一元二次函数图像
一、一元二次函数型式
y ＝ax 2＋bx ＋c 或f (x)＝ax 2＋bx ＋c
二、一元二次函数图像画法
1、 形状：抛物线
2、 开口：a ＞0，开口向上；a ＜0，开口向下
3、 对称轴：x ＝－a
b 2 4、 与x 轴的交点：方程的根
5、 最大最小值：a
b a
c 424-
三、例题
1、 y ＝x 2－5x ＋6
解：a ＝1，开口向上
对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：x 2－5x ＋6＝0 x ＝2或x ＝3 最小值：
a b ac 424-＝－41
2、 y ＝x 2＋5x ＋6
解：a ＝1，开口向上
对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：x 2＋5x ＋6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最小值：
a b ac 424-＝－41
3、 y ＝－x 2＋5x －6
解：a ＝－1，开口向下
对称轴：x ＝－a b 2＝25 方程根：－x 2＋5x －6＝0 x ＝2或x ＝3 最大值：
a b ac 424-＝4
1
4、 y ＝－x 2－5x －6
解：a ＝－1，开口向下
对称轴：x ＝－a b 2＝－25 方程根：－x 2－5x －6＝0 x ＝－2或x ＝－3 最大值：
a b ac 424-＝41
5、 y ＝x 2－2x
解：a ＝1，开口向上
对称轴：x ＝－a b 2＝1 方程根：x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝2 最小值：
a b ac 424-＝－1
6、 y ＝－x 2－2x
解：a ＝－1，开口向下
对称轴：x ＝－a b 2＝－1 方程根：－x 2－2x ＝0 x ＝0或x ＝－2 最大值：
a b ac 424-＝1
7、 y ＝x 2－2x ＋1
解：a ＝1，开口向上
对称轴：x ＝－a
b 2＝1 方程根：x 2－2x ＋1＝0 x ＝1
最小值：
a b ac 424-＝0
8、 y ＝－x 2＋2x －1
解：a ＝－1，开口向下
对称轴：x ＝－a
b 2＝1 方程根：－x 2＋2x －1＝0 x ＝1
最大值：a
b a
c 424-＝0
9、 y ＝x 2
解：a ＝1，开口向上
对称轴：x ＝－
a b 2＝0 方程根：x 2＝0
x ＝0
最小值：
a b ac 424-＝0
10、 y ＝－x 2
解：a ＝－1，开口向下
对称轴：x ＝－a b 2＝0 方程根：－x 2＝0 x ＝0
最大值：
a b ac 424-＝0
11、 y ＝x 2＋x ＋1
解：a ＝1，开口向上
对称轴：x ＝－a b 2＝－21 方程根：△＜0，方程无解 最小值：
a b ac 424-＝43
12、 y ＝－x 2＋x －1
解：a ＝－1，开口向下
对称轴：x ＝－a b 2＝21 方程根：△＜0，方程无解 最大值：
a b ac 424-＝－4
3
一元二次函数图像题1、y＝x2－7x＋10
2、y＝x2＋3x＋2
3、y＝－x2＋7x－12
4、y＝－x2－6x－8
5、y＝x2＋7x
6、y＝－x2＋7x
7、y＝x2＋4x＋4
8、y＝－x2＋6x－9
9、y＝x2＋x＋2
10、y＝－x2＋2x－4
3. （2014?山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法： ①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，故①正确； 该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，故②正确； 当x=1时，y=2a+b+c， ∵对称轴是直线x=﹣1， ∴，b=2a， 又∵c=0， ∴y=4a，故③错误； x=m对应的函数值为y=am2+bm+c， ∵b=2a， ∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．故④正确． 故选：C． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．5. （2014?山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大． 其中正确的结论有（）
A．1个B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点：二次函数的图象与性质． 解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3 时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小． 解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确； ∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误； ∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0， 而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a， ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，所以③正确； ∵对称轴为直线x=2， ∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，所以④错误．故选B． 点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点． 7. （2014?山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断： ①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2， 其中正确的是（） A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④ 考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断． 解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1， ∴﹣=﹣1， b=2a，
§ 3.4一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 １.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点 式:a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2)最大（小）值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 （３）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 二次函数基础题: 1、若函数y ＝1)1(++a x a 是二次函数，则=a 。 2、二次函数开口向上，过点（1，3），请你写出一个满足条件的函数。 3、二次函数y ＝x 2+x-6的图象： 1）与y 轴的交点坐标； 2）与x 轴的交点坐标； 3）当x 取 时，y ＜0； 4）当x 取 时，y ＞0。 5、函数y ＝x 2-k x+8的顶点在x 轴上，则k = 。 6、抛物线y=3-x 2① 左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的 解析式是， 顶点坐标。②抛物线y=3-x 2向右移3个单位得解析式是 7、如果点（1-，1）在y ＝2ax +2上，则=a 。 8、函数y=21 -x 21- 对称轴是_______,顶点坐标是_______。 9、函数y=2 1 -2)2(-x 对称轴是______,顶点坐标____，当 时y 随x 的 增大而减少。 10、函数y ＝x 223+-x 的图象与x 轴的交点有 个，且交点坐标是_。 11、①y ＝x 2(-1+x ）2②y ＝ 2 1x ③2+-=x y ④y=21-2 )2(-x 二次函数有个。15、二次函数c x ax y ++=2过)1,1(-与（2，2-）求解析式。 13、把二次函数y=2x 26-x+4；1）配成y ＝a (x-h )2+k 的形式，(2)画出这个函数的图象；(3)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 二次函数中等题:1．当1x =时，二次函数23y x x c =-+的值是4，则c =． 2．二次函数2y x c =+经过点（2，0），则当2x =-时，y =． 3．矩形周长为16cm ，它的一边长为x cm ，面积为y cm 2，则y 与x 之 二次函数判断符号问题大全 1、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 2、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2-x-2 B 、y=12 1 212++-x C 、y=12 1 212+-- x x D 、y=22++-x x 3、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论： 0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中 正确的个数（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3题图 4题图 5题图 4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ）A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） x y O 1 B ． C ． D ． 1 1 1 1 x o y y o x y o x x o y O 7、已知二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论： 20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7题图 8题图 9题图 8、已知=次函数y ＝ax 2 +bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B 3 C 、4 D 、5 9、已知二次函数2 y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论： 20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10、二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2 4y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++=在同一坐标系内的图象大致为（ ） 1 O y 3 1- 1 O x y y x O y x O B ． y x O A ． y x O y x O y x O B ． y x O A ． y x O 2017中考数学分类试题汇编 ?二次函数图像信息题 1.（2017?黄?石市）如图是?二次函数 的图象，对下列列结论：① ；② ；③ ，其中错误的个数是（ ）A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2.（2017年年烟台市）?二次函数的图象如图所示，对称轴是直线， 下列列结论：① ；② ；③；④ . 其中正确的是（）A ．①④ B ．②④ C.①②③ D ．①②③④ 3．（2017?甘肃省天?水市）如图是抛物线y 1=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象的?一部分，抛物线的顶点坐标是A （1，3），与x 轴的?一个交点是B （4，0），直线y 2=mx+n （m ≠0）与抛物线交于A ，B 两点，下列列结论： ①abc ＞0；②?方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x 轴的另?一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x ＜4时，有y 2＞y 1；⑤x （ax+b ）≤a+b ，其中正确的结论是．（只填写序 号） 4.（2017乐?山市）已知?二次函数y=x 2-2 mx （m 为常数），当-1 ≤x ≤2时，函数值y 的最?小值为-2，则m 的值是 或 或 第1题图第2题图第3题图 5．（2017黔东南州）如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b+c ＞0，其中正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．（2017年年贵州省安顺市）?二次函数y=ax 2+bx+c （≠0）的图象如图，给出下列列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④m （am+b ）+b ＜a （m ≠1），其中结论正确的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．（2017年年四川省?广安）如图所示，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b 2﹣4ac=0；②a+b+c ＞0；③2a ﹣b=0；④c ﹣a=3其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．（2017年年?甘肃省天?水市）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=4cm ，∠B=30°，点P 从点B 出发，以 cm/s 的速度沿BC ?方向运动到点C 停?止，同时点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速 度沿BA ﹣AC ?方向运动到点C 停?止，若△BPQ 的?面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ） A ． B ． C ． 第5 题图 第6 题图 第7 题图 D ． 星火教育讲义 教学步骤： 一、新授内容 1．函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 例题精解 一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数642 12 ++= x x y 的图象 【解】 )128(21 642122++=++=x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x x … -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 … y … 25 0 23- -2 2 3- 0 25 … 【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表 【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01>Θ ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b Θ，2029)5(431)5(44422=-?-?-?=-a b ac x -2 -1 0 1 2 y 7 6 5 4 3 专题训练(一)二次函数图象信息题常见的四种类型?类型之一由系数的符号确定图象的位置 1．［2016·合肥45中月考］在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图象是() 图1－ZT－1 2．［2018·安徽省合肥168教育集团］月考已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图1－ZT－2中的() 图1－ZT－2 3．已知函数y＝ax和y＝a(x＋m)2＋n，且a＞0，m＜0，n＜0，则这两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象是() 图1－ZT－3 4．已知二次函数y＝x2＋2ax＋2a2，其中a＞0，则其图象不经过第________象限． ?类型之二由某一函数的图象确定其他函数图象的位置 5．已知y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－4所示，则y＝ax＋b的图象一定过() 图1－ZT－4 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 6．如果一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是() 图1－ZT－5 7．如图1－ZT－6，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能为() 图1－ZT－6 图1－ZT－7 ?类型之三由函数图象确定系数及代数式的符号 8．［2017·六盘水］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，则() A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0 图1－ZT－8 9.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－9所示，对称轴为直线x＝1，则代数式：(1)abc； (2)a＋b＋c；(3)a－b＋c；(4)4a＋2b＋c中，值为正数的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 图1－ZT－9 专题08 一元二次函数的图像和性质一、知识点精讲 【问题1】函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2 的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象． 先列表： x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … x2…9 4 1 0 1 4 9 … 2x2…18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝1 2 x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝ x2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小． 【问题2】函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象的方法： 由于y ＝ax 2 ＋bx ＋c ＝a(x 2 ＋b x a )＋c ＝a(x 2 ＋b x a ＋224b a )＋c － 24b a 2 24()24b ac b a x a a -=++ ， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质： （1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --， 对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a - 时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a -时，函数取最小值y ＝2 44ac b a -． 一元二次函数综合练习题 1、二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，则下列四个结论错误的是A． B． C． D． 2、已知二次函数 的图象如图所示，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 其中所有正确结论的序号是（） A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 第2题第3 题第4题 3、二次函数 的图象如图，下列判断错误的是（） A． B． C． D． 4、二次函数 的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）A．a＜0 B．c＞0 C． ＞0 D． ＞0 5、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高 与水平的距离 ，则该运动员的成绩是( ) A. 6m B. 10m C. 8m D. 12m 6、抛物线y＝ax2＋bx＋c上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为(0，6)；②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)；④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表中可知，下列说法正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7、抛物线 = 与坐标轴交点为（） A．二个交点 B．一个交点 C．无交点 D．三个交点 8、二次函数y＝x2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（） A．y＝x2－2 B．y＝(x－2)2 C．y＝x2＋2 D．y＝(x＋2)2 9、若二次函数y＝2x2－2mx＋2m2－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（） A.0 B.±1 C.±2 D.± 10、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0②a>0③b2-4ac>0④ 中，正确的结论有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11、抛物线 元二次函数图像元二次函数型式 y= ax2+ bx+ C 或f (x) = ax2+ bx + C 元二次函数图像画法 1、形状：抛物线 2、开口：a> 0,开口向上；a v0,开口向下 b 3、对称轴：X = --------- 2a 4、与X轴的交点：方程的根 5、取大取小值：4ac -b2 4a 、例题 1、y = χ2—5x + 6 解：a=1, 开口向上 b 5 对称轴:X =—— 2a 2 方程根:χ2- 5x + 6—0 X—2 或x—3 4ac -b21 最小值 4a4 2、y = x2+ 5x + 6 解：a=1, 开口向上 b5 对称轴:X=—=— 2a2 方程根2 :X + 5x + 6—0 X ——2 或X —- -3 4ac -b21最小值 4a4 3、y = —χ2+ 5x —6 解：a= —1,开口向下 对称轴： b 5 X ——— 2a 2 方程根：—χ2+ 5x —6—0 X—2 或x—3 最大值： 4ac-b2 1 4a 4 4、y=- x2- 5x —6 解：a=- 1,开口向下 b X =-— 对称轴: 方程根: 2a 2 -χ2- 5x —6= 0 X=—2 或X = —3 5、6、 最大值: 4ac—b2 1 4a y = x2-2x 解：a= 1 ,开口向上 b I X = ------ =1 2a χ2- 2x = 0 X= 0 或X= 2 4ac-b2 , -1 4a 对称轴: 方程根: 最小值: y=-x2—2x 解：a= —1, 开口向下 对称轴: 方程根: X=—b=-1 2a -χ2- 2x = 0 最大值: X = 0 或X=—2 4ac-b2 d 1 4a 2 7、y = X —2x + 1 对称轴： b I X =—= 1 2a 方程根：X2—2x + 1 = X = 1 最小值：4ac-b2 C 0 4a 解：a= 1 ,开口向上 8、y = —χ2+ 2x —1 对称轴： b I X =—= 1 2a 方程根：—X2+ 2x —1 = 0 X = 1 解：a= —1,开口向下 最大值： 4ac-b2 C =0 4a 专训二次函数图象信息题的四种常见类型 名师点金：利用图象信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图象信息转换为数学语言，掌握二次函数的图象和性质是解决此类问题的关键． 根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号 1．【2015·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论： ①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a .其中正确结论的个数是() A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(第1题) (第2题) 利用二次函数的图象比较大小 2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1 (第4题) 4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________． 根据抛物线的特征确定其他函数的图象 5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是() (第5题) 6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图象上． (1)求m的值和二次函数的解析式． (2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积． (第6题) § 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b a c a b -- ，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442 min -=，无最大值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 –1 3 3 1 一元二次函数综合练习题 1、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．2 40b ac -> D ．0a b c -+> 2、已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 第1题 第2题 第3题 第4题 3、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（ ） A ．00③b 2 -4ac>0④ 0++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ） A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 12、已知二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0 中考二次函数图象信息题赏析 二次函数是初中数学的重点内容之一,其图象是一种直观形象的交流语言,含有大量的有价值的信息,用好这些信息有助于培养和提高同学们分析问题,解决问题的能力.为考查同学们的“数形结合思想”和应用图象信息的能力,二次函数图象信息题便成了近年来各地中考的热点,解答这类题的关键是准确分析解析式中的有关量与函数图象的位置关系,正确地 进行“数”和“形”的转换.现精选两例08年中考题,归类浅析如下,供同学们鉴赏： 一、由系数的符号确定其图象的位置 例1（2008年山东省泰安市中考题）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ） 解析:本例将二次函数与一次函数的图象 放在同一直角坐标系中,加大了知识的考查力 度,解决这类问题的基本方法是排除法,数学思 想方法是数形结合和分类讨论. (1)如果m ＞0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象上升,且与y 轴的交点在x 轴上方,很明显,只有(C)满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m ＞0时,其开口方向应向下,显然不合,所以(C)不可能. （2）如果m ＜0,则由一次函数y mx m =+的性质,可知其图象下降,且与y 轴的交点在x 轴下方,这(A)、(B)和 (D)都满足,但对二次函数222y mx x =-++而言,当m ＜0时,其开口方向应向上 ,所以(A)不可能. 对称轴m m a b x 1)(222=-?-=-=＜0,应在y 轴的左侧,故(B)也不可能. 只有(D)满足条件,故应选(D). 二、由抛物线的位置确定系数及其代数式的符号 例3（2008年四川省乐山市中考题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 令|42||||2||2|M a b c a b c a b a b =-++++-++-，则 A..M>0 B. M<0 C. M=0 D. M 的符号不能确定 解析：解决本例的基本思想仍然是数形结合.由抛物线在坐标 系中的位置,确定其系数及其代数式的符号. (1)由图象可知,当2-=x 时，其对应点在x 轴的上方，即y ＞0，则c b a +-24＞0； (2)由图象可知,当1=x 时，其对应点在x 轴的下方，即y ＜0，从而c b a ++＜0； (3)抛物线开口向下,a ＜0，对称轴在y 轴的左侧，则a b 2-＜0，由a ＜0，得到 b ＜0，所以b a +2＜0； 己知二次3lSSy=ax^+bx+c 的囹金如囹所示? .. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3，下列判断正确的是（） A.开口方向向上，y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是（﹣1，﹣2） D.当x＜1 时，y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=（x-2）2+k，则b、k 的值分别为（） A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是（） A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（） A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c 这四个式子中，值为正数的有（） A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是（） A.a＞0，△＞0 B.a＞0，△＜0 C.a＜0，△＞0 D.a＜0，△＜0 8.抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2 一元二次函数知识点汇总 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系： ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当0a 时，开口向上；当0a 时)]，坐标为(h ,k )。 6.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =. (3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. ★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 (1)a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线a b x 2- =,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 § 一元二次函数的图象和性质 1． 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2． 掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题 3． 会求二次函数在指定区间上的最大（小）值 4． 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1．函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3．任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式： a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=， 性质如下： （1）图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴是直线a b x 2-=。 （2）最大（小）值 ① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b a c y 442 min -=，无最大 值。 ② 当0>a ，函数图象开口向下，y 有最大值，a b a c y 442max -=，无最小 值。 （3）当0>a ，函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数，在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0 【解】 )128(2 1 642122++=++= x x x x y 2-4)(2 1 4]-4)[(21 2222+=+=x x 以 为中间值，取x 的一些值，列表如下： … …【例2】求作函数342 +--=x x y 的图象。 【解】)34(342 2-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(2 2++-=-+-=x x 先画出图角在对称轴2-=x 的右边部分，列表 【点评】画二次函数图象步骤： (1)配方； (2)列表； (3)描点成图； 也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。 二、一元二次函数性质 【例3】求函数962 ++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标。 【解】 7)3(796262 22-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时， 7min -=y 【例4】求函数1352 ++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值。 10 3 )5(232=-?-=-a b ，2029)5(4 31)5(44422=-?-?-?=-a b ac ∴函数图象的顶点坐标为)2029,103( ，对称轴为2029=x 05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值20 29 =maz y一元二次函数练习题
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2a+b=0 ?② b^-4ac>0 ? €>4a-2b+c>0 ? @abc>0 ? €>3a+c>0 .贝（以上结论正隔的有（ ）个? I ? RD2a+b=0i抛物线与xii有两个交点，则厶=b2-4ac>0 i x=-2时的函埶值为正，则4a-2b+c> 0；魅柳线开口向上?a>0.而b=-2a>得到b<0.由于槌物线与y紬的交点在x紬下方，得到cVO,贝Jabc>0；由于x=3时对应的函数图象在x柚 上方?得到9a+3b+c>0.然后把b“2a代入即可得到3a+c>0. 解普二W：???拠物I线的对称紡为宜线x“，???■ g=l，RD2a+b=0 >所以①正确；2a ???牠物线与x柚有两个交点? A A=b2-4ac>0.所以2）佶溪； ???当炉-2时对应的因数囹猱在x釉上方? A4a-2b+c>0.所以◎正确； ???抽物线开口向上? A a>0 ?而b=-2a? Ab<0? ???牠物线与y柚的交点S/toT方? ?--c<0. ?'? ab c > 0 ?所以◎正； 当片3时对应的函数图象左x柚上方?即y>0, ?*? 9a+3b+c >0 > 而b=-2a? A3a4.c>0>所以⑤正X? 故送B? （2011-宝i氐区二模）已知：二;欠函数y=ax2*bx*c的團象如图所示，那么下列结论中:①abc>0;②b"2a; ?5a-2b<0; @a-b+c> 0.正确的个数是（〉 考焦二次函数團象与系数的关系. 专題］推理填空?5? 分析;|①根擔挞物线开口向下判断出a<0,再根擔挞物线的对称轴确定出b的情况，抿抿抛物线与y轴的交点确定出c>0,最后根18有理数的泰 法运算的符号 运算法则解答J ②根1居对称轴为沪?1解答： ③根1居②得出的“ b的关系，用a表示b,然后代入解关于a的不等式，再根抿a的取值范围进行判肝； ④根1 居沪-1时的函数值是正数判断. 解爹二解：①???二次函数图象开口冋下， :.a<0, ???与y轴的正半轴相交， /.c>0, 又???对称轴x=-^=-1, la /.b=2a<0, /.abc>0,故本小题正确； ②由①可iD, b-2a,故本小題错误， ?Vb=2a, /.5a-2b=5a-2X2a=a, A5a-2b<0,故本小题正确； ④由團形可知'当泸寸'y>0, 即a-b*c>0,故本小题正确?综上所述，正确的有①①⑥共3个. 筠点: 二次函数图象与系数的关系. : 压釉题；埶形结合. 根堀抛拥线的对称轴为百线可得至卜寻 A. 4个 B. 3个C?2个二次函数图像性质及应用
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