平面向量基础知识复习
平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示. 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移.
举例1 已知(1,2)A ，(4,2)B ，则把向量AB
按向量(1,3)a =-
平移后得到的向量是_____. 结果：(3,0)
2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0 ，规定：零向量的方向是任意的；
3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB 共线的单位向量是||
AB
AB ±
）； 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a
∥b ， 规定：零向量和任何向量平行.
注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有0
)；
④三点A B C 、、共线 AB AC ?
、共线.
6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -
.
举例2 如下列命题：（1）若||||a b =
，则a b =
.
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.
（3）若AB D C =
，则ABCD 是平行四边形.
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =
.
（5）若a b = ，b c = ，则a c =
.
（6）若//a b ，//b c 则//a c
.其中正确的是 . 结果：（4）（5）
二、向量的表示方法
1.几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB
，注意起点在前，终点在后；
2.符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；
3.坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j
为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(,)a xi yj x y =+=
，称(,)x y 为向量a 的坐标，(,)a x y = 叫做向量a
的坐标表示.
结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 三、平面向量的基本定理
定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122
a e e λλ=+ . （1）定理核心：1122a λe λe =+ ；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a
的合成.
（3）向量的正交分解：当12,e e 时，就说1122a λe λe =+
为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）若(1,1)a = ，(1,1)b =- ，(1,2)c =- ，则c = . 结果：1322
a b -
.
（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 B
A.1(0,0)e = ，2(1,2)e =-
B.1(1,2)e =- ，2(5,7)e =
C.1(3,5)e = ，2(6,10)e =
D.1(2,3)e =-
，213,2
4e ??=- ???
（3）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC 上的中线,且AD a = ，BE b = ,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433
a b +
.
（4）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB = ，CD rAB sAC =+
，则r s +=的值是 . 结果：0.
四、实数与向量的积
实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ
，它的长度和方向规定如下：
（1）模：||||||a a λλ=?
；
（2）方向：当0λ>时，a λ
的方向与a
的方向相同，当0λ<时，a λ
的方向与a
的方向相反，当0λ=时，0a λ=
，
注意：0a λ≠
.
五、平面向量的数量积
1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作O A a = ，OB b = ，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b
的夹角.
当0θ=时，a
，b
同向；当θπ=时，a
，b
反向；当2
πθ=
时，a
，b
垂直.
2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ
叫做a 与b 的数量积
（或内积或点积），记作：a b ? ，即||||cos a b a b θ?=?
.
规定：零向量与任一向量的数量积是0.
注：数量积是一个实数，不再是一个向量.
举例4 （1）ABC △中，||3AB = ，||4AC = ，||5BC = ，则AB BC ?=
_________. 结果：9-.
（2）已知11,2a ??= ??? ，10,2b ??=- ??
? ，c a kb =+ ，d a b =- ，c 与d 的夹角为4π
，则k = ____. 结果：1.
（3）已知||2a = ，||5b = ，3a b ?=-
，则||a b += ____. （4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==- ，则a 与a b +
的夹角为____. 结果：30 .
平面向量基础知识复习
3.向量b 在向量a
上的投影：||cos b θ ，它是一个实数，但不一定大于0.
举例5 已知||3a = ，||5b = ，且12a b ?= ，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：12
5
.
4.a b ? 的几何意义：数量积a b ? 等于a 的模||a
与b 在a 上的投影的积.
5.向量数量积的性质：设两个非零向量a
，b ，其夹角为θ，则：
（1）0a b a b ⊥??=
；
（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ?=? ，特别地，22||||a a a a a =?=? ；
||||a b a b ?=?
是a 、b 同向的充要分条件；
当a 、b 反向时，||||a b a b ?=-? ，||||a b a b ?=-?
是a 、b 反向的充要分条件；
当θ为锐角时，0a b ?> ，且a
、b 不同向，0a b ?> 是θ为锐角的必要不充分条件；
当θ为钝角时，0a b ?< ，且a
、b 不反向；0a b ?< 是θ为钝角的必要不充分条件.
（3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||
a b a b θ?= ；④||||a b a b ?≤
.
举例6 （1）已知(,2)a λλ= ，(3,2)b λ= ，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且1
3
λ≠；
（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ?= ，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ??
???
；
（3）已知(cos ,sin )a x x =
，(cos ,sin )b y y = ，且满足|||ka b a kb +- （其中0k >）.
①用k 表示a b ? ；②求a b ? 的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21
(0)4k a b k k
+?=> ；②最小值为12，60θ= .
六、向量的运算
1.几何运算 （1）向量加法
运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.
运算形式：若AB a = ，BC b = ，则向量AC 叫做a
与b 的和，即a b AB BC AC +=+= ；
作图：略.
注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.
（2）向量的减法
运算法则：三角形法则.
运算形式：若AB a = ，AC b = ，则a b AB AC CA -=-=
，即由减向量的终点指向被减向量的终点. 作图：略.
注：减向量与被减向量的起点相同.
举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0
；
（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a = ，BC b = ，AC c = ，则||a b c ++=
. 结果：
（3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-
，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；
（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++= ，设||
||
AP PD λ=
，则λ的值为 . 结果：2；
（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=
，则ABC △的内角C 为 . 结果：120 .
2.坐标运算：设11(,)a x y =
，22(,)b x y = ，则
（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--
.
举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R
，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：1
2
； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且
1(sin ,cos )2AB x y = ，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2
π
-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =
，2(2,5)F =-
，3(3,1)F =
，则合力123F F F F =++
的终点坐标是 . 结果：(9,1).
（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==
.
（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--
，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB = ，3AD AB = ，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11
(1,),(7,9)3
-.
（4）平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+
.
举例10 已知向量(sin ,cos )a x x = ，(sin ,sin )b x x = ，(1,0)c =-
.
（1）若3
x π
=
，求向量a 、c
的夹角；
（2）若3[,]84x ππ∈-
，函数()f x a b λ=? 的最大值为12，求λ的值.结果：
（1）150 ；（2）1
2
或1.
（5）向量的模：2222||||a a x y a ==+?=
（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠= ，平面上任一点P 关于斜坐标系
的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ ，其中12,e e
分别为与x 轴、y 轴同方向的单 位向量，则P 点斜坐标为(,)x y .
（1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=.
七、向量的运算律
1.交换律：a b b a +=+ ，()()a a λμλμ=
，a b b a ?=? ；
2.结合律：()a b c a b c ++=++ ，()a b c a b c --=-+ ，()()()a b a b a b λλλ=?=?
；
3.分配律：()a a a λμλμ+=+ ，()a b a b λλλ+=+ ，()a b c a c b c +?=?+?
.
举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ?-=?-?
；② ()()a b c a b c ??=??
；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+
；
④ 若0a b ?= ，则0a = 或0b = ；⑤若a b c b ?=?
则a c = ；⑥22||a a = ；⑦2a b b a
a ?=
；⑧222()a b a b ?=? ；⑨222()2a b a a b b -=-?+ .
其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；
（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ??≠??
，为什么？
八、向量平行(共线)的充要条件
221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ???=?-=
.
举例14 (1)若向量(,1)a x =
，(4,)b x = ，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.
（2）已知(1,1)a = ，(4,)b x = ，2u a b =+ ，2v a b =+
，且//u v ，则x = . 结果：4.
（3）设(,12)PA k =
，(4,5)PB =
，(10,)PC k =
，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11.
九、向量垂直的充要条件
12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥??=?+=-?+=
.
特别地||||||||AB AC AB AC AB AC AB AC ????+⊥- ? ? ? ?????
. 举例15 (1)已知(1,2)OA =- ，(3,)OB m = ，若O A O B ⊥ ，则m = .结果：3
2
m =；
（2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；
（3）已知(,)n a b = 向量n m ⊥ ，且||||n m =
，则m = 的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -.
十、线段的定比分点
1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=
，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P
的以定比为λ的定比分点. 2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系
（1）P 内分线段12P P
，即点P 在线段12P P 上0λ?>；
（2）P 外分线段12P P
时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ?<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ?-<<.
注：若点P 分有向线段12
P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21
P P
所成的比为1λ
.
举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：7
3
-.
3.线段的定比分点坐标公式：
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，
点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为12
12
,1(1).1x x x y y y λλλλλ
+?
=??
+≠-?+?=?+?
. 特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式121
2,2.
2
x x x y y y +?=???+?=??
说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标. （2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ. 举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13
MP MN =
-
，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3
--；
（2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线1
2
y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a = . 结果：２或4-.
十一、平移公式
如果点(,)P x y 按向量(,)a h k = 平移至(,)P x y ''，则,
.
x x h y y k '=+??
'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k = 平移得曲线(,)0f x h y k --=.
说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！
举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a
把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；
（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a = ________. 结果：(,1)4
π
-.
十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+
.
（1）右边等号成立条件： a b 、
同向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ?+=+ ； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0 ||||||a b a b ?-=+
； （3）当 a b 、
不共线||||||||||a b a b a b ?-<+<+
. 3.三角形重心公式
在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123
(
,)33
x x x y y y G ++++. 举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33??
- ???
.
5.三角形“三心”的向量表示
（1）1()3
PG PA PB PC G =++?
为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=? 为△ABC 的重心.
（2）
PA PB PB PC PC PA P ?=?=?? 为△ABC 的垂心. （3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=? 为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ??
+≠ ? ???
所在直线过△ABC 的内心.
6.点P 分有向线段12P P
所成的比λ向量形式
设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则12
1MP MP MP λλ
+=+ ，特别地P 为有向线段
12P P 的中点12
2
MP MP
MP +?=
. 7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线?存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+
且1αβ+=．
举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+
,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
高中数学必修4知识点总结 第一章三角函数（初等函数二） ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
欢迎使用，祝您学有所成。 第一单元 1）achieve 表示“完成，到达”。 区别achieve，reach，gain： achieve着重表示达到一定目的的过程中所需要的技能，耐性和努力。 reach指达到任何目标、目的或指达到发展过程中的某个阶段。 gain强调经过奋斗才达到所期望的目标、优势或者有利地位。 2）condition 表示“条件”，condition为单数时，表示人/物所处的“状态”。 conditions（复数）指一般情况，环境。 in good/poor condition状况好/不好。 out of condition状况不好。 on condition that在……条件下，假使。 on no condition决不。 3）connection 表示“连接，关系”。 connections亲戚。 in connection with与……有关。 4）behave 表示“举止，举动，行为表现”。 behave oneself表现良好，行为良好。 behave as起……作用，表现为……。 5）worthwhile 表示“值得做的，值得出力的”。 句型It is worhtwhile doing/to do sth“干……是值得的”。 6）observe 表示“观察，注意”，可接省略to的不定式的复合结构，当observe用被动语态时，其后的不定式应回复to。 observe后也可接由现在分词构成的复合结构。 后接that从句，表示“注意到，说”。 observe还可以表示“遵守，庆祝”。 7）respect 作动词，后直接跟宾语。 respect oneself自重，自尊。 作名词，表示“尊重，尊敬”。have/show respect for意为“对……尊重/尊敬”。 have respect to注意，考虑。 表示“敬意，问候”时，用复数形式，常与give，send，pay连用。 in respect of sth就某方面而言。 with respect to 涉及，关于。 8）argue 表示“争论，辩论”。
一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;
高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法
高中英语必修四知识要点归纳高中英语必修四知识要点归纳 1)achieve 表示“完成，到达”。 区别achieve，reach，gain： achieve着重表示达到一定目的的过程中所需要的技能，耐性和努力。 reach指达到任何目标、目的或指达到发展过程中的某个阶段。 gain强调经过奋斗才达到所期望的目标、优势或者有利地位。 2)condition 表示“条件”，condition为单数时，表示人/物所处的“状态”。 conditions(复数)指一般情况，环境。 ingood/poorcondition状况好/不好。 outofcondition状况不好。 onconditionthat在……条件下，假使。 onnocondition决不。 3)connection 表示“连接，关系”。 connections亲戚。 inconnectionwith与……有关。
4)behave 表示“举止，举动，行为表现”。 behaveoneself表现良好，行为良好。 behaveas起……作用，表现为……。 5)worthwhile 表示“值得做的，值得出力的”。 句型Itisworhtwhiledoing/todosth“干……是值得的”。 6)observe 表示“观察，注意”，可接省略to的不定式的复合结构，当observe用被动语态时，其后的不定式应回复to。 observe后也可接由现在分词构成的复合结构。 后接that从句，表示“注意到，说”。 observe还可以表示“遵守，庆祝”。 重点短语 1.breakinto闯入，进入 2.uptonow直到现在 4.feel/becontentwith对……满足 5.badlyoff穷的，缺少的` 7.pickout挑选出，辨认出 8.ontheedgeof在…边沿 9.cutoff切断，断绝 10.insilence沉默，不作声 11.makeuseof使用
数学必修4第二章 平面向量知识点 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。 2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如,AB a 的模分别记作|AB |和||a 。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量 (1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行， 零向量a ＝0?｜a ｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别） (2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量0a 为单位向量0||1a ?=。将一个 向量除以它的模即得到单位向量，如a 的单位向量为：||a a e a = (3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a ∥b 。 规定：0与任何向量平等， 任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。 （4）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。记作a -。 关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②)(a --=a ； ③ ()0a a +-=； ④若a 、b 是互为相反向量，则a =b -,b =a -,a +b =0 。
b a b - C （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为b a =。相等向量经过平移后 总可以重合。 2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法 （1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC 。 规定：a a a =+=+00； （2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量 是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向 最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注： 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR +++ ++=，但这时必须“首尾相连”。 （3）向量加法的运算律： ①交换律：a b b a +=+ ②结合律：()()a b c a a c ++=++ 2.法向量的减 （1） 定义：若a x b +=则向量x 叫做a 与b 的差，记为b a -。求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 （2） 向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 三角形法则：当,a b 有共同起点时，a b -表示为从减向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量。 ② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所
政治必修四 第一单元生活智慧与时代精神 1、哲学是系统化，理论化的世界观。是世界观和方法论的统一 世界观决定方法论，方法论体现世界观 2、哲学的基本问题是思维和存在（意识和物质）的关系问题 包括思维和存在的第一性问题（区分唯物主义和唯心主义的唯一标准）和同一性问题（区别可知论和不可知论）。 3、唯物主义： 古代朴素唯物主义：否认世界是神创造的，认为世界是物质的，坚持了唯物主义的根本方向。（局限性：只是一种猜测，没有科学依据，把物质归结为具体的物质形态。） 近代形而上学唯物主义：把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界本原。（局限性：具有机械性，形而上学性和历史观上的唯心主义等局限性。） 辩证唯物和历史唯物主义：认为世界的本质是物质，物质第一意识第二，意识具有主观能动性。(优点：正确揭示了物质世界的基本规律，反映了社会历史发展的客观要求。) 下列说法均属于唯物主义： 天地合气，万物自生。巧妇难为无米之炊。形存则神存，形谢则神灭。 天地合而万物生。实事求是，求真务实。天行有常，不为尧存，不为桀亡。 人病则忧惧，忧惧则鬼出。气者，理之依也。 4、唯心主义： 主观唯心：把人的主观精神（如，人的目的，意识，感觉）夸大为唯一的实在。当成第一性的东西，认为客观事物以及整个世界，都依赖于人的主观精神。 掩耳盗铃。画饼充饥。望梅止渴。物是观念的结合，存在即被感知。 我思故我在。心外无物。宇宙便是吾心，吾心即是真理。 眼开则花明，眼闭则花寂。人的理性为自然立法。心想事成，梦想成真。 客观唯心：把客观精神（如上帝，理念，绝对精神）看作世界的主宰和本原，认为现实的物质世界只是这些客观精神的外化和表现。 道生一，一生二，二生三，三生万物。理生万物。 上第七天创造世界。现实世界是理论世界的影子。 5、辩证法和形而上学 6、马克思主义哲学中国化的重大理论成果：毛泽东思想，邓小平理论，“三个代表”重要思想，科学发展观。
§ 平面向量的实际背景及基本概念 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段．．．．． 的起点无关．．．．． . 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的．．．．．．起点无关）．．．．． . 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a
人教版高中数学必修四知识点归纳总结 1.1．1 任意角 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外) 在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 1．定 义 我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫 做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为;ππ=r r ②整圆所对的圆心角为.22ππ=r r ③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度： π2360=?； π=?180；rad 01745.01801≈=?π；rad n n 180 π=?． ②将弧度化为角度： ?=3602π；?=180π；815730.57)180(1'?=?≈?=πrad ；?=) 180 (π n n ． 5．常规写法： ① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360 ° 弧度 0 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
高中数学必修4知识点总结 平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一 直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大 小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终
高一数学平面向量章节复习试题（必修4） （共160分，考试时间120分钟 ） 得分： 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案写在横线处） 1．若有以下命题： ① 两个相等向量的模相等； ② 若a 和b 都是单位向量，则b a =； ③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④b a //，b c //，则c a //； ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 其中正确的命题序号是 。 2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。 3. 任给两个向量a 和b ，则下列式子恒成立的有________________。 ①||||||b a b a +≥+②||||||b a b a -≥- ③||||||b a b a +≤-④||||||b a b a -≤- 4. 若a AB 3=，a CD 5-=且||||BC AD =，则四边形ABCD 的形状为________。 5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标为___________。 6. ABC ?的三个顶点坐标分别为),(11y x A ，)(22y x B ，)(33y x C ，若G 是ABC ?的重心，则G 点的坐标为__________，=++GC GB GA __________________。 7. 若向量)1,1(=a ，)1,1(-=b ，)2,1(-=c ，则=c ___________(用a 和b 表示)。 8. 与向量)4,3(=a 平行的单位向量的坐标为 ________________。 9. 在ABC ?中，已知7=AB ，5=BC ，6=AC ，则=?BC AB ________________。 10.设)3,(x a =，)1,2(-=b ，若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值围是 __ ____。 11. 直线l 平行于向量)3,2(-=a ，则直线l 的斜率为____________。 12. 已知)4,3(-=a ，)sin ,(cos θθ=b )(R ∈θ，则|2|b a -的取值围是 _________。 13.已知向量a 、b 不共线，且||||b a =，则b a +与b a -的夹角为 __________。 班级 X X 考号
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关 系
高中 数 学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的 起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法 ),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向 量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在 有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可 以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记 为b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量
高中政治必修四知识点总结 第二课：百舸争流的思想 ※1、什么是哲学的基本问题？它包括哪些内容？ 哲学的基本问题是思维和存在的关系问题。它包括两方面的内容：①思维和存在何者为第一性的问题。②思维和存在有没有同一性的问题。 2、为什么思维和存在的关系问题是哲学的基本问题？ ①哲学的基本问题与我们的生活息息相关②思维和存在的关系问题，是一切哲学都不能回避，必须回答的问题。 ※3、唯物主义和唯心主义的基本观点： 唯物主义：物质是本原，先有物质后有意识，物质决定意识。 唯心主义：意识是本原，物质依赖于意识，意识决定物质。 ※4、唯物主义的三种基本形态及其合理性、局限性： 唯物主义的三种基本形态即古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义和历史唯物主义。 理解：①古代朴素唯物主义：合理性——否认世界是神创造的认为世界是物质的，坚持了唯物主义的根本方向，本质上是正确的。局限性——这些观点知识一种可贵的猜测，没有科学依据；它把物质归结为具体的物质形态，着就把复杂问题简单化了。 ②近代形而上学唯物主义：合理性——在总结自然科学成就的基础上，丰富和发展了唯物主义。局限性：它把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界的本原，原子的属性就是物质的属性，因而具有机械性、形而上学性和历史观上的威信注意等局限性。 ③辩证唯物主义和历史唯物主义：正确地揭示了物质世界的基本规律，反映了社会历史发展的客观要求，反映了最广大人民群众的根本利益。它是现时代的思想智慧，是无产阶级的科学的世界观和方法论，是我们认识世界和改造世界的伟大思想武器。 ※5、唯心主义的两种基本形态：主观唯心、客观唯心 ※6、辩证法和形而上学的斗争从属于唯物主义与唯心主义的斗争 第三课：时代精神的精华 ※1、哲学与经济政治的关系：哲学是经济、政治在精神上的反映。 2、为什么真正的哲学是自己时代的精神上的精华？ ①正确地反映了时代的任务和要求。②牢牢把握了时代的脉搏③正确地总结和概括了时代的时间经验和认识成果。 3、哲学对社会变革的作用： ①通过对社会的弊端、对旧制度和旧思想的批判，更新人的观念，解放人的思想。②预见和指明社会的前进方向，提出社会发展的理想目标，指引人们追求美好的未来，动员和掌握群众，从而转化为变革社会的巨大物质力量。 4、马克思主义哲学产生的阶级基础、自然科学基础和直接理论来源： 阶级基础：无产阶级的产生和发展、
AB 0 0 b AB 一、知识纲要 《必修 4》 第二章 平面向量 1、向量的相关概念： （1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为 或a 。 向量又称矢量。 ①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通 的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。 （2） 向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。 记作：| AB |或｜ a ｜。 （3） 零 向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 向 量： 长度为 0 的向量叫零向量，记为 ，零向量的方向是任意的。 ①｜ a ｜＝0； ② 与 0 的区别：写法的区别，意义的区别。 （4） 单位向量：模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。 若向量a 是单位向量，则｜ a ｜= 1 。 2、 向量的表示： （1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意：方向是“起点指向终点”。 （2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， → 等； （3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量 i 、 j 为基底向量，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = ( x , y ) ，称( x , y ) 为向量 a 的坐标， a ＝( x , y ) 叫做向量 a 的坐标表示。此时｜ a ｜。 若已知 A (x 1 , y 1 )和B (x 2 , y 2 AB = x 2 -x 1，y 2 -y 1 ) ， 即终点坐标减去起点坐标。 特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。 注意 注意 注意 注意 ) ，则 (
高中英语必修四知识点总结 第一单元 1）achieve 表示“完成，到达”。 区别achieve，reach，gain： achieve着重表示达到一定目的的过程中所需要的技能，耐性和努力。 reach指达到任何目标、目的或指达到发展过程中的某个阶段。 gain强调经过奋斗才达到所期望的目标、优势或者有利地位。 2）condition 表示“条件”，condition为单数时，表示人/物所处的“状态”。 conditions（复数）指一般情况，环境。 in good/poor condition状况好/不好。 out of condition状况不好。 on condition that在……条件下，假使。 on no condition决不。 3）connection 表示“连接，关系”。 connections亲戚。 in connection with与……有关。 4）behave 表示“举止，举动，行为表现”。 behave oneself表现良好，行为良好。 behave as起……作用，表现为……。 5）worthwhile 表示“值得做的，值得出力的”。 句型It is worhtwhile doing/to do sth“干……是值得的”。 6）observe 表示“观察，注意”，可接省略to的不定式的复合结构，当observe用被动语态时，其后的不定式应回复to。 observe后也可接由现在分词构成的复合结构。 后接that从句，表示“注意到，说”。 observe还可以表示“遵守，庆祝”。 7）respect 作动词，后直接跟宾语。 respect oneself自重，自尊。 作名词，表示“尊重，尊敬”。have/show respect for意为“对……尊重/尊敬”。 have respect to注意，考虑。 表示“敬意，问候”时，用复数形式，常与give，send，pay连用。 in respect of sth就某方面而言。 with respect to 涉及，关于。 8）argue 表示“争论，辩论”。
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
5．2 实数与向量的积 要点透视： 1．根据平面向量基本定理，就可以用两个不共线的向量来表示一个向量，找到它们之间的关系，这也被称为向量的线性运算． 2．在证明三点共线或三线共点时，同样可用向量的线性运算加法计算． 3．在解具体问题时，适当地选取基底向量，使其他向量能够用基底向量来表示，这样几何问题就能转化为代数运算问题． 活题解析： 例1．(2003年江苏卷)O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()|||| AB AC OP OA AB AC λ=++ ，λ∈[0, +∞)，，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心 要点精析：将P 满足的关系式改写为()||||AB AC OP OA AB AC λ-=+ ． 即AP 与∠A 的平分线共线，故选B . 例2．则如图所示，以O 点为起点的三个向量a ，b ，c 的终点A ，B ，C 在同一直线的充要条件是c ＝αa +βb ，（α，β∈ L , α+β=1）. 要点精析：A ，B ，C 三点中任意两点构成的向量均可用a ，b ，c 来表示，再利用向量共线的充要条件进行证明． 证明：（1）必要性 若A ，B ，C 在同一直线上，则存在实数λ，使得AC AB λ= ，所以()OC OA OB OA λ-=- ，即c －a =λ(b －a )，整理c =(1－λ) a +λb ， 令1－λ=α，λ=β，有c =αa +βb ，且α+β=1． （2）充分性 若c =αa +βb ，α+β=1，则c ＝(1－β)a +βb ，c －a =β(b －a )， 即()OC OA OB OA β-=- ，所以AC AB β= （β∈L ）， 所以A ，B ，C 在同一直线上． 思维延伸：证三点共线，可转化为证这三点中每两点组成的某两个向量共线． 例3．如图所示， PQ 过△OAB 的重心G ， , OA a OB b == ,OP ma OQ nb == ，求证：113m n +=. 要点精析：因为G 是△OAB 的重心，则 OG 可用a ，b 表示，用P ，Q ，G 三点共线，可找出m ，n 之间的关系． 证明：连OG 并延长至M ，则M 为AB 的中点，因为G 为△OAB 的重心， ∴ 23OG OM = =1()3 OA OB + =31(a +b )，