银川二中2010届高三模拟试题（二）
数学（理科） 2010、4 审核人：王君 校对：陈亮
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名、并将条形码粘贴在指定位置上.
2．选择题答案使用2B 钢笔填涂，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损.
5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.
6．参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差 锥体体积公式
s =
V =31Sh 其中x 为样本平均数.
其中S 为底面面积，h 为高
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共1２小题，每小题5分，共６0分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数
2
(,)1i a bi a b R i
-=+∈+，则a b += A. 1 B.2 C. 1- D. 2-
2．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为
A. 6
B.8
C.10
D.12
3．若5)1(-ax 的展开式中3
x 的系数是80，则实数a 的值是 A ．－2 B. 22 C.
3
4 D. 2
4．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率是2，则21
3b a
+的最小值为
C.2
D.1
5．有下列命题：
①设集合M = {x | 0< x ≤3},N = {x | 0< x ≤2},则“a ∈M ”是“a ∈N ”的充分而不必要条件； ②“1a b +< ”是“1a b +< ”的必要不充分条件；
③“1=a ”是“直线0=-ay x 与直线0=+ay x 互相垂直”的充要条件； ④命题P ：“2000,10x R x x ?∈-->”的否定P ?：“2,10x R x x ?∈--≤”. 则上述命题中为真命题的是
A ．①②③④
B ．①③④
C ．②④
D ．②③④
6．如下图，样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面 ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图 所示，则四棱锥P ABCD -的表面积为
A.2
2
2S a =
B. 22
2S a =
C. 2
2
4S a =
D. 22
3S a =
8．定义行列式运算：
12142334
a a a a a a a a =-.
若将函数cos () sin x
f x x
=
的图象向左平移m (0)m >个单位后，所得图象对应的函数为
偶函数，则m 的最小值是 A ．
32π B ．3π C ．8π D ．π6
5 9．已知随机变量X 和Y ，其中Y=12X+7， 且EY=34，若X 的分布列如右表所示, 则m 的值为 A ．1
6 B ．15 C ．13 D ．1
2
10．给出30个数：1，2，4，7，11，…， 要计算这30个数的和，现已给出了该问题 的程序框图如右图所示，那么框图中判断框
①处和执行框②处应分别填入
A ．30?;1i p p i ≤=+-
B ．31?;1i p p i ≤=++
C ．31?;i p p i ≤=+
D ．30?;i p p i ≤=+
11．右图是一个几何体的平面展开图，其中ABCD 为 正方形， E 、F 分别为P A 、PD 的中点，在此几何体中， 给出下面四个结论：
①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF //平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确结论的个数是
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12．已知数列{}a n 的前n 项和21n n S =-,则此数列奇数项的前n 项和为
A.1213n +-
B. 1223n +-
C.2213
n - D.2223n -
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～24题为选考题，考生根据要求只选择一题做答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中横线上． 13．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线
l 的斜率的取值范围是
14
．设函数21,0
()0
x x f x x -?-≤?=>，若0()1f x >，则0x 的取值范围是
15．现将一个质点随即投入区域(
){}
,5U x y =
≤中，则质点落在区域
()250,|30450x y A x y x x y ?-+≥?
????
=-≤??????
++≥???
内的概率是
P
16．平面上有n(n≥2)个圆，其中每两个圆都相交于两点，任何三个圆无公共点.这n 个圆将平面分成()f n 块区域，可数得(2)4,(3)8,(4)14f f f ===，则()f n 的表达式为 三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置） 17．（本小题满分12分）如图，在铁路建设中需要确 定隧道的长度和隧道两端的施工方向.已测得隧道两 端的两点A 、B 到某一点C 的距离,a b 及∠ACB=α,求A 、B 两点间的距离，以及∠ABC 、∠BAC.
18．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D - 中，已知底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱 12AA =，P 是侧棱1CC 上的一点，(02)CP m m =<<.
（Ⅰ）试问直线11B D 与AP 能否垂直？并说明理由； （Ⅱ）试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60o； （Ⅲ）若m=1，求平面PA 1D 1与平面PAB 所成角的大小.
19．（本小题满分12分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100
（Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率.
（Ⅱ）若选取的是3月1日与3
月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求
出y 关于x 的线性回归方程 y bx
a =+ ； （Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠?
（参考公式：回归直线的方程是 ?y
bx a =+ ，其中1
2
2
1
n
i i
i n
i
i x y n x y
b x
nx ==-??=-∑∑ ， a y bx =-，）
A B C
D
P A 1
B 1
D 1
C 1
20．（本小题满分12分）一动圆与已知1O
：22(1x y +=相外切，与2O
：
222(1)x y +=相内切.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C ； （Ⅱ）若轨迹C 与直线y=kx+m (k≠0)相交于不同的两点M 、N ，当点A （0，-1）满足
|AM |=|AN
| 时，求m 的取值范围.
21. （本小题满分12分）设函数()(21)ln(21)f x x x =++. （Ⅰ）求函数f (x)在点(0, f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x)的极小值；
（Ⅲ）若对所有的0x ≥，都有()2f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22（本小题满分10分）选修4-1:
几何证明选讲 如图所示，AB 是⊙O 的直径，
G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点(
G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延
长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .
求证：（Ⅰ）C ，D ，F ，E 四点共圆；
（Ⅱ）GH 2=GE·GF.
23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线221:1C x y +=，将1C 上的所有点的横坐标、纵坐标2倍后得到曲线2C . 以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(2sin )6l cos ρθθ-=. （Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程和曲线2C 的参数方程；
（Ⅱ）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，并求出此最大值.
24（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
A B
C D E F G
H
O
(Ⅰ)已知,x y 都是正实数，求证：3322x y x y xy +≥+； (Ⅱ)已知,,a b c 都是正实数，求证：333
2
221()()3
a b c a b c a b c ++≥++++.
银川二中2010届高三高考模拟卷（二）
数学（理科）参考答案2010、4
审核人：王君校对：陈亮
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
1．A
2．D
3．D
4．A
5．C
6．D
7．A
8．A
9．C
10．D
11．B
12．C
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
13．[－1，1]
14．(－∞,－1)∪(1,+∞)
15．
24 25π
16．22
n n-+
三、解答题：
17【解析】根据余弦定理AB2=a2+b2-2abcosα4分
cosB=
222
2
a AB b
a AB
+-
??
2222
从而确定∠B的大小. ……………8分
同理可以得到
，从而确定∠A的大小. …………12分
18【解析】（Ⅰ）以D为原点，DA、DC、DD1分别为
x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0),
D1 (0,0,2)，A1 (1,0,2)，B1 (1,1,2)，C1 (0,1,2)，P(0,1,m)，
所以
11
(1,1,0),(1,1,)
B D AP m
=--=-
，
1111
1100
B D AP B D AP
??=-+=?⊥
.………4分
（Ⅱ）∵
1
(1,1,0),(0,0,2),
BD BB
=--=
(1,1,0).
AC=-
又∵
1
0,0
AC BD AC BB
?=?=
，
∴
11
AC BB D D
为平面的一个法向量.
设直线AP与平面
11
BDD B 所成的角为θ，
则()||
π
sin cos
2||||
AP AC
AP AC
θθ?
=-=
?
=m=
故当m=AP与平面
11
BDD B所成角为60o.………………8分
（Ⅲ）∵m=1，∴P(0,1,1)，∴
111
(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(1,1,1)
D A D P AB AP
==-==-
.
设平面PA1D1的法向量为
1111
(,,)
n x y z
=
，可求得
1
(0,1,1)
n=
，
设平面PAB的法向量为
2222
(,,)
n x y z
=
，可求得
2
(1,0,1)
n=
.
∴0
12
1212
12
1
cos,,60
2
||||
n n
n n n n
n n
?
==?=
?
，
故平面PA1D1与平面PAB所成角为600. ………………12分
19【解析】（Ⅰ）,m n的所有取值情况有：(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，即基本事件总数为10.
设“m ，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26).
所以
3
()
10
P A=，故事件A的概率为
3
10
. …………………5分
（Ⅱ）由数据，求得
1
(111312)12
3
x=++=，
1
(253026)27
3
y=++=，3972
xy=.
3
1
112513*********
i i
i
X Y
=
=?+?+?=
∑，32222
1
111312434
i
i
X
=
=++=
∑，23432
x=.
由公式，求得1
2
2
1
97797254344322
n
i i
i n
i
i x y n x y
b
x
nx ==-??-==
=
--∑∑ ， 5271232a y bx =-=-?=-．
所以y 关于x 的线性回归方程为5
?32
y
x =-． …………………………10分 （Ⅲ）当x =10时，5
?103222y =?-=，|22－23|＜2； 同样，当x =8时，5
?83172
y =?-=，|17－16|＜2． 所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的． ………………………12分
20【解析】（Ⅰ）设动圆圆心为M(x , y),半径为R ，则由题设条件，可知： |MO 1|=1+R ，|MO 2|=（
1）-R ， ∴|MO 1|+|MO 2
|=2 由椭圆定义知：M 在以O 1 ，O 2
为焦点的椭圆上，且a =
c =
2
2
2
321b a c =-=-=，故动圆圆心的轨迹方程为2
213
x y +=.…………………4分 (Ⅱ)设P 为MN 的中点，联立方程组22
330y kx m
x y =+??+-=?
， ?（3k 2+1）x 2+6mkx+3(m 2-1)=0.
?=-12m 2+36k 2+12＞0?m 2＜3k 2+1 …………………… (1) ………………6分
又22226331
,3131313M N P P P AP mk mk m m k x x x y kx m k k k k km --+++=?==+=?=+++-
由MN ⊥22311
2313m k AP m k km k
++?
=?=+-…………(2) ……………9分 22
(2)(2)(1)2021
22112032m m m m m k m ?
>?<?>?
?
把代入得:又由得: .故1(,2)2m ∈.…………12分 21【解析】(Ⅰ)∵f(x)的定义域为1
{|}2
x x >-，又∵()f x ￠=2ln(2x+1)+2, ∴(0)2k f 切线￠==，切点为O(0,0)，∴所求切线方程为y=2x. …………2分 (Ⅱ) 设()f x ￠=0，得ln(2x+1)=－1，得11
(1)2x e =
-； ()f x ￠>0，得ln(2x+1)>－1，得11
(1)2x e >-；
()f x ￠<0，得ln(2x+1)<－1，得111
(1)22x e
-<<-；
则11
111
()[(1)][(1)1]ln[(1)1]2f x f e e e e
极小值=-=-+?+=-.…………6分 (Ⅲ)令()(21)ln(21)2g x x x ax =++-， 则()g x ￠=2ln(2x+1)+2－2a=2[ln(2x+1)+1－a ].
令()g x ￠=0，得ln(2x+1)= a －1，得11
(1)2a x e -=-；
()g x ￠>0，得ln(2x+1)> a －1，得11(1)2a x e ->-；
()g x ￠<0，得ln(2x+1)< a －1，得111
(1)22
a x e --<<-；
（1）当a ≤1时，10a -≤，∵1
011
1110
(1)02
a a a e e e e ---??＾- ， ∴对所有0x ≥时，都有1
1(1)2
a x e -≥-，于是()g x ￠≥0恒成立， ∴g(x)在[0,+∞)上是增函数.
又g(0)=0,于是对所有0x ≥,都有g(x)≥ g(0)=0成立. 故当a ≤1时，对所有的0x ≥，都有()2f x ax ≥成立. （2）当a>1时，10a ->，∵10111110(1)02
a a a e e e e --->=?>?
>， ∴对所有1
10(1)2
a x e -≤<-，都有()g x ￠<0恒成立， ∴g(x)在1
1[0,
(1))2
a e --上是减函数. 又g(0)=0,于是对所有1
10(1)2
a x e -≤<-,都有g(x)≤ g (0)=0.
故当a >1时，只有对仅有的1
10(1)2
a x e -≤<-，都有()2f x ax <.
即当a >1时，不是对所有的0x ≥，都有()2f x ax ≥.
综合（1），（2）可知实数a 的取值范围(－∞,1].……………………12分 22【证明】 （Ⅰ）连接BC. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°. ∵AG ⊥FG ，∴∠AGE=90°. 又∠EAG=∠BAC ，∴∠ABC=∠AEG. 又∠FDC=∠ABC ，∴∠FDC=∠AEG. ∴∠FDC+∠CEF=180°. ∴C ，D ，F ，E 四点共圆. …………5分 （Ⅱ）∵GH 为⊙O 的切线，GCD 为割线， ∴GH 2=GC·GD.
由C ，D ，F ，E 四点共圆， 得∠GCE=∠AFE ，∠GEC=∠GDF.
A
B
C
D
E F
G
H
O
∴△GCE ∽△GFD.∴
GF GC =GD
GF
， 即GC·GD=GE·GF ， ∴CH 2=GE·GF. ………… 10分 23.【解析】(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为：260x y -+=， ∵曲线2C
的直角坐标方程为：22()12y
+=，
∴曲线2C
的参数方程为：()2sin x y θθθ
?=?
?
=??为参数.……………………5分
(Ⅱ) 设点P
的坐标,2sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：
0d ==
， ∴当sin(300－θ)=1
时，点P
，此时max d =
=分 24.【证明】(Ⅰ)∵332222()()()()x y x y xy x x y y y x +-+=-+-
222()()()()x y x y x y x y =--=-+，
又∵,x y R +∈，∴2()0,0x y x y -≥+>，∴2()()0x y x y -+≥， ∴3
3
2
2
x y x y xy +≥+.………………………5分
法二：∵222x y xy +≥，又∵,x y R +
∈，∴0x y +>，
∴2
2
()()2()x y x y xy x y ++≥+，展开得3
3
2
2
2
2
22x y x y xy x y xy +++≥+， 移项，整理得3
3
2
2
x y x y xy +≥+.………………………5分 (Ⅱ) ∵,,a b c R +∈，由(Ⅰ)知：
3322a b a b ab +≥+；3322b c b c bc +≥+；3322c a c a ca +≥+；
将上述三式相加得：3
3
3
2
2
2
2
2
2
2()()()()a b c a b ab b c bc c a ca ++≥+++++，
3333223223222222223()()()()()()()()()
a b c a a b ca b ab b c c bc c a a a b c b a b c c a b c a b c a b c ++≥++++++++=++++++++=+++++
∴3
3
3
2
221()()3
a b c a b c a b c ++≥++++.………………………10分