最新26.1.2反比例函数图像和性质2教案

26．1．2反比例函数的图象和性质（2）

【学习目标】

1、能用反比例函数的定义和性质解决相关的数学问题。

2、经历探索反比例函数与方程、不等式之间关系的过程，体会它们之间的内在的辩证关系。

3、进一步认识数形结合的思想和待定系数法。

【学习重点】理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题

【学习难点】体会反比例函数与方程、不等式之间关系，认识数形结合的思想方法

，过点A作AC垂直于

的图像都过点A（m,1），求此正比例函y =

高考数学专题17 三次函数的图像与性质(原卷版)

专题17 三次函数的图像与性质 一、例题选讲 题型一 运用三次函数的图像研究零点问题 遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的. 例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-，求()y g x =的单调增区间． 例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．

函数的基本性质教案1第1课时

课题：§1.3.1函数的单调性及最大、小值 ⑴通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义； ⑵学会运用函数图象理解和研究函数的性质； ⑶够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性． ⑷理解函数的最大（小）值及其几何意义； ⑸学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 函数的单调性及其几何意义．函数的最大（小）值及其几何意义． 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．利用函数的单调性求函数的 最大（小）值． ⑴观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？②能否看出函数的最大（小）值？③函数图象是否具有某种对称性？ ⑵画出下列函数的图象，观察其变化规律： ①f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ②f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． ③f(x) = x 2 ○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ⑴设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f < 成立，则称)(x f 在区间D 上是增函数．．． ，如图⑴ ⑵设函数)(x f y =的定义域是Ｉ，区间I D ?，D x x ∈21,，当21x x <时，都有 )()(21x f x f >成立，则称)(x f 在区间D 上是减函数．．． ，如图⑵ ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意．．两个自变量x 1，x 2；当x 1

三次函数性质总结

三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 其中运用的较多的一次函数不等式性质是： 在上恒成立的充要条件 接着，我们同样学习了二次函数， 利用已学知识归纳得出：当时(如图1) ，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴 上取得最小值； 当时(图2) ，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴 上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义 定义1 形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义 2 三次函数的导数 ，把叫做三次函数导函数的判 别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 系列探究1： 从最简单的三次函数开始 反思1 ：三次函数的相关性质呢？ 反思2 ：三次函数的相关性质呢？ x y O

反思3 ：三次函数的相关性质呢？ 例题 1.（2012天津理4） 函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 探究一般三次函数的性质： 先求导 1、单调性： （1 ）若，此时函数() f x在R上是增函数； （2 ）若 ，令两根为 12 ,x x 且， 则 在 上单调递增，在上单调递减。 导函数 图 象 极值点 个数 2 0 2 0 2、零点 (1) 若0 3 2≤ -ac b，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明: (1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值 同号. x x1x 2 x0x x1x2 x x0 x

人教版_数学_必修1函数的基本性质_教案

一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数24x y -=的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ． （2）5 412 +-= x x y 的单调递增区间为 ． 3、函数单调性应注意的问题： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A ,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上 是增（或减）函数 4．例题分析

【完整升级版】九年级数学上册第一章反比例函数 教案

(此文档为word 格式，下载后您可任意编辑修改！) 教学内容：1.1反比例函数 教学目标： 1. 理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数. 2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式. 3. 能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体 会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点. 教学重点：反比例函数的概念 教学难点：例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。 教学方法：类比 启发 教学辅助：多媒体 投影片 教学过程： 一、 创设情景 探究问题 汽车从南京出发开往上海（全程约300km ），全程所用时间t （）求这个函数的解析式和n 的值。 （3）y 与x+1成反比例，当x ＝2时，y ＝－1，求函数解析式和自变量x 的取值范围。 (4) 已知y 与x-2成反比例，并且当x ＝3时，y ＝2．求x ＝1.5时y 的值． （5）如果是的反比例函数，是的反比例函数，那么是的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 三、练习：P21 1——4 四、小结 五、布置作业：另见练习卷 板书设计： 例1 例2 例2 解： 解： 解 练习 练习 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ 情境1： 当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s ＝vt ） 当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系? ［备注］ 这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy ＝m （m 为一个定值），则x 与y 成反比例。 这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。 情境2：

函数的性质专题教案

函数专题（二） 函数的性质 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有 ，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增 区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说 在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为 的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2 ()1 f x x = -在区间（1，+∞）上的单调性. 【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤)(0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥)(0x f )(x f y =

考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y = 2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，且其图像关于x=1对称，那么 f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围. 考点3 函数的最值 【例】求函数253 32,[,]22 y x x x =--∈-的最大值和最小值：

高三数学三次函数图象和性质与四次函数问题

三次函数与四次函数 大连市红旗高中王金泽 wjz9589＠https://www.doczj.com/doc/5c2166507.html, 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用 第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况 三次函数图象说明 a对图象 的影响 可以根据极限的思想去分析 当a＞0时，在x→+∞右向上 伸展，x→-∞左向下伸展。 当a＜0时，在x→+∞右向下 伸展，x→-∞左向上伸展。 (可以联系二次函数a对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 与x轴有三 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 < ?x f x f，既两个极 值异号；图象与x轴有三个交点 与x轴有二 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 = ?x f x f，既有一 个极值为0，图象与x轴有两个 交点 与x轴有一 个交点 1。存在极值时即0 3 2> -ac b, 且0 ) ( ) ( 2 1 > ?x f x f，既两个 极值同号，图象与x轴有一个交点。 2。不存在极值，函数是单调函数 时图象也与x轴有一个交点。

1.()0f x =根的个数 三次函数d cx bx ax x f +++=23)( 导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032 ≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根； (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>?x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21-ac b ，且0)()(21>?x f x f ）. (3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以 032>-ac b ，且0)()(21=?x f x f . (4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032 >-ac b 且0)()(21++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中 a ac b b x a a c b b x 33,332221-+-= ---=. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(41242 2ac b ac b -=-， (1) 当0≤? 即032 ≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数.

函数的基本性质(教案)

[课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22）计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 【教材与学情分析】 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 [教学目标]：

[教学重难点]： 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性 的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 [课的类型、教具、教法、教时]： 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： ○ 1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ 2． 画出下列函数的图象，观察其变化规律： 1．f(x) = x ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○ 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增

反比例函数的图像与性质教学设计

【教学目标】 知识技能目标：会用描点法画出反比例函数的图像．能结合函数图象进行探索、理解并掌握反比例函数的性质。 过程方法目标：经历画图、观察、猜想、思考等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法，运用类比的方法让学生初步认识具体的反比例函数 图象的特征． 情感态度目标：让学生体会事物是有规律地变化着的观点． 【教学重点】 反比例函数的图象的形状特征。 【教学难点】 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。． 【教学方法与教学手段】 类比法、动手操作、组内交流、合作、讨论。 【教学过程】 一、回顾旧知，引入新课 1、问题：长方形的一边长为4，面积y和另一边长x之间有什么关系？ 2、此函数的图象是什么样子的？如何画出它的图象呢？ 3、正比例函数的性质填写下表： 4、正比例函数的图像和性质是怎么得到的？是如何研究的？（经过哪几个步骤） 二、递进设疑，导入新课 问题：如果长方形的面积为4，一边长x和另一边长y之间又有什么关系呢？ 1、反比例函数的表达式 ___________________________ 2、解析式中自变量x的取值能为0吗？为什么______________________、 3、画函数图象的方法是什么？

4、函数做图的步骤是___________、_______________、____________。 【设计意图】利用学生已有的知识，激发学生的求知欲 三、探索活动 1，画出反比例函数x y 6=与x y 6-=的图像 教学活动1：（1）引导学生运用画正比例函数图象的方法，分小组讨论尝试，采用列表、描点、连线的方法画出函数x y 6=与x y 6-=的图象。（利用类比的方法，消除学生对函数的惧怕心理） （2） 老师边巡视，边指导，和学生一起找出错误的地方，分析原因。 （3） 老师在黑板上演示画反比例函数图象的步骤，展示正确的函数图象。 2，组内交流讨论画反比例函数图象容易出错的地方有哪些？（生评说总结，师补充） （1） 列表时x 不能为0，但有的学生会取0，取点不恰当，导致函数图象 的不完整，不对称，为了便于计算和描点，应左右均匀，对称取值， 且常取一些整数值。 （2） 连线时点与点之间可能会有端点，连成折线，而应从左向右用光滑的 线条连接，应选取较多的自变量x 的值和对应的函数值y 。 （3） 图象与x 轴y 轴不能相交，因为自变量x 不能为0. 教学活动2：引导学生采用多种方式进行自主探索活动，并合作交流 (1)可以用画反比例函数x y 6=的图象的方式与步骤进行自主探索其图象； (2)可以通过探索函数x y 6=与x y 6-=之间的关系，画出x y 6-=的图象． （3）若把函数x y 6=图象绕原点旋转180°，结果你发现了什么现象？ （4）反比例函数x k y =(k ≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？ 教学活动3：思考：函数x y 6= 和x y 6-= 的图像有什么相同点和不同点？ 归纳 反比例函数y=6x 和y=-6x 的图象的共同特征： 反比例函数y=6x 和y=-6x 的图象的位置特点和性质： （1）反比例函数y=6x 图像分别位于_________象限；反比例函数y=-6x 的图象分别位于_________象限

指数函数的性质的应用教案

2.1.2指数函数的性质的应用 【教学目标】 （1）能熟练说出指数函数的性质。 （2）能画出指数型函数的图像，并会求复合函数的性质。 （3）在学习的过程中体会研究指数函数性质的应用，养成良好的思维习惯。 【教学重难点】 教学重点：指数函数的性质的应用。 ； 教学难点：指数函数的性质的应用。 【教学过程】 ㈠情景导入、展示目标 1.指数函数的定义，特点是什么 2．请两位同学画出指数函数的图象（分两种情况画a>1与0 (≠ ２．函数)1 a =a y a x． (≠ ,0 > ; 当ａ＞１时，若ｘ＞０时，ｙ１， 若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１； 当０＜ａ＜１时，若ｘ＞０时，ｙ１，

若ｘ＜０时，ｙ １；若ｘ＝１时，ｙ １． ３．函数)1,0(≠>=a a y a x 是 函数（就奇偶性填）． ㈢合作探究、精讲精练 探究点一：平移指数函数的图像 ) 例１：画出函数21+=x y 的图像，并根据图像指出它的单调区 间． 解析：由函数的解析式可得： 21+=x y ＝??????? -≥-<++) 1(,) 1(,2)2 1(11 x x x x 其图像分成两部分，一部分是将)211 1(+=x y （ｘ＜－１）的图 像作出，而它的图像可以看作)2 1(x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的，另一部分是将)1(21 2 ≥=+x x y 的图像作出，而 它的图像可以看作将2x y =的图像沿ｘ轴的负方向平移一个单位而得到的． 解：图像由老师们自己画出 单调递减区间［－∞，－１］，单调递增区间［－１，＋∞］． 点评：此类函数需要先去绝对值再根据平移变换画图，单调性由图像易知。

二次函数的图像和性质第二课时教案

22.1 二次函数（第二课时） 教学目标： 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点：抛物线的图像特征。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： (2)描点(3)连线 x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9 … 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示） 让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称 轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______

北京四中高考数学总复习 函数的基本性质(提高)知识梳理教案

【考纲要求】 1. 了解函数的定义域、值域，并能简单求解． 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 【知识网络】 【考点梳理】 1．单调性 （1）一般地，设函数()f x 的定义域为I 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，若都有12()()f x f x <，那么就说函数在区间D 上单调递增，若都有12()()f x f x >，那么就说函数在区间D 上单调递减。 （2）如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有严格的单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间。 （3）判断证明函数单调性的一般方法：单调四法，导数定义复合图像 定义法： 用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设D x x ∈21,，且12x x <；②作差 )()(21x f x f -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断)()(21x f x f -的 正负符号；⑤根据定义下结论。 复合函数分析法 设()y f u =，()u g x =[,]x a b ∈，[,]u m n ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在[,]a b 上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表： 函数的基本性质 奇 偶 性 单 调 性 周 期 性

()u g x = ()y f u = [()]y f g x = 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 导数证明法： 设()f x 在某个区间(,)a b 内有导数'()f x ，若()f x 在区间(,)a b 内，总有'()0('()0)f x f x ><，则()f x 在区间(,)a b 上为增函数（减函数）；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数（减函数） ，则'()0('()0)f x f x ≥≤。 图像法： 一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。 2、奇偶性 (1)定义: 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数. 理解： (Ⅰ)上述定义要求一对实数x,-x 必须同时都在f(x)的定义域内,注意到实数x,-x 在x 轴上的对应点关于原点对称(或与原点重合),故知f(x)的定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要条件. (Ⅱ)判断函数奇偶性的步骤: ①考察函数定义域; ②考察f(-x)与f(x)的关系; ③根据定义作出判断. (Ⅲ)定义中条件的等价转化 ①f(-x)=-f(x)?f(x)+f(-x)=0;或f(-x)=-f(x) ? ) () (x f x f -=-1 (f(x)≠0) ②f(-x)= f(x) ?f(x)-f(-x)=0;或f(-x)=f(x) ? ) () (x f x f -=1 (f(x)≠0)

高中数学第二章 反函数性质的应用 教案(北师大版必修1)

反函数性质的应用 只有定义域和值域一一对应的函数才有反函数，反函数是由原函数派生出来的，它的定义域、对应法则、值域完全由原函数决定。因此利用这一关系可以将原函数的问题与反函数的问题相互转化，使问题容易解决。现在看一下反函数性质的应用。 ⒈利用反函数的定义求函数的值域 例1：求函数y= 1 21 x x - +的值域。 分析：这种函数可以利用分离常数法或反函数法求值域，下面利用反函数法来求解。解：由 y= 1 21 x x - +得y(2x+1)=x-1 ∴(2y-1)x=-y-1 ∴x= 1 21 y y -- - ∵x是自变量，是存在的， ∴2y-1≠0，∴y≠1 2。 故函数y= 1 21 x x - +的值域为：{y│y≠ 1 2}。 点评：形如y=ax b cx d + +的函数都可以用反函数法求它的值域。 ⒉原函数与反函数定义域、值域互换的应用 例2：已知f(x)=4x-21x+，求f1-(0)。 分析：要求f1-(0)，只需求f(x)=0时自变量x的值。 解：令f(x)=0，得4x-21x+=0，∴2x（2x-2）=0， ∴2x=2或2x=0（舍）， ∴x=1。 故f1-(0)=1。 点评：反函数的函数值都可以转化为求与之对应的原函数的自变量之值，反之也成立。 ⒊原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的应用

例3：求函数y= 2 1 x x+（x∈(-1，+∞)）的图像与其反函数图像的交点。 分析：可以先求反函数，再联立方程组求解；也可以利用原函数与反函数的图像关于直线y=x 对称求解，这里用后一种方法求解。只要原函数与反函数不是同一函数，它们的交点就在直线y=x上。 解：由 2 1 x y x y x ? = ? + ? ?= ?得 x y = ? ? = ?或 1 1 x y = ? ? = ? ∴原函数和反函数图像的交点为（0，0）和（1，1）。 点评：利用利用原函数与反函数的图像关于直线y=x对称的性质，可以简化运算，提高准确率。但要注意原函数与反函数不能是同一函数，它们的交点才在直线y=x上。 ⒋原函数与反函数的单调性相同的应用 例4：已知f(x)=2x+1的反函数为f1-(x)，求f1-(x)<0的解集。 分析：因为f(x)=2x+1在R上为增函数，所以f1-(x)在R上也为增函数。又因为原函数与反函数定义域、值域互换，所以f1-(x)中的x的范围就是f(x)的范围。 解：由f(x)=2x+1>1得f1-(x)中的x>1。 又∵f1-(x)<0且f(x)=2x+1在R上为增函数， ∴f 1() f x - ?? ??

《反比例函数的图像和性质》教案

《反比例函数的图象和性质》教学设计教学目标 1．知识与技能 会画反比例函数的图象，并知道该图象与正比例函数、一次函数图象的区别，能从反比例函数的图象上分析出简单的性质．能用反比例函数的定义和性质解决实际问题．2．过程与方法 通过画图象，进一步培养“描点法”画图的能力和方法，并提高对函数图象的分析能力．同时尝试用类比和特殊到一般的思路方法，归纳反比例函数一些性质特征．3．情感、态度与价值观 由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学习兴趣． 教学重点难点 重点：反比例函数图象的画法及探究，反比例函数的性质的运用． 难点：反比例函数图象是平滑双曲线的理解及对图象特征的分析． (一)创设情境，导入新课 问题：1．若y=是反比例函数，则n必须满足条件 n≠或n≠-1 ． 2．用描点法画图象的步骤简单地说是列表、描点、连线． 3．试用描点法画出下列函数的图象：（1）y=2x；（2）y=1-2x． (二)合作交流，解读探究 问题：我们已知道，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，?那么反比例函数(k 为常数且k≠0)的图象是什么样呢？ 尝试用描点法来画出反比例函数的图象． 画出反比例函数y=和y=-的图象． 解：列表 描点，以表中各对应值为坐标，在直角坐标系中描出各点．

连线，用平滑的曲线把所描的点依次连接起来． 探究反比例函数y=和y= ?的图象有什么共同特征？它们之间有什么关系？ 做一做把y=和y= ?的图象放到同一坐标系中，观察一下，看它们是否对称．归纳反比例函数y=和y= ?的图象的共同特征： （1）它们都由两条曲线组成． （2）随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近坐标轴（x轴、y轴）． （3）反比例函数的图象属于双曲线（hyperbola）． 此外，y=的图象和y= ?的图象关于x轴对称，也关于y轴对称． 做一做在平面直角坐标系中画出反比例函数y=和y= ?的图象． 交流两个函数图象都用描点法画出？ 【分析】由y=和y= ?的图象及y=和y= ?的图象知道， （1）它们有什么共同特征和不同点？ （2）每个函数的图象分别位于哪几个象限？ （3）在每一个象限内，y随x的变化而如何变化？ 猜想反比例函数（k≠0）的图象在哪些象限由什么因素决定？在每一个象限内，y 随x的变化情况如何？它可能与坐标轴相交吗？ 【归纳】（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线． （2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，y?值随x值的增大而减小．

二次函数的图像和性质知识点与练习

第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2 ，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象， 能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： x y O

2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 方法二：

人教版 数学 必修1函数的基本性质 教案

课程标题 函数的基本性质 学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应 用函数的基本性质解决一些问题。 （2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． （3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点 （1）判断或证明函数的单调性； （2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 学习过程 一、 函数的单调性 1．单调函数的定义 （1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。 （2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。 （3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。 2、单调性的判定方法 （1）定义法： 判断下列函数的单调区间：2 1x y = （2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断： 设)(x f y =，)(x g u =，],[b a x ∈，],[n m u ∈都是单调函数，则[()]y f g x =在] ,[b a 上也是单调函数。 ①若)(x f y =是[,]m n 上的增函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相同。 ②若)(x f y =是[,]m n 上的减函数，则[()]y f g x =与定义在],[b a 上的函数)(x g u =的单调性相 同。 即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的 单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数2 4x y -= 的单调递减区间是 ，单调递增区间 为 ．

函数的性质的应用教学设计

§1.3函数的基本性质的应用 教学设计 一、课标分析 1．本内容是在高中数学人教社A版必修1讲完1.2．1函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课。这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。另一方面，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。 2．本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。 3．通过函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。 4．通过对函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学上的基础性支撑。 5．渗透转化等数学思想方法。从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。 二、教材分析 函数的性质与应用位于高一数学教材必修1，且贯穿于整个高中学习。在高考中，函数的性质是命题的主线索，并且考察的类型较多，涉及到函数的单调性、单调区间、奇偶性、周期性、最值、图象，函数与导数、不等式的联系等，在选择、填空和解答题中都有体现。其中函数的单调性、奇偶性和周期性更是重中之重。而学生对函数各性质的掌握和应用能力还不够。

高一数学教案：函数的基本性质

教学要求：理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念，掌握增（减）函数的证明和判别, 学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 教学重点：掌握运用定义或图象进行函数的单调性的证明和判别。 教学难点：理解概念。 教学过程： 一、复习准备： 1.引言：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，那么能否发现变化中保持不变的特征呢？ 2. 观察下列各个函数的图象，并探讨下列变化规律： ①随x 的增大，y 的值有什么变化？ ②能否看出函数的最大、最小值？ ③函数图象是否具有某种对称性？ 3. 画出函数f(x)= x ＋2、f(x)= x 2的图像。（小结描点 法的步骤：列表→描点→连线） 二、讲授新课： 1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念： ①根据f(x)＝3x ＋2、 f(x)＝x 2 (x>0)的图象进行讨论： 随x 的增大，函数值怎样变化？ 当x 1>x 2时，f(x 1)与f(x 2)的大小关系怎样？ ②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？ ③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1