2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1
A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵
0 ?
B. C.
D.
A. ? ? 0 1 ??
-1 0??
0 -1??
0 1??
2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ =
答案：C 。解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ?cos θ -sin θ ?
x sin θ + y
cos θ ?? ? y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ? ? y '? ? 1??
?0 0
26.2 几种常见的平面变换
【知识网络】
1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；
，
3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如
下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 【典型例题】
? 1 0 ? 1 ? 的作用下(
)
? ? 5 ?
A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍
B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5
倍
C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍
D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5
倍
答案：B 。
（2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是(
)
? 1 0? ? -1 0?
? 0 1 ?
? 1
0 ?
? ?
?
?
?
答案：D 。
（3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ
角后 (0 < θ <
π
（）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、75°
?sin θ cos θ ?
? x ? ? x ' ? ? x cos θ - y sin θ ? ? x = x ' c os θ + y ' s in θ
T ： ? ? → ? ? = ? ，从而有 ? ?
代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足
π π
2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。
2 3
?1 k ?
（△4）设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵 M = ?
对应的变换
下作用后形成△ O A 'B ' 则△OAB 与△ OA 'B ' 的面积之比为___________。
答案：1：1。解析：由题意知 T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。
?1 0 ?
（5）函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ? 1 ? 变换作用下的结果是。
? 2 ?
（1） ?
?10?
??方程为y=2x+2；
（2） 1
?
（3） ?
20?
曲线方程为x2+y2=4
∵?01??y?＝?y?∴ｘ＝ｘ＇ｙ＝ｙ＇
换后的点为A(x,y),则 ?
20??x?
=
?2x?=?x
1
?
∴2x=x,y=y
?01??y??y??y1?
+y
?cos45-sin45??
-
22?
，任意选取双曲
?22?
''答案：y=
3
cos x。解析：本变换是伸压变换。
2
例2：试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换。
?01?
?-10?
?点A（2，5）；
?
?A
（-2，5）
Y
?A（2，5）
?01?O X 答案：（1）所给方程表示的是一条直线。
设A（x,y）为直线上的任意一点，经过变换后的点为：A＇（x
1
,y
1
）
?10??x??x?
??????
变换后的方程仍为：ｙ＝２ｘ＋２
∴该变换是恒等变换。（图略）
（2）经过变化后变为（-2，5），它们关于y轴对称，故该变换为关于y轴的反射变换
（3）所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A（x,y）为曲线上的任意一点，经过变11111
将之代入到x22=4可得方程
该变换是伸压变换。
Y
x2y2
1+1
41
=4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，
Y
O
X
O
X
图1图2
例3：将双曲线C：x2-y2=1上点绕原点逆时针旋转45°，得到新图形C'，试求C'的方程。
?22?
?答案：由题意，得旋转变换矩阵M=??=?
?sin45cos45??22?
??
线x2-y2=1上的一点P(x0,y0)，它在变换T M作用下变为P'(x0,y0)，则有
y ? y ' ?
? 0 2
2 ,∴ ? ( x + y ) ? y = 2 ( y ' - x ' )
2
? 0 2
' ?
1 -1??
1 -1??
'( x ' , y ' ) ，则有 ? ? ? y ? = ? y ' ? ，故 ? x - y = y ' , 即 ? y 0 = x 0' - y ' ?1 -1? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? 0 1 -1??
?0 1 ? ?0 0 ? ?0 1 ?
?1 0 ? 3．将圆 x 2
+ y
2
= 1在矩阵 A = ? ?
对应的伸压变换下变成一个椭圆 ?0 b ?
4．在矩阵 ??1 ?
? x ? ? x ' ? M = ? 0 ?=? 0 ? ? 0 ? 0 ? ? x 0 = ，故 ?
? y ' =
?? 0 x 2 - y 2 = 1上，所以 x 2 - y 2 = 1 ，即有 2x ' y ' = 1 。∴所求的 C ' 方程为 xy = 0 0 0 0 1 2
。
?1 0?
例 4：研究直线3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ? 对应的变换作用下变成什么图形，并说
?
明其几何意义。
?1 0?
答案：任取直线 3x - 2 y + 1 = 0 的一点 P ( x 0 , y 0 ) ，它在矩阵 ?
?
对应的变换作用下
变为 P 0 0 ?1 0? ? x ? ? x ' ? ? x = x ' ? x = x ' 0 0 0 0
0 0 0 0
又因为点 P 在直线 3x - 2 y + 1 = 0 上，所以 3x - 2 y + 1 = 0
即有 3x ' - 2( x ' - y ' ) + 1 = 0, x ' + 2 y ' + 1 = 0
0 0
?1 0?
从而直线 3x - 2 y + 1 = 0 在矩阵 ? ?
作用下变成直线 x + 2 y + 1 = 0 。
其几何意义是：把直线 3x - 2 y + 1 = 0 上的每一点沿垂直于直线 x + 2 y + 1 = 0 的方向
投影到该直线上。 【课内练习】
1．下列矩阵是二阶单位矩阵的是
（ ）
?1 0? ?0 1?
?1 0?
?0 0 ?
A 、 ? ?
B 、 ? ?
C 、 ? ?
D 、 ? ?
答案：A 。解析：由定义知。
2．坐标平面上将一个三角形分别作投影、伸压、旋转、反射、切变的线性变换，则得 到的新图形一定与原三角形全等的个数为 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
答案：B 。解析：只有旋转、反射变换满足。
?a 0? y 2
x 2 + 4 = 1，则
a +
b = （ ）
3 5 A 、 B 、3 C 、 D 、5
2 4
答案：B 。解析：由已知得 a = 1,b = 2 。
0?
?2 1? 变换下，点 A(2,1)将会转换成。
答案：(2,5)。解析： ??1 ?2 1?? ??2?? ?5 ?
5．若直线 x - y - 4 = 0 在矩阵 M = ? ? 对应的变换作用下，把自己变为自己，则 a , b
?? 0 1 + ab
? x ? ? x ' ? ?ax + y ? 答案：0，2。解析：由题意知 T M ： ? 0 ? → ? 0 ? = ? ，故 ?
- x + by ?? y ? y ' ? ? 0 ? 0
? y = 0 x ' + ay ' ??
答案： ??1 -1?
? （2）
?2 1 ?
? ?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
0 ? ?1 ? ?2? =? ? 。
?a 1? ?-1 b ?
的值分别为。
0 0
易求得 a = 0, b = 2 。
6．曲线 C 在伸压变换下 T ： ( x , y ) → ( x ', y ') = (2 x , y ）作用得到 y = 2sin x 的图象，
则曲线 C 的方程为。
答案： y = 2sin 2 x 。解析：由已知，曲线 C 上每一点变换前后纵坐标没有变化，而横
坐标变为原来的 2 倍，即将 y = 2sin x 的图象上每一点的纵坐标保持不变，而横坐标变为原
来的一半，故曲线 C 的方程为 y = 2sin 2 x 。
7．直线 x - y = 1 在矩阵 A 对应的变换作用下变成直线 x = 1 ，则 A 。
?0 1?
。
8．试讨论下列矩阵将所给图形（或方程表示的图形）变成了什么图形?画图并指出该变 换是什么变换？
?0 -1?
（1）
?1 0 ?
?1 0?
? ?
点Ａ：（2，1）
点Ａ：（2，1）
Ｙ
A ’（－１，２）
?0 -1? ?2? ?-1?
答案：（1）、解：∵ ?1 0 ? ?1 ? =
?2 ?
即点Ａ：（２，１）经过变化后变为 A ＇（－１，２）该变换是把向量ＯＡ绕着 原点逆时针旋转９００得到向量 ＯＡ＇ ∴该变换为旋转变换。变换图形如图１。
O
?A （２，１）
X
图 1
A ’（2，5）
?1 0? ?2? ?2?
（2）、解：∵ ?2 1 ? ?1 ? = ?5?
即点Ａ：（２，１）经过变化后变为
Ｙ
O
A （2，1）
X
4 / 9
图 2
-1 1??
则 ? ? ? y ? = ? y ? ,∴ ? y = -0x + 0y ，∴ x + y = 0( x ≠ 0) ，图形略。
10．已知矩阵 M=
??1 2 ?
，向量α = ? ? ，β = ? ??1?
?
答案：（1）证明①M(α +β )=M ? ? + ? ?? = ?? ?1? ?2? ?
?1 2 ? ?3?
? ?1? ?0? ? ?3 4? ?1 ? ?13? = ? ? ，M β ?7 ? ?6 ? 13??
? = ?7λ + 6μ ? λ ? ?0 ?? ? ??3 4?? ?? λ 7λ ?? ? 6? ? 6μ ?? ?7 6
μ ? λ (M α )= λ ?? ? = ? ，μ (M β )= μ ? ? ? = ? ，λ (M α )+μ (M β )= ? ? ? y 2 ? ? y 1 ? 1．变换 ? 1 0 -
1?? ? q ?? ? - q ??
1??
? 1? ?2 1? ?0 1 ?
?0
A ＇（2，5）。该变换为沿 Y 轴正向的切换。
变换图形如图 2。
?1 -1?
9．研究双曲线 x 2 - y 2 = 1在矩阵 ?
?
作用下变换得到的图形，并说明变换的几何意
义。
答案：设所求图形上任一点为 ( x , y ) ，与之对应的原图形上的点为 ( x , y ) ，
0 0 ?1 -1? ? x ? ? x ?
? x = x - y 0
?-1 1? ? 0 ? ? ?
?
其变换的几何意义是把双曲线上的任一点垂直投影到 x + y = 0 上。 ?3 4?
?1? ?0 ?
?2?
（1）试验证下列等式成立：①M(α +β )=M α +M β ;②对任意实数λ ，μ ，有 M(λ α +μ β )=λ (M α )+μ (M β );
（2）对于本题条件加以推广，定出推广后的命题，不要求证明。
?5 ? ?3 ? ?? ? = ? ? ，M α ?2? = ? ? ，
?5 ? M α +M β = ?
?
，故 M (α +β )=M α +M β ；
? ?λ??2μ ? ? ?1 2 ? ?λ + 2
μ ? ?3λ + 2μ ? （2）M(λ α +μ β )=M ? ? + ? ?=
?? ? ? ?
?3 ? ?3λ ? ?2? ?2μ ? ?3λ + 2 ? ?7? ?
故 M(λ α +μ β )=λ (M α )+μ (M β )
? x ? ? x ? （2）推广的命题：已知二阶非零矩阵 M ，向量α = ? 1 ? ，β = ? 2 ? ，那么对任意实
数λ ，μ ，有 M(λ α +μ β )=λ (M α )+μ (M β )。
【作业本】
A 组 0 ?? p ? ? p ? ?? ? = ? 的几何意义为( )
? A.关于 y 轴反射变换
B. 关于 x 轴反射变换
C. 关于原点反射变换
D.以上都不对
答案：B 。
2．下列矩阵表示伸压变换的是
（
）
?0 2? ?0 0? ?2 0? ?2 1? A 、 ? ?
B 、 ? ?
C 、 ? ?
D 、 ?
3．直线 x - y = 1 在矩阵 ??1 -1?
? 1 -1??
C ' ' 则有 ? = ? 0 ? ，故 ? 0 1 -1?? ?? y ??
y ' ? y ' = x - y = 1 ? 0 ? 0 ? 1 -1?? {( x , y )| 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2 }，经过切变变换 ??1 ? ?? x ' - x 0 = 1
? y ? → ? y ' ? = M ? y ? ，∴M =
?-1 0? 。 则 ? ,∴ ? 0 ，又 0 0 0 0 + y '+ y
0 = 0
? x '+ x ? y ' = - x ? ? (
)
?cos 60 -sin60 ?
? ，∴点 B 的坐标为 1 - 3,1 + 3 。 M= ? ? ，∴M ? ? = ?
?1 -1? 变换下变成的图形是 （ ）
A 、直线
B 、线段
C 、点
D 、射线
?1 -1?
答案： 。解析：任取直线 x - y = 1 上一点 P ( x 0 , y 0 ) ，它在矩阵 ? 变换下变成 P '( x 0 , y 0 ) ， ?
?1 -1? ? x ? ? x ' ? ? x ' = x - y = 1 0 0 0 0 0 0
，因此，直线 ?1 -1? x - y = 1 在矩阵 ? ?
作用下
变成点（1，1）。
4．图形 F= 4?
?0 1?
后的图形 F ′的周长为
。
答案： 4 10 + 4 。解析：图形 F 为正方形，经切变变换后变为平行四边形，且各顶点
依次为(0,0),(2,0),(8,2),(6,2)，故其周长为 4 10 + 4 。
5．已知平面四边形 ABCD 在旋转变换作用下变成四边形 A 'B 'C 'D ' ，那么下面基本量： ①四边形的面积；②四边形的形状；③四边形的周长；④四边形的顶点坐标。
其中不改变的有。（写出所有正确的序号）
答案：①②③。解析：由旋转变换的性质知。
6．写出对直线 x + y = 0 的反射矩阵 M 。
答案：设平面上任一点 P ( x , y ) ，它在矩阵 M 对应的变换作用下变为 P ( x ', y ') ，
0 0
? y ' - y ? x ' = - y ? x ? ? x ' ? ? x ? ?0 -1? 0 0
? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ?? 2 2 y
7．如图所示，已知正三角形 ABC ，其中 A （2，2），
求点 B 的坐标。
答案：由已知 A （2，2）绕原点逆时针旋转 60°后移到
B ( x , y ) ，因此，得旋转变换矩阵
B A
CO x
?2? ?1 - 3 ? ?sin 60 cos60 ?
?2? ??1 3 ??
- ?
? 2 2 - ? ? x ? ? 1 1 ? ? x - y ? ? x - y 0 0 x = 0 0 2 ? ?? ? 2 2 2 ? ???? 2 - ?
∴在矩阵 ? ? 对应的变换作用下，圆 x 2 + y 2 = 4
0 2?? ?0 1??
? 2 2 ? A 、 a = 2, b = 4
B 、 a = 2, b =
1
? 1 ?
? 0? 答案：C 。解析：由已知伸缩变换矩阵
M = ? ? = ? 2
? 。
?0 4
? ? 1 1 ? 8．研究圆 x 2 + y 2 = 4 在矩阵 ? ? 作用下变换得到的图形。
?- 1 1 ? ?? 2 2 ??
解：设所求图形上任一点 P ( x , y ) ，与之对应的原图形上的点为 P ( x , y )
0 0
? 则 ? ?? 0 ? = ?
? ,∴ ? ?- 1 1 ? ? y 0 ? ? y 0 - x 0 ? ? y = y 0 - x 0 ? 2 2 ?? ? 2 ? ? 2
∴ x + y = 0,( - 2 ≤ x ≥ 2) ，
，又 ( x , y ) 在已知圆 x 2 + y 2 = 4 上 0 0
y
? 1 1 ? 2
?- 1 1 ? ?? 2 2 ??
A
O
B
x
变换成线段 AB ，其中 A (- 2, 2), B ( 2, - 2) ，如图所示。
B 组
1．下列叙述中错误的是 （
）
?1 0 ?
?1 2?
A 、 ? 对应的变换是一伸压变换
B 、 ? ?
表示 y 方向的切变变换
? 1 3 ? ? - ? C 、 ? 2 2 ? 表示以原点为中心的旋转变换 D 、在反射变换下，任何图形不变
? 3 1 ? ? ?
答案：B 。解析：选项 B 中矩阵表示 x 方向的切变变换。
2．将 y = sin x 以伸缩 ( x , y ) → (ax , b y ) 使其变为 y = 4sin 2 x 的图形，则 （
）
1
1 1 C 、 a = , b = 4
D 、 a =
, b =
4
2
2
4
?a 0? ?0 b ?
3．在平面上任意四边形 ABCD ，经过下列变换后，使所得图形与原四边形ABCD 全等
的变换矩阵是 （ ）
? 5 - ?
?0 1?
? ? 3 4 ? 0
0 -1?
?
0 -1?? ?? y ??
- y ?? 答案： y = - x 。解析：T ： ? ? → ?
=? 1 0 ??
∴ ??0 -1? ?2? ? ?1 ? =? ? ，即 B (-1,2) 。 ?cos(-60 ) -sin(-60 )? ?3 ? ? 2 2 ? ?3 ? = ? 2 答案：（1） ? ?? ? = ? ?4? ?sin(-60 ) cos(-60 ) ? ?4? ? 3 1 ?? ? ? 4 - 3 3 ? ∴Q （ 3 + 4 3
（2） ??1 ?0 1?? ??4?? ?4 ? 7．在伸
缩变换中，沿 x
轴方向伸缩 a 倍 ?
，然后沿 y 轴方向伸缩 b 倍 ?
?
? 当于矩阵 ? 的作用。那么对于沿 x,y 轴两方向的切变矩阵 ?
0 b ?? 0 1?? ??b 1?? 阵 ?
? 答案：对于平面上的任意一点 P ( x , y ) ，则经过切变矩阵 ?
?
?2 0 ? A 、 ? 1 ?
? 2 ?
? 4 3 ? ?-1 1? 5
B 、 ?
C 、 ? ?
?? 5 5 ??
?1 2 ? D 、 ? ?
?0 1 ?
答案：C 。解析：选项 C 是旋转变换，其中旋转角为 a rccos
?1 0 ?
4．曲线 y =
x 在矩阵 ? 作用下变换得到的曲线为。
?
4 5
。
? x ? ?1 0 ? ? x ? ? x ? ? y ?
? ?
。
5．坐标平面上 A(2,1),△AOB 为一等腰直角三角形，且∠AOB=90°，点 B 在第二象
限则点 B 的坐标为。
?cos90 -sin90 ? ?0 -1? 答案： (-1,2) 。解析由已知得旋转变换矩阵 ? ? =?
?sin 90 cos90 ? ?
，
?-1? ?1 0 ? ? ? ?2 ?
6． 在坐标平面上，将点 P(3,4)作下列变换，试分别求变换之后的点 P ′坐标。 （1）以原点为中心，顺时针旋转 60°；
（2）沿 x 轴方向平移 3 | y | 个单位。
? 1 3 ? ? 3 + 4 3 ? ? ? ?
? ，
?- ? ? ? ? 2
2 ? ?
2
?
4 - 3 3 ， ）。
2
2
3? ?3 ? ?15? = ? ? ,∴Q (15,4) 。
?a 0 ? ?1 0 ?
?0 1 ?
?0 b ?
，相
?a 0 ? ?1 a ? ?1 0
? ,
? ? 是否也有类似像矩
?1 a ?
?b 1?
的合成结果？并说明理由。 ?1 a ? 01?后变为 P '( x + ay , y ) ，再经
过切变矩阵 ??1 后变为 P ''( x + ay , bx + aby + y ) ；而 P ( x , y ) 经过切变矩阵 ? ? ?
8．设二次曲线 C : 4x 2 + y 2 - 6 y + 5 = 0 以矩阵 A= ? ?
?? x ' = ?-a 1? ? y '? = ?-ax ' + y '? = ? y ? ,∴ ?-ax ' + y ' = y ，即 ?
? - 6 ?? 2 ?+ 5 = 0 ? +?
0 ?
?1 a ? ?b 1? ?b 1? ( x + ay , bx + y ) ，因此切变矩阵没有类似结论。
后变为
?1 a ? ?-a 1?
表示的变换对 C 作变换得 C ' ，当
C ' 与 x 轴相切时，求 a 的值。
答案：设 C ' 上的任一点为 ( x , y ) ，与之对应的 C 上点为 ( x ', y ') ，则：
? ?1 a ? ? x ' ? ? x ' + ay ' ? ? x ? ? x ' + ay ' = x ? ?? ? ? ? ? ? ? ? y ' = ??
x - ay
a 2 + 1 ax + y
a 2 + 1
∵ ( x ', y ') 在曲线 C 上，∴ 4 ? ? ?
x - ay ?2 ? ax + y ?2
? ax + y ? a 2 + 1 ? ? a 2 + 1 ? ? a + 1 ?
令 y = 0 ，得 4 + a 2 6a
x 2 - x + 5 = 0
(1+ a 2 )2 a 2 + 1
由 △=0，得 a = ± 5 。
《认识平面图形》教学设计 全笑达 （一）、教材分析：本节课是在学习了一年级上册认识四种简单几何体的基础上，来认识一些平面图形的。通过一系列的活动帮助学生初步认识长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形等平面图形。长方形、正方形、圆、三角形和平行四边形的认识，是建立在初步认识立体图形的基础上进行教学的，是进一步认识这些图形及其特征的基础。同时，借助自主练习中寻找生活中的几何图形，进一步使学生加深对平面图形的认识与理解。 （二）、学情分析：学生在一年级上册已经认识并了解了立体图形，并且在学生的现实生活中，特别是在幼儿园时期，他们已经玩过积木，画过平面图形，所以学生对于这五种平面图形，一点也不陌生。但学生对这五种平面图形的具体特征、本质所在以及平面图形与立体图形的关系还不明确。为此，我认为：创设有趣味的情境活动，让学生动起来，是解决上述问题的一种有效策略。 （三）、教学目标： 知识与能力：通过操作和观察，使学生初步认识长方形、正方形、三角形和圆等平面图形，会区别和辨认这几种图形。 过程与方法：结合动手操作和观察，体验平面图形与现实生活的联系。 情感、态度与价值观：通过活动培养学生的合作探究的意识和创新意识。（四）、重点难点： 重点：认识长方形、正方形、平行四边形、三角形和圆等平面图形，建立空间观念。 难点：立体图形和平面图形的辨别。 （五）、教具学具：课件、立体图形实物、平面图形若干 （六）、教学流程： 一、创设情境，导入新课 1、师：小朋友们，我们在上学期认识了图形王国中哪几个新朋友？ 生：长方体、正方体、球和圆柱。 课件出示立体图形让学生辨别。 2、师：这些图形都来自图形王国，可是，图形王国里发生了一件抢劫案，警察叔叔马上去寻找线索，结果他们找到了一串脚印，你们知道他们分别是谁的脚印吗？哪个聪明的小朋友能帮警察叔叔破案？ 教师示范验证进行破案。 设计意图：学生知道了立体图形，但对它与平面图形的联系难以理解。通过这一过程，学生知道了通过立体图形可以画出平面图形，从而对立体图形和平面图形的印象也更加深刻，帮助学生区分立体图形和平面图形。 二、操作交流，探究新知 [1]、认识平面图形 1、师：认识这些脚印吗？ 根据学生回答，教师板书：长方形、正方形、圆、三角形。 师：这么多脚印，我们给他们一个共同的名字，叫：平面图形。今天我们就一起来认识他们。你发现平面图形和立体图形之间有什么关系呢？ 2、师：老师这里还有几个平面图形，让我们一起来把他们送回家。 （1）学生把图片娃娃送回到黑板上。 （2）说一说，根据什么送的？同一家的图形分别有什么特征？
2.2几种常见的平面 变换
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 2.2几种常见的平面变换 第一课时 恒等与伸压变换 [教学目标] 一、知识与技能：了解单位矩阵的概念，掌握恒等变换和伸压变换的矩阵表示及其集合意义 二、过程与方法：探究练习法 三、情感态度和价值观：体会知识间的联系 [教学重点、难点]点与曲线的伸压变换 [教学过程] 一、情景引入： 一个二阶矩阵可以确定一个变换，其作用是将一个点或向量变为另一个点或向量，可以通过方程组的中间纽带实现这一转化；反之常见的变换可否用一个矩阵表示呢？又如何表示？ 看两个最常见的变换：恒等与伸压变换 二、问题探究一 A(2,0),B(-1,0),C(0,2),将一个变换还能变成自身，这个变换矩阵是什么？ 几何抽象(x,y)→(x,y) 方程组表达：???==/ / y y x x 转化为矩阵表示：????????????y x 1001=?? ? ???//y x
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 汇总：平面上任何一点通过矩阵? ?? ???1001变换后，都自己变成自己，称恒等变换，相应的矩阵??? ???1001称恒等变换矩阵，也称二阶单位矩阵，一般记为E 三、问题探究二（仿照上面的点的变化方程组矩阵表示来探究） 1、能否有一个变换，将(x,y)→(kx,y)?存在的话，写出变换矩阵及几何意义。 2、能否有一个变换，将(x,y)→(x,ky)? 3、能否有一个变换，将(x,y)→(k 1x,k 2y)? 方程组表示???==/ 2/ 1y y k x x k 转化为矩阵?? ?? ??21 0k k ??????y x =?? ? ???//y x ，变换矩阵?? ? ???210 0k k ，将横坐标、宗坐标进行了伸缩（或伸压）变换，相应的?? ? ???21 0k k 称伸压矩阵 3、伸压变换矩阵与恒等变换矩阵有什么类似与不同点？ 四、典型例题 例1、设四边形ABCD 的四个顶点A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩阵? ?? ???100a 变换作用下变为正方形，求a 的值或范围 解：变换后点A /(-a,0),B /(a,0),C /(a,1),D /(-a,1),A /B /=B /C /,2|a|=1,a=± 2 1 练习：设A 是纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标变为压缩为原来的3 1 的变换；B 是 纵坐标伸长为原来的3 1 倍，横坐标变为压缩为原来的3变换。写出伸压变换A 、B 的矩阵
小学一年级平面图形的认识 教学内容分析： 《平面图形的认识》是人教版义务教育课程标准实验教科书第一册第四单元第二课时内容。本单元第一课时是初步认识立体图形长方体、正方体、圆柱和球。教材通过立体图形和平面图形的关系引入教学，让学生感知两者之间的关系，从立体图形中分离中平面图形，从来让学生更好的理解“面从体上来”，并概括抽象出不同的平面图形的一般特征。 教学目标： 1．利用立体图形和平面图形的关系，使学生初步认识长方形、正方形、三角形和圆形。 2．让学生在动手操作的学习过程中，体验“面在体上”实现对平面图形的进一步认识，发展形象思维。 3．通过小组合作的方式，发展实践能力，培养创新精神，建立空间观念。 4．通过设计拼组图形的动手活动，使学生积极参与，对图形产生好奇心，使他们在活动中获得成功的体验。 教学重点： 感知长方形、正方形、三角形和圆的特征； 教学难点： 使学生体会“面在体上”。 教学准备： 学生用：四种立体图形、四种平面图形、剪刀、纸。 教师用：四种平面图形、课件 教学过程： （一）动手操作，感知“面在体上” 1．导入新课。 （出示由各种平面图形拼成的小汽车。） 师：小朋友，你知道这辆漂亮的小汽车是由哪些图形拼成的吗？请你来认一认、指一指。 （生：长方形、正方形、三角形、圆形。）
教师将学生回答后的图形贴在黑板上。 师：今天我们就是要来认识这四个图形。 据了解，虽然没有正式的学习过平面图形，但是学生们在生活中都已经认识了这四个平面图形。因此在设计时，针对一年级学生的特点，并考虑到他们现有的起点，出示了一辆由各种平面图形拼成的汽车，让学生找出自己认识的图形。引入新课。 2．感知“面在体上”。 A、分给每组一个长方体、正方体、圆柱、三棱柱。 师：小朋友，现在这四个图形就藏在你们桌上的那些物体里，请你把它们都找出来好不好？并说给你组里的小朋友听一听，你从哪里找到了这些图形？ 各组合作操作。 小组汇报。 从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 课件演示──面从体上分离的过程。 教师小结。 课件演示。 师：从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 这一过程的设计主要是考虑到一年级学生以形象思维为主的特点，“平面图形”这一抽象的概念，对他们而言在理解上有很大的难度。因此让学生通过自己的动手操作充分感知到今天学习的图形原来是从已经学过的立体图形中来的，是立体图形中的一个面。 B、师：老师想把这四个图形从这些立体中搬下来放在纸上，你能帮我想想办法吗？（生：沿着表面的边缘描出图形。） 师：那就请你们画一画，四人小组中，一人画一个图形。画完后，请你把它剪下来。 学生动手操作。
平面图形的理解 教学目标 1．使学生巩固线段、射线和直线的概念，使学生巩固角的概念，进一步理解角的分类及各类角的特征，使学生进一步掌握垂线和平行线的概念． 2．使学生进一步理解学过的四边形的特征及其相互之间的联系，能准确地画出长方形和正方形．进一步理解圆的特征，能准确地画圃；巩固轴对称图形的特征，能判断一个图形是不是轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴． 3．进一步培养学生的判断水平和空间观点． 教学重点 能够掌握平面图形的基本特征，并且理解相互之间的联系． 教学难点 根据平面的基本特征，能够理解平面图形的相互之间的联系． 教学过程 一、复习线段、射线和直线． 1．复习特征．【演示课件“平面几何图形的理解”】 （1）请你在本上分别画出5条不同的线，然后同桌互相说说你画的是什么线，有什么特点？他们之间又有什么不同？ （2）全班汇报． 指出：线段、射线和直线都是直的，线段是直线的一部分；线段有两个端点，是有限长的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的．
2．判断反馈． （1）一条射线长5厘米．（） （2）通过一点能够画无数条直线．（） （3）通过两点能够画一条直线．（） （4）通过一点能够画一条射线．（） 二、复习角．【继续演示课件“平面几何图形的理解”】 1．什么叫做角？请你自己画一个任意角． 提问：根据你画的角说—说，怎样的图形是角？（板书：角）2．复习各部分名称． 学生填写各部分名称． 教师提问：（1）角的大小与什么相关？ （角的大小与两边叉开的大小相关，与边画的长短无关） （2）角的大小的计量单位是什么？ 3．复习角的分类． 教师说明：根据角的度数，能够把角分类． 教师提问：我们学习过哪几类角？每种角的特征是什么吗？ （板书：锐角直角钝角平角） 三、复习垂线和平行线．【继续演示课件“平面几何图形的理解”】
选修4-2 矩阵与变换 §2.2 几种常见的平面变换（理科）（第2课时） 总第42教案 ————反射变换、旋转变换 一、【教学目标】 1．理解可以用矩阵来表示平面中的反射变换与旋转变换。 2．掌握反射变换与旋转变换的矩阵表示及其几何意义。 二、【课前导学】 1．____________________________________________________________称为反射变换。 2．矩阵?? ????1- 00 1表示的变换是将一个平面图形F 变为____________________________。 3．表示以原点为反射点的变换矩阵是____________，表示以y 轴为反射轴的变换矩阵是_______________。 4．一般地二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线或点。当a=b=c=d=0，??????0 00 0把平面上所有点都变换到坐标原点(0，0)。 5．___________________________________________________________称为旋转变换。 6．矩阵??????θθθθcos sin sin - cos 中的角θ叫做___________，旋转中心是__________。旋转变换只改变____________________________，不改变___________________________。 7．我们在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时只需考察_________________________。 三、【实例分析】 例1．分别写出下列矩阵对右图中的图形作用的结果，并指出他们所代表的变换。 (1) ???? ??-1 0 0 1，(2) ??????0 11 0，(3) ??????0 1-1 - 0 例2．求直线x y 4=在矩阵?? ????0 11 0作用下变换所得的图形。
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难） 1．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O （1）如图①，若∠AOB=155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数. （2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论. （3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由. 【答案】（1）解：∵ 而 同理： ∴ ∴ （2）解：∠AOD与∠BOC的大小关系为：∠AOB与∠DOC存在的数量关系为： （3）解：仍然成立. 理由如下：∵ 又∵ ∴
【解析】【分析】（1）先计算出 再根据 （2）根据(1)中得出的度数直接写出结论即可.（3）根据 即可得到利用周角定义得∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，而∠AOC=∠BOD=90°，即可得到∠AOB+∠DOC=180°． 2．数轴上A, B, C, D四点表示的有理数分别为1, 3, －5, －8 （1）计算以下各点之间的距离：①A、B两点, ②B、C两点,③C、D两点, （2）若点M、N两点所表示的有理数分别为m、n，求M、N两点之间的距离． 【答案】（1）AB=3-1=2；BC=3-（-5）=8；CD=-5-（-8）=-5+8=3. （2）MN= 【解析】【分析】（1）数轴上两点间的距离等于数值较大的数减去数值较小的数，据此计算即可； （2）因为m、n的大小未知，则M、N两点间的距离为它们所表示的有理数之差的绝对值. 3．如图①，△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的角平分线交于点D． （1）若，，求∠D的度数； （2）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的关系，并说明理由． 【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD= ∠ABC= ×75°=37.5°， ∵CD平分△ABC的外角， ∴∠DCA= (180°-∠ACB)= (180°-45°)=67.5°，
数学教案－平面图形的认识 平面图形的认识 张文玲 一、1、同学们，这是数学王国的小猴子给大家送数学宝贝来了，你们想不想看？ 2、这些东西的面是什么形状的？ 3、玩游戏：谁能举出我说的名字的图形越多我就发给他一个智慧娃娃。 好！同学们都想，那这样自己拿手中的图形说这是什么图形？ 4、检测一下是不是会认人，我举起图形的面，你说面的名字，（学生汇报贴在黑板上，再问一个，并写上名字） 5、摸一摸你们手中的图形，你有什么样的感觉，告诉大家（平平的，平平的面，也叫平面，他们就叫平面图形，我们今天就来认识一下平面图形，板书：平面图形的认识） 二、1、用手指着“边”这是什么？边，请大家跟着老师说三遍。 2、用尺子碰碰你的手，说说什么感觉，为什么会觉得疼呢？尖尖的叫角，念三遍。 3、下面数学王国的小朋友们遇到了一些问题需要大家帮他们解决，你们愿意吗？ a、长方形有（）条边，（）条长边，（）条短边，两条长边，两条短边，（）个角，角都是（）的。 b、正方形有（）条边，（）个角，四条边都（），角都是（）的。 c、三角形有（）条边，（）个角。 请你们小组讨论一个，哪个组说得最多就奖给他们组一个智慧人。 4、生汇报师填空。 5、发现有不会的，对边相等，让学生对折纸片，长方形，上下对齐折，比一比上边和下边谁长？左边和右边呢？ 对于正方形，让学生摆火柴棒，用四根小棒摆出1个正方形，再把这四根小棒折下来比一比它们四条边谁长，正方形的`四条边一样长。
6、玩游戏找朋友（出示平行四边形）从而得出角是直的并板书。 7、听听数学宝贝的自我介绍，好吗？（放录音） 8、闭眼摸图形。 9、你们帮数学王国的朋友解决了问题，他们一定会很高兴的，那考考你们是不是认真观察的孩子，请说出哪些物体的面是长方形的，哪些物体的面是正方形，三角形，圆形。 10、这节课，数学王国的朋友看到大家学得这么好，送来了一份礼物，想看吗？这是什么？（蜻蜓）对了，它是由我们今天学习的图形拼出来的，谁能说出来，谁说得多，我就给它奖励，注意还要说出有几个图形。 11、那你们回送一个礼物，好吗？看谁用得最多，摆得最像，最漂亮。 三、1、你学会了什么？ 2、我们的生活中到处都充满了数学，回家后，找一找家里或教室里有没有学过的图形的物品，给爸爸妈妈说说看。 说课 本课是人民教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书，一年级上册，第四单元，认识物体和图形中，第34页的内容。 本课的教学目标是：1、直观认识，长方形、正方形、三角形和圆与平面图形，知道它们的，能够辨别和区别这些图形。2、充分感知长方形、正方形、三角形和圆的特征，初步建立空间观念。3、培养学生的合作探究与创新意识。 本课的重难点是：1、直观认识长方形、正方形、三角形和圆与平面图形，知道他们的名称，能够辨别和区别这些图形。2、充分感知长方形、正方形、三角形和圆的特征。 由于一年级的学生基本在6、7岁左右，他们对带有童话色彩的语言非常感兴趣，我以你们看数学王国的小朋友给大家送数学宝贝来了，你们想看吗？的语言导入，学生的思维非常好，在课堂教学时我尽量用直观教具，红领巾、油盒、三角板、书、这些都贴近学生的生活，利用学生已有的生活经验，可以说出这些物体正面是长方形、正方形、三角形和圆形的名称，接着让学生一个说圆形的名称，另一个拿圆形，初步得到对平面图形的认识，通过学生摸感到这些图形都是平平的，引出本课的课题。
《平面图形的认识》教学设计 浙江省湖州市东风小学王艳蓉 《认识图形》是人教版义务教育课程标准实验教科书第一册第四单元第二课时内容。本单元第一课时是初步认识立体图形长方体、正方体、圆柱和球。教材通过立体图形和平面图形的关系引入教学，让学生感知两者之间的关系，从立体图形中分离中平面图形，从来让学生更好的理解“面从体上来”，并概括抽象出不同的平面图形的一般特征。 教学目标： 1．利用立体图形和平面图形的关系，使学生初步认识长方形、正方形、三角形和圆形。 2．让学生在动手操作的学习过程中，体验“面在体上”实现对平面图形的进一步认识，发展形象思维。 3．通过小组合作的方式，发展实践能力，培养创新精神，建立空间观念。 4．通过设计拼组图形的动手活动，使学生积极参与，对图形产生好奇心，使他们在活动中获得成功的体验。 教学重点：感知长方形、正方形、三角形和圆的特征； 教学难点：使学生体会“面在体上”。 教学准备： 学生用：四种立体图形、四种平面图形、剪刀、纸。 教师用：四种平面图形、课件 教学过程： （一）动手操作，感知“面在体上” 1．导入新课。 （出示由各种平面图形拼成的小汽车。） 师：小朋友，你知道这辆漂亮的小汽车是由哪些图形拼成的吗？请你来认一认、指一指。 （生：长方形、正方形、三角形、圆形。） 教师将学生回答后的图形贴在黑板上。 师：今天我们就是要来认识这四个图形。
据了解，虽然没有正式的学习过平面图形，但是学生们在生活中都已经认识了这四个平面图形。因此在设计时，针对一年级学生的特点，并考虑到他们现有的起点，出示了一辆由各种平面图形拼成的汽车，让学生找出自己认识的图形。引入新课。 2．感知“面在体上”。 A、分给每组一个长方体、正方体、圆柱、三棱柱。 师：小朋友，现在这四个图形就藏在你们桌上的那些物体里，请你把它们都找出来好不好？并说给你组里的小朋友听一听，你从哪里找到了这些图形？ 各组合作操作。 小组汇报。 从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 课件演示──面从体上分离的过程。 教师小结。 课件演示。 师：从长方体上找到上长方形；从正方体上找到了正方形；从圆柱上找到了圆；从三棱柱上找到了三角形。 这一过程的设计主要是考虑到一年级学生以形象思维为主的特点，“平面图形”这一抽象的概念，对他们而言在理解上有很大的难度。因此让学生通过自己的动手操作充分感知到今天学习的图形原来是从已经学过的立体图形中来的，是立体图形中的一个面。 B、师：老师想把这四个图形从这些立体中搬下来放在纸上，你能帮我想想办法吗？ （生：沿着表面的边缘描出图形。） 师：那就请你们画一画，四人小组中，一人画一个图形。画完后，请你把它剪下来。 学生动手操作。 师：那你说这四个你刚剪下的图形和我们以前学习的立体图形一样吗？有什么不同？ （生：立体图形不只一个面，这些图形只是一个面；立体图形能站立，平面图形不能站立。） 这一过程的设计是在前一环节“找”的基础上进一步体会“面从体上来”并且在想办法搬的思考过程中，在画的过程中，让学生具体感知平面图形与立体图形的不同之处。
2．2.3 反射变换 1．反射变换矩阵和反射变换 像??????1 00 －1，??????－1 0 0 1，???? ??－1 0 0 －1这样将一个平面图形F 变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵，我们称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换．相应地，前者叫做轴反射，后者称做中心反射．其中定直线称为反射轴，定点称做反射点． 2．线性变换 二阶非零矩阵对应的变换把直线变为直线，这种把直线变为直线的变换称为线性变换．二阶零矩阵把平面上所有的点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的退化情况． [对应学生用书P11] 点在反射变换作用下的象 [例1] (1)矩阵???? ??－1 0 0 1将点A (2,5)变成了什么图形？画图并指出该变换是什么变 换． (2)矩阵?? ?? ?? 0 11 0将点A (2,7)变成了怎样的图形？画图并指出该变换是什么变换． [思路点拨] 先通过反射变换求出变换后点的坐标，再画出图形即可看出是什么变换． [精解详析] (1)因为?? ????－1 0 0 1 ??????25＝???? ??－2 5， 即点A (2,5)经过变换后变为点A ′(－2,5)，它们关于y 轴对称， 所以该变换为关于y 轴对称的反射变换(如图1)．
(2)因为?? ????0 11 0 ??????27＝???? ?? 72，即点A (2,7)经过变换后变为点A ′(7,2)，它们关于y ＝x 对称， 所以该变换为关于直线y ＝x 对称的反射变换(如图2)． (1)点在反射变换作用下对应的象还是点．(2)常见的反射变换矩阵：?????? －1 0 0 －1表示关 于原点对称的反射变换矩阵，??????1 00 －1表示关于x 轴对称的反射变换矩阵，?? ?? ??－1 0 0 1表示关 于y 轴对称的反射变换矩阵，?? ???? 0 11 0表示关于直线y ＝x 对称的反射变换矩阵，???? ?? 0 －1－1 0表示关于直线y ＝－x 对称的反射变换矩阵． 1．计算下列各式，并说明其几何意义． (1)??????1 00 －1 ???? ?? 53； (2)?? ????－1 0 0 －1 ???? ?? 53； (3)??????0 11 0 ???? ??53. 解：(1)??????1 00 －1 ??????53＝???? ?? 5－3； (2)??????－1 0 0 －1 ??????53＝?????? －5－3； (3)?? ????0 11 0 ??????53＝???? ??35.
平面图形的认识教学反思（精选3篇） 平面图形的认识教学反思（精选3篇） 作为一位到岗不久的教师，课堂教学是我们的任务之一，对学到的教学新方法，我们可以记录在教学反思中，怎样写教学反思才更能起到其作用呢？以下是小编为大家收集的平面图形的认识教学反思，希望对大家有所帮助。平面图形的认识教学反思 1 本节课《平面图形的认识》是在学生初步认识立体图形，如长方体，正方体，圆柱体，球体的基础上进行教学的。本节课是一节大感受课，是生本教学数学课的一种课型，主要是对每一单元整体的一个初步感受，感受部分是生本教育理念下“先学后教，以学定教”的重要体现。在感受部分我们做到“上不封顶，下不保底”意思就是说学生能感受多少就感受多少，可能由于个体差异，有的学生感受的较深，有的学生感受的较浅，这些都没关系，因为接着我们还有认识课，熟悉课，在认识课中对于学生没有感受到的地方还会加以补充，加深它们的印象。就本节课来看，它是一节大感受课，主要目的是让学生初步感受生活中常见的一些平面图形，知道各自的名称和基本特点。培养学生的观察能力，进一步拓展空间观念，培养学生的动手操作能力。首先由从立体图形引出平面图形，因为在现实生活中学生直接接触的大多数是立体图形，从立体图形上“分离”出面。让学生很直观的认识到平面图形与立体图形之间的关系。接着进行了小组交流，主要交流前置性作业中6个图形的名称。我的.例子，以及我的发现。名称学生很容易就能说出来，我的例子设计的主要目的是让学生把数学与生活紧紧的联系在一起。我的发现主要是让学生先自己去发现这些图形的特点。通过小组交流，上台交流，全班交流。学生对6个图形已初步认识。了解了他们的一些基本特点，最后拼一拼就是让学生在认识了平面图形的基础上将所学的知识运用到生活中。通过动手操作更深刻的认识这些图形的特点。这节课时图形认识的第一课，这节课中我看到学生们积极发言，思维很活跃，发现了好多图形的特点。但是这节课中也有不足之处，就“面从何而来”这一点，只是给学生感受了一下。还有就是由于学生思维活跃，带来了很多新奇的想法，不一样的答案，让孩子们尽情发挥，展示自己，以至于时间有点紧张。在接下来的教学中我还会让学生自己动手找一找，画一画，让学生更深刻的感受平面图形的特点。
第六章平面图形的认识(一) 检测卷 (总分100分时间90分钟) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．图中射线AB、线段MN能和直线PQ相交的是( ) 2．如图，若AB＝DE，则( ) A．AD＝EB B．AC＝EC C．BC＝DC D．AB＝BC 3．已知∠α＝32°，求∠α的补角为() A．58°B．68°C．148°D．168° 4．借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角( ) A．65°B．75°C．85°D．95° 5．如图，直线AB、CD交于O点，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O点， 若∠BOC＝80°，则∠DOF等于( ) A．100°B．120° C．130°D．115° 6．下列语句中，正确的是( ) A．射线AB与射线BA表示同一条射线 B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． D．直线l1∥l2，l2//l3，则l1∥l3，理由是等量代换 7．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠DOE＝90°，那么图中相等的角的对数和互余两角的对数分别为( ) A．3；3 B．4；4 C．5；4 D．7；5 8．点P是直线l外一点，A，B，C为直线l上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离是( ) A．2cm B．小于2cm C．不大于2cm D．4cm 9．已知AB＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的长是( ) A．5 cm B．11cm C．5 cm或11 cm D．不确定 10．已知∠AOB＝3∠BOC，若∠BOC＝30°，则∠AOC等于( ) A．120°B．120°或60°C．30°D．30°或90°
平面图形的认识-三角形提优题目
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E. (1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数； (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明。 已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF。 （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。
如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B＝30°，∠ACE＝110°．求∠AED的度数． 现有两块大小相同的直角三角板△ABC、△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． (1)将这两块三角板摆成如图①的形式，使B、F、E、A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点G，试求∠AGD的度数； (2)将图①中的△ABC固定，把△DEF绕着点F逆时针旋转成如图②的形式，当旋转的角度等于多少度时，DF∥AC?并说明理由．
如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F． （1）求证：2∠AED-∠CAD=170°； （2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示）
平面图形的认识 2005年8月12日来源:网友提供作者:未知字体:[大中小] 教学目标 1．使学生巩固线段、射线和直线的概念，使学生巩固角的概念，进一步认识角的分类及各类角的特征，使学生进一步掌握垂线和平行线的概念． 2．使学生进一步认识学过的四边形的特征及其相互之间的联系，能正确地画出长方形和正方形．进一步认识圆的特征，能正确地画圃；巩固轴对称图形的特征，能判断一个图形是不是轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴． 3．进一步培养学生的判断能力和空间观念． 教学重点 能够掌握平面图形的基本特征，并且理解相互之间的联系． 教学难点 根据平面的基本特征，能够理解平面图形的相互之间的联系． 教学过程 一、复习线段、射线和直线． 1．复习特征．【演示课件“平面几何图形的认识”】 （1）请你在本上分别画出5条不同的线，然后同桌互相说说你画的是什么线，有什么特点？他们之间又有什么不同？ （2）全班汇报．
指出：线段、射线和直线都是直的，线段是直线的一部分；线段有两个端点，是有限长的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的． 2．判断反馈． （1）一条射线长5厘米．（） （2）通过一点可以画无数条直线．（） （3）通过两点可以画一条直线．（） （4）通过一点可以画一条射线．（） 二、复习角．【继续演示课件“平面几何图形的认识”】 1．什么叫做角？请你自己画一个任意角． 提问：根据你画的角说—说，怎样的图形是角？（板书：角） 2．复习各部分名称． 学生填写各部分名称． 教师提问：（1）角的大小与什么有关？ （角的大小与两边叉开的大小有关，与边画的长短无关） （2）角的大小的计量单位是什么？ 3．复习角的分类． 教师说明：根据角的度数，可以把角分类． 教师提问：我们学习过哪几类角？每种角的特征是什么吗？
2、矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点） 即 A λ1α + λ 2 β = λ1 A α + λ 2 A β ； ( ) 例 1：（1）平面上任意一点在矩阵 0 ? B. C. D. A. ? ? 0 1 ?? -1 0?? 0 -1?? 0 1?? 2 ) ，所得图形的新方程式中不含 xy 项，则θ = 答案：C 。解析：由已知得旋转变换矩阵 M = ?cos θ -sin θ ? x sin θ + y cos θ ?? ? y = - x ' sin θ + y ' cos θ y ? ? y '? ? 1?? ?0 0 26.2 几种常见的平面变换 【知识网络】 1、以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义； ， 3、通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如 下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。 【典型例题】 ? 1 0 ? 1 ? 的作用下( ) ? ? 5 ? A. 横坐标不变,纵坐标伸长 5 倍 B. 横坐标不变,纵坐标缩短到 1 5 倍 C. 横坐标,纵坐标均伸长 5 倍 D. 横坐标,纵坐标均缩短到 1 5 倍 答案：B 。 （2） 表示 x 轴的反射变换的矩阵是( ) ? 1 0? ? -1 0? ? 0 1 ? ? 1 0 ? ? ? ? ? ? 答案：D 。 （3）已知二次曲线 2 x 2 + 3xy + y 2 + x - y - 2 = 0 ，若将其图形绕原点逆时针旋转θ 角后 (0 < θ < π （） A 、30° B 、45° C 、60° D 、75° ?sin θ cos θ ? ? x ? ? x ' ? ? x cos θ - y sin θ ? ? x = x ' c os θ + y ' s in θ T ： ? ? → ? ? = ? ，从而有 ? ? 代入原二次曲线方程，得到关于 x ', y ' 的新方程式，要使其中不含 x ', y ' 项，必须满足 π π 2sin θ cos θ + 3(cos 2 θ - sin 2 θ ) = 0 ，即 tan 2θ = - 3 ，∵θ ∈ (0, ),∴θ = 。 2 3 ?1 k ? （△4）设 OAB 的三个点坐标为 O(0,0),A(a 1,a 2),B(b 1,b 2)，在矩阵 M = ? 对应的变换 下作用后形成△ O A 'B ' 则△OAB 与△ OA 'B ' 的面积之比为___________。 答案：1：1。解析：由题意知 T M 为切变变换，故变换前后的图形面积大小不变。 ?1 0 ? （5）函数 y = 3cos x 在矩阵 M= ? 1 ? 变换作用下的结果是。 ? 2 ?
选修4－2矩阵与变换 2.2.3 反射变换 编写人：编号：004 学习目标 1、理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。 2、掌握反射变换的几何意义及其矩阵表示。 3、从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩 阵对应的变换把直线变成直线（或点）。 学习过程： 一、预习： （一）阅读教材，解决下列问题： 问题：求圆C：22 (2)(2)2 x y -+-=在矩阵 10 01 M -?? =?? ?? 作用下变换所得的几何 图形. 反思：两个几何图形有何特点？ 归纳： 问1：若将一个平面图形F在矩阵 1 M的作用变换下得到关于y轴对称的几何图 形F'，则如何来求出这个矩阵 1 M呢？ 问2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？ 归纳 练习
1、求出曲线2 y x =在矩阵 10 01 M ?? =?? - ?? 作用下变换所得的图形 2、求出曲线lg(0) y x x =>在矩阵 01 10 M ?? =?? ?? 作用下变换得到的曲线. . 3、若曲线y=x2（x≥0）在矩阵M对应的反射变换作用下得到的曲线为y=x2（x ≤0），求矩阵M。 二、课堂训练： 例．求直线:270 l x y +-=在矩阵 30 11 M ?? =?? -?? 作用下变换得到的曲线. 思考1：若矩阵 30 11 M ?? =?? -?? 改为矩阵 31 11 A ?? =?? -?? ，则变换得到的曲线是什么？ 思考2：我们从中能猜想什么结论？ 归纳： 变式训练： 设,a b R ∈，若 1 a M b ?? =?? -?? 所定义的线性变换把直线:270 l x y +-=变换成另一 直线:70 l x y '+-=，求,a b的值. 练习：
M O a 第六章：平面图形的认识 第一节：直线、射线、线段 知识点1：概念 线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。 线段的画法：（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．（2）以后我们说“连结 ”就是指画以A 、B 为端点的线段． 射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。如手电筒、探照灯 射出的光线等。 射线的画法：画射线 一要画出射线端点 ；二要画出射线经过一点，并向一旁延伸的情况． 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。如笔直的铁轨等。 直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。 知识点2：线段、直线、射线的表示方法： （1） 点的记法：用一个大写英文字母 （2） 线段的记法：①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 如图： 记作线段AB 或线段BA ， 记作线段a ， 与字母顺序无关 此时要在图中标出此小写字母 温馨提示：线段是直线（或射线）的一部分；2.线段不可向两方无限延伸，但可度量；3.延长线常化成虚线；4.延长线段AB 是指按A 到B 的方向延长，延长线段BA 是指按B 到A 的方向延长. （3） 射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 如图： 记作射线OM,但不能记作射线MO 温馨提示：1.射线是直线的一部分；2.射线是像一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小；3.射线可作反向延长线，不存在射线的延长线。 （4） 直线的记法：①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示 如图： 记作直线AB 或直线BA ， 记作直线l 与字母顺序无关。 此时要在图中标出此小写字母 知识点3：线段、射线、直线的区别与联系： 联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到 直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。 区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别 见下表： B A l
七年级（上）第四单元测试题 班别 姓名 学号 总分 一、填空题（每小题4分，共40分） 1、某班的同学在操场上站成笔直的一排，确定两个同学的位置，这一排的位置就确定下来了，这是因为 2、经过A 、B 、C 三点可以画_____________ 条直线 3、将弯曲的河道改直，可以缩短航程，是因为____________________________________ 4、若点C 为线段AB 的中点，则AC= = 2 1 。 5、用三种方法表示右图的角： 、 、 6、右图有 条线段。 7、0.15°= ′= ″， 41°18′36″= __________ 度. 8、运动会上，甲乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA =5.52米，PB =5.13米，则小明的真实成绩为__________米. 9、如图4，CD ⊥OB 于D ，EF ⊥OA 于F ，则C 到OB 的距离是______， O 到CD 的距离是______，Ｏ到EF 的距离是______. 10、如图2，a 代表水面，b 代表三名选手从十米跳台入水示意图,比赛结果，图(1)水花最小，得分最高，由此我们可得出结论，当入水轨迹与水面__________时，无水花溅起得分最高. 1 C B A A B C D
二、选择题（每题4分，共20分） 1.如图所示，A 、B 、C 、D 四个图形中各有一条射线和一条线段，它们能相交的是（ ） 2.延长线段AB 到C ，下列说法中正确的是（ ） A.点C 在线段AB 上 B.点C 在直线AB 上 C.点C 不在直线AB 上 D.点C 在直线AB 的延长线上 3、已知?=∠?=∠?=∠18.40,"30'1740,'1840C B A ，则（ ） A 、A ∠> B ∠> C ∠ B 、B ∠>A ∠>C ∠ C 、C ∠>A ∠>B ∠ D 、A ∠>C ∠>B ∠ 4、如图，已知l OM l ON ⊥⊥,，所以OM 与ON 重合，其理由是（ ） A 、过两点只有一条直线； B 、经过一点只有一条直线垂直于已知直线； C 、垂线段最短； D 、平面内，过一点只能作一条一直直线的垂线。 5.如果直线a ∥b ,b ∥c ，那么a ∥c ，这个推理的根据是（ ） A.等量代换 B.平行线定义 C.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D.平行于同一直线的两直线平行 三、 作图题（每小题8分，共16分） 1、如图，在同一平面内有四个点A 、B 、C 、D ①画射线CD ②画直线AD ③连结AB ④直线BD 与直线AC 相交于点
平面图形的认识 一.线段，射线，直线 1. 特点：联系图形 2. 点、直线、射线和线段的表示：在几何里，我们常用字母表示图形。与图形联系 （1）一个点可以用一个大写字母表示，如点A 。（2）一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示，如直线l ,或者直线AB 。（3）一条射线可以用用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面），射线AB 。（4）一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示，如线段l ,线段AB 注：（1）射线 确定射线就看端点和延伸方向。（1）射线AB 与射线BA 不是同一条射线。（2）端点一样并且延伸方向相同的射线是同一条射线。射线可以 3. 直线的性质 （1）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。（2）过一点的直线有无数条。（应用） （3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。 （4）两条不同的直线至多有一个公共点。 考点：数线段、射线、直线条数？按顺序，找规律，不重不漏。 方法规律： 补充：点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上，或者说直线经过这个点。②点在直线外，或者说直线不经过这个点。 4. 线段的性质 （1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。（应用） （2）两点之间的距离：两点之间线段的长度 ，叫做这两点之间的距离。 （ 3）线段上有无穷多个点。（直线、射线也是） 5. 线段的大小比较---和差关系（等量关系）。结合图形： 符号语言 尺规作图：已知线段a 、b （如图），作出线段AB ，使AB ＝2a －b 注：一定写结论。 6. 线段的中点：（重点） 点M 在线段AB 上，点M 把线段AB 分成相等的两条相等的线段AM 与BM ，点M 叫做线段AB 的中点。 符号语言 ∵M 是线段AB 的中点 （5个结论） ∴ 7. 求线段长度（重点、难点） ---考察（线段和差关系（等量关系）和线段的中点） 解题方法：1.读题，依照题意，画出图形，2.把已知条件，所求标注到图形3.分析图形，找线段间的和差（等量）关系3.找到解题思路 （多写，多尝试）4.用符号语言写出步骤（注意逻辑性，因果关系得当） 分析方法：①简单题 由条件入手直接推出结论—---从前到后推。 ②中等题 由结论入手需要什么，从而利用条件—--从后往前推 ③偏难题 既考虑得结果需要什么，又得挖掘条件可得到什么---从两头到中间推。 注：不给出图形时，画出的图形可能不唯一（都要画出），求线段长度时要分类讨论. M A B
高二数学理科选修4-2 §2.2反射变换与旋转变换 第4课时导学案 编制人 卢琪 审核人 编制时间 学生完成所需时间 班级 姓名 第 学习小组 【学习目标】1，了解反射变换和旋转变换几何意义；2，掌握恒等变换与伸压变换矩阵；3，从几何上理解二阶矩阵对应的几何变换是线性变换，并证明二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线，即证明1212()M M M λαλβλαλβ+=+ 【自学重点与难点】反射变换与旋转变换几何意义． 【自主预习】 问题1：如右图一个三角形F,将它 作关于x 轴，y 轴和坐标原点对称 的变换，分别得到三角形F 1,F 2,F 3, 像这样将一个图形F 变为关于定 直线或定点对称的图形F /的变换 称为什么变换？ 问题2：你能否根据定义分别写出 关于x 轴、y 轴、原点对称的反射 变换所对应的反射变换矩阵吗？ 问题3：有人说“一般地，二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线（或者点）”这句话对吗？为什么？ 问题4：什么是旋转变换？什么是旋转中心和旋转角？你能用举出实例吗？ 问题5：你能根据你举出的例子写出相应的旋转变换矩阵吗？
【例题精讲】 例1 求直线y ＝4x 分别在矩阵??????0 1 1 0 与0110-?? ?-?? 作用下变换所得的图形 例2已知A （0，0），B （2，0），C （2，1），D （0，1），求矩形ABCD 绕原点逆时针旋转90o后得到的图形，并求出其顶点的坐标。 例3若点A （2，2）在矩阵cos sin sin cos M αααα-??= ???对应的变换作用下得到的点为B （-2，2），求矩阵M 【课堂练习】 1，矩阵1001?? ?-??，1001-?? ???，1001-?? ?-??，0110?? ???，cos sin sin cos αααα?? ?-?? 对应的变换分别是 ， ， ， ， 。 2，已知A （0，0），B （3，0），C （4，2），D （1，2），求ABCD 在矩阵1001M -??= ???对应的变换矩阵作用下得到的几何图形，并画出示意图 3，求出函数y = (0)x ≥在矩阵1001?? ?-?? 对应的变换作用下得到的曲线 1， 已知曲线1xy =，将它绕坐标原点顺时针旋转900后，得到什么曲线？曲线方程是什么？ 【课堂小结】