4.2 绘制根轨迹的基本法则
本节讨论根轨迹增益?
K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便、快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有m n )(m n ?条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益和时的根轨迹点。将幅值条件式（4-9）改写为
0=?
K K ?
→∞
∏∏∏∏==?==?
?
=
??=
m
i i
n
j j m
n m i i n
j j
s
z s
p s
z s p
s K 1
1
1
1*|1||
1||
)(||)(| (4-11)
可见，当=时，；当=时，；当||s j p 0*
=K s i z ∞→*
K s ∞→且时，。
m n ≥∞→*
K 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数、开环极点数中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
m n 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在平面上的变化轨迹。因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
s m n ≥实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。 s 特征方程中的某些系数是根轨迹增益?
K 的函数。?
K 从零连续变到无穷大时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则 3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。图中，是实轴上的点，0s )3,2,1(=i i ?是各开环零点到点向量的相角，0s )4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到点向量的相角。由图4-5可见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括点）的向量之相角和为0s 0s π2。对复数共轭零点，情况同样如此。因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。图4-5中，点左边的开环实数零、极点到点的向量之相角均为零，而点右边开环实数
0s 0s 0s
零、极点到点的向量之相角均为0s π，故只有落在右方实轴上的开环实数零、极点，才有可能对的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为0s 0s π。如果令代
表点之右所有开环实数零点到点的向量相角之和，
∑i
?
0s 0s ∑j
θ
代表点之右所有开环实数
极点到点的向量相角之和，那么，点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成立：
0s 0s 0s
（∑∑==+=?0
01
1
)12(n j j
m i i k πθ
?L ,2,1,0±±=k ）
由于π与π?表示的方向相同，于是等效有：
∑∑==+=+0
1
1
)12(n j j
m i i k πθ
? （L ,2,1,0±±=k ）
式中，、分别表示在右侧实轴上的开环零点和极点个数。 0m 0n 0s 式中，为奇数。于是本法则得证。
)12(+
k 不难判断，在图4-5所示实轴上，区段[]11,z p ，[]24,z p 以及(]3,z ∞?均为实轴上的根轨迹。
法则4 根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数n 大于开环零点个数m 时，有条根轨迹分支沿着与实轴夹角为m n ?a ?、交点为a σ的一组渐近线趋向于无穷远处，且有
??
?
??????=?+=∑∑==m n z p m
n k m i i n
j j a a
1
1
)12(σπ? （k =0，±1，±2，…1??m n ） （4-12）
证明 （1）渐近线的倾角a ?：假设在无穷远处有闭环极点，则平面上所有从开环零点和极点*
s s i z j p 指向的向量相角都相等，即*
s *
*
()()i j s z s p a ?∠?=∠?=，代入相角条件（4-10），得
*
*1
1
()()(21)m
n
i j a a i j s
z s p m n k ??π==∠?=∠?=?=+∑∑
所以渐近线的倾角为
(21)a k n m
π
?+=
? (0,1,2,k )=±±L
（2）渐近线与实轴的交点a σ：假定在无穷远处有闭环极点，则平面上所有开环零点和极点*
s s i z j p 到的矢量长度都相等。可以认为，对于无穷远闭环极点而言，所有开环零、极点都汇集在一起，其位置即*
s *
s a σ。当和时，可以认为*
K →∞*
s →∞i j z p a σ==。由式（4-8）可得
1*1
()
()()
n
j
j n m a m i
i s p s s z σ=?=?K =?=??∏∏ （4-13）
上式右端展开式为
1()()n m n m n m a a s s n m s σσ?????=??+L
而式（4-13）左端用长除法处理为
111
1
1
()
()()
n
j
n m
j n m
n m j i m
j i i
i s p s
p z s s z =??===??=??+?∏∑∑∏L
当时，只保留前两项，并比较第二项系数可得
s →∞1
1
n m
j i
j i a p z
n m
σ==?=
?∑∑
本法则得证。
例4-2 单位反馈系统开环传递函数为
)
22)(4()
1()(2*++++=s s s s s K s G
试根据已知的基本法则，绘制根轨迹的渐近线。
解 将开环零、极点标在s 平面上，如图4-6所示。根据法则，系统有4条根轨迹分支，且有
=3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴
的交点及夹角分别为
m n ? ???
????±=?+=?=?+??+??=πππ?σ,314)12(3
514111114k j j a a
三条渐近线如图4-6所示。
法则5 根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标是方程
s d ∑
∑==?=?m
i i
n
j j z d p d 111
1 （4-14） 的解。
证明 由根轨迹方程（4-8），有
*
*1
1
()
()11()
()
m
i
i n
j
j K
s z K M s N s s p ==?+=+
?∏∏0=
式中，1()()m i
i M s s ==
?∏z ，1
()()n
j
j N s s p ==?∏，所以闭环特征方程为
*
11
()()()(()0n m
j i j i D s N s K M s s p s z ===+=?+?=∏∏）
或
（4-15）
*
11
(n m
j j i s p K s z ==?=??∏∏）()i
根轨迹在平面相遇，说明闭环特征方程有重根出现。设重根为，根据代数中重根条件，有
s d *
11d ()()()0d ==??′=?+?????
∏∏n m j i j i D s s p K s z s =
或
∏∏==??=?m
i i n j j z s s K p s s 1
*1)(d d )(d d （4-16） 将式（4-16）、式（4-15）等号两端对应相除、得
∏∏∏∏====??=
??m
i i
m
i i n
j j
n
j j z s z s s p s p s s 1
1
1
1
)
()(d d )
()(d d （4-17）
s
z s s
p s m
i i n
j j d )
(ln d d )
(ln d 1
1
∏∏==?=
?
有
∑
∑
==?=?m
i i n
j j s
z s s
p s 1
1
d )
ln(d d )
ln(d
于是有 ∑∑==?=?m
i i
n
j j z s p s 111
1
从上式解出的中，经检验可得分离点d 。本法则得证。
s 另外，将式（4-17）交叉相乘可得
()()()()0N s M s N s M s ′′?= （4-18）
由式（4-18）也可以求出分离点。
d 例4-3 控制系统开环传递函数为
)
4)(1()
2()()(*+++=s s s s K s H s G
试概略绘制系统根轨迹。
解 将系统开环零、极点标于s 平面，如图4-7所示。
根据法则，系统有3条根轨迹分支，且有m n ?=2条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘制如下：
⑴ 实轴上的根轨迹：根据法则3，实轴上的根轨迹区段为：
[]2,4??，
[]0,1?⑵ 渐近线：根据法则4，根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为
???
???
?±=?+=?=?+??=213)12(2
313241ππ?σk a a
⑶ 分离点：根据法则5有
2
1
41111+=
++++d d d d 或由式（4-18）
323232()()()()
(54)(2)(54)(22112080
N s M s N s M s s s s s s s s s )s s s ′′?′′=+++?+++=+++= 试根得：。
5495.0?=d 根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹，如图4-7所示。
法则 6 根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，则意味着闭环特征方程出现纯虚根。故可在闭环特征方程中令ωj s =，然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交点的坐标值及其相应的?
K 值。此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应?
K 值下处于临界稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的?
K 值。此处的根轨迹增益称为临界根轨迹增益。
例4-4 某单位反馈系统开环传递函数为
)
5)(1()(*
++=s s s K s G
试概略绘制系统根轨迹。
解 根轨迹绘制如下：
⑴ 实轴上的根轨迹： (]5,?∞?，[]0,1?
⑵ 渐近线： ???
????±=+=?=??=πππ?σ,33)12(23
51k a a
⑶ 分离点：由式（4-18）有 []
d (1)(5)0d ++=s s s s
经整理得
051232=++d d
解出 5.31?=d 47.02?=d 显然分离点位于实轴上[间，故取]0,1?47.0?=d 。
⑷ 与虚轴交点：
方法1 系统闭环特征方程为
056)(*23=+++=K s s s s D
令ωj s =，并令方程实部、虚部分别为零，有
2*3Re[()]60Im[()]50
D j K D j ωωωωω?=?+=??=?+=?? 解得 ?
??==0
*K ω?????=±=30
5
*
K ω 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为5j s ±=，对应的根轨迹增益。
30*
=K 方法2 用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表为
3s 1 5
2s 6 *K
1s 6)30(*K ? 0 0s *K
当时，行元素全为零，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由行的辅助方程求得：
30*
=K 1
s 2
s 06)(30
*
2*=+==K K s s F
得5j s ±=为根轨迹与虚轴的交点。根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图4-8所示。
法则7 根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以i p θ表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，以i z ?表示。起始角、终止角可直接利用相角条件求出。
例4-5 设系统开环传递函数为
)
5.15.0)(5.15.0)(5.2()
2)(2)(5.1()(*j s j s s s j s j s s K s G ?++++?++++=
试概略绘制系统根轨迹。
解 将开环零、极点标于s 平面上，绘制根轨迹步骤如下： ⑴ 实轴上的根轨迹：
[]0,5.1?，(]5.2,?∞?
⑵ 起始角和终止角：先求起始角。设是由 出发的根轨迹分支对应s 2p *
K =ε 时的一
点， 到的距离无限小，则向量s 2p p 2的相角即为起始角。作各开环零、极点到的向量。由于除之外，其余开环零、极点指向的矢量与指向的向量等价，所以它们指向的向量等价于指向的向量。根据开环零、极点坐标可以算出各向量的相角。由相角条件式（4-10）得
s 2p s 2p 2p 1)s
21231241
1
()()(2m n
i j
p i j k ?θ
???θθθθ==?=++?+++=+∑∑π
解得起始角 （见图4-9）。
o
79
2=p θ
图
4-9 根轨迹的起始角和终止角
同理，作各开环零、极点到复数零点（j +?2）的向量，可算出复数零点（）处的终止角j +?22?=145°（见图4-9
）
。绘出系统的根轨迹如图4-10所示。
法则8 根之和：当系统开环传递函数G 的分
)()(s H s 子、分母阶次差（n m ?）大于等于2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。
∑∑===n
i i
n i i p
1
1
λ （2≥?m n ）
式中，n λλλL ,,21为系统的闭环极点（特征根）
，为系统的开环极点。 n p p p L ,,21证明 设系统开环传递函数为
=??????=
)
())(()
())(()()(2121*n m p s p s p s z s z s z s K s H s G L L
2
2110
*1*1*a s a s a s b K s K b s K n n n n n m m m +++++++??????L L 式中
（4-19）
∑=??=
n
i i
n p a 1
1)(设，即，系统闭环特征式为
2=?m n 2?=n m =++++++++=??????)()()(0*11**02211b K s b K s K a s a s a s s D m m m n n n n n L L
)()(0*02*211b K a s K a s a s n n n n n ++++++????L = )())((21n s s s λλλ???L
另外，根据闭环系统个闭环特征根n 1λ，2λ，…，n λ可得系统闭环特征为
∏∑=?=?++?+
=n
i i n n
i i
n
s
s s D 11
1
)()()(λλL 可见，当时，特征方程第二项系数与2≥?m n ?
K 无关。比较系数并考虑式（4-19）有
（4-20）
11
1
)()(?===?=?∑∑n n
i i
n i i
a
p λ式（4-20）表明，当时，随着2≥?m n ?
K 的增大，若一部分极点总体向右移动，则另一部分极点必然总体上向左移动，且左、右移动的距离增量之和为0。
利用根之和法则可以确定闭环极点的位置，判定分离点所在范围。 例4-6 某单位反馈系统开环传递函数为
)
2)(1()(*
++=s s s K s G
试概略绘制系统根轨迹，并求临界根轨迹增益及该增益对应的三个闭环极点。
解 系统有3条根轨迹分支，且有m n ?=3条根轨迹趋于无穷远处。绘制根轨迹步骤如下：
⑴ 实轴上的根轨迹： (]2,?∞?，[]0,1? ⑵ 渐近线：
???????±=+=?=??=πππ?σ,33)12(13
21k a a
⑶ 分离点：
021111=++++d d d 经整理得
02632
=++d d 故 577.11?=d 423.02?=d 显然分离点位于实轴上[间，故取]0,1?423.0?=d 。
由于满足，闭环根之和为常数，当2≥?m n *
K 增大时，两支根轨迹向右移动的速度慢于一支向左的根轨迹速度，因此分离点5.0 ⑷ 与虚轴交点：系统闭环特征方程为 023)(*23=+++=K s s s s D 令ωj s =，则 =+++=* 23)(2)(3)()(K j j j j D ωωωω023*23=++??K j j ωωω 令实部、虚部分别为零，有 ?????=?=?0 20 33 2*ωωωK 解得 ???==0 * K ω?????=±=6 2 * K ω 显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴 的交点为22,1j ±=λ，对应的根轨迹增益为。因为当时系统稳定，故 为临界根轨迹增益，根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极点，第三个闭环极点 可由根之和法则求得： 6* =K 60* < K 222101321j j ?+=++=??λλλλ，33?=λ 系统根轨迹如图4-11所示。 根据以上绘制根轨迹的8条法则，不难绘出系统的根轨迹。具体绘制某一根轨迹时，这8条法则并不一定全部用到，要根据 具体情况确定应选用的法则。为了便于查阅，将这些法则统一归纳在表4-2之中。 表4-2 绘制根轨迹的基本法则 注：表中，以“*”标明的法则是绘制0°根轨迹的法则（与绘制常规根轨迹的法则不同），其余法则不变 。 4-1 设系统开环传递函数的零、极点在s平面上的分布，如图4-24所示。试绘制以开环增益K 为变量的系统根轨迹的大致图形。 图4-24 题4-1图 4-2 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).要求用根轨迹法画出当开环增益K变化时，系统的根轨迹图。 (2).求一对复数主导极点的阻尼比ξ=0.707的K值，且求其相应的一对复数主导极点和另一实数极点。 (3).用Matlab编程，求解本题。 4-3 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并对该系统的稳定性进行分析。 (2).若增加一个零点z=-1，试问根轨迹有何变化，对系统的稳定性有何影响？ (3).用Matlab编程，求解本题。 4-4 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹。 (2).确定阻尼比ξ=0.5时的闭环极点及其相应的K值。请问对应的静态位置误差系数Kp为多少？ (3).用Matlab编程，求解本题。 4-5 试用根轨迹法求下列多项式的根。 并用Matlab编程方法验证之。 4-6 设单位负反馈系统的开环传递函数为： 试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并求出系统临界稳定时的K 值。用Matlab编程，求解本题。 4-7 设一负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法，画出以a为参变量的根轨迹。 (2).用Matlab编程，求解本题。 4-8 .设多回路控制系统的方块图，如下图4-25所示。 图4-25 题4-8图 (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并讨论本系统的稳定情况。 (2).用Matlab编程，求解本题。 4-9 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试确定a值，使根轨迹图分别具有1、2、3个分离点。 (2).画出相应这三种情况的根轨迹，并用Matlab编程方法验证之。 4-10 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹，并讨论本系统根轨迹的分离点情况。 (2).求闭环系统稳定的K值范围。 (3).用Matlab编程，求解本题。 4-11 设单位负反馈系统的开环传递函数为： (1).试用根轨迹法画出该系统的根轨迹。 (2).闭环系统稳定的K值范围。 (3).对在使闭环系统稳定的K值范围内的K值，绘制闭环阶跃响应，分析不同的K值对系统响应有何影响。 (4).用Matlab编程，求解本题。 第四章 根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 ) 4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G * +++= 试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益* K 和开环增益K 。 解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件 π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。 对于31j s +-=，由相角条件 =∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππ ππ-=---6 320 满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。 将1s 代入幅值条件： 14 3j 123j 113j 1K s H )s (G * 11=++-?++-?++-= ）（ 解出 ： 12K * = ， 2 3 8K K *== 4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。 （1）)b s )(4s (02)s (G ++= （2）) b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++= 解 (1) )4j 2s )(4j 2s () 4s (b 20 s 4s )4s (b )s (G 2 -++++=+++= ' 28 s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+= Φ (2) ) 10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 2 2++++='=)3j 1s )(3j 1s (s ) 19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40 s 14s 4s ) 4s (10)s (G 1)s (G )s (2 3 ++++=+= Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数) b s )(4s (s 2)s (G ++= ，试绘制参数b 从零变 化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。 解 ) 6s (s ) 4s (b )s (G ++= ' 根轨迹如图。 2s -=时4b =， ) 8s )(2s (s 216s 10s s 2)s (2++= ++=Φ 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ⑴ ) 1s 5.0)(1s 2.0(s k )s (G ++= (2) )1s 2(s )1s (k )s (G ++= (3) ) 3s )(2s (s ) 5s (k )s (G *+++= (4) )1s (s )2s )(1s (*k )s (G -++= 解 ⑴ ) 2s )(5s (s K 10)1s 5.0)(1s 2.0(s K )s (G ++=++= 三个开环极点：0p 1=,2p 2-=,5p 3-= ① 实轴上的根轨迹： (]5,-∞-, []0,2- ② 渐近线： ??? ????ππ±=π+=?-=--=σ,33)1k 2(3 73520a a 第四章根轨迹分析法 4.1 学习要点 1根轨迹的概念； 2 根轨迹方程及幅值条件与相角条件的应用； 3根轨迹绘制法则与步骤； 4 应用根轨迹分析参数变化对系统性能的影响。 4.2 思考与习题祥解 题4.1 思考与总结下述问题。 （1）根轨迹的概念、根轨迹分析的意义与作用。 （2）在绘制根轨迹时，如何运用幅值条件与相角条件？ （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 （4）总结增加开环零、极点对系统根轨迹的影响，归纳系统需要增加开环零、极点的情况。 答：（1）当系统某一参数发生变化时，闭环特征方程式的特征根在S复平面移动形成的轨线称为根轨迹。根轨迹反映系统闭环特征根随参数变化的走向与分布。 根轨迹法研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。因此，对于高阶系统，不必求解微分方程，通过根轨迹便可以直观地分析系统参数对系统动态性能的影响。 应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。 （2）根轨迹上的点是闭环特征方程式的根。根轨迹方程可由闭环特征方程式得到，且为复数方程。可以分解为幅值条件与相角条件。运用相角条件可以确定S复平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点对应的参数值。 （3）归纳常规根轨迹与广义根轨迹的区别与应用条件。 考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和滞后系统根轨迹等。 绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。 正反馈系统的闭环特征方程0 H s G与负反馈系统的闭环特征方程 -s ) ( 1= ( ) +=存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统1()()0 G s H s 的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（π πk2 +）是180 根轨迹，正反馈系统的相角条件（πk2 0+）是0 根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴上的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角和入射角等等，都要变π πk2 +角度为πk2 0+。 （4）由于开环零、极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增 4.2 绘制根轨迹的基本法则 本节讨论根轨迹增益? K （或开环增益K ）变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便、快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。 法则1 根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数少于开环极点个数，则有m n )(m n ?条根轨迹终止于无穷远处。 根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益和时的根轨迹点。将幅值条件式（4-9）改写为 0=? K K ? →∞ ∏∏∏∏==?==? ? = ??= m i i n j j m n m i i n j j s z s p s z s p s K 1 1 1 1*|1|| 1|| )(||)(| (4-11) 可见，当=时，；当=时，；当||s j p 0* =K s i z ∞→* K s ∞→且时，。 m n ≥∞→* K 法则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数、开环极点数中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。 m n 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在平面上的变化轨迹。因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。 s m n ≥实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。 由对称性，只须画出平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。 s 特征方程中的某些系数是根轨迹增益? K 的函数。? K 从零连续变到无穷大时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。 法则 3 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 设系统开环零、极点分布如图4-5 所示。图中，是实轴上的点，0s )3,2,1(=i i ?是各开环零点到点向量的相角，0s )4,3,2,1(=j j θ是各开环极点到点向量的相角。由图4-5可见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括点）的向量之相角和为0s 0s π2。对复数共轭零点，情况同样如此。因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。图4-5中，点左边的开环实数零、极点到点的向量之相角均为零，而点右边开环实数 0s 0s 0s 绘制根轨迹的基本法则 本节讨论根轨迹增益K (或开环增益K)变化时绘制根轨迹的法则。熟练地掌握这些法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。 法则1根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m少于开环极点个数n ,则有(n m)条根轨迹终止于无穷远处。 根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益 式(4-9)改写为 K 0和时的根轨迹点。将幅值条件 * K -n l(S P j)| j 1 m l(s Z i) | i 1 可见当s= p j时，K* 0 ；当s= z i时，K* 法则2根轨迹的分支数, 对称性和连续性 n m P j | s |1 1 j 1 s (4-11) m z i |1 -| i 1 s ;当|s| 且n m时， * K 。根轨迹的分支数与开环零点数m、开环 极点数n中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。 根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在s平面上的变化轨迹。因此, 根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有n m。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。 实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。因此根轨迹必然对称于实轴。 由对称性，只须画出s平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。 特征方程中的某些系数是根轨迹增益K的函数，K从零连续变到无穷时，特征方程 的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。 法则3实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。 设系统开环零、极点分布如图4-5所示。图中，S o是实轴上的点，i(i 1,2,3)是各开 环零点到S o点向量的相角，j (j 1,2,3,4)是各开环极点到S o点向量的相角。由图4-5可见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括S）点）的向量之相角和为2 。对复数共轭零点, 情况同样如此。因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。图 2.9 1) 0.7 x ++C(s) 0.4 x x + 0.5 +-Ks -a b 对a 和b 两点进行合并有 合并点变为0.16 1.22s -+，即有 0.7 x R(s) ++C(s) x -Ks -c d 在对c 和d 位置做相同变换，有 320.60.9 1.180.52s s s s ++++ 0.7 +C(s) x Ks - f e 再对e ，f 两点进行变换可得 R(s) C(s) 即有 320.70.42 G(s)(0.90.7)(1.180.42)0.52s s k s k s += +++++ 2）对上述传递函数有特征方程为32 (0.90.7)(1.180.42)0.52s k s s +++++ 其对应的劳斯表为 323221 (0.90.7)(1.180.42)0.52 1 1.180.420.90.70.522.9413.0410.12 790.52 s k s s s k s k k k s k s ++++++++++ 由此可得 790k +>且 2 2.941 3.0410.120k k ++>时，系统稳定。 3）给定K=？ 根据系统开环特性绘制闭环系统根轨迹的一般步骤 第一步： 1）确认开环特性：n=？ m=？ 零点Z j 和极点P i ，在图上分别用“o ”和“x ”标出 2）据规则二判断：m 条由极点指向零点；n-m 条由极点指向无穷远处 据规则三判断：实轴存在根轨迹的线段 第二步： 3）据规则四确定：n-m 条渐近线的相角：°180(2q+1)a n m ?= - 据规则五确定：n-m条渐近线与实轴的交点： j 1j1 p+Z n n i i a n m σ== = - ∑∑ 当 ° 180 a ?=时，由规则三可确定位于实轴上的根轨迹 第三步 4）确定根轨迹与实轴的分离点，即实轴上根轨迹上线段的分离点，从该点对称 的离开实轴，据规则六，由 1 d K ds = 得s值，由 (2q+1) l π 得分离角，l为分离 点处的根轨迹条数第四步 5）据根轨迹七确定极点出射角 ° p =180 ?? + 零点出射角 ° Z =180 ?? - 而对应的 = Z p ?θθ - ∑∑ 通常，选根轨迹上的点为当前极点或零点 第五步 6）据规则八确定与虚轴的交点，将S=jw代入特征方程求解w或用劳斯判据（临界状态）。 7）据规则一的连续性和对称性可先画出实轴以上根轨迹，再对称画出负虚部即可。根轨迹法
根轨迹法习题和答案
第4章根轨迹分析法习题解答
绘制根轨迹的基本法则
2绘制根轨迹的基本法则
根轨迹步骤
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