卓越个性化教案GFJW0901
03-抛物线
【知识点】
一、抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：
轴轴
1.焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则
(1)x0+，(2)，－p2
(3) 弦长,，即当x1=x2时,通径最短为2p
(4) 若AB的倾斜角为θ，则=
（5）+=
2. 通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦。过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.
3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.
4、弦长公式：
1.直线与抛物线的位置关系
直线，抛物线，
，消y得：
（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；
（2）当k≠0时，
Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；
Δ=0，直线与抛物线相切，一个切点；
Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）
2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线：抛物线，
①联立方程法：
设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出
，
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如
a.相交弦AB的弦长
或
b. 中点, ，
②点差法：
设交点坐标为，，代入抛物线方程，得
将两式相减，可得
a.在涉及斜率问题时，
b.在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，
，
即，
同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是
弦的中点，则有
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
【典型例题】
考点1 抛物线的定义
题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换
[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为
[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3
1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，则有（）
A． B．
C． D.
［解析］C 由抛物线定义，即：．
2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是( )
[解析] 设M到准线的距离为,则，当最小时，
M点坐标是，选C
考点2 抛物线的标准方程
题型:求抛物线的标准方程
[例2 ]求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上
[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,
∵过点(-3,2) ∴
∴
∴抛物线方程为或,
前者的准线方程是后者的准线方程为
(2)令得，令得，
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,
∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时
∴，此时抛物线方程.
∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是. 3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值
[解析]
4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；
②焦点在x轴上；
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；
④抛物线的通径的长为5；
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.
2
5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程
[解析] 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的
横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或
考点3 抛物线的几何性质
题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证
[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.
［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为
解出B点坐标为，直线AB方程为,
令得，直线AB必过的定点
补充：
抛物线的几个常见结论及其应用
结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，
则：，。
证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：
，
由得:∴，
。
当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上
例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。
证明：设，，由抛物线的定义知：，，又
+=，所以+=-p，且由结论一知：。
则： =
结论二：（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
证明：（1）设，，设直线AB:
由得:,∴，，
∴
。
易验证，结论对斜率不存在时也成立。
（2）由（1）：AB为通径时，，的值最大，最小。
例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。
解：由结论二，12=（其中α为直线AB的倾斜角），
则，所以直线AB倾斜角为或。
结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。
证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，
垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。
由抛物线定义：，，
∴，
∴以AB为直径为圆与准线l相切
（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，
∵，AM∥O F，∴∠AM F=∠A F M，∠AM F=∠M FO，
∴∠A F M=∠M FO。同理，∠BFN=∠NFO，
∴∠M FN=（∠A F M+∠M FO+∠BFN+∠NFO）=90°，
∴，
∴∠PF M=∠F M P
∴∠A FP=∠A F M+∠PF M=∠F MA+∠F M P=∠P MA=90°，∴F P⊥AB
∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。
结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。
证明：设直线AB方程为:，由得，△>0，，
∵AO ⊥BO ，∴
⊥
∴
将
，
代入得，
。∴直线AB 恒过定点（0，1）。
∴当且仅当k=0时，
取最小值1。
结论五：对于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐
标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点
的动弦的斜率． 例 直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，
和
垂直，且线段
长为
，求
的值．
解析：设点分别为，则，．
的坐标分别为．
．
．
【课堂练习】
A 抛物线
1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )
A ．(2,0)
B ．(－2,0)
C ．(4,0)
D ．(－4,0)
2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A ．y 2＝±4x
B ．y 2＝±8x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1
和直线l 2的距离之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.511 D.1637
4．点A ，B 在抛物线x 2＝2py (p >0)上，若A ，B 的中点是(x 0，y 0)，当直线AB 的斜率存在时，其斜率为( )
2p p p x0
6．[2010·山东卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2 7．[2010·陕西卷] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，则p 的值为( )
A.21
B ．1
C ．2
D ．4
8．[2010·辽宁卷] 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－，那么|PF |＝( )
A ．4
B ．8
C ．8
D ．16 9．[2011·东北三校模拟] 已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为________． 10．[2010·浙江卷] 设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．
11．给定抛物线C ：y 2＝4x ，过点A (－1,0)，斜率为k 的直线与C 相交于M ，N 两点，若线段MN 的中点在直线x ＝3上，则k ＝________.
12．(13分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)． (1)若点F 到直线l 的距离为，求直线l 的斜率；
(2)设A ，B 为抛物线上两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰好过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．
13．(12分)[2011·西城一模] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限．
(1)求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；
(2)若→FA ＝λ1→AP ，→BF ＝λ2→FA ，λ2λ1∈21
，求λ2的取值范围．
B 抛物线
1．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P (x ，y )的轨迹方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．x 2＝8y
D ．x 2＝－8y
2．抛物线x 2＝(2a －1)y 的准线方程是y ＝1，则实数a ＝( )
A.25
B.23 C ．－21 D ．－23
3．已知抛物线y 2＝4x ，若过焦点F 且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A ，B 两点，O 是坐标原点，则△OAB 的面积是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
4．对于抛物线y 2＝4x 上任意一点Q ，点P (a,0)都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，2] C ．[0,2] D ．(0,2)
5．已知A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，O 是原点，若|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是抛物线的焦点，则直线AB 的方程是( )
A ．x ＝p
B ．x ＝3p
C ．x ＝23p
D ．x ＝25
p
6．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)均在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )
A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|
D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3| 7．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.217 B ．3 C. D.29
8．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝|AF |，则△AFK 的面积为( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
9．已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．
10．[2010·全国卷Ⅱ] 已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若→AM ＝→MB
，则p ＝________.
11．[2010·重庆卷] 已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足→AF ＝3→FB
，则弦AB 的中点P 到准线的距离为________．
12．(13分)[2012·珠海模拟] 在平面直角坐标系xOy 中，设点F ，01，直线l ：x ＝－21，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l . (1)求动点Q 的轨迹方程C ；
(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．
13．(12分)[2010·湖北卷] 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.
(1)求曲线C 的方程；
(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有→FA ·→FB
<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
A
1．B [解析] 由y 2＝－8x ，易知焦点坐标是(－2,0)．
2．B [解析] 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为，0a ，则直线l 的方程为y ＝24a
，它与y 轴的交点为A 2a ，所以△OAF 的面积为214a ·2a
＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x . 3．A [解析] 设动点p 到直线l 2的距离之和为d ，直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，P 到l 2的距离等于P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，即d min ＝5|4－0＋6|＝2.
4．D [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 12＝2py 1，x 22
＝2py 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1
－x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝x1－x2y1－y2＝2p x1＋x2＝p x0
.
5．D [解析] 因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心．又知该圆过原点，所以圆的半径为r ＝1，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2－2x ＋y 2＝0.
p p
将其代入y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0， 所以2y1＋y2
＝p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x ， 准线方程为x ＝－1.
7．C [解析] 方法1：∵抛物线的准线方程为x ＝－2p
，圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝16. ∴3－2p
＝4，∴p ＝2.
方法2：作图可知，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切于点(－1,0)，所以－2p
＝－1，解得p ＝2.
8．B [解析] 设准线l 与x 轴交于点B ，连接AF 、PF ，则|BF |＝p ＝4，∵直线AF 的斜率为－，∴∠AFB ＝60°.在Rt △ABF 中，|AF |＝cos60°4
＝8.又根据抛物线的定义，得|PA |＝|PF |，PA ∥BF ，∴∠PAF ＝60°，∴△PAF 为等边三角形，故|PF |＝|AF |＝8.
9．－41 [解析] 抛物线方程为x 2
＝a 1y ，故其准线方程是y ＝－4a 1＝1，解得a ＝－41. 10.42 [解析] 设抛物线的焦点F ，0p ，由B 为线段FA 的中点，所以B ，1p
，代入抛物线方程得p ＝，则B 到该抛物线准线的距离为4p ＋2p ＝43p ＝42
.
11．±22 [解析] 过点A (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)，与抛物线方程联立后消掉y 得k 2x 2
＋(2k 2
－4)x ＋k 2
＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，有x 1＋x 1＝k24－2k2
，x 1x 2＝1.
因为线段MN 的中点在直线x ＝3上，所以x 1＋x 2＝6，即k24－2k2＝6，解得k ＝±22
. 而此时k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0的判别式大于零，所以k ＝±22.
12．[解答] (1)由已知，x ＝4不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －4)．由已知，抛物线C 的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为，所以1＋k2|3k|
＝，
解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22
.
(2)证明：设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线MN 的斜率为x0－4y0，因为AB 不垂直于x 轴，所以直线AB 的斜率为y04－x0，
直线AB 的方程为y －y 0＝y04－x0
(x －x 0)， 联立方程y2＝4x ，(x －x0，
消去x ，得4x0y 2－y 0y ＋y 02
＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4－x04y0
，
y1＋y22y0
13．[解答] (1)证明：由已知F ，0p
，设A (x 1，y 1)， 则y 12
＝2px 1，
圆心坐标为2y1，圆心到y 轴的距离为42x1＋p
， 圆的半径为2|FA|＝2132p ＝42x1＋p
，
所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切． (2)解法一：设P (0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由→FA ＝λ1→AP ，→BF ＝λ2→FA
，得 ，y1p
＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， －x2，－y2p ＝λ2，y1p ，
所以x 1－2p
＝－λ1x 1，y 1＝λ1(y 0－y 1)， 2p －x 2＝λ22p
，y 2＝－λ2y 1， 由y 2＝－λ2y 1，得y 22＝λ22y 12
. 又y 12＝2px 1，y 22
＝2px 2， 所以x 2＝λ22
x 1.
代入2p －x 2＝λ22p ，得2p －λ22x 1＝λ22p ，2p
(1＋λ2)＝x 1λ2(1＋λ2)， 整理得x 1＝2λ2p
，
代入x 1－2p ＝－λ1x 1，得2λ2p －2p ＝－2λ2λ1p
， 所以λ21＝1－λ2λ1，
因为λ2λ1∈21，所以λ2的取值范围是，24.
解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB ：x ＝my ＋2p
， 将x ＝my ＋2p
代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0， 所以y 1y 2＝－p 2(*)． 由→FA ＝λ1→AP ，→BF ＝λ2→FA
，得 ，y1p
＝λ1(－x 1，y 0－y 1)， p p
2p －x 2＝λ22p
，y 2＝－λ2y 1，
将y 2＝－λ2y 1代入(*)式，得y 12＝λ2p2
， 所以2px 1＝λ2p2，x 1＝2λ2p
.
代入x 1－2p ＝－λ1x 1，得λ21＝1－λ2λ1
， 因为λ2λ1∈21，所以λ2的取值范围是，24.
B
1．C [解析] 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)的距离与到直线y ＋2＝0即y ＝－2的距离相等，轨迹为抛物线，其中p ＝4，故所求的抛物线方程为x 2＝8y .
2．D [解析] 根据分析把抛物线方程化为x 2＝－2－a 1y ，则焦参数p ＝21
－a ，故抛物线的准线方程是y ＝2p ＝2－a ，则2－a ＝1，解得a ＝－23
.
3．B [解析] 焦点坐标是(1,0)，A (1,2)，B (1，－2)，|AB |＝4，故△OAB 的面积S ＝21
|AB ||OF |＝21
3431＝2.
4．B [解析] 设点Q 的坐标为0，由|PQ |≥|a |，得y 02＋02≥a 2
，整理，得y 02(y 02＋16－8a )≥0，∵y 02≥0，∴y 02
＋16－8a ≥0，即a ≤2＋0恒成立．而2＋0的最小值为2，所以a ≤2.
5．D [解析] A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由于焦点F 2p
，0是抛物线的垂心，所以OA ⊥BF .由此得x0y032p ＝－1，把y 02＝2px 0代入得x 0＝25p ，故直线AB 的方程是x ＝25
p .
6．C [解析] 由抛物线定义，22p ＝2p ＋2p
，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.
7．A [解析] 依题设P 在抛物线准线的投影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ，01
.依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为|PP ′|＝|PF |，则点P 到点A (0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d ＝|PF |＋|PA |≥|AF |＝2＋221＝217
.
8．B [解析] ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，∴K (－2,0)， 设A (x 0，y 0)，过A 点向准线作垂线AB ，则B (－2，y 0)，∵|AK |＝|AF |，又AF ＝AB ＝x 0
－(－2)＝x 0＋2，
∴由BK 2＝AK 2－AB 2得y 02
＝(x 0＋2)2，即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，∴A (2，±4)，∴△AFK 的面积为21|KF |·|y 0|＝213434＝8.
9．y 2＝4x [解析] 设抛物线方程为y 2＝kx ，与y ＝x 联立方程组，消去y ，得：x 2－kx ＝0，x 1＋x 2＝k ＝232＝4，故y 2＝4x .
10．2 [解析] 过B 作BE 垂直于准线l 于E ，∵→AM ＝→MB ，∴M 为AB 中点，∴|BM |＝21
|AB |.又斜率为，∠BAE ＝30°，∴|BE |＝21|AB |，∴|BM |＝|BE |，
∴M 为抛物线的焦点，∴p ＝2.
11.38
[解析] 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AF |＝x A ＋1，|BF |＝x B ＋1，∴x A ＋1＝3(x B ＋1)．① 由几何关系，x A －1＝3(1－x B )．②
联立①②，得x A ＝3，x B ＝31，∴所求距离d ＝2xA ＋xB ＋1＝38.
12．[解答] (1)依题意知，
点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离．
点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ |＝|QF |.
故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为：y 2＝2x (x >0)． (2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝02， 则|TS |＝2＝2－2x0＋12
，
因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝0， 所以|TS |＝2＋12
＝2，是定值．
13．[解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足－x ＝1(x >0)． 化简得y 2＝4x (x >0)．
(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由y2＝4x ，x ＝ty ＋m ，
得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )>0， 于是y1y2＝－4m.y1＋y2＝4t ，①
又→FA ＝(x 1－1，y 1)，→FB
＝(x 2－1，y 2)，
→FA ·→FB <0?(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0.② 又x ＝4y2
，于是不等式②等价于1·2＋y 1y 2－2＋1<0， ?16(y1y22＋y 1y 2－41
[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0.③
由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2.④
对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即
由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)，且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有→FA ·→FB <0，且m 的取值范围是(3－2，3＋2)． 【作业】
一、 选择题： 本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．顶点在原点，焦点是F (0,5)的抛物线方程是( )
A ．y 2＝20x
B ．x 2＝20y
C ．y 2＝201x
D ．x 2
＝201y 2．抛物线y ＝－x 2
的焦点坐标为( )
A.41
B.41
C.，01
D.，01
3．抛物线y ＝ax 2
的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( )
A.81 B ．－81
C ．8
D ．－8
4．(2010年高考陕西卷)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的准线与圆x 2
＋y 2
－6x －7＝0相切，则p 的值为( )
A.21
B ．1
C ．2
D ．4
5．(2010年高考湖南卷)设抛物线y 2
＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
6．若点P 到定点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是( )
A ．y 2＝－16x
B ．y 2
＝－32x
C ．y 2＝16x
D ．y 2
＝16x 或y ＝0(x <0)
7．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x 轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( )
A ．y 2＝8x
B ．y 2＝－8x
C ．y 2＝8x 或y 2＝－8x
D ．x 2＝8y 或x 2
＝－8y
8．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )
A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|
D ．|FP 1|2|FP 3|＝|FP 2|2
9．抛物线y 2
＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于( )
A.
B ．2 C.215
D ．15
10．以抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦半径|PF |为直径的圆与y 轴的位置关系为( )
A ．相交
B ．相离
C ．相切
D ．不确定
11．过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的弦是AB ，抛物线的准线交x 轴于点M ，则∠AMB 是( )
A ．锐角
B ．直角
C ．钝角
D ．锐角或钝角
12．(2010年高考山东卷)已知抛物线y 2
＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
14．抛物线y2＝4x上的点P到焦点F的距离是5，则P点的坐标是________．
15．抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|＋|FB|＝________.
16．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，则以O为顶点，且过A、B的抛物线方程是________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．（本题满分12分）若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标．
18（本题满分12分）．抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程．
19．（本题满分12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，其准线l与圆(x －2)2＋y2＝25相切，求抛物线的方程．
20．（本题满分12分）过点Q(4,1)的抛物线y2＝8x的弦AB恰被点Q平分，求AB所在直线方程．
21．（本题满分12分）已知抛物线y2＝－x与直线l：y＝k(x＋1)相交于A，B两点．
(1)求证：OA⊥OB；
(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．
22.（2009江苏卷）（本题满分14分）
在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A（2，2），其焦点F在轴上。
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
（3）设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点
间的距离为，求关于的表达式。
参考答案
1．解析：选B.由2p ＝5得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故x 2
＝20y . 2．解析：选B.x 2
＝－y ，∴2p ＝1，p ＝21，∴焦点坐标为41
.
3．解析：选B.由y ＝ax 2，得x 2
＝a 1y ，4a 1＝－2，a ＝－81. 4．解析：选C.由抛物线的标准方程得准线方程为x ＝－2p
.
由x 2
＋y 2
－6x －7＝0得(x －3)2
＋y 2
＝16.
∵准线与圆相切，∴3＋2p
＝4，∴p ＝2.
5解析：选B.如图所示，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.
6．解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，∴点P 到F (4,0)的距离与它到直线x ＋4＝0的距离相等．故点P 的轨
迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2
＝16x . 7．解析：选C.通径2p ＝8且焦点在x 轴上，故选C. 8．解析：选C.由抛物线定义知|FP 1|＝x 1＋2p
，
|FP 2|＝x 2＋2p ，|FP 3|＝x 3＋2p
，
∴|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|，故选C.
9．解析：选A.令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)
由y2＝12x y ＝2x ＋1得4x 2
－8x ＋1＝0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝41
， ∴|AB |＝ ＝＝.
10． 解析：选C.|PF |＝x P ＋2p ，∴2|PF|＝2xP ＋4p
，即为PF 的中点到y 轴的距离．故该圆与y 轴相切．
11． 解析：选B.由题意可得|AB |＝2p .
又焦点到准线距离|FM |＝p ，F 为AB 中点，
1
12．解析：选B.∵y 2
＝2px (p >0)的焦点坐标为，0p ，
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －2p ，即x ＝y ＋2p ，将其代入y 2＝2px 得y 2
＝2py ＋p 2，即y 2－2py －p 2
＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴2y1＋y2＝p ＝2，∴抛物线的方程为y 2
＝4x ，其准线方程为x ＝－1. 二． 填空题（共4题，每题4分） 13解析：由y ＝ax2x －y －1＝0，得ax 2
－x ＋1＝0，
由Δ＝1－4a ＝0，得a ＝41. 答案：41
14．
解析：设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋1＝5，∴x 0＝4，
∴y 02
＝16，∴y 0＝±4.
答案：(4，±4) 15．
解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|FA |＋|FB |＝x 1＋x 2＋2.
又2x ＋y －4＝0y2＝4x ?x 2
－5x ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝5，x 1＋x 2＋2＝7. 答案：7 16．
解析：焦点在x 轴正半轴上时，设方程为y 2
＝2px (p >0)代入点(23，21)得p ＝123， 焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2
＝－2px (p >0)， ∴p ＝－123
.
综上，所求方程为y 2
＝±63x . 答案：y 2
＝±63x
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．（本题满分12分）若抛物线y 2
＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．
解：由抛物线定义知焦点为F (－2p ，0)，准线为x ＝2p
， 由题意设M 到准线的距离为|MN |， 则|MN |＝|MF |＝10， 即2p
－(－9)＝10，
∴p ＝2.
故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2
＝－4x ，解得y ＝±6，
高中数学试卷必修二基础50题 一、单选题（共15题；共30分） 1.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（） A. ①是棱台 B. ②是圆台 C. ③不是棱锥 D. ④是棱柱 2.直线y＝2x＋1关于y轴对称的直线方程为（） A. y＝－2x＋1 B. y＝2x－1 C. y＝－2x－1 D. y＝－x－1 3.已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 4.若点到直线的距离为1，则的值为（） A. B. C. 或 D. 或 5.若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（） A. 1：2, B. 1：4, C. 1：8, D. 1：16。 6.已知直线，则直线l的倾斜角为（） A. B. C. D. 7.如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b（） A. 共面 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 8.有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个（） A. 棱台 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 都不对 9.设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10.已知倾斜角为θ的直线，与直线x﹣3y+1=0垂直，则tanθ=（） A. B. 3 C. ﹣3 D. 11.已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积是（） A. B. C. D. 12.椭圆x2+4y2=36的弦被（4，2）平分，则此弦所在直线方程为（） A. x﹣2y=0 B. x+2y﹣8=0 C. 2x+3y﹣14=0 D. x+2y﹣4=0 13.在空间中，有三条不重合的直线a，b，c，两个不重合的平面，，下列判断正确的是（） A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则∥ C. 若，∥，则 D. 若，，∥，则∥ 14.在△ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是（） A. 5 B. 8 C. 10 D. 6 15.若两直线，的斜率分别是，，倾角分别是，，且满足，则（） A. B. C. D. 二、填空题（共20题；共24分） 16.曲线在点处的切线方程为________．
抛物线 平面内与一个定点F 和一条定直线l(F ?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y 2＝2px (p>0) y 2＝－2px(p>0) x 2＝2py(p>0) x 2＝－2py(p>0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 & 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 $ 焦点 F ????p 2，0 F ??? ?－p 2，0 F ? ???0，p 2 F ??? ?0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 。 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 - 向上 向下 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标. 》
变式练习 1.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为() 题型二抛物线的标准方程和几何性质 例2抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程. * 变式练习 2.设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为() ＝±4x ＝±8x ＝4x ＝8x 变式练习 3.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|等于() ∶ 5 ∶2 ∶ 5 ∶3 题型三抛物线焦点弦的性质 … 例3设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明：直线AC经过原点O. ：
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2ａ（2ａ< )的点的轨迹。 方程 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>> 22 22 1(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于ｘ轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关 系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 １、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠,与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意:定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12,离心率为 54 ; （2） 焦距为26,且经过点Ｍ（0,12）； （3） 与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y
解:（１)设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知,2ｂ=１2，c e a ==54 。 ∴b=6,ｃ=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。 （2)∵双曲线经过点M(0,１2）， ∴M （０，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上,且ａ=１２。 又2c ＝26，∴c ＝13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 (３)设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 331916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题,关键是找好体重的等量关系,特别是ｅ、ａ、b 、ｃ四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c,直线ｌ过点（a,0)和（０,b ）,且点（1, ０）到直线ｌ的距离与点(-1,0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率ｅ的取值范围。 解:直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx ＋ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点(1,０）到直线ｌ的距离12 2 d a b = +, 同理得到点(－1,0）到直线l 的距离22 2 d a b = +,
高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱'''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面 圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。
抛物线专题复习 通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：d 2= AB 为抛物线px y 22 =的焦点弦，则=B A x x 4 2p ，=B A y y 2 p -，||AB =p x x B A ++ 考点1 抛物线的定义 [例1 ]已知点P 在抛物线x y 42 =上，则点P 到点)1,2(-Q 的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为 考点2 抛物线的标准方程 [例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： (1)过点)2,3(-； (2)焦点在直线240x y --=上 考点3 抛物线的几何性质 [例3 ]设B A ,为抛物线px y 22 =上的点,且O AOB (2 π = ∠为原点),则直线AB 必过的定点坐标为_______ [例4 ]设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点．（I ）过点(04)P -， 作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足,0=?→ → FB FA 延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求四边形ABCD 面积的最小值． 二．基本题型 1．过抛物线x y 42 =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果621=+x x ，那么||AB =( )
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 2．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()() P x y P x y ，，，，33 3()P x y ，在抛物线上，且||1F P 、||2F P 、||3F P 成等差数列， 则有 （ ） A ．321x x x =+ B ． 3 21y y y =+ C ．2312x x x =+ D. 2312y y y =+ 3．已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 4．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，则=+| |1 ||1QF PF （ ） （A ）a 2 （B ） a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 5．已知抛物线C ：24y x =的焦点为,F 准线为,l 过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△ AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3：1，则点A 的坐标为( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22) 6．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于两点A 、B,若A 、B 在抛物线准线上的射影为11,B A ,则=∠11FB A （ ） A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 7．两个正数a 、b 的等差中项是 9 2 ，一个等比中项是,b a >则抛物线2()y b a x =-的焦点坐标为（ ） A ．1 (0,)4- B ．1(0,)4 C ．1(,0)2- D ．1(,0)4 - 8．抛物线,42 F x y 的焦点为=准线为l l ,与x 轴相交于点,E 过F 且倾斜角等于3 π 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点,,l AB A ⊥垂足为,B 则四边形ABEF 的面积等于（ ） A ．33 B ．34 C ．36 D ．38 9．已知抛物线C ：2 1 2 x y = ,过点(0,4)A -和点(,0)B t 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( ) A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B. (,()22 -∞+∞ C ．(,)-∞-+∞ D ．(,)-∞-+∞ 10．如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线2 4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛物线的焦点，若)(,,,21* ∈N n x x x n 成等差数列且45921=+++x x x ，则||5F P =（ ）． A ．5 B ．6 C ． 7 D ．9 11．设O 是坐标原点，F 是抛物线2 4y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60 ，则OA 为 ． 12．若直线10ax y -+=经过抛物线2 4y x =的焦点，则实数a =
第三章 概率 一．随机事件的概率 1、基本概念： ????????不可能事件确定事件事件必然事件 随机事件 （1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件； （2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件； （3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件； （4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件； （5）事件：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A ，B ，C ……表示。 2、概率与频数、频率： 在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例f n (A)= A n n 为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。 频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值 A n n ，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率。 二．概率的基本性质 1、各种事件的关系： （1）并（和）事件 （2）交（积）事件 （3）互斥事件 （4）对立事件 2、概率的基本性质： （1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； （2）P(E)=1(E 为必然事件）； （3）P(F)=0(F 为必然事件）； （4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)； （5）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
高中数学双曲线抛物线知 识点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
双曲线 平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨 迹。 方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图 范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或 顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a => (1)c e e a => 对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称 关于x 轴、y 轴及原点对称 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点 题型一 求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲 线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。 （1） 虚轴长为12，离心率为 5 4 ； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）； _x _y _x _y
（3） 与双曲线22 1916 x y - =有公共渐进线，且经过点() 3,23A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。 由题意知，2b=12，c e a ==5 4 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x - =。 （2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴222144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -在双曲线上 ∴(2 2 233 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二 双曲线的几何性质 方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和 （0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥ 4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。
高一数学必修二基础练习卷 班别 ____ 姓名________ 座号_____ 一、选择题 1 .用符号表示点A在直线I上，I在平面G外”正确的是（） A. A I,丨二匚 B. A l,l「 C. A 丨，丨二： D. A I ,l「 2、正棱柱L长方体?=（） A. ■正棱柱｝ B.长方体1 C. ■正方体｝ D.不确定 3、已知平面a内有无数条直线都与平面B平行，那么（） A . all 3 B. a与B相交 C . a与3重合 D . al 3或a与3相交 4、在空间四边形ABCD各边AB BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与EF、GH能相 交于点P，那么 A、点P不在直线AC上 B、点P必在直线BD上 C、点P必在平面ABC内 D、点P必在平面ABC外 5、已知正方体的ABC^A1B1C1D1棱长为1，则三棱锥C -BC i D的体积是（） 1 1 A. 1 B. C.— 3 2 6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位 A.24 n 捅12 n cn3 B.15 n c n i 12 n cn3 C.24 n cn, 36 n cn3 D.以上都不正确 1 D.— 6 cm）,则该几何体的表面积和体积为：（ 7. 利用斜二测画法，一个平面图形的直观图是边长为 （） A .3 B 2 C 2.2 8. 半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ 1的正方形，如图所示.则这个平面图形的面积为 A .仝二R3 24 B. 乜二R3 8 C .乜二R3 24
9.用与球心距离为1的平面去截面面积为 二，则球的体积为（） 2 2 18 .圆x y -2y -1 = 0的半径为 () A.1 B.2 C. 3 D. 2 19、直线 3x+4y-13=0 与圆（x -2）2，（ y - 3）2 =1 的位置关系是：（ ） A.相离； B.相交； C.相切； D.无法判定. 20 .圆：x 2 y 2 -2x -2y ? 1 =0上的点到直线x - y =2的距离最大值是（ f — A 、2 B 、12 C 、1 - D 、12.2 232-： A. B. 3 10. 已知m, n 是两条不同直线，:■ A .若m IN- ,n II 〉,则m II n C .若mil :■ ,m | ,则:-I : 11. 已知点 A(1,2)、B (-2, 3)、C (4, 1 A . - B . 1 2 12. 直线x -3y T =0的倾斜角是( A. 300 B. 600 C. 1200 - C. D. 3 ,'-,是三个不同平面，下列命题中正确的是 B .若口丄？，B 丄？,则a II P D .若m 丨r , n 丨-,则m I n y ）在同一条直线上，贝U y 的值为（ 3 C. - D . -1 2 ）. D. 1500 13. 直线I 经过两点A1,2、B 3,4，那么直线I 的斜率是 A. -1 B. -3 C. 1 D. 3 14. 过点P （T,3）且垂直于直线x 「2y ，3 = 0的直线方程为（ ） A . 2x y-1=0 B . 2x y-5=0 C. x 2y-5=0 D . x-2y 7=0 k A . (0,0) B . (0,1) C . (3,1) D . (2,1) 16 .两直线3x ? y -3 =0与6x my ^0平行，则它们之间的距离为（ A . 4 B . ■— 13 17 .下列方程中表示圆的是( A . x 2 + y 2 + 3x + 4y + 7=0 C . 2x ?+ 2y 2— 3x — 4y — C . D . — 26 20 ) B . x 2+ 2y 2— 2x + 5y + 9=0 D . x 2— y 2— 4x — 2y +
抛物线经典结论和例题
焦 点弦 长 AB 12()x x p ++ 12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++ 焦点弦 AB 的几条性质 11(,) A x y 22(,) B x y 以AB 为直径的圆必与准线l 相切 若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α= 若AB 的倾斜角为α ，则22cos p AB α = 2 124 p x x = 212y y p =- 112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p ++===?? 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+ 1. 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） o x ()22,B x y F y ()11,A x y
2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+-所以 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点 ),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+=
第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽 1.下列说法错误的是（ ） A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形 C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然必须围成四个面，所以A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D 错误. 答案：D 2.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为___________ cm. 分析：n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm. 答案：12 3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是___________. 分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥 第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征 ¤学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ¤知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. ¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 解：在长方体''''ABCD A B C D -中，取四棱锥'A ABCD -，它的四个侧面都是直角三角形. 选D. 【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,r R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得 梯形腰长为R +r = 第3讲 §1.2.2 空间几何体的三视图 ¤学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图 所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型. ¤知识要点： 1. “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图. 光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”. 用这三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”.
高中数学复习-抛物线 抛 物 线 ) 0(22>=p px y )0(22>-=p px y ) 0(22>=p py x )0(22>-=p py x 定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离} 范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤ 对称性 关于x 轴对称 关于y 轴对称 焦点 (2 p ,0) (2 p - ,0) (0, 2 p ) (0,2 p - ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率 e =1 准线 方程 2 p x - = 2 p x = 2 p y - = 2 p y = 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2 p 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12 p AF x =+ 12 p AF x =-+ 12 p AF y =+ 12 p AF y =-+ 1. 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，有两不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，有一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0(φp ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出 b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长 2 12 212 212 4)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ? +=2 1 或 212 2122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点坐标 ),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 12 12px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点 为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y ==+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
必修二 第一章 空间几何体 知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：3 3 4 R V π= ，球的表面积公式：2 4 R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=3 1，锥体截面积比： 2 2 212 1h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S ??=π侧面 1 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 2 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图：斜二测画法 4斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。
4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线 线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面 平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平 行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称 线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直， 则面面垂直）。 ⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 （简称面面垂直，则线面垂直）。 第三章 直线与方程 知识点： 1、倾斜角与斜率：1 212tan x x y y k --==α 2、直线方程： ⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式：1211 21 y y y y x x x x --=--
圆锥曲线抛物线 知识点归纳 1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线 的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK ==。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向 4抛物线px y 22=的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02， p ，②准线方程是：2p x -=。 ③焦半径公式： （称为焦半径）是：02 p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－3 4x 或x 2=2 9y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0 y 2=16x 或x 2=－8y ，
（3）抛物线 的焦点坐标为 ； （4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ； 或 或 . （5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2( 例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法 法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、， 则由抛物线定义得1212||||||||||22p p AB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++， 又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24, 1, y x y x ?=?=-?得2610x x -+=， 则126x x +=，所以||8AB =． 例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2 p x =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ， 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=， 又111||||2||AA BB MM +=， ∴11 ||||2 MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆 的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立． （法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2 p F ， 准线2 p x =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的 中点00(,)M x y ，则1212||22 p p AB x x x x p =+++=++， ∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211 ||()22 r AB x x p ==++． M 1M
一、直线的点斜式方程 1．直线的点斜式方程的定义 已知直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为 . 这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的 ，简称 . 当直线l 的倾斜角为0°时(如图1)，tan 00=,即k =0,这时直线l 与x 轴平行或重合，l 的方程就是 00y y -=,或0y y =. 当直线l 的倾斜角为90°时(如图2)，直线没有斜率，这时直线l 与y 轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.因为这时l 上每一点的横坐标都等于0x ，所以它的方程是00x x -=,或0x x =. 深度剖析 （1）当直线的斜率存在时，才能用直线的点斜式方程. （2）当k 取任意实数时，方程00()y y k x x -=-表示过定点00(,)x y 的无数条直线. 2．直线的点斜式方程的推导 如图，设点(,)P x y 是直线l 上不同于点000(,)P x y 的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得
y y k x x - = - (1),即 00 () y y k x x -=-(2). 注意方程(1) 与方程(2)的差异：点 P的坐标不满足方程(1)，但满足方程(2)，因此，点 P不在方程(1)表 示的图形上，而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称为直线l的方程. 上述过程可以证明直线上每个点的坐标都是方程(2)的解.对上面的过程逆推，可以证明以方程(2)的解为 坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点 P,斜率为k的直线l的方程. 二、直线的斜截式方程 1．直线的斜截式方程的定义 我们把直线l与y轴交点(0,)b的纵坐标b叫做直线l在y轴上的. 如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为(0) y b k x -=-，即叫做直线的，简称. 当b=0时，y kx =表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，y b =表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，0 y=表示与x轴重合的直线. 深度剖析 （1）纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、零或负数. 纵截距也可能不存在，比如当直线与y轴平行时. （2）由于有些直线没有斜率，即有些直线在y轴上没有截距，所以并非所有直线都可以用斜截式表示. 2．直线的斜截式方程的推导 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为k，求直线l的方程.这个问题相当于给出了直线上一点(0,)b及 直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的一种特殊情况，代入点斜式方程可得(0) y b k x -=-,
一． 直线与抛物线的位置关系 直线 ，抛物线 ， ，消y 得： （1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时， Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。 （3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线 ，)0( p ① 联立方程法： ???=+=px y b kx y 22 ?0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ?,以及2121,x x x x +，还可进一步求出
b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+， 2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长 2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a k ?+=2 1 或 2 122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+ =a k ?+=2 1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x += ， 2 2 10y y y += ② 点差法： 设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得 1212px y = 22 22px y = 将两式相减，可得 )(2))((212121x x p y y y y -=+- 2 121212y y p x x y y += -- a. 在涉及斜率问题时，2 12y y p k AB += b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ， 021*******y p y p y y p x x y y = =+=--， 即0 y p k AB = ， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p x p x p x x k AB 0 021222==+= （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存 在，且不等于零）