高二数学理科选修4-2
§2.2反射变换与旋转变换 第4课时导学案
编制人 卢琪 审核人 编制时间 学生完成所需时间 班级 姓名 第 学习小组
【学习目标】1，了解反射变换和旋转变换几何意义；2，掌握恒等变换与伸压变换矩阵；3，从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明1212()M M M λαλβλαλβ+=+ 【自学重点与难点】反射变换与旋转变换几何意义． 【自主预习】
问题1：如右图一个三角形F ,将它作关于x 轴，y 轴和坐标原点对称的变换，分别得到三角形F 1,F 2,F 3, 像这样将一个图形F 变为关于定直线或定点对称的图形F /
的变换称为什么变换？
问题2：你能否根据定义分别写出关于x 轴、y 轴、原点对称的反射变换所对应的反射变换矩阵吗？
问题3：有人说“一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或者点）”这句话对吗？为什么？
问题4：什么是旋转变换？什么是旋转中心和旋转角？你能用举出实例吗？
问题5：你能根据你举出的例子写出相应的旋转变换矩阵吗？
【例题精讲】
例1 求直线y ＝4x 分别在矩阵????0 1 1 0 与
110-??
?-??
作用下变换所得的图形
例2已知A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1），求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90o后得到的图形，并求出其顶点的坐标。
例3若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos M ααα
α-??
= ???
对应的变换作用下得到的点为B
（-2，2），求矩阵M
【课堂练习】
1，矩阵1
00
1??
?-??，100
1-?? ???，100
1-?? ?-??，0110?? ???，cos sin sin cos α
ααα??
?-??
对应的变换分别是 ， ， ， ， 。 2，已知A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2），求ABCD 在矩阵1001M -??= ???
对应的变换矩阵作用下得到的几何图形，并画出示意图
3，求出函数y =(0)x ≥在矩阵1
001??
?-??
对应的变换作用下得到的曲线
1， 已知曲线1xy =，将它绕坐标原点顺时针旋转900
后，得到什么曲线？曲线方程是什么？
【课堂小结】
§2.2反射变换与旋转变换 第4课时回顾反思
班级 姓名 第 学习小组
1，求曲线x y e =在矩阵1001-??
???
对应的变换作用下形成的曲线
2，若3()ax b
f x x
+=的图像在矩阵0110??
???
对应的变换作用下图像不变，求a 的值
3,已知A （0，0），B （1
），C （0，2），求三角形ABC
在矩阵12
212
2??- ?
?
?
???
对应的变换作用下得到的图形，并画出示意图
4，已知椭圆22:3C x y xy ++=，将C 绕原点O 顺时针旋转
4
π
，得到椭圆/C
（1）求椭圆/C 的标准方程； （2）求椭圆C 的焦点坐标
5，已知△ABC ，A （-1，0），B （3，0），C （2，1），对△ABC 先作x 轴的反射变换，再将
所得的图形绕着原点逆时针旋转2
π
（1）分别求两次变换所对应的矩阵12,M M
（2）求点C 在两次连续变换作用下所得到的点的坐标
旋转类几何变换 一几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线 ? ? ? （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 等边三角形共顶点 共顶点等腰直角三角形 共顶点等腰三角形 共顶点等腰三角形 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 自检自查必考点
二 利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角θ． 考点一 旋转与最短路程 ?考点说明：旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题，涉及费马点问题，视学生程度进行选择性讲解。 【例1】 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ?是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60?得到BN ，连接AM 、CM 、EN ． ⑴求证：AMB ENB ??≌ ⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小； ②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由； ⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长． 中考满分必做题 E N M D C B A
【例2】 阅读下列材料 对于任意的ABC ?，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于120?，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于120?，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=?时，点P 既为费马点 解决问题： ⑴如图，ABC ?中，三个内角均小于120?，分别以AB 、AC 为边向外作等边ABD ?、ACE ?，连接CD 、BE 交于点P ， 证明：点P 为ABC ?的费马点。(即证明120APB BPC APC ∠=∠=∠=?)且PA PB PC CD ++= P E D C B A Q A B C D E P ⑵如图，点Q 为三角形内部异于点P 的一点，证明：QA QC QB PA PB PC ++>++ ⑶若30ABC ∠=?，3AB =，4BC =，直接写出PA PB PC ++的最小值 考点二 利用旋转求点的坐标 ?考点说明：利用全等三角形的性质进行边与角的转化。 【例3】 正方形ABCD 在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD 绕D 点顺时针方向旋转90?后，B 点 的坐标为（ ） A.(22)-， B.(41)， C.(31)， D.(40)， 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，Rt OAB ?的顶点A 的坐标为(31)，， 若将OAB ?绕点O 逆时针旋转60?后，B 点到达'B 点，则'B 点的坐标是________ D C B A O y x y x B A O
2.2几种常见的平面 变换
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2.2几种常见的平面变换 第一课时 恒等与伸压变换 [教学目标] 一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义 二、过程与方法：探究练习法 三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程] 一、情景引入： 一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？ 看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一 A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y) 方程组表达：???==/ / y y x x 转化为矩阵表示：????????????y x 1001=?? ? ???//y x
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 汇总：平面上任何一点通过矩阵? ?? ???1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵??? ???1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E 三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究） 1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。 2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)? 3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)? 方程组表示???==/ 2/ 1y y k x x k 转化为矩阵?? ?? ??21 0k k ??????y x =?? ? ???//y x ，变换矩阵?? ? ???210 0k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的?? ? ???21 0k k 称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？ 四、典型例题 例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵? ?? ???100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围 解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=± 2 1 练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的3 1 的变换；B 是 纵坐标伸长为原来的3 1 倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。写出伸压变换A 、B 的矩阵
最新初中数学几何专题讲解训练----几何旋转题型 一．半角模型 “半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉 及． 二．等腰三角形旋转模型 等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化，证明的基本思想“SAS”． 1．一般等腰三角形的旋转 共顶点等腰三角形的旋转 2．等边三角形的旋转
共顶点等边三角形的旋转3．等腰直角三角形的旋转 共顶点等腰直角三角形的旋转 三．对角互补模型 四边形对角互补模型 多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体． 四．旋转相似模型 共顶点相似的一般三角形模型：
如图，图中ABD ACE ∽，得到AB AD BD AC AE CE ，ABD ACE ，ADB AEC ，BAD CAE ，则有ABC ADE ∽． 一．考点： 1．旋转全等模型； 2．旋转相似模型； 3．旋转中的轨迹与最值问题； 二．重难点： 1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再 去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明． 2．观察图形发现旋转得到的相似； 3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形． 三．易错点： 1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题； 2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件． 3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系． 题模一：旋转与全等 例1.1.1已知四边形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD ，DC （或它们的延长线）于E ，F ．
教学内容分析： 本节开头是让学生动手画图，通过列表比较，，找出关于点平移时的坐标变化的规律，学会求已知点左右，上下平移后所得像的坐标，并能根据平移后对应点之间的坐标关系，分析已知点的平移关系。在此基础之上，研究线段经平移后所得的像，最后上升到一个图形的多种平移的组合。 教学目标： 1、 感受坐标平面内图形变换时的坐标变换； 2、 了解坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系； 3、会求与已知点左、右或上、下平移后的像的坐标； 4、利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关系； 5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想及空间想象能力。 教学重点与难点： 教学重点：坐标平面内图形左、右或上、下平移时的对应点之间的坐标关系。 教学难点：利用平移（左、右或上、下）后对应点之间的坐标关系，分析已知图形的平移关 系。 教学准备：刻度尺、方格纸 教学过程： 教学设计 设计说明 一、合作交流，寻找规律 让每人任选一点，赋予学生充分的自主性，通过观察、填表、比较，小组内各成员的合作交流，共同发现规律。 O 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -1 -2 -3 -4 x y A
（1）如图，在方格纸上任画点A，写出它的坐标；（2）分别把A点向左、向右平移5个单位，并写出它们的坐标。 （3）分别把A点向上、向下平移3个单位，并写出它们的坐标。 （4）与同伴交流，比较点A与它的像坐标，你发现什么规律？ 二、总结规律，灵活运用 a)从上面的合作学习中得到：坐标平面内的点与平移 h(h 0)个单位后所得的像的坐标的关系如下： （a,b+h） 向上 向左向右 （a+h ,b）（a,b）用字母表示有一定的难度，这里特别指出这个规律的记忆方法：左右对应加减，上下对应加减。
【例1】 如图，在Rt ABC ?中，AB AC AD BC =⊥，，垂足为D ．E F 、分别是CD AD 、上 的点，且CE AF =．如果62AED ∠=?，那么DBF ∠=__________． F C B A 【答案】28? 【例2】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥． P F E D C B A 【答案】在ABE ?和BCF ?中 AB BC ABE BCF BE CF =?? ∠=∠??=? ∴ABE BCF ??≌ ∴BAE CBF ∠=∠ ∵90BAE AEB ∠+∠=? ∴90CBF AEB ∠+∠=? ∴AE BF ⊥ 【例3】 E 、F 、 G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：BG CF BC +=． G A B C D E F 【例4】 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩 形周长为16，且CE EF =，求AE 的长． E D C B F A 【答案】∵FE EC ⊥，∴90AEF DEC ∠+∠=?． ∵90AEF AFE ∠+∠=?， ∴AFE DEC ∠=∠． 在三角形AFE 与DEC ?中，FE CE =，90A D ∠=∠=?， AFE DEC ∠=∠， ∴AFE DEC ??≌． ∴AE DC =．
∵矩形周长为16， ∴8AD DC +=． ∵AD AE DE =+， ∴且2DE =．∴28AE DE =-． 即3AE = 【例5】 如图，已知ABC ?中，90ABC AB BC ∠=?=，，三角形的顶点在相互平行的三条直 线123l l l ，，上，且12l l ，之间的距离为2，23l l ，之间的距离为3，则AC 的长是______． C B A l 3 l 2 l 1 【答案】 【例6】 两个全等的30?、60?的三角板ADE 、BAC ，如右下图所示摆放，E 、A 、C 在 一条直线上，连结BD ．取BD 的中点M ，连结ME 、MC ，试判断EMC ?的形状，并说明理由． M E D C B A 【解析】判断EMC ?是等腰直角三角形．理由： 如图，连结AM ． D M B C A E ∵30DAE ∠=?，60BAC ∠=?，∴90DAB ∠=? ∵ADE BAC ??≌，∴AD AB = 又∵M 是BD 的中点，∴AM DM BM == ∴45ADM MAB ∠=∠=? ∴6045105EDM EDA ADM ∠=∠+∠=?+?=? ∴4560105MAC MAB BAC ∠=∠+∠=?+?=? ∴EDM MAC ∠=∠ ∵ED CA =，∴EDM CAM ??≌ ∴EM CM =，DME AMC ∠=∠ 而90DME EMA ∠+∠=?，∴90AMC EMA ∠+∠=? 即90EMC ∠=?，∴EMC ?是等腰直角三角形．
选修4-2 矩阵与变换 §2.2 几种常见的平面变换（理科）（第2课时） 总第42教案 ————反射变换、旋转变换 一、【教学目标】 1．理解可以用矩阵来表示平面中的反射变换与旋转变换。 2．掌握反射变换与旋转变换的矩阵表示及其几何意义。 二、【课前导学】 1．____________________________________________________________称为反射变换。 2．矩阵?? ????1- 00 1表示的变换是将一个平面图形F 变为____________________________。 3．表示以原点为反射点的变换矩阵是____________，表示以y 轴为反射轴的变换矩阵是_______________。 4．一般地二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线或点。当a=b=c=d=0，??????0 00 0把平面上所有点都变换到坐标原点(0，0)。 5．___________________________________________________________称为旋转变换。 6．矩阵??????θθθθcos sin sin - cos 中的角θ叫做___________，旋转中心是__________。旋转变换只改变____________________________，不改变___________________________。 7．我们在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时只需考察_________________________。 三、【实例分析】 例1．分别写出下列矩阵对右图中的图形作用的结果，并指出他们所代表的变换。 (1) ???? ??-1 0 0 1，(2) ??????0 11 0，(3) ??????0 1-1 - 0 例2．求直线x y 4=在矩阵?? ????0 11 0作用下变换所得的图形。
几何变换的三种模型手拉手、半角、对角互补 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ?? 等腰三角形 手拉手模型等腰直角三角形（包含正方形） 等边三角形（包含费马点） 特殊角 旋转变换对角互补模型 一般角 特殊角 角含半角模型 一般角 等线段变换（与圆相关） 【练1】（2013北京中考）在ABC △中，AB AC =，BACα ∠=（060 α ?<
【练2】 （2012年北京中考）在ABC △中，BA BC BAC α=∠=， ，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α=60?且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数； （2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜 想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．
考点1：手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形（正方形）、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种 位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （1）等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等） （2）等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等） （3）等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等） （4）不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似） 例题精讲
第2讲几何变换——旋转 典型例题 【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE， △是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN 边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以 及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点． L
【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线， AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形． 【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点， M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证： RM QS =． E C H D B A Q ? S M P C B A R
【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB = ，PD =求正方形ABCD 的面积． 【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长． D
【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ?∠=，125BOC ?∠=，求以线段OA 、OB 、 OC 为边所构成的三角形的各内角大小． 【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ?∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =， 2PC =，求BPC ∠． A P C
如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：2222BD DC AD +=． 【例9】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ?∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且 45PCQ ?∠=，求证：222PQ AP BQ =+． A D C B A Q B C P
九年级数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°． （1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE △绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程； （2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有 EF=BE+DF； （3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长． 【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案； （2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即 180 ADG ADF ∠+∠=?，即180 B D ∠+∠=?； （3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长． 【详解】 （1）解：如图， ∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°， ∴∠DAG+∠DAF=45°， 即∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； （2）解：∠B+∠D=180°， 理由是： 如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG， ∵∠B+∠ADC=180°， ∴∠ADC+∠ADG=180°， ∴F、D、G在一条直线上， 和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°， 在△EAF和△GAF中 AF AF EAF GAF AE AG = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF=GF， ∵BE=DG， ∴EF=GF=BE+DF； 故答案为：∠B+∠D=180°； （3）解：∵△ABC中，2BAC=90°， ∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22 AB AC +，
2．2.3 反射变换 1．反射变换矩阵和反射变换 像??????1 00 －1，??????－1 0 0 1，???? ??－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点． 2．线性变换 二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况． [对应学生用书P11] 点在反射变换作用下的象 [例1] (1)矩阵???? ??－1 0 0 1将点A (2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变 换． (2)矩阵?? ?? ?? 0 11 0将点A (2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换． [思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换． [精解详析] (1)因为?? ????－1 0 0 1 ??????25＝???? ??－2 5， 即点A (2,5)经过变换后变为点A ′(－2,5)，它们关于y 轴对称， 所以该变换为关于y 轴对称的反射变换(如图1)．
(2)因为?? ????0 11 0 ??????27＝???? ?? 72，即点A (2,7)经过变换后变为点A ′(7,2)，它们关于y ＝x 对称， 所以该变换为关于直线y ＝x 对称的反射变换(如图2)． (1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：?????? －1 0 0 －1表示关 于原点对称的反射变换矩阵，??????1 00 －1表示关于x 轴对称的反射变换矩阵，?? ?? ??－1 0 0 1表示关 于y 轴对称的反射变换矩阵，?? ???? 0 11 0表示关于直线y ＝x 对称的反射变换矩阵，???? ?? 0 －1－1 0表示关于直线y ＝－x 对称的反射变换矩阵． 1．计算下列各式，并说明其几何意义． (1)??????1 00 －1 ???? ?? 53； (2)?? ????－1 0 0 －1 ???? ?? 53； (3)??????0 11 0 ???? ??53. 解：(1)??????1 00 －1 ??????53＝???? ?? 5－3； (2)??????－1 0 0 －1 ??????53＝?????? －5－3； (3)?? ????0 11 0 ??????53＝???? ??35.
几何旋转综合题练习 1、如图，已知 ABC 是等边三角形. （1）如图（1），点E 在线段 A B 上，点 D 在射线 C B 上，且 ED=EC.将 BCE 绕点 C 顺时针旋转60° 至 ACF , 连接 E F.猜想线段 A B,DB,AF 之间的数量关系; （2）点 E 在线段 BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整， 并猜想线段 AB,DB,AF 之间的数量关系; （3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明. 第 1 题图(1) 第 1 题图(2) 2、如图 1 △，△ ACB △、△ AED 都为等腰直角三角形，∠ AED ＝∠ ACB ＝90°，点 D 在 AB 上，连CE ，M 、N 分 别为
BD、CE 的中点 (1)求证：MN⊥CE (2)如图2将△AED 绕A点逆时针旋转30°，求证：CE＝2MN
3、在等腰R t△ABC和等腰R△t△A1B 1 C1中,斜边B1C1中点O也是BC的中点。 (1)如图1，则AA1与C C1的数量关系是；位置关系是。 (2)如图2，△将△ A1B1C1 绕点O顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。 (3)如图3，在（2）的基础上，直线AA1、CC1交于点P，设AB=4，则PB长的最小值是。 A A A P B B A O 图1 1 C C B B 1 O 图2C A 1C B A 图3 1 C 1 O C 1 B 4、已知，正方形A BCD的边长为4，点E是对角线B D延长线上一点，AE＝BD．△将△ABE绕点A顺时针旋转α度 （0°＜α＜360°）得△到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′ (1) (1) (2)如图1，当α＝30°时，求证：B′C＝DE 连接B′E、DE′，当B′E＝DE′时，请用图2求α的值 如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的1 1 1
初中数学几何专题——旋转 一．选择题（共5小题） 1．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使AD，BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点O上，折痕分别是CE，AF，则等于（） A．B．2 C．D． 2．下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．矩形C．等腰梯形D．正五边形 3．如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x﹣6上时，线段BC扫过的面积为（） A．4 B．8 C．16 D．8 4．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（） A．1： B．1：2 C．：2 D．1： 5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（） A．1﹣ B．1﹣ C．D． 二．填空题（共5小题） 6．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ=3，当CQ= 时，四边形APQE的周长最小． 7．如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．
8．如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A 1B 1 C 1 ．若BC=3，，则BB 1 = ． 9．已知一个直角三角板PMN，∠MPN=30°，MN=2，使它的一边PN与正方形ABCD 的一边AD重合（如图放置在正方形内）把三角板绕点P旋转，使点M落在直线BC上一点F处，则CF的长为． 10．如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，E为对角线BD上一点，且DE=2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是． 三．解答题（共6小题） 14．已知，直角三角形ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC=6．（1）如图1，动点P从点E出发，沿直线DE方向向右运动，则当EP= 时，四边形BCDP是矩形； （2）将点B绕点E逆时针旋转． ①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF．设∠BEF=α°，求证：△ABF是直角三角形； ②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG．已知∠BEG=90°，求△DEG的面积． 15．问题发现：如图1，△ABC是等边三角形，点D是边AD上的一点，过点D 作DE∥AC交AC于E，则线段BD与CE有何数量关系 拓展探究：如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜360°），上面的结论是否仍然成立如果成立，请就图中给出的情况加以证明． 问题解决：如果△ABC的边长等于2，AD=2，直接写出当△ADE旋转到DE与AC 所在的直线垂直时BD的长． 16．如图，正方形ABCD的面积为4，对角线交于点O，点O是正方形A 1B 1 C 1 O的
初中数学几何专题一一旋转 一?选择题（共5小题） 1 ?如图，ABCD是矩形纸片，翻折/ B,Z D,使AD, BC边与对角线AC重叠，且顶点B，D恰好落在同一点0上，折痕分别是CE AF,则尘等于（） D F C 「V A E2 A. . -； B. 2 C. D. 2. 下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（） A.菱形B?矩形C?等腰梯形 D.正五边形 3. 如图，把Rt△ ABC放在直角坐标系内，其中/ CAB=90，BC=5点A、B的坐 标分别为（1, 0）、（4, 0）.将厶ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6 4. 如图，P是等腰直角△ ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°至U BP ,已 知/ AP B=135 , P' A: P' C=1: 3」P' A: PB=( A. 1：： B. 1: 2 C. . 2 D. 1:: )
5. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB C D ,
则它们的公共部分的面积等于( ) ?填空题(共5小题) 7. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形 ABC D 其中A( 0,0), B ( 8,0),D (0， 4)，若将△ ABC 沿 AC 所在直线翻折，点B 落在点E 处.则E 点的坐标是 8. 如图，将等边厶ABC 沿BC 方向平移得到△ A i B i C i . 若 BC=3 S ApE 几何结构之折叠、旋转（讲义） ? 知识点睛 1. 折叠（轴对称）的思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等） （3）常见组合搭配 ①矩形背景下的折叠常出现等腰三角形； B A 1 F E D (B ) C A ②两次折叠往往会出现特殊角：45°，60°，90°等． G F E D C B A O N M F E C B A D B O A C P Q B' C' （4）应用，作图（构造） 核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形． 特征举例： ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． 2. 旋转思考层次 （1）全等变换：对应边相等、对应角相等． （2）对应点与旋转中心 旋转会出现等线段共端点（对应点到旋转中心的距离相等）； 对应点与旋转中心的连线所夹的角等于旋转角； 对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心； 旋转会产生圆（圆弧）． （3）常见组合搭配 旋转会出现相似的等腰三角形； 旋转60°会出现等边三角形；旋转90°会出现等腰直角三角形； 60°C' B' C B A C' B'C B A 相似三角形对应点重合时会出现旋转放缩模型． （4）应用，作图（构造） 当题目（背景）中出现等线段共端点时，会考虑补全旋转构造全等．（常见背景有正方形、等边三角形、等腰三角形） 注：读题标注时，往往要弄清楚旋转三要素； 旋转方向不确定需要分类讨论； 常将图形的旋转转化为点、线段的旋转进行操作．（有时 只需保留研究目标即可） 2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1 A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵 0 ? B. C. D. A. ? ? 0 1 ?? -1 0?? 0 -1?? 0 1?? 2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ = 答案：C 。解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ?cos θ -sin θ ? x sin θ + y cos θ ?? ? y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ? ? y '? ? 1?? ?0 0 26.2 几种常见的平面变换 【知识网络】 1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义； ， 3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如 下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 【典型例题】 ? 1 0 ? 1 ? 的作用下( ) ? ? 5 ? A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5 倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5 倍 答案：B 。 （2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是( ) ? 1 0? ? -1 0? ? 0 1 ? ? 1 0 ? ? ? ? ? ? 答案：D 。 （3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ 角后 (0 < θ < π （） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° ?sin θ cos θ ? ? x ? ? x ' ? ? x cos θ - y sin θ ? ? x = x ' c os θ + y ' s in θ T ： ? ? → ? ? = ? ，从而有 ? ? 代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足 π π 2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。 2 3 ?1 k ? （△4）设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵 M = ? 对应的变换 下作用后形成△ O A 'B ' 则△OAB 与△ OA 'B ' 的面积之比为___________。 答案：1：1。解析：由题意知 T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。 ?1 0 ? （5）函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ? 1 ? 变换作用下的结果是。 ? 2 ? 选修4－2矩阵与变换 2.2.3 反射变换 编写人：编号：004 学习目标 1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、掌握反射变换的几何意义及其矩阵表示。 3、从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩 阵对应的变换把直线变成直线（或点）。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题：求圆C：22 (2)(2)2 x y -+-=在矩阵 10 01 M -?? =?? ?? 作用下变换所得的几何 图形. 反思：两个几何图形有何特点？ 归纳： 问1：若将一个平面图形F在矩阵 1 M的作用变换下得到关于y轴对称的几何图 形F'，则如何来求出这个矩阵 1 M呢？ 问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？ 归纳 练习 1、求出曲线2 y x =在矩阵 10 01 M ?? =?? - ?? 作用下变换所得的图形 2、求出曲线lg(0) y x x =>在矩阵 01 10 M ?? =?? ?? 作用下变换得到的曲线. . 3、若曲线y=x2（x≥0）在矩阵M对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x2（x ≤0），求矩阵M。 二、课堂训练： 例．求直线:270 l x y +-=在矩阵 30 11 M ?? =?? -?? 作用下变换得到的曲线. 思考1：若矩阵 30 11 M ?? =?? -?? 改为矩阵 31 11 A ?? =?? -?? ，则变换得到的曲线是什么？ 思考2：我们从中能猜想什么结论？ 归纳： 变式训练： 设,a b R ∈，若 1 a M b ?? =?? -?? 所定义的线性变换把直线:270 l x y +-=变换成另一 直线:70 l x y '+-=，求,a b的值. 练习： 深圳龙岗建文中学数学旋转几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学旋转易错题压轴题（难） 1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上， AP＝1 3 AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E， 连接PC，且ABE为等边三角形． （1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是． （2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为 93，求线段AC的长． 【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3） 7 7 【解析】 【分析】 （1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论； （3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论． 【详解】 解：（1）∵△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°，AB＝BE， ∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC， ∴∠CBP＝60°，BC＝BP， ∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE， 即∠ABP＝∠EBC， ∴△ABP≌△EBC（SAS）， 坐标平面内图形变换教 案 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 6.3坐标平面内的图形变换 背景介绍及教学资料 七年级下册第2章图形和变换中已从几何的角度了解了轴对称变换与几何变换，本章从坐标的角度来研究这两种变换,并利用图形变换与坐标之间的关系来作图。虽然但就作图而言，可能不如几何画法方便，但这种画法在计算机制图等方面有着广泛的实际应用。此外对这两种变换的学习，为下一章函数当中的相关应用奠定了基础。 第1课时 教学内容分析： 本节开头是让学生通过动手画图，自己探索，找出关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，得出一般规律，再依据这种关系，求作已知点关于坐标轴的对称点。因为两个端点可以确定一条线段，所以只要作出各个转折点关于对称轴的对称点，依此连接就得到一个多边形关于对称轴的对称图形。最后，与同伴合作学习，在方格纸上，按自己认为合适的比例，建立适当的坐标系，利用轴对称特点画出一个零件的主视图。 教学目标： 1、感受坐标平面内图形变换的坐标变换； 2、了解关于坐标轴对称的两个点的坐标变换； 3、会求与已知点关于坐标轴对称点的坐标； 4、利用图形变换与坐标之间的关系来作图； 5、进一步培养坐标意识与数形结合的数学思想。 教学重点与难点： 教学重点：关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系。 教学难点：利用关于坐标轴对称的两个点之间的坐标关系，在平面直角坐标系内作轴对称图形。 教学准备：刻度尺、方格纸 1．教学改革主要是学习方式的改革，过去习惯于用灌输法，整堂课都由老师告诉学生该怎么做，学生只是被动接受，老师讲得累死，学生学习效果却不好。这节课安排了两处的合作学习，充分调动学生的积极性，让学生主动探索，经历思维的发生过程。 2．本课给出一些非常美丽的图案以及在生活中能碰到的实物的图案，在数学课中实施美育，在数学课上融入生活。 3．图形变换是培养数形结合思想发展空间观念的有效载体，很多题目可以让学生发挥想象力，而不一定借助于图形。 中考专题复习——几何题用旋转构造“手拉手”模型 一、教学目标： 1.了解并熟悉“手拉手模型”，归纳掌握其基本特征． 2.借助“手拉手模型”，利用旋转构造全等解决相关问题． 3.举一反三，解决求定值，定角，最值等一类问题． 二、教学重难点： 1.挖掘和构造“手拉手模型”，学会用旋转构造全等． 2.用旋转构造全等的解题方法最优化选择． 三、教学过程： 1.复习旧知 师：如图，△ABD ，△BCE 为等边三角形，从中你能得出哪些结论？ 生：（1）△ABE ≌△DBC （2）△ABG ≌△DBF （3）△CFB ≌△EGB （4）△BFG 为等边三角形 （5）△AGB ∽△DGH （6）∠DHA ＝60°（7）H ，G ，F ，B 四点共圆 （8）BH 平分∠AHC …… 师：我们再来重点研究△ABE 与△DBC ，这两个全等的三角形除了对应边相等，对应角相等外，还有什么共同特征呢？ 生：它们有同一个字母B ，即同一个顶点B ． 师：我们也可以把△DBC 看作由△ABE 经过怎样的图形运动得到？ 生：绕点B 逆时针旋转60°得到． 2.引入新课 师：其实我们可以给这两个全等的三角形赋予一个模型，叫“手拉手模型”，谁可以将这个模型的特征再做进一步的简化归纳呢？ 生：对应边相等． 师：我们可以称之为“等线段”． 生：有同一个顶点． 师：我们可以称之为“共顶点”． 师：等线段，共顶点的两个全等三角形，我们一般可以考虑哪一种图形运动？ 生：旋转． H G F E D C B A 师：“手拉手模型”可以归纳为：等线段，共顶点，一般用旋转． 3.小题热身 图1 图2 图3 1．如图1，△BAD中，∠BAD＝45°，AB＝AD，AE⊥BD于E，BC⊥AD于C，则AF＝____BE．2．如图2，△ABC和△BED均为等边三角形，ADE三点共线，若BE＝2，CE＝4，则AE＝______．3．如图3，正方形ABCD中，∠EAF＝45°，BE＝3，DF＝5，则EF＝_______． 师：我们来看第1，第2题，这里面有“手拉手模型”吗？请你找出其中的“等线段，共顶点”．生：题1中，等线段是AC，BC，共顶点是C，△ACF绕点C逆时针旋转90°得△BCD．题2中，等线段是AB，BC，共顶点是B，△ABD绕点D顺时针旋转60°得△CBE． 师：我们再来看第3题，这里有“手拉手模型”吗？ 生：没有． 师：那其中有没有“等线段，共顶点”呢？ 生：等线段是AD，AB，共顶点是A． 师：我们可否利用旋转来构造“手拉手模型”呢？ 生：将AE旋转，绕点A逆时针旋转90°． 师：为什么是逆时针旋转90°，你是如何思考的？ 生：我准备构造一个和△ABE全等的三角形，AB绕点A逆时针旋转90°即为AD，那么将AE逆时针旋转90°可得AG，连接GD，证明全等． 师：说的不错，谁能再来归纳一下，借助“手拉手模型”，用旋转构造全等的方法吗？ 生：先找有没有“等线段，共顶点”，再找其中一条“共顶点”的线段，将其旋转． 师：旋转角度如何确定，方向怎么选择？ 生：选择其中一个三角形，将“共顶点”的线段旋转．旋转角为两条“等线段”间的夹角．方向应与所选择的起始“等线段”旋转到另一条“等线段”时的方向一致． 师：非常棒，可以说，你已经掌握了这节课的精髓．但是，很多题目中只是隐含了“手拉手模型”的一些条件，剩余的需要我们自己去构造，可以如何构造呢？ 步骤1：先找有没有“等线段，共顶点”．几何结构之折叠、旋转(讲义)
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