数学归纳法
2015高考会这样考 1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力．
复习备考要这样做 1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；2.规范书写数学归纳法的证题步骤． 一、知识梳理
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0 (n 0∈N *)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立．上述证明方法叫作数学归纳法． [难点正本 疑点清源]
1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．
2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求，选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 小试牛刀
1．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 答案 π
解析 易得f (k ＋1)＝f (k )＋π.
2．用数学归纳法证明：“1＋12＋13＋…＋1
2n －1
n ＝k ＋1时，左边应增加的项的项数是________．
答案 2k
解析 n ＝k 时，左边＝1＋12＋…＋1
2k －1，当n ＝k ＋1时，
左边＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋…＋1
2k ＋1－1.
所以左边应增加的项的项数为2k .
3．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋2
1－a (a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1成立时，
左边需计算的项是
( )
A ．1
B ．1＋a
C ．1＋a ＋a 2
D ．1＋a ＋a 2＋a 3
答案 C
解析 观察等式左边的特征易知选C.
4．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1
n ＝2?
????1n ＋2＋1n ＋4
＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) A ．n ＝k ＋1时等式成立 B ．n ＝k ＋2时等式成立 C ．n ＝2k ＋2时等式成立 D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立 答案 B
解析 因为假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)，故下一个偶数为k ＋2，故选B. 5．已知f (n )＝1
n ＋
1
n ＋1＋
1
n ＋2
＋…＋1
n
2，则
( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2－n
项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13
D ．f (n )中共有n 2－n ＋1
项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
答案 D
解析 从n 到n 2共有n 2－n ＋1个数， 所以f (n )中共有n 2－n ＋1项. 二、典型例题
题型一 用数学归纳法证明等式 例1 已知
n ∈N *，证明：1－
12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)
. 思维启迪：等式的左边有2n 项，右边有n 项，左边的分母是从1到2n 的连续正整数，末项与n 有关，右边的分母是从n ＋1到n ＋n 的连续正整数，首、末项都与n 有关． 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝1
2
，
右边＝1
2
，等式成立；
②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k
＝
1
k ＋1＋
1
k ＋2
＋…＋1
2k
，
那么当n ＝k ＋1时，
左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－1－
1
2k ＋1
＝? ??
??1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1
2k ＋1＋??
??
??1k ＋1－12k ＋1 ＝
1
k ＋1＋1
＋
1
k ＋1＋2
＋…＋
1
k ＋1＋k
＋
1
k ＋1＋k ＋1
＝右边，
所以当n ＝k ＋1时等式也成立． 综合①②知对一切n ∈N *，等式都成立．
探究提高 用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n 0的取值并验证n ＝n 0时命题的真假(必不可少)．“假设n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时命题正确”并写出命题形式分析“n ＝k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
【变式1】 用数学归纳法证明： 对任意的
n ∈N *，
1
1×3＋1
3×5＋…＋
12n －12n ＋1
＝n
2n ＋1
.
证明 (1)当n ＝1时，左边＝11×3＝1
3
，
右边＝1
2×1＋1＝1
3，左边＝右边，所以等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即 1
1×3＋1
3×5＋…＋12k －12k ＋1
＝k
2k ＋1
，
则当n ＝k ＋1时，
11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋
1
2k ＋1
2k ＋3
＝k 2k ＋1＋12k ＋1
2k ＋3
＝
k 2k ＋3＋1
2k ＋1
2k ＋3
＝
2k 2＋3k ＋12k ＋1
2k ＋3
＝k ＋12k ＋3＝k ＋1
2k ＋1＋1
，
所以当n ＝k ＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N *等式都成立．
题型二 用数学归纳法证明不等式 例2 用数学归纳法证明：
1＋n
2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1
2
＋n (n ∈N *)．
思维启迪：利用假设后，要注意不等式的放大和缩小． 证明 (1)当n ＝1时，左边＝1＋12，右边＝1
2＋1，
∴32≤1＋12≤3
2
，即命题成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即 1＋k
2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2＋k ，
则当n ＝k ＋1时，
1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k
>1＋k
2
＋2k ·
12k ＋2k ＝1＋k ＋1
2
. 又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋1
2k ＋2k
<12＋k ＋2k ·12k ＝1
2＋(k ＋1)，
即n ＝k ＋1时，命题成立．
由(1)(2)可知，命题对所有n ∈N *都成立．
探究提高 (1)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有①放缩法；②利用基本不等式法；③作差比较法等．
【变式2】 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式? ??
?
?
1＋13? ????1＋15·…·? ??
??1＋12n －1>2n ＋12均成立．
证明 (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43；右边＝52.
∵左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N *)时不等式成立，即
? ????1＋13? ????1＋15·…·? ??
??1＋12k －1>2k ＋1
2.
则当n ＝k ＋1时，
? ????1＋13? ????1＋15·…·? ????1＋12k －1????
??1＋1
2k ＋1－1
>
2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋2
22k ＋1
＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1
＝
2k ＋32k ＋1
2
2k ＋1
＝
2k ＋1＋1
2
.
∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n ，不等式都成立．
题型三 用数学归纳法证明整除性问题
例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n 为正整数．
思维启迪：当n ＝k ＋1时，把42(k ＋1)＋1＋3k ＋3配凑成42k ＋1＋3k ＋2的形式是解题的关键． 证明 (1)当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除， 则当n ＝k ＋1时，
方法一 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3 ＝42k ＋1·13＋3·(42k ＋1＋3k ＋2)，
∵42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除． ∴42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．
方法二 因为[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2)
＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－3(42k ＋1＋3k ＋2) ＝42k ＋1·13，
∵42k ＋1·13能被13整除，
∴[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，因而42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除， ∴当n ＝k ＋1时命题也成立，
由(1)(2)知，当n ∈N ＋时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．
探究提高 用数学归纳法证明整除问题，P (k )?P (k ＋1)的整式变形是个难点，找出它们之间的差异，然后将P (k ＋1)进行分拆、配凑成P (k )的形式，也可运用结论：“P (k )能被p 整除且P (k ＋1)－P (k )能被p 整除?P (k ＋1)能被p 整除．”
【变式3】 已知n 为正整数，a ∈Z ，用数学归纳法证明：a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．
证明 (1)当n ＝1时，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1＝a 2＋a ＋1，能被a 2＋a ＋1整除．
(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k －1能被a 2＋a ＋1整除，那么当n ＝k ＋1时，
a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1
＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋a k ＋2－a k ＋1(a ＋1)2
＝(a ＋1)2[a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]－a k ＋1(a 2＋a ＋1)能被a 2＋a ＋1整除． 即当n ＝k ＋1时命题也成立．
根据(1)(2)可知，对于任意n ∈N ＋，a n ＋1＋(a ＋1)2n －1能被a 2＋a ＋1整除．
题型四 归纳、猜想、证明
【例4】在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12?
?
???a n ＋1a n .
(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想． 审题视角 (1)数列{a n }的各项均为正数，且S n ＝12?
?
???a n ＋1a n ，所以可根据解方程求出a 1，
a 2，a 3；(2)观察a 1，a 2，a 3猜想出{a n }的通项公式a n ，然后再证明．
规范解答
解 (1)S 1＝a 1＝12? ?
???a 1＋1a 1得a 21
＝1. ∵a n >0，∴a 1＝1，[1分] 由S 2＝a 1＋a 2＝12? ?
???a 2＋1a 2，
得a 22＋2a 2－1＝0，∴a 2＝
2－1.[2分]
又由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12? ?
???a 3＋1a 3
得a 23＋2
2a 3－1＝0，∴a 3＝
3－ 2.[3分]
(2)猜想a n ＝
n －n －1 (n ∈N *)[5分]
证明：①当n ＝1时，a 1＝1＝1－
0，猜想成立．[6分]
②假设当n ＝k (k ∈N *)时猜想成立，
即a k ＝k －k －1，
则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12?
?
???a k ＋1＋
1a k ＋1－12? ????
a k ＋1a k ， 即a k ＋1＝12? ?
???a k ＋1＋
1a k ＋1－12?
??
???
k －k －1＋
1
k －k －1 ＝12?
????
a k ＋1＋
1a k ＋1－k ，
∴a 2k ＋1＋2
ka k ＋1－1＝0，∴a k ＋1＝k ＋1－k .
即n ＝k ＋1时猜想成立．[11分] 由①②知，a n ＝
n －n －1 (n ∈N *)．[12分]
温馨提醒 (1)本题运用了从特殊到一般的探索、归纳、猜想及证明的思维方式去探索和发现问题，并证明所得结论的正确性，这是非常重要的一种思维能力．
(2)本题易错原因是，第(1)问求a 1，a 2，a 3的值时，易计算错误或归纳不出a n 的一般表达式．第(2)问想不到再次利用解方程的方法求解，找不到解决问题的突破口.
方法与技巧
1．在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可．在较复杂的式子中，注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子中项数的变化，应仔细分析，观察通项．同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法．
2．对于证明等式问题，在证n ＝k ＋1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减
少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法．
3．归纳—猜想—证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明．由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须注意数学归纳法步骤的书写． 失误与防范
1．数学归纳法仅适用于与正整数有关的数学命题．
2．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或
两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础． 3．注意n ＝k ＋1时命题的正确性．
4．在进行n ＝k ＋1命题证明时，一定要用n ＝k 时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法． 课堂练习
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，在验证n ＝1时，左边计算所得的式子为 ( )
A ．1
B ．1＋2
C ．1＋2＋22
D ．1＋2＋22＋23
答案 D
解析 左边的指数从0开始，依次加1，直到n ＋2，所以当n ＝1时，应加到23，故 选D.
2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取 ( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
答案 C
解析 令n 0分别取2,3,5,6，依次验证即得． 3．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 2
2，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上
( )
A ．k 2＋1
B ．(k ＋1)2 C.
k ＋14＋
k ＋1
2
2
D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2
答案 D
解析 当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.
当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，
故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故应选D. 4．用数学归纳法证明：“(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)”，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为
( )
A ．2k ＋1
B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1
D.2k ＋3k ＋1
答案 B
解析 n ＝k ＋1时，左端为
(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)][(k ＋1)＋k ][(k ＋1)＋(k ＋1)]＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋
k )(2k ＋1)(2k ＋2)
＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )[2(2k ＋1)]， ∴应乘2(2k ＋1)．
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步验证为________． 答案 当n ＝1时，左边＝4≥右边，不等式成立 解析 由n ∈N ＋可知初始值为1.
6．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，
∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.
7．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真． 答案 2k ＋1
解析 因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 三、解答题(共22分)
8．(10分)若n 为大于1的自然数，求证： 1
n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >13
24
. 证明 (1)当n ＝2时，1
2＋1＋1
2＋2＝7
12>1324.
(2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立， 即1
k ＋1＋1
k ＋2＋…＋12k >13
24， 那么当n ＝k ＋1时， 1
k ＋2＋
1
k ＋3
＋…＋1
2k ＋1
＝
1k ＋2＋
1
k ＋3
＋…＋1
2k ＋1
2k ＋1＋1
2k ＋2＋1
k ＋1－1
k ＋1
＝? ??
??1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1
k ＋1
>1324＋12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1324＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1324＋
122k ＋1
k ＋1>1324
.
这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的自然数都成立． 9．(12分)已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝
b n
1－4a 2
n
(n ∈N *)且点P 1的坐标为(1，－
1)．
(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；
(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上． (1)解 由P 1的坐标为(1，－1)知a 1＝1，b 1＝－1. ∴b 2＝b 1
1－4a 21
＝13.a 2＝a 1·b 2＝1
3.
∴点P 2的坐标为? ??
??13，13，
∴直线l 的方程为2x ＋y ＝1. (2)证明 ①当n ＝1时， 2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，
2a k ＋b k ＝1成立，则当n ＝k ＋1时， 2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k
1－4a 2k
(2a k ＋1)
＝b k
1－2a k ＝1－2a k
1－2a k
＝1， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．
由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1， 即点P n 在直线l 上． 课后练习
一、选择题(每小题5分，共15分) 1．对于不等式
n 2＋n (1)当n ＝1时， 12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2 ＝k ＋2 2 ＝(k ＋1)＋1， ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法 ( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确 D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D 解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法． 2．用数学归纳法证明不等式 1 n ＋1 ＋ 1 n ＋2＋…＋12n <1314 (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边 ( ) A ．增加了一项1 2k ＋1 B ．增加了两项1 2k ＋1、1 2k ＋2 C ．增加了B 中两项但减少了一项1 k ＋1 D ．以上各种情况均不对 答案 C 解析 ∵n ＝k 时，左边＝1 k ＋1＋1k ＋2＋…＋1 2k ，n ＝k ＋1时， 左边＝ 1 k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1 2k ＋2 ， ∴增加了两项1 2k ＋1、1 2k ＋2，少了一项1 k ＋1 . 3．用数学归纳法证明不等式1＋1 2＋1 4＋…＋1 2n －1>127 64 (n ∈N *)成立，其初始值至少应取 ( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 答案 B 解析 左边＝1＋12＋14＋…＋1 2n －1＝ 1－1 2n 1－ 12 ＝2－1 2 n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 二、填空题(每小题5分，共15分) 4．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________． 答案 (5,7) 解析 本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1； 4＝1＋3＝2＋2＝3＋1； 5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1； …； 一个整数n 所拥有数对为(n －1)对． 设1＋2＋3＋…＋(n －1)＝60，∴ n －1n 2 ＝60， ∴n ＝11时还多5对数，且这5对数和都为12， 12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7， ∴第60个数对为(5,7)． 5．用数学归纳法证明? ????1＋13? ????1＋15? ????1＋17…? ?? ??1＋12k －1>2k ＋1 2 (k >1)，则当n ＝k ＋1时， 左端应乘上____________________________，这个乘上去的代数式共有因式的个数是__________． 答案 ? ????1＋12k ＋1? ????1＋12k ＋3…? ?? ?? 1＋12k ＋1－1 2k －1 解析 因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是? ?? ?? 1＋12k ＋1，最后一个是? ?? ??1＋12k ＋1－1，根据等差数列通项公式可求得共有2k ＋1－1－2k ＋12＋1＝2k －2k －1＝2k －1项． 6．在数列{a n }中，a 1＝1 3且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________． 答案 a n ＝ 1 2n －1 2n ＋1 解析 当n ＝2时，a 1＋a 2＝6a 2，即a 2＝15a 1＝1 15； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝15a 3， 即a 3＝114(a 1＋a 2)＝1 35 ； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝28a 4， 即a 4＝1 27(a 1＋a 2＋a 3)＝1 63 . ∴a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝1 7×9 ， 故猜想a n ＝1 2n －1 2n ＋1 . 三、解答题 7．(13分)已知函数f (x )＝ax －32x 2的最大值不大于16，又当x ∈???? ??14，12时，f (x )≥1 8. (1)求a 的值； (2)设0 n ＋1. (1)解 由题意，知 f (x )＝ax －32x 2＝－32? ????x －a 32＋a 26 . 又f (x )max ≤1 6，所以f ? ????a 3＝a 26≤16 . 所以a 2≤1. 又当x ∈???? ??14，12时，f (x )≥1 8， 所以???? ? f ? ????12≥18 ，f ? ????14≥1 8 ，即????? a 2－38≥1 8，a 4－332≥18， 解得a ≥1. 又因为a 2≤1，所以a ＝1. (2)证明 用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，0 2 ，显然结论成立． 因为当x ∈? ?? ??0，12时，0 6， 所以0 3. 故n ＝2时，原不等式也成立． ②假设当 n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式0 1 k ＋1 成立． 因为f (x )＝ax －32x 2的对称轴为直线x ＝1 3，所以当x ∈? ?? ??0，13时，f (x )为增函数． 所以由0 k ＋1≤1