2015年全国各地中考数学试题压轴题解析汇编
填空题（1）
江苏泰州鸣午数学工作室 编辑
1. （2015年广东4分）如图，△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，若12ABC S =△，则图中阴影部分面积是 ▲ .
【答案】4.
【考点】等底同高三角形面积的性质；转换思想和数形结合思想的应用. 【分析】如答图，各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥，
∵△ABC 三边的中线AD ，BE ，CF 的公共点G ，∴AG =2GD . ∴①=②，③=⑥，④=⑤，①+②=2③，④+⑤=2⑥. ∵12=△ABC S ，∴12=①+②+③+④+⑤+⑥. ∴1222
=①+②④+⑤
①+②++④+⑤+， ∴()12312422
=?+=?+=2②2⑤2②+
+2⑤+②⑤②⑤，即图中阴影部分面积是4. 2. （2015年广东深圳3分）如图，已知点A 在反比例函数(0)k
y x x
=
<上，作Rt ABC ?，点D 为斜边AC 的中点，连DB 并延长交y 轴于点E ，若BCE ?的面积为8，则k = ▲ .
【答案】16.
【考点】反比例函数的应用；相似三角形的判定和性质；直角三角形斜边上中线的性质；等腰三角形的性质..
【分析】由题意，1
82
BCE S BC OE ?=
??=，∴16BC OE ?=. ∵点D 为斜边AC 的中点，∴BD DC =. ∴DBC DCB EBO ∠=∠=∠. 又∵ABC EOB ∠=∠，∴ABC EOB ??∽. ∴BC AB
OB OE
=
. ∴16k OB AB BC OE =?=?=.
3. （2015年广东汕尾5分）若
()()
1
21212121
a b
n n n n =
+-+-+，,对任意自然数n 都成立，则 a = ▲ ，b = ▲ ；计算：11111335571921
m =
+++???+=???? ▲ .. 【答案】
12；12-；10
21
. 【考点】探索规律题（数字的变化类）. 【分析】∵
()()
()()1
1121212212212121a b n n n n n n =
-=+-+-+-+，∴11
,22
a b ==- .
∴111111111
11110133557192126610384224221m ??????=
+++???+=-+-+???+-=-= ? ? ???????????
. 4. （2015年广东广州3分）如图，四边形ABCD 中，∠A =90°，33AB =，AD =3，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为 ▲ .
【答案】3.
【考点】双动点问题；三角形中位线定理；勾股定理. 【分析】如答图，连接DN ，
∵点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，∴1
2
EF DN =. ∴要使EF 最大，只要DN 最大即可.
根据题意，知当点N 到达点B 与B 重合时，DN 最大. ∵∠A =90°，33AB =AD =3，
∴6DN DB ==
=，此时，1
32
EF DN =
=. 5. （2015年广东佛山3分）各边长度都是整数，最大边长为8的三角形共有 ▲ 个. 【答案】20.
【考点】探索规律题（图形的变化类）；三角形构成条件. 【分析】应用列举法，逐一作出判断：
三边边长都为8，能构成1个三角形；
两边边长为8，能构成三角形的另一边有1，2，3，4，5，6，7，计7个；
一边边长为8，能构成三角形的另两边组合有（2，7），（3，7），（4，7），（5，7），（6，7），（7，7），
（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），（4，5），（5，5），计12个.
∴各边长度都是整数，最大边长为8的三角形共有20个.
6. （2015年广东梅州3分）若
()()
1
21212121
a b
n n n n =
+-+-+，,对任意自然数n 都成立，则 a = ▲ ，b = ▲ ；计算：11111335571921
m =
+++???+=???? ▲ .. 【答案】
12；12-；10
21
. 【考点】探索规律题（数字的变化类）. 【分析】∵
()()
()()1
1121212212212121a b n n n n n n =
-=+-+-+-+，∴11
,22
a b ==- .
∴111111111
11110133557192126610384224221
m ??????=
+++???+=-+-+???+-=-= ? ? ???????????. 7. （2015年浙江衢州4分）如图，已知直线3
34
y x =-
+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线3
34
y x =-+于点Q ，
则当PQ BQ =时，a 的值是 ▲ .
【答案】4或1-或425+或425-.
【考点】二次函数与一次函数综合问题；单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；分类思想和方程思想的应用．
【分析】根据题意，设点P 的坐标为21,252a a a ??
-
++ ??? ，则Q 3,34a a ??
-+ ???
.
在3
34
y x =-
+令0x =得3y =．∴()0,3B . ∵PQ BQ =
∴2
2213325333244a a a a a ????-++--+=+-+- ? ?????
，即2
21185a a a -++=.
由2
21185a a a -++=解得4a =或1a =-.
由2
21185a a a -++=-解得425a =+或425a =-.
综上所述，a 的值是4或1-或425+或425-.
8. （2015年浙江绍兴5分） 实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升
6
5
cm ，则开始注入 ▲ 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.
【答案】
35或3320或17140
【考点】方程思想和分类思想的应用
【分析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升5
6 cm，
∴注水1分钟，甲、丙的水位上升10
3
cm.
设开始注入t分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm. 甲与乙的水位高度之差0.5cm时有三种情况：
①乙的水位低于甲的水位时，有
53
10.5
65
-=?=
t t（分钟）.
②甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时，
∵59
10.5
65
-=?=
t t（分钟），
109
6>5
35
?=，∴此时丙容器已向甲容器溢水.
∵
103
5
32
÷=（分钟），
535
624
?=（cm），即经过
3
2
分钟丙容器的水到达管子底端，乙的水位上升
5
4 cm，
∴55333
210.5
46220
??
+?--=?=
?
??
t t（分钟）.
③甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底端，甲的水位上升时，
∵乙的水位到达管子底端的时间为35515
52
2464
??
+-÷÷=
?
??
（分钟），
∴
1015171
5120.5
3440
??
--?-=?=
?
??
t t（分钟）.
综上所述，开始注入3
5
或
33
20
或
171
40
分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.
9. （2015年浙江台州5分）如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的最小值为▲
【答案】21 2
.
【考点】面动旋转问题；正方形和正六边形的性质；数形结合思想的应用.
【分析】如答图，当这个正六边形的中心与点O 重合，两个对点刚好在正方形两边中点，这个六边形的边长最大，此时，这个六边形的边长为
12
. 当顶点E 刚好在正方形对角线AC 的AO 一侧时，AE 的值最小，最小值为
2121
OA OE 222
--=
-=.
10. （2015年浙江温州5分）图甲是小明设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案拼接而成（不重叠，无缝隙）. 图乙中，
7
6
=BC AB ，EF=4cm ，上下两个阴影三角形的面积之和为54cm 2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为 ▲ cm
【答案】
503
. 【考点】菱形和平行四边形的性质；三角形和梯形面积的应用；相似判定和性质；待定系数法、方程思想数形结合思想和整体思想的应用. 【分析】如答图，连接MN 、PQ ，设MN=2x ，PQ=2y ，
∵
6
7
AB BC =，∴可设AB=()6>0k k ，BC=7k . ∵上下两个阴影三角形的面积之和为54， ∴272354672
x k
k k k +?
?+=?，即()22735442x k k k +?+=①.
∵四边形DEMN 、AFMN 是平行四边形，∴DE=AF=MN=2x .∵EF=4，∴447x k +=，即74
22
k x -=
②. 将②代入①得，274
7354422k k k k -??
+?+=
???
，化简，得274360k k +-=. 解得1218
2,7
k k ==-
（舍去）. ∴AB=12，BC=14，MN=5，52
x =
. 易证△MCD ∽△MPQ ，∴
145122522
y -=，解得103y =. ∴PM=222510025496
x y +=
+=. ∴菱形MPNQ 的周长为2550
463
?
= 11. （2015年浙江义乌4分）实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器（容器足够高），底面半径之比为1：2：1，用两个相同的管子在容器的5cm 高度处连通（即管子底端离容器底5cm ），现三个容器中，只有甲中有水，水位高1cm ，如图所示. 若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升
6
5
cm ，则开始注入 ▲ 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm.
【答案】
35或3320或17140
【考点】方程思想和分类思想的应用
【分析】∵甲、乙、丙三个圆柱形容器底面半径之比为1：2：1，注水1分钟，乙的水位上升
5
6
cm ， ∴注水1分钟，甲、丙的水位上升
103
cm. 设开始注入t 分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm. 甲与乙的水位高度之差0.5cm 时有三种情况： ①乙的水位低于甲的水位时，有53
10.565
-
=?=t t （分钟）. ②甲的水位低于乙的水位，甲的水位不变时，
∵
5910.565-=?=t t （分钟）
，109
6>535?=，∴此时丙容器已向甲容器溢水. ∵103532÷=（分钟）
，535624?=（cm ），即经过32
分钟丙容器的水到达管子底端，乙的水位上升5
4
cm ， ∴
55333210.546220
??+?--=?= ???t t （分钟）. ③甲的水位低于乙的水位，乙的水位到达管子底端，甲的水位上升时， ∵乙的水位到达管子底端的时间为
35515
522464
??+-÷÷= ???（分钟）， ∴1015171
5120.53440
??--?
-=?= ???t t （分钟）. 综上所述，开始注入
35或3320或171
40
分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5cm. 12. （2015年浙江舟山4分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1. 点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）. 设点M 转过的路程为m （0<<1m ）. 随着点M 的转动，当m 从1
3变化到2
3
时，点N 相应移动的路径长为 ▲
【答案】
23
3
. 【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质. 【分析】∵以AP 为半径的⊙P 周长为1，
∴当m 从13变化到
2
3
时，点M 转动的圆心角为120°，即圆周角为60°. ∴根据对称性，当点M 转动的圆心角为120°时，点N 相应移动的路径起点和终点关于y 轴对称. ∴此时构成等边三角形，且030OAN ∠=. ∵点A （0，1），即OA =1，∴3
3
ON =
=
∴当m 从13变化到
2
3
时，点N 相应移动的路径长为323233?=
. 13.（2015年浙江杭州4分）如图，在四边形纸片ABCD 中，AB =BC ，AD =CD ，∠A =∠C =90°，∠B =150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD = ▲
【答案】23+或423+.
【考点】剪纸问题；多边形内角和定理；轴对称的性质；菱形、矩形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；相似三角形的判定和性质；分类思想和方程思想的应用. 【分析】∵四边形纸片ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠B =150°，∴∠C=30°.
如答图，根据题意对折、裁剪、铺平后可有两种情况得到平
行四边形：
如答图1，剪痕BM 、BN ，过点N 作NH ⊥BM 于点H ， 易证四边形BMDN 是菱形，且∠MBN =∠C =30°. 设BN =DN =x ，则NH =1
2
x .
根据题意，得1222
x x x ?=?=，∴BN =DN =2， NH =1.
易证四边形BHNC 是矩形，∴BC =NH =1. ∴在Rt BCN ?中，CN =3. ∴CD =23+.
如答图2，剪痕AE 、CE ，过点B 作BH ⊥CE 于点H ， 易证四边形BAEC 是菱形，且∠BCH =30°. 设BC =CE =x ，则BH =
12
x . 根据题意，得1222
x x x ?=?=，∴BC =CE =2， BH =1. 在Rt BCH ?中，CH =3，∴EH =23-. 易证BCD EHB ??∽，∴
CD BC
HB EH =
，即123
CD =-.
∴
()
()()
223
4232323CD +=
=+-+.
综上所述，CD =23+或423+.
14.（2015年浙江湖州4分）已知正方形ABC 1D 1的边长为1，延长C 1D 1到A 1，以A 1C 1为边向右作正方形A 1C 1C 2D 2，延长C 2D 2到A 2，以A 2C 2为边向右作正方形A 2C 2C 3D 3(如图所示)，以此类推?，若A 1C 1=2，且点A ，D 2， D 3，?，D 10都在同一直线上，则正方形A 9C 9C 10D 10的边长是 ▲
【答案】8
732
.
【考点】探索规律题（图形的变化）；正方形的性质；相似三角形的判定和性质. 【分析】如答图，设AD 10与A 1C 1相交于点E ，
则121AD E D A E ??∽，∴11211AD D E
D A A E
=. 设1A E x =，
∵AD 1=1，A 1C 1=2，∴2112,1D A D E x ==- . ∴
11223
x x x -=?=. 易得21322D A E D A D ??∽，∴
2113222
D A A E
D A A D =. 设32D A y =，则222A D y =-，∴2
2332y y y =?=-即21323222332C C D A --===. 同理可得，3141
4354324233,,22
C C C C ----==???
∴正方形A 9C 9C 10D 10的边长是918
1099273322
C C --==.
15.（2015年浙江嘉兴5分）如图，在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），点P 在线段OA 上，以AP 为半径的⊙P 周长为1. 点M 从A 开始沿⊙P 按逆时针方向转动，射线AM 交x 轴于点N （n ，0）. 设点M 转过的路程为m （0<<1m ）.
（1）当1
4
m =
时，n = ▲ ； （2）随着点M 的转动，当m 从13变化到2
3
时，点N 相应移动的路径长为 ▲
【答案】（1）1-；（2）
23. 【考点】单点和线动旋转问题；圆周角定理；等腰直角三角形的判定和性质；等边三角形的判定和性质；含30度直角三角形的性质. 【分析】（1）当1
4
m =
时，090APM ∠=，∴045NAO ∠=. ∵A （0，1），∴1ON OA ==.∴1n =-. （2）∵以AP 为半径的⊙P 周长为1，
∴当m 从1
3变化到
2
3
时，点M 转动的圆心角为120°，即圆周角为60°. ∴根据对称性，当点M 转动的圆心角为120°时，点N 相应移动的路径
起点和终点关于y 轴对称.
∴此时构成等边三角形，且030OAN ∠=. ∵点A （0，1），即OA =1，∴3
3
ON =
=. ∴当m 从1
3变化到
2
3
时，点N 相应移动的路径长为323233?=
. 16.（2015年浙江金华4分）图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时，点A ，B ，C 在同一直线上，且∠ACD=90°.图2是小床支撑脚CD 折叠的示意图，在折叠过程中，ΔACD 变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD". （1）小床这样设计应用的数学原理是 ▲ （2）若AB ：BC=1：4，则tan ∠CAD 的值是 ▲
【答案】（1）三角形的稳定性和四边形的不稳定性；（2）
815
. 【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义.
【分析】（1）在折叠过程中，由稳定的ΔACD 变形为不稳定四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD"，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性.
（2）∵AB ：BC=1：4，∴设AB x,CD y == ，则BC 4x,AC 5x == .
由旋转的性质知BC"BC 4x,AC"3x,C"D"y === = ， ∴AD AD"AC"C"D"3x y ==+=+.
在Rt ACD ?中，根据勾股定理得222AD AC CD =+， ∴()()2
2
283x y 5x y y x 3
+=+?=.
∴8x
CD y 8
3tan CAD AD 5x 5x 15
∠=
===. 17.（2015年浙江丽水4分）如图，反比例函数x
k
y =
的图象经过点（-1，22-），点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP . （1）k 的值为 ▲ .
（2）在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是 ▲ .
【答案】（1）22k = ；（2）（2，2-.
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理；等腰直角三角形的性质；角平分线的性质；相似、全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.
【分析】（1）∵反比例函数k
y x
=
的图象经过点（-1，22-）， ∴22221
k
k -=
?=-. （2）如答图1，过点P 作PM ⊥AB 于点M ，过B 点作BN ⊥x 轴于点N ，
设22,A x ?? ? ??? ，则22,B x ??- ? ??
? -. ∴22
8
2AB x x =+
. ∵△ABC 是等腰直角三角形，∴22
82BC AC x x ?
?
==+ ??
?
，∠BAC =45°. ∵BP 平分∠ABC ，∴()BPM BPC AAS ??≌.∴22
82BM BC x x ?
?==+ ??
?
. ∴()
22
8
22
AM AB BM x x =-=-+
.∴()
22
822PM AM x x ==-+
. 又∵22
8
OB x x =+
，∴(
)
22
821
OM BM OB x x =-=-+
. 易证OBN OPM ??∽，∴
ON BN OB
OM PM OP
==
. 由
ON BN
OM PM
=
得，(
)
()
222
2
228821
22x x x x x ??-- ?
--??
=
-+
-+
，
解得2x =. ∴(
)
2,2A
，()
2,2B - -.
如答图2，过点C 作EF ⊥x 轴，过点A 作AF ⊥EF 于点F ，
过B 点作BE ⊥EF 于点E ，
易知，()BCE CAF HL ??≌，∴设CE AF y ==. 又∵23,22BC BE y ==+ ，
∴根据勾股定理，得222BC BE CE =+，即()(
)
2
2
223
22y
y =++.
∴220y +-=
，解得2y =
2y =+.
∴由)2A
，()2B
可得(2,C .
18.（2015年浙江宁波4分）如图，已知点A ，C 在反比例函数)0(>=a x
a
y 的图象上，点B ，D 在反比例函数)0(<=
b x
b
y 的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB =3，CD =2，AB 与CD 的距离为5，则b a -的值是 ▲ 【答案】6.
【考点】反比例函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；特殊元素法和方程思想的的应用 【分析】不妨取点C 的横坐标为1，
∵点C 在反比例函数(0)a
y a x =
>的图象上，∴点C 的坐标为()1,a . ∵CD ∥x 轴，CD 在x 轴的两侧，CD =2，∴点D 的横坐标为1-. ∵点D 在反比例函数(0)b y b x
=<的图象上，∴点D 的坐标为()1,b -- . ∵AB ∥CD ∥x 轴，AB 与CD 的距离为5，∴点A 的纵坐标为5b --. ∵点A 在反比例函数(0)a y a x =
>的图象上，∴点A 的坐标为,55a b b ??-
-- ?+??
. ∵AB ∥x 轴，AB 在x 轴的两侧，AB =3，∴点B 的横坐标为315355
a b a
b b +--
+=
++. ∵点B 在反比例函数(0)b
y b x =<的图象上，∴点B 的坐标为23155,5315b a b b b b a ??+-+ ?++-??
.
∴225554155315a b
b b b b b b b b a =-?+??--=?++--=
?+-?
. ∵50b +≠，∴4153b b b --=?=-. ∴3a =. ∴6a b -=.
19. （2015年安徽4分）已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：
①若c ≠0，则 1 a ＋ 1
b
＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；
③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8． 其中正确的是 ▲ (把所有正确结论的序号都选上)． 【答案】①③④.
【考点】等式的性质；分类思想的应用.
【分析】根据等式的性质对各选项分析作出判别：
①若c ≠0，则ab ≠0，由a ＋b ＝ab 得11
11a b ab a b +=?+=，所以，结论①正确； ②若a ＝3，则3332b b b +=?=，∴9
2
c =，∴6b c +=，结论②错误；
③若a ＝b ，则20a a a a +=?=或2a =，
由0a =得0,0b c == ；由2a =得2,4b c == ，与已知a ＝b ＝c 不符，所以，结论③正确； ④若a 、b 、c 中只有两个数相等，只可能2a =，2,4b c == ，故a ＋b ＋c ＝8，所以，结论④正确. 综上所述，正确的结论是①③④.
20. （2015年北京3分）阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：作一条线段的垂直平分线． 已知：线段AB ．
求作：线段AB 的垂直平分线. 小芸的作法如下： 如图，
（1）分别以点A 和点B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点； （2）作直线CD
所以直线CD 就是所求作的线段AB 的垂直平分线. 老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是 ▲ ．
【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线. 【考点】线段垂直平分线的性质；确定直线的条件.
【分析】小芸的作图依据是“到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”和“两点确定一条直线”. 21. （2015年上海4分）已知在△ABC 中，8AB AC ==，30BAC ∠=?．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处．延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么
线段DE 的长等于 ▲ ． 【答案】434-.
【考点】面动旋转问题；等腰三角形的性质；等腰直角三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质；三角形内角和外角性质.
【分析】如答图，过点C 作CH AE ⊥于点H ，
∵将△ABC 绕点A 旋转，点C 落在点D 处，
8AB AC ==，30BAC ∠=?，
∴8AD AC ==，30CAD BAC ∠=∠=?. ∴在Rt ACH ?中，4,43CH AH == .
又∵EC 是BC 的延长线，AB AC =，30BAC ∠=?， ∴18027530DCE ∠=?-??=?.
∴753045E ADC DCE ∠=∠-∠=?-?=?. ∴CEH ?是等腰直角三角形.∴4EH CH ==. ∴443AE AH EH =+=+.
∴4438434DE AE AD =-=+-=-.
22. （2015年重庆A4分）如图，矩形ABCD 中，46,10AB AD == ，连接BD ， ∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E ，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为''BC E ?，当射线'BC 和射线'BE 都与线段AD 相交时，设交点分别F ，G ，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为 ▲ .
【答案】
9817
. 【考点】面动旋转问题；矩形的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；等腰三角形的性质；相似三角形的判定和性质；二次根式化
简；方程思想的应用.
【分析】如答图，过点E 作EM ⊥BD 于点M ，过点F 作FO ⊥BD 于点O ，过点F 作FH ⊥BG 于点H ，
,易证△BCE ≌△BME （AAS ），∴BC =BM ，CE =EM . 设CE EM x ==，则
∵矩形ABCD
中，10AB AD ==， ∴
14,,14104BD DE x DM ==-= .
∴在Rt △DEM 中，222DE DM EM =+
，即 ()
2
224x x =+
，解得x =
∴在Rt △BCE
中，BE 又∵△BFD 为等腰三角形，∴1
72
OD BD =
=. 易证ABD OFD ??∽，∴10144975AD DB DF OD DF DF =?=?=
.∴491
,55
BF DF AF === . ∵把△BCE 绕点B 逆时针旋转，旋转后的△BCE 为''BC E ?，
∴''10,''BE BE BC BC E C EC ==
==== 易证''BFH BE C ??∽，∴
495
55''''10BF BH FH BH FH
BE BC E C ==?==
.
∴BH FH =
=易证FGH BGA ??∽，∴FG GH FH
BG GA BA
==
. 设,FG x GH y ==
，则715
x y y x ===
+
∴600205860020586002058600x x x y y ?=+?=+????=+??==
????
解得343
85
x =
. ∴134349098
105858517
DG AD AF FG =--=--
==.
23. （2015年重庆B4分）如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，AB =2
，BC =E 、F 分别是线段AB ，
AD 上的点，连接CE ，CF ，当∠BCE =∠ACF ，且C E=CF 时，AE +AF = ▲ .
【答案】
433
. 【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用.
【分析】如答图，过点F 作FG ⊥AC 于点G ，
,易证△BCE ≌△GCF （AAS ），∴BE =GF ，BC =CG . ∵在Rt △ABC 中，3
tan 23AB ACB BC ∠=
==
. ∴∠ACB =30°. ∴AC =2AB =4，∠DAC =∠ACB =30°. ∵FG ⊥AC ，∴AF =2GF , ∴AE +AF =AE +2BE =AB +BE , 设BE =x ，
在Rt △A FG 中，AG =33GF x = ，∴3234AC AG CG x =+=+= ， 解得4
323
x =
- ∴AE +AF = AB +BE =44232333
+
-=. 24. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()2
24x y +-的值为 ▲ ．
【答案】16.
【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理.
【分析】∵四边形ABCD 为矩形，AB =x ，AD =y ，∴DC =x ，BC =y .
∵在Rt BDE ?中，点F 是斜边BE 的中点，DF =4，∴BF = DF =4. ∴在Rt DCF ?中，222DC CF DF +=，即()2
2244x y +-=. ∴()2
2416x y +-=.
25. （2015年江苏无锡2分）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 ▲ 元． 【答案】838或910．
【考点】函数模型的选择与应；函数思想和分类思想的应用．
【分析】由题意知：小红付款单独付款480元，实际标价为480或480×0.8=600元，小红母亲单独付款520元，实际标价为520×0.8=650元，
如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838元； 如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910元． ∴答案为：838或910．