9.2反比例函数的图像与性质（1）
学习重点：能根据图象分析并掌握反比例函数的性质。 学习难点：数形结合的思想方法运用。
一．问题情境
你还记得一次函数的图象与性质吗?
一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是一条直线,称直线y=kx+b 当k>0时 当k<0时
y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小
反比例函数的图象又会是什么样子呢?你还记得作函数图象的一般步骤吗? 用图象法表示函数关系时,步骤：列表,描点,连线 二．操作
画出反比例函数y=
x
6
的图象． 分析提示：我们画函数的图象通常用什么方法？ 1． 列表：（填空）有选择的求y 与x 的若干对应值．这个函数自变量的取值范围是不等于
2．描点：（依据什么？）由这些有序实数对，可以在直角坐标系中描出相应的点
3．连线:用光滑曲线将各点依次连起来，就得到反比例函数的图象
观察：(1)反比例函数x
k
y
(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？ （2）联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x 的增加，函数y 将怎样变化？有什么规律？ 概括：
（1）我们发现反比例函数的图象是两支曲线，且这两支曲线关于 原点对称 ，这种图象通常称为双曲线。 （2）反比例函数y=
x
k
图象的两个分支位居的象限与k 的正负有关，当k >0时，函数的图象分布在第 一、三 象限；当k <0时，函数的图象分布在第 二、四 象限。
注 双曲线的两个分支与x 轴和y 轴没有交点；2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称． 说明： 由于反比例函数y=
x
6
的图象是两支双曲线，对于学生第一次接触有一定难度，因此可先让学生猜想图象的分布情况，图象与坐标轴的相交情况以及图象的形状和变化趋势并相互交流，使之对图象的特征有一些感性认识，然后再动手操作，对图象有进一步的认识．特别强调的是画双曲线时一定要用平滑的曲线，并且指出学生在画图时易犯的一些错误，如
思考：
1.你能说出反比例函数y=－x 6
的图象分布在哪些象限吗? 2.试一试：用画反比例函数y=x 6的图象的方法和步骤在平面直角坐标系中画出y=－x
6
的
图象；
3.比一比：反比例函数y=
x 6 与y=－x
6
的图象有什么相同点和不同点？ 4．观察：
（1）在列表中点（-6，1）与（6，-1）的横纵坐标各有什么特点？你还能找到有这种特点的两点吗？
（2）你能大胆猜测反比例函数图象的两支曲线有什么对称关系吗？ （3）对于反比例函数y = x 6，其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的？y 的
值随x 的变化将怎样变化？ （4）对于反比例函数y = —x
6
，其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的？y 的值随x 的变化将怎样变化？ 概括：反比例函数y=
x
k
有下列性质： （1）当k >0时，函数的图象在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y 的值随x 的增加而 ；
（2）当k <0时，函数的图象在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y 的值随x 的增加而 。 三．例题解析：
例1、下面给出了反比例函数x 2y =，x 2y -=你知道哪个是x
2
y -=的图像吗？为什么？
例题2、如果P （a ，b ）在x
k
y =
的图象上，则在此图象上的点还有 （ ） A.（-a ，b ）; B ．（a ，-b ）; C.（-a ，-b ）; D ．（0，0） 四．随堂演练
1．已知y 与2x —1成反比例,且当x=1时,y=2,那么当x=0时,y=________. 2. 若函数2
2)(--=m x
a m y y 是反比例函数,则m 的值等于( )
A.±1 B
D.-1 3．一次函数12-=x y 与反比例函数x
y 4
=
的图象交点的（ ） （A ） 0个（B ）1个（C ）2个（D ）无数个 4．已知P 为函数x
y 2
=
图像上一点，且P 到原点的距离为2，则符合条件的点P 数为 ( ) A.0个 B.2个 C.4个 D.无数个
5．已知x,y 满足xy=-4,用x 的代数式表示y,并画出函数图象.
6．反比例函数k y x
=
的图象经过点（-2，4）
，求它的解析式，并画出函数图象，图象分布
在哪几个象限？与坐标轴的交点是什么？
7．已知三角形的面积为24c 2
m ,任一边a(cm)与这边上的高h(cm)之间的函数关系式, 并写出自变量的取值范围,画出图象.
五．课外链接
有一游泳池装水12立方米，如果从水管中每小时流出x 立方米的话，则经过y 小时可以把水放完。写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，画出函数图象。
易错辨析：自变量的范围是x>0，注意x 的范围不是0六．小结：
反比例函数的图象:
().
0,,,的反比例函数是的形式那么称为常数之间的关系可以表示成
如果两个变量一般地x y k k x
k
y y x ≠= 形状:反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线; 位置:当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;
⏹ 反比例函数的图象和性质
⏹ 形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲
线;
⏹ 位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位
于第二,四象限内;
⏹ 任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.
