函数的和差积商的导数教案
教学目的
1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则；
2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数．
教学重点和难点
本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法．
教学过程
一、复习提问
1．求导数的三个步骤是什么？
(先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．)
(1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)；
2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数．
(要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．)
解：设y=f(x)＝x＋x2，
则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2)
＝Δx(1＋2x＋Δx)，
二、引入新课
让学生观察复习提问2的结果：
y′=1＋2x．
从这个结果可以得到以下两点启示：
1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得；
2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？
结论是肯定的．
三、讲解新课
1．和(差)的导数．
法则1两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即
其中u和v都是x的可导函数．
证明：(可让学生自己完成．)
设y=f(x)＝u(x)＋v(x)，
则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)]
=[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)]
=Δu±Δv，
即y'=(u±v)'=u'±v'．
追问：条件“u和v都是可导函数”有没有必要？它在证明法则的过程中用于何处？
说明：这个法则可以推广到任意有限个函数，即
例1求函数y＝x3＋sinx的导数．
解：y'＝(x3)'＋(sinx)'＝3x2＋cosx．
设问(继续引入新课)：既然有
(u±v)'＝u'±v'，
那么是否也有
呢？
就上述“设问”给出两个反例，以防止极限运算中，积和商的法则在此处的负迁移：
①把函数y＝x3看作函数u(x)=x和函数v(x)=x2的乘积，即
y=x·x2．
按(1)求导有：
y'＝(x·x2)'＝(x)'·(x2)'=2x．
显然与y'＝(x3)'＝3x2的正确结果不符．可见该(1)为谬．
那么，正确的法则是什么呢？我们可以由导数的定义直接推导出来．
2．积的导数．
法则2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数．即
其中u和v都是x的可导函数．
证明：设y＝f(x)＝u(x)·v(x)，
则
Δy=u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)
＝u(x＋Δx)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x＋Δx)＋u(x)·v(x＋Δx)－u(x)·v(x)，
因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而
即 y'=(uv)'=u'v＋uv'．
若c为常数，则从[法则2]立即可以推出：
(cu)'=c'u＋cu'=0＋cu'=cu'．
就是说，常数与函数的积的导数，等于常数积以函数的导数．即
例2求函数y＝(2x2＋3)(3x－2)的导数．
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3
＝18x2－8x＋9．
3．商的导数．
法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方．即
因为v(x)在点x处可导，所以它在点x处连续，于是
当Δx→0时，v(x＋Δx)→v(x)，从而
即
解：
例4求证当n是负整数时，公式
(x n)'=nx n-1
仍然成立．
证明：设 n=－m(m为正整数)
说明：
当n＝0时，(x n)'＝nx n-1也成立，所以对于一切整数n，公式(x n)'＝nx n-1成立．
四、小结
1．通过用导数的定义求导数的方法，可直接推导得函数和(或差)、积、商的导数公式：
(1)(u±v)'=u'±v'；
(2)(uv)'＝u'v＋uv'；(cu)'＝cu'(c为常数)；
其中u和v是x的可导函数．
2．公式(2)对于u和v是对称的，而公式(3)对于u和v却不是对称的，这一点要特别注意．
3．和(或差)的导数法则可以推广到任意有限个函数的情况
那么，对于任意有限个函数的积的导数又怎样呢？(此问题要求学生在课后思考，下一节课将给予回答．)
五、布置作业
1．阅读课本中“函数的和、差、积、商的导数”这一节的课文；
2．求下列函数的导数：
(1)y＝5x5－3x3＋x－25；
(2)y=ax4－bx2＋c；
(3)y＝sinx－x＋1；
(4)y=x2＋2cosx；
(5)y=(3x2＋1)(2－x)；
(6)y=(1－2x3)(x－3x2)；
(7)y＝sinx(1－x2)；
(8)y=(1＋2x)(1－cosx) ；
〖考纲要求〗复合函数地求导法则地运用. 〖复习建议〗和差积商地导数,复合函数地求导法则地推导与运用. 〖双基回顾〗 1.常见函数地导数公式： 0'=C ；()'kx b k +=(k,b 为常数) 1)'(-=n n nx x ； ()'ln (0,0)x x a a a a a =>≠且 ()'x x e e =1(ln )'x x = 11(log )'log (0,0)ln a a x e a a x x a ==>≠且 x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= 2.和差积商地导数 法则1 两个函数地和(或差)地导数,等于这两个函数地导数地和(或差),即 '')'(v u v u ±=± 2常数与函数地积地导数,等于常数与函数地积地导数．()''Cu Cu = 法则3两个函数地积地导数,等于第一个函数地导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数地导数,即 '')'(uv v u uv += 法则4 两个函数地商地导数,等于分子地导数与分母地积,减去分母地导数与分子地积,再除以分母地平方,即 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数地求导法则 复合函数对自变量地导数,等于已知函数对中间变量地导数,乘以中间变量对自变量地导数 ,即'''x x y y μμ=?或'(())'()'()x f x f x ?μ?=特别地,ax b μ=+时,''x y y a μ=? 〖课前预习〗 1.求下列函数导数. （1）5-=x y （2）、x y 4= （3）、x x x y = （4）、x y 3l o g = （5）、y=sin(2π+x) （6）、y=cos(2π－x) 2.曲线212y x =在点1(1,)2 处切线地倾斜角为 3.曲线3y x =在点(1,1)处地切线与x 轴、直线2x =所围成地三角形面积为__________． 4.求过曲线y=cosx 上点P( ) 地切线地直线方程. 5.若直线y=4x+b 是函数y=x 2图象地切线,求b 以及切点坐标. 6.若直线y=3x+1是曲线y=ax 3地切线,试求a 地值. 7.直线12y x b =+能作为下列函数()y f x =图象地切线吗？,若能,求出切点坐标,若不能,简述理由. （1）1()f x x = （2）1()f x x =- （3）()sin f x x = （4）()x f x e = 8.求下列函数地导数 （1）y =x 3+sin x 地导数. （ 2）求2(23)(32)y x x =+-地导数．(两种方法)
函数与导数高考真题 1．2log 510＋log 50.25＝ A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2．2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ） 132 （Ｄ）213 75．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2- B ．1 C ．4 D ．10 6．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim （ ） A ．0 B ． 41 C ．21 D ．1 7．已知函数y =13x x -++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8．已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 9．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．158(,)33 B ．15(,7)3 C ．48(,)33 D ．4(,7)3 10．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与 ()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ． (0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞
课 题： 3．3函数的和、差、积、商的导数(2) 教学目的： 1.理解商的导数法则，并能进行运用. 2.能够综合运用各种法则求函数的导数 教学重点：商的导数法则. 教学难点：两个函数的商的求导法则的推导． 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即 x x f x x f x f x ?-?+=→?)()(lim )(0000/ 2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=- 3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/ x f ，从而构成了一个 新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数， 4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导
5. 可导与连续的关系：如果函数y =f (x )在点x 0处可导，那么函数y =f (x )在点x 0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件. 6. 求函数)(x f y =的导数的一般方法： （1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? （2）求平均变化率x x y ?=?? （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y x ??→?0lim 7. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x sin )'(cos -=8.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()u x v x u x v x u x v x '= +, [()]'(Cu x Cu x '= 二、讲解新课： 法则 3 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 '2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 证明：令) ()()(x v x u x f y ==， -?+?+=?])()([x x v x x u y ) ()(x v x u )()()()()()(x v x x v x x v x u x v x x u ?+?+-?+= ) ()()]()()[()()]()([x v x x v x v x x v x u x v x u x x u ?+-?+--?+=， ∴ ) ()()()()()()()(x v x x v x x v x x v x u x v x x u x x u x y ?+?-?+-?-?+=??
第三课时函数与导数的应用 1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 2.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系 式为y ＝－13 x 3 ＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( ) A ．13万件 B ．11万件 C ．9万件 D ．7万件 3：由直线x ＝－π3，x ＝π 3 ，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( ) A.12 B ．1 C.3 2 D.3 4．若函数 y ＝f (x )在R 上可导，且满足不等式xf ′(x )>－f (x )恒成 立，且常数a ，b 满足a >b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．af (a )>bf (b ) B ．af (a )
《导数在研究函数中的应用—函数的单调性与导数》说课稿 周国会 一、教材分析 1教材的地位和作用 “函数的单调性和导数”这节新知识是在教材选修1—1，第三章《导数及其应用》的函数的单调性与导数.本节计划两个课时完成。在练习解二次不等式、含参数二次不等式的问题后，结合导数的几何意义回忆函数的单调性与函数的关系。例题精讲强化函数单调性的判断方法，例题的选择有梯度，由无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式，再解关于含参数的问题，最后提出函数单调性与导数关系逆推成立。培养学生数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.在高考中常利用导数研究函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、以及利用导数解决生活中的优化问题。其中利用导数判断单调性起着基础性的作用，形成初步的知识体系，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力。 （一）知识与技能目标： 1、能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 2、能解决含参数函数的单调性问题以及函数单调性与导数关系逆推。 （二）过程与方法目标： 1、通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 2、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想。 （三）情感、态度与价值观目标： 1、通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结， 2、培养学生的探索精神，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论教育。激发学生独立思考和创新的意识，让学生有创新的机会，充分体验成功的喜悦，开发了学生的自我潜能。（四）教学重点，难点 教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间。 教学难点：探求含参数函数的单调性的问题。 二、教法分析 针对本知识点在高考中的地位、作用，以及学生前期预备基础，应注重理解函数单调性与导数的关系，进行合理的推理，引导学生明确求可导函数单调区间的一般步骤和方法，无参数的一般问题转化为解关于导函数的不等式。解关于含参数的问题，注意分类讨论点的确认，灵活应用已知函数的单调性求参数的取值范围。采用启发式教学，强调数形结合思想、转化思想、分类讨论的数学思想的应用，
（Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-?，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>．
联立212y x y x ax =-??'=-+-? 消去y 得：2(1)10x a x +-+=， 由题意得：2(1)40a -=-=△， 解得：3a =或1-； （Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'， 1(0,)e x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4 t <≤-时， min 111)ln )444 ()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时， min e ()1e )(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min 1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--???-<<≥?=?????； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e x x x x >-成立．
∴()0g x '>， ∴函数()g x 在定义域内为增函数， ∴(1)(0)g g >，即12 e (1)(0) f f >，亦即(1) f > 故选：A ． 2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥， ∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数， 又∵()sin ()f x x x f x -=--=-， ∴()sin f x x x =+为奇函数， ∴2222222222(23)(41)0(23)(41) (23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤?-+≤--+?-+≤-+-?-+≤-+-?-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ?-+-≤?≥? 可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1 y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1 y x +的取值范围为13,44?????? ． 3．解析：依题意，可得右图：()2f x =
直接利用导数的运算法则求导 求下列函数的导数: 联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变 形，步步为营，使解决问题水到渠成. 解：1 . yy(x 4 -3X 2 -5X +6)， = (x 4) '—3(x 2)' —5x' + (6)，=4x 3 —6x —5. 广 x ?n X 、 (xsin x)' cosx — xsin x (cosx)‘ ,cosx 厂 cos 2 ^ 2 2cos x / =[(x +1)(x + 2)]'(x+3) +(x+1)(x + 2)(x+3)' = [(x + 1)'(x +2)+(x + 1)(x +2)](x + 3) +(x + 1)(x + 2) =(x +2+x + 1)(x +3)+(x + 1)(x +2) = (2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) = 3x 2 +12x+11. 2 cos x 3.解法 解法二：y X 3 +6x 2 +11x +6 , 1. y =X 4 -3x 1 2 -5x+6 ； .y = X ta n x 3. y =(x+1)(x+2)(x+3); X —1 y = x +1 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律, 紧扣求导运算法则, 2. y ，= (x tan x)'= _ (sin X +cosx) cosx +xsin 2 x _ sin x -cosx + xcos 2 x "(xsin 2 x) 2 COS x 2 cos x
y' = 3x2+12x+11.
解法二：心一三 4.解法一：厂= (X -1、 (x-1)'(x+1) -(x-1)(x + 1)' l x +1 丿 2 (X+1) _(x+1)—(X-1) 2 (X +1)2 -(X +1)2 卜引=（亠一⑵EVE I x +1 丿 X +1 2 (x+1) 2? (x+1) 说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运 算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则, 特别是商的求导法同.求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因 素.从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函 数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的 积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手. 化简函数解析式在求解 求下列函数的导数. 1. 、审+4^ 皿； 2. y=sin 4 2+cos 4 Z ; 4 4 3. 1+v x 丄 1 -T X / ? X “ c 2 X\ y= ----- + ------ ; 4. y =—sin-(1-2cos —)? 1 -T x 1 +V x 分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题 求解过程繁琐冗长，且易出错.可先对函数解析式进行合理的恒等变
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥L ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 1．2.2 函数的和、差、积、商的导数 一、基础过关 1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0； ②若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3； ③若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1； ④若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x . 2．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________. 3．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝________. 4．设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 5．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________. 6．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 7．求下列函数的导数： (1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x 2 . 二、能力提升 8．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝ f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 9．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________． 10．若函数f (x )＝13 x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式． 12．设函数f (x )＝ax －b x ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式； (2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 三、探究与拓展 13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方 程． §1.3.3 函数的最大值与最小值 【课标要求】 1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念. 2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数 )(x f 必有最大值和最小值的充分条件. 3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤. 【重点难点】利用导数求函数的最大值和最小值；函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 【课前预习】 1.极大值，极小值的概念： 连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），这时称在该点处函数取得 ．（极大值） 连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增），这时称在该点处函数取得 ．（极小值） 总结：连续可导函数()y f x =在0x x =处取得极大（小）值的必要条件是0x x =左右两侧的单调性的不同． 2.求函数极值的步骤： （１）求函数()y f x =定义域； （２）求函数()y f x =的导函数()'y f x =； （３）求出()'0f x =的根； （４）列表判断．（检验()'f x 在方程()'0f x =两侧的根的符号，若根的左侧附近为正，右侧附近为负，则函数()y f x =在这个根处取得极大值；若根的左侧 附近为负，右侧附近为正，则函数()y f x =在这个根处取得极小值．） （５）写出结论． 3. 请画出32()35f x x x =-+，[2,3]x ∈-的草图. 总结：我们知道，极值反映的是连续可导函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。但是，在解决实际问题时我们更关心的是 是函数在某个区间上的最大值、最小值. 【新授内容】 情景： 问题1：由函数32()35f x x x =-+图像可得，()f x 在[2,3]-上的最大值为 ；最小值为 .（最大值为5，最小值为15-） 问题２：观察下面的函数图像，说出函数在[],a d 上的最值． 函数()y f x =在[],a b 上的最值可能是区间端点处的函数值，也可能是函数在这个 函数的和差积商的导数教案 教学目的 1．使学生学会根据函数的导数的定义推导出函数导数的四则运算法则； 2．使学生掌握函数导数的四则运算法则，并能熟练地运用这些法则去求由基本初等函数的和、差、积、商构成的较复杂的函数的导数． 教学重点和难点 本节课的重点是求函数的和、差、积、商的导数的运算法则．难点是求函数的积和商的导数的运算公式及其推导方法． 教学过程 一、复习提问 1．求导数的三个步骤是什么？ (先让全体学生回忆，再请一名学生单独回答．若答错或不完善则请另外学生纠正或补充．) (1)求函数的增量：Δy=f(x＋Δx)－f(x)； 2．试用导数的定义求函数y＝x＋x2的导数． (要求全体学生在课堂练习本上做，同时找一至两名学生板演．) 解：设y=f(x)＝x＋x2， 则Δy=f(x＋Δx)－f(x)＝[(x＋Δx)＋(x＋Δx)2]－(x＋x2) ＝Δx(1＋2x＋Δx)， 二、引入新课 让学生观察复习提问2的结果： y′=1＋2x． 从这个结果可以得到以下两点启示： 1．函数y＝x＋x2是两个函数(y＝x和y＝x2)的和，它的导数可以用导数的定义直接求得； 2．函数y＝x＋x2的导数y′=1＋2x，恰好是函数y＝x和y＝x2导数的和．那么，任意两个函数的和的导数是否都是这两个函数导数的和呢？ 结论是肯定的． 三、讲解新课 1．和(差)的导数． 法则1 两个函数的和(差)的导数，等于这两个函数的导数的和(差)．即 其中u和v都是x的可导函数． 证明：(可让学生自己完成．) 设y=f(x)＝u(x)＋v(x)， 则Δy=[u(x＋Δx)±v(x＋Δx)]－[u(x)±v(x)] =[u(x＋Δx)－u(x)]±[v(x＋Δx)－v(x)] =Δu±Δv， 即y'=(u±v)'=u'±v'． 1.3.2函数的极值与导数习题课说课稿 高二数学组康海萍 [教材分析]： 《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。 [学情分析]： 学生已经初步学习了函数极值与导数的关系，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。 [教学目标]： 知识与技能： ?掌握函数极值的定义，会从几何图形直观求解函数极值，增强学生的数形结合意识； ?利用导数求函数极值的一般方法求解较复杂函数的极值； ?探究含有参数的极值问题。 过程与方法： ?培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。 情感态度与价值观： ?体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性； ?培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神； [教学重点和教学难点]： 教学重点：利用求导数的方法求解函数极值的问题。 教学难点：含有参数的极值问题。 [教法学法分析]： 教法分析和教学用具： 本节课我将采用定义检测—夯实基础—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。并利用信息技术创设实际问题的情境。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。 学法分析 通过图像研究函数的极值定义，提高了学生的导数概念的认识。通过用较复杂求极值问题巩固求极值的方法，通过分类讨论解决含有参数的极值问题。 教学过程教学内容设计意图 一、定义检测：例1下列函数在x=0有极值点的是（） x y A 1 = 、x y B= 、 x sinx y= 、 C x D? ? ? ? ? = 2 1 y 、 培养学生深入挖掘教材能力， 加深对概念的理解，培养学生 养成数形结合的解题意识 函数极值点必须有定义，区间 端点不能为极值点，单调函数 一定没有极值，可导函数导数 为0同时导数异号才是有极值 的充要条件 二、夯实基础：例2、求函数 x x y ln 1 =的极值 解：函数的定义域为) ,1( )1,0(+∞ ? ()2 ln ) ln 1( ) ( x x x x f + - = ' 令0 ) (= 'x f解得x= e 1 列表 （0， e 1 ） e 1 （ e 1 ，1） ) ,1(+∞ + 0 - - 单调递增极大 值 单调递减单调递减 当x= e 1 时，函数有极大值e e f- = ) 1 ( 此题易错点是忽略或求错函 数定义域，在求导过程中求错 导数式，这些都需要扎实的基 本功 通过易错点纠正培养学生严 谨的思维习惯，同时规范解题 步骤 三、合作探究： 对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，引导学生最终去解决问题，以生成新目标、新知识、新能力。 分组讨论—小组汇报—教师点拨。含有参数的极值问题 题型一:已知函数在某点处取得极值 例3、已知函数2) ( ) (c x x x f- =在x=2处有极大 值，则求常数c的值 解：由已知2 24 3 ) (c cx x x f+ - = ' 因为函数x c cx x x f2 2 32 ) (+ - =在x=2处有极大 值，所以0 )2(= 'f，解得c=2或6 当x=6时，36 24 3 ) (2+ - = 'x x x f ) ( ), 6,2(< ' ∈x f x，0 ) ( ), ,6(< ' +∞ ∈x f x 所以x=6是函数的极小值，应舍去 同理可检验x=2合题意 在该题处学生极有可能在利 用导数为0求得c的值之后止 步，实际上我们需要检验。因 为导数为0是极值的必要条件 《函数的最大(小)值与导数》教案 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习回顾： 1．极值的概念： 极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 2． 判断函数)(x f y =的极值的方法： 解方程0)(='x f .当0)(0='x f 时： （1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，那么)(0x f 是极小值. 3． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不 函数与导数（理科数学） 1、对于R 上的可导函数()f x ，若满足/(1)()0x f x -≥，则必有（C ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +> 2、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/ ()()0xf x f x -≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A.()()af a f b ≤ B.()()bf b f a ≤ C.()()af b bf a ≤ D.()()bf a af b ≤ 3、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x +≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C ) A 、()()af a f b ≤ B 、()()bf b f a ≤ C 、()()af b bf a ≤ D 、()()bf a af b ≤ 4、记{}???>≤=q p q q p p q p 当当.,,min ．若函数? ?????+=x x x f 241log ,log 3min )(， 则函数)(x f 的解析式_______________.2)( 高三文科数学函数与导数解题方法规律技巧详细总结版 【3年高考试题比较】 对于导数的解答题，考纲的要求是：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.会用导数解决实际问题. 通过比较近三年的高考卷总结如下：一般有两问，（16年3卷出现了三问），第一问往往是以讨论函数单调性和切线问题为主，第二问主要涉及不等式的恒成立问题，零点问题，函数最值问题，一元的不等式证明和二元的不等式证明 【必备基础知识融合】 1.基本初等函数的导数公式 2.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?????? f （x ） g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）](g (x )≠0). 3.复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的 导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 4.函数的单调性与导数 (1)在区间D 上，若f ′(x )≥0，且f ′(x )＝0不连续成立?函数f (x )在区间D 上递增； 直接利用导数的运算法则求导 例 求下列函数的导数： 1．65324+--=x x x y ； 2．x x y tan ?= 3．)3)(2)(1(+++=x x x y ； 4．.1 1+-=x x y 分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成． 解：1．)653(2 4'+--='x x x y .564)6(5)(3)(324--='+'-'-'=x x x x x 2．x x x x x x x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )sin (cos sin )tan ('?-?'='?? ? ???='?=' x x x x x x x x x x x x x 22222cos )sin (cos cos sin cos sin cos )cos (sin ?+?=+?+= .cos 222sin cos sin cos 2sin 212222x x x x x x x x x +=++= 3．解法一：)3)(2)(1()3(])2)(1[('+++++'++='x x x x x x y )2)(1()3]()2)(1()2()1[(++++'++++'+=x x x x x x x )2)(1()3)(12(+++++++=x x x x x )2)(1()3)(32(+++++=x x x x .111232++=x x 解法二：61162 3+++=x x x y ， ∴ .111232++='x x y 4．解法一：2)1()1)(1()1()1(11+'+--+'-='?? ? ??+-='x x x x x x x y .) 1(2)1()1()1(22+=+--+=x x x x 高考函数与导数复习 方法解析： 纵观浙江近四年的函数与导数试题，不难发现对函数的考查力度较大，约有3-4题，并且题型涉及选择、填空与解答，难度也有易有难，难度较大的大题主要是与导数、不等式相结合的综合题。对函数的考查主要体现在以下几个方面： 1． 直接考查函数的基本概念（定义域、值域及其相关的问题）和运算，如（2004，13与分段函数有关 的不等式的解集计算），（2005，3与分段函数有关的复合函数求值问题），（2006，3对对数函数值大小的比较问题），（2007，10已知分段函数的值域求定义域问题，此时要充分理解二次函数的定义，当然，此题也可以利用数形结合求解）。（2006，12新概念函数的最值问题）。 2． 函数的重要性质（单调性和奇偶性）的考查，单独没有出题，主要是在各种题型中的渗透，如利用 性质求函数的最值等。 3． 反函数在高考中主要考反函数的求法及原函数与反函数的自变量和应变量之间的关系等问题，如 （2005，11求分式函数的反函数） 4． 函数的图象是函数的一种重要的表示方法，也是高考的热点问题之一。特别是与向量的结合，使图 象的平移更直观，和与导数的结合，主要是考查导数的数学意义，（如2004，11及2007，8）二次函数、指数、对数函数是中学数学的重要函数模型，因而也是高考重点考查的重要对象，每年必考，如2004年12题，它以抽象函数为背景考查了二次函数方程是否有解的问题。2005年16题，它以二次函数为背景考查了函数图像的对称性及含绝对值的不等式的解法。（2006年16它二次函数为背景考查了函数的性质与不等式的应用，求证参数的取值范围和方程根的分布问题。2007年理10题考查了二次函数概念的内涵，文22以二次函数为背景考查了函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识。 5． 导数的概念及其运算是导数应用的基础，要深入把握，浙江主要考查导数的数学意义，结合图形。 6． 利用导数来研究解决函数的单调性和最值问题已成为新的热点内容，对它的考查主要以大题且以压 轴题的形态出现，因此难度一般较大，备考时要重点关注。如2004年20题考查了曲线上一点切线的求法及切线与坐标轴围成的三角形的面积最值问题，难度中等。2007年22题考查了利用导数求函数的单调区间及不等式恒成立问题的求解问题，难度较大，是区分优等生的考题。 真题训练： 1．（2004，11）设)(x f '是函数f(x)的导函数，y=)(x f '的图象如图所示，则y= f(x)的图象最有可能的 是（ C ） (A) (B) (C) (D) 【分析】本题主要考查了导函数的符号与函数单调性的关系。属导数的简单应用。 2．（2004，12）若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则 )]([x f g 不可能．．． 是 （ B ） 【最新】《函数与导数》专题 一、选择题 1．三个数0.20.4 0.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.2 0.43<4log 0.5< B ．0.40.2 0.43苏教版数学高二-苏教数学选修2-2 函数的和、差、积、商的导数
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