微分几何
一、判断题
1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ √ ）
2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ? ）
3、若()r t 和()s t
均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（ √ ）
4、向量函数()s t
具有固定长的充要条件是对于t 的每一个值， ()s t 的微商与()s t
平行（ × ） 5、等距变换一定是保角变换.（ √ ）
6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（ ? ）
7、常向量的微商不等于零（ × ）
8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t 在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z （ × ）
9、对于曲线s=()s t
上一点（t=t 0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（ × ）
10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ √ ） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（ √ ） 12、单位切向量的模是1（ √ ）
13、每一个保角变换一定是等距变换 （ × ） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（ √
）
15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量.（ √ ）
二、填空题
16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, .
18.设给出1
c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b
a
dt t r )(
19、已知33{cos ,sin ,cos2}r x x x =
，02x π<<，则α= 1{3
c o s ,3s i n ,4}5
x x --
，β=
{sin ,cos ,0}x x ，γ= 1
{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ=
625sin 2x ，τ=825sin 2x
。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。
21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”).
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～
pq q p
24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是
0))(),(),((000=-s r
s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx
29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =
，0u >，02
v π≤<，则它的第一基本形式
为 22
2(36)d u u d v ++ ，第二基本形式为
dv ，高斯曲率
K =
22
36
(36)
u -+ ，平均曲率 H = 0 ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲
，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 66
,3737
-。
30、（Cohn-Voeeen 定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是R 3中的合同或对称。
31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。
32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络
三、综合题
33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r =
},,sin cos ,cos {sin )(t t te e t t t t t t t r +-+=' }2,cos sin 2,sin cos 2{)(t t te e t t t t t t t r +---='' 在原点处0=t
},0,0,0{)0(=r },1,1,0{)0(='r }.2,0,2{)0(=''r
在原点处切平面的方程为:
0))0(),0(),0((='''-r r r R
即 0=-+Z Y X 法平面的方程为:
0)0())0((='?-r r R
即 0=+Z Y 切线方程为
)0()0(r r R '=-λ
即 1
10Z
Y X ==
34、求曲面33z x y =-的渐近曲线。
解 设33{,,}r u v u v =-
则 2{1,0,3}u r u = ，2{0,1,3}v r v =-
，223,3,1}||u v
u v r r n u v r r ?==
-? {0,0,6}uu r u = ，0uv r = ，{0,0,6}vv r v =-
uu L n r =?=
0uv M n r =?=
，vv N n r =?=
因渐近曲线的微分方程为
2220Ldu Mdu dv Ndv ++=
即22udu vdv =
0=
∴ 渐近曲线为33
221u v C =+或 33
222()u v C -=+
35.求双曲抛物面}2),(),({uv v u b v u a r -+=的第一基本形式 解:},2),(),({uv v u b v u a r -+= },2,,{v b a r u = }.2,,{u b a r v -= uv b a r r F v b a r r E v u u u 4,422222+-=?=++=?=,
.4222u b a r r G v v ++=?=
2222222222)4()4(2)4(dv u b a dudv uv b a du v b a I ++++-+++=∴
36.计算球面)sin ,sin cos ,cos cos (θ?θ?θR R R r =的第二基本形式. 解:
},
cos ,sin sin ,cos sin {},0,cos cos ,sin cos {),sin ,sin cos ,cos cos {θ?θ?θ?θ?θθ?θ?θθ?R R R r R R r R R R r --=-==
由此得到
,cos 22θ??R r r E =?= ,0=?=θ?r r F ,2R r r G =?=θθ
2
F
EG r r n -?=
θ?
θ?
θ?θ?θ?θθc o s
s i n s i n c o s
s i n 0c o s c o s s i n c o s c o s
1
32
1
2
R R R R R e e e R ---=
=},sin ,sin cos ,cos {cos θ?θ?θ 又由于
},0,sin cos ,cos cos {?θ?θ??R R r --= },0,cos sin ,sin sin {?θ?θ?θR R r -= },sin ,sin cos ,cos cos {θ?θ?θθθR R R r ---= 所以
),(cos 2θ??R n r L -=?= ,0=?=n r M ?θ ,R n r N -=?=θθ
因而得到
)cos (222θ?θRd d R Ⅱ+-=
37.如果曲面的第一基本形式,)
(2
222
22
c v u dv du ds +++=计算第二类克力斯托费尔符号.
解:因为
222)(1c v u E ++=
, 0=F , 2
22)
(1
c v u G ++= 所以
u u G c v u u
c v u u c v u E =++-=++?++-=3
2242222)(4)(2)(2 v v G c v u v
c v u v c v u E =++-=++?++-=3
2242222)(4)(2)(2
所以
,22221
11c v u u E E u ++-==
Γ,22222
11c v u v G E v ++=-=Γ ,22221
12c v u v E E v ++-==
Γc v u u G G u ++-==Γ222
1222, c
v u u E G u ++=-=
Γ2212222,c v u v G G v ++-==Γ2
22
2222
38、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率。
解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E = u-线的测地曲率
u
g κ== v-线的测地曲率 0
v
g κ=
=
39、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线Γ是测地线吗？为什么？
答：曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线Γ是测地线.
事实上，设:()(1,2)i
i
u u s i T ==，则Γ的切向量为12
12du du r r ds ds
α=+
记 1
du a ds '=，22du a ds =，111,i j ij i j Da da a du =+Γ∑，222,i j
ij i j
Da da a du =+Γ∑ 则曲线Γ的切向量α 沿Γ平行移动?0D α=
? 120,0Da Da ==
? 0(1,2)i
Da i ds
==? 22,0(1,2)k i j
k ij i j
d u du du k ds ds ds +Γ==∑ ? Γ为测地线
40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线. 解:因为 },,sin ,cos {bv v u v u r =
.0,,0,,0,12
2
22=+-=
=+===N b
u b M L b u G F E
由于,0==N L 所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是
},,sin ,cos {00bv v u v u r =
这是螺旋线,另一族渐近线是
},,sin ,cos {000bv v u v u r =
这是直线.
41、设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.
证 设 :()r r s Γ= ，:()r r s **
Γ= ，则由//ββ* 知ββ*=± ，
从而0αβ*?= ，0αβ*?= ，
()0d ds ds ds αακβακαβ*****?=?+?= ∴ constant αα*?=
，即 cos ,C αα*=
这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.
42、证明)(t r 具有固定方向的充要条件是
0)()(='?t r t r
证明:必要性 设e t t r )()(λ=(e 为常单位向量),则
,)()(e t t r λ'='
所以 0)()(='?t r t r 充分性: )()()(t e t t r λ=()(t e 为单位向量函数),则
)()()()()(t e t t e t t r '+'='λλ,
)].()()[()()(2t e t e t t r t r '?='?λ
因为0)(,0)(≠≠t t r λ于是,当0)()(≡'?t r t r ,从而有
,0)()(='?t e t e
即)(//)(t e t e ',因为)()(t e t e '⊥(根据1)(=t e ),因此0)(='t e 即)(t e 为常向量,所以
)()()(t e t t r λ=
有固定方向
43、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.
证 设 :(,)r r u v ∑=
，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记
,r n θ=
，则cos r n θ?= ，两边求导，得d 0d n n r s
τβ-?+= ， 由Γ为曲率线知d //d n r
，即d d //d d n r s s α= ， 因此d d 0d d n n r n r r s s
τβκ?=?=-?= . 若0τ=，则Γ为平面曲线；
若0n β?=
，则因Γ为曲面∑上的一条曲率线， 故d d n n r κ= . 而
0n n n κκβκβ=?=?=
，所以d 0n = ，即n 为常向量. 于是Γ为平面曲线.
44、求圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a t R =）
（在3
π
=t 处的切线方程。
解
},
,cos ,sin {)(},
,sin ,cos {)(b t a t a t r bt t a t a t -='=r
3
π
=
t 时，有}.,2,23{)3(3,23},2{3b a
a r
b a -
='=??
? ??πππ
πr 所以切线的方程为
)3()3(π
λπr r P '=-
即 321)3
(23231be ae ae p λπ
λλ++++-=
如果用坐标表示，则得切线方程为
,3223
2
3
2b b Z a a
Y a
a X π-=-=--
即
b
b
Z a a
Y a
a
x 3
3232π
-
=
-=--
45、求双曲螺线},sinh ,cosh {at t a t a =r 从t=0起计算的弧长。 解：
}
,cosh ,sinh {},
,sinh ,cosh {a t a t a at t a t a ='=r r
从t=0起计算的弧长为
?=t
0|σ?'+'+'='t
dt z y x dt t 0
2
22|)(r
=
.
sinh 2cosh cosh cosh )1(sinh cosh sinh 0
2222022222222t a dt
t a t a dt t a t a dt a t a t a t
t
t
t =+=++=++=?
??
46、求球面}sin ,sin cos ,cos cos {θ?θ?θR R R =r 的第一基本形式。
解：由cos},
,sin sin ,cos sin {},
0,cos cos ,sin cos {},sin ,sin cos ,cos cos {R R R R R R R ?θ?θ?θ?θθ?θ?θθ?--=-==r r R r 可得出
由此得到曲面的第一类基本量
2
22,
0,c o s R G F R E =?==?==?=θθθ???θr r r r r r
因而
22222d R d c o s R I θ?θ+=
47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
证明 设，由欧拉公式知
和可以交换坐标如果),(2121v u K K k k >< ,cos )()cos 1(cos 22122221θθθk k k k k k n -+=-+=
于是
0c o s )(2122≥-=-θk k k k n 因此
n k k ≥2 同样又可以得到 ,
0s i n )(2
121≥-=-θk k k k n
由此
n k k ≥2 即
21k k k n ≤≤
这就是说，主曲率12,k k 是n k 法曲率的最大值和最小值。
48、曲面的第一基本形式为 22)()(dv u G du u E I +=。 求证：（1）u-曲线是测地线；
（2）v-曲线是测地线，当且仅当0)(=u G u
证明：由曲线的方程为
.0=-dv u ,0sin 1
==θG
ds dv 得到
0s i n =θ 所以
0=θ 代入刘维尔公式得
,0sin ln 21cos ln 21=??+??-=
θθθu G
E
v E G ds d k g 因此得到曲线是测地线-u 。 （2）若-u 曲线为测地线，由则有得
,02
==ds
d θ
π
θ θs i n l n 11000u
G
E ??++=，
即
0=u G
49、3R 中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。
证明：因为
（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换； （2）空间三个合同变换的组合满足合里律；
（3）恒同变换)3,2,1(:=='i x x i i I 与空间任何合同变换T 的组合
,T I T T == I 因此I 对于空间合同变换的组合来说是单位元素；
（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。
50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。
证明：沿曲线（C ）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（则,,21u u ）
0,0,02,0,
,2
1
1221121211
2
1222112211=+=+=+=++=+=ds
w v ds dv ds w u ds du ds
w v ds dv ds w u ds du e v e v v e u e u u
所以
)()(2211v u v u ds
d
v ds d +=?u ds
dv u v ds du ds dv u v ds du 22
221111?+?+?+?= 0)(2
11
22
12
11
2=--+=ds
w v u v u v u v u
51、设曲线()t r r C =:)( 是具有周期ω的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，则它的周期是()
,0/dt t L r ?=ω
L 的闭曲线的周长.
证明 ()()dt t r t s t /
?
+=+ω
ω
=()(),/
/
dt t r dt t r t ?
?++ω
ω
ω
因为
()()t r t r =+ω， 所以
()().//t r t r =+ω 我们得到
s ()()()t s L dt t r L t t
+=+=+?/0
ω,
所以有
()()()()()()()()s r t s r t s r L t s r L s r ==+=+=+ω.
52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向l 正交.
证明 取l 为坐标系的z 轴方向.设曲线()C 的自然参数表示是 ()()(){()()}[].,0,,,:L s s z s y s x s r C ∈= 因而单位切向量为
()()()()?
??
???=?
??s z s y s x s a ,,.
根据微积分中值定理，存在[]使得,,00L s ∈
()()()()s z L z L z 0
00?
-=-，
但是
()(),0z L z = 所以 ()00
=?
s z ，
即
()()()?
??
???=?
?0,,000s s s y x a ，
这表示()
即与轴垂直于,0z a s 方向l 正交。
53、单位球面上的曲线()C ，若,0≠k g 则 ,1
2--=-=?
?k k k kk k g ετ
其中1±=ε.
证明 设单位球面上的曲线()()由于.:s r r C = 12=r ， 从而有
a r ?=0， 所以
,0=?+?βk r a a 即
1+.0=?βkr 由上式得
k r k +??β?
r ,0=?+?β
β kr 利用伏雷内公式，化简后得 - γτ?+?
r k k
k
=0.
若令由于,r n -=
,γγ?-=?=kr n k k g 则有
g k k
k
τ+?
=0. 但是单位球面上曲线的法曲率并且由于,1=n k
,22
2k k k g n =+
所以
,12-=k k g ε 1±=ε. 因此当时，有0≠g k .1
2--=-=?
?
k k k
kk k g ετ
微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0
二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率
《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 2 12 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则
微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。
《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(< 二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k 微分几何 一、判断题 1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?） 3、若4 ()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换678910、曲线上的正常点的切向量是存在的（1112131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --，β={sin ,cos ,0}x x ， γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29第二基本形式为 21236 u -+:du 30同或对称。3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络 三、综合题 33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解：},,cos ,sin {t te t t t t r = 在原点处0=t 在原点处切平面的方程为: 二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、 曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (－1,－1,-1)、 3、过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z ＝０ 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5、计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k 、 6、设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9、已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 1０.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11、已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12、已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13、曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 1４、曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15、曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b 一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。 济南大学2012～2013学年第二学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 微分几何 授课教师 滕厚山 考试时间 2013.6.26 考试班级 数学10级 班 学 号 姓 名 一、 判断题(判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”， 错误的打“╳”。每小题2分，共10分) 1. 空间曲线的切向量α 总是指向曲线的参数增值方向.（ ） 2. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状.（ ） 3. 曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线.（ ） 4. 因为高斯曲率2 2 F E G M LN K --=与第二类基本量有关，所以它不是内蕴量.( ) 5. 等距等价的两个曲面在对应点具有相同的高斯曲率.( ) 二、填空题（将答案填在题中横线上，每小题2分，共10分） 1. 向量函数{ }3 23 13 1 , sin , cos = )(t t t r 关于t 的旋转速度等于_______. 2. 向量函数)(t r 有固定长的充要条件是___________. 3. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是_______________. 4. 曲面)(S 的u --坐标曲线族的正交轨线族的微分方程是_________________. 5. 直纹面(,)()()r u v a u vb u =+的导线()a a u =是腰曲线的充分必要条件是_____________. 三、选择题（将正确答案的代号填入该题后面的括号内， 每小题2分，共10分） 1. 向量函数)(t r r =有固定方向的充分必要条件是（ ） .A 0='?r r .B 0 ='?r r .C 0),,(='''r r r .D 0 =''?'r r 2. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是（ ） .A 平面曲线 .B 直线 .C 圆 .D 圆柱螺线 3. 下列曲面不是可展曲面的是（ ） .A {}(,)cos ,sin ,r u v v u v u au b =+； .B 曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =的切线面； .C 高斯曲率恒为零的无平点曲面； .D 与平面等距等价的曲面。 4. 曲面上曲线的曲率k ，法曲率n k ，测地曲率g k 之间的关系是（ ） .A g n k k k =+ .B g n k k k =+ .C 222 g n k k k =+ .D 222g n k k k =+ 5. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的是（ ） .A 非脐点处，主方向垂直 .B 脐点处，任何方向都是主方向 .C 非脐点处，有且仅有两个主方向 .D 脐点处，无主方向 四、（本题15分）已知圆柱螺线},sin ,cos {:)(bt t a t a r C = ，求 （1）曲线)(C 的自然参数方程； （2）曲线)(C 在任意一点的基本向量γβα ,,； （3）曲线)(C 在任意一点的曲率和挠率. …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… ……………答……………题……………不……………要……………超……………过……………此……………线……………… (单选题)1.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)2.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: B (单选题)3.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)4.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)5.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)6.（）A: 选择图中A选项B: 选择图中B选项C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)7.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)8.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: C (单选题)9.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: D (单选题)10.（） A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 D: 选择图中D选项 正确答案: A (单选题)11.高斯曲率为零的曲面称为（）A: 极小曲面 B: 球面 C: 常高斯曲率曲面 D: 平面 正确答案: A (单选题)12.对于空间曲线C，挠率为零是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件 正确答案: B (单选题)13.对于曲线，曲率恒等于0是曲线是直线的（）A: 充分不必要条件 B: 必要不充分条件 C: 既不充分又不必要条件 D: 充要条件 正确答案: D (单选题)14.球面上的大圆不可能是球面上的（） A: 测地线 B: 曲率线 C: 法截线 D: 渐近线 正确答案: D (单选题)15.曲线在每一点的主方向（） A: 至少两个 B: 只有一个 C: 只有两个 D: 可能没有 正确答案: A (单选题)16.曲线C是一般螺线，以下命题不正确的是（）A: 切线与固定方向成固定角 B: 副法线与固定方向成固定角 C: 主法线与固定方向垂直 D: 副法线与固定方向垂直 正确答案: D (单选题)17.题面见图片： A: 选择图中A选项 B: 选择图中B选项 C: 选择图中C选项 § 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲 线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s == 一、 填空题：（每小题2分） ⒈ 向量{}(),3,r t t t a =v 具有固定方向，则a =_______________。 ⒉ 非零向量()r t v 满足(),,0r r r '''=v v v 的充要条件是__________________。 ⒊ 设曲线在P 点的切向量为αu r ，主法向量为βu r ，则过P 由,αβu r u r 确定的平面 是曲线在P 点的_______________________。 ⒋ 曲线()r r t =v v 在点0()r t v 的单位切向量是αu r ，则曲线在0()r t v 点的法平面方 程是__________________________。 ⒌ 曲线()r r t =v v 在t = 1点处有2γβ=r v &，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ=___________________。 ⒏ 在旋转曲面{}()cos ,()sin ,()r t t t ?θ?θψ=v 中，____________________ 是旋转曲面的经线。 ⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。 ⒑ 直纹面的参数表示总可以写成 r =v ______________________。 11、向量函数()r r t =r r 使(,,)0r r r '''=r r r 的充要条件是()r r t =r r 。 12、若0()r t r 是曲线()r r t =r r 的正则点，则曲线()r r t =r r 在0()r t r 的密切平面方程是 。 13、一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ 。 15、曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线坐标网是 16、已知曲面(,)r r u v =r r 的第一类基本量为E 、F 、G ，则两方向du:dv 与:u v δδ垂 直的充要条件是 。 17、对曲面(,)r r u v =r r 有22243dr du dv =+r ，则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从0 t 到t （t >0t ）的弧长s = 。 18、若曲面(,)r r u v =r r 在（0，1）点处的第二基本形式223du dv II =-+，则在 （0，1）点处，u u r n ?=r r 。其中n r 为曲面的单位法向量。 19、已知曲面(,)r r u v =r r 的第二类基本量L 、M 、N ，则曲面上渐近曲线的微分 方程是 。 20、若曲面(,)r r u v =r r 的第一基本形式为222ds Edu Gdv =+，曲面在一点的切 > 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+． 《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b 西北师范大学 数信学院 数学与应用数学专业 《微分几何》 考试题（A） （2008/07） 班级： 学号： 姓名： 成绩： 得 分 评卷教师 一、填空题（每空2分，共20分） 1． 曲线为平面曲线的充分必要条件是__________________. 2． 距离单位球面球心距离为d(0d<1)<的平面与球面的交线的曲率为 ________________，法曲率为_________________. 3． 曲面的第二基本形式为z xy = ______________. 4． 全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是____________ 和______________. 5． 法曲率的最大值或最小值正好是曲面的____________曲率，使法曲率达 到最大值或最小值的方向是曲面的____________方向. 6． 如果参数曲面r r(u,v)=的坐标网是半测地坐标网，则曲面的第一基本 形式可以写成 . 7． 在正交坐标网下，v—曲线的测地曲率= v g k _. 得 分 评卷教师 二、单项选择题（每题2分，共16分） 1.曲面上的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是 ( ) ① F=0； ② M=0； ③ F=M=0； ④ L=N=0. 2. 若曲面上一点处的两个主曲率为2，12 ，则这点是曲面的 ( ) ① 椭圆点； ② 双曲点； ③ 抛物点； ④ 脐点. 3. 下列曲面中，不一定是可展曲面的是 ( ) ① 锥面；② 曲线的切线曲面；③ 柱面；④ 曲线的主法线曲面. 4. 曲面上使n g k k 0==的曲线不一定是 ( ) ① 直线； ② 渐近线； ③ 曲率线； ④ 测地线. 5. 曲面在每一点处的主方向 ( ) ① 只有一个； ② 至少有两个； ③ 只有两个；④ 也可能没有. 6. 球面上的大圆不可能是球面上的 ( ) ① 测地线； ② 曲率线； ③ 法截线； ④ 渐近线. 7. 在球面上，测地三角形的三内角之和 ( ) ① 等于π；② 大于或等于π；③ 大于π；④ 小于等于π. 8. 下列不是曲面的内蕴量的是 ( ) ① 曲面的高斯曲率K； ② 曲面沿某方向的法曲率； n k ③ 曲面上曲线的测地曲率； ④ 曲面的克氏记号. g k k ij Γ 得 分 评卷教师 三、计算题（每题10分，共30分） 1. 求曲线{})0(),cos 1(),sin 1()(>??=a bt t a t a t r 的曲率函数、挠率函数. 二．单项选择题 1．0()P t 是曲线r r =()r t r 上一点， 1P 是曲线上P 点附近的一点，S ?为弧?1PP 的长，??为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2．曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的 曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr &= . ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4. 曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ αr &βr ④ γr &βr 6．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 7．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。 数学科学学院2016--2017学年第二学期期末考试模拟试题 考试科目：微分几何年级:14适用专业: 数学与应用数学 时间: 120分钟考试方式: 闭卷试卷类别: A 卷试题满分: 100分 一、判断题（正确的请划√，错误的请划╳，每题2分，共10分） 1、曲面的高斯曲率曲率在等距变换之下是保持不变的（对）. 2、极小曲面的高斯曲率（对）. 3、Gauss 曲率是曲面的内蕴量，但是曲线的测地曲率则不是内蕴量.(错 ). 4、把曲面在一点的切向量平移到另外一点，平移的结果与曲线的选择无关( 错 ). 5、连接两点的任一测地线总是所有连接该两点的所有光滑曲线中最短的(错 ). 二、填空题（每题4分，共20分） 1、曲面的克里斯托斐耳符号=. 2、曲线的主法线和曲面的法线重合，并且切向量为渐近方向，该曲线一定是测底线. 3、双叶双曲面上的测地三角形的内角之和与的大小关系是. 4、向量沿曲面上单连通区域的光滑边界平移产生的角差等于. 5、设为曲面的切向量场, 则其协变微分为. 三、计算题（每题15分，共30分） 1、求圆环面的第一、第二基本形式并由此推出其高斯曲率，其中. 2、求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率. 0K ≤k ij ΓπD 1212v f r f r =+ {(2cos )cos ,(2cos )sin ,sin }r ?θ?θ?=++ 02,02θπ?π≤<≤<{cos ,sin ,}r u u v = u t v t =??=? 四、证明题（每题10分，共40分） 1、如果曲面的高斯曲率恒小于零，则从同一点出发的两条测地线不会相交. 2、证明如果曲线的切线过定点，则一定为直线. 3、证明不存在曲面使得其第一第二基本形式为. 4、如果曲面的支撑函数.为常数，并且曲面的主曲率均不等于零，求证：曲 面一定为球面. 222223,I du dv II du =+=3,f r e =<>微分几何试题库
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