《光量子学基础》习题答案（沈建其提供，2009年6月）
说明：习题难度非常低，大多习题均可以在ppt 中直接找到答案。
第一次习题：
1．
计算（1）：de Broglie 波长均为5埃（?）的电子、中子与光子的动量与能量各为多少？
答：这三种粒子的动量都是342410
6.6310 1.3310510
p h λ---?===??Kg ·m/s (或24
1.310-? Kg ·m/s)。 电子的动能 ()
2
242
1830
0 1.33100.96510220.91110
k p
E m ---?=
==???J 6.03=eV （或6eV ） （1电子伏特＝19
1.6010
-?焦耳）
中子的动能 ()
2
242
2127
0 1.33100.5261022 1.6710
k p E m ---?=
==???J 2
0.33010-=?eV 以上使用牛顿力学的动能公式（6.03eV 远比电子的静止能量20m c 约0.5MeV 小，0.0033eV 远比中子的静止能量20m c 约990MeV 小，说明没有必要使用相对论来计算） 但光子是相对论性粒子，必须用相对论来计算：
光子动能（总能）2481.3310 3.0010k E pc -==???J ＝4.0016
10
-?J=2.503
10?eV 。
说明：虽然以上问题中，牛顿力学的动能公式是非常良好的近似，但使用相对论亦可。有
的学生计算了动能部分，有的学生计算了总能量2
E mc =，答案是开明的，都属对，但要知
道2
E mc =与动能2
2p m 之间如下关系：
粒子总能量2
E mc =
，动质量m =
2
E mc =可以用泰勒展开：
2246001...2E m c m v av bv =++++，其中20m c 为静止能量（rest energy ）, 201
2
m v 为牛顿
动能（它只是2
E mc =的一部分）。只有当低速的时候，220012m c m v +才重要，其中2012
m v
更重要。当高速的时候，2012
m v 不再重要。此时应该用2
E mc =等来计算。因此，本习题
求中子与电子的动能时，可以用如下两法：
①使用p =
求出速度v ，
代入2E =
求出总能量E, 再减去静止能量20m c ，
即是动能。
② 利用动量p 的数值，使用22224
0E p c m c =+，求出总能量E, 再减去静止能量20m c ，即
是动能。
以上两法是等价的。以上两法对于光电系学生不作要求，但还是有不少学生就使用了以上两法，说明他们对于普通物理掌握得不错。值得赞赏！！
计算（2）：当电子与中子的速度都为1000m/s 时，它们的物质波（de Broglie
波）波长各为多少？当它们通过一个宽度为10nm 的细缝时，谁的衍射效应强？哪者需要使用量子论研究，哪者可以近似用牛顿力学处理？
普朗克常数34
6.6310h -=?J ·s, 约化（reduced ）普朗克常数
341.05102h
π
-=
=?J ·s, 电子质量300.91110-?Kg, 质子与中子质量接近，可以取27
1.6710
-?Kg 。
答： 电子的物质波波长34
730
6.6310
7.30100.911101000h p λ---?===???m ＝730nm ， 中子的物质波波长3410
27
6.6310 3.97101.67101000
h p λ---?===???m ＝0.4nm ， 根据衍射理论，屏幕上衍射暗条纹之间的距离为/L a λ （L 为细缝与屏幕 之间的垂直距离，a 为缝宽）。波长越短，粒子性越强；波长越长，波动性越明显，衍射效应越强。电子的衍射效应强，电子需要使用量子论研究，本例中子可以近似用牛顿力学处理。
2． 根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Compton （康普顿）散射理
论独立推导一遍，体会光子的确具有客观实在性，同时锻炼自学能力。 答：略
3． 根据“1-量子力学的提出.ppt ”中的内容，把Bohr （波尔）的氢原子结构
理论的数学独立推导一遍，体会Bohr 创建原子模型的心路历程，同时锻炼自学能力。 答：略
第二次习题：
1．下面各个状态中，哪个与1ψ描写同一个状态？理由是？
2/2/3/1232/(2)/
2/456,,,
,
3,
(42).i x i x i x i x i x i x e e e e e i e π
ψψψψψψ--+====-==+
答：146(),(),()x x x ψψψ描述同一个状态（差别仅在于无关紧要的常数系数，它们可以通过归一化手续去掉）。
2．有两个波函数
12sin
()||()1,2,3,
20||sin
()||()1,2,3,20||n A x a x a x n a
x a n A x a x a x n a
x a
πψπψ?
-≤?==±±±??>?
?
+≤?==±±±??>?
1()x ψ与2()x ψ是否等价？理由是？
对1()x ψ中，2n =±的两个波函数，是否等价？理由是？ 答：
()()12sin
sin sin cos cos sin ;2222222
sin sin sin cos cos sin 2222222n n n n n n n A x a A x A x A x a a
a a n n n n n n n A x a A x A x A x a a a a πππ
ππππψπππππππψ??????
=-=-=-+-
? ? ???????
??????
=+=+=+ ? ? ?
??????
可以看出：
当n 是偶数的时候， sin 02n π
??±
= ???
，1()x ψ与2()x ψ等价。 当n 是奇数的时候，cos 02
n π
??±
= ???
，1()x ψ与2()x ψ等价。 说明：我们也可以使用如下更为方便且严密的做法：即把1ψ用2ψ表示出来。
()()()222222
422222222222
222
2
11sin 2221122sin sin
22n n n
n n n i x a i x a i x i x i i a a a a n n n n n n n n n n i x i x i x i x i i i i i i a a a a n n i
i
n x a e e e e e e a i i e e e e e e e e e e i i n n n x e e
a
ππππππ
ππππππππππππππππ
---------????-=-=-????????
????=-=-????????
??=+
= ???
()2x a a
+ 其中第三等号后使用了关系42
1n i
e π=。以上看出，1ψ与2ψ可以互相表示，它
们只相差一个常数系数22
n i e
π（常数系数之间的差别可以通过归一化手续去掉，所
以1ψ与2ψ等价）。 （说明：这里，22
(1)n i n e π
=-）
对1()x ψ中，2n =±的两个波函数，
()1sin
sin sin cos 22222
n n n n n A x a A x A x a a a πππ
ππ
ψ????=-=-=-
? ?????
，
2
n =±，它们等价。
3．由薛定谔方程
2
2[]2i
V t μ
?
ψ=-?+ψ?证明：
2
[]
2i t μ
*
**?ψψ=??ψ?ψ-ψ?ψ?（）， 并与粒子数守恒公式（连续性方程）
0J t
ω
?+??=?比较：如果粒子数密度ω定义为*ψψ，那么流密度J 的表达式是什么？
答：见PPT 讲义或曾谨言的《量子力学教程》（2003年出版）（有扫描电子版）p.17.
4．一维谐振子处于状态22()exp(/2)x A x ψα=-。求：归一化系数A （请用α表
示）。
答：假设归一化系数A 为实数。由归一化条件，可得
*
222
()()1
exp()1.
x x dx A x dx ψ
ψ
α+∞
-∞
=?-=??
由数学用表可以查得：22exp()x dx α+∞
-∞
-=
?
那么2
1A =
，所以A = 说明：如果没有数学用表，我们也可以自己计算22exp()x dx α+∞-∞
-?（是某一年的数学考研填空题），方法如下：
设2222exp()exp()I x dx y dy αα+∞+∞
-∞
-∞
=-=-??，
()()()
2222
220
22
22
20
2exp exp 2exp I x y dxdy r rdr r d r
ααππαααπα
+∞
-∞∞
∞
??=-+????=-???=-=???
那么，I =
21A =
，所以A = 注意：以上把,x y 看作直角坐标，2dxdy rdr π=是直角坐标与二维极坐标面积微元之间的转换。
第三次习题：
1．一维无限深势阱，其势能分布是：
,00,0,x V x a x a ?+∞
=≤≤??+∞>?
求势阱中的粒子波函数（包括归一化系数）与对应的能量本征值。
答：答案见曾谨言的《量子力学教程》（2003年出版）（有扫描电子版）p.32-33.
2．大学生应该有相当高的自学能力。根据 “4-力学量的算符表示与氢原子.ppt ”角动量算符（自学部分），独立推导出如下的角动量算符三个分量公式以及角动量算符平方公式（需要比较高的忍耐力。也有助于理解直角坐标系与球坐标系之间的关系，此训练具普适性）：
?[sin cot cos ]?
[cos cot sin ]?x
y z
L i L i L i φθφθφφθφθφφ???=+????
????=-+????
?
?=-????
2
222211?[(sin )]sin sin L θθθθθφ
???=-+??
?
答：球
坐标与直角坐标之间的换算关系式是：
)
()arctan
,
arctan /r z y x θ
?===。
利用多元函数求偏微分法则，直角坐标偏导数可以用球坐标偏导数表示：
2222,,r x y x x r x x r r x y r y x y y r y y r r x y r z z z r z z r r θ?θ??θ?θ??θ?θ??????????=++=-????????+??????????=++=+????????+?????????
=++=-???????? 在?x L i y z z y
????=-- ?
????
中，我们有 yz y z r
r ??=??， 222zy zx z y r r x y ????=++??+?， 所以，x 分量角动量
2222?sin cot cos ;x zx L i i x y x y ?θ?θ?θ???????? ?=---=+
? ??+???+???
? 在?y L i z x x
z ????=-- ?
????中，我们有
222zx zy z x r r x y ????=+??+?， xz x z r r ??=??， 所以，y 分量角动量
2222?cos cot sin ;y zy L i i x y x y ?θ?θ?θ???????? ?=--=-
+ ? ??+???+????
在?z L i x y y x ????=-- ?
????
中，我们有 22
2xy x x y r r x y ?
???
=+??+?，
2
22
yx y
y
x r r x y?
???
=-
??+?
，
显然，z分量角动量?
z
L i
?
?
=-
?
。
下面计算角动量算符平方：为了方便，引入一波函数ψ，让角动量算符作用在ψ上:
22
2
22
2
2
22
2
?sin cot cos sin cot cos
sin sin cot cos
cot cos sin cot cos cot cos
sin sin cos cot
x
Lψ?θ??θ?ψ
θ?
θ?
?ψ?θ?ψ
θθ?
θ??ψθ?θ?ψ
?θ??
?ψ??θ
θθ?
????
????
=-++
???
????
????
???
???
=-+
? ?
???
??
?
?
??
????
??
++?
? ?
????
?????
????
=-+
????
?
2
2
2
22
2
cot cos cot cos sin
cot cos sin cot cot cos
ψ
θ?ψθ??ψ
θ?θ
θ??θψθ?ψ
??
??
??
??
?
??
??
??
++
???
?
??
??
?
-+
?
???
???
22
2
22
2
2
22
2
?cos cot sin cos cot sin
cos cos cot sin
cot sin cos cot sin cot sin
cos cos sin cot
y
Lψ?θ??θ?
ψ
θ?θ?
?ψ?θ?ψ
θθ?
θ??ψθ?θ?ψ
?θ??
?ψ??θ
θθ
????
????
=--+-+
???
????
????
???
???
=--
? ?
???
??
?
?
??
????
??
+-+?
? ?
????
?????
???
=-+-
???
2
2
2
22
2
cot sin cot cos sin
cot sin cos cot cot sin
ψ
?
θ?ψθ??ψ
θ?θ
θ??θψθ?ψ
??
???
??
???
?
???
??
?
??
??
??
++-??
???
??
??
?
??
??
?
++
?
???
???
于是，可以得到()
22??x y L L ψ+。在()
22??x y
L L ψ+中，用、与标
记的项可以抵消掉，剩余的项为：
()
222
22
222??cot cot x
y
L
L
ψψθψθψθθ??????+=-++???????
，再加2
2
2
2
?z L ?
?=-?，得到： 22222
22222
222?cot cot 11sin sin sin L ψθθψθθ??θψθθθθ???????=-+++???????
????????=-+ ??????????
由于ψ为任意波函数，所以角动量算符平方的表达式是
222
2211?sin .sin sin L
θθθθθ???
?????=-+ ??????????
命题得证。
3．由于氢原子内电子是没有确定的轨道的，电子位置测不准度x ?就是氢原子半径（大约为0.5埃）。根据动量－位置测不准关系2
p x ??≥
，试计算动量不确定度p ?。
再计算()2
/2p μ? （μ为电子质量），看看()2
/2p μ?与氢原子基态能量13.6-eV 是否处于同一数量级？如果处于同一数量级，说明什么？
根据动量－位置测不准关系，计算一个宏观小球的动量不确定度p ?（假设小球的质量为10克，位置不确定度是0.01米，小球的速度是5m/s ）。将动量不确定度p ?与小球动量比较，比较结果说明了什么？
答：动量不确定度34
2410
1.0510 1.0510220.510
p x ---??≥==????Kg ·m/s 。 ()()
2
242
1830
1.0510/20.6051020.91110p μ---??≥
=???J ＝3.78eV (用了1ev=191.6010-?J)
由于3.78eV 与13.6-eV 处于同一量级水平，说明：氢原子内电子是没有确定的
轨道的，轨道概念没有意义，电子波动性占主导地位，电子的位置是不确定的，跟踪一个电子的运动是无意义，我们只能预言电子出现在该点的几率。电子与质子（氢原子核）虽然具有强大的库仑吸引力，但是因为电子的波动性，电子要离域于大约0.5埃尺度的空间区域，这就是电子不会掉进原子核中去的原因，等等。
宏观小球的动量不确定度34
321.05100.5310220.01
p x --??≥==??? Kg ·m/s 。这比起宏观小球的动量来，实在太小了。说明：宏观小球的动量是确定的，可以跟踪，
粒子性明显。
4．
证明角动量对易关系???[,]y z x
L L i L = 答：此有多种证明方法（包括简洁证明方法，但知识要求较高）。下面使用最原始最笨拙也
最容易理解的方法：
?y L i z x x z ????=-- ?
????， ?z L i x y y
x ????=-- ?????。为了方便，引入一波函数ψ，让角动量算符作用在ψ上：
2
2??[,],,,,,y z
L L z x x y x z y x z x z y x x x y x y x x z y z x ψψψψψψ??????=---???????
???????????????????=---+??
??????????????????????
????
花括号内的项：
,;,0;
,0;
,z x z x x z z x y x y y x y z y z y y z x x x x x x x x x x x x z y z y y z x y x y y x z x z x x ψψ
ψψψψψψψψψψ?????????????=-= ? ????????????????
?
???????????-=-+= ? ???????????
????????????????
-=-+= ? ?????????????
???
?????????=- ??????????
??.y z z ψψ???=- ?????
于是，花括号内的项之和为z
y y
z ψψ??
??- ?????，那么
2
???[,]y z
x L L z y i i y z i L y z z y ψψψψψ??????????=--=--=?? ? ??????????
?。由于ψ任意，所
以???[,]y z x
L L i L =成立。命题得证。 说明：在经典世界中，0y z z y L L L L -=，但在量子世界中，[,]0y z y z z y L L L L L L ≡-≠。
5．
选择题：电子显微镜与扫描隧道显微镜获得了1986年Nobel 物理学奖，
它们各自使用了什么量子特性： 电子显微镜原理（A ）；扫描隧道显微镜原理（B ）
A. 电子的波动性
B. 隧道（势垒）贯穿效应
C. 电子具有自旋自由度
D. 电子能量（能级）量子化
（可以使用网络资源，去了解电子显微镜与扫描隧道显微镜的基本原理）
第四次习题： 1．电子自旋算符为：
试证明：它们也满足与角动量对易关系[,]y z x L L i L =类似的式子：
[,]y z x S S i S =。
依次类推，我们还可以得到[,]x y z S S i S =，[,]z x y S S i S =。试证明以上三式可以合并写为：S S i S ?=。
（注意：如果S 是经典物理量，S S ?必然为零，但现在S 是算符，S S ?不为零）
答：
2
22010100[,]00101040000004201102y z y z z y z
i i S S S S S S i i i i i i i i i i S ?--?
????????=-=- ?
??? ???--??????????
?-???????=-= ? ? ? ?-??????
????=?= ???
由于S S i S ?=的三个分量公式是：
,,,
y z z y x z x x z y x y y x z S S S S i S S S S S i S S S S S i S -=-=-= 而[,]y z x S S i S =，[,]z x y S S i S =，[,]x y z S S i S =也可以写为上述三式，所以该三式可以合并写为：S S i S ?=。命题得证。
2．Stern －Gerlach 实验对于预言电子自旋概念具有重要的启发性意义。叙述Stern －Gerlach 实验现象，并对现象进行解释。 答：已知具有磁矩μ（磁偶极矩）的粒子在磁感应强度B 的磁场中具有势能V B μ=-?。如果B 非均匀（B 是空间的函数）
，那么粒子受到一个力()
F V B μ=-?=??。利用这个理论机制，来设计Stern －Gerlach 实验：
用两块磁铁制备非均匀磁场（沿着z 方向）。假设有一束银原子（处于基态，
???
?
??-=
???
?
??-=
???
? ??=
1001200201102 z y x S i i S S
轨道量子数L=0）沿着y 方向运动，射入磁场。实验表明：入射银原子束分裂为两小束，在屏幕上观察到两条由银原子堆积的亮线。由于银原子基态轨道量子数L=0，说明没有轨道磁矩。那么导致银原子分束的磁矩来自什么呢？可以来自电子的自旋（与自旋磁矩）。由于入射银原子束分裂为两小束，说明电子自旋磁矩只可以取两个数值（不连续），那么自旋也只有两个数值（不连续），电子自旋为
2z S =±。
3. 求Pauli 矩阵与空间单位矢量的乘积n σ?的本征态与本征值λ，其中(sin cos ,sin sin ,cos )n θ?θ?θ=，cos sin sin cos i i e n e
??
θ
θσθθ-??
?= ?-??
。
（答案是： 有两个本征态与本征值λ： 2
2cos 2sin 2i i e e ?
?
θθ-?? ?
? ? ???，1λ=+； 2
2s i n 2c o s 2i i e e ?
?
θθ-?? ? ? ?- ???
，
1λ=-）
答：先求cos sin sin cos i i e e
??
θ
θθθ-??
?-??
的本征值λ：
cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b e e ????
θθθλ
θλθθθθλ--????-????
??
=?= ? ? ? ?
?---??????
????
具有非零本征态的条件是矩阵行列式为零：cos sin det 0sin cos i i e e
??
θλ
θθθλ-??
-= ?--??
，
所以()()2cos cos sin 01θλθλθλ-++=?=±
所以，本征值λ有两个。
下面求两个本征值对应的本征态：
对于1λ=，
cos 1sin 0sin cos 1i i a e b e ??θθθθ-??-??= ? ?--????， 2
2
c o s c o s s i n 22.1cos sin sin
2
2
i
i i i
e e a e b e
??
??θ
θ
θθθθ
---?===
-
对于1λ=-，
cos 1sin 0sin cos 1i i a e b e ??
θθθθ-??+??= ? ?-+????， 2
2sin 2.cos 2
i
i e a b e ?
?θ
θ-?=-
所以，有两个本征态与本征值λ：
2
2cos 2sin 2i i e e ?
?
θθ-?? ?
? ? ???，1λ=+；
2
2s i n 2c o s 2i i e e ?
?
θθ-?? ? ? ?- ???
，1λ=-。
说明：这两个本征态都是归一化了的，且它们之间是正交的，即第一个态矢量
2
2cos 2sin 2i i e e ?
?θθ-?? ? ? ? ???的厄密共轭（转置＋取复共轭）2
2
cos sin
22
i i
e e
??θθ
-??
??
?
与第二个态矢量2
2sin 2cos 2i i e e ?
?
θθ-?? ? ? ?- ?
??的内积为零：2
222sin 2cos sin 022cos 2i i i i e e e e ?
???
θθθθ--?? ??? ?≡ ? ?
??- ???
。
4. 电子x,y 分量的自旋算符为
010,
10022x y i s s i -??
??== ? ?????。当电子自旋波函数为z s 本征态10??
???
时，计算
()
2
x s ?，()2
y s ?。
提示：()()2
2
2
x x
x
s s s ?=-，答案都为
2
/4。
答：电子x 分量自旋的平均值是()011100,1002x s ????=
= ???????
电子x 分量自旋平方的平均值是()2
2
201011101010044
x
s ??????
== ???????????。
所以()()
2
2
2
2
.4
x x
x
s s s ?=-=
电子y 分量自旋的平均值是()011
00,002
y i s i -????=
= ???????
电子y 分量自旋平方的平均值是()2
2
20011000044
y
i i s i i --??????
== ???????????。
所以()()
2
2
2
2.4
y y
y
s s s ?=-=
说明：对于z s 本征态10??
???
，z s 的本征值是2，因为10012z s ??= ?-??， 11.002z s ????= ? ????? 我们也可以计算出()
2
0z s ?=，z s 在其自己的本征态10?? ???中，是完全确定的。但()2
x s ?，()2
y s ?不等于零，说明电子x ，y 分量自旋值是不确定
的，这是因为x s ，y s 都与z s 不对易之故。（如果对易关系[,]0A B ≠，那么当A 能确定的时候，B 必然不确定；或当B 能确定的时候，A 必然不确定。A ，B 不具有共同的本征态）
第五次习题：（由童利民老师提供）
――――――――――――――― 趣味阅读与思考：
由于普朗克常数实在太小，所以量子特性在宏观世界并不明显或者观察不到。我们假设，普朗克常数是1000 J ·s , 张三的体重是50Kg, 速度是2m/s, 计算一下张三的物质波波长。拿此物质波波长与张三的身体尺度（米量级）比较，问：确定张三的位置（坐标）还有意义吗？
答：物质波波长1000100
h p λ=
=m ＝10m 。由于张三的物质波波长为10米，而张三的身体尺度为一米量级，物质波波长远大于身体尺寸，所以确定张三的位置（坐标）已经毫无意义。幸好实际的普朗克常数非常微小，这使得一个人的位置坐标具有物理意义（这使得两个人之间的约会变得容易，只要告诉时间地点即可，否则若波动性太强，两人只有擦肩而过的份）。
当普朗克常数是1000 J ·s 时，试举出可能会发生在现实世界的三个奇特例子。
答：（1）绕着操场跑步的学生的速率是量子化的。如：设操场（圆周）半径是r =20m ，学生体重是50Kg 。物质波波长h
mv
λ=
。操场圆周长为2r π，设2r π等于整数n 个物质波波长：10002 6.2822 1.605020
h n n
h
r n r n v n mv mr ππλ
π=?=?===? 米/秒。
速率为1.60n ，是1.60的整数倍, 学生只能选择1.60米/秒， 3.20米/秒, 4.80米/秒, 6.40
米/秒……， 其他不满足1.60n 的速率是不可能存在的。 说明： 但实际的
341.05102h
π
-=? J ·s 很小, 绕着操场跑步的学生的速率是372 1.0510h
n
v n mr
π-==?米/秒。因3710-实在微小，速率v 是准连续的，也就是说，相邻速
率37
1.0510
n -?与()371.05101n -?-非常接近，看不出变化。因此从这个意义上说，在宏
观世界中，速率是可以“连续取值”的。宏观世界中，量子效应之所以不明显，是因为相邻能级之间的能量差实在非常小，看不出改变，但世界本质上是量子化的，“连续性”只是近似而已。
（2）如果普朗克常数足够大，地球绕着太阳转，其轨道不是任意的，地球的机械能也是量子化的（类似氢原子情形）。
（3）如果普朗克常数足够大，崂山道士穿墙而过（势垒贯穿效应），将成为可能。波动性导致势垒贯穿效应。一般说来，单纯从粒子性讲，粒子速率2
v 若小于2gh （,g h 为重力加速度，势垒高度），那么粒子无法穿越势垒（因动能小于势能）。但如果普朗克常数足够大，波动性明显，将导致势垒贯穿效应。势垒贯穿效应在近代物理与技术中具有多方面应用。