三章重力热管数学模型的建立及其模拟求解
3.1重力式热管模型建立的分析思路
对于重力式热管的凝结换热特性进行深入的分析。分析的基本思想如下: （1）对层流状态下的竖壁凝结换热建立模型，提出合理的假设条件；
（2）取液膜微元控制体，对它进行受力分析和能量平衡分析，建立动量方程和能量方程，合理简化边界条件。简化方程，找出液膜厚度、切应力与液膜下降高度间的关系式；
（3）通过能量平衡关系式，由己知的热管内压强（定性温度）和冷却介质带走的热热流，计算出热管的内壁温度；
（4）离散液膜长度，假设在每一个微元液膜段内，液膜内的各个参数都是一样的（如果微元液膜足够小的话，这个假设是成立的），积分得到边界方程，并求得各个关系式；
（5）在各个离散点处求出凝结换热系数，然后计算出所有离散点的凝结换热系数的算术平均值作为所要求的凝结换热系数的数值解。
3.2物理模型建立和数学描述
3.2.1模型合理的简化和假定
图3-1重力式热管冷凝段模型
热管内部的冷凝液膜和热管的内径比起来很薄，因此研究热管内部的凝结换热可以简化成研究大平板表面的凝结换热处理，这样可以使问题变得简单化。只考虑竖直方向，其他方向不考虑。在竖直的热管中，没有不凝结气体的影响，建立坐标系，它的流动模型如图3-1所示。
在分析中，作若干合理的简化假定以忽略次要因素。除了已经明确的纯净饱和蒸汽层流液膜的假定外，还有:
（1）蒸汽及凝结液的热物性是常数；
（2）液膜的惯性力可以忽略（即控制方程中的对流项可以忽略不计）；
；
（3）汽液界面上无温差，界面上液膜温度等于饱和温度t
sat
（4）膜内的温度分布是线性的，即认为液膜内的热量转移只有导热，而无对流作用；
（5）液膜表面平整无波动。 （6）忽略不凝结气体的影响。 3.2.2理论推导
建立如图 3-1所示的凝结液膜柱坐标系统，进行理论分析。应用N-S 方程，列出液膜在竖直管内的连续性方程、动量方程和能量方程。 （1）连续性方程
0)(1=??+??rv r
r x u （3.1） （2）轴向动量方程
??
??????? ??????+??? ??????++??-=??+??r u r r r x u x g x p
r rvu r x uu 1)(1)(μρρρ 应用假设条件可以得到动量方程的简化形式： 0)(1=-+??
?
??????g r u r r r v l ρρμ
（3.2） 动量方程的边界条件为
0,==u R r r
u R r ??=-=μ
τδδ, 其中u 为冷凝液膜的流动速度，μ为冷凝液膜的动力粘度。 （3）能量方程
????????? ??????+??
? ??????=??+??r T r r r x T x r rvT c r x
uT c p p 1)
(1)(λρρ 应用假设条件可以得到能量方程的简化形式：
01=??
?
??????r T r r r （3.3） 其对应的边界条件为
w T T R r ==, v T T R r =-=,δ
（4）能量平衡方程
图3-2 控制体热量传递分析图
在任意水平截面上，取高度为dx 的单位宽度的液膜控制体，对该控制体进行能量平衡分析，如图所示，有
[]
[]
[]
{
}
???-++-++???
?????? ????--=-++?=δδ
δρρλρ000
)()()(dx
rdr T T c i u dx d rdr T T c i u dx r T R dr r T T c i u i m
d v p f v p f R r v p f g
通过初步处理可以得到
{}dx rdr T T uc dx
d
Rdx T T h m
d v
p
w v fg ?-+-=?δρδλ0
)()( （3.4）
这就是控制体的能量守恒方程式。
3.2.3对冷凝段模型的数学描述
（1）冷凝段液膜速度及汽液界面处速度的数学描述方程。 对动量方程（3.2）积分求解可以得到，液膜速度的分布式：
R
r R g R r R g u l v
l l i l v l ln )(2)()(4222??????--+-+--=
δμρρμτδμρρ （3.5） 汽液界面处液膜的流动速度即为δ-=R r 时的u 值，有
R R R g R R g u l v
l l i l v l li δδμρρμτδδδμρρ-??
????--+-+--=
ln )(2)()2(42 （3.6） （2）冷凝段液膜内的温度分布数学描述方程。
对能量方程（3.3）积分求解可以得到，液膜内的温度分布：
)
ln(ln )
ln(ln ln )ln(ln δδδ----+---=
R R R T R T r R R T T T w v
v w （3.7） （3）冷凝段液膜单位弧度质量流量的描述方程。
?=δ
ρ0
urdr m
将速度分布式代入上式，化简可得
???
? ??-+-+=24
3232
46231R R R R g m l
i
l l l δδδμτρδμρ （3.8） （4）冷凝段的通用控制方程。
将u 、T 、m
的表达式（3.5）（3.7）（3.8）代入能量平衡方程，积分化解可以得到
034=--Cx B A i δτδ （3.9）
其中， 3
/422323)(4???? ?????? ??+-=l l p w v fg l g c T T h A μρμμ
???
? ?????? ??+-=3/1232)/(9)(3l l l p w v
fg
l g g c T T h B μρμρμμ
3/12
2)/(l g C μρλ=
（5）冷凝段汽液界面切应力的数学描述。
f m i τττ+= 其中，i τ为界面切应力，m τ为摩擦切应力，f τ为相变切应力。
)()()(li v fg w v l li v m u U h T T u U +???
?
????-=+=δλξτ
2)(2
li v v f f u U c +=
ρτ
其中c f 为摩擦系数是Re v 的函数[6]，其取值对应关系如下表
表3-1
Re v
摩擦系数c f 0 < Re v <= 2000
c f = 16 / Re v
v
li v v v u U D μρ)
(Re +=
。
根据质量平衡关系，来计算蒸汽平均流速v U 。
热管稳态工作时，近似认为在同一水平截面上汽液两相的质量流量相平衡，则有D
m
U v v ρ 4=
。
2000 c f = 0.046 × Re v -0.2 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非 预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 §16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 数学建模中常见的十 大模型 精品文档 数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MATLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 热管及热管式换热器的研究 天津裕能环保科技有限公司李兴 能源是发展国民经济的重要物质基础，是人类赖以生存的必要条件，能源的开发和利用程度直接影响着国民经济的发展和人民物质文化生活水平的提高，余热回收是合理利用能源、节约能源、提高能源利用率等方面不可忽视的问题。热管是一种具有高效传热性能的元件，它可利用很小的截面积远距离传输大量热量而无需外加动力。热管式换热器具有输热能力大、均温性能优良、传热方向可逆、热流密度可变、适应环境能力较强、阻力损失较小等优点，所以热管式换热器能较大限度的回收利用低品位余热。 1热管及热管式换热器的发展 1．1热管工作原理及特点 热管是依靠自身内部工作液体相变来实现传热的元件，一般由管壳、吸液芯、工质组成，管壳通常由金属制成，两端焊有端盖，管壳内壁装有一层由多孔性物质构成的管芯(若为重力式热管则无管芯)，管内抽真空后注入某种工质，然后密封。热管可分为蒸发段、绝热段和冷凝段三个部分，当热源在蒸发段对其供热时，工质自热源吸热汽化变为蒸汽，蒸汽在压差的作用下沿中间通道高速流向另一端，蒸汽在冷凝段向冷源放出潜热后冷凝成液体；工质在蒸发段蒸发时，其气液交界面下凹，形成许多弯月形液面，产生毛细压力，液态工质在管芯毛细压力和重力等的回流动力作用下又返回蒸发段，继续吸热蒸发，如此循环往复，工质的蒸发和冷凝便把热量不断地从热端传递到冷端。 由于热管是利用工质的相变换热来传递热量，因此热管具有很大的传热能力和传热效率。另外，热管还具有优良的等温性、热流密度可变性、热流方向的可逆性、热二极管与热开关性、恒温特性以及对环境的广泛适应性等一 系列优点。 1．2热管分类 热管按其工作温度可分为：低温、中温及高温热管，选用热管时必须根据热管的工作温度来选用管内的工质。低温热管的工质有丙酮、氨、氟里昂等；中温热管的常用工质有：水、萘等，水的工作温度为90～250oC，萘的工作温度为280～400℃；高温热管的常用工质有：钠、钾等液态金属，工作温度一般在450℃以上。热管按工质回流的动力可分为：吸液芯热管、重力热管或两相闭式热虹吸管、重力辅助热管、旋转式热管、分离型热管、电流体动力学热管、电渗透热管等。根据热管翅片与管壳的连接方式可分为：串片式热管、镍铬合金钎焊热管、高频绕焊热管 3种形式 1．3热管式换热器结构及分类 由于单根热管传热量有限，于是把单根热管集中起来，形成一束置于冷、热源之间，使热源中的热量通过热管束源源不断地传至冷源，这就是热管式换热器。热管式换热器中的热管元件可以呈错列三角形排列，也可以呈顺列矩形排列。热管式换热器由热管、箱体和中间隔板组成，隔板将箱体分为两部分，形成冷、热介质的流道，隔板保证两侧流体互不混淆，热管横穿隔板，一端与热流体接触，一端与冷流体接触，冷热两端可按需加装翅片以增大传热面积。热管式换热器的基本结构。 热管式换热器按照流体的不同种类可分为：气一气型热管式换热器，气一液型热管式换热器，液一液型热管式换热器；按照热管式换热器的结构型式可分为：整体式、分离式、回转式和组合式。 1．4热管式换热器的特性 1. 什么是数学模型与数学建模 简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。 具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。 更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。 数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。 2.美国大学生数学建模竞赛的由来： 1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。这并不是偶然的。在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。该竞赛每年2月或3月进行。 我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。 文章编号：1004-8774（2003）03-24-04 热管技术及其在热能工程中的应用 收稿日期：2002-09-09 何天荣 （湖南大学衡阳分校，湖南421101） 摘要：热管技术越来越得到人们的重视，热管的应用也日益广泛。然而，热管技术在热能动力工程上的应用还处于初期阶段。文章在介绍热管技术基本知识的基础上，介绍了热管技术在热能工程中的应用的几个方面及安全问题，用以推动热管技术的进一步发展。 关键词：热管技术；热能工程；应用与安全 中图分类号：Tk172.4 文献标识码：B Heat Pipe Technology and its Application in Thermal Engineering HE Tian-rong Abstract：Heat pipe technoIogy is getting more and more regards，and its appIications are aIso extensive increasingIy. However，in thermaI power engineering，it is stiII being earIy stage.In this paper，after the basic knowIedge of heat pipe technoIogy is introduced，we anaIyze severaI kinds of appIication of heat pipe technoIogy in thermaI engineering and security probIem thereof，in order to impeI it to deveIop further. Key words：Heat pipe technology；Thermal engineering；Application and security 1 前言 1964年热管诞生于美国的洛斯?阿拉莫斯（Los AIamos）科学实验室，1967年该实验室首次将一支实验用水热管送上了地球卫星轨道，1968年热管第一次用于测地卫星GEOS-!，用来控制仪器的温度。除空间技术外，热管相继为电子工业所采用，用来冷却电子管、半导体元件和集成电路板等电子元件，并应用于机械、电机部件的冷却。20世纪70年代热管应用于医用手术刀，随后应用的新领域是能源工程。国外用于余热回收和空调的热管换热器已部分商品化。并开展了热管技术在太阳能和地热利用方面的研究。1972年我国研制出第一根热管，它是以钠为工质的，接着研制了以氨、水、导热油为工质的热管。 热管除了在宇航、石化、电子、机械、轻纺工业及医学上的应用外，目前热管已逐渐应用于热能工程，并显示出它的强大优势。 2 热管的基本结构及原理 2.1 热管的基本结构 热管是由管壳、管芯（或称吸液管）和工作液体三部分组成，如图1所示。管壳是由碳钢、不锈钢、铜等金属材料制造的能承受一定压力的完全密闭的管状容器，内部空腔具有较高的原始真空度。管芯是紧贴管壁的由毛细多孔结构材料制成，它一般为金属丝网或烧结的金属粉末。工业用热管也有采用槽道吸液结构或丝网与槽道复合结构。工作液体是热管工作时传递热量的工作介质，一般有水、氨、甲醇、丙酮、R-21、R-113等，其中水的工作范围为45~210C。工作液在热管内呈气态和液态两种工作状态，它是在热管处于真空状态下被充入，并填满毛细材料中的微孔，然后予以密封的。 2.2 热管的工作原理 如图1所示，热管一端为蒸发段，中间一段为绝热段（即与外界无热交换），另一端为冷凝段。当蒸发段受热时，毛细材料中的液体蒸发产生蒸汽流向另一端冷凝段。冷凝端由于放热冷却使蒸汽又凝结成液体，液体再沿毛细多孔材料流回蒸发段，如此不断循环，将热量从一端传到另一端。从热管内部的工作过程来看，也对应分成三个工作段，即汽化段、输运段和放热凝结段。利用这种原理工作的热管称为毛细管式热管。 42工业锅炉2003年第2期（总第78期） 数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合 适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要： 按模型的数学方法分： 几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等 按模型的特征分： 静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等 按模型的应用领域分： 人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。 按建模的目的分： 预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等 一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应 按对模型结构的了解程度分： 有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等 比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。 按比赛命题方向分： 国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策） 数学建模十大算法 1、蒙特卡罗算法 （该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法） 2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具） 3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题 （建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现） 4、图论算法 （这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备） 5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法 （这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中） 6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法 （这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用） 7、网格算法和穷举法 （当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具） 8、一些连续离散化方法 （很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的） 9、数值分析算法 （如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法 （赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理） 算法简介 1、灰色预测模型（必掌握） 三章重力热管数学模型的建立及其模拟求解 3.1重力式热管模型建立的分析思路 对于重力式热管的凝结换热特性进行深入的分析。分析的基本思想如下: （1）对层流状态下的竖壁凝结换热建立模型，提出合理的假设条件； （2）取液膜微元控制体，对它进行受力分析和能量平衡分析，建立动量方程和能量方程，合理简化边界条件。简化方程，找出液膜厚度、切应力与液膜下降高度间的关系式； （3）通过能量平衡关系式，由己知的热管内压强（定性温度）和冷却介质带走的热热流，计算出热管的内壁温度； （4）离散液膜长度，假设在每一个微元液膜段内，液膜内的各个参数都是一样的（如果微元液膜足够小的话，这个假设是成立的），积分得到边界方程，并求得各个关系式； （5）在各个离散点处求出凝结换热系数，然后计算出所有离散点的凝结换热系数的算术平均值作为所要求的凝结换热系数的数值解。 3.2物理模型建立和数学描述 3.2.1模型合理的简化和假定 图3-1重力式热管冷凝段模型 热管内部的冷凝液膜和热管的内径比起来很薄，因此研究热管内部的凝结换热可以简化成研究大平板表面的凝结换热处理，这样可以使问题变得简单化。只考虑竖直方向，其他方向不考虑。在竖直的热管中，没有不凝结气体的影响，建立坐标系，它的流动模型如图3-1所示。 在分析中，作若干合理的简化假定以忽略次要因素。除了已经明确的纯净饱和蒸汽层流液膜的假定外，还有: （1）蒸汽及凝结液的热物性是常数； （2）液膜的惯性力可以忽略（即控制方程中的对流项可以忽略不计）； ； （3）汽液界面上无温差，界面上液膜温度等于饱和温度t sat （4）膜内的温度分布是线性的，即认为液膜内的热量转移只有导热，而无对流作用； 空调用热管换热器的设计计算 西安工程大学 王晓杰 黄翔 武俊梅 郑久军 摘 要： 热管技术以其独特的技术在很多领域得到了广泛的应用，在空调领域热管技术也逐渐受到重视，除了理论研究热管技术在空调领域的应用外，设计出合适的换热设备对热管在空调领域的应用也及其重要。热管换热器的计算内容主要有热力计算和校核计算。其中热力设计计算大致可分为常规计算法，离散计算法和定壁温计算法。空调用热管换热器一般为气－气型换热器，文章主要针对气－气型热管换热器的常规计算法进行介绍，并给出了一个具体实例的计算结果，以进一步促进热管换热器在制冷空调领域的应用研究。 关键词： 热管 空调 热力计算 1 引言[1][2][4] 热管换热技术因其卓越的换热能力及其它换热设备所不具有的独特换热技术在航空，化工，石油，建材，轻纺，冶金，动力工程，电子电器工程，太阳能等领域已有很广泛的应用，制冷空调领域冷冷热流体温差小，因此热管技术也逐渐受到重视。根据实际需要设计出合理的热管换热器对于空调领域来说也极为重要。 同常规换热器计算一样，热管换热器的计算内容主要有两部分：热管换热器的热力计算和校核计算。在这里主要对热管换热器的热力计算做个介绍。热管换热器的热力设计计算目前大致可分为三类：常规计算法，离散计算法，定壁温计算法。常规计算法将整个热管换热器看成一块热阻很小的间壁，然后采用常规间壁式换热器的设计方法进行计算。离散计算法认为热量从热流体到冷流体的传递不是通过壁面连续进行的，而是通过若干热管进行传递，呈阶梯式变化，不是连续的。定壁温计算法是针对热管换热器在运行中易产生露点腐蚀和积灰而提出的，计算时将热管换热器的每排热管的壁温都控制在烟气露点温度之上。从而避免露点腐蚀及因结露而形成的灰堵。 空调系统要处理的对象一般为室外新风或是室内排风，都属于气态介质，因此空调用热管换热设备为气－气热管换热器。本文将对空调用气－气热管换热器的常规计算法的热力计算做个简要介绍，文中的一次空气是待处理室外新风，二次空气可以是室内排风或室外新风。 2 热管换热器的设计计算[3][4] 2.1已知设计参数 一次空气质量流量M h , 进出口温度T 1,T 1’，二次空气质量流量M c , 进出口温度T 2,T 2’。一般六个已知量中，只要给定5个即可，另一个参数可由热平衡方程算出，如需要，还需给出一、二次空气的允许压降，二次空气出口温度未知时的计算过程为： ①一次空气定性温度T h =2 ' 11T T + (1) 查定性温度下的一次空气物性参数：定压比密度h p C 导热系数h λ粘度h μ 普兰德数h r P ②一次空气放出热量)(' 11T T C M Q h p h h -= (2) 数学建模期中作业 姓名：赵洪 学号：200806002910 班级：信计08-1 工厂升级方案的优化模型 摘要：随着科学技术的飞速发展，各种产品日新月异，工厂面临着提高产品科技含量和优化改革方案的双重挑战。本文讨论工厂升级的优化问题，即分配各工厂的升级以使公司获得最大的利润，需要对其建立模型并借助LINGO软件对非线性规划问题进行了求解，通过比较利润最大值和收益率得出了两个方案的优劣性并在此基础上给出一个更好的提案。 关键词：工厂升级、优化、非线性规划、目标函数、约束条件 问题重述： 某公司所属的高新技术研究所开发了一种新的产品W200X，该公司现有三个工厂，都生产普通的产品W100X。公司计划将现有工厂升级，升级后的工厂将能产生W100X和W200X 其中A1离该公司的研究所最近，A2是最新最大的工厂。升级过程需要一周，在此期间，工厂将停产。该公司在过去的几个月进行了市场调研，W100X现有的批发价为400元。 工人的工资是45元/小时。工厂一星期做工40小时。工人数为固定数值。W100X的零件成本40元，需1.5小时工作量；W200X的零件成本为64元，需1.75小时工作量；每个W100X产品需要两个老芯片，每个W200X产品需要两个新芯片，该公司提供芯片的生产方程为： 公司老板要求： 两位副总裁分别提出了方案1，方案2，如下： 方案1：只让A1工厂升级，只生产新产品W200X； 方案2：所有工厂都升级，可生产两种产品。 要求： （1）研究每一种方案，包括你自己的一个提案，总裁希望基于你的研究推出一个最好的方案，他非常非货币损失和利益。 （2）问题陈述，方案的模型和分析，寻求最佳方案的方法，结果的分析。 （3）下个月第几个工厂升级，每种产品的产量和定价。 问题分析： 薅§16.3建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 螁[学习目标] 蚀1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 蒆2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点；； 羆3.能表述数学建模的分类； 蒃4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 葿5.培养建模的想象力和洞察力。 薆一、建立数学模型的方法和步骤 膃—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(SystemIdentification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 袁可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 膈建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从 薆§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 薄图16-5建模步骤示意图 蚃模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 芁模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 10吨蒸汽锅炉空气预热器方案 （节煤率5%以上；提高锅炉岀功10%以上） 一、热管式空气预热器的工作原理及优点 热管式空气预热器的主要传热元件为重力式热管，重力式热管的基本结构如图1所示。热管由管壳、外部扩展受热面、端盖等部分组成，其内部被抽成1.3×(10-1—10-4)Pa的真空后，充入了适量的工作液体。 图1 热管传热原理简图 热管的传热机理是：当热流体流经热管的蒸发段时热量经由扩展受热面和管壁传递给工质，由于管内的真空度较高，工质在较低温度下开始沸腾，沸腾产生的蒸汽流向冷凝段冷凝放出热量，热量再经管壁和扩展受热面传递给冷流体，冷凝后的工质在重力的作用下流回蒸发段，如此循环不已，热量就不断的由热流体传递给了冷流体。 热管的传热机理决定着热管有以下基本特性：①极高的轴向导热性：因在热管内部主要靠工作液体的汽、液相变传热，热阻趋于零，所以热管具有很高的轴向导热能力。与银、铜、铝等金属相比，其导 热能力要高出几个数量级。②优良的等温性：热管内腔中的工质蒸汽处于饱和状态，蒸汽在从蒸发段流向冷凝段时阻损很小，在整个热管长度上，蒸汽的压力变化不大，从而也就决定着在整个热管长度上温度变化不大，所以说热管具有优良的等温性。 由热管组成的热管式空气预热器具有以下的优点：①由热管的等温性决定着在预热器中每排热管都工作在一个较窄的温度范围内，这样就可以通过结构调整使每排热管的壁温高于露点温度，从而避免发生结露、腐蚀和堵灰的现象，从而保证了锅炉不会因为空气预热器的堵灰、引风机出力不足，影响锅炉的正常运行的情况。而管式预热器由于烟气在管内流动时烟温逐渐降低，所以每根管子的壁温都是沿烟气的流动方向逐渐降低的，在每根管子的烟气出口部位，由于烟温和空气温度均较低，很容易发生结露、黏灰、堵灰的现象，影响引风机的抽力，从而影响锅炉的正常运行。②一般管式空气预热器设计和烟气流速较高（11—14m/S）,且换热管用壁厚较小（约1.5mm）的焊接管，所以管子很容易磨穿，产生漏风，引起鼓、引风机的电耗增加。而热管式空气预热器，管子为无缝钢管，强化换热主要靠扩展受热面，烟气流速设计较低（6—8m/S），磨损较轻。另外热管式空预器中通过中隔板使冷热流体完全分开，在运行过程中即使单根热管因为磨损、腐蚀、超温等原因发生泄露，也只是单根热管失效，而不会发生漏风现象。③在热管式空气预热器中烟气和空气均横向冲刷管子外侧，烟气横向冲刷管子外侧要比纵向冲刷管子内侧传热系数高出20%--30%。在热管式空气预热器中可以比较容易的实现冷、热流体的完全逆流换热，获得最大的对数温差。另外在保证管壁温度不太低的情况下，烟气侧和空气侧的受热面均可获得充分的扩展。这样空气预热器可以做的非常紧凑，一般在相同的换热量的情况下，热管式空预器比管式空预器体积减少1/3，烟气总流阻减少1/2。④在相同的 第一章常见热管的结构介绍 热管是依靠封闭管壳内工质相变来实现传热的元件，它具有优良的等温性、热流密度可变性、很高的导热性、热流方向的可逆性、恒温性、热二极管与热开关性以及很好的环境适应性等基本特性[29]。 热管的这些优良特性使其应用潜力极其广阔，随着热管种类的不断增加，热管结构也变得越来越复杂。经过几十年的发展，热管结构由单根热管演变出多根热管组成的换热器，再由整体式热管换热器逐渐演变出分离式热管换热器、毛细泵回路热管和脉动热管，在分离式热管换热器的基础上又演变出热环系统、复杂热管系统和两相流分离式热管。基于有无外加机械动力因素，可以把热管分为无外加动力型热管和机械动力驱动型热管。下文中将分别作介绍这几种热管。1.1 无外加动力型热管 1.1.1 普通热管 图1.1 热管管内汽-液交界面质量流、压力和温度沿管长的变化示意图 热管在制造时需对管内抽真空，以消除杂质对热管性能的不利影响，真空度可达到1.3×（10-1~10-4）Pa，管内充以适量的工作液体使毛细吸液芯中充满液体后密封绝热段作为蒸汽通道的不工作部分并不承担传热任务，而是为了分开冷、热源并使热管能适应任意需要的几何形状布置而设置的。 沿整个热管长度，气液交界处的气相和液相之间的静压差与该处的局部毛细压差相平衡，所以热管正常工作的必要条件是： △pc ≥△pl +△pv +△pg 式中△pc——毛细压头是热管内部工作液体循环的推动力，以克服蒸汽从蒸发段流向冷凝段的压力降； △pv——冷凝液体从冷凝段流回蒸发段的压力降； △pl——和重力场对液体流动的压力降； △pg——△pg视热管在重力场中的位置而定，可以是正值、负值或为零。 热管虽是一种传热性能极好的元件，热管传热能力的上限值会受到一种或几种因素的限制，称为热管的传热极限或工作极限。这些极限主要有毛细力、声速、携带、沸腾、冷冻启动、连续蒸汽、蒸汽压力及冷凝极限等等[32]。 1.1.2 分离式热管 国外分离式热管换热器的研制开始于20世纪80年代l 1l。这种换热器可实现远距离传热，避免大直径烟风道迁移;可实现一种流体与多种流体间的换热;具有良好的密封性能;方便顺逆流混合布置;大幅调整蒸发段与冷凝段的面积比还可使冷热流体完全隔开;适用于换热装置大型化等优点。因此，很快引起了我国科技工作者的重视，并进行了广泛的基础理论和工程应用研究。{23} 分离式热管中探索研究和应用最广泛的属重力型分离式热管(以下称为分离式热管)，其中，中科院工程热物理研究所与上海711研究所一起进行了有关分离式热虹吸管组的换热特性研究;上海海运学院研究了分离式热管换热器系统的模型实验;东北工学院针对分离式热管元件随着热管的应用进一步深入换热器在大型化的发展，如在化工、电站、炼铁等工业部门，要从大量的烟气中回收废热和余热，有时为了保证安全，不允许各种流体之间相互渗漏，传统的热管换热器在总体布置方式和辅助循环设备方面都受到相当大的制约，因此基于上述原因，学者们研究开发了分离式热管。 图1.2 为分离式热管结构示意图。蒸发段、蒸汽上升管、冷凝段和液体下降管是构成分离式热管包括四部分：。蒸发段与冷凝段相互是分开的，两个换热器通过蒸汽上升管与液体下降管进行连接，构成一个自然回路循环。系统工作时，对热管进行抽真空并加入一定量的工质，当这些工质汇集于蒸发段并受热后，工质蒸发，伴随内部蒸发压力升高，使产生的较高压蒸汽通过蒸汽上升管到达冷凝 矿井是个巨大的蓄热体，蕴藏丰富的地热资源。在矿井开发的过程中，伴随有矿井回风的优质余热资源产生。矿方一般很少利用这些低温余热资源，不仅造成了资源的浪费，而且会导致严重的热污染、粉尘污染与噪音污染。 当地面新鲜风流送入进风井筒以后，供给工作面新鲜空气的同时也吸收来自沿程围岩散热、机械设备散热、煤体氧化、人员等方面的散热，当风流从回风井排出时，矿井回风的温度比进风高出许多，加之矿井回风量大，因此，矿井回风中蕴藏着大量的低温热能，而这部分热能未被利用，直接排到大气，会造成热能的极大浪费。如果以矿井回风作为低温热源，利用重力式热管换热器技术，将其转变为有用的高温热源，用于满足井筒防冻，则会是一个很好的作用。 矿井回风顺着扩散塔引至重力热管热器蒸发段，热管中工作液体受热蒸发，蒸汽在压力差的作用下顺着上升管流入换热器冷凝段放出汽化潜热，回风放出汽化潜热后温度降低，顺着排风风道排至大气。新风管道引至换热器冷凝段吸收汽化潜热达到预热目的，加热后的空气温度升高到规定温度以上，沿着进风风道最终送入井筒内;冷凝后的工作液体在重力的作用下，顺着下降管回流到蒸发段的液池当中。只要有加热源，这一过程就会循环进行。 利用矿井余热利用技术，将矿井回风中的热能加以利用，将这部分能量转移到供热端解决冬季井口防冻和预热矿井新风、从而替代燃煤锅炉，达到节约燃煤、减低炭排放、硫排放、粉尘排放的节能减排目的。 随着人们节能和环保意识的提高，矿井余热利用技术的研究和应用必将越来越受到重视，重力热管在矿井余热中的利用具有广阔的应用前景，不仅可为井下工作人员创造舒适的工作环境，而且还可以为矿井带来巨大的直接经济效益，同时起到节能减排的作用。 目录 第一章设计资料------------------------------------- 3 第二章码头标准断面设计------------------------ 5 第三章沉箱设计------------------------------------- 11 第四章作用标准值分类及计算----------------- 15 第五章码头标准断面各项稳定性验算------- 44 第一章设计资料 (一)自然条件 1.潮位： 极端高水位：+6.5m；设计高水位：+5.3m；极端低水位：-1.1m； 设计低水位：+1.2m；施工水位：+2.5m。 2.波浪： 拟建码头所在水域有掩护，码头前波高小于1米（不考虑波浪力作用）。 3.气象条件： 码头所在地区常风主要为北向，其次为东南向；强风向（7级以上大风）主要为北~北北西向，其次为南南东~东南向。 4.地震资料： 本地的地震设计烈度为7度。 5.地形地质条件： 码头位置处海底地势平缓，底坡平均为1/200，海底标高为-4.0~-5.0m。根据勘探资料，码头所在地的地址资料见图1。 图一地质资料 (二)码头前沿设计高程： 对于有掩护码头的顶标高，按照两种标准计算： 基本标准：码头顶标高=设计高水位+超高值（1.0~1.5m）=5.30+（1.0~1.5）=6.30~6.80m 复核标准：码头顶标高=极端高水位+超高值（0~0.5m）=6.50+（0~0.5）=6.50~7.00m (三)码头结构安全等级及用途： 码头结构安全等级为二级，件杂货码头。 (四)材料指标： 拟建码头所需部分材料及其重度、内摩擦角的标准值可按表1选用。 (五)使用荷载： 1.堆货荷载： 前沿q1=20kpa；前方堆场q2=30kpa。 2.门机荷载： 按《港口工程荷载规范》附录C荷载代号Mh-10 -25 设计。 3.铁路荷载： 港口通过机车类型为干线机车，按《港口工程荷载规范》表7.0.3-2中的铁路竖向线荷载标准值设计。 4.船舶系缆力： 按普通系缆力计算，设计风速22m/s。 建立数学模型的一般方法 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义. 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化．经验在这里也常起重要作用．写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样． 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学结构．这里除需要一些相关学科的专门知识外，还常常需要较广阔的应用数学方面的知识，以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科能解决哪一类问题以及大体上怎样解决．相似类比法，即根据不同对象的某些相似性，借用已知领域的数学模型，也是构造模型的一种方法．建模时还应遵循的一个原则是，尽量采用简单的数学工具，因为你建立的模型总是希望能有更多的人了解和使用,而不是只供少数专家欣赏. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种 最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为 2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策 变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成：建立数学模型的方法、步骤、特点及分类
数学建模中常见的十大模型讲课稿
热管及热管式换热器的研究
什么是数学模型与数学建模
热管技术及其在热能工程中的应用
数学建模的基本步骤
数学建模常用算法模型
重力热管数学模型的建立及求解过程及程序设计
192空调用热管换热器的设计计算全文
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