解直角三角形的应用
1、（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格
点，则sinA 的值为
A ．12
B ．
5
5
C ．
1010
D ．
25
5
【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝
CD
AC ＝210
＝55．
【答案】B
2、（2012浙江丽水4分，16题）如图，在直角梯形ABCD 中，∠A=90°，∠B=120°，AD=3，AB=6.在底边AB 上取点E ，在射线DC 上取点F ，使得∠DEF=120°.
（1）当点E 是AB 的中点时，线段DF 的长度是________； （2）若射线EF 经过点C ，则AE 的长是________.
C B A
图4
C
B
A
图4
D
【解析】：AE=
21AB=3.在Rt △ADE 中，tan ∠ADE=3
3
=AD AE =3.所以∠ADE=60°，所以DE=
322
13
cos ==∠ADE
AD ，∠AED=∠EDF=∠BEF=30°，所以ED=EF.过点E 作EG ⊥DC 于G ，则DF=2DG=2×DE ·cos30°=2×23×
2
3
=6；（2）过C 作CH ⊥直线AB 于E ，那么CH=AD=3，由勾股定理D 得BH=1。所以CD=7。易知△BCE ～△EDC ，所以BE ：CE=CE ：CD ，所以CE 2=CD ×DC ，设BE=x ，则CE 2=7x 。在Rt △CEH 中，由勾股定理得CE 2=EH 2+CH 2，得（x+1）
2+3=7x ，解之，得
x=1或4。当x=1时，AE=5；当x=4时，AE=2。故AE 的
长为5或2。
【答案】：（1）6；（2）2或5
3、(2012广安中考试题第23题，8分)（8分）如图10，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60o 方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民。此时，C 地位于中国海监船的南偏东45o 方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？（2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
图10
思路导引：构造直角三角形，便于运用题目中的特殊角的三角函数值，解直角三
角形问题
解析：如图过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D ，根据题意得出 ∠DAC=45°，∠DAB=60°， ∵AD ⊥BC ，∴sin ∠DAC=CD AC ，cos ∠DAC=AD AC ，cos ∠DAC=BD
AD
, 即是tan45°=
10CD ,CD=10, cos45°=10
AD ,AD=10×22=52,
∵tan60°=
52
BD
∴BD=52×3=56 ∴BC=56－52≈5.20（海里），
中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地所需时间是
101
303
（时）， 某国军舰以每小时13海里的速度向正西方向的C 地所需时间是5.2013=2
5
（时），
因为2
5
＞13，所以中国海监船以每小时30海里的速度赶往C ，能及时救援
我国渔民.
点评：结合图形信息解直角三角形问题，注意转化方法的运用，即是构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数构造相关的三角函数式，进行有关线段以及角度计算，多个数据注意按照某种要求比较其大小，得出问题的答案.
4、（2012深圳市 11 ，3分）、小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30 ，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A. ()+63米
B. 12米 C ()+423米 D. 10米 【解析】：本题主要考查直角三角形的边角关系、相似三角形的判定及性质，可
根据题意正确添加辅助性，构造基本图形求解
【解答】：如图3—1，根据坡角易求树的下半部分的高为2米，树的上半部分所
在直角三角形的水平距离为()+823米，由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度为()+43米，知树的高度为()+63米，选择A
【点评】：要熟悉教材。北师大版八年级下学期课本中，对如何求旗杆的高度有
三个基本模型，掌握这三个基本图形，是求解的关键。
5、（2012年吉林省，第20题、7分．）如图，沿AC 方向开山修一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD=127°，沿BD 方向前进，取∠BDE=37°，测得BD=520m ，并且AC,BD 和DE 在同一平面内．
图3
30°
2
1
图3-1
（1）施工点E离D多远正好能使A,C,E成一直线（结果保留整数）；
（2）在（1）的条件下，若BC=80m,求公路CE段的长（结果保留整数）
（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
【解析】（1）如果点A, B, C,E在同一条直线上时，∠ABD就是△BDE的外角，就能确定△BDE是直角三角形，根据三角函数即可求出DE的长．
（2）在Rt△BDE中，BD=520,∠BDE=37°可以求得BE的长，从而求出CE长．【答案】
（1）∵点A,B,C,E在同一条直线上，
∴∠ABD=∠BDE+∠AED
∴∠AED=127°-37°=90°．
∴cos∠BDE=DE BD
DE=BDcos37°
DE=520×0.80
DE≈416
∴施工点E离D点为416m时，A,C,E成一直线(2)在Rt△BDE中，BD=520,∠BDE=37
∴sin∠BDE=BE BD
∴BE=BDsin∠BDE
∴BE=520×0.6
DE≈312
∴CE=312-80
CE=232.
∴公路CE段的长为232m.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用问题．解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
6、（2012山西，23，9分）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，
∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．…2分
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．
（第22题图）
A
P
C B
36.9°
67.5°
∴CE=
==（米）． …4分
在Rt △BFD 中，∠BDF=45°，BF=100． ∴
DF=
=
=100（米）．…6分
∴AB=EF=CD+DF ﹣CE=500+100﹣≈600﹣
×1.73≈600﹣57.67≈542.3
（米）． …8分
答：岛屿两端A ．B 的距离为542.3米． …9分
【答案】542.3米
【点评】本题考查了仰俯角问题，解决此类题目的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并用解直角三角形的知识解答即可，解决此类题型的关键是数学转化思想即不规则图形转化为我们所熟悉的特殊图形进行计算．难度中等．
7、（2012山东东营，22，9分）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？（参
考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈12
5
）
【解析】过点P 作PC ⊥AB ，构造直角三角形，设PC=x 海里， 用含有x 的式子表示AC ，BC 的值，从而求出x 的值，再根据 三角函数值求出BP 的值即可解答．
【答案】过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC =x 海里．在Rt △APC 中，∵tan ∠
A=PC
AC
，∴AC=
5
tan67.512
PC x
=
?
．在Rt△PCB中，∵tan∠B=
PC
BC
，∴
BC=
4
tan36.93
x x
=
?
．∵AC＋BC=AB=21×5，∴
54
215
123
x x
+=?，解得60
x=.∵
sin
PC
B
PB
∠=，∴
605
60100
s i n s i n36.93
PC
PB
B
===?=
∠?
（海里）．∴向阳号轮船所处
位置B与城市P的距离为100海里．
【点评】本题考查方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高，构造直角三角形．
8、(2012广东汕头，20，7分)如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB （结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．
分析：首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．
解答：解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=，
∴BC=
∵在直角三角形ADB中，
∴=tan26.6°=0.50
即：BD=2AB
∵BD ﹣BC=CD=200 ∴2AB ﹣AB=200 解得：AB=300米，
答：小山岗的高度为300米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角
三角形并求解．
9、（2012山东莱芜， 20，9分）某市规划局计划在一坡角为16°的斜坡AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架AC 与斜坡AB 的夹角为28°，支架BD ⊥AB 于点B ，且AC 、BD 的延长线均过⊙O 的圆心，AB=12cm ，⊙O 的半径为1.5m,求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离.（结果精确到0.01m ） (参考数据：cos28°≈0.9,sin62°≈ 0.9, sin44°≈0.7, cos46°≈ 0.7)
【解析】过点O 作水平地面的垂线，垂足为E. 在RT △AOB 中，cos ∠OAB=OA AB ,即cos28°=OA AB =OA
12
所以OA =
?28cos 1213.33330.9
12
≈≈
因为∠EAB=16°， 所以∠OAE=28°+16°=44°. 在RT △AO Ｅ中，sin ∠OAE OA OE =
,即sin44°3333
.13OE
≈ 所以3333.97.03333.13≈?≈OE m 9.3333+1.5=10.83（米）
所以雕塑最顶端到水平地面的垂直距离约为10.83米. 【答案】米83.10
【点评】本题考查了用锐角三角函数解决实际问题，关键是找到要解的直角三角形，根据已知条件，选择恰当的三角函数.
10、（2012·湖南省张家界市·21题·8分））黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=23千米，请据此解答如下问题：
（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据2≈1.414
73.13≈
45.26≈）
（2） 求∠ACD 的余弦值.
【分析】（1）解Rt △ABC 及Rt △ACD 求出AC 、AD 即可求周长；（2）利用余弦定义求解
.
A
C
B D
【解答】（1）结AC ，∵AB=BC=15千米，∠B=90°， ∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=152千米. 又∵∠D=90°，
∴AD=2222)23()215(-=-CD AC =123（千米）
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米）.
面积=S △ABC +S △ADC =21×15×15+21×123×32=2
225+186≈157（平方千
米）.
（2）cos ∠ACD=
5
121523==AC CD . 【点评】解直角三角形时，如果已知两边，通常先根据勾股定理求出第三边，再根据三角函数求出其中的一个锐角，最后再利用两锐角互余求出另一个角.如果已知锐角和一边在解直角三角形时，先由两锐角互余，求出另一个锐角，然后利用恰当的三角函数求出另外两条边，或者利用三角函数求出另一条边后，再利用勾股定理求出第三边.如果是非直角三角形通常是添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题．
11、（2012珠海，16，7分）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO （不计粗细）上有两个木瓜A 、B （不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°.求C 处到树干DO 的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：
41.12,73.13≈≈）
第16题图
D B
A
O
C
【解析】如图,根据题意,得∠COD ＝90°, ∠ACO ＝45°, ∠BCO ＝30°, AB ＝2,求CO.设CO 为x 米, 根据AO ＝CO,列方程,解得即可. 【答案】解:设CO 为x 米 在Rt △BCO 中,tan30°＝
BO
CO
,则BO ＝33x 在Rt △ACO 中,AO ＝CO,得方程3
3
x ＋2＝x 解得x ≈5.答: CO 长大约是5米.
12、（2012云南省，20 ，6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为o 30 ，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一条直线上，已知32AC =米 ，
16CD =米 ，求荷塘宽BD 为多少米？（取31.73≈ ,结果保留整数）
【解析】本题主要考查正切的用法， 在Rt ACB 中：AC
tan ABC=BC
∠
BC AC tan BAC 30tan30303
=∠=?=??
3231632 1.731639
BD BC CD =-=-=?-≈
【答案】解：在ABC Rt 中：
AC
tan ABC=
BC
∠
BC AC tan BAC30tan30303
=∠=?=
儍
3231632 1.731639
BD BC CD
=-=-=?-≈
答：荷塘宽BD为39米。
13、（2012湖北黄冈，23，8）新星小学门口有一直线马路，为方便学生过马路，交警在门口设有一定宽度的斑马线，斑马线的宽度为4米，为安全起见，规定车头距斑马线后端的水平距离不得低于2米，现有一旅游车在路口遇红灯刹车停下，汽车里司机与斑马线前后两端的视角分别为∠FAE＝15°和∠FAD=30°.司机距车头的水平距离为0.8 米，试问该旅游车停车是否符合上述安全标准?(E、D、C、B 四点在平
行于斑马线的同一直线上.) (参考数据：tan15°=2-3，sin15°
=62
4
-
cos15°=
62
4
+
3≈1.732，2≈1.414）
【解析】求出CD长与2m比较即可.但CD不可直接求出，可在
Rt△ABD和
Rt△ABE中利用30°和15°角的正切值用AB的代数式表
示出BD、
BE，再列方程求解.
【答案】解：设AB=x，在Rt△ABD中，∠ADB=∠FAD=30°，∴BD =3x 在Rt△ABE中，∠AEB=∠FAE=15°，tan15°=AB
BE
，
∴BE=
()
2323
x
x =+- ∴ED=BE-DB=()
23x +-3x =4 ∴x=2，BD=23，
∴DC=DB-BC=23-0.8＞2 ∴该车路口停车符合规定的安全标准.
14、（2012·湖北省恩施市，题号21 分值 8）新闻链接，据【侨报网讯】外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退。
2012年5月18日，某国3艘5条刚刚完成黄岩岛护渔任务的“310”船人船未歇立即往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名渔民免受财产损失和人身伤害某国发现目前最先进的船正疾速驰救，立即掉头离去。
解决问题
如图10，已知“中国渔政310”船（A ）接到陆地指挥中心（B ）命令时，（C ）位于陆地指挥中心正南方向，位于“310”船西南方向，“310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=
3
6
140海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时。根以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间。 【答案】解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，在Rt △ABD 中，∵AB=
3
6
140，∠B=60°， ∴AD=AB ?sin60°=702，在Rt △ADC 中，AD=702，∠C=45°，∴AC=2AD=140，∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为140÷20=7（小时）。
答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时．
15、（2012甘肃兰州，22，6分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2 ，已知d 1=4米，140θ∠= ，236θ∠= ，楼梯占用地板的长度增加了多少米？ （计算结果精确到0.01米。参考数据：tan40°=0.839，tan36°=0.727）
解析：根据在Rt △ACB 中，AB=d 1tan θ1=4tan40°，在Rt △ADB 中，AB=d 2tan θ
2=d 2tan36°，即可得出
d 2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度．
第22题图
d 2
解：由题意可知可得，∠ACB=∠θ1，∠ADB=∠θ2 在Rt△ACB中，AB=d1tanθ1=4tan40°，
在Rt△ADB中，AB=d2tanθ2=d2tan36°，
得4tan40°=d2tan36°，
∴d2=4tan40
tan36
≈4.616，
∴d2-d1=4.616-4=0.616≈0.62，
答：楼梯占用地板的长度增加了0.62米．
16、（2012贵州遵义，21, 分）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某
高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，
∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈
0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）
解析：首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD 的长，继而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．
答案：解：过点C作CD⊥AB于D，
∵BC=200m，∠CBA=30°，
∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC?cos30°=200×=100≈173（m），∵∠CAB=54°，
在Rt△ACD中，AD=≈≈74（m），
∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．
答：隧道AB的长为247m．
17、（2012，湖北孝感，7，3分）如图，在塔AB前得平地上选择一点C，测出
看塔顶的仰角为30°，从C点向塔底B走100米到达D点，测出看塔顶的仰角
为45°，则塔AB的高为（）
A．503米B．1003米C．100
米
+
31
米
D．100
-
31
【解析】根据题意，有∠ACB=30°，∠ADB=45°，∠ABC=90°，所以BD=AB，
于是在Rt△ACB中，由tan30°=AB
BC ，得3
3100
AB
AB
=
+
，解得AB=100
31
-
．
【答案】D
18、（2012湖南衡阳市，24，6）如图，一段河坝的横截面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坝底宽AD．（i=CE：ED，单位：m）
解析：作BF⊥AD于点于F，在直角△ABF中利用勾股定理即可求得AF的长，在直角△CED中，利用坡比的定义即可求得ED的长度，进而即可求得AD的长．答案：解：作BF⊥AD于点F．则BF=CE=4m，
在直角△ABF中，AF===3m，
在直角△CED中，根据i=，则ED===4m．
则AD=AF+EF+ED=3+4.5+4=（7.5+4）m．答：坝底宽AD为（7.5+4）m．
19、（2012四川内江，18，9分）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为163米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．
（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后大坝背水坡面DE 的坡度．
【解析】（1）求出横截面△DCE 的面积，然后乘以坝堤长度即可得出体积．可以分别过点A ，D 作BC 边上的高将问题转化为解直角三角形问题．（2）求大坝背水坡面DE 的坡度就是求坡面DE 上一点到BE 的铅直高度与它到点E 的水平宽度的比，这一点通常取梯形的顶点．
【答案】解：（1）过点A 作AG ⊥BC 于G ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，
∴AG ＝DH ．
在Rt △ABG 中，AG ＝sin60°·AB ＝3
2
×16＝83， ∴DH ＝83．
∴S △DCE ＝12·DH ·CE ＝12
×83×8＝323. ∴需要填土石方323×150＝48003(m 3)．
（2）在Rt △DHC 中，HC ＝22DC DH -＝22(163)(83)-＝24， ∴HE ＝HC ＋CE ＝24＋8＝32． ∴加固后大坝背水坡面DE 的坡度＝
DH
HE
＝8332＝34．
A
B
C
D
图9
E
A
B
C
D
E G H
解直角三角形练习 一、耐心填一填 1．如图1，某车间的人字屋架为等腰三角形，跨度14AB =米，CD 为中柱，则上弦AC 的长是________米（用A ∠的三角函数表示）． 2．如图2，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，1EC =，5cos 13B =，则这个菱形的面积是________． 3．计算：22sin 302sin 60tan 45tan 60cos 30++-+= ________． 4．如图3，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点 作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为30°，在比例尺为1∶ 50000的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为3cm ， 则山顶P 的海拔高度约为________m ．（取3 1.732≈）． 5．已知ABC △中，90C ∠=，A B C ∠∠∠，，所对的边分别是a b c ，，，且3c a =，则cos A =________． 二、精心选一选 6．在ABC △中，90C ∠=，若2B A ∠=∠，则cos A 等于（ ） Ａ．3 Ｂ．32 Ｃ．12 Ｄ．23 7．在ABC △中，90C ∠=，AC BC =，则sin A 的值等于（ ） Ａ．12 Ｂ．22 Ｃ．32 Ｄ．1 8．ABC △中，90C ∠=，3sin 5A = ，则:BC AC 等于（ ） Ａ．3:4 Ｂ．4:3 Ｃ．3:5 Ｄ．4:5 9．如图4，Rt ABC △中，90C ∠=，D 为BC 上一点，30DAC ∠=， 2BD =，23AB =，则AC 的长是（ ） Ａ．3 Ｂ．22 Ｃ．3 Ｄ．332 10．Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4a b =，运用计算器计算，A ∠的度数（精确到1°）
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
初三解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题
1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm 三、求下列各式的值 1、sin 2600+cos 2600 2、sin600－2sin300cos300 3. sin300－cos 2450 4. 2cos450+|32 |
第18题图 C B A 锐角三角函数及解直角三角形的应用 一、选择题 1.如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 2.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A 80 3 3米 B ．403米 C ．40米 D ．10米 3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ） A ． 1：2 B. 3 ：2 C. 1： 3 D. 3 ：1 4．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）10 13 （D ）512 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)1 (B)2 （C ）2 2 (D)22 6．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（ ） （A ） 6323+ （B ）32 1 + （C ）233 （D ）213+ 7．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（ ） （A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2 8．如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=32米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ） （A ）32米 （B ）3米 （C ）3.2 米 （D ） 2 3 3米 A B C M N
解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 21 B. 3 3 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan = B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式 中，错误的是（ ） A.EG EF G =sin B. EF EH G =sin C. FG GH G =sin D. FG FH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
解直角三角形应用经典 【例1】：为了缓解酒泉市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌．已知立杆AB 高度是3m ，从侧面D 点测得显示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°．求路况显示牌BC 的高度． 练习1、如图所示,小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高（精确到0.1）． （参考数据：414 .12≈ 732.13≈） 练习2、2009年首届中国国际航空体育节在莱芜举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图， 有一热气球到达离地面高度为36米的A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部B 的仰角是37°，底部C 的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米） （参考数据：, 75.037tan ,80.037cos ,60.037sin ≈?≈?≈?73.13≈） B A C
【例2】：在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处 有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经 过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距83的C处． （1）求该轮船航行的速度； （2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由． 练习：如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装 天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于 C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长. 【例3】：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡AB的坡角∠BAD=ο 60,坡长AB=m 3 20,为加强水坝强度,将 坝底从A处向后水平延伸到F处,使新的背水坡的坡角∠F=ο 45,求AF的长度(结果精确到1米,参考数据: 414 .1 2≈,732 .1 3≈). N M 东 北 B C A l
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
解直角三角形 一、 填空题： 1. 若∠A 是锐角，cosA ＝ 2 3 ，则∠A ＝ 。 2. 在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA ＝2 1 ，则sinA ＝ ； 3. 求值：1sin 60cos 4522 ?? ?+2sin30°－tan60°＋cot45=__________。 4. 在倾斜角为30°的山坡上种树，要求相邻两棵树间的水平距离为3米，那么，相邻两棵 树间的斜坡距离为 米。 5. 已知等腰三角形的周长为20，某一内角的余弦值为3 2，那么该 等腰三角形的腰长等于 。 6. 如图：某同学用一个有60°角的直角三角板估测学校旗杆AB 的高度，他将60°角的直角边水平放在1.5米高的支架CD 上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D 、B 的距离为5米，则旗杆AB 的高度约为 米。（精确到1米， 3取1.732） 7. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE ＝2AE ，已知 AD ＝33，tan ∠BCE ＝ 3 3，那么CE ＝ 。 8. 正方形ABCD 的边长为1。如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 延长线上的点D '处，那么tan ∠BA D '＝ 。 二、选择题 1. 在△ABC 中，已知AC ＝3、BC ＝4、AB ＝5，那么下列结论成立的是（ ） A 、SinA ＝ 45 B 、cosA ＝53 C 、tanA ＝43 D 、cotA ＝5 4 2. 在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cosB 等于 （ ） （A ）3 （B ）2 （C ）33 （D ） 32 3. 为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角 为α,则楼房BC 的高为（ ） E D C B A 四川03/3 D A B C α
中考数学专题复习解直角三角形 【基础知识回顾】 一、锐角三角函数定义： 在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数 【提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关 2、取值范围
sinB cosB tanB 【提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是 当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】 3、解直角三角形应用中的有关概念 ⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 ⑵坡度坡角：如图： 斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得 夹角为用字母α表示，则i=h l = ⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角 如图：OA表示OB表示 OC表示（也可称西南方向） 3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤： ⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题） ⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形 ⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案 【提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】 【重点考点例析】 考点一：锐角三角函数的概念 例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A．1 2 B． 5 5 C． 10 10 D． 25 5 思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O， 根据网格的特点，CD⊥AB，
解直角三角形应用专题带答案
解直角三角形应用专题练习 一?解答题（共21小题） 1 ?在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的 高度?用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30。，再往雕塑方向前进4 米至B 处，测得仰角为45°.问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值?） A B 2?如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处, 它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处, 求此时船距灯塔的距离（参考数据：匚"1.414，二"1.732，结果取整数）. 3. 2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°, B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号） 4.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD,小亮 通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为/ EAB=60，/ EAC=30，第2页（共 31页）
且D, B, C在同一水平线上?已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD.（精 确到0.01米.参考数据：匚~ 1.414 , 7^ 1.732 ） 5?我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其 中山脚A C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由 B处望山脚A处的俯角为30°,由B处望山脚C处的俯角为45°,若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据 1.732 ） 6.随着航母编队的成立，我国海军日益强大. 2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡
一 填空题（每小题6分，共18分）： 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则cos A ＝ ，sin B ＝ ，tan B ＝ ，cot B ＝ ； 2．直角三角形ABC 的面积为24cm 2，直角边AB 为6cm ，∠A 是锐角，则sin A ＝ ； 3．等腰三角形底边长10cm ，周长为36cm ，则一底角的余切值为 . 二 选择题：（每题5分，共10分）： 1．sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于………………………………（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2sin 2θ 2． β ββ βcot sin tan cos ?? (0°＜β＜90°）等于…………………………………………（ ） （A ）sin β （B ）cos β （C ）tan β （D ）cot β 三 计算题（每小题6分，共18分）： 1．tan 30°cot 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45° 2．sin 266°－tan 54°tan 36°＋sin 224°； 3． 50 cos 40sin 0cos 45cot 30cos 330sin 145tan 41222-+-+． 四 解直角三角形（△ABC 中，∠C ＝90°，每小题6分，共24分）： 1．已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ． 2．已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c . 3．已知：c ＝26-，a ＝3－1 ， 求∠A 、∠B 、 b . 4．已知：a ＝6，b ＝23，求 ∠A 、∠B 、c . 五 在直角三角形ABC 中，锐角A 为30°，锐角B 的平分线BD 的长为8cm ，求这个三角形的三条边的长． 六 某型号飞机的翼形状如图所示，根据图中数据计算AC 、BD 和 CD 的长度（精确到0.1米）． A B
28.2 解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．2 2 (D)．22 2、如果α是锐角，且5 4cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ） 513 （B ）1213 （C ）1013 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）5 12 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． A B C D E ?15020米 30米