专题1.3 三角形中的边角关系、命题与证明章章末重难点题型
考点1 三角形的概念
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．
按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
例题1下列说法正确的有（）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两边相等；
④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
A．①②B．①③④C．③④D．①②④
【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可；
②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论；
③根据等腰三角形的定义进行解答；
④根据三角形按角分类情况可得答案．
【解析】①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形，
∴等腰三角形不一定是等边三角形，
∴①错误；
②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，
∴②错误；
③∵两边相等的三角形称为等腰三角形，
∴③正确；
④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴④正确．
故选：C．
【小结】本题主要考查了与三角形相关的知识，熟练掌握三角形的分类是解答此题的关键．
变式1下列说法正确的是（）
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形
【分析】根据钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等边三角形和等腰三角形之间的关系，分别进行判断，即可求出答案．
【解析】A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误；
C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误；
D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确；
故选：D．
【小结】此题考查了三角形，此题利用等边三角形和等腰三角形的定义和性质分别进行判断．
变式2如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（）
A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形
C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形
D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形
【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
【解析】根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形．
故选：D．
【小结】解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小．
变式3已知a、b、c为三个正整数，如果a+b+c＝12，那么以a、b、c为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据a、b、c是三个正整数，且a+b+c＝12，分情况讨论得出．
【解析】∵a、b、c是三个正整数，且a+b+c＝12，
∴所有a、b、c可能出现的情况如下：①2，5，5②3，4，5，③4，4，4，
∴分别是：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形，
∴正确结论是①②③．故选：C．
【小结】本题主要考查了学生分类讨论的能力和特殊三角形的判定方法，难度适中
考点2 三角形中“三线”概念辨析
解决此类问题的关键是掌握三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
例题2下列说法错误的是（）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
【解析】A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；
C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．
故选：D．
【小结】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．
变式4下列说法中错误的是（）
A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部
B．三角形三条中线都在三角形的内部
C．三角形三条角平分线都在三角形的内部
D．三角形三条高都在三角形的内部
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A、三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确；
B、三角形三条中线都在三角形的内部，故正确；
C、三角形三条角平分线都在三角形的内部，故正确．
D、直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，故错误．
故选：D．
【小结】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．
变式5如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）
A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解析】∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，
∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【小结】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．
变式6如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD 于H，下列判断，其中正确的个数是（）
①BG是△ABD中边AD上的中线；
②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；
③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．
【解析】①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；
②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；
③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线，故正确．【小结】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．
考点3 三角形中线的应用（面积问题）
解决此类问题的关键是三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．
例题3如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）
A．6B．4C．3D．2
【分析】根据S△ABC＝12和点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，即可得到△DEC的面积，从而可以解答本题．
【解析】∵S△ABC＝12，点D是AB边上的中点，∴S△ACD＝S△BCD＝6，
又∵点E是BC边上的中点，∴S△BDE＝S△CDE＝3，
即阴影部分的面积是3，故选：C．
【小结】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式7如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（）
A．2cm2B．3cm2C．4cm2D．5cm2
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，从而计算△BEC的面积，根据EF＝2FC，可得结论．
【解析】∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，∴S△BEC=1
2S△ABC＝6cm
2．
∵EF＝2FC，∴S△BEF=2
3S△BCE，∴S△BEF=
2
3S△BEC＝4cm
2．
故选：C．
【小结】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
变式8如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD ＝2DC，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是（）
A．42B．48C．54D．60
【分析】根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出S△CGD，S△CGE的大小，进而求出S△BCE的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用S△BCE的面积乘以2，求出△ABC的面积即可．
【解析】∵BD＝2DC，∴S△CGD=1
2S△BGD=
1
2
×16＝8；
∵E是AC的中点，∴S△CGE＝S△BGE＝6，
∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE＝16+8+6＝30
∴△ABC的面积是：30×2＝60．故选：D．
【小结】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：三
角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．
变式9如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解析】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，
∴S△CGE＝S△AGE=1
3S△ACF，S△BGF＝S△BGD=
1
3S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF=1
2S△ABC=
1
2
×12＝6，∴S△CGE=13S△ACF=13×6＝2，S△BGF=13S△BCF=13×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．
故选：B．
【小结】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
考点4 三角形中线的应用（周长问题）
解决此类问题的关键是掌握三角形的中线将所在边分成两条相等的线段，利用线段之间的等量代换或方程思想即可解决周长问题．
例题4如图，已知BD是△ABC中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是（）
A．9B．14C．16D．不能确定
【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．
【解析】∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，
【小结】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．
变式10 【变式4-1】（2019秋?旌阳区校级月考）在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，△ADC 的周长比△ABD 的周长多3，AB 与AC 的和为13，则AC 的长为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【分析】根据三角形的中线的定义得到BD ＝DC ，根据三角形的周长公式得到AC ﹣AB ＝3，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【解析】∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝DC ，
由题意得，（AC +CD +AD ）﹣（AB +BD ﹣AD ）＝3， 整理得，AC ﹣AB ＝3， 则{AC ?AB =3AC +AB =13， 解得，{AC =8
AB =5，
故选：B ．
【小结】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
变式11 已知AD 是△ABC 的中线，若△ABD 与△ACD 的周长分别是14和12．△ABC 的周长是20，则AD 的长为 ．
【分析】根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【解析】∵△ABD 与△ACD 的周长分别是14和12， ∴AB +BC +AC +2AD ＝14+12＝26， ∵△ABC 的周长是20， ∴AB +BC +AC ＝20， ∴2AD ＝26﹣20＝6， ∴AD ＝3． 故答案为3．
【小结】本题考查了三角形的\中线和高，熟记三角形的周长公式是解题的关键．
变式12 如图，在△ABC 中（AC ＞AB ），AC ＝2BC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，求AC 和AB 的长．
【分析】先根据AD 是BC 边上的中线得出BD ＝CD ，设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝4x ，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可． 【解析】设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝2BC ＝4x ，
∵BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，AC ＞AB ， ∴AC +CD ＝60，AB +BD ＝40， 即{4x +x =60x +y =40，解得：{x =12y =28
， 当AB ＝28，BC ＝24，AC ＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形， 所以AC ＝48，AB ＝28．
【小结】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，等得出方程组是解此题的关键．
考点5 三角形的三边关系
掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.
例题5 4根小木棒的长度分别为2cm ，3cm ，4cm 和5cm ．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解． 【解析】任取3根可以有一下几组： ①2cm ，3cm ，4cm ，能够组成三角形，
②2cm ，3cm ，5cm ，∵2+3＝5，∴不能组成三角形； ③2cm ，4cm ，5cm ，能组成三角形， ③3cm ，4cm ，5cm ，能组成三角形， ∴可以搭出不同的三角形3个．
【小结】本题考查了三角形的三边关系，按照一定的顺序进行分组才能做到不重不漏．
变式13长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）
A．4B．5C．6D．7
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【解析】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．
故选：B．
【小结】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．
变式14已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝．
【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项求解．【解析】∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
故答案为：a﹣3b+c．
【小结】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b ﹣c＜0．
变式15△ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有个．
【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．
【解析】根据已知条件和三角形的三边关系，得
当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；
当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；
当a＝8，b＝5时，则c＝4．
则满足条件的三角形共有9个．
故答案为：9．
【小结】考查了三角形三边关系，此题要能够把已知条件和三角形的三边关系结合起来考虑．
考点6 三角形的三边关系（证明题）
掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.
例题6已知在△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD﹣BC＜AD﹣AB．
【分析】由三角形的三边关系可得BD﹣BC＜AD﹣AC，即可得结论．
【解析】证明：∵△BCD中，BD﹣BC＜CD，∴BD﹣BC＜AD﹣AC，且AB＝AC，∴BD﹣BC＜AD﹣AB，【小结】本题考查了三角形三边关系，熟练运用三角形的三边关系可求解．
变式16如图，点P是△ABC内任意一点，求证：P A+PB+PC＞1
2AB+
1
2BC+
1
2AC．
【分析】根据三角形的三边关系可得出结论．
【解析】证明：∵P A+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+P A＞AC．
∴把它们相加，再除以2，得P A+PB+PC＞1
2AB+
1
2BC+
1
2AC．
【小结】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键．
变式17如图，O是△ABC内的一点，连结OB，OC，求证：AB+AC＞OB+OC．
【分析】根据三角形的三边关系证得AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，从而得到AB+AD+CD＞OB+OC，进而得到AB+AC＞OB+OC．
【解析】证明：如上右图，延长BO交AC于点D，
∵AB+AD＞OB+OD，OD+CD＞OC，∴AB+AD+CD＞OB+OC，
即：AB+AC＞OB+OC．
【小结】本题考出了三角形的三边关系，解题的关键是作辅助线构造三角形．
变式18观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论．
（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP+PC AB+AC（填“＞”、“＜”或“＝”）（2）将（1）中点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据三角形中两边之和大于第三边，即可得出结果，
（2）可延长BP交AC与M，根据两边之和大于第三边，即可得出结果，
（3）分别延长BP1、CP2交于M，再根据（2）中得出的BM+CM＜AB+AC，可得出BP1+P1P2+P2C＜BM+CM ＜AB+AC，即可得出结果．
【解析】（1）BP+PC＜AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，
（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由：
如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM＜AB+AM，在△PMC中，PC＜PM+MC，两式相加得BP+PC ＜AB+AC，于是得：△BPC的周长＜△ABC的周长，
（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长，理由：
如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM＜AB+AC，又P1P2＜P1M+P2M，
可得，BP1+P1P2+P2C＜BM+CM＜AB+AC，可得结论．
【小结】本题考查了比较线段的长短常常利用三角形的三边关系以及不等式的性质，通过作辅助线进行解答，难度较大．
考点7 利用三角形的高和角平分线性质求角
例题7如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．
【解析】（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．
（2）∵B＝α，∠C＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°?1
2（α+β），
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°?1
2（α+β），
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DFE＝90°﹣∠ADE=1
2（β﹣α）．
【小结】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
变式19如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当点P在线段AD上运动时，求证：∠E=1
2
(∠ACB?∠B)．
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解析】（1）解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．
∴∠ADC＝65°．
又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°
（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1
2∠BAC＝90°?
1
2（∠B+∠ACB）．
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°?1
2（∠ACB﹣∠B）．
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．
∴∠E＝90°﹣∠ADC，
即∠E=1
2（∠ACB﹣∠B）．
【小结】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
变式20如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据三角形的内角定理即可得到结论．
【解析】（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=25°，
∵FG⊥AE，
∴∠AHG＝90°，
∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，
∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
变式21△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；
（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；
（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得到∠CAG=1
2
∠EAC=12（90°﹣α）＝45°?12α，∠BCG=12∠BCF=
1
2（180°﹣α）＝90°?1
2
α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=1
2∠BAC＝39°，
∵AE是BC边上的高，
在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；
（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=1
2∠BAC＝90°?
1
2（∠B+∠C），
∵AE是BC边上的高，
在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°?1
2（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）=
1
2（∠C﹣∠B）；
（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAG=1
2
∠EAC=12（90°﹣α）＝45°?12α，∠BCG=12∠BCF=12（180°﹣α）＝90°?12α，
∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°?1
2
α）﹣α﹣（90°?12α）＝45°．
【小结】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．
考点8 直角三角板中的求角度问题
例题8将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）
A．85°B．75°C．65°D．60°
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解析】如图所示，
∵∠BCD＝60°，∠BCA＝45°，∴∠ACD＝∠BCD﹣∠BCA＝60°﹣45°＝15°，
∠α＝180°﹣∠D﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故选：B．
【小结】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
变式22一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（）
A．∠α+∠β＝180°B．∠α+∠β＝225°C．∠α+∠β＝270°D．∠α＝∠β
【分析】根据四边形的内角和定理即可得到结论．
【解析】如上右图，∵∠1＝α，∠2＝β，
在四边形ABCD中，∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，∴α+β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．
故选：B．
【小结】本题考查了直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
变式23如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝°，∠DBC+∠DCB＝°∠ABD+∠ACD＝°．（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝°．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（2）根据三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠DBC＝90°，进而可求出∠ABD+∠ACD的度数；
（3）根据三角形内角和定义有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A＝180°，则∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．【解析】（1）在△ABC中，∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝140°﹣90°＝50°；
故答案为：140；90；50．
（2）在△ABC中，∵∠A＝55°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣55°＝125°，
在△DBC中，∵∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝125°﹣90°＝35°，
故答案为：35；
（3）∠ABD+∠ACD与∠A之间的数量关系为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．证明如下：
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．在△DBC中，∠DBC+∠DCB＝90°．
∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣∠A﹣90°．∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ABD+∠ACD＝90°﹣∠A．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解答的关键．
第13章测试题 姓名 一、选择题 1．下列语句中，属于定义的是（ ）． A ．直线A B 和CD 垂直吗 B ．过线段AB 的中点 C 画AB 的垂线 C ．数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数 D ．同旁内角互补，两直线平行 2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）． A ．垂直 B ．两条直线 C ．同一条直线 D ．两条直线垂直于同一条直线 3．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ） A ．形状相同的三角形 B ．面积相等的三角形 C ．直角三角形 D ．周长相等的三角形 4．已知△ABC 的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．在三角形的内角中，至少有（ ） A ．一个钝角 B ．一个直角 C ．一个锐角 D ．两个锐角 6．如图，ABC △中，50A =∠，点D E ，分别在AB AC ，上，则12+∠∠的大小为 （ ） A ． B ．230 C ．180 D ．310 7．如图，在锐角△ABC 中，CD 和BE 分别是AB 和AC 边上的高，且CD 和BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ）．A ．150° B ．130° C ．120° D ．100° 8．如图，AD 是∠CAE 的平分线，∠B=300, ∠DAE=600，那么∠ACD 等于（ ） A ．900 B ．600 C ．800 D ．1000 9．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为8，则它的周长为（ ） A ．18 B ．21 C ．13 D ．18或21 10．如图所示，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠A=650, 那么∠BDC 等于（ ） A ．122.50 B ．187.50 C ．178.50 D ．1150 二、填空题 1．写出图中以AB 为边的三角形_____________________________________________. 2．已知，如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D （1）图中有_________个直角三角形，它们是_____________________________; （2）∠A=________，理由是___________________________________________. 3．如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________． 4．如图，已知DB 平分∠ADE ，DE ∥AB ，∠CDE=82°，则∠EDB=_____，∠A=______． 5．三角形一边上的高与另两边的夹角分别为620和280，则这边对应的角的度数为= . 三、解答题 1．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=630,求∠DAC 的度数. 2．已知：如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的角平分线，BH 是∠ABC 的平分线, ∠A=58°. 求∠H 的度数. B A B C D H 第7 第4题 第3题 第8题 A E B C D 第10 C 3 2 1 4 A B D
第13章三角形中的边角关系、命题与证 明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中的边角关系(一) 教学目标 【知识与技能】 1.认识三角形,理解三角形的边角关系. 2.知道三角形的高、中线、角平分线等概念,并能作出三角形的一边上的高. 3.理解等腰三角形及其相关概念. 【过程与方法】 1.经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系. 2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题. 【情感、态度与价值观】 1.带领学生探究三角形的边角关系问题,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲. 2.帮助学生树立几何知识源于生活并服务于生活的意识. 重点难点 【重点】 理解并掌握三角形的三边关系. 【难点】 已知三条线段能构成三角形,求表示线段长度的代数式中字母的取值范围. 教学过程 一、创设情境,导入新知 教师多媒体出示: 教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放,让学生对三角形有一个感性认识,如图所示. 教师活动:通过播放图片,引导学生认识三角形,并提出:图(b)中能找出几个三角形,这些三角形具有怎样的特性? 学生活动:回顾小学学过的三角形,与同桌交流,找出图(b)中的三角形. 教师归纳:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 教师多媒体出示:
师:你能指出这个三角形的顶点有几个吗?分别是什么? 生:这个三角形的顶点有三个,分别是A、B、C. 师:这个三角形的边呢? 生:边有三条,分别是AB、BC和CA. 师:对.我们把这个三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示.如边AB对着∠C,记作c;边BC对着∠A,记作a;边CA对着∠B,记作b.也就是说,一边可用两个大写字母或一个小写字母表示,角可用“∠”加上一个大写字母表示. 师:按边分类时,你知道的都有哪些三角形? 生:等边三角形. 师:等边三角形是三条边都相等的三角形.如果不是三条边都相等,比如两条边相等,这类三角形叫什么三角形呢? 生:等腰三角形. 师:对,等边三角形是等腰三角形的特例.如果三条边都不相等呢? 学生思考. 师:我们把这类三角形叫做不等边三角形. 教师多媒体出示: 教师板书: 三角形(按边分) 师:在等腰三角形中,你能区分哪条边是腰,哪条边是底吗? 生:相等的两边叫做腰,第三边叫做底边. 师:对.我们现在再来认识一下顶角和底角.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角. 二、共同探究,获取新知 师:请大家任意画出一个三角形,用刻度尺测量一下,并说说任意两边之和与第三边的关系. 学生操作. 生:任意两边之和大于第三边. 师:对,你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢? 生:由所有两点之间的连线中线段最短得到. 教师板书: 三角形中任何两边的和大于第三边. 师:对.根据不等式的性质,我们能得到三角形中任意两边的差小于第三边.(教师板书)如果三条线段要构成一个三角形,它们就要满足这两个条件,但是在实际计算中,需要验证六个不等式都成立吗? 学生思考,讨论. 师:不等式a+b>c,你把a移到不等式的右边,这个不等式如何表示? 生:b>c-a. 师:对,也就是c-a 期末复习三角形中的边角关系、命题与证明 类型一 三角形的有关概念 1.已知AD ,AE 分别是△ABC 的中线和角平分线,则下列结论中错误的是 ( )A .BD=BC B .BC=2CD 12 C .∠BAE=∠BAC D .∠BAC=2∠CAD 122.如图QM3-1所示: 图QM3-1 (1)在△ABC 中,BC 边上的高是 ; (2)在△AEC 中,AE 边上的高是 . 3.如图QM3-2,回答下列问题: (1)图中有几个三角形?试写出这些三角形; (2)∠1是哪个三角形的内角? (3)以CE 为一条边的三角形有几个?是哪几个? 图QM3-2 类型二 三角形中三边关系的应用 4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x 千米远,则x 的值应满足 ( )A .x=3B .x=3或x=7C .3 8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2?3?4,则∠B的度数为 ( ) A.120° B.80° C.60° D.40° 9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是( ) 图QM3-3 A.45° B.50° C.60° D.75° 10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2, 求∠BPC的度数. 图QM3-4 类型四 命题与证明 11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命 题: . 12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可). 13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥ b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确 的命题. 专题讲练：二角形边角关系及命题与证 明重难点问题 ※题型讲练 【例1】设厶ABC 的三边a , b ,c 的长度均为自然数， a + b + C =13 ,求以a , b , c 为三边的三角形共有多少 个 A B 【例5】已在 △ ABC 中，AB=AC, AC 上中线BD 把△ ABC 周长分别24和18两部分，求△ ABC 的三边长. 【例2】如图，已知P 是厶ABC 内一点，连结AP, PB,PC, 在某个区域时，连接 PA PB,得到/ PBD / PAC 两个角. 【例 3】在厶ABC 中，/ A 中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题附详细答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2＝2CD?OE； （3）若 314 cos, 53 BAD BE ∠==，求OE的长． 【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =35 6 ． 【解析】 试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线； （2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得； （3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得． 试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下： 连接OD，BD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， 在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE， ∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∵∠ABC=90°， ∴∠C+∠A=90°， ∴∠ADO+∠CDE=90°， ∴∠ODE=90°， ∴DE⊥OD，又OD为圆的半径， ∴DE为⊙O的切线； （2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴AC=2OE， ∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即BC2=AC?CD． ∴BC2=2CD?OE； （3）解：∵cos∠BAD=， ∴sin∠BAC=， 又∵BE=，E是BC的中点，即BC=， ∴AC=． 又∵AC=2OE， ∴OE=AC=． 考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数 2．如图①，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点． （1）试求抛物线的解析式； 第十三章三角形边角关系及命题与证明 一、单选题 1．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（） A． 3和4 B． 1和2 C． 2和3 D． 4和5 2．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（） A． 45° B． 45°或135° C． 45°或125° D． 135° 3．下列说法中正确的是（） A．两条射线组成的图形叫做角 B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类 C．射线就是直线 D．两点之间的所有连线中，线段最短 4．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，C、D 两点落到、处已知 ，且，则的度数为 A． B． C． D． 5．已知如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO、AO分别平分∠ABC 和∠BAC，求∠BCO的大小（）A． 35° B． 40° C． 55° D． 60° 6．下列命题中，属于真命题的是（） A．同位角相等 B．任意三角形的外角一定大于内角 C．多边形的内角和等于180° D．同角或等角的余角相等 7．如图：在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CD ，如果， 则△AGC的面积的最大值是（） A． B． 8 C． D． 6 8．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C． 试卷第1页，总4页 其中正确的是（） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 9．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH、 四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG的面积为（） A． 7 B． 8 C． 9 D． 10 10．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依 此类推，则S5的值为（） A． B． C． D． 二、填空题 11．对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1=∠2”,能说明它是假命题的反例 是_____. 12．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边 △ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为_____． 13．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是_____． 14．如图，中，，、分别平分，，则________， 若、分别平分，的外角平分线，则________． 15．三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为______． 三、解答题 试卷第2页，总4页 专题讲练：三角形边角关系及命题与证 明重难点问题 ※题型讲练 【例1】设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数，a + b + c=13 , 求以a , b , c为三边的三角形共有多少个 【例2】如图,已知P是△ABC内一点,连结AP，PB,PC, 求证:(1)PA+PB+PC < AB+AC+BC (2) PA+PB+PC > 2 1 (AB+AC+BC) 【例3】在△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B 的取值范围. 【例4】△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G， GH⊥BC。 求证：∠BGD=∠CGH. 【例5】已在△ABC中，AB=AC，AC上中线BD把△ABC 周长分别24和18两部分，求△ABC的三边长. 【例6】如图，已知：AB∠∠∠360? 【例9】如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条 直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线 上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图 中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落 在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角． （1）如图(1)，当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD度数； （2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=度 （3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD 之间的等量关系． ※课后练习 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形 的最大内角的度数是． 2．若ABC的三个内角满足3A>5B，3C<2B，则 三角形是（） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．都有可能 3．如图5， 12 // l l，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=。 4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D 分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°， 那么∠BEG= . 5．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三 条线段组成一个三角形，求a的取值范围. E A B D G A B C E F 中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题及答案 一、直角三角形的边角关系 1．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到 1cm ）？ 【答案】 【解析】 过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可． 2．在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，点P 是CD 边上的任意一点（不含C ，D 两端点），过点P 作PF ∥BC ，交对角线BD 于点F ． （1）如图1，将△PDF 沿对角线BD 翻折得到△QDF ，QF 交AD 于点E ．求证：△DEF 是等腰三角形； （2）如图2，将△PDF 绕点D 逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C ，F'B ．设旋转角为α（0°＜α＜180°）． ①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时，求证：△DP'C ∽△DF'B ． ②如图3，若点P 是CD 的中点，△DF'B 能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan ∠DBF'的值，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或 3 . 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF ，所以△DEF 是等腰三角形； （2）①由于PF ∥BC ，所以△DPF ∽△DCB ，从而易证△DP′F′∽△DCB ； ②由于△DF'B 是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论． 【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ ， ∵PF ∥BC ， ∴∠DFP=∠ADF ， ∴∠DFQ=∠ADF ， ∴△DEF 是等腰三角形； （2）①若0°＜α＜∠BDC ，即DF'在∠BDC 的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF ， ∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF ﹣∠F′DC ， ∴∠P′DC=∠F′DB ， 由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF ， ∵PF ∥BC ， ∴△DPF ∽△DCB ， ∴△DP′F′∽△DCB ∴ ' ' DC DP DB DF = ， ∴△DP'C ∽△DF'B ； ②当∠F′DB=90°时，如图所示， ∵DF′=DF=1 2 BD ， ∴ '1 2 DF BD =， ∴tan ∠DBF′= '1 2 DF BD =； 《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》 学习要求： 1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。 2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。 3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。 4．了解三角形的稳定性。 知识要点： 一、三角形中的边角关系 1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。 注意：三角形的中线平分三角形的面积。 2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法 是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。 3．三角形各角之间的关系： ①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。 ②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4．三角形的分类 ①三角形按边的关系可以如下分类： ?? ? ?????等边三角形 角形底和腰不相等的等腰三 等腰三角形不等边三角形三角形 ②三角形按角的关系可以如下分类： ?? ? ??????) ()() (形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt 5．三角形具有稳定性。 知识结构： 二、命题与证明 1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。 2．命题都可以写成：“如果……，那么……。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。 3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。 4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。 5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。 6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。 第13章《三角形的边角关系、命题与证明》期末总复习资料教学设计 Chapter 13 teaching design of the final review materials of "triangle's edge angle relationshi p, proposition and proof" 第13章《三角形的边角关系、命题与证明》期末总复习资料教学设计 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是初中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 一、三角形的概念（要注意“不在同一直线上”） 二、三角形边的关系 1、按边分类：不等边三角形； 等腰三角形（包括等边三角形） 2、特殊三角形：等腰三角形，腰、底边；顶角、底角。 3、三边之间关系：三角形任何两边之和大于第三边 三角形任何两边之差小于第三边 4、三边关系应用：已知两边求第三边取值范围（第三边小于两边之和、大于两边之差的绝对值）； 已知三条线段的长，判断能否构成三角形 （只要看“两条较小线段的长度和是否大于最长线段） 证明线段不等关系 （只要是证明线段不等关系的题目，都要考虑用”三角形两边之和大于第三边“来证，那么。首先要出现三角形，然后在三 角形中来证明） 三、三角形角之间关系 1、按角分类：直角三角形； 斜三角形（包括锐角三角形和钝角三角形） 2、特殊三角形：直角三角形，直角边、斜边。 3、三角之间关系：三角形内角和是180度 4、三角关系应用：求角度 证明角的不等关系 四、三角形中重要线段 1、三角形的角平分线 （1、三角形的角平分线是线段， 2、角平分线的交点叫三角形的内心） 2、三角形的中线 （1、中线把三角形分成了两个面积相等的三角形， 2、中线的交点叫重心， 3、遇到中线的问题如果难以解决，则加倍延长中线） 3、三角形的高 （1、高并不一定在内部， 2、把握高的定义是作三角形高的基础， 3、高的交点叫垂心， 4、牵扯到高的题目通常用面积相等来解决） 探究几何图形的性质可以通过观察、操作和实验的方法。但 专题1.3 三角形中的边角关系、命题与证明章章末重难点题型 考点1 三角形的概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边． 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． 例题1下列说法正确的有（） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①②B．①③④C．③④D．①②④ 【分析】①根据等腰三角形及等边三角形的定义进行解答即可； ②由三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，可得结论； ③根据等腰三角形的定义进行解答； ④根据三角形按角分类情况可得答案． 【解析】①∵有两个边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的三角形叫等边三角形， ∴等腰三角形不一定是等边三角形， ∴①错误； ②∵三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形， ∴②错误； ③∵两边相等的三角形称为等腰三角形， ∴③正确； ④∵三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， ∴④正确． 故选：C． 【小结】本题主要考查了与三角形相关的知识，熟练掌握三角形的分类是解答此题的关键． 变式1下列说法正确的是（） A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形 C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形 【分析】根据钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等边三角形和等腰三角形之间的关系，分别进行判断，即可求出答案． 【解析】A、一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误； B、一个等腰三角形不一定是锐角三角形，或直角三角形，故本选项错误； C、一个直角三角形不一定不是等腰三角形，一定不是等边三角形，故本选项错误； D、一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形，故本选项正确； 故选：D． 【小结】此题考查了三角形，此题利用等边三角形和等腰三角形的定义和性质分别进行判断． 变式2如图所示，在△ABC中，∠ACB是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（） A．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 B．△ABC将变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形 C．△ABC将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形 D．△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形 【分析】因为BC边变大，∠A也随着变大，∠C在变小．所以此题的变化为：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 【解析】根据∠A的旋转变化规律可知：△ABC先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，然后再次变为钝角三角形． 故选：D． 【小结】解题时要注意三角形的变化：∠B不变，∠A变大，∠C在变小． 数学《三角形的边角关系、命题与证明》期末总 复习资料 数学《三角形的边角关系、命题与证明》期末总复习资料 本章需要理解掌握的知识点有： 一、三角形的概念（要注意“不在同一直线上”） 二、三角形边的关系 1、按边分类：不等边三角形； 等腰三角形（包括等边三角形） 2、特殊三角形：等腰三角形，腰、底边；顶角、底角。 3、三边之间关系：三角形任何两边之和大于第三边 三角形任何两边之差小于第三边 4、三边关系应用：已知两边求第三边取值范围（第三边小于两边之和、大于两边之差的绝对值）； 已知三条线段的长，判断能否构成三角形 （只要看“两条较小线段的.长度和是否大于最长线段） 证明线段不等关系 （只要是证明线段不等关系的题目，都要考虑用”三角形两边之和大于第三边“来证，那么。首先要出现三角形，然后在三角形中来证明） 三、三角形角之间关系 1、按角分类：直角三角形； 斜三角形（包括锐角三角形和钝角三角形） 2、特殊三角形：直角三角形，直角边、斜边。 3、三角之间关系：三角形内角和是180度 4、三角关系应用：求角度 证明角的不等关系 四、三角形中重要线段 1、三角形的角平分线(1、三角形的角平分线是线段， 2、角平分线的交点叫三角形的内心) 2、三角形的中线（1、中线把三角形分成了两个面积相等的三角形，2、中线的交点叫重心， 3、遇到中线的问题如果难以解决，则加倍延长中线） 3、三角形的高（1、高并不一定在内部，2、把握高的定义是作三角形高的基础，3、高的交点叫垂心， 4、牵扯到高的题目通常用面积相等来解决） 探究几何图形的性质可以通过观察、操作和实验的方法。但这些方法得到的结论有时候是近似的、甚至是错误的。要想结论使人信服就要用到推理、推理就需要思维、思维就需要作出判断，判断的语句就是命题。 五、命题 1、命题的定义 2、真、假命题 3、命题的构成 4、命题的形式 5、互逆命题 三角形边角不等式关系练习题 一、边的不等关系证明 1、如图1，在△ABC 的边AB 上截取AD=AC ，连结CD ， （1）说明2AD ＞CD 的理由（填空）； 解：∵AD+AC ＞CD （ ） 又∵AD=AC （ ） ∴AD+AD ＞CD （ ） ∴2AD ＞CD （2）说明BD ＜BC 的理由。 解：∵_______＜BC （ ） 又∵AD=AC （ ） ∴AB –AD ＜BC （ ） 而AB –AD=BD ∴BD ＜BC （ ） 2、如图2，△ABC 中，AB=BC ，D 是AB 延长线上的点，说明AD ＞DC 的理由。 2、如图3，已知P 是△ABC 内任意一点，则有AB+AC ＞PB+PC. A B C D A B C D 图3 图2 图1 3. 如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC成立吗?说明你的理由． 4.如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD－BC＜AD－AB． 5．如图，△ABC中，D是AB上一点．求证：（1）AB＋BC＋CA＞2CD；（2）AB＋2CD＞AC＋BC． 6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证：AB+AE+1 2 BC>AD+AC 证明：∵AD⊥BC( ) ∴AB＞AD( ) 在△AEC中， AE+EC>AC( )又∵AE为中线( ) ∴EC= 12BC( )即AE+1 2 BC>AC( ) ∴AB+AE+ 1 2 BC ＞AD+AC 7.已知如图：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE. 参考答案 2.解：延长BP 交AC 于E ，在△PEC 中，PE+EC ＞PC ∴BP+EP+EC ＞BP+PC 即BE+EC ＞BP+PC. 在△ABE 中，AE+AB ＞BE ∴AE+EC+AB ＞BE+EC ， 即AC+AB ＞BE+EC ，∴AB+AC ＞PB+PC －AB ＝AC ＋CD －AB ＝CD ，∵ BD －BC ＜CD ，∴ BD －BC ＜AD －AB ． 5.（1）AC ＋AD ＞CD ，BC ＋BD ＞CD ，两式相加：AB ＋BC ＋CA ＞2CD ． （2）AD ＋CD ＞AC ，BD ＋CD ＞BC ，两式相加：AB ＋2CD ＞AC ＋BC ． 7.（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;（1） 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ； （2） 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ； （3） 由（1）＋（2）＋（3）得： AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC A C E P B A B C D E N M A C D E F G 图2 1、 如图,BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 、CF 相交于点G,∠BDC=140°, ∠BGC=110°。求∠A 的度数. 2、如图1,△ABC 中,点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点． （1）求∠P 与∠A 有怎样的大小关系？ （2）如图2,点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系. （3）如图3,点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系. 3、如图1,在△ABC 中,AD ⊥BC,AE 是角平分线, （1）求∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系; （2）如图2,AE 是∠BAC 的角平分线,FD 垂直于BC 于D,求∠DFE 与∠B 、∠C 之间的关系. E G A B D C F 图1 （3）如图3，当点F在AE延长线上时，FD仍垂直于BC于D，继续探讨∠DFE与∠B、∠C 的关系 4、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE的大小. 5△ABC中,AD、BE、CF是角平分线,交点是点G,GH⊥BC 求证：∠BGD=∠CGH. E D C B A F G A B C D E F H F 图3 6．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置． Q 并说明理由． （2）如果A′落在四边形BCDE的BE边上，这时图1中的∠1变为0°角，则∠A′与∠2之间的关系是． （3）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由． 7已知∠MON，点A，B分别在射线ON，OM上移动（不与点O重合），AD平分∠BAN， BC平分∠ABM，直线AD，BC相交于点C． （1）如图1，若∠MON=90°，试猜想∠ACB的度数，并直接写出结果； （2）如图2，若∠MON=α，问：当点A，B在射线ON，OM上运动的过程中，∠ACB的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含α的式子表示）；若改变，请说明理由； 章末达标测试 一、选择题(每题3分，共30分) 1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为() A．40°B．50°C．60°D．100° 2．已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是() A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm 3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设() A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a与b相交D．a⊥b 4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是() A．3，4， 5 B．1，2， 3 C．6，7，8 D．2，3，4 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是() A．30°B．35°C．40°D．45° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为() A．5 B．6 C．8 D．10 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是() A．∠CAD＝30°B．AD＝BD C．BE＝2CD D．CD＝ED 8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD() A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD 9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于1 2AB的长为半径画弧， 两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为() A．7 B．14 C．17 D．20 10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论： ①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF； ③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD. 其中结论正确的有() A．1个B．2个C．3个D．4个 二、填空题(每题3分，共30分) 11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________． 12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________． 一、选择题（每小题3分，共30 分） 1、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ 2、下列语句中，不是命题的是 3、下列命题中，假命题是（ 4、若^ ABC 的三个内角满足关系式/ B +/ C=3/ A ,则这个三角形（ C. 一定是直角三角形 5、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，贝U 它是（ A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 6、下列命题中正确的是（ △ ABC 中，如果/ A>/ B>/ C,那么/ A>60° , / C<60° 7、若一个三角形的三个内角的度数之比为1: 2: 3,那么相对应的三个外角的度数之比为（ ） 三角形中的边角关系复习试题 60分钟） （满分：100分时间: 姓名 得分 A. 1，1，2 B. 3, 7, 11 C . 6, 8, D. 3, 3, 6 A.两点之间线段最短 .对顶角相等 C 不是对顶角不相等 .过直线AB 外一点P 作直线AB 的垂线 A.如果|a|=a ，贝U a 》0 .如果世'二护，那么a=b 或a=-b C.如果 ab>0,则 a>0, b>0 若/?0，则a 是一个负数 A. 一定有一个内角为45° B . 一定有一个内角为60° 定是钝角三角形 A. 三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B. 等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角 C. 三角形外角一定是钝角 D. A. 3: 2: 1 B . 5: 4: 3 C . 3: 4: 5 D . 1: 2: 3 8设三角形三边之长分别为3, 8, 1 — 2a ,则a 的取值范围为（ A. — 6 文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支 持。 课题：定理与证明 【学习目标】 1．了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理； 2．经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法以及书写格式，体会演绎推理的意义．【学习重点】 掌握推理方法． 【学习难点】 培养演绎推理意识． 1word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 行为提示： 点燃激情，引发学生思考本节课学什么． 行为提示： 教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案． 教会学生落实重点． 方法指导： 引导学生区分定义、基本事实(公理)和定理． 说明： 注意平行线与三角形内角和的灵活运用，垂直于同一条直线的两直线平行．情景导入生成问题旧知回顾： 1．什么是命题？命题结构是怎样的？什么是真命题？什么是假命题？ 答：对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题．命题通常由题设和结论两部分组成．正确的命题叫真命题．错误的命题叫假命题． 2．什么叫互逆命题？什么是原命题和逆命题？ 答：把一个命题的题设和结论互换得到一个新命题，这两个命题叫互逆命题，其中一个命题叫原命题，另一个是原命题的逆命题． 自学互研生成能力 阅读教材P78的内容，回答下列问题： 什么是定理？它与基本事实有何区别？ 答：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理，定理需要经过证明，而基本事实无需证明． 范例1：“同角或等角的补角相等”是( C) A．定义B．题设C．定理D．假命题 范例2：下列四个命题：①内错角相等，两直线平行；②有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；③过两点有且只有一条直线；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中是定理的是①(填序号)．仿例1：下列说法中错误的是( A) A．所有的命题都是定理B．定理是真命题 C．公理是真命题D．“画线段AB＝CD”不是命题 仿例2：“两条直线相交成直角，就叫两直线互相垂直”这个句子是( A) A．定义B．假命题C．公理D．定理 阅读教材P78～P79的内容，回答下列问题： 什么叫演绎推理？什么叫证明？ 答：从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理．演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明． 范例：下列推理中，错误的是( D) A．∵AB＝CD，CD＝EF，∴AB＝EF B．∵∠α＝∠β，∠β＝∠γ，∴∠α＝∠γ C．∵a∥b，b∥c，∴a∥c D．∵AB⊥EF，EF⊥CD，∴A B⊥CD 仿例：三角形中的边角关系、命题与证明期末复习(含答案)
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