思考练习题1
1． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000μm ，ν=3000MHz 的光，每秒
从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？
答：粒子数分别为：18
8
34634110
5138.21031063.6105.01063.61?=????=?
?=
=---λ
ν
c h q
n 23
9
342100277.510
31063.61?=???==-νh q n
2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？
答：（1）(//m n E E m m kT n n n g e n g --=）
则有：1]3001038.11031063.6exp[23
9
3412≈?????-==---kT
h e n n ν
（2）K T T
e n n kT h 3
6
23834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[?=?=???????-==----ν
3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为1.64×l0－
18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？
答：（1）1923
181221121011.3]2700
1038.11064.1exp[4----?=???-?=?=??n n e g n g n kT
h ν
且20
2110=+n n 可求出312≈n
（2）功率＝W 918810084.51064.13110--?=???
4．(1)普通光源发射λ＝0.6000μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比
q q 激自1
=
2000
，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ??=-νρ，λ为0.6328μm ，设μ＝1，求
q q 激
自
为若干？ 答：（1）
3
1734
36333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ??=????=?=---ννννρρπρπλρνπ＝自激
（2）9434
36333106.710510
63.68)106328.0(88?=?????==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激
5．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将全部Cr 3＋
(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。
设红宝石直径0.8cm ，长8cm ，铬离子浓度为2×1018cm －
3，巨脉冲宽度为10ns 。求：(1)
输出0.6943μm 激光的最大能量和脉冲平均功率；(2)如上能级的寿命τ＝10－
2s ，问自发辐射功率为多少瓦？ 答：（1）最大能量
J
c
h d r h N W 3.2106943.010
31063.61010208.0004.06
8
3461822=??????????=?
???=?=--πλ
ρπν
脉冲平均功率＝瓦8
961030.210
10103.2?=??=--t W （2）瓦自
自自145113.211200
2021=??
?
??-?==?
?
?
??-==?-e h N P e n dt e n N t A τνττ
6．试证单色能量密度公式，用波长λ来表示应为5
811
hc kT
hc e
λλπρλ
=-
证明：
1
1
811852322-?=?-?=?=?==
kT
h kT h e hc c e h c c dVd dw dVd dw νννλλπλλπλρλνλρ 7. 试证明，黑体辐射能量密度()ρν为极大值的频率m ν由关系1
12.82m T kh ν--=给出，并
求出辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系。
答：（1）由 3
3
811
hv kT
h c e
νπνρ=
-可得：
0))1(11
3(82323=??--?+-=??kT h
e e e c h kT h kT h kT h ν
νννννπνρ 令kT
h x ν=，则上式可简化为：x
x xe e =-)1(3
解上面的方程可得：82.2≈x 即：
1182.282.2--=?≈kh T kT
h m m
νν （2）辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系仍为
m m c λν=
8．由归一化条化证明(1－65a)式中的比例常数1
A τ
=
证明： 2
202)
2/1()(4)(τννπν+-=
A
f N ，由归一化条件且0ν是极大的正数可得： ?=+-?
∞
1)2/1()(40
2
202ντννπd A ?=+-?∞1)2/1()(4202202ντννπνd A
?='+'?
∞
1)
41(1
20
2
22
νπτνπd A τ
πτνπτπ1
1]'4[4202
=
?=??∞A arctg A
9．试证明：自发辐射的平均寿命21
1
A =
τ，21A 为自发辐射系数。 证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：
t A e n t n 21202)(-＝
自发辐射的平均寿命可定义为 ()dt t n n ?
∞
=
220
1τ
式中()dt t n 2为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。将（1-26）式代入积分即可得出 21
121A dt e t A =
=?
∞
-τ
10．光的多普勒效应中，若光源相对接收器的速度为c υ<<
，证明接收器接收到的频率
0ν=
，在一级近似下为：0(1)c
υ
νν≈+
证明：0022021
220)1()211)(1()1)(1(11υυ
υυυυυυυυυν?+≈??++≈?-+=?-+=
-c c c c c c c 即证
11．静止氖原子的3S 2→2P 4谱线的中心波长为0.6328μm ，设氖原子分别以±0.1c ,±0.5c 的
速度向着接收器运动，问接收到的频率各为多少？ 答：Hz c c c c 146
8
1.010241.510
6328.01039.01.19.01.111?=???=?=-+=-+λυυνν 同理可求：Hz c 14
1.010288.4?=-ν；
Hz c 145.010211.8?=+ν；Hz c 14
5.010737.2?=-ν
12．设氖原子静止时发出0.6328μm 红光的中心频率为4.74×1014Hz ，室温下氖原子的平均速率设为560m/s 。求此时接收器接收频率与中心频率相差若干？
答：
Hz
c 814606
8
0010848.81074.4108667.1)108667.11()10
35601()1(?=???=???+=?+=+=--νννυνν
13．(1) 一质地均匀的材料对光的吸收为0.01mm -1、光通过10cm 长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几? (2) —光束通过长度为1m 的均匀激活的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。 答；（1）368.01
)0()()0()(10001.0===?
=?--e
e I z I e
I z I Az
（2）11693.02ln 2)
0()
()0()(-?==?==?
=m G e I z I e I z I G Gz
思考练习题2
1. 利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n 2－n 1＝5?1018cm -3，1/f (ν)＝2×1011 s -
1，t 自发
＝211
A -≈3?10-
3s ，λ＝0.6943μm ，μ＝l.5，g 1＝g 2。
答：
)(8)(8)(8)()(2
22133321333212121
νπμλννμνπμννπμννμ
νf A n f h c h c A n G c h B A f h c nB G ???=???=????
?
???=
?=1
11
224318
71.010
215.18)106943.0(1031105)(---=???????=cm G πν 2. He-Ne 激光器中，Ne 原子数密度n 0＝n 1+n 2＝l012 cm -3，1/f (ν)＝15×109 s -
1，λ＝0.6328μm ，
t 自发＝211
A -=10-17s ，g 3＝3，g 2＝5，11μ≈,又知E 2、E 1能级数密度之比为4，求此介质
的增益系数G 值。
答：11112211
211
1123
122101031410
810
21410?=-=????????=?=????=+=-n g g n n n n E E cm n n n 比能级数密度之比为和 3
3
2121333332121888ν
πνπνπμh c A B c h c h B A =?== 19
2617112212172.0105.118)106328.0(1010314)(8)()(--=?????=?=?=cm
f A n f h c nB G πνπλννμ
ν
3. (a)要制作一个腔长L ＝60cm 的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定
腔的一块反射镜的曲率半径R 1＝4L ，求另一面镜的曲率半径取值范围。 答：（a ）R R R ==21；cm R R
L
R L 301)1)(1(0≥?≤--≤ （b ）L R L R R L
R L R L 31)1(4301)1)(1(0222
21-≤≥?≤-?≤?≤--
≤或 4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R 1＝40cm ，R 2＝100cm ，求腔长L 的取值
范围。 答：
cm L cm L L L R L R L 1401004001)100
1)(401(01)1)(1(021≤≤≤≤?≤--≤?≤--
≤或
5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。
证明：2
1021
000
2
100021
000
21
00)ln2
( 2)()2
ln (
2)()( )()( )(π
ννμνπ
ννννμ
νννμ
νh c B n G f f h c B n G f h c
B n G D D D
D D D D D ??=????
?
???
?=
?=??= 即证。
6. 推导均匀增宽型介质，在光强I ，频率为ν的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。
证明：2
200
22000
)2
)(1()()
(])2(
)[()()(1 )()(ννννννννννν?++-?+-=+=s s I I G f f I I G G 而：
())
()(2)2()(12)()()(2)()( )()( )(002200000
00021000021
00ννπνννπννννννπνννμνννμ
νG G f f G f f h c B n G f h c
B n G ??+-?==???
?
???
?
???=?=?≈依据上面两式可得：2
2000
2)2
)(1()()()2(
)(ν
ννννν?++-?=s I I G G ；即证。
7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为ν?，求证，I ＝I S 时的稳定工作时讯号增
ν，并说明其物理意义。 证明：（1）
220002220022000
)
2
)(1()()
()2()2)(1()()(])2(
)[()()(1 )()(ννννν
ννννννννννν?++-?=?++-?+-=+=s s s I I G I I G f f I I G G 当1=s I I 时，增益系数的最大值为：2
)()(000ννG G =；
当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时，即
4)()2
(2)()
()2(
)()(1 )()(002
2000
200ννννννννννG G f f G G =
??+-?=+=时，对应有两个频率为： ν
νννν
ννννν?'?∴
?=?+=2)2(2)2(
2210201＝－＝－以及
（2）物理意义：当光强s I I =时，介质只在ν?2范围内对光波有增益作用，在此范围外增益可忽略不计，而光波也只在这个线宽范围内对介质有增益饱和作用。
8. 研究激光介质增益时，常用到“受激发射截面”()e σν(cm 2)概念，它与增益系数()G ν(cm
－1
)的关系是()
()e G n
νσν=
?，n ?为反转粒子数密度，试证明：具有上能级寿命为τ，线型函数为()f ν的介质的受激发射截面为222(()8e c f νσνπνμτ
=）
。
证明：τ
μπνννμπντννμνπμνσννσνπμννμ
ν2222
2233321333212121
8)
()(81)(8)()
()(8)()(f c f c f h c h c A n G c h B A f h c
nB G e e =?=?=??
???
?
?
????==?=
9. 饱和光强()s I ν是激光介质的一个重要参数。证明均匀增宽介质在中心频率0ν处的饱和光强0
00()()s e h I ννσντ
=
，并计算均匀增宽介质染料若丹明6G 在0λ＝0.5950μm 处的饱和光
强。(已知τ＝5.5×l 0—
9s ，ν?＝4.66×1013Hz ，μ＝1.36)
答：(1)τνσνννπννσννμμτνπνννμνννστμνπν)()(2
)()()(2)()()()
()(2)(0000000
021210e s e s e s h I f f h c c I f h c nB G n G B c I =????
?????=
?=
?
????
???
??
?=?=?=
(2) 2
53
2200022
002
0000/10213.34)()(8)()()()(cm
W hc h I f c h I e s e e s ?=?==???
?????==
λνμπτνσνντμπνννστ
νσνν
10. 实验测得He -Ne 激光器以波长λ＝0.6328μ工作时的小讯号增益系数为G 0＝3?10－
4
/d(cm -1)，d 为腔内毛细管内径(cm)。以非均匀增宽计算腔内光强I ＝50W ／cm 2的增益系数G(设饱和光强I s ＝30W ／cm 2时，d ＝1mm)，并问这时为保持振荡稳定，两反射镜
的反射率(设r 1＝r 2，腔长0.1m)最小为多少(除透射损耗外，腔内其它损耗的损耗率a 内＝9?10－
4cm -1
)?又设光斑面积A ＝0.11mm 2，透射系数τ＝0.008，镜面一端输出，求这时输出功率为多少毫瓦。
答：（1）132
11
421010837.1)30
501(10103)1()()(----?=+?=+=cm I I D G s D D νν
（2）99.0120)10910
837.1exp(12)exp(43
221≥?≥??-??≥-=--r r L a G r r K 内
（3）mW I A P 44.010501011.0008.03
20=????=??=-τ
11. 求He -Ne 激光的阈值反转粒子数密度。已知λ＝6328?，1/f (ν)ν≈?＝109Hz ，μ＝1，
设总损耗率为a 总，相当于每一反射镜的等效反射率R ＝l －L a 总＝98.33％，τ＝10—
7s ，
腔长L ＝0.1m 。
答： 31592
67222
2
2/10048.110)106328.0(1.00167.0108)(18)
(8m f L R
f c a n ?=???
?=
-=
?--πνλτπμντμπν总
阈＝
12. 红宝石激光器是一个三能级系统，设Cr 3＋的n 0＝1019／cm 3，τ21=3?10-3
s ，今以波长λ＝
0.5100μm 的光泵激励。试估算单位体积的阈值抽运功率。
答：3
3
41910342102103/65010
31051.021********.622cm W hcn V n h P =????????==---λττν＝阈
13. Y AG 激光器为四能级系统。已知n ?阈＝1.8×1016cm －
3，τ32＝2.3?10-4
s 。如以波长0.75μm
的光泵激励。求单位体积的阈值功率并与上题比较红宝石的阈值功率是它的几倍。
答：(1)3
4
434101632
32144/2110
3.21075.01063.6103108.1/cm W hc
n V h n P =????????=?=?---λττν阈阈阈＝ (2)倍数＝65/2.1=31
思考练习题3
1．腔长为0.5m 的氩离子激光器，发射中心频率0ν＝5.85?l014Hz ，荧光线宽ν?＝6?l08 Hz ，问它可能存在几个纵模?相应的q 值为多少？ (设μ=1)
答：Hz L c
q 88
1035
.0121032?=???==
?μν， 21031068
8
=??=??=q n νν，则可能存在的纵模数有三个，它们对应的q 值分别为： 68
14
1095.110
31085.522?=??=?=?=νμμνc L q L qc ，q ＋1=1950001，q －1＝1949999
2．He —Ne 激光器的中心频率0ν＝4.74×1014Hz ，荧光线宽ν?＝1.5?l09Hz 。今腔长L ＝lm ，问可能输出的纵模数为若干？为获得单纵模输出，腔长最长为多少？
答：Hz L c
q 8
8105.11121032?=???==?μν，10105.1105.18
9=??=??=q n νν 即可能输出的纵模数为10个，要想获得单纵模输出，则：
m c L L
c
q 2.010
5.110329
8
=??=?<∴=
?
3．（1）试求出方形镜对称共焦腔镜面上30TEM 模的节线位置的表达式(腔长L 、光波波长λ、方形镜边长a )（2）这些节线是否等间距？
答：（1）πλλπ43,02128)1()(0
)(X F 2133
33
32
332
2
L x x L
x
X X X e dX d e
X H e
X H X X
X ±==????
?
?
?
???=-=-==--
）＝（
（2）这些节距是等间距的
4．连续工作的CO 2激光器输出功率为50W ，聚焦后的基模有效截面直径2w ＝50μm ，计算(1)每平方厘米平均功率(50W 为有效截面内的功率) (2)试与氩弧焊设备(104W ／cm 2)及氧乙炔焰(103W ／cm 2)比较，分别为它们的多少倍？ 答：（1）每平方厘米的平均功率为：
262
42
/10546.2)
1025(50
W
50cm W ?=?=
-ππω
（2）
6.2541010546.24
6
=?；是氩弧焊的6.254倍。 3
8
610546.210
10546.2?=?；是氧乙炔焰的2546倍。
5．(a)计算腔长为1m 的共焦腔基横模的远场发散角，设λ＝6328?，10km 处的光斑面积多大。(b)有一普通探照灯，设发散角为2?，则1km 远处的光斑面积多大？
答：（1）基横模的远场发散角rad L 310
10269.110632822222--?=??==π
πλθ
（2）10km 处的光斑尺寸m L z L z 347.6]1041[2106328])2(1[2810
210
=?+?=+=-=π
πλω
10km 处的光斑面积2225572.126347.6m S =?==ππω （3）1km 处的光斑尺寸m tg r o
455.1711000=?=
1km 处的光斑面积2221711.957455.17m r S =?=?=ππ
6．激光的远场发散角θ(半角)还受到衍射效应的限制。它不能小于激光通过输出孔时的衍射极限角θ衍(半角)＝1.22λ/d 。在实际应用中远场发散角常用爱里斑衍射极限角来近似。 试计算腔长为30cm 的氦氖激光器，所发波长λ＝6328?的远场发散角和以放电管直径d ＝
2mm 为输出孔的衍射极限角。
答：（1）远场发散角rad L 3
2
10101588.110
3010632822---?=????==ππλθ （2）衍射极限角rad d 4
3
101086.310
210632822.122.1---?=???==λθ
7．一共焦腔(对称)L ＝0.40m ，λ＝0.6328μm ，束腰半径mm w 2.00=，求离腰56cm 处的光束有效截面半径。 答：mm z z 6.0))
102(56.0106328(1102.0)(122
4103
220056
.0=????+?=+=---=ππωλωω
8．试讨论非共焦腔谐振频率的简并性、纵模间隔及横模间隔，并与共焦腔进行比较。 答：非共焦腔的谐振频率表达式为：()??
????+++=
-211
cos 112g g n m q L c mnq πμν
！）简并性：对于纵模来说非共焦腔的谐振频率一般不具有简并性，除非
)(cos
211
为整数k k
g g π
=
-时才出现纵模的简并；如果纵模序数一定，不同的横模可以
存在一定的简并，只要m ＋n 不变，谐振频率就相同。 2）纵模间隔：L
c μν2＝
纵?，与共焦腔是一致的；
3）横模间隔：L
g g c πμν2cos 2
11－横＝
??，不仅与腔长有关还与介质的折射率、镜面的曲率
半径有关，这与共焦腔是不同的。
9．考虑一用于氩离子激光器的稳定球面腔，波长λ＝0.5145μm ，腔长L ＝1m ，腔镜曲率半径R 1=1.5m ，R 2=4m 。试计算光腰尺寸和位置，两镜面上的光斑尺寸，并画出等效共焦腔的位置。 答：（1）束腰半径
mm L R R L R R L R L R L 348666.0]5
.35.45.1)105145.0[(])2())()(()[(4
1
2
2641221212120=??=-+-+--=-ππλω（2）束腰位置765.33)2()(2121==-+-=
L R R L R L z m ；m z L z 7
1
76112=-=-=
（3）两镜面上的光斑尺寸分别为：
mm L R R L R L L R R L s 532596.0]5.45.0325.2[105145.0]))(()([4
1
641
2112211=????=-+--=-ππλω
mm L R R L R L L R R L s 355064.0]5
.435
.016[105145.0]))(()([416
412121222=????=-+--=-ππλω
（4）m L
R R L R R L R L R L f 7
2
.55.36.25.35.435.02)
)()((212121==??=
-+-+--=
10．欲设计一对称光学谐振腔，波长λ＝10.6μm ，两反射镜间距L ＝2m ，如选择凹面镜曲率半径R =L ，试求镜面上光斑尺寸。若保持L 不变，选择L R >>，并使镜面上的光斑尺寸
s w ＝0.3cm ，问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？
答：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：
mm L s s 5977.22106.10621=??===-π
πλωω
（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是L R R R >>==21，根
据（3-50）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L 近似相等的解）：
()()m
R R R L R L R L L R L R L L R R L s 91.53])
22(2[5977.2])2([)2(41
2
4
1
24
1
2
≈?=-??=-=?
?
?
???---=
πλπλω
（3）
()()()()()mm
L R L L R R L R R L R L R L w 734.2]4
)2911.52(2)106.10[(42241
264
12412
21212120=-???=????????-??? ??=????????-+-+--??? ??=-ππλπλ
11．试从（3－81）式出发，证明非均匀增宽激光器最佳输出功率若用最佳透射率表示有：
2()
m
m s
m t P AI a t =-。 证明：由（3-82）有：201112()1()12D
s LG P At I a t νν??????=- ?+??????
0]])(2[22[21]1)2[(212
2=+-?+?+-+=??t a LG
t a LG AtI t a LG AI t P s s 整理上式可得：t
a t a LG t a t a G L -+=?+=-32
3
2
2
)()2()()(4，式中t 即为最佳透射率t m
则最佳输出功率
m
m
s
m m m s m m s m m t a t AI t a t a t a I At t a LG I At P -=-+-+=-+=22
32]1)()()([21
]1)2[(21
12．考虑如图（3－18）所示的He -Ne 激光器，设谐振腔的腔镜为圆形镜。试求TEM 00
和TEM 10模之间的频率差。假定TEM 00q 模的单程衍射损耗δ00<0.1%，试问：维持该激光
器振荡的最小增益系数为多大？
?
?
激活长度
激活长度
? ??
?
图（3－18） 习题三 第12题
答：1）因为175.0)75
.01)(375.01()1)(1(21<=∞
--=--
R L R L ，因此此谐振腔为稳定腔； 圆形镜一般稳定球面腔的谐振频率为：()??
????+++=
-211
cos 112g g n m q L c mnq πμν
所以TEM00与TEM10之间的频率差为：
718211
106.475.0cos 1
75.02103cos
1
2?=????=??
=
?--π
π
μνg g L c
2）考虑激光器的内部损耗完全由单程衍射损耗造成，由（2-36）式有：
()21ln 21
r r L
a G -
≥内 即：
()()
()
1
21210533.05
.0295
.0ln 001.022ln 2ln 2-=?-?=
-≥
∴-≥-m L
r r La G r r La LG 内内
思考练习题4
1．腔长30 cm 的氦氖激光器荧光线宽为1500MHz ，可能出现三个纵横。用三反射镜法选取单纵横，问短耦合腔腔长(23L L +)应为若干。
答：L L L c
??=+?2103)(2832μν＝短； m L L L 2.02105.1329
<+=?
ν
2．He -Ne 激光器辐射6328?光波，其方形镜对称共焦腔，腔长L ＝0.2m 。腔内同时存在
00TEM ，11TEM ，22TEM 横模。若在腔内接近镜面处加小孔光阑选取横模，试问：
(1)如只使00TEM 模振荡，光阑孔径应多大？
(2)如同时使00TEM ，11TEM 模振荡而抑制22TEM 振荡，光阑孔径应多大？
答：(1)TEM 00模在镜面处的光斑半径为mm L s 20.02
.0106328.06=??==-π
πλω
所以光阑孔径应该为0.2mm
(2)TEM 11模在镜面处的光斑半径为mm m s s
35.02.0312=?=+='ωω
所以光阑孔径为0.35mm
3．一高斯光束束腰半径0w ＝0.2mm ，λ＝0.6328μ，今用一焦距f 为3cm 的短焦距透镜聚焦，已知腰粗0w 离透镜的距离为60cm ，在几何光学近似下求聚焦后光束腰粗。
答：mm s f 01.02.060
3
00
=?=='ωω
4．已知波长λ＝0.6328μ的两高斯光束的束腰半径10w ，20w 分别为0.2mm ，50μ，试问此二光束的远场发散角分别为多少？后者是前者的几倍？ 答：rad 33
1100.210
2.06328
.0222-?=???ππωλ
θ＝
＝
r a d 30
2100.850
6328
.0222-?=??ππωλ
θ＝
＝；
412221=θθ
5．用如图（4－33）所示的倒置望远镜系统改善由对称共焦腔输出的光束方向性。已知二透镜的焦距分别为f 1＝2.5cm ，f 2＝20cm ，0w ＝0.28mm ，11
f l >> (L l 紧靠腔的输出镜面)，
求该望远镜系统光束发散角的压缩比。
图（4-33） 第5题
答：31.1125
.220
012=?=='ωωf f M
7．设一声光偏转器，声光材料为碘酸铅晶体，声频可调制度为ν?＝300MHz 。声波在介质中的速度s υ＝3×103m/s ，而入射光束直径D ＝1mm ，求可分辨光斑数。 答：当声频改变ν?时，衍射光偏转的角度为：νμυλ
φ?=
?s
； 而高斯光束的远场发散角为：0
μπωλ
θ=
； 可分辨光斑数为：157103105.0103003
360
=?????=???=
?=-πνωπνφ
φ
s
n
8．有一多纵模激光器纵模数是1000个，腔长为1.5m ，输出的平均功率为1W ，认为各纵模振幅相等。 （1）试求在锁模情况下，光脉冲的周期、宽度和峰值功率各是多少？
（2）采用声光损耗调制元件锁模时，调制器上加电压0cos 2u V ft π=。试问电压的频
8率f 为多大？
答：（1）周期s c L T 8
8
1010
35.122-=??==；宽度s N T 128100.51100021012--?≈+?=+=τ 峰值功率w I N I 6
202100.412001)12(?≈?=+=
（2）频率Hz L c f 88
105
.121032=??==
9．钕玻璃激光器的荧光线宽F ν?＝7.5×1012Hz ，折射率为1.52，棒长l ＝20cm ，腔长L ＝30cm ，如果处于荧光线宽内的纵模都能振荡，试求锁模后激光脉冲功率是自由振荡时功率的多少倍。
答：Hz L c
88
107.3)1.02.052.1(21032?=+??==
?μν；4100.2?≈??=ν
νF N 倍数＝N ＝20000倍
思考练习题6
1．图6-2a 所示的角锥棱镜反射器中，O 为三面直角的顶点，OA=OB=OC 。（1）试证明当三直角均没有误差时，由斜面ABC 上入射的光线的出射光线与原入射光线反向平行；（2）若一个
直角误差为δα试计算出射光线与原入射光线的夹角。
答：1）在棱镜内部入射的光r 1经过三次反射后由r 4射出 （也是在棱镜内部），只要能证明r 1和r 4平行，则它们在棱
面的法线方向分别为：
y a n =1；x a n =2；z a n =3；z z y y x x a r a r a r r
1111++=
经过第一次反射：112)(2r a a r r y y
+?-=
所以z
z y y x x y
y z z y y x x a r a r a r a r a r a r a r r
11111112 )(2)(+-=-+++= 经过第二次反射后：
z z y y x x x x z z y y x x x x a r a r a r a r a r a r a r a a r r r 11111112232)()(2+--=-+-=?-+=
经过第三次反射：
z z y y x x z z z z y y x x z z a r a r a r a r a r a r a r a a r r r 1111111334)(2)()(2---=-++--=?-+=
因此经过三次反射后矢量r 1和矢量r 4是反向平行的，说明角锥棱镜的入射和出射光肯定是反向平行的。
2）假设y 轴和z 轴的直角有一点偏差δα，则第三个反射面的法线就变成：
()z y z y a a a a n +?+=δαδαδαsin )cos()sin(3
则经过第三次反射后：
z
y z y z y y x x z
z y z y z y y x x z y z y z z y y x x z y z z y y x x z z y y x x a r r a r r r a r a r r r a r r r a r a a r r a r a r a r n a a a r a r a r a r a r a r n n r r r
)2()22( )2)sin(2())sin(2)(sin 2( )
)))(sin()sin((2 ])[sin()(2)()(2111211111112111111113
11111133334δαδαδαδαδαδαδαδαδα+-+-+-+-?-++-+-+-=+-++--=+?-+++--=?-+=则入射光束r 1与出射光束r 4的夹角θ应满足：
()
()δα
θδαδα
δαδαδαθ2
121212
112121************
2121212121212111112
111214141)
(2)
(2
1)
(2)()(222cos z
y
x
y
z
y
x
y z
y x y z y x z y x y z z z y y y x r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ++=∴+++-=+++++-=
++--+---=?=
y
3．在图6-8 双频激光干涉仪测量空气折射率装置中，真空室长度为L ，激光在真空中的波长为0λ，记录下来的累计条纹数N ，试证明被测气体折射率可以用（6-8）式表示。 证明：图6-8 双频激光干涉仪可测量出真空室内外气体折射率不同造成的光程差，若被测气体折射率为m n ，真空折射率为1，长为L 的真空室造成的光程差为 ()12-n L 根据（6-6）式有：()N n L m 2
10
λ=
-；
故被测气体折射率为：120
+=N L
n m λ
4．分离间隙法的测量原理如图6-13所示，试证明狭缝宽度b 和间隔z 、级次1k 、2k 、暗条纹的位置1k x 、2k x ，以及工作距离之间的关系为（6-19）式。
证明：对于产生1k 暗条纹的P 1点来讲，在平行光照明下，下边沿与上边沿衍射时对应的光程差为由虚拟的对称下边沿衍射边出发通过实际的下边沿再衍射到P 1点的光程和直接由上边沿衍射到P 1点的光程之差：
()2
2
11121111111422sin 2sin cos sin L x z L x b z b z z b AP P A A k k +=??
? ??+=-+=-'???? 同理，对于产生2k 暗条纹的P 2点来讲，在平行光照明下，有
22
2222
22211
422sin 2sin L x z L x b z b AP P A A k k -=??
?
??-=-'??
上两式对应的光程差分别等于λ1k ，λ2k ，因而在分离间隙时狭缝宽度可以用（6-19）式表示。
5．在一拉制单模光纤生产线上测量光纤直径，若光纤外径为125微米，外径允差为±1微米，不考虑光纤芯的折射率变化的影响，用图（6-10）右半部所示的检测系统，若接收屏处放置的2048元线阵CCD 象素间距为14微米，为保证测量系统的分辨率为允差的五分之一，所用的透镜焦距至少为多大？
答：设光纤的外径为b ，第k 个暗条纹的位置为k x ，透镜焦距为f ，光波波长为λ，则有：
m f kf x kf b b x kf b x x kf b k k k k 73.1146328
.012551222≤???=?=
???
???==
δλδλδλδ
6．用如图6-18所示的激光脉冲测距方法测量地球到月球之间的准确距离。若使用调Q 技术得到脉宽为10-9S 而脉冲峰值功率达到109W 的激光巨脉冲，激光的发散角通过倒置望远镜压缩到0.01毫弧度，光电接收器最低可以测量的光功率为10-6W ，大气层的透过系数为5×10-2，试问，送上月球的角锥棱镜反射器的通光口径至少要有多大（不考虑角锥棱镜的角度加工误差）？
答：激光束达到月球上的光斑半径为：m 380000001.0108.38=??=ω 激光束达到月球上的脉冲峰值功率为：W P 72910510510?=??=- 设角锥棱镜的通光口径的直径为a ，则有：
激光束达到月球上后再被反射回接收器的总功率为：
m a a P 3622
2
7108.41010543800
105'---?=?=?????=ππ 这里没有考虑角锥棱镜的角度加工误差，实际上角锥棱镜的角度加工误差至少要有0.1弧秒，
对应返回地球的光束发散角在5×10-8以上，即使接收透镜的口径达到半米以上，实际送上月球的角锥棱镜反射器的通光口径至少还要再大一到两个数量级。
7. 试说明相位测距的原理。若激光相位测距量程要求达到5Km ，测量最小可分辩距离为1mm ，而测相灵敏度为2π/1000，那么至少要几个调制频率才能满足上述技术要求？ 答：
m km 510005=；增加一个测距频率的测相灵敏度可达：mm m
51000
5=；如果要求1的测距分辨率，则测距信号调制频率至少要有三个。 8．一台激光隧道断面放样仪，要在离仪器50米远的断面处生成一个激光光斑进行放样工作，要求放样光斑的直径小于3厘米。（1）如果使用发散(全)角为3毫弧度的氦氖激光器，如何
设计其扩束光学系统以实现这个要求？（2）如果使用发光面为1×3μ2
的半导体激光器，又如何设计其扩束光学系统？ 答：（1）在远场情况下，光斑半径可以表示为 02
1
00z f f z z θθω== 其中
1
2
f f 为倒置望远镜的发散角压缩比。代入有关参数可计算出所要求的最小压缩比为： 530
1050003.03
00012=??==z z f f ωθ
激光原理及应用[陈家璧主编] 一、填空题（20分，每空1分） 1、爱因斯坦提出的辐射场与物质原子相互作用主要有三个过程，分别是（自发辐射）、（受激吸收）、（受激辐射）。 2、光腔的损耗主要有（几何偏折损耗）、（衍射损耗）、（腔镜反射不完全引起的损耗）和材料中的非激活吸收、散射、插入物损耗。 3、激光中谐振腔的作用是（模式选择）和（提供轴向光波模的反馈）。 4、激光腔的衍射作用是形成自再现模的重要原因，衍射损耗与菲涅耳数有关，菲涅耳数的近似表达式为（错误！未找到引用源。），其值越大，则衍射损耗（愈小）。 5、光束衍射倍率因子文字表达式为（错误！未找到引用源。）。 6、谱线加宽中的非均匀加宽包括（多普勒加宽），（晶格缺陷加宽）两种加宽。 7、CO2激光器中，含有氮气和氦气，氮气的作用是（提高激光上能级的激励效率），氦气的作用是（有助于激光下能级的抽空）。 8、有源腔中，由于增益介质的色散，使纵横频率比无源腔频率纵模频率更靠近中心频率，这种现象叫做（频率牵引）。 9、激光的线宽极限是由于（自发辐射）的存在而产生的，因而无法消除。 10、锁模技术是为了得到更窄的脉冲，脉冲宽度可达（错误！未找到引用源。）S，通常有（主动锁模）、（被动锁模）两种锁模方式。 二、简答题（四题共20分，每题5分） 1、什么是自再现？什么是自再现模？ 开腔镜面上的经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自在现摸 2、高斯光束的聚焦和准直，是实际应用中经常使用的技术手段，在聚焦透镜焦距F一定的条件下，画出像方束腰半径随物距变化图，并根据图示简单说明。 3、烧孔是激光原理中的一个重要概念，请说明什么是空间烧孔？什么是反转粒子束烧孔？ 4、固体激光器种类繁多，请简单介绍2种常见的激光器（激励方式、工作物质、能级特点、可输出光波波长、实际输出光波长）。 三、推导、证明题（四题共40分，每题10分）
激光原理复习题 1. 麦克斯韦方程中 0000./.0t t μμερε????=-???????=+????=???=?B E E B J E B 麦克斯韦方程最重要的贡献之一是揭示了电磁场的在矛盾和运动；不仅电荷和电流可以激发电磁场，而且变化的电场和磁场也可以相互激发。在方程组中是如何表示这一结果？ 答：（1）麦克斯韦方程组中头两个分别表示电场和磁场的旋度，后两个分别表 示电场和磁场的散度； (2) 由方程组中的1式可知,这是由于具有旋度的随时间变化的电场(涡旋 电场),它不是由电荷激发的,而是由随时间变化的磁场激发的; (3)由方程组中的2式可知，在真空中，,J =0，则有 t E ??=? 00B *εμ ；这表明了随时间变化的电场会导致一个随时间变化的磁场；相反一个空间变化的磁场会导致一个随时间变化的电场。这 种交替的不断变换会导致电磁波的产生。 2, 产生电磁波的典型实验是哪个？基于的基本原理是什么？ 答：产生电磁波的典型实验是赫兹实验。基于的基本原理：原子可视为一个偶 极子，它由一个正电荷和一个负电荷中心组成，偶极矩在平衡位置以高频做周期振荡就会向周围辐射电磁波。简单地说就是利用了振荡电偶极子产生电磁波。 3 光波是高频电磁波部分，高频电磁波的产生方法和机理与低频电磁波不同。对于可见光围的电磁波，它的产生是基于原子辐射方式。那么由此原理产生的光的特点是什么？ 答：大量原子辐射产生的光具有方向不同，偏振方向不同，相位随机的光，它们是非相干光。 4激光的产生是基于爱因斯坦关于辐射的一般描述而提出的。请问爱因斯坦提出了几种辐射，其中那个辐射与激光的产生有关，为什么？ 答：有三种：自发辐射，受激辐射，受激吸收。其中受激辐射与激光的产生有 关，因为受激辐射发出来的光子与外来光子具有相同的频率，相同的发射 方向，相同的偏振态和相同的相位，是相干光。
习题I 1、He-Ne 激光器m μλ63.0≈，其谱线半宽度m μλ12 10-≈?，问λλ/?为多少？要使其相干长度达到1000m ，它的单色性λλ/?应是多少？ 解：63.01012 -=?λλ λλδτ?= ==2 1v c c L c 相干 = = ?相干 L λ λ λ 2、He-Ne 激光器腔长L=250mm ，两个反射镜的反射率约为98%，其折射率η=1，已知Ne 原子m μλ6328.0=处谱线的MHz F 1500=?ν，问腔内有多少个纵模振荡？光在腔内往返一次其光子寿命约为多少？光谱线的自然加宽ν?约为多少？ 解：MHz Hz L c v q 60010625 210328 10=?=??==?η
5 .2=??q F v v s c R L c 8 10 1017.410 3)98.01(25)1(-?=??-=-=τ MHz Hz L c R v c c 24104.2)1(21 7=?=-≈=πτδ 3、设平行平面腔的长度L=1m ，一端为全反镜，另一端反射镜的反射率90.0=γ，求在1500MHz 频率范围内所包含的纵模数目和每个纵模的频带宽度？ 解：MHz Hz nL c v q 150105.1100 210328 10=?=??==? 10 150 1500==??q v v L c R v c c )1(21 -≈ =πτδ 4、已知CO 2激光器的波长m μλ60.10=处 光谱线宽度MHz F 150=?ν，问腔长L 为多少时，腔内为单纵模振荡（其中折射率η=1）。
解：L c v v F q η2=?=?， F v c L ?=2 5、Nd 3 —YAG 激光器的m μ06.1波长处光 谱线宽度MHz F 5 1095.1?=?ν，当腔长为10cm 时，腔中有多少个纵模？每个纵模的频带宽度为多少？ 解：MHz L c v q 3 10105.110 21032?=??==?η 130 =??q F v v L c R v c c )1(21 -≈ =πτδ 6、某激光器波长m μλ7.0=，其高斯光束束腰光斑半径mm 5.00=ω。 ①求距束腰10cm 、20cm 、100cm 时， 光斑半径)(z ω和波阵面曲率半径)(z R 各为多少？ ②根据题意，画出高斯光束参数分布图。
华南农业大学期末考试试卷（B 卷） 2008～2009学年第一学期 考试科目：激光原理与技术 考试类型：（闭卷） 考试时间：120分钟 姓名 年级专业 学号 一.填空题（每空2分，共30分） 1. 设小信号增益系数为0g ，平均损耗系数为α，则激光器的振荡条件为 g o > α 。 2. 相格 是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。 3. 四能级系统中，设3E 能级向2E 能级无辐射跃迁的量子效率为1η，2E 能级向1E 能 级跃迁的荧光效率为2η，则总量子效率为 。。 4. 当统计权重21f f =时，两个爱因斯坦系数12B 和21B 的关系为 B 12=B 21 。 5. 从光与物质的相互作用的经典模型，可解释 色散 现象和 物质对光的 吸收 现象。 6. 线型函数的归一化条件数学上可写成 。 7. 临界腔满足的条件是 g1g2=1 或 g1g2=0 。 8. 把开腔镜面上的经过一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的 自再现模 。 9. 对平面波阵面而言，从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半周期 带的数目称为 菲涅耳数 。
10. 均匀加宽指的是引起加宽的物理因素对各个原子是 等同的, 。 11. 入射光强和饱和光强相比拟时，增益随入射光强的增加而减少，称 增益饱和 现 象。 12．方形镜的mnq TEM 模式沿x 方向有 m 条节线，没y 方向有 n 条节线. 二.单项选择题（每题2分，共10分） 1. 关于高斯光束的说法，不正确的是（ ） (A)束腰处的等相位面是平面； (B)无穷处的等相位面是平面； (C)相移只含几何相移部分； (D)横向光强分布是不均匀的。 2. 下列各模式中，和圆型共焦腔的模q n m TEM ,,有相同频率的是（A ） (A)1,,2-+q n m TEM ； (B) q n m TEM ,,2+； (C) 1,,1-+q n m TEM ； (D) 1,1,2-++q n m TEM 。 3. 下列各种特性中哪个特性可以概括激光的本质特性（C ） (A)单色性； (B)相干性； (C)高光子简并度； (D)方向性。 4. 下列加宽机制中，不属于均匀加宽的是（B ） (A)自然加宽； (B)晶格缺陷加宽； (C)碰撞加宽； (D)晶格振动加宽。 5. 下列方法中，不属于横模选择的是（D ） (A)小孔光阑选模； (B) 非稳腔选模； (C) 谐振腔参数N g ,选择法； (D)行波腔法。 三、简答题（每题4分，共20分）
激光原理与激光技术习题答案 《激光原理与激光技术》堪误表见下方 习题一 (1)为使氦氖激光器的相干长度达到1m ，它的单色性 /应为多大 解： 1010 1032861000 106328--?=?=λ=λλ?=.L R c (2) =5000?的光子单色性 /=10-7 ，求此光子的位置不确定量x 解： λ =h p λ?λ =?2h p h p x =?? m R p h x 510 1050007 10 2=?=λ=λ ?λ=?=?-- (3)CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为r 1=,r 2=。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的、c 、Q 、c (设n=1) 解： 衍射损耗: 1880107501106102 262.) .(.a L =???=λ=δ-- s ..c L c 881075110318801-?=??=δ=τ 6 86810 113107511061010314322?=??????=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 19101910 75114321 2168 =?=???=πτ= ν?- 输出损耗: 119080985050212 1.)..ln(.r r ln =??-=-=δ s ..c L c 8 81078210 311901-?=??=δ=τ 6 86810 964107821061010314322?=??????=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 75107510 78214321 2168 =?=???=πτ= ν?- (4)有一个谐振腔，腔长L=1m ，两个反射镜中，一个全反，一个半反，半反镜反射系数r=，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽(不考虑其它损耗) 解： MHz Hz .L c q 15010511 2103288=?=??==ν? 11]11501500 []1[=+=+ν?ν?=?q q 005.02 01 .02===T δ s c L c 7 8 1067.6103005.01-?=??== δτ MHz c c 24.010 67.614.321 217 =???= = -πτν? (5) 某固体激光器的腔长为45cm ，介质长30cm ，折射率n=，设此腔总的单程损耗率，求此激光器的无
1.2 1 谁提出的理论奠定了激光的理论基础？ ?A、汤斯 ?B、肖洛 ?C、爱因斯坦 ?D、梅曼 正确答案：C 我的答案：C得分： 10.0分 2 氢原子3p态的简并度为? ?A、2 ?B、10 ?C、6 正确答案：C 我的答案：C得分： 10.0分 3 热平衡状态下粒子数的正常分布为： ?A、处于低能级上的粒子数总是等于高能级上的粒子数?B、处于低能级上的粒子数总是少于高能级上的粒子数?C、处于低能级上的粒子数总是多于高能级上的粒子数正确答案：C 我的答案：C得分： 10.0分 4 原子最低的能量状态叫什么？ ?A、激发态 ?B、基态 ?C、.亚稳态 正确答案：B 我的答案：B得分： 10.0分 5 对热辐射实验现象的研究导致了？ ?A、德布罗意的物质波假说 ?B、爱因斯坦的光电效应
?C、普朗克的辐射的量子论 正确答案：C 我的答案：A得分： 0.0分 6 以下关于黑体辐射正确的说法是： ?A、辐射的能量是连续的 ?B、黑体一定是黑色的 ?C、 辐射能量以hν为单位 正确答案：C 我的答案：C得分： 10.0分 7 热平衡状态下各能级粒子数服从： ?A、A. 高斯分布 ?B、玻尔兹曼分布 ?C、正弦分布 ?D、余弦分布 正确答案：B 我的答案：B得分： 10.0分 8 以下说法正确的是： ?A、受激辐射光和自发辐射光都是相干的 ?B、受激辐射光和自发辐射光都是非相干的 ?C、受激辐射光是非相干的，自发辐射光是相干的 ?D、受激辐射光是相干的，自发辐射光是非相干的正确答案：D 我的答案：D得分： 10.0分 9 下列哪个物理量不仅与原子的性质有关，还与场的性质有关？?A、自发跃迁几率 ?B、受激吸收跃迁几率 ?C、受激辐射跃迁爱因斯坦系数 正确答案：B 我的答案：B得分： 10.0分 10
《激光原理及应用》习题参考答案 思考练习题1 1.解答：设每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数为n 。 单个光子的能量：λνε/hc h == 连续功率：εn p = 则，ε/p n = a. 对发射m μλ5000 .0=的光： ) (10514.2100.31063.6105000.01188346 个?=?????= =--hc p n λ b. 对发射MHz 3000＝ν的光 )(10028.51030001063.6123634个?=???= = -νh p n 2.解答：νh E E =-12……………………………………………………………………..(a) T E E e n n κ121 2--=……………………………………………………………………….(b) λν/c =…………………………………………………………………………….(c) （1）由（a ），（b ）式可得： 11 2==-T h e n n κν （2）由（a ），（b ）,(c)式可得： )(1026.6ln 31 2 K n n hc T ?=- =κλ 3.解答： （1） 由玻耳兹曼定律可得 T E E e g n g n κ121 12 2//--=， 且214g g =，20 2110=+n n 代入上式可得： ≈2n 30（个）
（2）)(10028.5)(1091228W E E n p -?=-= 4.解答： (1) 由教材（1-43）式可得 31733 634 3/10860.3/) 106000.0(1063.68200018q m s J m s J h q ??=??????=?=---πλπρν自激 （2）9 34 4363107.59210 63.68100.5)106328.0(8q ?=?????==---ππρλνh q 自激 5.解答：（1）红宝石半径cm r 4.0=，长cm L 8=，铬离子浓度318102-?=cm ρ，发射波 长m 6 106943.0-?=λ，巨脉冲宽度ns T 10=?则输出最大能量 )(304.2)(106943.0100.31063.684.0102)(6 8 342 182 J J hc L r E =?????????==--πλπρ 脉冲的平均功率： )(10304.2)(10 10304 .2/89 W W T E p ?=?=?=- （2）自发辐射功率 )(10304.2)(10106943.0)84.0102(100.31063.6) (22 621883422 W W L r hc hcN Q ?=??????????== ---πλτ πρλτ ＝ 自 6.解答：由λν/c =，λλνd c d 2 =及λρνρλd d v =可得 1 1 85 -== kT hc e hc d d λνλλ πλνρρ 7.解答： 由 0) (=ννρd d 可得： 31 =-kT h kT h m m m e e kT h υυυ； 令 x kT h m =υ，则)1(3-=x x e xe ；解得：82.2=x 因此：11 82.2--=kh T m ν 同样可求得： 96.4=kT hc m λ 故c m m 568.0=λν
2006-2007学年第1学期《激光原理与技术》B卷试题答案 1 .填空题（每题4分）[20] 1.1激光的相干时间T和表征单色性的频谱宽度△V之间的关系 为 1/ c 1.2 一台激光器的单色性为5X10-10,其无源谐振腔的Q值是_2x109 1.3如果某工作物质的某一跃迁波长为100nm的远紫外光，自发跃迁几率A10等于105S1，该跃迁的受激 辐射爱因斯坦系数B10等于6x1010 m3^2^ 1.4设圆形镜共焦腔腔长L=1m，若振荡阈值以上的增益线宽为80 MHz判断可能存在两个振荡频率。 1.5对称共焦腔的1（A D）_1_,就稳定性而言，对称共焦腔是稳定______________ 空。 2.问答题（选做4小题，每小题5分）[20] 2.1何谓有源腔和无源腔？如何理解激光线宽极限和频率牵引效应？ 有源腔：腔内有激活工作物质的谐振腔。无源腔：腔内没有激活工作物质的谐振腔。 激光线宽极限：无源腔的线宽极限与腔内光子寿命和损耗有关: 九'；有源腔由于受到自发辐射影响，净损耗不等于零，自发辐射的随机相位造成输出激光的线宽极限 n2t 2 ( C)h 0 ------------------- 。 n t Rut 频率牵引效应：激光器工作物质的折射率随频率变化造成色散效应，使得振荡模的谐振频率总是偏离无源腔 相应的模的频率，并且较后者更靠近激活介质原子跃迁的中心频率。这种现象称为频率牵引效应。 2.2写出三能级和四能级系统的激光上能级阈值粒子数密度，假设总粒子数密度为n阈值反转粒子数密 度为n t. 三能级系统的上能级阈值粒子数密度n 2t n n ——-;四能级系统的上能级阈值粒子数密度2 n2t n t 。 2.3产生多普勒加宽的物理机制是什么？ 多普勒加宽的物理机制是热运动的原子（分子）对所发出（或吸收）的辐射的多普勒频移。 2.4均匀加宽介质和非均匀加宽介质中的增益饱和有什么不同？分别对形成的激光振荡模式有何影响? 均匀加宽介质：随光强的增加增益曲线会展宽。每个粒子对不同频率处的增益都有贡献，入射的强光不仅使自身的增益系数下降，也使其他频率的弱光增益系数下降。满足阀值条件的纵模在振荡过程中互相竞争，结果总是靠近中心频率的一个纵模得胜，形成稳定振荡，其他纵模都
思考练习题1 1． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000μm ，ν=3000MHz 的光，每秒 从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？ 答：粒子数分别为：18 8 34634110 5138.21031063.6105.01063.61?=????=? ?= =---λ ν c h q n 23 9 342100277.510 31063.61?=???==-νh q n 2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？ 答：（1）(//m n E E m m kT n n n g e n g --=）则有：1]300 1038.110 31063.6exp[2393412≈?????-==---kT h e n n ν （2）K T T e n n kT h 36238 34121026.61.0]1011038.11031063.6exp[?=?=???????-==----ν 3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为1.64×l0－ 18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？ 答：（1）1923 181221121011.3]2700 1038.11064.1exp[4----?=???-?=?=??n n e g n g n kT h ν 且20 2110=+n n 可求出312≈n （2）功率＝W 918 8 10084.51064.13110--?=??? 4．(1)普通光源发射λ＝0.6000μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比 q q 激自 1 = 2000 ，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ??=-νρ，λ为0.6328μm ，设μ＝1，求 q q 激自 为若干？ 答：（1）
1.3 如果微波激射器和激光器分别在λ＝10μm ，＝5×10－ 1μm 输出1W 连续功率，试问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？ 解：若输出功率为P ，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n ，则： 由此可得： 其中346.62610J s h -=??为普朗克常数， 8310m/s c =?为真空中光速。 所以，将已知数据代入可得： =10μm λ时： 19-1=510s n ? =500nm λ时： 18-1=2.510s n ? =3000MHz ν时： 23-1=510s n ? 1.4设一光子的波长＝5×10－ 1μm ，单色性λ λ ?＝10－ 7，试求光子位置的不确定量x ?。若光子的波长变为5×10－ 4μm （x 射线）和5 ×10 －18 μm （γ射线），则相应的x ?又是多少 m m x m m m x m m m x m h x h x h h μμλμμλμλλμλλ λλλλλλλλ 11171863462122 1051051051051051051055/105////0 /------?=?=???=?=?=???=?==?=???=?=?P ≥?≥?P ??=P?=?P =?P +P?=P 1.7如果工作物质的某一跃迁波长为100nm 的远紫外光，自发跃迁几率A 10等于105S － 1，试问：（1）该跃迁的受激辐射爱因斯坦系数B 10是多少？（2）为使受激跃迁几率比自发跃迁几率大三倍，腔内的单色能量密度ρ应为多少？ c P nh nh νλ==P P n h hc λ ν= =
1.8如果受激辐射爱因斯坦系数B10＝1019m3s－3w－1，试计算在（1）λ＝6 m（红外光）；（2）λ＝600nm（可见光）；（3）λ＝60nm（远紫外光）；（4）λ＝0.60nm（x射线），自发辐射跃迁几率A10和自发辐射寿命。又如果光强I＝10W/mm2，试求受激跃迁几率W10。 2.1证明，如习题图2.1所示，当光线从折射率η1的介质，向折射率为η2的介质折射时，在曲率半径为R的球面分界面上，折射光线所经受的变换矩阵为 其中，当球面相对于入射光线凹（凸）面时，R取正（负）值。 习题
第七章 激光特性的控制与改善 习题 1．有一平凹氦氖激光器，腔长0.5m ，凹镜曲率半径为2m ，现欲用小孔光阑选出TEM 00模，试求光阑放于紧靠平面镜和紧靠凹面镜处的两种情况下小孔直径各为多少？(对于氦氖激光器，当小孔光阑的直径约等于基模半径的3.3倍时，可选出基模。) 解：腔长用L 表示，凹镜曲率半径用1R 表示，平面镜曲率半径用2R 表示，则 120.5m ,2m ,L R R ===∞ 由稳定腔求解的理论可以知道，腔内高斯光束光腰落在平面镜上，光腰半径为 0121 4 1 ()] 0.42m m w L R L = = -≈ 共焦参量为2 207 0.420.87m 632810 w f ππλ -?= = ≈? 凹面镜光斑半径为 10.484m m w w w ==≈ 所以平面镜端光阑直径为 03.3 1.386m m D w =?=平 凹面镜端光阑直径为 13.3 1.597m m D w =?=凹 2．图7.1所示激光器的M 1是平面输出镜，M 2是曲率半径为8cm 的凹面镜，透镜P 的焦距F =10cm ，用小孔光阑选TEM 00模。试标出P 、M 2和小孔光阑间的距离。若工作物质直径是5mm ，试问小孔光阑的直径应选多大？ 图 7.1 1 2
解：如下图所示： 1 2 P 小孔光阑的直径为： 3 1.0610100 2 2mm 0.027mm 2.5 f d a λππ-??==? ≈? 其中的a 为工作物质的半径。 3．激光工作物质是钕玻璃，其荧光线宽F ν?=24.0nm ，折射率η=1.50，能用短腔选单纵模吗？ 解：谐振腔纵模间隔 2 22q q c L L νηλ λη?=?= 所以若能用短腔选单纵模，则最大腔长应该为 2 15.6μm 2L λ ηλ = ≈? 所以说，这个时候用短腔选单纵模是不可能的。 6．若调Q 激光器的腔长L 大于工作物质长l ，η及' η分别为工作物质及腔中其余部分的折射率，试求峰值输出功率P m 表示式。 解：列出三能级系统速率方程如下： 2121 (1) 2 (2) R dN l N cN n dt L d n N n dt στσυ=?-'?=-? 式中，()L l L l ηη''=+-，η及' η分别为工作物质及腔中其余部分的折射率，N 为工作物质中的平均光子数密度，/,/R c L c υητδ'==。 由式(1)求得阈值反转粒子数密度为：
《激光原理与技术》习题一 班级序号姓名等级 一、选择题 1、波数也常见作能量的单位, 波数与能量之间的换算关系为1cm-1 = eV。 ( A) 1.24×10-7 (B) 1.24×10-6 (C) 1.24×10-5 (D) 1.24×10-4 2、若掺Er光纤激光器的中心波长为波长为1.530μm, 则产生该波长的两能级之间的能量 间隔约为 cm-1。 ( A) 6000 (B) 6500 (C) 7000 (D) 10000 3、波长为λ=632.8nm的He-Ne激光器, 谱线线宽为Δν=1.7×109Hz。谐振腔长度为50cm。 假设该腔被半径为2a=3mm的圆柱面所封闭。则激光线宽内的模式数为个。 ( A) 6 (B) 100 (C) 10000 (D) 1.2×109 4、属于同一状态的光子或同一模式的光波是 . (A) 相干的 (B) 部分相干的 (C) 不相干的 (D) 非简并的 二、填空题 1、光子学是一门关于、、光子的科学。 2、光子具有自旋, 而且其自旋量子数为整数, 大量光子的集合, 服从统计分布。 3、设掺Er磷酸盐玻璃中, Er离子在激光上能级上的寿命为10ms, 则其谱线宽度 为。 三、计算与证明题 1．中心频率为5×108MHz的某光源, 相干长度为1m, 求此光源的单色性参数及线宽。
2．某光源面积为10cm 2, 波长为500nm, 求距光源0.5m 处的相干面积。 3．证明每个模式上的平均光子数为 1 )/ex p(1-kT hv 。 《激光原理与技术》习题二 班级 姓名 等级 一、 选择题 1、 在某个实验中, 光功率计测得光信号的功率为-30dBm, 等于 W 。 ( A) 1×10-6 (B) 1×10-3 (C) 30 (D) -30 2、 激光器一般工作在 状态. (A) 阈值附近 (B) 小信号 (C) 大信号 (D) 任何状态 二、 填空题 1、 如果激光器在=10μm λ输出1W 连续功率, 则每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数 是 。 2、 一束光经过长度为1m 的均匀激励的工作物质。如果出射光强是入射光强的两倍, 则该物 质的增益系数为 。 三、 问答题 1、 以激光笔为例, 说明激光器的基本组成。 2、 简要说明激光的产生过程。 3、 简述谐振腔的物理思想。 4、 什么是”增益饱和现象”? 其产生机理是什么? 四、 计算与证明题 1、 设一对激光能级为2E 和1E (设g 1=g 2), 相应的频率为ν(波长为λ), 能级上的粒子数密度 分别为2n 和1n , 求 (a) 当ν=3000MHz , T=300K 时, 21/?n n =
激光原理与激光技术习题答案 习题一 (1)为使氦氖激光器的相干长度达到1m ，它的单色性?λ/λ应为多大？ 解： 1010 1032861000 106328--?=?=λ=λ λ?=.L R c (2) λ=5000?的光子单色性?λ/λ=10-7，求此光子的位置不确定量?x 解： λ=h p λ?λ=?2h p h p x =?? m R p h x 510 1050007 10 2=?=λ=λ?λ=?=?-- (3)CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为r 1=0.985,r 2=0.8。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、τc 、Q 、?νc (设n=1) 解： 衍射损耗: 1880107501 106102 262.) .(.a L =???=λ=δ-- s ..c L c 881075110318801-?=??=δ=τ 6 86 8 10113107511061010314322?=??????=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 19101910 75114321216 8 =?=???=πτ= ν?- 输出损耗: 119080985050212 1.)..ln(.r r ln =??-=-=δ s ..c L c 8 81078210 311901-?=??=δ=τ 6 86810 964107821061010314322?=??????=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 7510751078214321216 8 =?=???=πτ= ν?- (4)有一个谐振腔，腔长L=1m ，两个反射镜中，一个全反，一个半反，半反镜反射系数r=0.99，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽(不考虑其它损耗) 解： MHz Hz .L c q 15010511 2103288=?=??==ν? 11]11501500 []1[=+=+ν?ν?=?q q 005.02 01 .02=== T δ s c L c 781067.610 3005.01 -?=??== δτ MHz c c 24.010 67.614.321 217 =???= = -πτν? (5) 某固体激光器的腔长为45cm ，介质长30cm ，折射率n=1.5，设此腔总的单程损耗率0.01π，求此激光器的无源腔本征纵模的模式线宽。
2006-2007学年 第1学期 《激光原理与技术》B 卷 试题答案 1．填空题(每题4分)[20] 激光的相干时间τc 和表征单色性的频谱宽度Δν之间的关系为___1c υτ?= 一台激光器的单色性 为5x10-10，其无源谐振腔的Q 值是_2x109 如果某工作物质的某一跃迁波长为100nm 的远紫外光，自发跃迁几率A 10等于105 S -1，该跃迁的受激辐射爱因斯坦系数B 10等于_____6x1010 m 3s -2J -1 设圆形镜共焦腔腔长L=1m ，若振荡阈值以上的增益线宽为80 MHz ，判断可能存在_两_个振荡频率。 对称共焦腔的 =+)(2 1 D A _-1_，就稳定性而言，对称共焦腔是___稳定_____腔。 2. 问答题(选做4小题，每小题5分)[20] 何谓有源腔和无源腔？如何理解激光线宽极限和频率牵引效应？ 有源腔：腔内有激活工作物质的谐振腔。无源腔：腔内没有激活工作物质的谐振腔。 激光线宽极限：无源腔的线宽极限与腔内光子寿命和损耗有关：122' c R c L δ υπτπ?= = ；有源腔由于受到自发辐射影响，净损耗不等于零，自发辐射的随机相位造成输出激光的线宽极限 220 2()t c s t out n h n P πυυυ?= ?。 频率牵引效应：激光器工作物质的折射率随频率变化造成色散效应，使得振荡模的谐振频率总是偏离无源腔相应的模的频率，并且较后者更靠近激活介质原子跃迁的中心频率。这种现象称为频率牵引效应。 写出三能级和四能级系统的激光上能级阈值粒子数密度，假设总粒子数密度为n ，阈值反转粒子数密度为 n t. 三能级系统的上能级阈值粒子数密度22 t t n n n += ；四能级系统的上能级阈值粒子数密度2t t n n ≈。 产生多普勒加宽的物理机制是什么？ 多普勒加宽的物理机制是热运动的原子（分子）对所发出（或吸收）的辐射的多普勒频移。 均匀加宽介质和非均匀加宽介质中的增益饱和有什么不同？分别对形成的激光振荡模式有何影响？ 均匀加宽介质：随光强的增加增益曲线会展宽。每个粒子对不同频率处的增益都有贡献，入射的强光不仅使自身的增益系数下降，也使其他频率的弱光增益系数下降。满足阀值条件的纵模
《激光原理》习题解答 第二章习题解答 1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合. 证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。 设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知： L R R R ===21 因此，一次往返转换矩阵为 ?????? ?????????????????? ??-???? ??---?????????? ??-+-???? ??--=??????=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到： ? ? ? ???--=??????=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()12 1 1<+<-D A 如果 ()121 -=+D A 或者()12 1=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。 经过两个往返的转换矩阵式2 T ，?? ? ? ??=10012T 坐标转换公式为：?? ????=??????? ?????=??????=???? ??1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过 两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。 2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。 解答如下：共轴球面腔的()2 12 21222121R R L R L R L D A + --≡+，如果满足()1211<+<-D A ，
《激光原理》习题解答 第二章习题解答 1试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返 无限次，而 且两次往返即自行闭合. 证明如下：(共焦腔的定义一一两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共 焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共 焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔， 可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。) 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。 设两个凹镜的曲率半径分别是&和忌，腔长为厶，根据对称共焦腔待点可 知： R ?=Ri=R = L 因此，一次往返转换矩阵为 2厶I-—— 当申申 & ^∣Λ RJ 把条件R i =R 2 =R =厶带入到转换矩阵T,得到: T 屮 B l=[-1 0 I Le 切 Lo -IJ 共轴球面腔的稳定判别式子-Kl(A÷D)<1 2 如果1(A + D) = -1或者∣(A + D)=1,则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要 根据情况来定。本题中，因此可以断定是介稳腔(临界腔)，下面证明对 称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。 经过两个往返的转换矩阵式凡^=O I R 2 '2 2 ( 一 一+ —— I Rl ^2 < 2L y 斤 丿
其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可 以看出，光 线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得 到近轴光线经过两次往 返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。 2试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。 解答如下：共轴球面腔的1(A + D)≡1--- —+ —,如果满足 2 ∕?I R 2 R l R I -Kl(A÷D)<1,则腔是稳定腔，反之为非稳腔，两者之间存在临界腔， 临界腔是否是稳 定腔，要具体分析。 下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。 对于平凹共轴球面腔， 丄(A + D)=l-Z-里+ 2L = I 一三 2 R l R l R l R I R 2 (RI →∞) 所以，如果-KI-^<1,则是稳定腔。因为厶和凡均大于零，所以不等 ■ 式的后半部分一定成立，因此，只要满足—<1,就能满足稳定腔的条件, R 2 因此，土 <1就是平凹腔的稳定条件。 R 2 类似的分析可以知道， 凸凹腔的稳定条件是：& <0 R 2>L 9且?+“ V 厶。 r I =T- = "1 θ = Z i Λ 0 I Jwj 久 坐标转换公式为:
07级光信息《激光原理》复习提纲 简答题 1、 简述自发辐射、受激辐射和受激吸收之间的联系与区别。 （1）受激辐射过程是一种被迫的、受到外界光辐射控制的过程。 没有外来光子的照射，就不可能发生受激辐射。 (2) 受激辐射所产生的光子与外来激励光子属于同一光子状态， 具有相同的位相、传播方向和偏振状态。 (3) 激光来自受激辐射，普通光来自自发辐射。两种光在本质 上相同：既是电磁波，又是粒子流，具有波粒二象性；而 不同之处：自发辐射光没有固定的相位关系，为非相干光， 而激光有完全相同的位相关系，为相干光。 (4) 自发辐射跃迁几率就是自发辐射系数本身，而受激辐射的跃 迁几率决定于受激辐射系数与外来光单色能量密度的乘积。 （5）受激吸收是与受激辐射相反的过程，它的几率与受激辐射几率一样取决于吸收系数和外来光单色辐射能量密度的乘积。 2、二能级系统有无可能通过光泵浦实现稳态粒子数反转？（不能，PPT 上有） 在光和原子相互作用达到稳定条件下 得到 不满足粒子数反转，所以不能实现。 3、简述均匀增宽和非均匀增宽的区别。（类型，贡献不同ppt 上有） 4、简述光谱线增宽类型，它们之间的联系与区别 均匀增宽的共同特点 引起加宽的物理因素对每个原子都是等同的 都是光辐射偏离简谐波引起的谱线加宽 非均匀增宽的共同特点 原子体系中每个原子只对谱线内与它的表观中心频率相应的部分有贡 献，因而可以区分谱线上某一频率范围是由哪一部分原子发射的。 E 1 E 2 B 12 B 21 A 21 W W W B B ===2112 2112 即当t n B t n B t n A ννd d d 1122212 21ρρ=+W A W n n +=2112
激光原理及应用 考试时间:第18周星期五(2007年1月5日) 一单项选择（30分） 1．自发辐射爱因斯坦系数与激发态E2平均寿命τ的关系为（B） 2．爱因斯坦系数A21和B21之间的关系为（C） 3．自然增宽谱线为（C） （A）高斯线型（B）抛物线型（C）洛仑兹线型（D）双曲线型 4．对称共焦腔在稳定图上的坐标为（B） （A）（-1，-1）（B）（0，0）（C）（1，1）（D）（0，1） 5．阈值条件是形成激光的（C） （A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）不确定 6．谐振腔的纵模间隔为（B） 7．对称共焦腔基模的远场发散角为（C） 8．谐振腔的品质因数Q衡量腔的（C） （A）质量优劣（B）稳定性（C）储存信号的能力（D）抗干扰性 9．锁模激光器通常可获得（A）量级短脉冲 10．YAG激光器是典型的（C）系统 （A）二能级（B）三能级（C）四能级（D）多能级 二填空（20分） 1.任何一个共焦腔与等价，
而任何一个满足稳定条件的球面腔地等价于一个共焦腔。(4分) 2.光子简并度指光子处于、 、、。（4分） 3．激光器的基本结构包括三部分，即、 和。（3分） 4．影响腔内电磁场能量分布的因素有、 、。（3分） 5．有一个谐振腔，腔长L=1m，在1500MHｚ的范围内所包含的纵模个数为 个。（2分） 6．目前世界上激光器有数百种之多，如果按其工作物质的不同来划分，则可分为四大类，它们分别是、、和。（4分） 三、计算题（42分） 1．（8分）求He-Ne激光的阈值反转粒子数密度。已知＝6328?，1/f(ν) ＝109Hz，＝1，设总损耗率为，相当于每一反射镜的等效反射率R＝l－L ＝98.33％，＝10—7s，腔长L＝0.1m。 2．（12分）稳定双凹球面腔腔长L＝1m,两个反射镜的曲率半径大小分别为R 1＝3m求它的等价共焦腔腔长，并画出它的位置。 ＝1.5m,R 2 3．（12分）从镜面上的光斑大小来分析，当它超过镜子的线度时，这样的横模就不可能存在。试估算在L＝30cm,2a=0.2cm的He-Ne激光方形镜共焦腔中所可能出现的最高阶横模的阶次是多大？ 4．4．（10分）某高斯光束的腰斑半径光波长。求与腰斑相距z=30cm处的光斑及等相位面曲率半径。 四、论述题（8分） 1．（8分）试画图并文字叙述模式竞争过程
第一章：激光的基本原理 1.为使He-Ne激光器的相干长度达到1km,它的单色性?λ/λ0应是多少? 2.设一对激光能级为E2和E1(f1=f2)，相应的频率为v(波长为λ)，能级上的粒子 数密度分别为n2和n1，求： (a)当v=3000MHz，T=300K时，n2/n1=? (b)当λ=1μm，T=300K时，n2/n1=? (c)当λ=1μm，n2/n1=0.1时，温度T=? 3.设一对激光能级为E2和E1(f1=f2),相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n1和n2，求 （a）当ν=3000Mhz,T=300K时,n2/n1=? （b）当λ=1um,T=300K时, ,n2/n1=? （c）当λ=1um, ,n2/n1=0.1时，温度T=? 4.在红宝石Q调制激光器中，有可能将几乎全部Cr+3离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。设红宝石棒直径1cm，长度7.5cm，Cr+3离子浓度为2×1019cm-3，巨型脉冲宽度为10ns，求输出激光的最大能量和脉冲功率。 5.试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命t s=1/A21。 6.某一分子的能级E4到三个较低能级E1,E2和E3的自发跃迁几率分别是A43=5*107s-1,A42=1*107s-1和A41=3*107s-1，试求该分子能级的自发辐射寿命τ4。若τ1=5*107s-1，τ2=6*10-9s,τ3=1*10-8s在对E4连续激发并达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n1/n4，n2/n4,n3/n4,并回答这时在哪两个能级间实现了集居数反转。 7.证明当每个膜内的平均光子数（光子简并度）大于1时，辐射光中受激辐射占优势。 8．（1）一质地均匀的材料对光的吸收系数为0.01mm-1，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？（2）一光束通过长度为1m的均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。 第二章：开放式光腔与高斯光束 1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。