开课学院、实验室：数统学院实验时间：2011 年 4 月20 日
a =0.5时的图形
4.Apollo 卫星的运动轨迹的绘制 13
1
13
3
1
2
()
(22,
x x x
y x r r y
y
y
x y r r μμμμμ+
=+--
=-+--
2). 自然选择基因遗传模型：X k +1=2
2)1(1)1(k
k
k X X X -++-ββ。其中：β=r 新生儿基因为(AA 或Aa)和(aa)所占的比例。对不同的β 取值，讨论x(1)=0.9; b=1:4 i=1:20
x(i+1)= ((b-1)*x(i)^2+x(i))/(1+(b-1)/x(i)^2);
从图中可以看出，随着 u的增大，X的变化速度明显加快
边坡稳定性计算方法 目前的边坡的侧压力理论，得出的计算结果，显然与实际情形不符。边坡稳定性计算，有直线法和圆弧法，当然也有抛物线计算方法，这些不同的计算方法，都做了不同的假设条件。 当然这些先辈拿出这些计算方法之前，也曾经困惑，不做假设简化，基本无法计算。而根据各种假设条件，是会得出理论上的结果，但与实际情况又不符。倒是有些后人不管这些假设条件，直接应用其计算结果，把这些和实际不符的公式应用到现有的规范和理论中。 瑞典条分法，其中的一个假设条件破裂面为圆弧，另一个条件为假设的条间土之间，没有相互作用力，这样的话，对每一个土条在滑裂面上进行力学分解，然后求和叠加，最后选取系数最小的滑裂面。从而得出判断结果。其实，那两个假设条件对吗？都不对！ 第一、土体的实际滑动破裂面，不是圆弧。第二、假设的条状土之间，会存在粘聚力与摩擦力。边坡的问题看似比较简单，只有少数的几个参数，但是，这几个参数之间，并不是线性相关。对于实际的边坡来讲，虽然用内摩擦角①和粘聚力C来表示，但对于不同的破裂面，破裂面上的作用力，摩擦力和粘聚力，都是破裂面的函数，并不能用线性的方法分别求解叠加，如果是那样，计算就简单多了。 边坡的破裂面不能用简单函数表达，但是，如果不对破裂面作假设，那又无从计算，直线和圆弧，是最简单的曲线，所以基于这两种曲线的假设，是计算的第一步，但由于这种假设与实际不符，结果肯定与实际相差甚远。
条分法的计算，是来源于微积分的数值计算方法，如果条间土之间，存在相互作用力，那对条状土的力学分解，又无法进行下去。 所以才有了圆弧破裂面的假设与忽略条间土的相互作用的假设。 其实先辈拿出这样与实际不符的理论，内心是充满着矛盾的。 实际看到的边坡的滑裂，大多是上部几乎是直线，下部是曲线形状，不能用简单函数表示，所以说，要放弃求解函数表达式的想法。计算还是可以用条分法，但要考虑到条间土的相互作用。 用微分迭代的方法求解，能够得出近似破裂面，如果每次迭代，都趋于收敛，那收敛的曲线，就是最终的破裂面。 参照图3，下面将介绍这种方法的求解步骤。
第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)
土坡稳定性计算书 计算依据： 1、《建筑基坑支护技术规程》JGJ120-2012 2、《建筑施工计算手册》江正荣编著 3、《实用土木工程手册》第三版杨文渊编著 4、《施工现场设施安全设计计算手册》谢建民编著 5、《地基与基础》第三版 计算土坡稳定性采用圆弧条分法进行分析计算，由于该计算过程是大量的重复计算，故本计算书只列出相应的计算公式和计算结果，省略了重复计算过程。 本计算书采用瑞典条分法进行分析计算，假定滑动面为圆柱面及滑动土体为不变形刚体，还假定不考虑土条两侧上的作用力。 一、参数信息: 基本参数： 放坡参数： 荷载参数： 土层参数：
二、计算原理: 根据土坡极限平衡稳定进行计算。自然界匀质土坡失去稳定，滑动面呈曲面，通常滑动面接近圆弧，可将滑裂面近似成圆弧计算。将土坡的土体沿竖直方向分成若干个土条，从土条中任意取出第i条，不考虑其侧面上的作用力时，该土条上存在着： 1、土条自重， 2、作用于土条弧面上的法向反力， 3、作用于土条圆弧面上的切向阻力。 将抗剪强度引起的极限抗滑力矩和滑动力矩的比值作为安全系数，考虑安全储备的大小，按照《规范》要求，安全系数要满足≥1.2的要求。
圆弧滑动法示意图 三、计算公式: K sj=∑{c i l i+[ΔG i b i+qb i]cosθi tanφi}/∑[ΔG i b i+qb i]sinθi 式子中： K sj --第j个圆弧滑动体的抗滑力矩与滑动力矩的比值; c i --土层的粘聚力； l i--第i条土条的圆弧长度； ΔG i-第i土条的自重； θi --第i条土中线处法线与铅直线的夹角； φi --土层的内摩擦角； b i --第i条土的宽度； h i --第i条土的平均高度； q --第i条土条土上的均布荷载； 四、计算安全系数: 将数据各参数代入上面的公式，通过循环计算，求得最小的安全系数K sjmin：
实 验 报 告 课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 姓名 学号 同组人 实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++= s s s a s s G ， 当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； （c ）已知系统矩阵为?? ??? ?????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；
（d ）求系统18 27101 )(23++++=s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为： ) 20)(1() 2(100)(+++=s s s s s G ， 试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5() 3()(2+++++= s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择 一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。 （d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。 三、实验环境 1、计算机120台； 2、软件1套。 四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析 设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。 系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
土坡稳定性计算书 本计算书参照《建筑施工计算手册》江正荣编著中国建筑工业出版社、《实用土木工程手册》第三版杨文渊编著人民教同出版社、《地基与基础》第三版中国建筑工业出版社、《土力学》等相关文献进行编制。 计算土坡稳定性采用圆弧条分法进行分析计算，由于该计算过程是大量的重复计算，故本计算书只列出相应的计算公式和计算结果，省略了重复计算过程。 本计算书采用瑞典条分法进行分析计算，假定滑动面为圆柱面及滑动土体为不变形刚体，还假定不考虑土条两侧上的作用力。 一、参数信息： 条分方法：瑞典条分法； 考虑地下水位影响； 基坑外侧水位到坑顶的距离(m): 1.56 ； 基坑内侧水位到坑顶的距离(m): 14.000 ； 放坡参数： 序号放坡高度(m) 放坡宽度(m) 平台宽度(m)条分块数 0 3.50 3.50 2.00 0.00 1 4.50 4.50 3.00 0.00 2 6.20 6.20 3.00 0.00 荷载参数:
土层参数: 二、计算原理 根据土坡极限平衡稳定进行计算。自然界匀质土坡失去稳定，滑动面呈曲面，通常滑动面接近圆弧，可将滑裂面近似成圆弧计算。将土坡的土体沿竖直方向分成若干个土条，从土条中任意取出第 i条，不考虑其侧面上的作用力时，该土条上存在着： 1、土条自重， 2、作用于土条弧面上的法向反力， 3、作用于土条圆弧面上的切向阻力。 将抗剪强度引起的极限抗滑力矩和滑动力矩的比值作为安全系数，考虑安全储备的大小，按照《规范》要求，安全系数要满足 >=1.3的要求。 将抗剪强度引起的极限抗滑力矩和滑动力矩的比值作为安全系数，考虑安全储备的大小，按照《规范》要求，安全系数要满足>=1.3的要求。
第九章土坡稳定分析 土坡就是具有倾斜坡面的土体。土坡有天然土坡，也有人工土坡。天然土坡是由于地质作用自然形成的土坡，如山坡、江河的岸坡等；人工土坡是经过人工挖、填的土工建筑物，如基坑、渠道、土坝、路堤等的边坡。本章主要学习目前常用的边坡稳定分析方法，学习要点也是与土的抗剪强度有关的问题。 第一节概述 学习土坡的类型及常见的滑坡现象。 一、无粘性土坡稳定分析 学习两种情况下(全干或全淹没情况、有渗透情况)无粘性土坡稳定分析方法。要求掌握无粘性土坡稳定安全系数的定义及推导过程，坡面有顺坡渗流作用下与全干或全淹没情况相比无粘性土土坡的稳定安全系数有何联系。 二、粘性土坡的稳定分析 学习其整体圆弧法、瑞典条分法、毕肖甫法、普遍条分法、有限元法等方法在粘性土稳定分析中的应用。要求掌握圆弧法进行土坡稳定分析及几种特殊条件下土坡稳定分析计算。 三、边坡稳定分析的总应力法和有效应力法 学习稳定渗流期、施工期、地震期边坡稳定分析方法。 四、土坡稳定分析讨论 学习讨论三个问题：土坡稳定分析中计算方法问题、强度指标的选用问题和容许安全系数问题。 第二节基本概念与基本原理 一、基本概念 1．天然土坡(naturalsoilslope)：由长期自然地质营力作用形成的土坡，称为天然土坡。2．人工土坡(artificialsoilslope)：人工挖方或填方形成的土坡，称为人工土坡。 3．滑坡(landslide)：土坡中一部分土体对另一部分土体产生相对位移，以至丧失原有稳 定性的现象。 4．圆弧滑动法(circleslipmethod)：在工程设计中常假定土坡滑动面为圆弧面，建立这一 假定的稳定分析方法，称为圆弧滑动法。它是极限平衡法的一种常用分析方法。 二、基本规律与基本原理 （一）土坡失稳原因分析 土坡的失稳受内部和外部因素制约，当超过土体平衡条件时，土坡便发生失稳现象。1．产生滑动的内部因素主要有： （1）斜坡的土质：各种土质的抗剪强度、抗水能力是不一样的，如钙质或石膏质胶结的土、湿陷性黄土等，遇水后软化，使原来的强度降低很多。 （2）斜坡的土层结构：如在斜坡上堆有较厚的土层，特别是当下伏土层(或岩层)不透水时，容易在交界上发生滑动。 （3）斜坡的外形：突肚形的斜坡由于重力作用，比上陡下缓的凹形坡易于下滑；由于粘性土有粘聚力，当土坡不高时尚可直立，但随时间和气候的变化，也会逐渐塌落。 2．促使滑动的外部因素 （1）降水或地下水的作用：持续的降雨或地下水渗入土层中，使土中含水量增高，土中易溶盐溶解，土质变软，强度降低；还可使土的重度增加，以及孔隙水压力的产生，使土体作用有动、静水压力，促使土体失稳，故设计斜坡应针对这些原因，采用相应的排水措施。（2）振动的作用：如地震的反复作用下，砂土极易发生液化；粘性土，振动时易使土的结
土坡稳定性计算计算书 本计算书参照《建筑施工计算手册》江正荣编著中国建筑工业出版社、《实用土木工程手册》第三版杨文渊编著人民教同出版社、《地基与基础》第三版中国建筑工业出版社、《土力学》等相关文献进行编制。 计算土坡稳定性采用圆弧条分法进行分析计算，由于该计算过程是大量的重复计算，故本计算书只列出相应的计算公式和计算结果，省略了重复计算过程。 本计算书采用瑞典条分法进行分析计算，假定滑动面为圆柱面及滑动土体为不变形刚体，还假定不考虑土条两侧上的作用力。 一、参数信息: 条分方法：瑞典条分法； 条分块数：50； 考虑地下水位影响； 基坑外侧水位到坑顶的距离(m)：2.000 基坑内侧水位到坑顶的距离(m)：6.000
二、计算原理: 根据土坡极限平衡稳定进行计算。自然界匀质土坡失去稳定，滑动面呈曲面，通常滑动面接近圆弧，可将滑裂面近似成圆弧计算。将土坡的土体沿竖直方向分成若干个土条，从土条中任意取出第i条，不考虑其侧面上的作用力时，该土条上存在着： 1、土条自重， 2、作用于土条弧面上的法向反力， 3、作用于土条圆弧面上的切向阻力。 将抗剪强度引起的极限抗滑力矩和滑动力矩的比值作为安全系数，考虑安全储备的大小，按照《规范》要求，安全系数要满足>=1.3的要求。 三、计算公式: 式子中： F s --土坡稳定安全系数； c --土层的粘聚力； l i--第i条土条的圆弧长度； γ --土层的计算重度； θi --第i条土到滑动圆弧圆心与竖直方向的夹角；
φ --土层的内摩擦角； b i --第i条土的宽度； h i --第i条土的平均高度； h1i――第i条土水位以上的高度； h2i――第i条土水位以下的高度； γ' ――第i条土的平均重度的浮重度； q――第i条土条土上的均布荷载； 四、计算安全系数: 将数据各参数代入上面的公式，通过循环计算，求得最小的安全系数Fs： 第1步：安全系数=1.417，标高=-2.000，圆心X=0.962米，圆心Y=1.344米，半径R=3.344米示意图如下：
实验报告 课程线性系统理论基础实验日期年月日 专业班级姓名学号同组人 实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结
果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； （c ）已知系统矩阵为???? ??????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101)(23++++= s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性
第七章土坡稳定性分析 第一节概述 土坡就是由土体构成、具有倾斜坡面的土体，它 的简单外形如图7-1所示。一般而言，土坡有两种类 型。由自然地质作用所形成的土坡称为天然土坡，如 山坡、江河岸坡等；由人工开挖或回填而形成的土坡 称为人工土(边)坡，如基坑、土坝、路堤等的边坡。 土坡在各种内力和外力的共同作用下，有可能产生剪 图7-1 土坡各部位名称 切破坏和土体的移动。如果靠坡面处剪切破坏的面积 很大，则将产生一部分土体相对于另一部分土体滑动的现象，称为滑坡。土体的滑动一般系指土坡在一定范围内整体地沿某一滑动面向下和向外移动而丧失其稳定性。除设计或施工不当可能导致土坡的失稳外，外界的不利因素影响也触发和加剧了土坡的失稳，一般有以下几种原因： 1．土坡所受的作用力发生变化：例如，由于在土坡顶部堆放材料或建造建筑物而使坡顶受荷。或由于打桩振动，车辆行驶、爆破、地震等引起的振动而改变了土坡原来的平衡状态； 2．土体抗剪强度的降低：例如，土体中含水量或超静水压力的增加； 3．静水压力的作用：例如，雨水或地面水流入土坡中的竖向裂缝，对土坡产生侧向压力，从而促进土坡产生滑动。因此，粘性土坡发生裂缝常常是土坡稳定性的不利因素，也是滑坡的预兆之一。 在土木工程建筑中，如果土坡失去稳定造成塌方，不仅影响工程进度，有时还会危及人的生命安全，造成工程失事和巨大的经济损失。因此，土坡稳定问题在工程设计和施工中应引起足够的重视。 天然的斜坡、填筑的堤坝以及基坑放坡开挖等问题，都要演算斜坡的稳定性，亦既比较可能滑动面上的剪应力与抗剪强度。这种工作称为稳定性分析。土坡稳定性分析是土力学中重要的稳定分析问题。土坡失稳的类型比较复杂，大多是土体的塑性破坏。而土体塑性破坏的分析方法有极限平衡法、极限分析法和有限元法等。在边坡稳定性分析中，极限分析法和有限元法都还不够成熟。因此，目前工程实践中基本上都是采用极限平衡法。极限平衡方法分析的一般步骤是：假定斜坡破坏是沿着土体内某一确定的滑裂面滑动，根据滑裂土体的静力平衡条件和莫尔—库伦强度理论，可以计算出沿该滑裂面滑动的可能性，即土坡稳定安全系数的大小或破坏概率的高低，然后，再系统地选取许多个可能的滑动面，用同样的方法计算其稳定安全系数或破坏概率。稳定安全系数最低或者破坏概率最高的滑动面就是可能性最大的滑动面。 本章主要讨论极限平衡方法在斜坡稳定性分析中的应用，并简要介绍有限元法的概念。 182
第四章 线性系统的可控性和可观性 §4-1 问题的提出 经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。 现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。它们分别回答： “输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性 可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。 状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。 【例如】 （1）u x x ?? ????+??????=202001 []x y 01= 分析：上述动态方程写成方程组形式：?? ? ??=+==1221122x y u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
实 验 报 告 课程 线性系统理论基础 实验日期 年 月 日 专业班级 学号 同组人 实验名称 系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现 评分 批阅教师签字 一、实验目的 加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌 握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。 1、系统的能观测性、能控性分析； 2、系统的稳定性分析； 3、系统的最小实现。 二、实验内容 （1）能控性、能观测性及系统实现 （a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结 果。 gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, minreal ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，18 2710)(23++++=s s s a s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；
（c ）已知系统矩阵为???? ??????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； （d ）求系统18 27101)(23++++= s s s s s G 的最小实现。 （2）稳定性 （a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：) 20)(1()2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为 ) 22)(6)(5()3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。 （c ）Bode 图法判断系统稳定性 已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为 s s s s G s s s s G 457.2)(,457.2)(232231-+=++= 用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。 （d ）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。 []x y u x x 0525,100050250100010-=????? ?????+??????????-=
差分方程作业题 黄冈职业技术学院 宋进健 胡敏 熊梦颖 1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择： (1)使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。 你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设： （1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率； （3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型： 对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。 模型求解： 由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型： 对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。 模型求解： ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(300 300 300 -= ?=++r r A A r m N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 N k m r A A k K ∈-+=+,) 1(1 ()() 011 1,k k k r A A r m k N r +-=+-∈1 0)1()1(528 528 528 -= ?=++r r A A r m A k A 0
由MATLAB 得出结果m= 313.0038 模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。 2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分 店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。 用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T 如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。 （1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。 （2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况； 模型假设： （1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。 （2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。 模型建立： 初始的市场分配数量为：200,2000 0==y x 以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量] ,[1 1y x T X =表 示。用向量] ,[y x X k k T k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。 ??? ????+ = + = ++x y y y x x k k k k k k 3 22 121311 1 模型求解： 故X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式为??? ? ?? ? + =+ =++x y y y x x k k k k k k 3 221 21311 1，状 态转移矩阵?????? ? ???? ???=3221213 1 L 由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
e a e a
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
1
c
u1 u2 up
e a
M
系 统
M
x1 , x2 ,L, xn
y1 y2 yq
可控 ——系统所有状态变量都可以由
输入来影响和控制？
可观 ——系统所有状态变量都可以由
输出完全反映？
t
y c
1960年，美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表 “On the General Theory of Control Systems”等 论文，引入状态空间法分析系统，提出可控性、 可观测性、最佳调节器和 kalman 滤波等概念， 奠定了现代控制理论的基础。
c
e a
t
y c
2
例：已知系统的动态方程：
& ? x1 ? ? 4 0 ? ? x1 ? ?1 ? ? x ? = ? 0 ? 5? ? x ? + ? 2 ? u ?? 2 ? ? ? ? &2 ? ? ?x ? y = [0 ? 6]? 1 ? ? x2 ?
c
L
& x1 = 4 x1 + u
& x2 = ?5 x2 + 2u
e a e a
iL
R
u 可以控制 x1、x2 ， 系统完全可控！ y 无法反映 x1，
y = ?6 x2
系统不完全可观！
系统可控、不可观测！
t
y c
例：已知桥式电路
选取 x1 = iL , x2 = uC
R R
u
c
C
y = x2 = uC
若 x2 (t0 ) = uC (t0 ) = 0 则 x2 (t ) ≡ 0, t ≥ t0
R
uC
u 只能控制 x1，不能控制 x2
x2 不可控！
y = x2 ≡ 0 不能由 y 反映 x1的变化
系统不可控、不可观测！
t
x1 不可观测！
y c
3
土坡稳定性计算计算书 品茗软件大厦工程；属于结构;地上0层;地下0层；建筑高度：0m；标准层层高：0m ；总建筑面积：0平方米；总工期：0天；施工单位：某某施工单位。 本工程由某某房开公司投资建设，某某设计院设计，某某勘察单位地质勘察，某某监理公司监理，某某施工单位组织施工；由章某某担任项目经理，李某某担任技术负责人。 本计算书参照《建筑施工计算手册》江正荣编著中国建筑工业出版社、《实用土木工程手册》第三版杨文渊编著人民教同出版社、《地基与基础》第三版中国建筑工业出版社、《土力学》等相关文献进行编制。 计算土坡稳定性采用圆弧条分法进行分析计算，由于该计算过程是大量的重复计算，故本计算书只列出相应的计算公式和计算结果，省略了重复计算过程。 本计算书采用瑞典条分法进行分析计算，假定滑动面为圆柱面及滑动土体为不变形刚体，还假定不考虑土条两侧上的作用力。 一、参数信息: 条分方法：瑞典条分法； 条分块数：14； 考虑地下水位影响； 基坑外侧水位到坑顶的距离(m)：2.000； 基坑内侧水位到坑顶的距离(m)：6.000； 放坡参数：
序号放坡高度(m) 放坡宽度(m) 平台宽度(m) 条分块数 1 2.00 3.00 1.00 0.00 2 3.00 4.00 1.00 0.00 荷载参数： 序号类型面荷载q(kPa) 基坑边线距离b0(m) 宽度b1(m) 1 满布 10.00 0.00 0.00 土层参数： 序号土名称土厚度(m) 坑壁土的重度γ(kN/m3) 坑壁土的内摩擦角φ(°) 内聚力C(kPa) 饱容重(kN/m3) 1 填土 7.00 18.00 20.00 10.00 22.00 二、计算原理: 根据土坡极限平衡稳定进行计算。自然界匀质土坡失去稳定，滑动面呈曲面，通常滑动面接近圆弧，可将滑裂面近似成圆弧计算。将土坡的土体沿竖直方向分成若干个土条，从土条中任意取出第i条，不考虑其侧面上的作用力时，该土条上存在着： 1、土条自重， 2、作用于土条弧面上的法向反力， 3、作用于土条圆弧面上的切向阻力。 将抗剪强度引起的极限抗滑力矩和滑动力矩的比值作为安全系数，考虑安全储备的大小，按照《规范》要求，安全系数要满足>=1.3的要求。
微分方程模型建模实例 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落 伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常 数，（）
... . . 土坡稳定性计算书 本计算书参照《建筑施工计算手册》江正荣编著中国建筑工业、《实用土木工程手册》第三版文渊编著人民教同、《地基与基础》第三版中国建筑工业、《土力学》等相关文献进行编制。 计算土坡稳定性采用圆弧条分法进行分析计算，由于该计算过程是大量的重复计算，故本计算书只列出相应的计算公式和计算结果，省略了重复计算过程。 本计算书采用瑞典条分法进行分析计算，假定滑动面为圆柱面及滑动土体为不变形刚体，还假定不考虑土条两侧上的作用力。 一、参数信息: 条分方法：瑞典条分法； 考虑地下水位影响； 基坑外侧水位到坑顶的距离(m)：1.56； 基坑侧水位到坑顶的距离(m)：14.000； 放坡参数： 序号放坡高度(m) 放坡宽度(m) 平台宽度(m) 条分块数 0 3.50 3.50 2.00 0.00 1 4.50 4.50 3.00 0.00 2 6.20 6.20 3.00 0.00 荷载参数： 土层参数：
序号土名称 土厚 度 （m） 坑壁土的重 度γ(kN/m3) 坑壁土的摩 擦角φ(°) 粘聚力 （kPa） 饱容重 (kN/m3) 1 粉质粘土15 20.5 10 10 20.5 二、计算原理: 根据土坡极限平衡稳定进行计算。自然界匀质土坡失去稳定，滑动面呈曲面，通常滑动面接近圆弧，可将滑裂面近似成圆弧计算。将土坡的土体沿竖直方向分成若干个土条，从土条中任意取出第i条，不考虑其侧面上的作用力时，该土条上存在着： 1、土条自重， 2、作用于土条弧面上的法向反力， 3、作用于土条圆弧面上的切向阻力。 将抗剪强度引起的极限抗滑力矩和滑动力矩的比值作为安全系数，考虑安全储备的大小，按照《规》要求，安全系数要满足>=1.3的要求。 将抗剪强度引起的极限抗滑力矩和滑动力矩的比值作为安全系数，考虑安全储备的大小，按照《规》要求，安全系数要满足>=1.3的要求。 三、计算公式:
一个数学问题都可以用不同的方法来求解的，不同的方法做出来效果不同，效率也不同。下面就微分方程模型建模展开建模。下面给出些微分方程建立模型的实例，供大家参考。 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8．1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（） 10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？ 11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？ 12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ (7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式 D = 13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。 14．设药物吸收系数（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。 15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会
一、土岩混合边坡分析 土岩混合边坡稳定性分析一般有四种: 1、上部土层及风化层内部的破坏（圆弧或折线，受土体强度控制，软件自动搜索最危险滑面）； 2、沿土岩交界面滑动破坏（土与风化层面或土、风化层与基岩面，受交界面强度控制，软件指定交界面进行计算稳定性，采用圆滑滑动（均质土体时）和折线滑动（覆盖层与基岩面时）两种计算）； 3、下部岩体结构面破坏（受结构面控制，平面或楔形体破坏，倾倒破坏也可能。先用赤平投影定性分析（龙海涛和理正结合使用），根据定性情况，若不稳定，则用理正进行定量稳定性计算（平面滑动和楔形体滑动））。 4、上部土体圆弧滑动，下部岩体沿结构面滑动破坏（分析了1和3后，二者都不稳定时，则对边坡整体进行计算，采用1的最危险滑动面与3的平面滑动面组合成上部圆弧，下部直线（层面、某节理裂隙或结构面组合的交线）的整体滑动面，采用传递系数法进行稳定性计算），则1.2.3.4得到四种稳定系数，根据稳定系数进行综合评价。 5、极软岩边坡可能受岩土体强度控制，也可能受结构面控制，故也应对边坡整体进行稳定性计算，采用圆弧滑动（简化毕肖普法）和折线滑动（传递系数隐式解法）分别进行计算。 6、若1.2稳定，3不稳定，则会发生下部岩体沿结构面滑动破坏，从而带动上部土体一起滑动破坏。故下部岩体稳定性很重要。 综合內摩擦角是对平面滑动的，若提粘聚力很小，甚至为零，只有內摩擦角，则破坏模式为平面滑动，如砂砾石层，岩层等。若判断破坏模式为圆弧滑动，则必须提粘聚力与內摩擦角，如破碎岩层、强风化层与上部土层可能发生圆弧滑动破坏。故，提不提粘聚力，可否换算成综合內摩擦角，取决于判断其破坏模式是圆弧还是平面滑动。 下部为极软岩的土岩混合边坡除按岩质边坡分析外，还需计算五种滑动面稳定系数，如下：（下部为硬质的边坡，可不计算整体圆弧滑动，整体折现滑动视基岩内部裂隙及破碎带
常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100 多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789 年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t 的人口为N (t ) ,把N (t ) 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t + ?t时间段内,人口的增长量为 N (t + ?t ) ? N (t ) = rN (t )?t , 并设t = t 0 时刻的人口为N 0 ,于是 dN = rN， dt N (t 0 ) = N 0．
这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 N (t ) = N 0 e r (t ?t0 ) , 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961 年地球上的人口总数为3.06 × 10 ,而在以后7 年中,人口总数 9 以每年2%的速度增长,这样t 0 = 1961 , N 0 = 3.06 × 10 9 , r = 0.02 ,于是 N (t ) = 3.06 × 10 9 e 0.02(t ?1961) . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961 年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35 年翻一番,而上式断定34.6 年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670 年,地球上将有36 000 亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上, 地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此, 这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地 7 球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,