , B 不在y 轴上，因此可设直线 AB 的方程 为 y = kx . x 2 4 将 y = kx 代入匚 + y 2 = 1 中，得(1 + 4k 2)x 2 = 4，所以 x A = 2, 4 1 + 4k 2 2 例1.过点P (x , y )的直线分别与x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A,B 两点，点Q 与点P 为坐标原点，若 uu r BP uuu 且 UULT UUU 2PA OQ ? AB 则点P 的轨迹方程是(D ) A. 3x 2 1(x 0,y 0) 3x 2 3 y 2 1(x 0,y 0) 2 c. 3y 2 1(x 0,y 0) -x 2 3y 2 1(x 0, y 0) 2 例2. 已知椭圆C : 椭圆 C 2以C 的长轴为短轴，且与 C 有相同的离心率. 圆锥曲线考点及方法总结（江苏）1 化斜为直：利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比，然后再将直角边之比转化为坐标之比这就将几何量转化为代数值 2相关点法求曲线轨迹如求p的轨迹方程若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系然后带入L即可 3设点、设线然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化，然后联立直线与曲线的方程，利用韦达定理，涉及最值或范围问题时注意带塔>0； 4圆锥曲线中的最值问题：通常构造函数转化为求函数最值（导数求解），也可以保留两个变量运用基本不等式求解，当然在设点时用圆锥曲线的参数方程，这样最值问题最终转化为三角函数最值问题 5几何性质：角平分线定理 6公式化法则 7焦半径公式 8极坐标方程（与焦半径有关的题目才能用） 9参数方程（涉及最值与定值问题时可尝试） 10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度注意线段的方向性即t的正负（在涉及线段长度的题目中有效） 11注意利用点在曲线上这一基本条件许多 设而不求最终都会用到这一条件 12常见椭圆结论：k1*k2为定值（与椭圆对称点）点差法的到的结论椭圆切点出的切线方程椭圆是对称图形 13弦长公式 14 SOAB= 15代换技巧：如两直线过同一点只有K不一样，则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据（不只斜率K可以代换，点也可以代换）减少计算量 16当化简到非常复杂的式子时，考虑能否整体代换，将形式复杂的部分用一个变量代替 17利用三点共线列等式 18直线过定点问题 方法一；求出AB直线方程再求定点 方法二：取两个特殊位置的直线，解出交点C,验证交点C是否在直线AB上，只需算k1=k2即可 方法三，若能观察出定点在x轴上，解出AB方程令y=0，解出x为定值即可 19对设而不求方法的具体介绍：大胆设点，利用以下结论 一：点在曲线上 二：点满足一定条件（题目所给） 三：韦达定理 运用好这三点，就可以做到舍而不求 专题12向量与圆锥曲线 ★★★高考在考什么 【考题回 放】 2 占 1(a b 0)的左准线上?过点P 且方向为a=(2,-5)的 b 光线，经直线y =-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 (C) 3 2 x i .点P(-3,i)在椭圆弋 a (A ) 占 八、、 2.已知双曲线X 2 M 到x 轴的距离为( 2 y 2 C ) 1的焦点为 F i 、 F 2, 点M 在双曲线上且 uuu ur MF i 1 (D )- 2 UUULT MF 2 0,则 (A ) 4 3 3.设过点P(x,y)的直线分别与 (B ) 5 3 x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于 UUU UUU UULT UUU (D ) .3 点P 关于y 轴对称， O 为坐标原点，若 BP 2PA 且 OQgAB 1，则点 是 (D ) A . 3x 2 3 2 2y 1(x 0,y 0) B . 3x 2 3 2 尹 1(x 0,y 0) 3 2 C . - x 2 3y 2 1(x 0,y 0) D . 3 2 x 3y 2 1(x 0,y 0) uu r 为坐标平面内的动点，满足 (-2 , 0)、 N 0)，点 P 4 .已知两点 M A,B 两点，点Q 与 P 的轨迹方程 (2, MN MP (A ) y 2 5.若曲线 MN NP 0,则动点 P (x , y )的轨迹方程为(B ) 2 2 2 8x (B ) y 8x (C ) y 4x (D ) y 4x y 2 = |x|+ 1与直线y = kx + b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 _ .k 0,b ( 1,1) 2的点P 的轨迹 6 ?已知两定点F i 12,0 ,F 2 .2,0 ，满足条件 UU UU PF 2 PF i 是曲线E ,直线y=kx-1与曲线E 交于A,B 两点。如果 AB UUU uuu UULT C ,使OA OB mOC ，求m 的值和 ABC 的面积 S 。 E 是以 【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线 F 1 .2,0 ,F 2 . 2,0为焦点的双曲线的左支, 且c -、2, a 1，易知 故曲线E 的方程为x 2 b 1, y 2 1 x 设 A x i ,y i ,B X 2,y 2 ，由方程组 kx 1 y 2 i 6、, 3，且曲线E 上存在点 圆锥曲线三大难点解读 山东 王中华 李燕 2006年高考数学试题圆锥曲线部分全面考查曲线定义、简单性质等基础知识，还对最值与定值（定点）、求参数范围（或值）、存在与对称等问题加大了考查力度．本文对各地考题归类整理，并探讨这三大难点的求解策略． 难点一、最值与定值（定点）问题 圆锥曲线的最值与定值（定点）问题一直是高考的一大难点． 最值问题求解策略是：几何法与代数法，前者用于条件与结论有明显几何意义，利用图形性质来解决的类型；后者则将结论转化为目标函数，结合配方法、判别式法、基本不等式及函数的单调性等知识求解． 定值（定点）问题求解策略是：从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个点（值）与变量无关．也可以在推理、计算过程中消去变量，直接得到定点（或定值）． 例1 （江西卷理21）如图1，椭圆2222:1(0) x y Q a b a b +=>>的右焦点(0)F c ，，过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A B ，两点，P 是线段AB 的中点． （1）求点P 的轨迹H 的方程； （2）在Q 的方程中，令2 1cos sin a θθ=++， 2sin 0b θθπ? ?=< ?2??≤，确定θ的值，使原点距椭圆Q 的右准线l 最远，此时，设l 与 x 轴交点为D ．当直线m 绕点F 转动到什么位置时，ABD △的面积最大？ 分析：求轨迹方程可用“设而不求”法，考虑AB 的斜率是否存在，注意到AB 与PF 共线，得方程为2 2 2 2 2 0b x a y b cx +-=；在第（2）问中，由2 a 、 2b 不难得到满足要求的1c =，为避免讨论直线m 的斜率是否存在，可设m 的方程为1x ky =+，再利用三角函数求出θ， ABD △的面积用A B ，纵坐标可表示为121 2 S y y =-， 当直线m 垂直于x 轴时，ABD △的面积最大． 点评：本题集轨迹方程、最值问题、动态几何于一身，运用了点差法、分类讨论思想、二次方程根与系数的关系、三角函数的有界性、分离变量法、均值不等式法等，对各种能力的综合要求非常高． 注：与最值相关的试题，还有江西卷理科第9题、北京卷理科第19题、全国卷I 理科第20题、文科第21题、山东卷文科第21题等． 例2 （全国卷Ⅱ理21文22）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A B ，是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>u u u r u u u r ．过A B ，两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ． （1）证明FM u u u u r ·AB u u u r 为定值； 圆锥曲线解题方法技巧归纳 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆80542 2 =+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴 上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为0 90，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为0 90可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解：（1）设B （1x ,1y ）,C(2x ,2 y ),BC 中点为(00,y x ),F(2,0)则有 116 20,116202 2 222121=+=+y x y x 两式作差有 16) )((20))((21212121=+-+-+y y y y x x x x 04 500=+k y x (1) F(2,0)为三角形重心，所以由 2321=+x x ，得30=x ，由03421=++y y 得20-=y ，代入（1）得5 6 =k 直线BC 的方程为02856=--y x 2)由AB ⊥AC 得016)(14212121=++-+y y y y x x （2） 设直线BC 方程为8054,2 2 =++=y x b kx y 代入，得080510)54(2 2 2 =-+++b bkx x k 2 215410k kb x x +-=+，222154805k b x x +-= 2 2 22122154804,548k k b y y k k y y +-=+=+ 代入（2）式得 054163292 2=+--k b b ，解得)(4舍=b 或94 -=b 直线过定点（0，)94-，设D （x,y ），则1494 -=-?+ x y x y ，即016329922=--+y x y 所以所求点D 的轨迹方程是)4()9 20()916(222 ≠=-+y y x 。 3、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD 中CD AB 2=，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线 过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点当 4 3 32≤≤λ时，求双曲线离心率e 的取值范围。 平面向量与圆锥曲线的综合问题 例1 已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线的斜率的取值范围. 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知，， ∴，．设．则 ，又， 联立，解得，． （Ⅱ）显然不满足题设条件．可设 的方程为，设，． 联立 ∴，由 ，，得．①又为锐角，∴ 又 ∴ 2 214 x y +=125 4 PF PF ?=- l k 2a =1b =c = 1(F 2F (,)P x y (0,0)x y >> 2 2 125(,,)34PF PF x y x y x y ?=---=+-= -2 214 x y +=22 227414 x y x y ?+=????+=??221134x x y y =??=?????==????P 0x =l 2y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 2 222221 4(2)4(14)161204 2x y x kx k x kx y kx ?+=??++=?+++=??=+? 1221214x x k = +1221614k x x k +=-+22(16)4(14)120k k ?=-?+?>22163(14)0k k -+>2430k ->23 4 k > AOB ∠cos 00AOB OA OB ?∠>??>12120OA OB x x y y ?=+>2 12121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++1212 x x y y +21212(1)2()4 k x x k x x =++++222 1216(1)2()41414k k k k k =+? +?-+++ 百度文库- 让每个人平等地提升自我 圆锥曲线解题方法技巧 第一、知识储备： 1.直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k tan , [0, ) k y2 y1 x2 x1 ②点 P(x0 , y0 ) 到直线 Ax By C 0 的距离 Ax0 By0 C d B2 A2 l1 : y k1x b1 夹角为，k2 k1 ③夹角公式：直线则 tan l2 : y k2 x b2 1 k2 k1 （ 3）弦长公式 直线 y kx b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离 ① AB ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ② AB 1 k2 x x (1 k 2 )[( x x ) 2 4x x ] 1 2 1 2 1 2 ③ AB 1 1 y1 y2 k 2 （ 4）两条直线的位置关系 （Ⅰ） l1 : y k1x b1 l2 : y k2 x b2 ① l1 l2 k1k2=-1 ② l1 // l2k1 k2且 b1 b2 l1 : A1 x B1 y C1 0 （Ⅱ） l2 : A2 x B2 y C2 ① l1 l2A1 A2 B1B2 0 ② l1 / /l 2 A1B2 - A2 B1 =0且 AC1 2 - A2C1 0或 A1 B1 C1 者（ A2 B2C2 0 ） 两平行线距离公式 l 1 : y kx b 1 | b 1 b 2 | l 2 : y kx b 2 距离 d k 2 1 l 1 : Ax By C 1 0 |C 1 C 2 | l 2 : Ax By C 2 距离 d B 2 A 2 2、圆锥曲线方程及性质 1. 圆锥曲线的两定义 ： 第一定义 中要重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中，与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的 和等于常数 2a ，且此常数 2a 一定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于 F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ， 当常数小于 F 1F 2 时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点 F 1 ， F 2 的距离的差的绝对值等于常 数 2a ，且此常数 2a 一定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与 2a ＜ |F 1 F 2 | 不可忽视 。 若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若 2a ﹥ |F 1 F 2 | ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 ( x 6)2 y 2 ( x 6)2 y 2 8 表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支） 2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （ 1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x 2 y 2 y 轴上时 y 2 x 2 2 2 1 （ a b 0 ），焦点在 2 2 ＝ 1 a b a b （ a b 0 ）。方程 2 2 表示椭圆的充要条件是什么？（ ≠ ，且 A ， B ，C Ax By C ABC 0 同号， A ≠B ）。椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： x 2 y 2 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程： (x c)2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a 参数方程： x a cos , y bsin 若 x, y R ，且 3x 2 2 y 2 6 ，则 x y 的最大值是 ____，x 2 y 2 的最小值是 ___（答： 5,2 ） （ ）双曲线：焦点在 x 轴上： x 2 y 2 y 2 x 2 ＝1（ a 0, b 0 ）。 2 a 2 b 2 =1 ，焦点在 y 轴上： 2 b 2 方程 Ax 2 By 2 a C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC ≠0，且 A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点 O ，焦点 1 、 F 2 在坐标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点 F 圆锥曲线大题题型归纳 基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题 例1、已知F1，F2为椭圆 2 100 x + 2 64 y =1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1 PF2=60°，则△F1 PF2的面积为多少？ 点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 变式1-1 已知12,F F 分别是双曲线223575x y -=的左右焦点，P 是双曲线右支上的一点，且 12F PF ∠=120?，求12F PF ?的面积。 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） （本文有两套教案，第一套比较笼统，第二套比较好） 圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点， ∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2 =2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳 1基础知识： 1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 3基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点 ⑴用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题． ⑵解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位 本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题． 本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右． ⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活． ⑵直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题． ⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点． ⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势． ⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答 第四讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题, 掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O是ABC △所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｄ．2AO OD AO OD = AO OD =Ｂ．2 =Ｃ．3高中数学竞赛_直线 圆锥曲线 平面向量
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