![[第12讲]最常考的数论问题(约倍问题)作业](https://img.doczj.com/img77/1dxhzjf82g6db4d7dm9ftba501rtkajb-71.webp)
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最常考的数论问题(约倍问题)
一、基本概念：
因数和倍数的定义：如果一个自然数a 能被自然数b 整除，那么称a 为b 的倍数，b 为a 的因数(或约数)．
因数的找法：因数一般都是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身.若自然数,,a b c 满足：a b c ÷=，那么，,b c 都是a 的因数.如60包含因数：1和60；2和30；3和20；4和15；5和12；6和10.(特殊情况，完全平方数，如25有因数5，不成对.)
最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．例如：(8,12)4=，(6,9,15)3=．
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]8,1224=，[]6,9,1590=．
二、关于最大公因数： 1．求最大公因数的方法：
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．
例如：2313711=??，22252237=??，所以(231,252)3721=?=； 又如：32423=?，223623=?，所以2(24,36)2312=?=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．
例如：21812
39632
，所以(12,18)236=?=；
③辗转相除法(选讲)：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．
例如，求600和1515的最大公因数：
151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公因数是15． 2．求一组分数的最大公因数(选讲)：
先将各个分数化为假分数；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的最大公因
数b ；b
a
即为所求．
例如：82(8,2)2
(,)915[9,15]45
==
三、关于最小公倍数： 1．求最小公倍数的方法：
①分解质因数法：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次. 例如：2313711=??，22252237=??，所以[]22231,252237112772=???=； 又如：32423=?，223623=?，所以32(24,36)2372=?=； ②短除法：先找所有包含的因数，然后相乘.
例如：21812
39632
，所以[]18,12233236=???=；
特殊地，如果要求多个数的最小公倍数，需要短除直至任意两数都互质.
例如：2121840
39620
23220
3110
，所以[]
12,18,402323110360
=?????=；
2．求一组分数的最小公倍数方法步骤：
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；a b
即为所求．
例如：
35[3,5]15 [,]
412(4,12)4
==
1．用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？
2．有3根铁丝，长度分别是18厘米、24厘米、30厘米.现在要把它们截成长度相等的小段，每根都不许有剩余，每一小段最长是多少厘米？一共可以截成多少小段？
3．(北大附中入学考题)
把20个梨和25个苹果平均分给小朋友，分完后梨剩下2个，而苹果还缺2个，一共最多有多少个小朋友？
4．幼儿园有糖115颗、饼干148块、桔子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，桔子多出2个．这个大班的小朋友最多有多少人？
5．有两根木料，一根长2015毫米，另一根长755毫米，要把它们锯成同样长的小段，不许有剩余，但每锯一次要损耗1毫米的木料，每小段木料最长可以是多少毫米？
6．计算下列各数的最小公倍数：
[][][]
28,35;108,360;24,36,90
7．一次考试，参加的学生中有1
7
得优，
1
3
得良，
1
2
得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满50
人，那么得差的学生有人．
8．五㈠班的五十几个同学参加体育活动，每6人一组则少3人，每9人一组则多3人，求五㈠班有多少学生？
9．如图，鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端A 、B 开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖完
后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖 个洞。
10．甲、乙两人同时从
A
点背向出发，沿400米的环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50
米，两人至少经过多长时间才能再在A 点相遇？
11
．A 、B 、C 三匹马在一个环形跑马场上同时同地出发，
A 每2分钟跑一圈；
B 每3分钟跑一圈；C
每4分钟跑一圈.那么它们多久以后才能再同时经过出发点？ 12．甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米．已
知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人可以首次相聚？
13．大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小
明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米．由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印．求圆形花圃的周长． 14．从一张长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形.如果剩下的部分
不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形.按照上面的过程不断重复.问，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？
15．动物园的饲养员给三群猴子分花生，如只分给第一群，则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，
则每只猴子可得15粒；如只分给第三群，则每只猴子可得20粒．那么平均给三群猴子，每只可得多少粒？
16．(小学数学奥林匹克决赛)
有一些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔2人发一个苹果；从右面第一人开始每隔4人发一个桔子，结果有10个小朋友苹果和桔子都拿到.那么这些小朋友最多有多少人？
我每隔3米挖一个洞
我每隔5米挖一个洞
17．3条圆形跑道，圆心都在操场中的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向
跑步.开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长1
5
千米，中圈跑道长
1
4
千米，外圈跑道长
3
8
千
米.甲每小时跑
1
3
2
千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米.问他们同时出发，几小时后，3
人第一次同时回到出发点?
18．计算下列3组数的最大公约数和最小公倍数：33,44；54,72；15，21,27
19．教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、鸭梨各多少个？20．一个房间长450厘米，宽330厘米．现计划用方砖铺地，问需要用边长最大为多少厘米的方砖多少块(整块)，才能正好把房间地面铺满？
21．一次考试，参加的学生中有1
7
得优，
1
4
得良，
1
3
得中，其余的得差，已知参加考试的学生不满100
人，那么得差的学生有人．
22．A、B、C三匹马在一个环形跑马场上同时同地出发，A每3分钟跑一圈；B每4分钟跑一圈；C 每5分钟跑一圈.那么它们多久以后才能再同时经过出发点？
复习：最大公因数和最小公倍数
最大公因数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的因数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公因数．在所有公因数中最大的一个公因数，称为这若干个自然数的最大公因数．例如：(8,12)4
=，(6,9,15)3
=．
最小公倍数的定义：如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数．在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数．例如：[]
8,1224
=，[]
6,9,1590
=．
23．一个两位数有6个约数，且这个数最小的3个约数之和为10，那么此数为几？
24．已知m n
、两个数都是只含质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知m有12个约数，n有10个约数，求m与n的和．
25．(2008年仁华考题)1001的倍数中，共有个数恰有1001个约数．
26．(2011年迎春杯六年级初赛)一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍
的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是 ．
27．有一个小于2000的四位数，它恰有14个正约数(包括1和本身)，其中有一个质因数的末位数字是
1，求这个四位数．
28．(八一中学入学考试题)已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，求这两个数．
29．两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72.已知其中一个自然数是18，求另一个自然数.
30．已知：
,244a =（），[,24]168a =，求a 的值．
31．如果两个合数互质，它们的最小公倍数是126，那么，它们的和是 .
32．已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？
33．已知两个自然数的最大公约数为4，最小公倍数为120，求这两个数．
34．已知两个自然数的最大公约数为13，最小公倍数为78，求这两个数．
35．已知：
,8a b =（），[,]64a b =，求a b 、的值．
36．两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210.这两个自然数的和是77，求这两个自然数.
37．已知：432x y +=，
,36x y =（）．求x y 、的值．
38．(第七届迎春杯决赛)两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差．
39．已知：45a b +=，[,]168a b =，求a b 、的值．
40．已知：60a b +=，
,[,]84a b a b +=（），求a 、b 的值．
41．已知正整数a 、b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a 、b 中较大的
数是多少？
42．已知甲、乙两数的和加上它们的最大公约数恰好等于它们的最小公倍数，求它们的最小公倍数除
以它们的最大公约数所得的商是几？
43．已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公约数的差为114，求这两个自然数．
44．设a 与b 是两个不相等的非零自然数，a b >．如果它们的最小公倍数是72，那么这两个自然数有
多少种可能的数值?
45．甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，
那么甲数是多少?
46．已知a 与b ，a 与c 的最大公约数分别是12和15，a 、b 、c 的最小公倍数是120，求a ，b ，c .
47．a b c >>是3个整数，a 、b 、c 的最大公约数是15，a 、b 的最大公约数是75，a 、b 的最小公
倍数是450，b 、c 的最小公倍数是1050，那么c =______．
48．若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？
49．,a b 两数的最大公约数是12，已知a 有8个约数，b 有9个约数，求a 和b .
50．一个数有6个约数，那么这个数的平方有多少个约数？
51．(北达资源杯试题)甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是多少？
52．设a 与b 是两个不相等的非零自然数，a b >．如果它们的最小公倍数是60，那么这两个自然数有
多少种可能的数值?
53．已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质．请写出所有可能的答
案．
答案
1．本题中，要求的数去除30、60、75都能整除，所以要求的数是30、60、75的公约数.要求符合条件的最大的数，就是求30、60、75的最大公约数.
53060753612152
4
5
即(30,60,75)5315=?=，这个数最大是15
2．要截成相等的小段，且无剩余，所以每段长度必须是18、24、30的公约数.又因为每段尽可能长，所以要求每段长度必须是18、24、30的最大公约数.
318243026810345 即(18,24,30)326=?=(厘米). 共可以截成34512++=(段)
3．此题相当于梨的总数是人数的整数倍还多2个，苹果数是人数的整数倍还缺2个，所以减掉2个梨，补充2个苹果后，18个梨和27个苹果就都是人数的整数倍了，即人数是18和27的公约数，要求最多的人数，即是18和27的最大公约数9了．
4．从题中不难看出，这个大班小朋友的人数是1157108-=，1484144-=，74272-=的公约数．而[]108,144,7236=，所以，这个大班的小朋友最多有36人
5．由于两根木料锯的次数比最终锯成的段数都少1，如果将两根木料都各增加1毫米，将最后锯成的每小段与每次损耗的1毫米合在一起成为新的一小段，那么相当于长2016毫米和756毫米的两根木料锯成同样长的小段，且每次都没有损耗，由于()2016,756252=，所以最长为252毫米，那么减去1毫米损耗后，每小段木料最长可以是2521251-=毫米．
6．求最小公倍数，一般有分解质因数法，短除法2种方法.也可以用两数乘积与两数最大公约数和最小公倍数乘积相等这一性质来求解
(1)282273557=??=?，[]28,352275140=???= (2)233210823360235=?=??，[]33108,3602351080=??= (3)3243690
281230
2461532315215，[]3224,36,90235360=??=
7．由题意“参加的学生中有
17得优，13
得良，1
2得中”，可知参加考试的学生人数是7，3，2的倍数，因为7，2，3的最小公倍数为42，4228450?=>，所以参加的学生总数为42人．那么得差的学生
有：111
42(1)1732
?-
--=人
8．每6人一组少3人相当于每6人一组多633-=人，因为每9人一组也多3人，所以人数应比6和9的倍数多3，且在50～60之间，[]6,918=，因此五㈠班有：183357?+=(人)．
9．因为157除以5的余数是2，可得下图，由图中很明显可知，鼹鼠和老鼠重合的第一个洞在距离A
点12米处．因为[3，5]15=，
157121514515910-÷=÷=（），所以，老鼠和鼹鼠要挖的洞里重合的有9110+=(个)．
10．甲、乙走一圈分别需要5分钟和8分钟，因此他们要是在A 点再次相遇，两人都要走整圈数，所
以所需的时间应是5和8的最小公倍数40分钟．
11．A 、B 、C 走一圈分别需要2分钟、3分钟和4分钟，因此它们再在出发点相遇时，都走过了整圈
数，所以所需的时间应是2、3和4的最小公倍数12分钟．
12．由题意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差
1208040-=(米)，则需要4004010÷=分钟乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走1207050-=(米)，则需要400508÷=分钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走
807010-=(米)，则需要4001040÷=分钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时间则为10，8，40的公倍数．因为[]10,8,4040=，所以三人相聚需要过40分钟，即40分钟后，三个人可以首次相聚．
13．必须求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发到第一次
脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为[]54,72216=厘米．在216厘米里，
两人留下的脚印数分别是：216544÷=(个)，216723÷=(个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4316+-=(个)脚印．60610÷=，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216102160?=(厘米).
14．第1、2次剪下一个847847?的正方形，剩下847308?的长方形；
第3、4次剪下一个308308?的正方形，剩下308231?的长方形； 第5次剪下一个231231?的正方形，剩下23177?的长方形；
第6、7、8次剪下一个7777?得正方形，正好剪完.
实际上我们是用辗转相除法求出2002与847的最大公约数77，即为最后剪得的正方形边
15．依题意得: 花生总粒数12=?第一群猴子只数15=?第二群猴子只数20=?第三群猴子只数,由此可
知，花生总粒数是12，15，20的公倍数，其最小公倍数是60．花生总粒数是60，120，180，…,那么：第一群猴子只数是5，10，15，… ；第二群猴子只数是4，8，12，… ；第三群猴子只数是3，6，9，… ；所以，三群猴子的总只数是12，24，36，…因此，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是5粒．
16．苹果每3人发1个，桔子每5人发1个.因为[]3,515=，所以苹果和桔子都拿到的10个小朋友之间共有15(101)1136?-+=(人).在他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果，所以左边最多还有3412?=(人)；右边最多有2个小朋友拿到桔子，所以右边最多还有5210?=(人).所以最多有：1361210158++=(人).
17．甲跑完一圈需11235235÷=小时，乙跑一圈需114416÷=小时，丙跑一圈需33
5840
÷=小时，他们同
时回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为
235，116，3
40
的倍数，即为它们的公倍数．而[]()2,1,32136,,635164035,16,401??
===????
.所以，6小时后，3人第一次同时回到出发点.
18．()[]33,4411,33,44132;== ()[]54,7218,54
,72216;== ()[]15,21,273,15,21,27945==.
19．因为(320,240,200)40=，320408÷=，240406÷=，200405÷=，所以最多可分40份，每份中
有8个苹果，6个桔子，5个鸭梨.
20．要使方砖正好铺满地面，可知房间的长和宽都应是方砖边长的倍数，也就是方砖边长厘米数必须
是房间长、宽厘米数的公约数．由于题中要求方砖边长尽可能大，所以方砖边长应为房间长与宽的最大公约数．450和330的最大公约数是30．4503015÷=，3303011÷=，所以共需1511165?=(块).
21．由题意“参加的学生中有17得优，14得良，1
3
得中”，可知参加考试的学生人数是7，4，3的倍数，
因为7，4，3的最小公倍数为84(小于100人)，所以参加的学生总数为84人．那么得差的学生有：8412212823---=人．
22．A 、B 、C 走一圈分别需要3分钟、4分钟和5分钟，因此它们再在出发点相遇时，都走过了整圈
数，所以所需的时间应是3、4和5的最小公倍数60分钟．
23．最小的三个约数中必然包括约数1，除去1以外另外两个约数之和为9，由于9是奇数，所以这两
个约数的奇偶性一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是2的倍数，即2是它的约数.于是2是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是14的倍数，由于这个两位数的约数中不含3、4、5、6，所以这个数只能是14或98，其中有6个约数的是98．
24．因为27535=?，如果设35p q m =?，35x y n =?，那么p x 、中较小的数是1，q y 、中较小的数是2．
由于一个数的约数的个数等于它分解质因数后每个质因数的次数加1的乘积．所以
(1)(1)12p q +?+=,(1)(1)10x y +?+=．又122634=?=?，1025=?，由于2y ≥，所以13y +≥，
那么15y +=，12x +=，得到1x =，4y =．那么2q =，得到3p =，所以3235675m =?=，4351875n =?=，=2550m n +．
25．1001的倍数可以表示为1001k ，由于100171113=??，如果k 有不同于7，11，13的质因数，那
么1001k 至少有4个质因数，将其分解质因数后，根据数的约数个数的计算公式，其约数的个数为()()()()()123411111n a a a a a +++++，其中4n ≥．如果这个数恰有1001个约数，则
()()()()(
)123411111100171113n
a a a a a +++++==??，但是
1001不能分解成4个大于1的数的乘积，所以4n ≥时不合题意，即k 不能有不同于7，11，13的质因数．那么1001k 只有7，11，13
这3个质因数．设100171113a b c k =??，则()()()1111001a b c +++=，1a +、1b +、1c +分别为7，11，13，共有3!6=种选择，每种选择对应一个1001k ，所以1001的倍数中共有6个数恰有1001个约数．
26．这个数只能含2和3的因子，因为如果它还有别的因子，例如5，那么最后增加的个数要比给定的
数字大。
设23a b x =?，它的约数有()()11a b ++个，它的2倍为123a b +?，它的约数有()()111a b +++个。
()()()()1111112a b a b b +++-++=+=，1b =
同样的，它的3倍为123a b +?，它的约数为()()111a b +++个，比原数多3个 ()()()()1111113a b a b a +++-++=+=，2a =
所以这个数的形式是22312?=
27．约数个数1427114=?=?，由于132********=>，所以这个四位数分解质因数的形式为6p q ?(p 、
q 为质数)．如果p 为末位为1的质因数，那么p 最小为11，而6112000>，矛盾，所以q 为末位
为1的质因数，且p 只能是2(若不为2，则至少为3，此时使得6631180192000p q ?≥?=>)．若11q =则66211704p q ?=?=是三位数；若31q =则662311984p q ?=?=正好是小于2000的四位
数．而41q ≥时6624126242000p q ?=?=>，所以这个四位数只能是1984．
28．由于两个自然数的积=两数的最大公约数?两数的最小公倍数，可以得到，最大公约数是
240604÷=，设这两个数分别为4a 、4b ，那么(,)1a b =，且60415a b ?=÷=，所以a 和b 可以取1和15 或 3和5 ，所以这两个数是4和60 或12和20．
29．由两自然数的乘积等于其最大公因数与最小公倍数的乘积，另一个自然数是(672)1824?÷=.
30．41682428a =?÷=
31．2126237=??，这两个合数互质，乘积是126，只能是9和14，和为23.
32．假设这两个数是21a 和21b ，易得21126a b ??=，所以6a b ?=，由a 和b 互质，那么就有
61623=?=?两种情况．所以甲、乙是：21121?=，216126?=或21242?=，21363?=两种情况．它们的和是147或105 ．
33．这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，120430÷=，
将30分解成两个互质的数之积：1和30，2和15，3和10，5和6，所以这两个数为4与120，或8与60，或12与40，或20与24．
34．这两个数分别除以最大公约数所得的商的乘积等于最小公倍数除以最大公约数的商，78136÷=，
将6分解成两个互质的数之积：1和6，2和3，所以这两个数为13与78，或26与39．
35．由于知道了最大公约数与最小公倍数的值，根据公式,[,]ab a b a b =
?（）可以求出两数的积为：a b ?864512=?=． 由,8a b =（）可知，存在整数1p ，2p 使18a p =，28b p =，且12,1p p =（）．
因为,[,]ab a b a b =
?（），所以：1264864p p =? 化简可得：128p p =． 由于12,1p p =（），将8分解成两个互质自然数的积：11p =，28p =或18p =，21p =． 因此所求的两数为8a =，64b =(或64a =，8b =)．
36．如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30.这两
个自然数的和是11，求这两个自然数.”
改变以后的两个数的乘积是13030?=，和是11. 3013021531056=?=?=?=?，
由上式知，两个因数的和是11的只有56?，且5与6互质.因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是7535?=和7642?=.
37．如果直接通过枚举法由432x y +=入手求x y 、，由于432数据较大，我们将无法顺利求出满足
(,)x y 36=的x y 、的值．
设136x x =，136y y =，则11(,)1x y =．那么：113636432x y += 即：1112x y +=．这样一来，枚举的范围就小得多！
将12分解为两个互质自然数的和：11111x y =??=?，11
5
7x y =??=?．
相应的x y 、值为：36396x y =??=?，180
252x y =??=?
．
所以满足条件的自然数为(36，396)或(180，252)．
38．设这两个自然数为：5,5a b ，其中a 与b 互质，5550a b +=，10a b +=，经检验，容易得到两组
符合条件的数：9与1或者7与3．于是，所要求的两个自然数也有两组：45与5，35与15．它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20．所以，所求这两个数的差是40或者20．
39．设
,a b d =（），则a dx =，b dy =，且,1x y =（）． 可得下列方程组：{45
168dx dy dxy +==⑴ 化简方程组⑴得：
{45168
d x y dxy ?+==（）⑵
方程组⑵说明：|45d ，且|168d ，所以d 是45与168的公约数．
由于
45,1683=（），所以1d =或3． ① 当1d =时，方程组⑵为：45
168x y x y +=???=?
对168分解质因数：3168237=??
对168的约数配对： 123467812
168845642282421
14
其中互质的四对数(1，168)，(3，56)，(7，24)与(8，21)均不满足45x y +=，所以此种情况下无解． ② 当3d =时，方程组⑵为：1556x y x y +=???=?
对56分解质因数： 35627=?
对56的约数配对： 1247
562816
8
其中互质的两对数(1，56)与(7，8)中只有(7，8)满足7815+=，所以： 3721a =?=，3824b =?=．
40．设
,a b d =（）．令a xd =，b yd =，则,1x y =（）．代入条件得： 60[,]84
xd yd d d x y +=??
+?=?⑴
对方程组⑴进行化简得：60841x y d
xy d ?
+=???
?+=??
⑵
上式说明d 是60与84的公约数．这提示我们要去考察60与84的最大公约数．
由于
608412=（，），所以1d =，2，3，4，6，12． 不难验证当1d =，2，3，4，6时，方程组⑵无解．
仅当12d =时，方程组⑵化简为：5
6x y xy +=??=?
利用分解质因数的知识求得：
23x y =??=?，3
2x y =??=?． 综上所述，满足条件的a b 、的值为： 21224
31236a b =?=??
=?=?
．
41．设a b >，有120a b =+，又设()a b d =,，a pd =，b qd =，(,)1p q =，且p q >，则[,]a b pqd =，
有105pqd d =，所以105357pq ==??．因为()120a b p q d -=-=，所以()p q -是120的约数． ①若105p =，1q =，则104p q -=，不符合； ②若35p =，3q =，则32p q -=，不符合； ③若21p =，5q =，则16p q -=，不符合； ④若15p =，7q =，则8p q -=，符合条件．
由()8120p q d d -==，得15d =，从而a 、b 中较大的数1515225a pd ==?=．
42．设甲数为A ，乙数为B ，并设(,)A B m =，A ma =，B mb =，则[,]A B mab =.
根据题意得mab ma mb m =++，两边同时约掉m 得到1ab a b =++. 所以12ab a b --+=，(1)(1)2a b --=，解得3a =，2b =(或相反). 最小公倍数除以最大公约数得到的是326mab m ab ÷==?=.
43．设这两个自然数分别是ma 、mb ，其中m 为它们的最大公约数，a 与b 互质(不妨设a ≤b )，根据
题意有：
()54
(1)114mb ma m a b mab m m ab +=+=??
-=-=?
所以可以得到 m 是54和114的公约数，所以是(54,114)6=的约数．1m =，2，3或6． 如果1m =，由()54m a b ?+=，有54a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有115ab =． 1151115523=?=?，但是111511654+=≠，5232854+=≠，所以1m ≠.
如果2m =，由()54m a b ?+=，有27a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有58ab =． 58158229=?=?，但是1585927+=≠，2293127+=≠，所以2m ≠．
如果3m =，由()54m a b ?+=，有18a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有39ab =． 39139313=?=?，但是1394018+=≠，3131618+=≠，所以3m ≠．
如果6m =，由()54m a b ?+=，有9a b +=；又由(1)114m ab ?-=，有20ab =．
20表示成两个互质的数的乘积有两种形式：2012045=?=?，虽然120219+=≠，但是有459+=，所以取6m =是合适的，此时4a =，5b =，这两个数分别为24和30．
44．a 和b 一定是它们的最小公倍数的约数。a 与b 的最小公倍数327223=?有12个约数：
12346891218243672，，，，，，，，，，，．
如果72a =，那么b 可以是其它任何一个约数。共有11个可能取值；
如果36a =，那么a 不是8的倍数，b 一定是8的倍数，8,24b =，2种可能取值； 如果24a =，那么a 不是9的倍数，b 一定是9的倍数，9,18b =，2种可能取值； 如果18a =，那么a 不是8的倍数，b 一定是8的倍数，8b =，1种可能取值； 如果12a =，那么a 不是8和9的倍数，b 一定是8和9的倍数，但b a <，无解； 如果9a =，那么a 不是8的倍数，b 一定是8的倍数，8b =，1种可能取值；
因此共有11221117++++=种可能取值。
45．两个数的公倍数，必然是这两个数的倍数。公倍数不含有某一个约数，那么这个数必然不会有这
个约数。对三个最小公倍数分解质因数:290235=??，105357=??，2126237=??.
那么，甲、乙中只能含有质因数2,3,5，且因数22,35，
在甲、乙中至少出现一次；同理，因数3,5,7在乙、丙中至少出现一次；因数22,37，
在甲、丙中至少出现一次。 又126不是5的倍数，因此甲中不含因数5；
105不是2和9的倍数，因此乙、丙不含因数2和9，那么甲必含有因数2和9； 那么甲是90的含有因数2和9，不含因数5的一个约数。因此甲只能是2918?=。
46．因为12、15都是a 的约数，所以a 应当是12与15的公倍数，即是[12,15]60=的倍数.再由[,,]120a b c =知，a 只能是60或120.[,]15a c =，说明c 没有质因数2，又因为
3[,,]120235a b c ==??，所以15c =.
因为a 是c 的倍数，所以求a 、b 的问题可以简化为：“a 是60或120，(,)12a b =，[,]120a b =，求a 、b .”
当60a =时，(,)[,]121206024b a b a b a =?÷=?÷=； 当120a =时，(,)[,]1212012012b a b a b a =?÷=?÷= 所以a 、b 、c 为60、24、15或120、12、15.
47．由于a 、b 、c 的最大公约数是15，假设15a x =，15b y =，15c z =，那么(),,1x y z =，
(),75155x y =÷=，[],4501530x y =÷=，[],10501570y z =÷=．
对于两个非零自然数m 、n ，如果它们的最大公约数为d ，则有1m m d =，1n n d =，其中11(,)1m n =，它们的最小公倍数为11m n d ．尤其是当这两个数互质时，它们的最小公倍数就是它们的乘积． x ，y 的最小公倍数为30，最大公约数为5，且x y >，30566132÷==?=?，所以y 只可能为5或10．
由于x ，y 的最小公倍数为30，y ，z 的最小公倍数为70，所以y 不能是7的倍数，那么z 必定是7的倍数．又由于a b c >>，所以x y z >>，所以7y z >≥，而y 是5的倍数，所以y 至少为10．
那么10y =，而z y <又是7的倍数，所以7z =，那么15105c z ==．
48．由于最小公倍数是最大公约数的倍数，所以最大公约数是最大公约数与最小公倍数的和的约数，即本题中这两个数的最大公约数是49的约数，从而最大公约数为1或者7．
如果最大公约数为1，则最小公倍数为48，可能为1和48或3和16，这两种情况都不符合平方和为637；如果最大公约数为7，则最小公倍数为42，可能为7和42或14和21，此时221421637+=，满足题意，所以这两个数分别为14和21．
49．21223=?，那么,a b 至少含2个2,1个3.a 有8个约数，()()81131=+?+，它是13
1
2p p 形式的数.那么32324a =?=.b 有9个约数，()()92121=+?+，它是22
12p p 形式的数.那么222336b =?=.
50．62316=?=?，对于第一种情况，这个数是212p p ?形式的数，它的平方是24
12p p ?形式的数，那么
它有()()214115+?+=个约数。
对于第二种情况，这个数是5p 形式的数，它的平方是10p 形式的数，那么它有10111+=个约数。
因此这个数的平方有15或11个约数。
51．法1：根据两个自然数的积=两数的最大公约数?两数的最小公倍数，有：甲数?乙数4288=?，
所以，乙数42883632=?÷=；
法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数49=?，设乙数4b =?，则(,9)1b =．因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则28849b =??，得8b =．所以，乙数4832=?=．
两个自然数的和是125，它们的最大公约数是25，试求这两个数． 125255÷=，51423=+=+，两数可以为25、100或者50、75．
52．a 和b 一定是它们的最小公倍数的约数。a 与b 的最小公倍数260235=??有12个约数：
123456101215203060，，，，，，，，，，，．
如果60a =，那么b 可以是其它任何一个约数。共有11个可能取值；
如果30a =，那么a 不是4的倍数，b 一定是4的倍数，4,12,20b =，3种可能取值； 如果20a =，那么a 不是3的倍数，b 一定是3的倍数，3,6,12,15b =，4种可能取值； 如果15a =，那么a 不是4的倍数，b 一定是4的倍数，4,12b =，2种可能取值； 如果12a =，那么a 不是5的倍数，b 一定是5的倍数，5,10b =，2种可能取值； 如果10a =，那么a 不是3和4的倍数，b 一定是3和4的倍数，但b a <，无解； 因此共有11342222++++=种可能取值。
53．设3个数分别为,,a b c ，那么(),,1a b c =。又,,a b c 两两不互质，那么它们任意两数的最大公约数只
能为2,3,5(不能为7，因为找不到2个小于20的有质因数7的合数)。
设()()(),2,,3,,5a b b c a c ===。那么a 有约数2和5，b 有约数2和3，c 有约数3和5。 那么我们能得到3组满足条件的数：()()()10,6,1510,12,1510,18,15，，。
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
西南大学线性代数作业答案
第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：
《流体力学》习题三 一选择题（本大题共25小题，每小题2分，共50分） 1．温度升高，空气的黏度系数：( B ) A．减小 B．变大 C．不变 2．流体黏度系数的国际单位：( D ) A．m2/s B．N/m2 C．kg/m D．N?s/m2 3．通过一个曲面上的体积流量与( B )有关。 A．切向速度 B．法向速度 C．密度分布 D．压强 4．恒定流是：( B ) A．流动随时间按一定规律变化 B．各空间点上的要素不随时间变化C．各过流断面的速度分布相同 D．迁移加速度为零 5．一维流动限于：( C ) A．运动参数不随时间变化的流动 B．速度分布按直线分布C．运动参数可视为一维空间坐标和时间坐标的函数 D．流线是直线6．一维流动的连续性方程VA=C成立的必要条件：( D ) A．理想流体 B．黏性流体 C．可压缩流体 D．不可压缩流体 7．均匀流是：( B ) A．当地加速度为零 B．迁移加速度为零 C．向心加速度为零 D．合加速度为零 8．平面流动具有流函数的条件是：( D ) A．理想流体 B．无旋流动 C．具有速度势 D．满足连续性方程 9．在( C )流动中，流线和迹线是重合的。 A．无旋流动 B．有旋流动 C．恒定流动 D．非恒定流动 10．流体微团的运动和刚体运动相比，多了一项( C )运动。 A．平移 B．旋转
C．变形 D．加速 11．变直径管，直径d1=320mm，d2=160mm，流速V1=s。则V2为：( C ) A．3m/s B．4m/s C．6m/s D．9m/s 12．流线与流线在通常情况下：( C ) A．能相交，也能相切 B．仅能相交，但不能相切 C．仅能相切，但不能相交 D．既不能相交也不能相切 13．欧拉法( B )描述流体质点的运动。 A．直接 B．间接 C．不能 D．只在恒定时能 14．非恒定流动中，流线与迹线：( C ) A．一定重合 B．一定不重合 C．特殊情况下可能重合 D．一定正交 15．一维流动中“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件：( D ) A．理想流体 B．黏性流体 C．可压缩流体 D．不可压缩流体 16．速度势函数存在于( B )流动中。 A．不可压缩流动 B．处处无旋 C．任意平面 D．平面连续 17．速度势函数和流函数同时存在的条件：( C ) A．二维不可压缩连续流动 B．二维可压缩连续流动 C．二维不可压缩连续且无旋流动 D．三维不可压缩连续流动 18．如果忽略流体黏性效应，不需要考虑哪一个相似准则( D ) A．弗劳德数 B．斯特劳哈尔数 C．马赫数 D．雷诺数 19．圆管湍流过渡区的沿程摩阻因数：( C ) A．与雷诺数有关 B．与管壁相对粗糙度有关 C．与雷诺数和管壁粗糙度均有关 D．与雷诺数和管长有关 20．两根直径相同的圆管，以同样的速度输送水和空气，不会出现( A )情况。
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
流体力学标准化作业（三） ——流体动力学 本次作业知识点总结 1.描述流体运动的两种方法 （1）拉格朗日法；（2）欧拉法。 2.流体流动的加速度、质点导数 流场的速度分布与空间坐标(,,)x y z 和时间t 有关，即 (,,,)u u x y z t = 流体质点的加速度等于速度对时间的变化率，即 Du u u dx u dy u dz a Dt t x dt y dt z dt ????= =+++ ???? 投影式为 x x x x x x y z y y y y y x y z z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z u u u u a u u u t x y z ?????=+++?????? ????? =+++???????????=+++?????? 或 ()du u a u u dt t ?==+??? 在欧拉法中质点的加速度du dt 由两部分组成， u t ??为固定空间点，由时间变化 引起的加速度，称为当地加速度或时变加速度，由流场的不恒定性引起。()u u ??为同一时刻，由流场的空间位置变化引起的加速度，称为迁移加速度或位变加速度，由流场的不均匀性引起。 欧拉法描述流体运动，质点的物理量不论矢量还是标量，对时间的变化率称为该物理量的质点导数或随体导数。例如不可压缩流体，密度的随体导数 D D u t t ρρ ρ?=+???（） 3.流体流动的分类
（1）恒定流和非恒定流 （2）一维、二维和三维流动 （3）均匀流和非均匀流 4.流体流动的基本概念 （1）流线和迹线 流线微分方程 x y z dx dy dz u u u == 迹线微分方程 x y z dx dy dz dt u u u === （2）流管、流束与总流 （3）过流断面、流量及断面平均流速 体积流量 3(/)A Q udA m s =? 质量流量 (/)m A Q udA kg s ρ=? 断面平均流速 A udA Q v A A == ? （4）渐变流与急变流 5. 连续性方程 （1）不可压缩流体连续性微分方程 0y x z u u u x y z ???++=??? （2）元流的连续性方程 12 1122 dQ dQ u dA u dA =?? =? （3）总流的连续性方程 1122u dA u dA = 6. 运动微分方程 （1）理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
流体力学网上作业题参考答案 第一章：绪论（56） 一、名词解释 1. 流体：在任何微小剪切力的持续作用下能够连续不断变形的物质/液体和气体统称为流体。 2. 流体质点：质点亦称为流体微团，其尺度在微观上足够大，大到能包含大量的分子，使得在统计平均 后能得到其物理量的确定值；而宏观行又足够小，远小于所研究问题的特征尺度，使其平均物理量可看成是连续的。 3. 惯性：惯性是物体维持原有运动状态的能力的性质。 4. 均质流体：任意点上密度相同的流体，称为均质流体。 5. 非均质流体：各点密度不完全相同的流体，称为非均质流体。 6. 粘性：流体在运动状态下具有抵抗剪切变形能力的性质，成为粘性或者粘滞性。 7. 内摩擦力：流体在流动时，对相邻两层流体间发生的相对运动，会产生阻碍其相对运动的力，这种力称为内摩擦力。 8. 流体的压缩性：流体的宏观体积随着作用压强的增大而减小的性质，称为流体的压缩性。 9. 不可压缩流体：流体密度随压强变化很小，流体的密度可视为常数的流体。 10. 可压缩流体：流体密度随压强变化不能忽略的流体。 11. 表面张力：表面张力是液体自由表面在分子作用半径范围内，由于分子引力大于斥力而在表层沿表面方向产生的拉力。 12. 表面力：作用在所研究流体外表面上，与表面积大小成正比的力。 13.质量力：作用在液体每一个质点上,其大小与液体质量成正比。 14．牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。 二、选择题 1. 理想流体是指可以忽略（ C ）的流体。A 密度 B 密度变化 C 粘度 D 粘度变化 2. 不可压缩流体是指忽略（B ）的流体。A 密度 B 密度变化 C 粘度 D 粘度变化 3. 关于流体粘性的说法中，不正确的是（D ）。 A 粘性是流体的固有属性 B 流体的粘性具有传递运动和阻碍运动的双重性 C 粘性是运动流体产生机械能损失的根源 D 流体的粘性随着温度的增加而降低 4．下列各种流体中，属于牛顿流体的是（A ） A 水、汽油、酒精 B 水、新拌混凝土、新拌建筑砂浆 C 泥石流、泥浆、血浆 D 水、泥石流、天然气 5. 单位质量力的量纲与（B ）的量纲相同。A 速度 B 加速度 C 粘性力 D 重力 6、在水力学中，单位质量力是指（ C ） a、单位面积液体受到的质量力； b、单位体积液体受到的质量力； c、单位质量液体受到的质量力； d、单位重量液体受到的质量力。 7、运动粘度与动力粘度的关系是（A ） A μ υ ρ =B g μ υ=C υ μ ρ = D g υ μ=
习 题 三 1． 平面流动的速度为u=x 2 y ，v=xy 2 ，求证任一点的速度和加速度方向相同。 2． 试证明，变截面管道中的连续性方程为： t ??ρ+x A uA ??)(ρ=0 3． 流进入一段管道，入口处速度均匀分布，V 0=0.5m/s ，出口处速度分布为 u(r)=u m [1-(R r )2 ], R 为管半径，r 是点到管轴线的距离，u m 为轴线（r=0）处的流速度，求u m 的值。 4． 如图，用水银压差计测量油管中的点速度，油的密度ρ=800kg/m 3 ，当读数h ?=60mm 时，油的速度u 为多少？ 10题图 5． 文丘里管测流量。已知D=25mm ，d=14mm ，喉部与其上游的压差为883Pa ，流量系数μ=0.96，求管中水的流量Q 。 6． 为了测量矿山排风管道的气体流量Q ，在其出口处装有一个收缩，扩张的管嘴，在喉部处安装一个 细管，下端插如水中，如图。已知ρ =1.25kg/m 3 ， ρ ˊ=1000 kg/m 3 ,h=45mm ，d 1=400mm ， d 2=600mm ，求Q 。 7．池的水位高h=4m ，池壁有一小孔，孔口到水面高差为y ，如图。如果从孔口射出的水流到达地面的水平距离x=2m ，求y 的值。16题图 8．旋转洒水器两臂长度不等，,5.1,2.121m l m l ==若喷口直径d=25mm ，每个喷口的水流量为 Q s m /1033 3 -?=，不计摩擦力矩，求转速。 3-18 管流的速度分布为：u=u n m R r )1(- 式中，R 为管道半径，r 是点到轴线距离，u m 是轴线上的速度，n 为常数。试计算动能修正系数和动量修正系数α和β。如果n=1/6和1/7，α和β的值为多少？ 10．在开口水箱液面下h=2m 处的壁面开孔并接一条长l=0.5m 的水平水管，当管出口阀门打开时，小管的出流速度随时间变化，求出流速从零到0.95gh 2所经历的时间是多少？ 11．水流从水库的一条长l=1000m ，管径d=1.2m 的水平管道引至水轮发电机，水位h=50m 。为减弱管流的压力波动，管尾处设有一个直径D=3.6m 的调压井。当管道阀门关闭时，如果管内的水发生振荡，求调压井水面的振荡周期。21题图 12．单位宽度的平板闸门开启时，上游水位h m 21=，下游水位h m 8.02=，试求水流作用在闸门上的力R 。 23题图 13．水平面的管路在某处分叉，主干管和分叉管的直径，水流量分别为 d ,/15.0,/2.0,/35.0,300,400,5003 33231321s m Q s m Q s m Q m d m d m ======夹角45=α°， β=30°，主干管在分叉处的表压强为8000N/m 2，试求水流对于此分叉段的作用力。25题图
第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
第一章习题答案 选择题（单选题） 1.1 按连续介质的概念，流体质点是指：（d ） （a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 1.2 作用于流体的质量力包括：（c ） （a ）压力；（b ）摩擦阻力；（c ）重力；（d ）表面张力。 1.3 单位质量力的国际单位是：（d ） （a ）N ；（b ）Pa ；（c ）kg N /；（d ）2/s m 。 1.4 与牛顿内摩擦定律直接有关的因素是：（b ） （a ）剪应力和压强；（b ）剪应力和剪应变率；（c ）剪应力和剪应变；（d ）剪应力和流速。 1.5 水的动力黏度μ随温度的升高：（b ） （a ）增大；（b ）减小；（c ）不变；（d ）不定。 1.6 流体运动黏度ν的国际单位是：（a ） （a ）2/s m ；（b ）2/m N ；（c ）m kg /；（d ）2/m s N ?。 1.7 无黏性流体的特征是：（c ） （a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p =ρ 。 1.8 当水的压强增加1个大气压时，水的密度增大约为：（a ） （a ）1/20000；（b ）1/10000；（c ）1/4000；（d ）1/2000。 1.9 水的密度为10003 kg/m ，2L 水的质量和重量是多少？ 解： 10000.0022m V ρ==?=（kg ） 29.80719.614G mg ==?=（N ） 答：2L 水的质量是2 kg ，重量是19.614N 。 1.10 体积为0.53 m 的油料，重量为4410N ，试求该油料的密度是多少？ 解： 44109.807 899.3580.5 m G g V V ρ= ===（kg/m 3） 答：该油料的密度是899.358 kg/m 3。 1.11 某液体的动力黏度为0.005Pa s ?，其密度为8503 /kg m ，试求其运动黏度。
电大数学思想与方法网上作业答案： 01任务_0001 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。 A. 进位制的发明 B. 四棱锥台体积公式 C. 圆面积公式 D. 球体积公式 2. 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。 A. 几何 B. 代数与数论 C. 数论及几何学 D. 几何与代数 3. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（） 的方法。 A. 几何测量 B. 代数计算 C. 占卜 D. 天文测量 4. 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。 A. 爱奥尼亚学派 B. 毕达哥拉斯学派 C. 亚历山大学派 D. 柏拉图学派 5. 数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。 A. 五千年前 B. 春秋战国时期 C. 六七千年前 D. 新石器时代 6. 在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是 用（）表示。
A. 符号，符号 B. 文字，文字 C. 文字，符号 D. 符号，文字 7. 古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（）， 这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。 A. 100亿年 B. 10亿年 C. 1亿年 D. 1000亿年 8. 巴比伦人是最早将数学应用于（）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程 A. 商业 B. 农业 C. 运输 D. 工程 9. 《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。 A. 西汉末年 B. 汉朝 C. 战国时期 D. 商朝 10. 根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结 论。 A. 最终原理 B. 一般原理 C. 自然命题 D. 初始原理 02任务 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 《几何原本》就是用（）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比 较严密的理论系统和科学方法的学科。 A. 代数
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
作业3 答案 (第5章、第6章) 第5章 一、选择题 1. 管道中液体的雷诺数与（ D ）无关。 A. 温度 B. 管径 C. 流速 D. 管长 2. 某圆管直径d=30mm ，其中液体平均流速为20cm/s 。液体粘滞系数为0.0114cm 3 /s ，则此管中液体流态为（ B ）。 A. 层流 B. 层流向紊流过渡 C.紊流 3.等直径圆管中紊流的过流断面流速分布是 （ D ） A 呈抛物线分布 B. 呈对数线分布 C.呈椭圆曲线分布 D. 呈双曲线分布 4.等直径圆管中的层流，其过流断面平均流速是圆管中最大流速的（ C ） A 1.0倍 B.1/3倍 C. 1/4倍 D. 1/2倍 5.圆管中的层流的沿程损失与管中平均流速的（ B ）成正比. A. 一次方 B. 二次方 C. 三次方 D. 四次方 6.圆管的水力半径是 ( A ) A. d/2 B. d/3 C. d/4 D. d/5. 7、 谢才公式中谢才系数的单位是（ C ） A. 无量纲 B.s m 21 C. s m 23 D. m 2 8. 判断层流和紊流的临界雷诺数是 （ C ） A.上临界雷诺数 B.下临界雷诺数 C.上下临界雷诺数代数平均 D.上下临界雷诺数几何平均 二、判断题 1. 层流的沿程水头损失系数仅与雷诺数有关。 ( 正确 ) 2. 壁面光滑的管道一定是水力光滑管。 ( 错误 ) 3. 在过流断面突变处一般发生局部水头损失。 ( 正确 ) 4. 等直径圆管中的层流,其过流断面平均流速是圆管中最大流速的1/2倍 （ 正确 ） 5．流体内切应力方向与流体运动方向相同。 （ 错误 ） 6．阻力平方区内阻力系数与雷诺数无关。 （ 正确 ）
流体力学作业3答案
作业3 答案 (第5章、第6章) 第5章 一、选择题 1. 管道中液体的雷诺数与（ D ）无关。 A. 温度 B. 管径 C. 流速 D. 管长 2. 某圆管直径d=30mm ，其中液体平均流速为20cm/s 。液体粘滞系数为 0.0114cm 3/s ，则此管中液体流态为（ B ）。 A. 层流 B. 层流向紊流过渡 C.紊流 3.等直径圆管中紊流的过流断面流速分布是 （ D ） A 呈抛物线分布 B. 呈对数线分布 C.呈椭圆曲线分布 D. 呈双曲线分布 4.等直径圆管中的层流，其过流断面平均流速是圆管中最大流速的（ C ） A 1.0倍 B.1/3倍 C. 1/4倍 D. 1/2倍 5.圆管中的层流的沿程损失与管中平均流速的（ B ）成正比. A. 一次方 B. 二次方 C. 三次方 D. 四次方 6.圆管的水力半径是 ( A ) A. d/2 B. d/3 C. d/4 D. d/5. 7、谢才公式中谢才系数的单位是（ C ） A. 无量纲 B.s m 21 C. s m 23 D. s m 2 8. 判断层流和紊流的临界雷诺数是 （ C ） A.上临界雷诺数 B.下临界雷诺数 C.上下临界雷诺数代数平均 D.上下临界雷诺数几何平均 二、判断题
1. 层流的沿程水头损失系数仅与雷诺数有关。 ( 正确 ) 2. 壁面光滑的管道一定是水力光滑管。 ( 错误 ) 3. 在过流断面突变处一般发生局部水头损失。 ( 正确 ) 4. 等直径圆管中的层流,其过流断面平均流速是圆管中最大流速的1/2倍 （ 正确 ） 5．流体内切应力方向与流体运动方向相同。 （ 错误 ） 6．阻力平方区内阻力系数与雷诺数无关。 （ 正确 ） 三、简答题 1. 圆管中层流与紊流，其流速分布有什么不同？ 答: 层流为抛物线分布,紊流为对数曲线分布.(也可以画图) 2. 简述尼古拉兹实验中沿程阻力系数λ的变化规律。 答: 尼古拉兹实验揭示了沿程阻力系数λ的变化规律,文字表述或数学公式表述. 层流:(Re)f =λ;水力光滑区: (Re)f =λ;过渡粗糙区: )(Re, d K f =λ 粗糙区(阻力平方区) : )(d K f =λ . 3.写出管流和明渠水流雷诺数的表达式，并说明其层流、紊流的判别标准？ 答: 管流:νvd =Re 2000Re <(层流) 2000Re > (紊流) 明渠水流: νvR =Re 500Re <(层流) 500Re > (紊流) 4.雷诺数Re 的物理意义？它为什么能用来判别流态？ 答: 雷诺数实质是反映粘性力与惯性力之比。层流时惯性力不大,而粘性力占主导,受粘性力的约束，流体质点做规则运动。紊流时惯性力占主导，受到干扰形
第一章 流体及其主要物理性质 1-1. 轻柴油在温度15oC 时相对密度为0.83，求它的密度和重度。 解：4oC 时 所以，3 3/8134980083.083.0/830100083.083.0m N m kg =?===?==水水γγρρ 1-2. 甘油在温度0oC 时密度为1.26g/cm 3，求以国际单位表示的密度和重度。 333/123488.91260/1260/26.1m N g m kg cm g =?==?==ργρ 1-3. 水的体积弹性系数为1.96×109N/m 2，问压强改变多少时，它的体积相对压缩1％？ MPa Pa E E V V V V p p 6.191096.101.07=?==?= ?=?β 1-4. 容积4m 3的水，温度不变，当压强增加105N/m 2时容积减少1000cm 3，求该水的体积压缩系数βp 和体积弹性系数E 。 解：1956 105.210 4101000---?=?--=??-=Pa p V V p β Pa E p 89 10410 5.21 1 ?=?= = -β 1-5. 用200L 汽油桶装相对密度为0.70的汽油，罐装时液面上压强为1个大气压，封闭后由于温度变化升高了20oC ，此时汽油的蒸气压为0.18大气压。若汽油的膨胀系数为0.0006oC －1，弹性系数为14000kg/cm 2。试计算由于压力及温度变化所增减的体积？问灌桶时每桶最多不超过多少公斤为宜？ 解：E ＝E ’·g ＝14000×9.8×104 Pa Δp ＝0.18at dp p V dT T V dV ??+??= 00V T V T V V T T ββ=?????= 00V p V p V V p p ββ-=?????-= 所以，dp V dT V dp p V dT T V dV p T 00ββ-=??+??=
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
考试试卷（A B卷）学年第二学期 课程名称：流体力学 一、判断题（20分） 1.物理方程等式两边的量纲或因次一定相等。（T） 2.为了减小压差阻力，就应该设法推迟边界层分离现象的发生。（T） 3.压力体的体积表示一个数学积分，与压力体内是否有气体无关。（T） 4.流体静止时，切应力为零。（T） 5.温度升高液体的表面张力系数增大。（F） 6.液滴内的压强比大气压小。（F） 7.声音传播过程是一个等熵过程。（T） 8.气体的粘性随温度的升高而增大。（T） 9.应用总流伯努利方程解题时，两个断面间一定是缓变流，方程才成立。 （F） 10.雷诺数是表征重力与惯性力的比值。（F） 11.不可压缩流体只有在有势力的作用下才能保持平衡。（T） 12.对流程是指海拔11km以上的高空。（F） 13.静止的流体中任意一点的各个方向上的压强值均相等。（T） 14.在拉格朗日法中，流体质点轨迹给定，因此加速度很容易求得。（T） 15.对于定常流动的总流，任意两个截面上的流量都是相等的。（T） 16.紊流水力粗糙管的沿程水头损失系数与雷诺数无关。（T） 17.在研究水击现象时，一定要考虑流体的压缩性。（T） 18.雷诺数是一个无量纲数，它反映流动的粘性力与重力的关系。（F） 19.线当马赫数小于一时，在收缩截面管道中作加速流动。（T） 20.对于冷却流动dq小于0，亚音速流作减速运动，超音速流作加速运动。 （T） 二、填空题（10分） 1.流动相似指的是两个流动系统所有对应点的对应物理量之比相等，具体 地说，就是要满足，几何相似、运动相似和动力相似。 2.自由面上的压强的任何变化，都会等值地传递到液体中的任何一点，这就是由斯卡定律。 3.流动相似的主导因素是动力相似，只有满足了这一点才能保证运动相似。 4.从海平面到11km处是对流层，该层内温度随高度线性地降低。 5.马赫准则要求两种流动的惯性力与由于压缩性引起的弹性力成比例。 6.水头损失可分为两种类型：沿层损失和局部损失。 7.在工程实践中，通常认为，当管流的雷诺数超过 2320 ，流态属于紊流。 8.在工程实际中，如果管道比较长，沿程损失远大于局部损失，局部损失可以忽略，这种管在水 力学中称为长管。 9.紊流区的时均速度分布具有对数函数的形式，比旋转抛物面要均匀得多，这主要是因为脉动速 度使流体质点之间发生强烈的动量交换，使速度分布趋于均匀。 10.流体在运动中如果遇到因边界发生急剧变化的局部障碍（如阀门，截面积突变），流线会发生变 形，并出现许多大小小的旋涡，耗散一部分机械能，这种在局部区域被耗散掉的机械能称为局部水头损失。 三、选择题（单选题，请正确的答案前字母下打“∨”） 1.流体的粘性与流体的__ __无关。 (A) 分子内聚力 (B) 分子动量交换 (C) 温度 (D) ∨速度梯度 2.表面张力系数的量纲是____ 。 (A) ∨ (B) (C) (D) 3.下列四种液体中，接触角的液体不润湿固体。 (A) ∨120o (B) 20o (C) 10o (D) 0o 4.毛细液柱高度h与____成反比。 (A) 表面张力系数 (B) 接触角 (C) ∨管径 (D) 粘性系数 5. 用一块平板挡水，平板形心的淹深为 ，压力中心的淹深为 ，当 增大时，。 (A)增大 (B)不变 (C) ∨减小 6.液体随容器作等角速度旋转时，重力和惯性力的合力总是与液体自由面_ __ _ 。 (A) ∨正交 (B) 斜交 (C) 相切 7.在____流动中，流线和迹线重合。
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32 分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.