3、求二次函数关系式
一.选择题(共8小题)
1.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么()
A.a<0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b<0,c<0 D.a>0,b>0,c<0
2.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断正确的是()
A.a>0,c>0 B.a<0,c>0 C.a>0,c<0 D.a<0,c<0
3.二次函数y=(a﹣1)x2(a为常数)的图象如图所示,则a的取值范围为()
A.a>1 B.a<1 C.a>0 D.a<0
4.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断中,不正确的是()
A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.b2﹣4ac>0
5.抛物线y=(m﹣1)x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点,则m的值为()
A.±1 B.0 C.1 D.﹣1
6.(已知点(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,则a的值是()
A.﹣1 B.1 C.±1 D.
7.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位,再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为()A.y=(x+1)2+1 B.y=(x+1)2﹣1 C.y=(x﹣1)2+1 D.y=(x﹣1)2﹣1
8.将抛物线y=(x﹣1)2向左平移2个单位,所得抛物线的表达式为()
二.填空题(共6小题)
9.已知抛物线经过点(5,﹣3),其对称轴为直线x=4,则抛物线一定经过另一点的坐标是_________.10.如果二次函数y=(m﹣1)x2+5x+m2﹣1的图象经过原点,那么m=_________.
11.若点(﹣2,a),(﹣3,b)都在二次函数y=x2+2x+m的图象上,比较a、b的大小:a_________b.(填“>”“<”或“=”).
12.已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8,那么对应的自变量x的值是_________.
13.抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为_________.
14.如果将抛物线y=3x2平移,使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2),那么平移后的抛物线的表达式为_________.三.解答题(共8小题)
15.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向右平移2个单位得到抛物线y=a(x﹣3)2﹣1,且平移后的抛物线经过点A(2,1).(1)求平移后抛物线的解析式;
(2)设原抛物线与y轴的交点为B,顶点为P,平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M,求△BPM的面积.
16.在直角坐标平面内,抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A(﹣2,﹣2)与B(1,﹣5)三点.
(1)求抛物线的表达式;(2)写出该抛物线的顶点坐标.
17.如图,已知二次函数的图象过A、C、B三点,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC.(1)求点C的坐标;(2)求二次函数的解析式,并化成一般形式.
18.已知抛物线的顶点坐标是(8,9),且过点(0,1),求该抛物线的解析式.
19.已知在直角坐标平面内,抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A,B,点B的坐标为(3,0),与y轴相交于点C;(1)求抛物线的表达式;(2)求△ABC的面积.
20.如图,已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,6),对称轴为直线x=2,求二次函数解析式并写出图象最低点坐标.
21.如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,).
22.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标.
26.2.3求二次函数关系式
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,那么()
A.a<0,b>0,c>0 B.a>0,b<0,c>0 C.a>0,b<0,c<0 D. a>0,b>0,c<0
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:首先根据开口方向确定a的符号,再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号,然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负,由此得出答案即可.
解答:解:∵图象开口方向向上,
∴a>0;
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上,
∴﹣>0,
∵a>0,
∴b<0;
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上,
∴c<0;
∴a>0,b<0,c<0.
故选:C.
点评:本题主要考查二次函数的图象与系数的关系,能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键,运用了数形结合思想.
2.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断正确的是()
A.a>0,c>0 B.a<0,c>0 C.a>0,c<0 D.a<0,c<0
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:首先根据开口方向确定a的符号,再依据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负,由此解决问题.解答:解:∵图象开口方向向上,
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上,
∴c<0;
∴a>0,c<0.
故选:C.
点评:本题主要考查二次函数的图象与系数的关系,能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键,运用了数形结合思想.
3.二次函数y=(a﹣1)x2(a为常数)的图象如图所示,则a的取值范围为()
A.a>1 B.a<1 C.a>0 D.a<0
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:由图示知,该抛物线的开口方向向下,则系数a﹣1<0,据此可求a的取值范围.
解答:解:如图,
抛物线的开口方向向下,则a﹣1<0,
解得a<1.
故选:B.
点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系.二次函数y=ax2的系数a为正数时,抛物线开口向上;a 为负数时,抛物线开口向下;a的绝对值越大,抛物线开口越小.
4.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么下列判断中,不正确的是()
A.a>0 B.b>0 C.c<0 D.b2﹣4ac>0
考点:二次函数图象与系数的关系.
分析:首先根据开口方向确定a的符号,再依据对称轴的正负和a的符号即可判断b的符号,然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负,由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0.
解答:解:由图象的开口向上可得a开口向上,由x=﹣>0,可得b<0,
由二次函数y=ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c<0,
由二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,可得b2﹣4ac>0,所以B不正确.
点评:本题主要考查二次函数的图象与系数的关系,能根据图象正确确定各个系数的符号是解决此题的关键,此题运用了数形结合思想.
5.抛物线y=(m﹣1)x2﹣mx﹣m2+1的图象过原点,则m的值为()
A.±1 B.0 C.1 D.﹣1
考点:二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的定义.
专题:计算题.
分析:根据二次函数图象上点的坐标特征得到﹣m2+1=0,解得m1=1,m2=﹣1,然后根据二次函数的定义确定m的值.
解答:解:把(0,0)代入y=(m﹣1)x2﹣mx﹣m2+1得﹣m2+1=0,解得m1=1,m2=﹣1,
而m﹣1≠0,
所以m=﹣1.
故选D.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.也考查了二次函数的定义.
6.已知点(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,则a的值是()
A.﹣1 B.1 C.±1 D.
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
专题:计算题.
分析:根据二次函数图象上点的坐标特征,把点(﹣2,4)代入y=ax2中得到a的方程,然后解方程即可.解答:解:∵点(﹣2,4)在抛物线y=ax2上,
∴a?(﹣2)2=4,
∴a=1.
故选B.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
7.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位,再向右平移1个单位后所得图象的函数表达式为()
A.y=(x+1)2+1 B.y=(x+1)2﹣1 C.y=(x﹣1)2+1 D.y=(x﹣1)2﹣1
考点:二次函数图象与几何变换.
分析:先得到抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),再利用点的平移规律得到点(0,0)平移后对应点的坐标为(1,﹣1),然后根据顶点式写出平移的抛物线解析式.
解答:解:抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0)向右平移1个单位,向下平移1个单位得到对应点的坐标为(1,﹣1),所以平移后的新图象的函数表达式为y=(x﹣1)2﹣1.
故选:D.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
8.将抛物线y=(x﹣1)2向左平移2个单位,所得抛物线的表达式为()
A.y=(x+1)2B.y=(x﹣3)2C.y=(x﹣1)2+2 D.y=(x﹣1)2﹣2
考点:二次函数图象与几何变换.
专题:几何变换.
分析:先根据二次函数的性质得到抛物线y=(x﹣1)2的顶点坐标为(1,0),再利用点平移的规律得到点(1,0)平移后对应点的坐标为(﹣1,0),然后根据顶点式写出平移后抛物线的表达式.
解答:解:抛物线y=(x﹣1)2的顶点坐标为(1,0),点(1,0)向左平移2个单位得到对应点的坐标为(﹣1,0),所以平移后抛物线的表达式为y=(x+1)2.
故选A.
点评:本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
二.填空题(共6小题)
9.已知抛物线经过点(5,﹣3),其对称轴为直线x=4,则抛物线一定经过另一点的坐标是(3,﹣3).
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
分析:根据二次函数的对称性求解即可.
解答:解:∵点(5,﹣3)关于对称轴直线x=4的对称点为(3,﹣3),
∴抛物线一定经过另一点的坐标是(3,﹣3).
故答案为:(3,﹣3).
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,主要利用了二次函数的对称性.
10.如果二次函数y=(m﹣1)x2+5x+m2﹣1的图象经过原点,那么m=﹣1.
考点:二次函数图象上点的坐标特征;二次函数的定义.
分析:把原点坐标代入函数解析式求解即可得到m的值,再根据二次项系数不等于0求出m≠1.
解答:解:∵二次函数y=(m﹣1)x2+5x+m2﹣1的图象经过原点,
∴m2﹣1=0,
解得m=±1,
∵函数为二次函数,
∴m﹣1≠0,
解得m≠1,
所以,m=﹣1.
故答案为:﹣1.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的定义,要注意二次项系数不等于0.
11.若点(﹣2,a),(﹣3,b)都在二次函数y=x2+2x+m的图象上,比较a、b的大小:a<b.(填“>”“<”或“=”).
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
分析:根据二次函数图象上点的坐标特征计算出自变量为﹣2和﹣3时的函数值,然后比较函数值的大小即可.
解答:解:∵点(﹣2,a),(﹣3,b)都在二次函数y=x2+2x+m的图象,
∴a=x2+2x+m=4﹣4+m=4,b=x2+2x+m=9﹣6+m=3+m,
∴a<b.
故答案为<.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征:二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
12.已知二次函数y=x2+2x﹣7的一个函数值是8,那么对应的自变量x的值是﹣5或3.
考点:二次函数图象上点的坐标特征.
分析:把函数值代入函数解析式,解关于x的一元二次方程即可.
整理得,x2+2x﹣15=0,
解得x1=﹣5,x2=3,
所以,对应的自变量x的值是﹣5或3.
故答案为:﹣5或3.
点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程的解法,把函数值代入函数解析式得到方程是解题的关键.
13.抛物线y=x2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为y=(x+2)2+2.
考点:二次函数图象与几何变换.
分析:已知抛物线解析式为顶点式,顶点坐标为(0,2),则平移后顶点坐标为(﹣2,2),由抛物线的顶点式可求平移后的抛物线解析式.
解答:解:∵y=x2+2顶点坐标为(0,2),
∴向左平移2个单位后顶点坐标为(﹣2,2),
∴所得新抛物线的表达式为y=(x+2)2+2.
故答案为:y=(x+2)2+2.
点评:本题考查了二次函数图象与几何变换.关键是把抛物线的平移理解为顶点的平移,根据顶点式求抛物线解析式.
14.如果将抛物线y=3x2平移,使平移后的抛物线顶点坐标为(2,2),那么平移后的抛物线的表达式为y=3(x ﹣2)2+2.
考点:二次函数图象与几何变换.
分析:平移不改变抛物线的开口方向与开口大小,即解析式的二次项系数不变,根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式.
解答:解:∵原抛物线解析式为y=3x2,的顶点坐标是(0,0),平移后抛物线顶点坐标为(2,2),
∴平移后的抛物线的表达式为:y=3(x﹣2)2+2.
故答案为:y=3(x﹣2)2+2.
点评:本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系.关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移,能用顶点式表示平移后的抛物线解析式.
三.解答题(共8小题)
15.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向右平移2个单位得到抛物线y=a(x﹣3)2﹣1,且平移后的抛物线经过点A(2,1).(1)求平移后抛物线的解析式;
(2)设原抛物线与y轴的交点为B,顶点为P,平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M,求△BPM的面积.
考点:二次函数图象与几何变换.
分析:(1)把点A代入平移后的抛物线y=a(x﹣3)2﹣1来求a的值;
(2)根据平移前、后的函数解析式,然后求出B、P、M三点的坐标,根据三角形的面积公式即可求出△BPM的面积.
解答:解:(1)把点A(2,1)代入y=a(x﹣3)2﹣1,得
1=a(2﹣3)2﹣1,
整理,得
1=a﹣1,
解得a=2.
则平移后的抛物线解析式为:y=2(x﹣3)2﹣1;
(2)由(1)知,平移后的抛物线解析式为:y=2(x﹣3)2﹣1,则M(3,0)
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向右平移2个单位得到抛物线y=2(x﹣3)2﹣1,
∴平移前的抛物线解析式为:y=2(x﹣1)2﹣1.
∴P(1,﹣1).
令x=0,则y=1.
故B(0,1),
∴BM=
∴S△BPM=BM?y P=××1=.
点评:本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力.
16.在直角坐标平面内,抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A(﹣2,﹣2)与B(1,﹣5)三点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)写出该抛物线的顶点坐标.
考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.
分析:(1)把原点O、A(﹣2,﹣2)与B(1,﹣5)三点分别代入函数解析式,求得a、b、c的数值得出函数解析式即可;
(2)把函数解析式化为顶点式,得出顶点坐标即可.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O、A(﹣2,﹣2)与B(1,﹣5)三点,
∴,
解得:,
(2)y=﹣2x2﹣3x
=y=﹣2(x+)2+,
抛物线的顶点坐标为(﹣,).
点评:此题考查待定系数法求函数解析式,以及利用配方法求得顶点坐标.
17.如图,已知二次函数的图象过A、C、B三点,点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y
轴正半轴上,且AB=OC.
(1)求点C的坐标;
(2)求二次函数的解析式,并化成一般形式.
考点:待定系数法求二次函数解析式.
分析:(1)根据题目所给的信息可以知道OC=AB=5,点C在y轴上可以写出点C的坐标;
(2)二次函数图象经过点A、B、C;这三个点的坐标已知,根据三点法确定这一二次函数解析式.
解答:解:(1)∵点A的坐标为(﹣1,0),点B的坐标为(4,0),
∴OC=AB=5,
∴点C的坐标为(0,5);
(2)设二次函数解析式为:y=ax2+bx+5,
把A(﹣1,0)、B(4,0)代入原函数解析式得出:
a=﹣,b=;
所以这个二次函数的解析式为:y=﹣x2+x+5.
点评:此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式,同时还考查了方程组的解法等知识.
18.已知抛物线的顶点坐标是(8,9),且过点(0,1),求该抛物线的解析式.
考点:待定系数法求二次函数解析式.
分析:根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式,再把(0,1),代入求解即可.
解答:解:∵抛物线的顶点坐标是(8,9),
∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣8)2+9,
把(0,1),代入得1=64a+9,解得a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣8)2+9.
点评:本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是正确的设出抛物线的解析式.
19.已知在直角坐标平面内,抛物线y=x2+bx+6经过x轴上两点A,B,点B的坐标为(3,0),与y轴相交于点C;(1)求抛物线的表达式;
(2)求△ABC的面积.
考点:待定系数法求二次函数解析式.
分析:(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=x2+bx+6,即可得出抛物线的表达式y=x2﹣5x+6;(2)先求出A(2,0),B(3,0),C(0,6),再利用三角形面积公式求解即可.
解答:解:(1)把点B的坐标(3,0)代入抛物线y=x2+bx+6得0=9+3b+6,解得b=﹣5,
所以抛物线的表达式y=x2﹣5x+6;
(2)∵抛物线的表达式y=x2﹣5x+6;
∴A(2,0),B(3,0),C(0,6),
∴S△ABC=×1×6=3.
点评:本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是正确的设出抛物线的解析式.
20.如图,已知二次函数的图象与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,6),对称轴为直线x=2,求二次函数解析式并写出图象最低点坐标.
考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的最值.
专题:计算题.
分析:根据二次函数的对称轴为直线x=2,设出二次函数解析式,把A与C坐标代入求出a与k的值,确定出二次函数解析式,找出函数图象最低点坐标即可.
解答:解:设二次函数解析式为y=a(x﹣2)2+k,
把A(1,0),C(0,6)代入得:,
解得:,
则二次函数解析式为y=2(x﹣2)2﹣2=2x2﹣8x+6,二次函数图象的最低点,即顶点坐标为(2,﹣2).
点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及二次函数的最值,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
21.如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请解答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为点D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,).
考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.
专题:计算题.
分析:(1)将A与B代入抛物线解析式求出a与c的值,即可确定出抛物线解析式;
(2)利用顶点坐标公式表示出D点坐标,进而确定出E点坐标,得到DE与OE的长,根据B点坐标求出BO的长,进而求出BE的长,在直角三角形BED中,利用勾股定理求出BD的长.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),
∴将A与B坐标代入得:,
解得:,
则抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;
(2)点D为抛物线顶点,由顶点坐标(﹣,)得,D(1,4),
∵对称轴与x轴交于点E,
∴DE=4,OE=1,
∵B(﹣1,0),
∴BO=1,
∴BE=2,
在Rt△BED中,根据勾股定理得:BD===2.
点评:此题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及二次函数的性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
22.如图,抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标.
考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-对称.
专题:压轴题.
分析:(1)由于抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,利用待定系数法即可确定抛物线的解析式;
(2)由于点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,把D的坐标代入(1)中的解析式即可求出m,然后利用对称就可以求出关于直线BC对称的点的坐标.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A(﹣1,0)、C(0,4)两点,
∴,
解之得:a=﹣1,b=3,
∴y=﹣x2+3x+4;
(2)∵点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,
∴把D的坐标代入(1)中的解析式得
m+1=﹣m2+3m+4,
∴m=3或m=﹣1,
∴m=3,
∴D(3,4),
∵y=﹣x2+3x+4=0,x=﹣1或x=4,
∴B(4,0),
∴OB=OC,
∴△OBC是等腰直角三角形,
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C(0,4)
∴CD∥AB,且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上,且CE=CD=3
∴OE=1
∴E(0,1)
即点D关于直线BC对称的点的坐标为(0,1);
点评:此题考查传统的待定系数求函数解析式,第二问考查点的对称问题,作合适的辅助线,根据垂直和三角形全等来求P点坐标
人教版中考数学压轴题24道:二次函数专题 1.如图,直线y=﹣x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过B,C两点,与x轴另一交点为A.点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴垂线交x轴于点E,交抛物线于点M. (1)求抛物线的解析式; (2)如图①,过点P作y轴垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当=时,求t的值; (3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,直接写出t的值. 2.如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点.(1)求抛物线的函数表达式; (2)如图1,P为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC面积为3,求点P的坐标; (3)如图2,D为抛物线的顶点,在线段AD上是否存在点M,使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于A,C两点,抛物线y=x2+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B. (1)求抛物线解析式及B点坐标; (2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积; (3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位
置时,PC+PA 的值最小,请求出这个最小值,并说明理由. 4.已知函数y =(n 为常数) (1)当n =5, ①点P (4,b )在此函数图象上,求b 的值; ②求此函数的最大值.(2)已知线段AB 的两个端点坐标分别为A (2,2)、B (4,2),当此函数的图象与线段 AB 只有一个交点时,直接写出n 的取值范围. (3)当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于 4,求n 的取值范围. 5.在平面直角坐标系 xOy 中(如图),已知抛物线 y =x 2 ﹣2x ,其顶点为A . (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” . ①试求抛物线y =x 2 ﹣2x 的“不动点”的坐标; ②平移抛物线y =x 2﹣2x ,使所得新抛物线的顶点 B 是该抛物线的“不动点”,其对称轴 与x 轴交于点C ,且四边形OABC 是梯形,求新抛物线的表达式.
二次函数的图像及其三种表达式 学生: 时间: 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像; 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P (h ,k )] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A (x1,0)和 B (x2,0)的抛物线] 2、一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0,且a 决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 +bx +1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的表达式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围. 例题2、一次函数y=2x +3,与二次函数y=ax 2 +bx +c 的图象交于A (m ,5)和B (3,n )两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出两个函数的图象; (3)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大. (4)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值? 随堂练习 1.已知函数y=ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是( ) A .0<- a b 2<1 B .0<-a b 2<2 C .1<-a b 2<2 D .-a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21(x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+2 1
二次函数七大综合专题 二次函数与三角形的综合题
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 ① 求相似三角形的第三个顶点时,先要分析已知三角形的边.和角.的特点,进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角,在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出,则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。 如图,已知抛物线与交于A(-1,0)、E(3,0)两点,与轴交于点B(0,3)。 (1) 求抛物线的解析式; (2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。 (2016?益阳第21题) 如图,顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ,与x 轴交于点B . (1)求抛物线对应的二次函数的表达式; (2)过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ,交抛物线于点D ,求证:△OCD ≌△OAB ; (3)在x 轴上找一点P ,使得△PCD 的周长最小,求出P 点的坐标. x y
考点:考查二次函数,三角形的全等、三角形的相似。 解析:(1 )∵抛物线顶点为A , 设抛物线对应的二次函数的表达式为2(1y a x =+, 将原点坐标(0,0)代入表达式,得1 3a =-. ∴抛物线对应的二次函数的表达式为:213y x =-+ . (2)将0y = 代入213y x =-+ 中,得B 点坐标为:, 设直线OA 对应的一次函数的表达式为y kx =, 将A 代入表达式y kx = 中,得k = , ∴直线OA 对应的一次函数的表达式为y x =. ∵BD ∥AO ,设直线BD 对应的一次函数的表达式为y b =+, 将 B 代入y b = +中,得2b =- , ∴直线BD 对应的一次函数的表达式为2y x =-. 由2213y x y x ?= -????=-?? 得交点D 的坐标为(3)-, 将0x = 代入2y =-中,得C 点的坐标为(0,2)-, 由勾股定理,得:OA =2=OC ,AB =2=CD , OB OD ==. 在△OAB 与△OCD 中,OA OC AB CD OB OD =?? =??=? , ∴△OAB ≌△OCD . (3)点C 关于x 轴的对称点C '的坐标为(0,2),则C D '与x 轴的交点即为点P ,它使得△PCD 的周长最小. 过点D 作DQ ⊥y ,垂足为Q ,则PO ∥DQ .∴C PO '?∽C DQ '?. ∴ PO C O DQ C Q '=', 25 = ,∴PO =, ∴ 点P 的坐标为(. 二次函数与平行四边形的综合题 7
二次函数表达式、图象、性质 及计算(讲义) 一、知识点睛 1. 一般地,形如__________________(_______________)的 函数叫做x 的二次函数. 2. 表达式、图象及性质: ①由一般式通过______________可推导出顶点式. 顶点式:________________(其中h =______,k =_________). ②二次函数的图象是_________,是________图形,对称轴是__________,顶点坐标是_____________. ③当a_______时,函数有最_____值,是____________; 当a_______时,函数有最_____值,是____________. ④当a _____时,图象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______;当a_____时,图 象以对称轴为界,当x______时,y 随x 的增大而_______,当x______时,y 随x 的增大而_______. ⑤a ,b ,c 符号与图象的关系: a 的符号决定了抛物线的开口方向,当_____时,开口向____;当_____时,开口向____. c 是抛物线与_______交点的______. b 的符号:与a_____________,根据_____________可推导. 3. 二次函数图象平移: ①二次函数图象平移的本质是__________,关键在______. ②图象平移口诀:________________、________________. 平移口诀主要针对二次函数_________________. 二、精讲精练 1. 下列函数(x ,t 是自变量)是二次函数的有________.(填写序号) ①2132y x x =--;②2123y x x =-+;③21 32 y x =-+; ④2 22y x =+;⑤2y x =-;⑥231252 y x x =-+; ⑦215s t t =++;⑧2 20x y -+=. 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数,则a =( ) A .-3 B .3 C .±3 D .5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式( ) A .2 (3)5y x =-- B .2 (3)5y x =+- C .2 2(3)5y x =-+ D .2 2(3)5y x =--
专题训练(二)确定二次函数的表达式五种方法?方法一利用一般式求二次函数表达式 1.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的表达式为() A.y=x2-x-2 B.y=-x2+x+2 C.y=x2-x-2或y=-x2+x+2 D.y=-x2-x-2或y=x2+x+2 2.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-4,0),(2,6),则这个二次函数的表达式为______________. 3.一个二次函数,当自变量x=-1时,函数值y=2;当x=0时,y=-1;当x=1时,y=-2.那么这个二次函数的表达式为____________. 4.如图2-ZT-1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4),O(0, 0),B(2,0)三点. (1)求抛物线的表达式; (2)若M是该抛物线的对称轴上的一点,求AM+OM的最小值. 图2-ZT-1
?方法二利用顶点式求二次函数表达式 5.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是() A.y=-2x2-x+3 B.y=-2x2+4 C.y=-2x2+4x+8 D.y=-2x2+4x+6 6.已知y是x的二次函数,根据表中的自变量x与函数y的部分对应值,可判断此函数的表达式为() A.y=x2 B.y=-x2
C .y =3 4(x -1)2+2 D .y =-3 4 (x -1)2+2 7.[2018·巴中改编]一位篮球运动员在距离篮框中心水平距离4m 处起跳投篮,球沿一条抛物线运动,当球运动的水平距离为2.5m 时,达到最大高度3.5m ,然后准确落入篮框内.已知篮框中心距离地面高度为3.05m .在如图2-ZT -2所示的平面直角坐标系中,此抛物线的表达式是________. 2-ZT -2 8.已知抛物线y 1=ax 2+bx +c 的顶点坐标是(1,4),它与直线y 2=x +1的一个交点的横坐标为2. (1)求抛物线的函数表达式; (2)在如图2-ZT -3所示的平面直角坐标系中画出抛物线y 1=ax 2+bx +c 及直线y 2=x +1,并根据图象,直接写出使得y 1≥y 2成立的x 的取值范围. 图2-ZT -3
二次函数的三种表达形式: ①一般式: y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。 ②顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。 解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。 注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况: 当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式: y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤: 二次函数 ∵x1+x2=-b/a,x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念: a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;
1.如图,抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点,其中点A 在y 轴上,点B 坐标为(﹣4,﹣5),点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点,过点P 作PC ⊥x 轴于点C ,交AB 于点D .(1)求抛物线的解析式;(2)以O ,A ,P ,D 为顶点的平行四边形是否存在?如存在,求点P 的坐标;若不存在,说明理由.(3)当点P 运动到直线AB 下方某一处时,过点P 作PM ⊥AB ,垂足为M ,连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形,请直接写出此时点P 的坐标. 2. 在直角坐标系xoy 中,(0,2)A 、(1,0)B -,将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式;(2)连结AC ,点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点,
若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分,求此时点P 的坐标;(3)现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移,求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =-1,且经过A (1,0),C (0,3)两点,与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y =mx +n 经过B ,C 两点,求直线BC 和抛物线的解析式;⑵在抛物线的对称轴x =-1上找一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,求点M 的坐标;⑶设点P 为抛物线的 图15.1 C D O B A x y
对称轴x =-1上的一个动点,求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标. 4. 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经过坐标原点O ,与抛物线的一个交点为D ,与抛物线的对称轴交于点E ,连接CE ,已知点A ,D 的坐标分别为 (-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B 和点E 的坐标;(2 )试探究抛物线上是 第25题图