2012年考研数学三真题
一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四
个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(1)曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为
(A)0 (B)1
(C)2 (D)3
【答案】C。
【解析】
由
limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx 2-1,
得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；
由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；
由limx→-1y=limx→-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；
综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线
(2)设函数fx=(ex-1)(e2x-2)?(enx-n),其中n为正整数，则f'0=
(A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1!
(C)-1n-1n! (D) -1nn!
【答案】A
【解析】
【方法1】
令gx=(e2x-2)?(e nx-n),则
fx=(ex-1)gx
f'(x)=exgx+(ex-1)g'x
f'0=g0=-1-2?(-(n-1))
=-1n-1n-1!
故应选A.
【方法2】
由于f0=0,由导数定义知
f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)?(enx-n)x
=limx→0(ex-1)x?limx→0(e2x-2)?(enx-n)
=-1-2?-n-1=-1n-1n-1!.
【方法3】
排除法，令n=2,则
fx=(ex-1)(e2x-2)
f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1)
f'0=1-2=-1
则(B)(C)(D)均不正确
综上所述，本题正确答案是(A)
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=
(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy
(B) 02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy
(C) 02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx
(D) 02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx
【答案】B。
【解析】
令x=rcos θ,y=rsin θ,则r=2所对应的直角坐标方程为
x2+y2=4,r=2cos θ所对应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1。
由0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr的积分区域
2cosθ 得在直角坐标下的表示为 2x-x2 所以0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy 综上所述，本题正确答案是(B)。 【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (4)已知级数n=1∞(-1)nnsin1nα绝对收敛，级数n=1∞(-1)nn2-α条 件收敛，则 (A)0<α≤12 (B)12<α≤1 (C)1<α≤32 (D)32<α<2 【答案】D。 【解析】 由级数n=1∞(-1)nnsin1nα绝对收敛，且当n→∞时 (-1)nnsin1nα~1nα-12，故α-12>1,即α>32 由级数n=1∞(-1)nn2-α条件收敛，知α<2 综上所述，本题正确答案是(D) 【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定 (5)设α1=00c1,α2=01c2,α3=1-1c3,α4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任 意常数，则下列向量组线性相关的为 (A)α1,α2,α3 (B)α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4 【答案】C。 【解析】 n个n维向量相关?α1,α2,?αn=0 显然α1,α3,α4=01-10-11c1c3c4=0 所以α1,α3,α4必线性相关 综上所述，本题正确答案是(C)。 【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关 (6)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=100010002.若 P=α1,α2,α3,Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ= (A) 100020001 (B)100010002 (C) 200010002 (D)200020001 【答案】B。 【解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q，有 Q=P100110001=PE21(1) 那么Q-1AQ=[PE21(1)]-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1) =100-110001100010002100110001=100010002综上所述，本题正确答案是(B)。 【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换 (7)设随机变量X,Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则 PX+Y2≤1= (A) 14 (B) 12 (C)π8 (D)π4 【答案】D。 【解析】 PX2+Y2≤1=x2+y2≤1 f(x,y)dxdy 而fx,y=fXxfYy=1,0 即fx,y是在正方形0 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量分布 (8)设X1,X2,X3,X4为来自总体N1,σ2(σ>0)的简单随机样本，则统计 量X1-X2X3+X4-2的分布为 (A)N0,1 (B)t(1) (C)χ2(1) (D)F(1,1) 【答案】B。 【解析】 1，X1-X2~N0,2σ2，故X1-X22σ~N0,1； 2，X3+X4-2~N0,2σ2，故X3+X4-22σ~N0,1， (X3+X4-22σ)2~χ2(1), (X3+X4-22σ)2/1=X3+X4-22σ 3，X1-X2与X3+X4-2相互独立。X1-X22σ与(X3+X4-22σ)2也相互独立， 所以X1-X22σX3+X4-22σ=X1-X2X3+X4-2~t(1)综上所述，本题正确答案是B。 【考点】概率论与数理统计—数理统计的概念 二、填空题（9~14小题，每小题4分，共24分。） (9)limx→π4(tanx)1cosx-sinx=。 【答案】e-2。 【解析】这是一个‘1∞’型极限，由于 (tanx)1cosx-sinx=[1+(tanx-1)]1cosx-sinx limx→π4tanx-1cosx-sinx=limx→π4tanx-1cosx(1-tanx)=limx→π4 -1cosx=-2 所以limx→π4(tanx)1cosx-sinx=e-2 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (10)设函数fx=l nx, &x≥12x-1, &x<1,y=ffx,则dydxx=e=。 【解析】 y=ffx可看做y=fu,与u= fx的复合，当x=e时 u= fe=lne=12lne=12 由复合函数求导法则知 dydxx=e=f'12?f'e=2?12xx=e=1e 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(11)设连续函数z=f(x,y)满足limx→0y→1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0, 则dz(0,1)= 。 【答案】2dx-dy 【解析】 由limx→0y→1fx,y-2x+y-2x2+(y-1)2=0，且z=f(x,y)连续，可得f0,1=1,且 fx,y-f0,1=2x-y-1+o(x2+(y-1)2),(x→0y→1) 由可微的定义得f'x0,1=2,f'y0,1=-1,即 dz(0,1)=f'x0,1dx+f'y0,1dy=2dx-dy 【考点】高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与计算 (12)由曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面图形 的面积为。 【答案】4ln2 曲线y=4x和直线y=x及y=4x在第一象限中围成的平面域如下图，则所围面积为 S=014x-xdx+12(4x-x)dx=4ln2 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的应用 (13)设A为3阶矩阵，A=3，A*为A的伴随矩阵。若交换A的第1 行与第2行得到矩阵B，则BA*=。 【答案】-27 【解析】 【方法1】 两行互换两列互换A变成B，所以A=-B,再由行列式乘法公式及A*=An-1，则 BA*=B|?|A*=-AA2=-27 【方法2】根据题意 010100001A=B，即B=E12A 那么BA*=E12AA*=AE12=3E12 从而BA*=3E12=33E12=-27 【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质 线性代数—矩阵—伴随矩阵，矩阵的初等变换 (14)设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，PAB=12,PC=13,则 PABC=。 【答案】34 【解析】 A,C互不相容，自然有C?A,当然更有C?AB，所以 PABC=P(ABC)P(C)=P(AB)1-P(C)=1223=34 【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算，概率的基本公式，事件的独立性 三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 (15)求极限limx→0ex2-e2-2cosxx4 【解析】 【方法1】 limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosx?limx→0ex2-2+2cosx-1 x4 =limx→0x2-2+2cosxx4(等价无穷小代换) =limx→02x-2sinx4x3 (洛必达法则) =12limx→01-cosx3x2=16limx→012x2x2=112 【方法2】 limx→0ex2-e2-2cosxx4=limx→0e2-2cosx?limx→0ex2-2+2cosx-1 x4 =limx→0x2-2+2cosxx4(等价无穷小代换) =limx→0x2-2+2(1-x22!+x44!+o(x4))x4 (泰勒公式) =limx→0112x4+o(x4)x4=112 【方法3】 limx→0ex2-e2-2cosxx4=?limx→0eξ(x2-2+2cosx)x4 (拉格朗日中值定理) =limx→0x2-2+2cosxx4 =limx→02x-2sinx4x3 (洛必达法则) =12limx→016x3x3 (x-sinx~16x3) =112 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—微分中值定理，洛必达(L'Hospital)法则 (16)计算二重积分D exxydxdy,其中D是以曲线y=x,y=1x及y轴为边 界的无界区域。 【解析】 D exxydxdy=01dxx1xexxydy=1201ex(1-x2)dx =12ex(1-x2)01+01xexdx =-12+xex01-01exdx =12 【考点】高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算 (17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000（万 元）。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是x(件)和y（件），且这两种产品的边际成本分别为20+x2(万元/件)与6+y(万元/件). (I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数C(x,y)(万元)； (II)当总产量为50件时，甲、乙两种产品的产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本； (III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释经济意义。 【解析】 (I)总成本函数Cx,y=10000+20x+x24+6y+y22（万元） (II)由题意知，求Cx,y在x+y=50时的最小值，构造拉格朗日函数 Fx,y,λ=Cx,y+λx+y-50=10000+20x+x24+6y+y22+λx+y-50 解方程组F'x=20+x2+λ=0,F'y=6+y+λ=0,x+y-50=0.得 x=24,y=26. 因可能极值点唯一，且实际问题存在最小值，故总产量为50件时，甲乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小，且此时投入总费用 Cminx,y=10000+20×24+2424+6×26+2622=11118 (万元) (III)甲产品的边际成本函数：C'x,y=20+x2,于是，当总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本 C'x,y=20+242=32 其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时，若甲的产量每增加一件，则总成本增加32万元。 (18)证明：xln1+x1-x+cosx≥1+x22,(-1 【解析】 【方法1】 记fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22,则 f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x, f''(x)=41-x2+4x21-x22-1-cosx 当-1 又因为f'0=0，所以，当-1 于是f0=0是函数fx在(-1,1)内的最小值。 从而当-1 即xln1+x1-x+cosx≥1+x22,(-1 【方法2】 记fx= xln1+x1-x+cosx-1-x22, (-1 显然，fx是偶函数，因此只要证明fx≥0 x∈[0,1) 由于 f'x=ln1+x1-x+2x1-x2-sinx-x, x∈[0,1) ln1+x1-x>0 2x1-x2>2x=x+x>x+sinx 从而有f'x>0，x∈(-1,1) 有f0=0 则当-1 即xln1+x1-x+cosx≥1+x22,(-1 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数的极值 (19)已知函数fx满足方程f''x+f'x-2fx=0及f''x+fx=2ex (I)求fx的表达式； (II)求曲线y=f(x2)0xf(-t2)dt的拐点。 【解析】 (I)联立f''x+f'x-2fx=0,f''x+fx=2ex, 得f'x-3fx=-2ex,因此 fx=e3dx-2exe-3dx+C=ex+Ce3x 代入f''x+fx=2ex，得C=0,所以fx=ex (II)y=fx20xf-t2dt=ex20xe-t2dt y'=2xex20xe-t2dt+1 y''=2x+2(1+2x2)ex20xe-t2dt 当x<0时，y''<0; 当x>0时，y''>0,又y0=0,所以曲线的拐点为(0,0) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数和微分的四则运算，函数单调性的判别，函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (20)设A=1a0001a0001aa001,β=1-100. (I)计算行列式|A|； (II)当实数a为何值时，方程组Ax= β有无穷多解，并求其通解。 【解析】 (I)按第一列展开 A=1?1a001a001+a-14+1a001a001a=1-a4, (II)当A=0时，方程组Ax= β有无穷多解，由上可知a=1或-1如果a=1 11000110001110011-100→1100011000110-1011-10-1→1100 0110001100111-10-2→11000110001100001-10-2 rA=3,rA=4,方程组无解，舍去 当a=-1时， 1-10001-10001-1-10011-100→1-10001-10001-10-1011-101 → 1-10001-10001-100-111-100→1-10001-10001-100001-100 rA=3=rA，方程组有无穷多解，取x4为自由变量，得方程组通解为 (0,-1,0,0)T+k(1,1,1,1)T, k为任意常数 【考点】线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解的判定，非齐次线性方程组的通解 (21)已知A=101011-10a0a-1,二次型fx1,x2,x3=xT(ATA)x的秩为2 (I)求实数a的值； (II)求正交变换x=Qy将f化为标准形。 【解析】 (I)因为rATA=r(A),对A做初等行变换 A=101011-10a0a-1→10101100a+10a0, 所以，当a=-1时，rA=2 (II)由于a=-1，所以ATA=202022224，矩阵ATA的特征多项式为 λE-ATA=λ-20-20λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)， 于是ATA的特征值为λ1=2，λ2=6，λ3=0 当λ1=2时，由方程组2E-ATAx=0,可得到属于λ1=2的一个单位特征向量12(1,-1,0)T； 当λ2=6时，由方程组6E-ATAx=0,可得到属于λ2=6的一个单位特征向量16(1,1,2)T； 当λ3=0时，由方程组0E-ATAx=0,可得到属于λ3=0的一个单位特征向量13(1,1,-1)T。 令Q=121613-121613026-13, 则f在正交变换x=Qy下的标准形为 y=2y12+6y23 【考点】线性代数—矩阵—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 线性代数—二次型—二次型的标准形和规范形，用正交变换和配方法化二次型为标准形 (22)设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为 (I)求P{X=2Y}； (II)求Cov(X-Y,Y). 【解析】 (I)PX=2Y=PX=0,Y=0+PX=2,Y=1=14+0=14 (II)由(X,Y)的概率分布可得 PX=0=14+14=12 ；PX=1=0+13+0=13； PX=2=112+112=16； PY=0=14+112=13 ；PY=1=0+13+0=13； PY=2=14+112=13； PXY=0=712；PXY=1=13；PXY=4=112 所以 EX=0?12+1?13+2?16=23 EY=130+1+2=1 DY=13(0-1)2+13(1-1)2+13(2-1)2=23 EXY=13+13=23 所以 CovX-Y,Y= EXY-EX?EY-DY=23-23-23=-23 【考点】概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 (23)设随机变量X,Y相互独立，且都服从参数为1的指数分布，记 U=maxX,Y,V=min?{X,Y}. (I)求V的概率密度fV(v)； (II)求E(U+V). 【解析】 (I) FVv=PV≤v=PminX,Y≤v=1-PminX,Y≤v =1-PX≥v,Y≥v=1-PX≥v}P{Y≥v =1-e-ve-v=1-e-2v,v>0 当v≤0时，FVv=0，fVv=2e-2v，v>00，v≤0 (II) EU+V=EX+Y=EX+EY=1+1=2 【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的分布，连续型随机变量的概率密度，随机变量函数的分布 概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质 P 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1)曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2) ()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f =（ ） (A) 1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3)设函数()f t 连续，则二次积分2 220 2cos d ()d f r r r π θ θ= ?? （ ） (A) 2 220 d ()d x x y y +? (B) 2 220 d ()d x f x y y +? (C) 2220 d ()d y x y x +? (D) 2 220 1d ()d y f x y x +? (4) 已知级数1 1 (1) n n α∞ =-∑绝对收敛，级数21(1)n n n α∞ -=-∑条件收敛，则 （ ） (A) 102α<≤ (B) 112α<≤ (C) 3 12 α<≤ (D) 3 22α<< (5)设1100c α?? ?= ? ???,2201c α?? ?= ? ? ?? ,3311c α?? ?=- ? ??? ,4411c α-?? ? = ? ??? ,其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量 组线性相关的为( ) (A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα (6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002P AP -?? ? = ? ??? .若123(,,)P ααα=， 1223(,,)Q αααα=+，则1 Q AQ -= ( ) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请 将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 曲线221 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( ) (A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( ) (A) 若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B) 若极限2200(,)lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在 (D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200 (,)lim x y f x y x y →→+存在 (4)设2 0sin (1,2,3)k x K e xdx k π==?I 则有 ( ) (A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I << (5)设1100C α?? ?= ? ???,2201C α?? ?= ? ??? ,3311C α?? ?=- ? ??? ,4411C α-?? ?= ? ??? ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的 为( ) (A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα (6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ?= ? ??? .若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则 1Q AQ -= ( ) ２0１2年考研数学三真题 一、选择题(１~8小题，每小题４分,共３2分。下列每题给出的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x2?1 渐近线的条数为 (Ａ)0 (B）1 (C)2 （D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 ， 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线; 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n)，其中n为正整数， 则f′(0)= （A）(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! （C)(?1)n?1(n)! (D）(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】 令g (x )=(e 2x ?2)?(e nx ?n)，则 f (x )=(e x ?1) g (x ) f ′(x)=e x g (x )+(e x ?1)g′(x ) f ′(0)= g (0)=(?1)(?2)?(?(n ?1)) =(?1)n?1(n ?1)! 故应选Ａ． 【方法2】 由于f (0)=0,由导数定义知 f ′(0)=lim x→0f(x)x =lim x→0 (e x ?1)(e 2x ?2)?(e nx ?n)x =lim x→0(e x ?1)x ?lim x→0(e 2x ?2)?(e nx ?n) =(?1)(?2)?(?(n ?1))=(?1)n?1(n ?1)!. 【方法3】 排除法，令n =2,则 f (x )=(e x ?1)(e 2x ?2) f ′(x )=e x (e 2x ?2)+2e 2x (e x ?1) f ′(0)=1?2=?1 则（B)(C)（D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A ） 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (3)设函数f(t)连续，则二次积分∫dθπ20∫f(r 2)rdr 22cos θ = (A )∫dx 20∫√x 2+y 2f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 (Ｂ) ∫dx 20 ∫f(x 2+y 2)dy √4?x 2√2x?x 2 2013年考研数三真题及答案解析 一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．、 １．当0→x 时，用)(x o 表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（ ） （A ）)()(3 2 x o x o x =? （B ）)()()(3 2 x o x o x o = （C ）)()()(2 2 2 x o x o x o =+ （D ）)()()(2 2 x o x o x o =+ 【详解】由高阶无穷小的定义可知（A ）（B ）（C ）都是正确的，对于（D ）可找出反例，例如当0→x 时)()(),()(2 3 3 2 x o x x g x o x x x f ===+=，但)()()(x o x g x f =+而不是 )(2x o 故应该选（D ）． 2．函数x x x x x f x ln )1(1)(+-= 的可去间断点的个数为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【详解】当0ln →x x 时，x x e x x x x ln ~11ln -=-， 1ln ln lim ln )1(1lim )(lim 0 ==+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以0=x 是函数)(x f 的可去间断点． 2 1 ln 2ln lim ln )1(1lim )(lim 0 1 1 = =+-=→→→x x x x x x x x x f x x x x ，所以1=x 是函数)(x f 的可去间断点． ∞=+-=+-=-→-→-→x x x x x x x x x f x x x x ln )1(ln lim ln )1(1lim )(lim 1 1 1 ，所以所以1-=x 不是函数)(x f 的 可去间断点． 故应该选（C ）． ３．设k D 是圆域{ } 1|),(2 2≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=k D k dxdy x y I )(，则 （ ） （A ）01>I （B ）02>I （C ）03>I （D ）04>I 【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知 2012年考研数学模拟试题（数学三） 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） (1) 设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2 )(lim x x x y x -→ （ ） （A ）等于0. （B ）等于1. （C ）等于2. （D ）不存在. 解 20 00()()1 ()1 l i m l i m l i m (0)222 x x x y x x y x y x y x x →→→'''--''===， 将0x =代入方程，得2(0)(1)(0)(0)1y x y x y '''+-+=，又0)0(=y ，1)0(='y ，故(0 )2y ''=， 所以2 ()lim 1x y x x x →-=，选择B. （2）设在全平面上有0) ,(??y y x f ，则保证不等式1122(,)(,)f x y f x y <成立的条件是（ ） （A ）21x x >，21y y <. （B ）21x x <，21y y <. （C ）21x x >，21y y >. （D ）21x x <，21y y >. 解 (,) 0(,)f x y f x y x ???关于y 单调增加， 当21x x >，21y y <时，112122(,)(,)(,)f x y f x y f x y <<，选择A. （3）设)(x f 在),(+∞-∞存在二阶导数，且)()(x f x f --=，当0 一、选择题 (1)曲线2 21 x x y x += -渐近线的条数为( C ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2)设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)f =( C ) (A)1(1)(1)!n n --- (B)(1)(1)!n n -- (C)1(1)!n n -- (D)(1)!n n - (3)设函数()f t 连续，则二次积分22 20 2cos d ()d f r r r π θ θ=?? ( B ) (A)222 d ()d x x y y +? (B)2 22 d ()d x f x y y +? (C)2 22 d ()d y x y x +? (D)2 2 2 1d ()d y f x y x +? (4) 已知级数1 1 (1) n n α ∞ =-∑绝对收敛，级数21 (1)n a n n ∞ -=-∑ 条件收敛，则( D ) (A)102 a <≤ (B) 112 a <≤ (C)312 a <≤ (D)3 22 a << （5）设0,(1,2,...)n a n >=，1...n n s a a =++，则数列{}n s 有界是数列{}n a 收敛的 (B) (A)充分必要条件. (B)充分非必要条件. （C ）必要非充分条件. （D ）即非充分地非必要条件. （6）设2 sin k x k I e xdx π=? (k=1,2,3),则有 (D) （A ）123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << （7）设函数(,)f x y 可微，且对任意,x y 都 有(,)0f x y x ?>?，(,)0f x y y ?< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> （8）设区域D 由曲线,1,2 ,sin =± ==y x x y π 围成，则() )( 15??=-dxdy y x (D) ππ --)(2 )(2 )()(D C B A 3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ B ） 2012考研数学三真题及答案 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x 2+x x?1 渐近线的条数为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。 【解析】 由lim x→+∞y=lim x→+∞ x2+x x2?1 =1=lim x→?∞ y=lim x→?∞ x2+x x2?1 , 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由lim x→1y=lim x→1 x2+x x2?1 =∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由lim x→?1y=lim x→?1 x2+x x2?1 =1 2 得x=?1不是曲线的渐近线； 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数f(x)=(e x?1)(e2x?2)?(e nx?n),其中n为正整数，则f′(0)= (A)(?1)n?1(n?1)! (B)(?1)n(n?1)! (C)(?1)n?1(n)!(D)(?1)n(n)! 【答案】A 【解析】 【方法1】 令g(x)=(e2x?2)?(e nx?n),则 f(x)=(e x?1)g(x) f′(x)=e x g(x)+(e x?1)g′(x) f′(0)=g(0)=(?1)(?2)?(?(n?1)) =(?1)n?1(n?1)! 故应选A. 【方法2】 由于f(0)=0,由导数定义知 f′(0)=lim x→0f(x) x =lim x→0 (e x?1)(e2x?2)?(e nx?n) x =lim x→0(e x?1) x ?lim x→0 (e2x?2)?(e nx?n) =(?1)(?2)?(?(n?1))=(?1)n?1(n?1)!. 【方法3】 排除法，令n=2,则 f(x)=(e x?1)(e2x?2) f′(x)=e x(e2x?2)+2e2x(e x?1) 4- x 2 2 2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上. x 2 + x （1） 曲线 y = （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】： C 【解析】： lim x →1 x 2 -1 x 2 + x x 2 -1 渐近线的条数为（） =∞ ，所以 x = 1为垂直的 lim x 2 + x = 1，所以 y = 1为水平的，没有斜渐近线 故两条选C x →∞ x 2 -1 （2） 设函数 f (x ) = (e x -1)(e 2x - 2) (e nx - n )，其中n 为正整数，则 f ' (0) = （A ） (-1)n -1(n -1)! （B ） (-1)n (n -1)! （C ） (-1)n -1n ! （D ） (-1)n n ! 【答案】：A 【解析】： f ' (x ) = ex (e 2x - 2) 所以 f '(0) = (-1)n -1(n -1)! π 2 （3） 设函数 f (t ) 连续，则二次积分 ? 2 d θ ? f (r 2 )rdr =（ ） 2 4- x 2 2 2 2 2 2 cos θ （A ） ?0 dx ? 2 x - x 2 x （B ） ?0 dx ? 2 x - x 2 f (x + y f (x + y 2 + y 2 )dy )dy 2 4- y 2 2 2 2 2 （C ） ?0 dy ? 1+ 1- y 2 x + y f (x + y )dx (e nx - n ) + (e x -1)(2e 2x - 2) (e nx - n ) + (e x -1)(e 2x - 2) (ne nx - n ) 2012年概率论考研真题与答案 1. （2012年数学一）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与4的指数分布，则{}P X Y <=_________. 【A 】 A ． 15 B. 13 C. 25 D. 4 5 解：X 与Y 的概率密度函数分别为： ,0 ()0, 0x X e x f x x -?>=? ≤?， 44,0()0,0y Y e y f y y -?>=?≤? 因为X 与Y 相互独立，所以X 与Y 的联合密度函数为 44,0,0 (,)()()0,x y X Y e x y f x y f x f y --?>>=?=? ? 其他 {}40 (,)4x y x x y P X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞ --<∴ <= =???? 450 1 45 x y x x e dx e dy e dx +∞ +∞+∞ ---===? ? ? 2. （2012年数学一）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为______. A ．1 B. 12 C. 1 2 - D. 1- 答案：D. 解：设两段长度分别为X 和Y ，显然满足1X Y +=，即1Y X =-+，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为1-. 3. （2012年数学三）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布， {}221P X Y +≤=_________. 【D 】 A ． 14 B. 12 C. 8π D. 4 π 解：X 与Y 的概率密度函数分别为： 1,01()0,X x f x <的简单随机样本，则统 2012年考研数学三真题 一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。 【解析】 由 limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx 2-1, 得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线； 由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线； 由limx→-1y=limx→-1x2+xx2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线； 综上所述，本题正确答案是C 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线 (2)设函数fx=(ex-1)(e2x-2)?(enx-n),其中n为正整数，则f'0= (A)-1n-1n-1! (B) -1nn-1! (C)-1n-1n! (D) -1nn! 【答案】A 【解析】 【方法1】 令gx=(e2x-2)?(e nx-n),则 fx=(ex-1)gx f'(x)=exgx+(ex-1)g'x f'0=g0=-1-2?(-(n-1)) =-1n-1n-1! 故应选A. 【方法2】 由于f0=0,由导数定义知 f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)?(enx-n)x =limx→0(ex-1)x?limx→0(e2x-2)?(enx-n) =-1-2?-n-1=-1n-1n-1!. 【方法3】 排除法，令n=2,则 fx=(ex-1)(e2x-2) f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1) f'0=1-2=-1 则(B)(C)(D)均不正确 综上所述，本题正确答案是(A) 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(3)设函数f(t)连续，则二次积分0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr= 2010年考研数学三真题 一.选择题 1.若1])1(1[lim =--→x o x e a x x 则a = A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使 21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则 For personal use only in study and research; not for commercial use A 21,21== μλ B 21 ,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3 2,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是 For personal use only in study and research; not for commercial use A 0)(<'a f B 0)(>'a f C 0)(<''a f D 0)(>''a f 4设10 10 )(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x) 2012年考研數學三真題 一、選擇題（18小題，每小題4分，共32分。下列每題給出の四 個選項中，只有一個選項是符合題目要求の。） (1)曲線漸近線の條數為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】C。 【解析】 由, 得是曲線の一條水準漸近線且曲線沒有斜漸近線； 由∞得是曲線の一條垂直漸近線； 由得不是曲線の漸近線； 綜上所述，本題正確答案是C 【考點】高等數學—一元函數微分學—函數圖形の凹凸、拐點及漸近線 (2)設函數,其中為正整數，則 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】 【方法1】 令,則 故應選A. 【方法2】 由於,由導數定義知 . 【方法3】 排除法，令,則 則(B)(C)(D)均不正確 綜上所述，本題正確答案是(A) 【考點】高等數學—一元函數微分學—導數和微分の概念 (3)設函數連續，則二次積分 (A) (B) (C) (D) 【答案】B。 【解析】 令,則所對應の直角坐標方程為 ,所對應の直角坐標方程為 。 由の積分區域 得在直角坐標下の表示為 所以 綜上所述，本題正確答案是(B)。 【考點】高等數學—多元函數微積分學—二重積分の概念、基本性質和計算 (4)已知級數絕對收斂，級數條件收斂， 則 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】 由級數絕對收斂，且當∞時 ，故,即 由級數條件收斂，知 綜上所述，本題正確答案是(D) 【考點】高等數學—無窮級數—數項級數斂散性の判定 (5)設,其中為 任意常數，則下列向量組線性相關の為 (A) (B) (C) (D) 【答案】C。 【解析】 個維向量相關 顯然 所以必線性相關 綜上所述，本題正確答案是(C)。 【考點】線性代數—向量—向量組の線性相關和線性無關(6)設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若 ,則 (A) (B) 2020年全国硕士研究生入学统一考试 数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为（） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22 00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限2200 (,)lim x y f x y x y →→+存在 （4）设2k x k e I e =? sin x d x (k=1,2,3),则有D （A ）I 1< I 2 2012年考研数学真题(完整版) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给 出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线 22 1 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)() x x nx y x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( ) (A) 1 (1) (1)! n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1 (1) ! n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( ) (A) 若极限0 (,) lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (B) 若极限2 2 (,) lim x y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限0 (,) lim x y f x y x y →→+存在 (D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2 2 (,) lim x y f x y x y →→+存在 (4)设2 sin (1,2,3) k x K e xdx k π ==? I 则有 ( ) (A)1 2 3 I I I << (B) 3 21 I I I << (C) 2 31 I I I << (D)2 13 I I I << (5)设 1100C α?? ? = ? ??? , 2201C α?? ? = ? ??? , 3311C α?? ? =- ? ??? , 4411C α-?? ? = ? ??? ,其中1 2 3 4 ,,,C C C C 为任意常 数，则下列向量组线性相关的为( ) (A)1 2 3 ,,ααα (B) 1 2 4 ,,ααα (C)1 3 4 ,,ααα (D)2 3 4 ,,ααα (6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -?? ? = ? ??? . 若P=（1 2 3 ,,ααα），1 2 2 3 (,,)ααααα=+，则1 Q AQ -= ( ) (A) 100020001?? ? ? ??? (B) 100010002?? ? ? ??? (C) 200010002?? ? ? ??? (D) 200020001?? ? ? ??? (7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数 为4的指数分布，则{}p X Y <=( ) (A) 15 (B) 1 3 (C) 25 (D) 4 5 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关 系数为 ( ) (A) 1 (B) 12 (C) 1 2- (D)1- 二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．． 指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'' ' ()()2()0f x f x f x +-=及'' ()()2f x f x e +=，则()f x = (10)2 x =?2012年考研数学三试题
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