《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》
学习要求：
1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。 4．了解三角形的稳定性。 知识要点：
一、三角形中的边角关系
1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。 注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法
是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：
①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。 ②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4．三角形的分类
①三角形按边的关系可以如下分类：
??
?
?????等边三角形
角形底和腰不相等的等腰三
等腰三角形不等边三角形三角形 ②三角形按角的关系可以如下分类：
??
?
??????)
()()
(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt
5．三角形具有稳定性。
知识结构：
二、命题与证明
1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。
2．命题都可以写成：“如果……，那么……。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。 3．命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。 4．命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。 5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。 6．公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。
7．定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。 8．命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质： （1）两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。
（2）两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。 （3）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（4）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 （5）三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。
（6）三角形全等：“SSS”、“SAS”、“ASA”。全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （7）等腰三角形的判定与性质。 （8）直角三角形的判定与性质。 9．反证法
①假设，②推理，③矛盾，④结论。
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》练习题
一、填空题： 1．三角形的一边是8，另一边是1，第三边如果是整数，则第三边是_______ ____，这个三角形是_______ ____ 三角形。
2．已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为_______ ____。 3．三角形的三边长分别为1-a ，a ，1+a ，则a 的取值范围是_______ ____。 4．三角形的三边为1，a -1，9，则a 的取值范围是_______ ____。
5．已知a ，b ，c 为ΔABC 的三条边，化简(a+b-c)2
－|b －a －c|＝_______ ____。
6．在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，△ABC 的周长为34cm ，△ABD 的周长为30cm ， 求AD 的长。 7．如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ，∠DAB ＝∠DBA ，AC ＝18cm ，△CBD 的周长为28 cm ，则DB ＝_______ ____。
8. 已知等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边的长为_______ ____。 9. 等腰三角形的周长为20cm ，
（1）若其中一边长为6cm ，则腰长为_______ ____； （2）若其中一边长为5cm ，则腰长为_______ ____。
10．等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝6cm ，则△ABC 的周长的取值范围是_______ ____。
11．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三角形的底边长为
_______ ____。
12．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为
_______ ____。
13．写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题_______________________________。
7题图
E
D
C B
A
14．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为_______ ____。 15．三角形的最小角不大于_______ ____度，最大角不小于_______ ____度。
16．三角形的三个内角中至少有_______ ____个锐角，三个外角中最多有_______ ____个锐角。 17．在△ABC 中，若∠C ＝2（∠A ＋∠B ），则∠C ＝_______ ____度。 18．在△ABC 中，∠A ＝
2
1
∠B ＝31∠C ，则∠B ＝_______ ____。
19．如果△ABC 的一个外角等于150°，且∠B ＝∠C ，则∠A ＝_______ ____。
20．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A ＝50°，则∠BDC 的度数是_______ ____。
21．如图，在△ABC 中，∠A ＝80°，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点D ，那么∠BDC ＝_______ ____。 22．纸片△ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内（如图），若∠1＝
20°，则∠2的度数为_______ ____。
（第20题图） （第21题图） （第22题图）
23．纸片△ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 外（如图），若∠2＝20°，则
∠1的度数为_______ ____。
6题图
F
E D C B A
25．如图，已知∠A ＝80°，
（1）若点O 为两角平分线的交点，则∠BOC ＝_______ ____； （2）若点O 为两条高的交点，∠BOC ＝_______ ____。
26. 如图，△ABC 的面积等于2
12cm ，D 为AB 的中点，E 是AC 边上一点，且AE ＝2EC ，O 为DC 与BE 交点， 若△DBO 的面积为2
acm ，△CEO 的面积为2
bcm ，则=-b a _______ ____。
27．如图，△ABC 的∠B 的外角的平分线与∠C 的外角的平分线交于点P ，连接AP 。若∠BPC ＝50°，则
∠PAC ＝_______ ____度。
（第25题图） （第26题图） （第27题图）
28．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝
_______ ____度。
二、选择题：
1．在下列长度的四根木棒中，能与3cm ，7cm 两根木棒围成一个三角形的（ ） A ．7cm B ．4cm C ．3cm D ．10cm
2．若ΔABC 的三边长分别为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的最大边长为（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 3．若△ABC 的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ） A ．6个 B ．7个 C ．8个 D ．9个 4．三角形的三边分别为3，1－2a ，8，则a 的取值范围是（ ）
A.－6＜a ＜－3
B.－5＜a ＜－2
C.2＜a ＜5
D.a ＜－5或a ＞－2
5. 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2011，则满足条件的三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1
7．等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ） A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．不能确定
8．一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．锐角三角形
D ．钝角三角形 9．已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数（ ）
A ．60°
B ．75°
C ．90°
D ．120° 10．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D. 斜三角形 11．三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（ ）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定 12．在ΔABC 中，如果∠A －∠B ＝90°，那么ΔABC 是（ ）
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.斜三角形 13. 三角形中，最大角α的取值范围是（ ）
A. ?<
B. ?<
C. ?<≤?9060α
D. ?<≤?18060α 14．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为（ ）
A ．30°
B ．36°
C ．45°
D ．72°
15．直角三角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（ ）
A.45°
B.135°
C.45°或135°
D.以上答案都不对 16．如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点D 、E 分别在AB 、AC 上，则∠1＋∠2的大小为（ ）
A ．130° B.230° C.180° D.310° 17．已知如图，∠A ＝32°，∠
B ＝45°，∠
C ＝38°则∠DFE 等于（ ）
A.120°
B.115°
C.110°
D.105°
（第16题图） （第17题图）
18．在△ABC 中，∠B ＝50°，AB ＞AC ，则∠A 的取值范围是（ ）
A ．0°＜∠A ＜180°
B ．0°＜∠A ＜800
C ．50°＜∠A ＜130°
D ．80°＜∠A ＜130°
19．若α、β、γ是三角形的三个内角，而βα+=x ，γβ+=y ，αγ+=z ，那么x 、y 、z 中，锐 角的个数的错误判断是（ C ）
A ．可能没有锐角
B ．可能有一个锐角
C ．可能有两个锐角
D ．最多一个锐角
20．如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是
（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．正三角形 21．在ABC 中
⑴如图1，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P ＝90°2
1
+∠A ； ⑵如图2，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P ＝
2
1
∠A ； ⑶如图3，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P ＝90°－2
1
∠A 。
A
D 1 C
E
2
上述说法正确的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
22. 如图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且2
4cm S ABC =?，则S 阴影
等于（ ）
A.2cm 2
B.1cm 2
C.
12cm 2 D.14
cm 2
23．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C ＝90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1＋∠2等于（ ）
A ．315°
B ．270°
C ．180°
D ．135°
5. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，若∠B ＝∠C ，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（ ）
A. ∠1＝2∠2
B. 2∠1＋∠2＝180°
C. ∠1＋3∠2＝180°
D. 3∠1－∠2＝180°
24. 如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，若∠B ＝∠C ，∠1＝∠3，则∠1与∠2的关系为（ ） A. ∠1＝2∠2 B.
C. D.
（第22题图） （第23题图） （第24题图）
25．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 外部A /
的位置，则∠A′、∠1与∠2的数量关系，结
论正确是（ ）
A ．∠1＝∠2＋∠A′
B ．∠1＝2∠2＋2∠A′
C ．2∠1＝∠2＋∠A′
D ．∠1＝2∠A′＋∠2 26．如图，△ABC 的两个外角的平分线相交于D ，若∠B ＝50°，则∠ADC ＝（ ）
A ．60°
B ．80°
C ．65°
D ．40°
27．如图，△ABC 的外角平分线CP 和内角平分线BP 相交于点P ，若∠BPC ＝35°，则∠CAP ＝（ ）
A.45°
B.50°
C.55°
D.65°
（第25题图） （第26题图） （第27题图）
三、解答下列各题：
1．△ABC 的三边长分别为4、9、x ，
⑴求x 的取值范围；
⑵求△ABC 周长的取值范围； ⑶当x 为偶数时，求x ；
⑷当△ABC 的周长为偶数时，求x ； ⑸当△ABC 周长是5的倍数时，求x ； ⑹若△ABC 为等腰三角形，求x 。
2．已知△ABC 的三条边为整数，且05242
2
=+--+b a b a ，求c 的值。
3．对于同一平面内的三条直线a 、b 、c ，给出下列五个论断： （1）a∥b；（2）b⊥c；（3）a⊥b；（4）a∥c；（5）a⊥c。
以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。
4．证明：两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。
5．有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？
6．如图，在△ABC 中，∠A ＝96°，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A ，∠1A BC 与∠1A CD 的平分线相交于2A ，依此类推，∠4A BC 与∠4A CD 的平分线相交于5A ，则∠5A 的大小是多少？
7．在△ABC 中，∠A ＝50°，高BE ，CF 所在的直线交于点O ，求∠BOC 的度数。
2
A 1
A 第3题图 D
C
B A
8．（1）已知如图（a），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，则∠EAD与∠B，∠C有何数量关系？
（2）如图（b），AE平分∠BAC，F为其上一点，且FD⊥BC于D，这时∠EFD与∠B、∠C又有何数量关系？
（3）如图（c），AE平分∠BAC，F为AE延长线上一点，FD⊥BC于D，这时∠AFD与∠B、∠C又有何数量关系？
9．如图，P为△ABC内任意一点，求证：
⑴∠BPC ＞∠A；
⑵∠BPC＝∠ABP＋∠A＋∠ACP；
⑶AB＋AC＞PB＋PC。
10. 如图中的几个图形是五角星和它的变形
（1）图（1）中是一个五角星，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E。
（2）图（1）中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？（即∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E如图（2），说明你的结论的正确性。
（3）把图（2）中点C向上移动到BD上，五个角的和（即∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E）有无变化？如图（3），说明你的结论的正确性。
11．如图已知△ABC中，∠B和∠C外角平分线相交于点P。
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝70°，求∠BPC度数。
（2）若∠ABC＝α，∠BPC＝β，求∠ACB度数。
12．△ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是△ABC边上的两点。
（1）如果纸片沿直线脚折叠，使点A′正好落在线段AC上，如图1，此时∠A与∠BDA′的关系是；（2）如果纸片沿直线DE折叠，使点A′落在△ABC的内部，如图2，试猜想∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系是；
（3）如果纸片沿直线DE折叠，使点A′落在△ABC的外部，如图3，则此时∠A和∠BDA′、∠CEA′的关系是，请说明理由。
13．如图所示，BE、CD交于A点，∠C和∠E的平分线相交于F。
（1）试求：∠F与∠B，∠D有何等量关系？
（2）当∠B∶∠D∶∠F＝2∶4∶x时，x为多少？
14．若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有几个？
15．有一位同学在数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“已知ΔABC的三边长分别是a，b，c。且a、b、c 的值满足等式|b＋c－2a|＋（b＋c－5）2＝0，求b的取值在什么范围？”。你能解答这道题吗？
16．在ΔABC中，∠A＞∠B＞∠C ，且∠A＝4∠C，求∠B的范围。
17．在△ABC中，∠A是最大角，∠C是最小角，且∠A＝2∠C，求∠C的取值范围。
《第13章三角形中的边角关系》练习题答案
一、填空题：
1．8，等腰。 2．2。 3．2>a 。 4．79-<<-a 5．2b －2c 。 6．AD ＝13cm 。 7．8cm ； 8. 9。 9.（1）6cm 或7cm ；（2）
2
15
cm 。 10．周长＞12。 11．1。 12．10厘米或322厘米。
13．有两个角相等的三角形是等腰三角形； 14．20°或120°； 15．60，60； 16．2，1；
17．120°； 18．60°； 19．30°或120°； 20．95°； 21．50°； 22．解：如图，∵∠CEF ＋∠CFE ＋∠C ＝∠A ＋∠B ＋∠C ，
∴∠CEF ＋∠CFE ＝∠A ＋∠B ＝85°＋55°＝140°，
又将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内， ∴∠C′EF＋∠C′F＝∠CEF ＋∠CFE ＝140°， ∴∠CEC′＋∠CEC′＝140°＋140°＝280°， ∵∠1＝20°，
∴∠2＝180°×2－∠CEC′＋∠CEC′－∠1＝360°－280°－20°＝60° 故答案为：60。 23．解：如图，
∵∠A ＝65°，∠B ＝75°，
∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝180°－65°－75°＝40°； 又∵将三角形纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 外，
∴∠C′＝∠C ＝40°，
而∠3＋∠2＋∠5＋∠C′＝180°，
∠5＝∠4＋∠C ＝∠4＋40°，∠2＝20°， ∴∠3＋20°＋∠4＋40°＋40°＝180°， ∴∠3＋∠4＝80°，
∴∠1＝180°－80°＝100°。 故答案为100。 24．∠BOC ＝
21∠A ，∠BOC ＝90°－2
1
∠A ； 25. （1）130°；（2）100°或80°；
26. 2；
27．解：延长BA ，做PN ⊥AD ，PF ⊥BA ，PM ⊥BC ，
设∠PCD ＝x°， ∵CP 平分∠ACD ，
∴∠BCP ＝∠PCD ＝x°，PM ＝PN ， ∵BP 平分∠ABC ，
∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，
∴PF ＝PM ，
∵∠APC ＝50°，
∴∠BAP ＝∠PAC ＝（x －50）°，
∴∠ABC ＝∠BCD －∠BAC ＝2x °－（x °－50°）－（x °－50°）＝100°， ∴∠CBF ＝100°，
在Rt △PFB 和Rt △PMB 中，
PA ＝PA ，PM ＝PF ， ∴Rt △PFB ≌Rt △PMB ， ∴∠FAP ＝∠PAC ＝40°。
28．50°。 二、选择题：
1.A
2.C
3. D
4.B
5. B
6.C
7.C
8.D
9.C 10.C 11.D 12.B 13. C 14.B 15.C 16.B 17.B 18.B 19.C 20.B 21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26．C 27．C 。 考点：三角形内角和定理。
分析：根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案。
解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，
设∠PCD ＝x °， ∵CP 平分∠ACD ，
∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ， ∵BP 平分∠ABC ，
∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ， ∴PF ＝PM ，
∵∠BPC ＝35°，
∴∠ABP ＝∠PBC ＝（x －35）°，
∴∠BAC ＝∠ACD －∠ABC ＝2x °－（x °－35°）－（x °－35°）＝70°， ∴∠CAF ＝110°，
在Rt △PFA 和Rt △PMA 中， PA ＝PA ，PM ＝PF ， ∴Rt △PFA ≌Rt △PMA ， ∴∠FAP ＝∠PAC ＝55°。 故选C 。
三、解答下列各题： 1．⑴5＜x ＜13；
⑵18＜△ABC 的周长＜26；
⑶当x 为偶数时， x ＝6、8、10、12；
⑷当△ABC 的周长为偶数时， x ＝7、9、11； ⑸当△ABC 周长是5的倍数时，x ＝7、12； ⑹若△ABC 为等腰三角形，x ＝9。
2．2=a ，1=b ，31< 3．答案不惟一，如果a b ∥，b c ⊥，那么a c ⊥；如果b c ⊥，a b ⊥，那么a c ∥；如果b c ⊥，a c ⊥， 那么a b ∥等。 4．要画图，写已知、求证、证明。 5．6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、12、4、10、12） 6．3°。 7．∠BOC ＝50°或130°； 8．解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＝90°－∠C ∵ AE 平分∠BAC ， ∴∠EAC ＝ 2 1 ∠BAC ， ∵∠BAC ＝180°－∠B －∠C ∴∠EAC ＝ 21（180°－∠B －∠C ）＝90°－21∠B －2 1 ∠C ， ∴∠EAD ＝∠EAC － ∠CAD ＝90°－21∠B －2 1 ∠C －（90°－∠C ） ＝ 2 1 (∠C －∠B)。 （2）如图（b ），过A 作AG ⊥BC 于G ，由（1）知∠EAG ＝ 2 1 (∠C －∠B)。 ∵AG ⊥BC ，∵FD ⊥BC ， ∴∠AGC ＝∠FDG ＝90°， ∴FD ∥AG ， ∴∠EFD ＝∠EAG ， ∴∠EFD ＝ 2 1 (∠C －∠B)。 （3）如图（c ），过点A 作AG ⊥BC 于G ，由（1）知∠EAG ＝ 2 1 (∠C －∠B)。 ∵AG ⊥BC ，∵FD ⊥BC ， ∴∠AGB ＝∠FDC ＝90°， ∴FD ∥AB ， ∴∠AFD ＝∠EAG ， ∴∠AFD ＝ 2 1 (∠C －∠B)。 说明：在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。 9．延长BP 交AC 于D 。 ⑴∠BPC ＞∠PDC ＞∠A ； ⑵∠BPC ＝∠PDC ＋∠ACP ；∠PDC ＝∠A ＋∠ABP ； ∠BPC ＝∠A ＋∠ABP ＋∠ACP 。 ⑶∵AB ＋AD ＞BD 。 PD ＋DC ＞PC 。 ∴AB ＋AD ＋PD ＋DC ＞BD ＋PC 。 ∴AB ＋AC ＞PB ＋PC 。 10.（1）180°。 （2）无变化。理由:∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠E ＝∠CAD ＋∠EAD ＋∠BAC ＝180°。 （3）无变化。 理由:∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝∠ACB ＋∠ACE ＋∠ECD ＝180°。 12．解：（1）∠BDA′＝2∠A； 根据折叠的性质可知∠DA′E＝∠A，∠DA′E＋∠A＝∠BDA′，故∠BDA′＝2∠A； （2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A， 理由：在四边形ADA′E中，∠A＋∠DA′E＋∠ADA′＋∠A′EA＝360°， ∴∠A＋∠DA′E＝360°－∠ADA′－∠A′EA， ∵∠BDA′＋∠ADA′＝180°，∠CEA′＋∠A′EA＝180°， ∴∠BDA′＋∠CEA′＝360°－∠ADA′－∠A′EA， ∴∠BDA′＋∠CEA′＝∠A＋∠DA′E， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A； （3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A， 理由：如图3，DA′交AC于点F， ∵∠BDA′＝∠A＋∠DFA，∠DFA＝∠A′＋∠CEA′， ∴∠BDA′＝∠A＋∠A′＋∠CEA′， ∴∠BDA′－∠CEA′＝∠A＋∠A′， ∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得， ∴∠A＝∠DA′E， ∴∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。 故答案为：（1）∠BDA′＝2∠A；（2）∠BDA′＋∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′－∠CEA′＝2∠A。13．解：（1）由图可得：∠D＋∠1＝∠3＋∠F① ∠2＋∠F＝∠B＋∠4② 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴①－②得：∠B＋∠D＝2∠F； （2）设∠B＝2k，则∠D＝4k ∴∠F＝3k，∴∠B∶∠D∶∠F＝2k∶4k∶3k＝2∶4∶x，∴x＝3。 14．111、222、333、122、133、144、223、233、234。 15．解：对于已知|b＋c－2a|＋(b＋c－5)2＝0，由于绝对值与平方数都大于或等于0， 所以要使已知等式成立，只能是 |b＋c－2a|＝0，(b＋c－5)2＝0， 综合得，b的取值范围是：＜b＜。 所以 30°＜∠B＜80°。 17．36°≤∠C ≤45°。 感恩和爱是亲姐妹。有感恩的地方就有爱，有爱的地方就有感恩。一方在哪里，另一方迟早会出现。你做一切都是为自己做，为存在而感恩。 “人要经历一个不幸的抑郁症的或自我崩溃阶段。在本质上，这是一个昏暗的收缩点。每一个文化创造者都要经历这个转折点，他要通过这一个关卡，才能到达安全的境地，从而相信自己，确信一 个更内在、更高贵的生活。” ——黑格尔
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