精心整理
立体几何建系方法
熟悉几个补形建系的技巧
基本模型：长方体；
下面几个多面体可考虑补成长方体建系：
（1）三棱锥P ABC ,其中PA ABC , ABC.
2
特点： BC面PAB；四个面均为直角三角形。
建系方法：
（2）四棱锥 P-ABCD, 其中PA面ABCD , ABCD 为矩形。
建系方法：
（3）正四面体 A-BCD 建系方法：
（4）两个面互相垂直建系方法
1、（2011 年高考重庆卷文科20) 如题（ 20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平
面 ACD ，AB BC , AC AD 2, BC CD 1
（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；
（Ⅱ）求二面角 C-AB-D 的平面角的正2、（06 山东），已知四棱锥 P-ABCD 的切值。
底面 ABCD 为等
腰梯形，AB ∥ DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O，且顶
点P在底面上的射影恰为 O 点，
又 BO=2,PO= 2 ,PB⊥PD.
(Ⅰ)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值；
(Ⅱ)求二面角 P－AB －C 的大小；
3、在直三棱柱 ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E 分别为 BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明： ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线；C1 B1
（Ⅱ）设 AA1＝AC＝AB，求二面角 A1－AD－C1的大小．A1
4．如图，已知四棱锥P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， PA E D
60 ，E，F
平面 ABCD ，ABC
分别是 BC，PC 的中点． C B
精心整理 A
精心整理
（Ⅰ）证明： AE PD ；
P
（Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角 的正切值
为 6
，求二面角 E AF C 的余弦值．
F
2
5、（08 安徽）如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四 B
A D 边长为 1
的菱形， ABC
, OA 底面 ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中 E C
点.
4
O
（1）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小；
（2）求点 B 到平面 OCD 的距离 .
M
A
D
B
C
精心整理
教学设计《向量法解决几何问题的综合应用》 教材分析: 向量法的好处在于克服传统立体几何以纯几何解决问题带来的高度的技巧性和随机性.向量法可操作性强.运算过程程序化,公式化,有效地突破了立体几何教学和学习中的难点,是解决立体几何问题的重要工具,充分体现出向量法的优越性.本节课的主要内容是在已给的条件下准确建系，之后正确求角。 学情分析： 本节课之前,学生已经掌握了利用向量法求空间中各种角的基本方法,但在没有已知的三垂直下建系会存在一定的困难 教学重点:准确建系 教学难点: 建系前的证明 教学过程： 引入：前面几节课我们以向量作为工具研究了空间中各种角的求法。其基本步骤可分为哪几步? (生: 分为三步: 一建系,写坐标 二.进行向量运算. 三将向量运算的结果翻译成几何意义)如果我们认为向量法的前提是“向量运算”，那前提就是“建系”而建系的条件是三垂直。之前，我们给的题目都有明显的三垂直，目的是让大家掌握求角的方法，所以容易建系。现在我们可以再上一个台阶。请看练习： 例一：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，AB=AD ，∠BAD=60°，F 是AD 的中点. 提问1 ：如果给出线段长，之后让求角。那需要我们作什么工作？ 建系 提问2：有现成的三垂直吗？ 引导：如果我们完成这两个证明之后，能否建系呢？ 求证：（1）BF ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD,求证: 平面PF ⊥平面ABCD 补充（3）若PA=AB=2，在（2）的条件下建系，写出P 、A 、B 、D 四点的坐标 变式：如图，在四棱锥ABCD P -中，平面PAD ⊥平面 ABCD ，若PA=PD ，FC BF ⊥， F 是AD 的中点，试建立恰当的坐标系。（不用写坐标） 设计意图： 1.若题目给出面面垂，必然由此得到线面垂，强化面面垂直的性质定理，并明确书写的规范程
例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥中,,, 为的中点,. (1)求的长; (2)求二面角的正弦值. 【答案】 解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝ 3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)． 因PA ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ? ????0，－1，z 2，又AF →＝ ? ????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|PA → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面FAD 的法向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面FAB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)． 由1·AD →＝0，1·AF → ＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0， 因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF → ＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0， 故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四 棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边
立体几何建系方法 熟悉几个补形建系的技巧 基本模型：长方体 ； 下面几个多面体可考虑补成长方体建系： （1）三棱锥P ABC -,其中,2 PA ABC ABC π⊥∠=. 特点：BC PAB ⊥面；四个面均为直角三角形。 建系方法： （2）四棱锥P-ABCD,其中,PA ABCD ⊥面ABCD 为矩形。 建系方法： P A B C A C D P
（3）正四面体A-BCD 建系方法： （4）两个面互相垂直建系方法 1、（2011年高考重庆卷文科20)如题（20） 图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平 面，,2,1 ⊥==== AB BC AC AD BC CD （Ⅰ）求四面体 ABCD的体积； （Ⅱ）求二面角 C-AB-D的平面角的 正切值。
2、（06山东），已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC与BD相交于点O，且顶点P在底面上的射影恰为O点， 又BO=2,PO=2,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线PD与BC所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；
3、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ， D 、 E 分别为BB 1、AC 1的中点． （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小． A B C D E A 1 B 1 C 1
4．如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD为菱 形，PA⊥平面ABCD，60 ABC ∠=o，E F，分别是BC PC ，的中点． （Ⅰ）证明：AE PD ⊥； （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平 面PAD所成最大角的正切值 为 2E AF C --的余弦值． P B E C D F A
空间立体几何建系设点专题 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一?所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB_AD，CD _ AD，PA_底面ABCD， PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。 (1) 求证：BM //平面PAD; (2) 在侧面PAD内找一点N，使MN _平面PBD; (3) 求直线PC与平面PBD所成角的正弦。 19.(本題满分直分) 正方形曲与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2t 点E%AB的中点. (1 )求证：轲"平面A^DEt (H)求二面角DSE①的大卜 (III)求多面体AyDyDBE的休积*
3. 已知多面体 ABCDE 中，AB 丄平面 ACD , DE 丄平面ACD, AC = AD = CD = DE =2a , AB = a , F 为 CD 的中点. 4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，PB 丄平面ABCD , MA//PB , PB=AB=2MA , (I) 证明：AC//平面PMD ; (U)求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小； (川)求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角(锐角)的大小。 所成二面角的大小 (I)求证：AF 丄平面CDE ; (U)求异面直线AC , BE 所成角余弦值; (
5. 已知斜三棱柱ABC - AB。, . BCA =90“ , AC 二BC =2, A在底面ABC上 的射影恰为AC的中点D，又知BA _ AC i (I) 求证：AC i _平面ABC ; (II) 求CC i到平面AAB的距离； (III )求二面角A-AB-C的大小。 6. (湖南卷理科第18题)已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD 的高都为2, AB= 4. (1)证明：PQ丄平面ABCD; (2)求异面直线AQ与PB所成的角；
立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题, 不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要, 系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 乙 1、z轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy垂直，在几何体中也是很直观的，垂直 底面高高向上的即是，而坐标原点即为z轴与底面的交点 2、x, y轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么 几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于x,y轴上 （2）找x, y轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3 ）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足x, y,z轴成右手系，所以在标x, y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通 过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用 坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直底面两条线垂直），这个 过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论: （1）线面垂直： ①如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ②两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④直棱柱：侧棱与底面垂直 （2 ）线线垂直（相交垂直）： ①正方形，矩形，直角梯形 与其说是向量运算, 建立合适的直角坐标
②等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③菱形的对角线相互垂直 ④勾股定理逆定理：若AB2 AC2 BC2，则AB AC （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1能够直接写出坐标的点 （1）坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的A,C,D'点，坐标特点如下： x 轴：x,0,0 y 轴：0,y,0 z 轴：0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为x, y,0，即竖坐标z 0，由于底面在作立体图时往往失真， 所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出H,l点的坐标，位置关系清晰明了 O C 1 1 H 1, — ,0 ,1 —,1,0 2 2 "I 2、空间中在底面投影为特殊位置的点： 如果A x1, y1, z 在底面的投影为 A x2, y2,0 ，那么| A H B 为X2, % y2 （即点与投影点的横纵坐标相同）H 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可 以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的B'点，其投影为B，而B 1,1,0所以B 1,1,z，而其到底面的距离为1，故坐标为B 1,1,1 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三 个方法： 3、需要计算的点 ①中点坐标公式：A x u y1, z-i , B x2, y2,z2，则AB中点M 西生単址，目z2 2 2 2 图中的H , I, E, F等中点坐标均可计算
立体几何（向量法）—建系难 例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中 点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】 解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ????0，－1，z 2，又AF → ＝????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2 ＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面F AD 的法
向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)． 由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0， 因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0， 故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四 棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小. 【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE . 由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE . 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .
立体几何（向量法）—建系引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需 建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系” ，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系 例1（2012 高考真题重庆理19 ）（本小题满分12 分如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB=4，AC=BC=，3 D 为AB的中点 Ⅰ）求点C到平面A1ABB1的距离; （Ⅱ）若AB1 A1C 求二面角的平面角的余弦值. 【答案】解：（1）由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又 CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点 C 到平面A1ABB1 的距离为CD＝BC2－BD2＝ 5. （2）解法一：如图，取D1 为A1B1的中点，连结DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由（1）知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠ A1DD 1为所求的二面角A1－CD－C1 的平面角． 因A1D 为A1C 在面A1ABB1 上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1⊥A1D，从而∠ A1AB1、∠A1DA 都与∠ B1AB互余，因此∠ A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此A A A D1＝A A1A B1，即AA21＝AD·A1B1＝8，得AA1＝2 2.
从而 A 1D ＝ AA 12＋ AD 2＝2 3. 所以，在 Rt △A 1DD 1 中， DD 1 ＝ AA1 ＝ 6. A 1D ＝A 1D ＝ 3 . 解法二：如图，过 D 作 DD 1∥AA 1交A 1B 1于点 D 1，在直三棱柱中，易知 DB ， DC ，DD 1两两垂直．以 D 为原点，射线 DB ，DC ，DD 1分别为 x 轴、y 轴、z 轴 的正半轴建立空间直角坐标系 D －xyz. 设直三棱柱的高为 h ，则 A （－2,0,0），A 1（－2,0，h ），B 1（2,0，h ）， C （0， 5， 0），C 1（0， 5，h ），从而 A →B 1＝（4,0，h ），A → 1C ＝（2， 5，－ h ）． 由 A → B 1⊥ A →1 C ，有 8－ h 2＝0，h ＝2 2. 故 D →A 1＝ （－2,0,2 2），C →C 1＝（0,0,2 2），D → C ＝ （0， 5，0）． 设平面 A 1C D 的法向量为 m ＝（x 1， y 1，z 1），则 m ⊥D →C ，m ⊥D →A 1，即 5y 1＝0， －2x 1＋ 2 2z 1＝ 0， 取 z 1＝ 1，得 m ＝ （ 2，0,1）， 设平面 C 1CD 的法向量为 n ＝ （x 2，y 2， z 2），则 n ⊥D →C ，n ⊥C → C 1，即 5y 2＝0， 2 2z 2＝ 0， 取 x 2＝1，得 n ＝ （1,0,0），所以 m ·n 2 6 cos 〈 m ， n 〉＝ ＝ ＝ . |m ||n | 2＋ 1·1 3 所以二面角 A 1－CD －C 1 的平面角的余弦值为 6. 、利用线面垂直关系构建直角坐标系 cos ∠A 1DD 1
立体几何（向量法）—建系 引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。 一、利用共顶点的互相垂直的三条线构建直角坐标系 例1（2012高考真题重庆理19）（本小题满分12分 如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，AB=4，AC=BC=3，D 为AB 的中点 （Ⅰ）求点C 到平面11ABB A 的距离; （Ⅱ）若11AB A C ⊥求二面角 的平面角的余弦值. 【答案】解：(1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB .又CD ⊥AA 1，故 CD ⊥面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为 CD ＝BC 2－BD 2＝ 5. (2)解法一：如图，取D 1为A 1B 1的中点，连结DD 1，则DD 1∥AA 1∥CC 1.又由(1)知CD ⊥面A 1ABB 1，故CD ⊥A 1D ，CD ⊥DD 1，所以∠A 1DD 1为所求的二面角A 1－CD －C 1的平面角． 因A 1D 为A 1C 在面A 1ABB 1上的射影，又已知AB 1⊥A 1C ，由三垂线定理的逆定理得AB 1⊥A 1D ，从而∠A 1AB 1、∠A 1DA 都与∠B 1AB 互余，因此∠A 1AB 1＝∠A 1DA ，所以Rt △A 1AD ∽Rt △B 1A 1A .因此AA 1AD ＝A 1B 1 AA 1 ，即AA 21＝AD · A 1 B 1＝8，得AA 1＝2 2.
立体几何解答题的建系设点问题 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上 （2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直+底面两条线垂直），这个过程不能省略。 3、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）： ① 正方形，矩形，直角梯形② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考 2、空间中在底面投影为特殊位置的点： 如果()' 11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐
1、如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD, AB//CD,∠DAB=90°,PA=AD=DC=1,AB=2,M 为PB 的中点. 建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。并求平面ACM 法向量。 解;以A 为坐标原点.以AD ，AB ，AP 所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 2.多面体EDABC 中,AD ⊥平面ABC , AC ⊥ＢＣ，,ＡＤ＝2 1 ＣＥ＝１，ＡＣ＝１.BC=2，M 为BE 中点.，建立适当的坐标系， 表示图中所有点的坐标。求平面DCM 法向量。 解;以C 为坐标原点.以ＣＡ，ＣＢ，ＣＥ所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 3、在直三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中，ＡＢ ＡＣ且Ａ１Ａ＝ＡＢ＝ＡＣ＝２，建立适当的坐标系，表示图中所有点坐标。求出平面A 1BC 法向量 解;以Ａ为坐标原点.以ＡＢ，ＡＣ，ＡＡ１所在直线为x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 . １.在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝ 2AD ＝２＝PA, Q 是线段PB 的中点．PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥CD 建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。求出平面A 1QC 法向量
2．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，侧面SAB是等边三角形， DC//AB，AB=2AD=2DC＝２，O，E分别为AB、 SD中点. DA 面SAB，建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，DB=3，AB=2，AD=1，PD⊥底面ABCD建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。并求平面PBC与平面PBD的法向量。 . 4.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q是AD的中点，⊿ABD为正三角形，PQ⊥平面AＢＣＤ。建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。并求平面PBD法向量。 ５. 三棱柱ABC——A1B1C1中侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D为CC1中点．建立适当的坐标系，表示图中所有点的坐标。求出平面A1BD法向量 解;因为所有棱长都为4，所以⊿ABＣ为正三角形，取ＢＣ中点Ｏ，连ＡＯ，则AO⊥平面ＢＢ１Ｃ１Ｃ，又由已知四边形ＢＢ１Ｃ１Ｃ为矩形，所以取B1C1中点，O1，以O为坐标原点.以ＯＢ，ＯＯ１，ＯＡ，１所在直线为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系，则
精心整理 立体几何建系方法 熟悉几个补形建系的技巧 基本模型：长方体； 下面几个多面体可考虑补成长方体建系： （1）三棱锥P ABC ,其中PA ABC , ABC. 2 特点： BC面PAB；四个面均为直角三角形。 建系方法： （2）四棱锥 P-ABCD, 其中PA面ABCD , ABCD 为矩形。 建系方法： （3）正四面体 A-BCD 建系方法： （4）两个面互相垂直建系方法 1、（2011 年高考重庆卷文科20) 如题（ 20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平 面 ACD ，AB BC , AC AD 2, BC CD 1 （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）求二面角 C-AB-D 的平面角的正2、（06 山东），已知四棱锥 P-ABCD 的切值。 底面 ABCD 为等 腰梯形，AB ∥ DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O，且顶 点P在底面上的射影恰为 O 点， 又 BO=2,PO= 2 ,PB⊥PD. (Ⅰ)求异面直线 PD 与 BC 所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角 P－AB －C 的大小； 3、在直三棱柱 ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E 分别为 BB1、AC1的中点．（Ⅰ）证明： ED 为异面直线 BB1与 AC1的公垂线；C1 B1 （Ⅱ）设 AA1＝AC＝AB，求二面角 A1－AD－C1的大小．A1 4．如图，已知四棱锥P ABCD ，底面 ABCD 为菱形， PA E D 60 ，E，F 平面 ABCD ，ABC 分别是 BC，PC 的中点． C B 精心整理 A
精心整理 （Ⅰ）证明： AE PD ； P （Ⅱ）若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角 的正切值 为 6 ，求二面角 E AF C 的余弦值． F 2 5、（08 安徽）如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 四 B A D 边长为 1 的菱形， ABC , OA 底面 ABCD , OA 2 , M 为 OA 的中 E C 点. 4 O （1）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （2）求点 B 到平面 OCD 的距离 . M A D B C 精心整理
空间向量与立体几何 建立空间直角坐标系的途径 途径一： 利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系． 垂直 线线垂直 线面垂直 面面垂直 1、如图，在长方体ABCD -1111A B C D 中，AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB 上移动。建立如图所示的空间直角坐标系。 （1）证明：11D E A D ⊥； （2）求平面1ACD 的一个法向量及单位法向量。 解：设AE a =，则1(1,0,1)A ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E a ， (1,0,0)A ，(0,2,0)C 。 （Ⅰ）证明：由1(1 ,0,1)DA =，1(1,1,1)D E a =--， 11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ?=?--=-=，有11DA D E ⊥，于是11D E A D ⊥。 （Ⅱ）(1,2,0)AC =-，1(1,0,1)AD =-。设平面1ACD 的法向量为(,,1)n x y =，单位法向量为0n ，由 10 0n AC n AD ??=???=???(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=???-=??2010x y x -+=?? -+=?，解得112 x y =???=??。于是1(1,,1)2n =。 2、如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ， E ， F 分别CD 、PB 的中点。 （Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ； （Ⅱ）设，求AC 与平面AEF 所成角的正弦值。 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则 l ⊥α?a ∥u a ku ?=； l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=； α⊥β?u ⊥v .0=??v u
空间立体几何建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算 1、如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点。 (1)求证：BM∥平面PAD； (2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD； (3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
3. 已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2a，AB = a，F为CD的中点. （Ⅰ）求证：AF⊥平面CDE； （Ⅱ）求异面直线AC，BE所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD和面BCE所成二面角的大小. 4. 如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA， （Ⅰ）证明：AC//平面PMD； （Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小； （Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。
5. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠= ，2AC BC ==，1A 在底面A B C 上 的射影恰为A C 的中点D ，又知11BA AC ⊥。 （I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1C C 到平面1A AB 的距离； （III ）求二面角1A A B C --的大小。 6. （湖南卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ； （2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离．
2019高考数学立体几何建系困难问大题精做理科 1.已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 的正方形，ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： （1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值． 图一 图二 2．矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE △折起至PBE △，如图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上．
（1）求证：面PCE ⊥面PBE ； （2）求平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值． 3．如图1，在矩形ABCD 中，AB =BC =点E 在线段DC 上，且DE ，现将AED △沿AE 折到AED '△的位置，连结CD '，BD '，如图2． （1）若点P 在线段BC 上，且BP = ，证明：AE D P ⊥'； （2）记平面AD E '与平面BCD '的交线为l ．若二面角B AE D --'为 2π 3 ，求l 与平面D CE '所成角的
正弦值． 4．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD， =，PA与平面PBC． PA PD （1）求侧棱PA的长； （2）设E为AB中点，若PA AB ≥，求二面角B PC E --的余弦值．
【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ． 由题意，得PA PB PC ==1PO =， 1AO BO CO ===． ∵在PAC △中，PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥， ∵在POB △中，1PO =，1OB =，PB =，222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥． ∵AC OB O =，AC ，OB ?平面，∴PO ⊥平面ABC ， ∵PO ?平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ． （2）由（1）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， ∴BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1 tan BO BMO OM OM ∠== ， ∴当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大． 由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，∴PO OB ⊥，PO OC ⊥， 于是以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系， 则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，11,0,22M ?? - ???， ()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，3 1,0,2 2MC ??=- ???． 设平面MBC 的法向量为()111,,x y z =m ，
第63炼 立体几何解答题的建系设点问题 在如今的立体几何解答题中，有些题目可以使用空间向量解决问题，与其说是向量运算，不如说是点的坐标运算，所以第一个阶段：建系设点就显得更为重要，建立合适的直角坐标系的原则有哪些？如何正确快速写出点的坐标？这是本文要介绍的内容。 一、基础知识： （一）建立直角坐标系的原则：如何选取坐标轴 1、z 轴的选取往往是比较容易的，依据的是线面垂直，即z 轴要与坐标平面xOy 垂直，在几何体中也是很直观的，垂直底面高高向上的即是，而坐标原点即为z 轴与底面的交点 2、,x y 轴的选取：此为坐标是否易于写出的关键，有这么几个原则值得参考： （1）尽可能的让底面上更多的点位于,x y 轴上 （2）找角：,x y 轴要相互垂直，所以要利用好底面中的垂直条件 （3）找对称关系：寻找底面上的点能否存在轴对称特点 3、常用的空间直角坐标系满足,,x y z 轴成右手系，所以在标 ,x y 轴时要注意。 4、同一个几何体可以有不同的建系方法，其坐标也会对应不同。但是通过坐标所得到的结论（位置关系，角）是一致的。 5、解答题中，在建立空间直角坐标系之前，要先证明所用坐标轴为两两垂直（即一个线面垂直 底面两条线垂直），这个过程不能省略。 6、与垂直相关的定理与结论： （1）线面垂直： ① 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，则这条直线与该平面垂直 ② 两条平行线，如果其中一条与平面垂直，那么另外一条也与这个平面垂直 ③ 两个平面垂直，则其中一个平面上垂直交线的直线与另一个平面垂直 ④ 直棱柱：侧棱与底面垂直 （2）线线垂直（相交垂直）：
① 正方形，矩形，直角梯形 ② 等腰三角形底边上的中线与底边垂直（三线合一） ③ 菱形的对角线相互垂直 ④ 勾股定理逆定理：若2 2 2 AB AC BC +=，则AB AC ⊥ （二）坐标的书写：建系之后要能够快速准确的写出点的坐标，按照特点可以分为3类 1、能够直接写出坐标的点 （1） 坐标轴上的点，例如在正方体（长度为1）中的,,'A C D 点，坐标特点如下： x 轴：(),0,0x y 轴：()0,,0y z 轴：()0,0,z 规律：在哪个轴上，那个位置就有坐标，其余均为0 （2）底面上的点：坐标均为(),,0x y ，即竖坐标0z =，由于底面在作立体图时往往失真，所以要快速正确写出坐标，强烈建议在旁边作出底面的平面图进行参考：以上图为例： 则可快速写出,H I 点的坐标，位置关系清晰明了 111,,0,,1,022H I ???? ? ????? 2、空间中在底面投影为特殊位置的点： 如果()' 11,,A x y z 在底面的投影为()22,,0A x y ，那么 1212,x x y y ==（即点与投影点的横纵坐标相同） 由这条规律出发，在写空间中的点时，可看下在底面的投影点，坐标是否好写。如果可以则直接确定了横纵坐标，而竖坐标为该点到底面的距离。例如：正方体中的' B 点，其投影为B ，而()1,1,0B 所以()' 1,1,B z ，而其到底面的距离为1，故坐标为()' 1,1,1B 以上两个类型已经可以囊括大多数几何体中的点，但总还有一些特殊点，那么就要用到第三个方法： 3、需要计算的点 ① 中点坐标公式：()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212 ,,222x x y y z z M +++?? ?? ? ，图中的,,,H I E F 等中点坐标均可计算 ② 利用向量关系进行计算（先设再求）：向量坐标化后，向量的关系也可转化为坐标的关系，