1.4 全称量词与存在量词(1)
第1课时：全称量词与存在量词 情景设计: 已知2
():20p x x x +-=，():sin cos q x x x >， （1）语句()p x ，()q x 是命题吗？为什么？
（2）如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”，它们是命
题吗？为什么？ 点拔提示：（1）在x 未赋值之前，语句()p x ，()q x 不能判断其真假，所以它们不是命题；
（2）在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后，()p x ，()q x 的真假就能确定，所以它们是命题.
阅读与积累:
1．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词，并用符号“_____” 表示。
对所有的 对任意一个 ? 2．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词，并用符号“_____” 表示。
存在一个 至少有一个 ?
3．含有全称量词的命题称为____________；含有存在量词的命题称为___________.
全称命题 特称命题
4．全称命题形式：_____________；特称命题形式：____________ 。 其中M 为给定的集合，
p (x )是一个关于x 的命题。 ,()x M p x ?∈ ,()x M p x ?∈
问题与思考:
题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.
（1）对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数 （2）所有的正方形都是矩形 （3）有的平行四边形是菱形 （4）有一个素数不是奇数
答案：（1）（2）都是全称命题 ；（3）（4）都是特称命题
题2： 判断下列命题的真假吗？
（1）4
,1x N x ?∈≥有 （2）2
,10x R x x ?∈-+>有
（3）1,2=+∈?x x R x 使 （4）5,2
=∈?x Z x 使 答案：(1) 假命题 （2）真命题 (3) 真命题 (4) 假命题
[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]
问题1: 你能用符号“?”与“?”表达下列命题吗？
①自然数的平方大于或等于零_______________________________________
②圆2
2
1x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式：________________________________________________
④对于数列1n n ??
?
?+??
，总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01：
解： ①2
,0x N x ?∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ?∈+==
③,,2
a b a b R ++?∈≥; ④,10.01n n N a +?∈-<
名师讲析: 一般地，全称命题写成“,()x M p x ?∈”，特称命题写成“,()x M p x ?∈”， 其
中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。
问题2：你能判定下列全称命题的真假吗？ （1）:p 所有的自然数是正整数 （2）:q ?x R ∈, 2
210x x -+-≤
（3）:r 对每个有理数x 解：（1） 0是自然数，但不是正整数 , ∴命题p 为假命题 （2） 因为2
2
21(1)0x x x -+-=--≤, ∴命题q 为真命题
（3） 42= 是有理数 , ∴命题q 为假命题
名师讲析: 要判定全称命题“,()x M p x ?∈ ”是真命题，需要对集合M 中每个元素x , 证明()p x 成立；如果在集合M 中找到一个元素0x ,使得0()p x 不成立，那么这个全称命题就是假命题
问题3：你能判定下列特称命题的真假吗？ （1）:p x R ?∈，使2
210x x -+=
（2）:q 存在两条直线既不平行也不相交
（3）:r 有一个向量a ，a
的方向不能确定；
解： (1) 2(1)42170?=--??=-< , ∴2
210x x -+=无解 ∴命题p 为假命题
（2） 在空间中,两条直线为异面直线时,它们就既不平行也不相交,
∴命题q 为真命题
（3） 0
的方向不能确定, ∴命题r 为真命题
名师讲析: 要判定特称命题 “,()x M p x ?∈”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素
0x ,使0()p x 成立即可，如果在集合M 中，使()p x 成立的元素x 不存在，则特称命题是假命题
[新理念典题探究]
题型一: 判断下列命题是全称命题还是特称命题。 例1: 判断下列语句是不是命题，如果k ，，，是，说明是全称命题还是特称命题.
(1) 中国的所有江河都流入太平洋； (2) 0不能作除数；
(3) 有一个实数a ，a 不能取对数；
(4) 每一个向量都有方向吗？
审题指导: 含有全称量词的命题称为全称命题；含有存在量词的命题称为特称命题.但要注
意有些命题可能省略了量词.
解析：（1）（2）（3）是命题，（4）不是命题，其中（1）全称命题；（2）既不是全称命题也
不是特称命题；（3）特称命题；
变式备选2：判断下列语句是不是命题，如果k ，，，是，说明是全称命题还是特称命题. (1) 任何一个实数除以1，仍等于这个数； (2) 三角函数都是周期函数吗？ (3) 有一个实数x ，x 不能取倒数；
(4) 有的三角形内角和不等于180?
解: （1）全称命题；（2）不是命题；（3）特称命题；（4）特称命题；
题型二: 判断全称命题或特称命题的真假 例2：（2004年湖北，15）设A 、B 为两个集合.下列四个命题：
① A B ?对任意x ∈A ，有x ?B ； ②A B ?A ∩B =?； ③A B ?A B ； ④ A B ?存在x ∈A ，使得x ?B .
其中真命题的序号是______________.（把符合要求的命题序号都填上）
审题指导: ①要判定一个特称性命题为真，只要在给定的集合中，找到一个元素x ，使命题p (x )为真；否则命题为假。
②要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合的每一个元素x ，p (x )都为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合内找出一个x 0，p (x 0)为假。
解析：A B ?存在x ∈A ，有x ?B ，故①错误；②错误；④正确. 亦或如下图所示.
③A B ?A B 不成立的反例如下图所示. 反之，同理.
∴ 真命题的序号是④
变式备选2：（2005年春季上海，15）设函数f （x ）的定义域为R ，有下列三个命题：
①若存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有f （x ）≤M ，则M 是函数f （x ）的最大值； ② 若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，且x ≠x 0，有f （x ）＜f （x 0），则f （x 0）是函数 f （x ）的最大值；
③若存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，有f （x ）≤f （x 0），则f （x 0）是函数f （x ）的最
大值.
这些命题中，真命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解：①错, 原因：可能“=”不能取到. ②③都正确，选C.
[思维创新]
探究课题：设语句():11q x x x -=-
(1) 写出(1),(2),q q 并判断它是不是真命题. (2) 写出“,()a R q a ?∈”，并判断它是不是真命题. (3) 写出“,()a R q a ?∈”，并判断它是不是真命题.
分析：语句()q x 不是命题，给x 赋值1，2，则成为命题(1),(2),q q 判断其真假，即看1,2x =时，等式11x x -=-是否成立；要判断一个全称命题为假命题，只要举出一个反例即可； 要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个例子即可.
答案：(1) (1):1111q -=-, 真命题； (2):2112q -≠-, 假命题
（2）,11a R a a ?∈-=-
由（1）知(2)q 为假命题，所以“,11a R a a ?∈-=-”为假命题 （3）,11a R a a ?∈-=-
由（1）知(1)q 为真命题，所以“,11a R a a ?∈-=-”为真命题
[思维误区警示]
例题：考察以下推导：设a b =，则有2
a a
b = 2
2
2
a b a b b ?-=-
()()()a b a b b a b ?+-=-
a b b ?+= 2b b ?= 21?=
以上推导错在哪里？请你从逻辑角度去找出问题并分析原因.
走出误区: 由a b =命题真，可以导出以下三个命题真：2a ab =，222
a b ab b -=-
()()()a b a b b a b +-=-. 但下一步导出a b b +=是错误的,由于它引用了一个不真的全称 命题，“d R ?∈，等式两边可以除以d ”（因为0d =时它是假命题）. 同样的错误是由2b b =导出2=1
评注: 全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某性质，使所给语句真. 因此，当给出限定集合中的任一个特殊元素时，自然应导“这个特殊元素具有这一性质”（类似于“代入”思想）；例如，由于“2233
,,()()a b R a b a ab b a b ?∈+-+=+”真，因此，当2,3a b ==时，33
(23)(469)23+-+=+自然是正确的，以上思想要注意准确理解并运用.
[课时标准测控] 时量30分钟,满分30分 1.下列全称命题中真命题为( )
A. 一次函数都是单调函数
B. {}2
/3x x x x ?∈-是无理数，是有理数
C. 任何一条直线都有斜率
D. ,//,//a b a b αα?∈都有 答案: A
2.下列特称命题中假命题为( )
A. 空间中过直线外一点有且仅有一条直线与该直线垂直
B. 仅存在一个实数2b ,使得1239,,,,1b b b --成等比数列
C. 存在实数,a b 满足2a b +=,使得33a b
+的最小值是6 D. 2
(4,0],10a ax ax ?∈-+-<恒成立 答案: A
3．判断下列语句是不是命题，如果k ，，，是，说明是全称命题还是特称命题.
(1) 有一个实数a ，a 不能取对数；
(2) 存在一个函数()f x ，使()f x 既是奇函数又是偶函数； (3) 对任何实数,,a b c ，方程20ax bx c ++=都有解；
(4) 平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？ 答案：（1）（2）（3）是命题，其中（1）（2）是特称命题，（3）是全称命题，（4）为疑问句，
不是命题.
4．用量词符号“,??”表示下列命题： （1）有的实数不能写成小数形式； （2）凸n 边形的外角和等于2π；
（3）任一个实数乘以1-都等于它的相反数； （4）对任意实数α，都有2
2
sin cos 1αα+= 解：（1）,x R ?∈x 不能写成小数形式； （2）x ?∈{凸n 边形}，x 的外角和等于2π； （3）,x R ?∈(1)x x ?-=-； （4）,R α?∈，2
2sin cos 1αα+= 5．判断下列命题的真假： （1）,x R ?∈2
10x x ++>；
（2）,
x Q ?∈211
132
x x ++是有理数； （3）,R αβ?∈，使sin()sin sin αβαβ+=+； （4）,,x y Z ?∈使方程3210x y -=；
（5）,,a b R ?∈，方程0ax b +=恰有一个解
解：（1）2
2131()024
x x x ++=++> ∴命题为真命题
（2）命题为真命题
（3）0αβ== 时，sin()0,sin sin 0αβαβ+=+=； ∴ sin()sin sin αβαβ+=+， ∴命题为真命题 （4） 10x y ==时，3210x y -=，∴命题为真命题
（5）0,1a b == 时，10ax b +=≠，0,1a b ∴==时，0ax b +=无解 ∴ 命题为假命题 6．设语句():sin()cos .2
q x x x π
-
=
（1）写出()2
q π
，并判断它是否为真命题？
（2）写出“,()R q αα?∈”，并判定它是否为真命题？ （3）写出“,()R q αα?∈”，并判定它是否为真命题？ 解：（1）()2
q π：sin(
)cos 222π
ππ-=，即sin 0cos 2
π
=为真命题
（2）,R α?∈sin()cos .2x x π
-= 由（1）知，它为真命题
（3）,
R α?∈sin()cos .2
x x π
-=
0)1,cos 02
ππ
α==-= 当时,sin(0-而2，∴它为假命题.
第2课时：含一个量词的命题的否定
课时栏目:
[自主学习与问题发现]
情景设计: 对于下列命题：(1)所有的人都喝水；(2)a R ?∈，||0a ≥；（3）某些平行四边形是矩形；(4) x Q ?∈，使2
30x -=；
上述命题属什么命题？试对上述命题进行否定、你发现有何规律？
点拔提示：命题（1）的否定为：并非所有的人都喝水，或：至少存在一个人不喝水;
命题（2）的否定为：“a R ?∈，都有||0a <”
命题（3）的否定为：每一个平行四边形都不是矩形；
命题（4）的否定为“x ?，230x -≠”；
注意命题被否定后，原来的全称量词要变为存在量词，而原来的存在量词要变为全称量词
阅读与积累:
1． 全称命题p ：,()x M p x ?∈的否定?p ：____________；全称命题的否定____________
,()x M p x ?∈? 特称命题
2． 特称命题p ：,()x M p x ?∈的否定?p ：____________；特称命题的否定____________
,()x M p x ?∈? 全称命题
问题与思考:
题1： 设集合{}1,2,3,4,5,6,7M =, 试写出下列命题的非(否定)： （1）,1n M n ?∈>； （2）n ?是质数，使n M ∈ 答案： （1）,n M ?∈使1n ≤. (2) n ?∈{质数}，n M ?
题2：写出下列命题的非，并判断它们的真假：
(1) 任意实数x ，都是方程350x -=的根； (2 ) 2
,0x R x ?∈> (3 ) 2,20x R x ?∈-=
(4 ) ,x R x ?∈是方程2
320x x -+=的根
答案：(1) 命题的非：,350x R x ?∈+≠使. 3x = 时, 3350?-≠, ∴命题的非为真. (2) 命题的非：2,0x R x ?∈≤使. 0x = 时, 2
00=, ∴命题的非为真. (3) 命题的非：2
,20x R x ?∈-≠使. 1x = 时, 2
1x ≠, ∴命题的非为假.
(4) 命题的非：,x R x ?∈不是方程2
320x x -+=的根. 1x = 时, 2
13120-?+=, ∴ 命题的非为假.
[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]
问题1：你能写出下列命题的非?
(1) p ：矩形有一个外接圆.
(2) q 是有理数, 则4>3.
(3) r ：存在角α，使tan cot 1αα?=.
解： (1)
?p ：存在矩形没有外接圆.
(2) ?q 不是有理数, 则4≤3. (3) ?r ：R α?∈，tan cot 1αα?≠
名师讲析: 求命题的非的时候，要注意原命题中是否有省略的量词，要理解原命题的本质
含义.
问题2：你能写出下列命题的非，并判断它们的真假吗?
(1) p ：对所有的正实数p p <.
(2) q ：存在实数x ，使得11x +≤或2
4x >
(3) r ：211
,13x Q x x ?∈++是有理数
解： (1) ?p ：p R +?∈0≤p ≥. ?p 为真命题.
(2)
?q ：x R ?∈，都有11x +>且24x ≤. ?q 为假命题.
(3) ?r ：211
,
132
x Q x x ?∈++不是有理数. ?r 为假命题.
名师讲析: 当命题的非的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假，当原命题为真
时，命题的非为假，当原命题为假时，命题的非为真.
问题3：你能举反例说明下列命题是假命题吗? (1 ) ,,a b R ?∈方程ax b =都有唯一解； (2 ) ,x R ?∈都有11x x +=+
(3 ) x R x ?∈>
解: （1）如0,1a b ==等；（2）如2x =-等；（3）如1x =-等
名师讲析: 要判定全称命题“,()x M p x ?∈ ”是假命题，只需在集合M 中找到一个元素
0x ,使得0()p x 不成立.
[新理念典题探究]
题型一: 写出全称命题的非, 并判断其真假 例1：写出下列全称命题的非, 并判断其真假
(1) p ：,210x R x ?∈+≥
(2) q ：2
1,04
x R x x ?∈-+
≥ (3) r ：所有的正方形都是矩形 (4) s ：一切分数都是有理数
审题指导: 注意命题被否定后，原来的全称命题要变为特称命题，在判定全称命题“,()x M p x ?∈ ”是真命题，需要对集合M 中每个元素x , 证明()p x 成立；如果在
集合M 中找到一个元素0x ,使得0()p x 不成立，那么这个全称命题就是假命题
解: (1) ?p ：,210x R x ?∈+<使. ?p 为真命题
(2)
?q ：21,04
x R x x ?∈-+<使 . ?q 为假命题
这是由于2211
,()042
x R x x x ?∈-+
=-≥恒成立 (3) ?r ：至少存在一个正方形不是矩形. ?r 为假命题.
(4) ?s ：有些分数不是有理数；或：x ?∈{分数}，使x Q ?. ?s 为假命题.
变式备选1：判断下列全称命题的真假， 并写出其否定：
(1) p x < (2) q ：2
,2317x R x x ?∈+≥
解: （1）假命题，如1
100
x =
等. 其否定为：,x R x ?∈≥ （2）假命题，如1x =等. 其否定为：2
,2317x R x x ?∈+≠
题型二: 写出特称命题的非, 并判断其真假
例2：写出下列特称命题的非, 并判断其真假 (1) p ：2
,220x R x x ?∈++≤ (2) q ：至少有一个实数x ，使3
10x += (3) r ：有些三角形是锐角三角形
(4) s ：2,2x R x x x ?∈+=+
审题指导: 注意命题被否定后，原来的特称特称命题要变为全称命题，要判定特称命题
“,()x M p x ?∈”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素0x ,使0()p x 成立即可，如果在集合M 中，使()p x 成立的元素x 不存在，则特称命题是假命题
解: (1) ?p ：2
,220x R x x ?∈++>. ?p 为真命题
(2) ?q ：x R ?∈，310x +≠. ?q 为假命题. 这里由于1x =-时, 310x +=. (3) ?r ：所有三角形不是锐角三角形；或?r ：x ?∈{三角形}，x ?{锐角三角形}.?r
为假命题
(4) ?s ：2
,2x R x x x ?∈+≠+. ?r 为假命题
变式备选2：判断下列特称命题的真假， 并写出其否定：
(1) p ：,22x R x ?∈+≤ (2) q ：2
,450x R x x ?∈+-≤
解: （1）真命题，如0x =等. 其否定为：,22x R x ?∈+> （2）真命题，如1x =等. 其否定为：2
,450x R x x ?∈+->
[思维创新]
探究课题：证明命题“,,x R y R ?∈?∈使(1)x y +=”为假命题.
分析： 从整体看，这是一个全称命题，要证明它是假命题，只需举出一个反例即可.
答案： 如0x =, 则,(1)y R x y ?∈+=. 这说明命题“,,x R y R ?∈?∈使
(1)x y +=”为假命题.
[思维误区警示]
例题：已知2
1
:342,:
02
p x q x x ->>--，求?p 和?q 对应的x 值的集合. 典型错解: 由:342p x ->得?p ：342x -≤
2
2342,
2.3
x x ∴-≤-≤∴≤≤即?p ：22.3x x ??
≤≤????
由21:02q x x >--得21
:02
q x x ?≤--，12x ∴-<<. 即{}12x x -<<
走出误区: 若条件p 中的元素，组成的集合为M ，那么对p 的否定?p 组成的集合就是M
的补集，在上例中，学生容易出现由由21:02q x x >--得21
:02
q x x ?≤--的错误，
应先求出满足q 的x 的值，再求其补集.
正确解答: 由:342p x ->得?p ：342x -≤ 2
2342,
2.3
x x ∴-≤-≤∴≤≤即?p ：22.3x x ??
≤≤????
由21
:
02
q x x >--得:21q x x ><-或，
:12q x ∴?-≤≤. 即{}12x x -≤≤
[课时标准测控] 时量30分钟,满分30分
1. 对下列命题的否定错误的是 ( )
A. p: 负数的平方是正数；p ?：负数的平方不是正数
B. p: 至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； p ?：每一个整数，它是合数或素数
C. p: 3
2
,x N x x ?∈>; p ?:3
2
,x N x x ?∈≤
D. p: 2既是偶数又是素数 p ?：2不是偶数或不是素数 答案: A
2．下列语句中，判断是真的个数是（ ）
①全称命题“Z n ∈?，12+n 是奇数”是真命题
②特称命题“R x ∈?，2
x 是无理数”是真命题
③命题“Z n ∈?，12+n 是奇数”的否定是“Z n ∈?，12+n 不是奇数” ④命题“R x ∈?，2
x 是无理数”的否定是“R x ∈?，2
x 是有理数” （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案: D
3. 设集合{}1,2,4,6,8,10,12A =, 试写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）:p ,12n A n ?∈<； （2）:q n ?∈{奇数}，使n A ∈ 解： （1）:p ?,n A ?∈使12n ≥，p ?为真命题 （2）:q ? n ?∈{奇数}，n A ?
4．写出下列命题的否定：
（1）存在一个三角形是直角三角形； （2）至少有一个锐角α，使sin α=0；
（3）在实数范围内，有一些一元二次方程无解； （4）不是每一个都会开车 解：（1）任意三角形都不是直角三角形； （2）对一切锐角α，sin α≠0；
（3）在实数范围内，所有一元二次方程都有解； （4）每一个都会开车
5．写出下列命题的非，并判断它们的真假：
(1) 任意的实数x ，都是方程370x +≠的根 (2 ) x R ?∈，2
(1)0x +> （3）x R ?∈，2
24x =
（4）x R ?∈，x 是方程223x x -=的根 解: (1) 命题的非: x R ?∈，使370x +=, 7
3
x =-
时，370x +=， ∴命题的非为真命题
(2 ) 命题的非: x R ?∈，使2(1)0x +≤，0x = 时，2
(11)0-+=，
∴命题的非为真命题
（3）命题的非: x R ?∈，224x ≠，x = 2
24x =，
∴命题的非为假命题
（4）命题的非: x R ?∈，x 不是方程2
23x x -=的根，
3x = 时，2223233x x -=-?=，∴命题的非为假命题
6． 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断其真假：
（1）n N ?∈，若n N ； （2）,a b R ?∈，若a b =，则2
a a
b =；
（3）,x q R ?∈，若0q >，则2
0x x q +-=有实根； （4）,x y R ?∈，若0xy =，则0x =或0y =；
解：（1）逆命题：n N ?∈N ，则n 是完全平方数（真）；
否命题：n N ?∈，若n N ；（真）；
逆否命题：n N ?∈N ，则n 不是完全平方数（真）； （2）逆命题：,a b R ?∈，若2
a a
b =，则a b =；（假）； 否命题：,a b R ?∈，若a b ≠，则2
a a
b ≠；（假）；
逆否命题：,a b R ?∈，若2
a a
b ≠，则a b ≠；（真）；
（3）逆命题：,x q R ?∈，若2
0x x q +-=有实根，则0q >；（假）； 否命题：,x q R ?∈，若0q ≤，则2
0x x q +-=无实根；（假）； 逆否命题：,x q R ?∈，若2
0x x q +-=无实根，则0q ≤；（真）； （4）逆命题：,x y R ?∈，若0x =或0y =，则0xy =；（真）； 否命题：,x y R ?∈，若0xy ≠，则0x ≠且0y ≠；（真）； 逆否命题：,x y R ?∈，若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠；（真）；
组长评价： 教师评价： §1.4全称量词与存在量词 编者：史亚军 学习目标 1. 认识常见的全称量词和存在量词；并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3. 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神． 重点：理解全称量词与存在量词的意义． 难点：全称命题和特称命题真假的判定和含一个量词的否定． 学习过程 使用说明： （1）预习教材P 2 ~ P 8，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法； （2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容； （3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。 预习案（20分钟） 一．知识链接 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）是整数； （2）； （3）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）任丘一中今年所有高中一年级的学生数学课本都是人民教育出版社A 版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的； （8）对任意一个是整数。 二．新知导学 问题1：什么是全称量词？什么是存在量词？它们如何表示？ 问题2：我们如何对含有全称量词和存在量词的命题进行否定呢？它们的否定形式有何规律？ 问题3：请把下列日常用语，哪些表示全称量词，哪些表示存在量词？ “凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 至多有一个”、“任意一个”、“存在一个”、“有些”、“至少有一个”。 其中： 全称量词的有： 存在量词的有： 问题4：辨别下列命题格式？并给出相应的否定形式？ （1） （2） 探究案（30分钟） 三．新知探究 【知识点一】含有全称量词和存在量词的命题结构与否定 例1：用符号“”与“”表示下列含有量词的命题？并给出相应的否定形式？
全称量词与存在量词-量词 教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。 教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别； 教学难点：正确使用全称命题、存在性命题； 课型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境 在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。 问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶 什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。 二、活动尝试 所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。 问题2：下列命题中含有哪些量词？ （1）对所有的实数x，都有x2≥0； （2）存在实数x，满足x2≥0； （3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立； （4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立； （5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n； （6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n； 上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。 三、师生探究 命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。 全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。” 存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。 单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 9.1 全称量词与存在量词 知识点一、全称量词与全称命题 1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________. 知识点二、存在量词与特称命题 1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示． 2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”. 知识点三、含有一个量词的命题的否定 类型一 全称命题和特称命题的概念及真假判断 例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假． (1)?x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1 x 0－1 ＝0； (3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1. 【自主解答】 (1)是全称命题，因为?x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1 x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为?α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题． 变式：判断下列命题的真假： (1)?x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)?x ∈(0，π 2 )，cos x ＜1； (3)?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴?x ∈(0，π 2)，cos x ＜1为真命题． (3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝1 3 ?Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5. 所以特称命题“?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题． (4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题. 类型二 含有一个量词的命题的否定 例2、写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；
1．4全称量词与存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题． 3．发现、归纳 命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到“所有的”“任意一个”这
《全称量词与存在量词》教案 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神． （三）教学过程 学生探究过程：1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３． （至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
全称量词与存在量词练习题 一、选择题 1．下列全称命题中真命题的个数是（） ①末位是0的整数，可以被2整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等； A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列存在性命题中假命题的个数是（） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列命题为存在性命题的是（） A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．有很多实数不小于3 4．命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（） A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数 C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数 5．命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（） A．存在一个三角形，内角和等于1800 B．所有三角形，内角和都等于1800 C．所有三角形，内角和都不等于1800 D．很多三角形，内角和不等于1800 6. 命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根； B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； C．对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；
二、填空题 7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ ； 8．命题“?x∈R，x2－x+3>0”的否定是______________；\ 9．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是；否命题是； 三、解答题 10．用符号“?”与“?”表示含有量词的命题 （1）实数的平方大于等于0 （2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立 11．写出下列命题的否定： （1）存在实数x是方程5x-12＝0的根； （2）对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0； 12. 用全称量词和存在量词符号“?”、“?”翻译下列命题，并写出它们的否定： （1）若2x>4，则x>2； （2）若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根；
课题：全称量词与存在量词（授课人：） 一、教学目标 1、知识与技能通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义；掌握全称 命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法． 2、过程与方法培养学生分析问题，总结问题的能力. 3、情感、态度、价值观在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想. 二、教学重点、难点 1、重点通过生活和数学中的丰富实例，理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的 一般方法． 2、难点全称命题和特称命题的真假判定。 三、教学过程 一）新课学习 （一）、全称量词 由课本21页思考（幻灯片上思考1）引出问题，即由： （1）x>3; （2）2x+1是整数. （3）对于所有的x∈R,x>3; （4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 由上面例子引出： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier）,并用符号 “?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题. 注：1、常见的全称量有:“一切”,“每一个”, “任给”,“所有的”等; 2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解 总结全称命题的符号语言： 通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M来表示.那么，全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为 ), x(p, M x∈ ?读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. 例1：判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数是奇数 （2） 2 ,11; x R x ?∈+≥ 例后小结：1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，从而提倡学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容 2、判断全称命题真假的一般方法：举反例法. 例后练习：课本23页1题。 （二）、存在量词 由课本22页思考（幻灯片上思考2）引出问题，即由： （1）2x+1=3 (2) x能被2和3整除；
课题：全称量词与存在量词 前置学案： 问题1：在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题： （1）所有中国公民的合法权益都受到中华人民共和国宪法的保护； （2）对任意实数x，都有x2≥0； （3）存在有理数x，使220 x-=． 上述命题有何不同？ 问题2： （1）所有的人都喝水； （2）存在有理数x，使220 x-=； （3）对所有的实数a，都有||0 a≥． 尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？ 一、数学建构（知识梳理） 1．全称量词与全称命题： （1）全称量词： 用符号“?x”表示“对任意x”． （2）全称命题：． 一般形式：． 2．存在量词和存在性命题： （1）存在量词：． 用符号“x?”表示“存在x”． （2）存在性命题：． 一般形式：． 3．全称命题的否定：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，全称命题p：?x∈M，p(x)它的否定?p：． 4．存在性命题的否定：一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，存在性命题p：?x ∈M，p(x)它的否定┐p：．
二、例题选讲 例1．判断下列命题的真假： （1）?x ∈R ，x 2＞x ； （2）?x ∈R ，x 2＞x ； （3）?x ∈Q ，x 2-8=0； （4）?x ∈R ，x 2+2＞0． 例2．写出下列命题的否定： （1）所有人都晨练； （2）01,2 >++∈?x x R x ； （3）平行四边形的对边相等； （4）01,2 =+-∈?x x R x 例3．（1）已知命题“()01,,02 >+-+∞∈?ax x x ”为真命题， 则实数a 的取值范围 ． （2）已知命题“()01,,02 <+-+∞∈?ax x x ”为真命题， 则实数a 的取值范围 ． （二）变式训练 变式 （1）已知命题“01,2 >+-∈?ax ax R x ” 为假命题，则实数a 的取值范围是_______ ． （2）命题“?x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ． （三）小结提炼 四、课堂总结
1．4全称量词与存在量词 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标 （1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词． （2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观 通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点 重点:理解全称量词与存在量词的意义 难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1．思考、分析 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？ （1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等； （4）平行于同一条直线的两条直线互相平行； （5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书； （6）所有有中国国籍的人都是黄种人； （7）对所有的x∈Ｒ, x＞３； （8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断 （让学生自己表述） （1）、（2）不能判断真假，不是命题。 （3）、(4)是命题且是真命题。 （5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。 注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。 （5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假； 命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３） 命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．
全称量词和存在量词 教学目标 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； 2．能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假 教学重点及难点 理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假 教学类型：新授课 教学过程 一．引入 下列语句是命题吗？ ⑴3 x>； ⑵21 x+是整数； ⑶对所有的x∈R，3 x>； ⑷对任意一个x∈Z，21 x+是整数。 ⑴与⑶、⑵与⑷之间有什么关系？ 结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。分析（3）（4）分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句。 二．教授新课：
①.概念： 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 例如： ⑴对任意n∈N，21 n+是奇数； ⑵所有的正方形都是矩形。 常见的全称量词还有： “一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。 通常，将含有变量x的语句用() r x表示，变量x的取 q x、() p x、() 值范围用M表示。 全称命题“对M中任意一个x，有() p x p x成立”。简记为：x M ?∈，()读作：任意x属于M，有() p x成立。 ②.例1：判断下列全称命题的真假： ⑴所有的素数都是奇数； ⑵x?∈R，211 x+≥； ⑶对每一个无理数x，2x也是无理数。 （学生练习——个别回答——教师点评并板书） 点评：要判定全称命题的真假，需要对取值范围M内的每个元素x，证明p（x）是否成立，若成立，则全称命题是真命题，否则为假。
全称量词与存在量词 编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念； 2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“?” “? ”来表述相关的教学内容； 3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法； 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【要点梳理】 要点一、全称量词与全称命题 全称量词 全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. 常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“?” 表示，读作“对任意”. 全称命题 全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”， 记作：x M ?∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0 的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”； （3）“负数的平方是正数”；都是全称命题. 要点二、存在量词与特称命题 存在量词 定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词. 常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“? ” 表示，读作“存在 ”. 特称命题 特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”， 记作：0x M ?∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释： （1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使