利用导数判断函数的单调区间
运用导数判定函数单调性的方法：若()0>'x f ，则函数)(x f y =在区间[]b a ,上单调增加；若()0<'x f ，则函数)(x f y =在区间[]b a ,上单调减小．
确定函数单调区间的方法：（1）确定函数)(x f y =的定义域()b a ,；（2）求导数()x f '；
（3）令()0='x f ，求出区间()b a ,内的全部实根，并按照从小到大的顺序排列为：1c ，
2c ，……，n c ；
（4）确定区间()1,c a ，()21,c c ……()b c n ,内导数的符号；（5）在某区间内，若()0>'x f ，则函数()x f 在该区间内递增；若()0<'x f ，则函数()x f 在该区间内递减． １．看图说话
例１ 已知函数()y xf x '=的图象如图1所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =图象大致为（ ）．
解析：由图1知，当1x <-时， ()0<'x f x ，
∴()0f x '>，()f x 为增函数，表现在图象上是上升的．
当10x -<<时，()0xf x '>．
∴()0f x '<，()f x 为减函数，表现在图象上为下降的．
当01x <<时，()0xf x '<，∴ ()0f x '<， ()f x 为减函数，表现在图象上为下降的． 当1x >时，()0xf x '>，∴()0f x '>， ()f x 为增函数，表现在图象上为上升的．由
以上分析知，（C ）符合．
点评：函数的单调性和导函数之间的联系密切，实际上曲线y )(x f =的切线的斜率就是函数()x f 的导数，当切线的斜率为正，即()0>'x f 时，()x f 为增函数，同样当切线的斜率为负，即()0<'x f 时，()x f 为减函数，做此类题时需要对导数含义深刻理解．
2．求单调区间
例２ 设0>a ，求函数())ln(a x x x f +-=
，()+∞∈,0x 的单调区间． 解： ()a
x x x f +-='121
()0>x ，∴当0>a ，0>x 时， ()0>'x f ?0)42(22>+-+a x a x ，()0<'x f ?0)42(22<+-+a x a x ，
（1）当1>a 时，对任意0>x 都有()0>'x f ，此时()x f 在()+∞,0上单调递增．
（2）当1=a 时，对1≠x ，有()0>'x f ，此时()x f 在()1,0上单调递增，在()+∞,1内单调递增，又函数()x f 在1=x 处连续，因此，()x f 在()+∞,1内单调递增．
（3）当10<'x f ，得a a x ---<122或a a x -+->122，令()0<'x f 得<---a a 122a a x -+-<122．
因此，()x f 在)122,0(a a ---上单调递增，在),122((+∞-+-a a 上单调递增；()x f 在,122((a a ---)122a a -+-上单调递减．
点评：在利用求导的方法确定函数的单调区间时，首先要注意函数的定义域，当然本题已经告知了自变量的取值范围，然后再来求导判断符号．
３．判断单调性
例３ 证明函数()()224
-+=x x x f 在()4,2上是减函数．
证明：()()
328
1--='x x f ，当42<
-+=x x x f 在()4,2上是减函数．
点评：该题也可以用定义法证明函数的单调性，但是导数法要比定义法简单得多．
4、逆向问题
例４ 若函数()()112
13123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1内为减函数，在区间()+∞,6内为增函数，求实数a 的取值范围．
解：由()12-+-='a ax x x f 0=，得到1x =1，12-=a x ，而函数)(x f y =的定义域是 ()+∞∞-,，先求出函数的增减区间．
（1）当12x x <，即11<-a ，2 当∈x ()1,-∞-a 时，()()()[]011>---='a x x x f ； 当∈x ()1,1-a 时，()0<'x f ，当∈x ()+∞,1时，()0>'x f ． 故当2 （2）当11=-a ，即2=a 时，121==x x 把区间分为()1,∞-和()+∞,1。对这两个区间，均有()()012 >-='x x f ，即()x f 在()1,∞-和()+∞,1上均为增函数，显然与题意不符合． （3）当12x x >，即2>a 时，1x ，2x 把()+∞∞-,分为3个区间：()1,∞-，()1,1-a ， ()+∞-,1a ．当()1,∞-∈x 时，()0>'x f ；当∈x ()1,1-a 时，()0<'x f ；当∈x ()+∞-,1a 时，()0>'x f ． 故当2>a 时，()x f 的增区间是()1,∞-和()+∞-,1a ，()x f 的减区间是()1,1-a ，而由已知的()x f 的增区间是()+∞,6，减区间是()4,1，则()+∞,6?()+∞-,1a ，()4,1?()1,1-a ，即???≥--≥411 6a a ，解得75≤≤a ，又2>a ，则所求a 的取值范围[]7,5． 点评：该题知道了函数的单调区间，来求含有字母系数的取值范围，关键是理清函数的导数与函数单调性的关系． 新教材引入导数这一工具，使很多问题变得好懂易学，当然求导的方法也必须和以前学习的各种方法来紧密结合，才能真正体现数学解法的整体美． 用导数判断函数的单调性 2003年高考（新课程卷·理）第19题对函数的单调性进行了考察，题目如下： 【题目】设0>a ，求函数)ln()(a x x x f +-=)),0((+∞∈x 的单调区间。 解：a x x x f +- = '1 21)(（0>x ） 当0>a ，0>x 时， 0)(>'x f ?0)42(22>+-+a x a x ， 0)(<'x f ?0)42(22<+-+a x a x ， （i ）当1>a 时，对所有0>x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在),0(+∞单调递增； （ii ）当1=a 时，对1≠x ，恒有0)42(2 2 >+-+a x a x ，即0)(>'x f ，此时)(x f 在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递增， 又知函数)(x f 在1=x 处连续，因此)(x f 在),0(+∞单调递增； （iii ）当10<'x f ，即0)42(2 2>+-+a x a x ， 解得a a x ---<122或a a x -+->122，因此，函数)(x f 在)122,0(a a ---单调递增，在),122(+∞-+-a a 单调递增， 令0)(<'x f ，即0)42(2 2<+-+a x a x ， 解得a a x a a -+-<<---122122， 因此，函数)(x f 在)122,122(a a a a -+----上单调递减。 本题用传统作差比较法无法划分函数的单调区间，只有用导数才行，这是教材新增的内容。其理论依据如下（人教版试验本第三册P148）： 利用导数求函数的单调区间 一学习目标： 1结合实例，找出函数的单调性与导数的关系； 2会利用导数研究函数的单调性，会求简单函数的单调区间。 二重点、难点： 重点：求函数的单调区间. 难点：求含参数函数的单调区间。. 三教材分析 本节课主要对函数单调性求法的学习； 它是在学习导数的概念的基础上进行学习的，同时又为导数的应用学习奠定了基础，所以他在教材中起着承前启后的重要作用；（可以看看这一课题的前后章节来写） 它是历年高考的热点、难点问题 四教学方法 开放式探究法、启发式引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法 五教学过程 预习学案: 1.函数单调性的定义是什么？函数的单调区间怎样求？ 2.讨论以下问题 （1）求函数y=x的导数，判断其导数的符号； （2）求函数y=x2的导数，判断其导数的符号. 3.根据上述问题，思考导数的符号与函数的单调性之间的关系，并加以总结： 设函数y=f(x)在区间（a,b）内可导： 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是增函数； 如果在(a,b)内，______________,则f(x)在此区间是减函数. 4.根据上述总结，思考一下，函数在某个区间上是单调递增函数，是不是其导数就一定大于零呢？如果函数在某个区间上是单调递减函数，是不是其导数就一定小于零?能否举个例子说明一下？ 小测验： 1.当0>x 时，()x x x f 4+ =的单调减区间 2.函数53 123++-=x x y 的单调增区间为_______________,单调减区间为______________. 利用导数求函数的单调区间（讲授学案）——冯秀转 题型：求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间; (1)x x y 23+= (2)()221 ln x x x f -= 注意：求函数单调区间时必须先考虑函数的定义域. （小结）求函数单调区间的步骤： 练习：求()x e x x f 2=的单调区间。 用导数求函数的单调性 南江县第四中学 何其孝 指导老师：范永德 一、第一段：点明课题、展示目标、自主学习 1、展示学习目标 （1）理解)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性； （2）掌握用导数求函数的单调区间。 2、板书课题：用导数求函数的单调性 3、学生围绕学习目标看教材第89-93页，进行自主学习。（约10分钟） 二、第二段：合作探究、启发点拨 1、探究1：怎样从导数的几何意义，判断)0(0(x)f <>'时，f(x)在0x x =附近单调性？点拨：以直代曲 探究2：用导数求函数单调性的步骤 点拨：(1)求定义域 (2)求导函数(x)f ' (3)求)0(0(x)f <>'，判断函数的单调性 (4)写出f(x)的单调区间 2、应用举例 例 判断下列函数的单调性，写出f(x)区间 (1) )(0,x x,-sinx f(x)π∈= (2) 12432f(x)23+-+=x x x 解：f′(x)=6x2 + 6x -24 当f′(x)＞0，解得：2 1712171+->-- 利用导数研究函数的单调性 考点一 函数单调性的判断 知识点： 函数()f x 在某个区间(),a b 内的单调性与其导数的正负关系 （1）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递增； （2）若 ，则()f x 在(),a b 上单调递减； （3）若 ，则()f x 在(),a b 是常数函数. 1、求下列函数的单调区间. （1）()ln f x x e x =+ （2）2 1()ln 2 f x x x =- （3）()()3x f x x e =- （4）()2x f x e x =- （5）()3ln f x x x =+ （6）ln ()x f x x = （7）2()(0)1 ax f x a x =>+ （8）32333()x x x x f x e +--= 2、讨论下列函数的单调性. （1）()ln (1),f x x a x a R =+-∈ （2）3(),f x x ax b a R =--∈ （3）2 ()ln ,2 x f x a x a R =-∈ （4）32(),,f x x ax b a b R =++∈ （5）2()(22),0x f x e ax x a =-+> （6）2 1()2ln (2),2 f x x a x a x a R =-+-∈ （7）2()1ln ,0f x x a x a x =-+-> （8）221 ()(ln ),x f x a x x a R x -=-+∈ 3、已知函数32(),f x ax x a R =+∈在4 3 x =-处取得极值. （1）确定a 的值； （2）若()()x g x f x e =，讨论函数()g x 的单调性. 4、设2()(5)6ln ,f x a x x a R =-+∈，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与y 轴相交于点()0,6. （1）确定a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间. 5、（2016全国卷2节选）讨论2()2 x x f x e x -=+的单调性， 并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>. 6、(2016年全国卷1节选)已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-.讨论()f x 的单调性. 5、利用导数判断函数的单调性 一、选择题 1．函数y ＝x 3 的递减区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0) D ．不存在 2．函数f (x )＝x －e x 的单调增区间是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，＋∞ ) C ．(－∞，0) D ．(－∞，1) 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 4．三次函数y ＝f (x )＝ax 3 ＋x 在x ∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( ) A ．a >0 B ．a <0 C ．a <1 D ．a <13 5．若在区间(a ，b )内有f ′(x )＞0，且f (a ) ≥0，则在(a ，b )内有( ) A ．f (x )＞0 B ．f (x )＜0 C ．f (x )＝0 D ．不能确定 6．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ????－π，－π2和? ????0，π2 B.? ????－π2，0和? ????0，π2 C.? ????－π，－π2和? ????π2，π D.? ????－π2，0和? ?? ??π2，π 7．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的充要条件是( ) A ．b 2－4ac ≥0 B ．b 2－4ac ≤0 C ．b 2－3ac ≤0 D ．b 2－3ac ≥0 8．函数f (x )＝2x 2－ln2x 的单调递增区间是( ) A.? ????0，12 B.? ????0，24 C.? ????12，＋∞ D.? ????－12，0及? ????0，12 例1.已知函数3 21()3 f x x ax b = -+在2x =-处有极值. （1） 求函数()f x 的单调区间； （2） 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。 例2．已知函数232)1(31)(x k x x f +-= ，kx x g -=3 1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1）、求实数k 的取值范围； （2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 解：(1) 由3 21()3 f x x ax b = -+，得22'()32f x x ax a =-- 令222a '()320,=-,(0)3 f x x ax a x a a =--==>1得x 当(),'()x f x f x 变化时，的变化情况如下表： 由上述表格可知，3223 ()=()()()()11333327 f x f a a a -=-----+=+极大值 3333()()11f x f a a a a a ==--+=-极大值 (2)由（1）可知()(,)(,)3a f x a -∞-+∞在和上单调递增，在-a （,a ）3 上单调递减， 当3 3501,()=()10,()=f(a)=1-a 0327 a a f x f a f x <≤-= +>≥极大值极小值 a ()-y f x ∴=∞在（,+） 3 上最多只有一个实数根，且此零点仅在1a =时取得 又()y f x =在(,)3a -∞-上单调递增，且2 (1)(1)0f a a a a -=-=-≤ ()--y f x ∴=∞a 在（，）3 上最多有一个实数根 于是，当01a <≤时， 函数()y f x =有1个或2个零点，即函数()y f x =至多有两个实数根。 解：（1）由题意x k x x f )1()(2 +-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数， ∴0)1()(2 >+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立 即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k （2）设3 12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h 令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ， ① 当1=k 时，0)1()(2 ≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意 ② 当1 高二（下）数学理科学案9、10、11:1.3.1利用导数判断函数的单调性 【知识目标】 （一）求函数)(x f 单调区间的方法： 1.如果在),(b a 内，0)(/ >x f ，则)(x f 在此区间是增函数，),(b a 为)(x f 的单调增区间； 2.如果在),(b a 内，0)(/ 【典型例题】 例题1（1）确定函数422+-=x x y 的单调区间； （2）找出函数14)(23-+-=x x x x f 的单调区间； （3）求函数0(ln 1)(>=x x x x f 且1≠x ）的单调区间. 例题2求下列函数的单调区间 （1）x e x f x -=)(；（2）x e x x f ln 2)(2-=； （3）x e x x x f -++=)1()(2 例题3 （1）求方程0＝7＋6x －2x 23在区间(0,2)上的根的个数． （2）证明方程x －12 sinx ＝0有惟一解． 利用导数研究函数的单调性之二阶求导型 一、解答题（题型注释） 1．已知函数ax x xe x f x --=ln )(2． （1）当0=a 时，求函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）若0>?x ，不等式1)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围； （3）若0>?x ，不等式e x x e x e e x x f 1111 1)1(2+ -+≥-恒成立，求a 的取值范围． 1．（1） ln 22 e +； （2）2a ≤；（3）11(1)e e a e e ≤---． 【解析】 试题分析：（1）由0=a 时，得出x xe x f x ln )(2-=，则21 ()(21)x f x x e x '=+- ，再求导()f x ''，可得函数)(/ x f 在),0(+∞上是增函数，从而得到函数()f x 的单调性，即可求解函数)(x f 在]1,2 1[上的最小值； （2）由（1）知函数)(/ x f 在),0(+∞上是 增函数，且00>?x ，使得0()0f x '=，得01 )12(0 200 =-- +a x e x x ，即022000(2)1x ax x x e =+-，设022000()1ln 2x f x x x e =--，利用函数0()f x 的单调性， 即可求解求a 的取值范围；（3）根据题意，转化为1 1ln x e x e a x x x e +-≤--对任意0>x 成 立，令e x e e x x x x x g 11ln )(+---=，所以()g x '，可得出()g x 的单调性，求解出()g x 的最小值，即可a 的取值范围． 试题解析：（1）0=a 时，x xe x f x ln )(2-=，x e x x f x 1)12()(2/-+=∴， 01 )44()(22//>++=?x e x x f x ，所以函数)(/x f 在),0(+∞上是增函数， 精锐教育学科教师辅导讲义 讲义编号____________________ 学员编号： 年 级： 课时数及课时进度：3（3/60） 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 学科组长/带头人签名及日期 课 题 利用导数学求函数单调区间、极值和最值 授课时间： 备课时间： 教学目标 1、能熟练运用导数求函数单调区间、判定函数单调性； 2、能用导数求函数的极值和最值。 重点、难点 考点及考试要求 教学内容 一、利用导数判定函数的单调性并求函数的单调区间 1.定义：一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0)(' >x f ，那么函数)(x f y = 在 为这个区间内的增函数；如果在这个区间内 0)(' 二、利用导数求函数的极值 1、极大值 一般地，设函数)(x f 在点x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f <，就说)(0 x f 是函数的一 个极大值，记作()x y f 0=极大值 ，x 0是极大值点 2、极小值 一般地，设函数)(x f 在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有)( )(0 x f x f >就说)(0 x f 是函数) (x f 的一个极小值，记作 ()x y f 0=极小值 ，x 0是极小值点 3、极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个. （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示， x 1 是极大值点， x 4 是极小值点，而)()( 1 4 x x f f >. （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 f(x 2)f(x 4) f(x 5) f(x 3) f(x 1) f(b) f(a) x 5 x 4x 3x 2 x 1b a x O y 4、判别()x f 0 是极大、极小值的方法: 若 x 满足 0)(0' =x f ，且在x 0的两侧)(x f 的导数异号，则x 0是)(x f 的极值点，()x f 0是极值，并且如果 )(' x f 在 x 两侧满足“左正右负”，则x 是)(x f 的极大值点，()x f 0 是极大值；如果)(' x f 在x 0两侧满足“左负右正” ，则x 0是)(x f 的极小值点，()x f 是极小值 5、求可导函数)(x f 的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数 )(' x f 利用导数判断函数的单调性 【学习目标】会利用导数研究函数的单调性,掌握分类讨论思想的应用. 【重点、难点】利用导数研究函数的单调性. 【自主学习】 1、设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导.(1)如果在(,)a b 内, ()0f x '> ,则()f x 在此区间是增函数;(2)如果在(,)a b 内, ()0f x '< ,则()f x 在此区间是减函数. 2、()/0f x <是()f x 为减函数的（ A ） A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【自测】 求下列函数的单调区间: (1)3241y x x x =-+- (2)2()f x x x =+ 解：（1）函数的单调递增区间为：413413(,),(,)33 -+-∞+∞ 函数的单调递减区间为：413413(,)33 -+ （2）函数的单调递增区间为：(,2),(2,)-∞-+∞ 函数的单调递减区间为：(2,2)- 课内探究案 【精讲点拨】 例1、 求下列函数的单调区间: （1）()1x f x e x =-- （2）()ln f x x x =- 解：（1）函数的单调递增区间为：(0,)+∞ 函数的单调递减区间为：(,0)-∞ （2）函数的单调递增区间为：(1,)+∞ 函数的单调递减区间为：(0,1) 例2、 证明：函数16()f x x x =+ 在()0,4上是减函数 证明：222 221616()1(0,4)16 160 0,4.x f x x x x x x -'=-=∈∴<∴-<∴ 函数在（）上是减函数 例3、 若函数321y x x mx =+++在(),-∞+∞上是增函数,求实数m 的取值范围。 解：232y x x m '=++ 4120 1 3 R R m m '∴≥∴?=-≤∴≥ 2函数在上是增函数 y =3x +2x+m 0在上恒成立 【当堂检测】 函数11 y x =+的减区间是 (,1),(1,)-∞--∞ 利用导数判断函数的单调性教学案 课后拓展案 A 组 1、求函数32()15336f x x x x =--+的增区间。 解：函数的递增区间： ∞∞（-,-1),(11,+) 2、求函数2()2ln f x x x =-的减区间。 解：函数的定义域(0,)+∞ 函数单调性判断方法（五）-导数法 函数在区间上连续，在内可导，且在内 ① 如果 ，那么函数在区间上单调增加 ② 如果 ，那么函数 在区间 上单调减少 由此得到确定单调区间的方法 ① 确定函数的定义域 ② 求导数 ③ 令 解此方程，求出在区间内的全部实根，并按从小到大的顺序排列为 ④ 确定区间 内导数符号 ⑤ 在某区间内，若，那么函数在这个区间内递增，若那么函数在这 区间内递减。 例1：（2011安徽）设()1x e f x ax =+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 4 3 = 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。 解析：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力. 解：对)(x f 求导得.) 1(1)(2 22ax ax ax e x f x +-+=' ① （I ）当34= a ，若.21,23,0384,0)(212 ===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知 所以,231= x 是极小值点,2 1 2=x 是极大值点. x )2 1,(-∞ 2 1 )2 3,21( 2 3 ),2 3 (∞ )(x f ' + 0 － 0 + )(x f ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ （II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知 0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=?a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤时，()f x 在(,)k -∞-和(,)k +∞上递增，在(,)k k -上递减； 当0k <时，()f x 在(,)k -∞和(,)k -+∞上递减，在(,)k k -上递增 例3：（2011广东） 设0>a ,讨论函数 x a x a a x x f )1(2)1(ln )(2---+=的单调性． 解：函数f(x)的定义域为（0，+∞） 221212122(1)2(1)1'(), 1 12(1)2(1)1012(1)() 3 1 0,'()23 (1)(31)(1)(31)11 0,, 22(1)22(1)0'()0,()(0,)(,)a a x a x f x x a a a x a x a a a f x a a a a x x a a a a a a x x x x f x f x x x ---+=≠---+=?=------=->=+--<<>>+∞当时，方程的判别式①当0<时，有个零点 且当或时，在与内为增函数121212'()0,(),)1 10,'()0,()(0,)3 1 1'()0(0),()(0,)(1)(31)(1)(31)11 10,0,0,'()22(1)22(1)x x x f x f x x x a f x f x a f x x f x x a a a a a x x f x a a a a a a <<<≤>+∞---->?>=->=+<--；当时，在(内为减函数 当时，在内为增函数； 当时，在内为增函数； 当时，所以在定义域内有唯一零点 ②③④11110'()0,()(0,)'()0,()(,)x x f x f x x x x f x f x x <<>><+∞且当时，在内为增函数；当时，在内为减函数； 综上所述，f(x)的单调区间如下表： 103a << 1 13 a ≤≤ 1a > 单调区间讨论 例1：求下列函数的单调区间 (1) ()sin f x x = (2) 32()25f x x x x =+- (3) 2()x f x x e =g 例2:设0>a ，求函数),0()(ln()(+∞∈+-= x a x x x f 的单调区间. 练习： 已知函数2()(2ln ),(0)f x x a x a x =- +->，讨论()f x 的单调性. 例3.设函数2()(0)f x ax bx k k =++>在0x =处取得极值，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线210x y ++=．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若函数()() x e g x f x =，讨论() g x 的单调性． 练习：已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ． （I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．． ，求a 的取值范围． 1、（北京理）设函数()(0)kx f x xe k =≠ （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数()f x 在区间(1,1)-内单调递增，求k 的取值范围. 2、已知函数321()3 f x x ax b =-+在2x =-处有极值. （1） 求函数()f x 的单调区间； （2） 求函数()f x 在[]3,3-上有且仅有一个零点，求b 的取值范围。 3、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=3 1)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1）、求实数k 的取值范围； （2）、若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围． 4、已知函数1()ln 1a f x x ax x -=-+ -()a R ∈.(Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围. 第十三讲 利用导数求函数的单调性、极值 、最值 【套路秘籍】 一．函数的单调性 在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 二．函数的极值 (1)一般地，求函数y ＝f (x )的极值的方法 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时： ①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )； ②求方程f ′(x )＝0的根； ③考查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 三．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 【套路修炼】 考向一 单调区间 【例1】求下列函数的单调区间： （1）3 ()23f x x x =-； （2）2 ()ln f x x x =-. （3）)f (x )＝2x －x 2. 【答案】见解析 【解析】（1）由题意得2 ()63f x x '=-. 令2 ()630f x x '=->，解得2x <- 或2 x >. 当(,2x ∈-∞- 时，函数为增函数；当)2 x ∈+∞时，函数也为增函数. 令2 ()630f x x '=-<，解得22x - <<.当(22 x ∈-时，函数为减函数. 利用导数求函数单调性题型全归纳 一.求单调区间 二.函数单调性的判定与逆用 三.利用单调性求字母取值范围 四.比较大小 五.证明不等式 六.求极值 七.求最值 八.解不等式 九.函数零点个数（方程根的个数） 十.探究函数图像 一.求单调区间 例1. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠，求函数)(x f 的单调区间 解： ()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++. 则令()()g x f x '=，因为当0,1a a >≠，所以2 ()2ln 0x g x a a '=+> 所以()f x '在R 上是增函数,又(0)0f '=,所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+, 故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+ 减区间为：(0)-∞， 变式：已知()x f x e ax =-，求()f x 的单调区间 解：' ()x f x e a =-，当0a ≤时，' ()0f x >，()f x 单调递增 当0a >时，由' ()0x f x e a =->得：ln x a >，()f x 在(ln ,)a +∞单调递增 由' ()0x f x e a =-<得：ln x a <，()f x 在(ln )a -∞，单调递增 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为：-∞+∞（，），无单调递减区间 当0a >时，()f x 的单调递增区间为：(ln ,)a +∞，递减区间为：(ln )a -∞， 二.函数单调性的判定与逆用 例2.已知函数32 ()25f x x ax x =+-+在1132 （，）上既不是单调递增函数，也不是单调递减 函数，求正整数a 的取值集合 解：2 ()322f x x ax '=+- 用导数求函数的单调区间——含参问题 一、问题的提出 应用导数研究函数的性质：单调性、极值、最值等，最关键的是求函数的单调区间，这是每年高考的重点，这也是学生学习和复习的一个难点。其中，学生用导数求单调区间最困难的是对参数分类讨论。尽管学生有分类讨论的意识，但是找不到分类讨论的标准，不能全面、准确分类 二、课堂简介 请学生求解一下问题，写出每一题求单调区间的分类讨论的特点。 例1、 求函数R a a x x x f ∈-= ),()(的单调区间。 解：定义域为),0[+∞ ,23)('x a x x f -=令,0)('=x f 得,3 a x = (1) 0≤a ,0)('≥x f 恒成立，)(x f 在),0[+∞上单调递增； (2) 0>a ,令0)('>x f 得∴> 3a x )(x f 在)3,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 所以，当0≤a 时，)(x f 在),0[+∞上单调递增；当0>a 时，)(x f 在)3 ,0[a 上单调递减，在),3 [+∞a 上单调递增。 分类讨论特点：一次型，根3 a 和区间端点0比较 例2、 求函数R a x a ax x x f ∈+-+-=,1)1(2131)(23的单调区间。 解：定义域R ),1)](1([1)('2---=-+-=x a x a ax x x f 令,0)('=x f 得1,121=-=x a x (1) 211>>-a a 即，令0)('>x f 得∴<->11x a x 或)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调递增。 (2) 21 1==-a a 即，0)('≥x f 恒成立，所以)(x f 在R 上单调递增。 (3) 211<<-a a 即，令0)('>x f 得∴>-<11x a x 或)(x f 在)1,(--∞a 上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞上单调递增。 所以，当2>a 时，)(x f 在)1,(-∞上单调递增，)1,1(-a 上单调递减，),1(+∞-a 上单调 3.3.1利用导数判断函数的单调性 一、学习目标：学会利用导数判断函数的单调性. 二、复习巩固： 1.函数的平均变化率如何求？ 2.导数与平均变化率的关系是怎样的？ 3.如何用定义证明函数单调性？ 三、自主学习：自学课本，思考下面问题： 1. 设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导，那么在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x) 为这个区间内的增函数；在这个区间内f (x)'满足什么条件时，函数y=f(x) 为这个区间 内的减函数 ？ 2. 求函数单调区间可以分几步完成？ 注：（1）若函数在区间的端点有意义，写区间时往往把端点写进去。 （2）若有多个单调区间，不可以用“∪”并起来！但可以用“和”“及”连起来 3. （重要结论）设函数y=f(x) 在区间（a,b ）内可导， 若函数y=f(x) 为这个区间内的增函数，则在这个区间内f (x)0'≥恒成立； 若函数y=f(x) 为这个区间内的减函数，则在这个区间内f (x)0'≤恒成立。 四、尝试练习： 1.（A ）y=2x-x 2的单调增区间为 ( ) A ．（0，2） B ．（-∞，1） C ．（-1，1） D ．（1，+∞） 2.（A ） 函数1 y x x =- 的单调区间为（ ） A. ),0()0,(+∞-∞ B. (,0)(0,)-∞+∞和 C. (,1),-∞ D. (1,)+∞ 3.（B ）函数x e f(x)=x 的单调增区间是（ ） A. (,0)-∞ B. (,1)-∞ C. (1,1),- D. (1,)+∞ 4.（A ）函数y=x x ln 21 -的单调减区间为 . 5.（A ）函数f (x )=1 3 x 3－x 2-3x+1的单调增区间为 减区间为 . 6.（B ）求证：当x<2时32 x 6x 12x 17-+-<. 7.（C ）确定函数f (x )=a x (a 0)x + >在(0，+∞)上的单调区间. 五、小结： 六、：巩固提升： 1.（A ）关于函数762)(2 3+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A.在区间)0,(-∞内，f(x)为增函数 B.在区间（0，2）内，f(x)为减函数 C.在区间),2(+∞内，f(x)为增函数 D.在区间),2()0,(∞+-∞ 内，f(x)为增函数 2.（A ）函数y=xlnx 的单调减区间是（ ） A.?? ? ??∞+,1e B.?? ? ??∞-e 1, C.?? ? ? ?e 1, D.()∞+,e 3.（B ）设)('x f 是函数f(x)的导数，y f '(x)=的图象 如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能是（ ） 4．（B ）函数f(x)的导函数)('x f y =的图象如下图， 则函数f(x)的单调递增区间为 5.（B ）函数f (x )=4 x x + 的增区间为 ； 减区间为 . 6.（C ）证明不等式：x e x 1≥+ 1.3.1利用导数判断函数的单调性 -----主备人：韩甜甜 【课前预习案】 阅读教材24--25页，填写知识点. 1.知识回顾：怎样判断函数的单调性？ ⑴、__________ ⑵、___________ 思考：判断函数2x y =的单调性，画出图象，思考其导数和单调性的关系. 2. 设函数)(x f y =在区间),(b a 内可导，（1）如果_________,则)(x f 为增函数；如果_________,则)(x f 为_________.（2）如果)(x f 在),(b a 上单调递增，则_________；)(x f 单调递减，则_________。 【课内探究案】 【教学目标】1、解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系； 2、会利用导数求函数的单调区间，利用导数画出函数的大致图像。 【教学重点】 利用导数求单调区间 【教学难点】导数与单调性的关系，含参数问题和证明。 探究一 应用导数求已知函数的单调区间： 例1、求下列函数的单调区间： （1）x x x f 3)(3-= ；（2）3)(x x f = ； （3）x x x f 1)(- = ；（4）x y e x =- 跟踪练习： 1．函数x x y 1+=的单调递减区间为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-∞-，()+∞,1 C ．()()1,00,1 - D ．()()1,0,0,1- 2.求函数ln y x x =的单调区间. 探究二 利用导数求参数范围： 例2.已知函数332y x mx x =-++在R 上单调递增，求实数m 的取值范围. 跟踪练习： 1. 已知函数),0()(2R a x x a x x f ∈≠+ =，若函数)(x f 在),2[+∞∈x 上是单调递增的，求a 的取值范围. 归纳总结. 1．导数法判定单调性的步骤： （1）求定义域；（2）求导数；（3）()()00'<>x f ，则()x f 为增（减）函数； 2．已知函数单调区间求参数范围； 3．注意：()0'>x f 则()x f 为增函数的充分不必要条件； 利用导数求单调性与已知单调性求参数范围，天差地别，你了解了吗？ 前面小数老师已经讲过两道了，分别是“通过分类讨论求函数的单调区间”与“不等式恒成立问题”，大家还记得吗？今天又是一道导数题，小数老师带大家来看第三种常考的类型，“已知函数的单调性，求参数的取值范围”，大家往下看吧！还是建议同学自己先试着做一下！ 这道导数题，函数解析式看着不是很复杂，第（1）问求函数的单调区间与最值，也不需要讨论，因为参数k的值已知，按照我们以前说的方法求解即可；第（2）问已知函数的单调性，求参数取值范围，是一个容易出错的点，下面小数老师重点与大家一起分析下！ 回顾1、对于函数y=f(x)， 若导数f’(x)在区间M上大于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递增； 若导数f’(x)在区间M上小于0，则函数y=f(x)在区间M上单调递减。 2、对于函数y=f(x)， 若函数y=f(x)在区间M上单调递增，则导函数f’(x)在区间M上大于等于0； 若函数y=f(x)在区间M上单调递减，则导函数f’(x)在区间M上小于等于0； 3、关于含参不等式的恒成立问题，你还记得怎么做吗？ 小数老师再提醒下：首先先看能否参变量分离，如果能分离是最好的，如果不能分离，就按照之前说的规律寻找最值即可。有疑问的同学可以翻一下历史消息哈！ 4、关于函数单调性的说法，并不仅仅是像题目中直接告诉你哦，你看到的也有可能是这样的，还有可能是这样的： 这两种情况，都是告诉你函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增哦。好了，接下来跟小数老师一起来解题吧！ 解析 （1）当k=0时，所以 x (0,1) 1 (1,+ ∞) f’(x)+ 0 - f(x) 递增极大值递减 所以y=f(x)的最大值是f(1)=2. 注意：求函数的单调区间之前，千万别忘了函数的定义域哈！ （2）函数y=f(x)在区间[1,2]上单调，（未说明单调增还是单调减，所以此处应该有分类讨论） ①若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递增，根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≥0，x∈[1,2], ②若函数y=f(x)在区间[1,2]上单调递减， 根据回顾中的，我们可以知道导数f’(x) ≤0，x∈[1,2], 利用导数判断函数的单调性的方法 利用导数判断函数的单调性，其理论依据如下： 设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则 )(x f 为减函数。如果0)(='x f ，则)(x f 为常数。 要用导数判断好函数的单调性除掌握以上依据外还须把握好以下两点： 一． 导数与函数的单调性的三个关系 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析，前提条件都是函数)(x f y =在某个区间内可导。 1．0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。 由前知，0)(>'x f 能推出)(x f 为增函数，但反之不一定。如函数3)(x x f =在),(+∞-∞上单调递增，但0)(≥'x f ，∴0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分不必要条件。 2．0)(≠'x f 时，0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。 若将0)(='x f 的根作为分界点，因为规定0)(≠'x f ，即抠去了分界点，此时)(x f 为增函数，就一定有0)(>'x f 。∴当0)(≠'x f 时，0)(>'x f 是)(x f 为增函数的充分必要条件。 3．0)(≥'x f 与)(x f 为增函数的关系。 由前分析，)(x f 为增函数，一定可以推出0)(≥'x f ，但反之不一定，因为0)(≥'x f ，即为0)(>'x f 或0)(='x f 。当函数在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数，函数不具有单调性。∴0)(≥'x f 是)(x f 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，特别是研究以下问题时。 二．函数单调区间的合并 函数单调区间的合并主要依据是函数)(x f 在),(b a 单调递增，在),(c b 单调递增，又知函数在 b x f =)(处连续，因此)(x f 在),( c a 单调递增。同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性 相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间。 【例】用导数求函数3 )(x x f =（R x ∈）的单调区间。 解：（用第一种关系及单调区间的合并）2 3)(x x f ='，当032>x ，即0用导数判断函数的单调性
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