最新北师大版九年级数学上册单元测试题全套及答案
(最新北师大版,2017年秋配套试题)
第一章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．菱形的对称轴的条数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 2．下列说法中，正确的是( )
A ．相等的角一定是对顶角
B ．四个角都相等的四边形一定是正方形
C ．平行四边形的对角线互相平分
D ．矩形的对角线一定垂直
3．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD 是( )
A ．矩形
B ．菱形
C ．正方形
D ．平行四边形 4．下列命题是假命题的是( )
A ．四个角相等的四边形是矩形
B ．对角线相等的平行四边形是矩形
C ．对角线垂直的四边形是菱形
D ．对角线垂直的平行四边形是菱形
5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1
处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为( )
A ．6 cm
B ．4 cm
C ．2 cm
D ．1 cm
6．如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( A ) C ．5 D ．4
,第6题图) ,第7题图)
7．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( ) A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°
8．已知四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，则下列结论正确的是( ) A ．当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是矩形
B ．当AB ＝AD ，CB ＝CD 时，四边形ABCD 是菱形
C ．当AB ＝A
D ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形
D ．当AC ＝BD ，AD ＝AB 时，四边形ABCD 是正方形
9．如图，矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝3，过点A ，C 作相距为2的平行线段AE ，CF ，分别交CD ，AB 于点E ，F ，则DE 的长是( )
C ．1
,第9题图) ,第10题图)
10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝1
3
AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B
恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF＝2BE ；②PF＝2PE ；③FQ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是( )
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①④ 二、填空题(每小题3分，共18分)
11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm ，3 cm ，则它的面积是___cm 2
.
12．如图，已知点P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP ＝BC ，则∠ACP 的度数是___度． 13．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件__ __，
使四边形ABCD 为矩形．
,第12题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)
14．已知矩形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F ，则AE 的长为_ cm.
15．如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A ，C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ，F ，AE ＝3，则四边形AECF 的周长为____．
16．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为__(_)_．
三、解答题(共72分)
17．(10分)如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？
18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
19．(10分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
20．(10分)如图，已知在?ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．
21．(10分)如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB＝8，求菱形的面积．
22．(10分)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
23．(12分)如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点．
(1)求证：△MBA≌△NDC；
(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．
第二章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )
A ．3(x ＋1)2
＝2(x ＋1) ＋1x
－2＝0
C ．ax 2＋bx ＋c ＝0
D ．x 2＋2x ＝x 2
－1 2．方程(x －2)(x ＋3)＝0的解是( )
A ．x ＝2
B ．x ＝－3
C ．x 1＝－2，x 2＝3
D ．x 1＝2，x 2＝－3
3．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32
ax －a 2
＝0的一个根，则a 的值为( )
A ．－1或4
B ．－1或－4
C ．1或－4
D ．1或4
4．用配方法解一元二次方程x 2
－2x －3＝0时，方程变形正确的是( )
A ．(x －1)2＝2
B ．(x －1)2＝4
C ．(x －1)2＝1
D ．(x －1)2
＝7 5．下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A ．x 2＋2x ＋1＝0
B ．x 2＋x ＋2＝0
C ．x 2－1＝0
D ．x 2
－2x －1＝0 6．解方程(x ＋1)(x ＋3)＝5较为合适的方法是( ) A ．直接开平方法 B ．配方法
C ．公式法或配方法
D ．分解因式法
7．已知一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个根分别是x 1，x 2，则x 12
－x 1＋x 2的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．2 D ．3
8．关于x 的方程x 2
－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．－1或5 B ．1 C ．5 D ．－1
9．某县政府2015年投资亿元用于保障性住房建设，计划到2017年投资保障性住房建设的资金为亿元，如果从2015年到2017年投资此项目资金的年增长率相同，那么年增长率是( )
A ．30%
B ．40%
C ．50%
D ．10%
10．有一块长32 cm ，宽24 cm 的长方形纸片，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是( )
A ．2 cm
B ．3 cm
C ．4 cm
D ．5 cm 二、填空题(每小题3分，共18分)
11．一元二次方程2x 2
＋6x ＝9的二次项系数、一次项系数、常数项和为___．
12．方程(x ＋2)2
＝x ＋2的解是____．
13．若代数式4x 2－2x －5与2x 2
＋1的值互为相反数，则x 的值是__．
14．写一个你喜欢的实数k 的值__ _，使关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2
＋2x －1＝0有两个不相等的实数根．
15．某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．则这种药品的成本的年平均下降率为___．
16．设m ，n 分别为一元二次方程x 2＋2x －2018＝0的两个实数根，则m 2
＋3m ＋n ＝__． 三、解答题(共72分) 17．(12分)解方程：
(1) x 2＋4x －1＝0; (2)x 2
＋3x ＋2＝0；
(3)3x 2
－7x ＋4＝0.
18．(10分)如图，已知A ，B ，C 是数轴上异于原点O 的三个点，且点O 为AB 的中点，点B 为AC 的中
点．若点B 对应的数是x ，点C 对应的数是x 2
－3x ，求x 的值．
19．(8分)一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2
－(k ＋2)x ＋94
＝0的根，求k
的值．
20．(10分)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的要价为324元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
21．(10分)小林准备进行如下操作试验：把一根长为40 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm 2
，小林该怎么剪？
(2)小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2
，”他的说法对吗？请说明理由．
22．(10分)某市电解金属锰厂从今年元月起安装了回收净化设备(安装时间不计)，这样既保护环境，又节省原料成本，据统计使用回收净化设备后1～x 月的利润的月平均值W(万元)满足W ＝10 x ＋90.请问
多少个月后的利润和为1620万元？
23．(12分)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30 000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．
(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？
(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20 000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户
数在200户的基础上增加了a%(其中a>0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了10
9
a%，求a 的
值.
第三章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0 ℃时冰融化.3个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)，P(B)，P(C)的大小关系正确的是()
A．P(C)＜P(A)＝P(B) B．P(C)＜P(A)＜P(B)
C．P(C)＜P(B)＜P(A) D．P(A)＜P(B)＜P(C)
2．从－5，0，4，π，这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是()
3．如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是()
4．袋子里有4个球，标有2，3，4，5，先抽取一个并记住，放回，然后再抽取一个，问抽取的两个球数字之和大于6的概率是()
5．掷两枚普通正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为()
6．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是()
,第6题图) ,第7题图)
7．如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是()
8．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b的值，则点(a，b)在第二象限的概率是()
9．从长为10 cm，7 cm，5 cm，3 cm的四条线段中任选三条能够组成三角形的概率是()
10．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以A1，A2，B1，B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是()
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．一个布袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外其他都相同．从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为___．
12．在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有____个．
13．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙能打开同一把锁，第三把钥匙能打开另一把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次能打开锁的概率是___．
14．一个不透明的袋子中装有黑、白小球各两个，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球都是白球的概率是__．15．若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的点数互不相同”的概率是__．
16．已知一包糖果共有五种颜色(糖果仅有颜色差别)，如图是这包糖果颜色分布百分比的统计图．在这包糖果中任取一粒糖果，则取出的糖果的颜色为绿色或棕色的概率是__．
三、解答题(共72分)
17．(10分)小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．
18．(10分)在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4.随机地摸取一张纸牌记下数字然后放回，再随机摸取一张纸牌．
(1)计算两次摸取纸牌上数字之和为5的概率；
(2)甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．
19．(10分)甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，6.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x，y分别作为点A的横坐标和纵坐标．
(1)用适当的方法写出点A(x，y)的所有情况；
(2)求点A落在第三象限的概率．
(1)列表：
20．(10分)分别把带有指针的圆形转盘A，B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一个小区域内标上数字(如图所示)．欢欢、乐乐两个人玩转盘游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止时，若指针所指两区域的数字之积为奇数，则欢欢胜；若指针所指两区域的数字之积为偶数，则乐乐胜；若有指针落在分割线上，则无效，需重新转动转盘．
(1)试用列表或画树状图的方法，求欢欢获胜的概率；
(2)请问这个游戏规则对欢欢、乐乐双方公平吗？试说明理由．
21．(10分)某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放(发放的食品价格一样)．食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
(1)按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是________事件；(可能，必然，不可能)
(2)请用列表或画树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
22．(10分)某景区7月1日～7月7日一周天气预报如图，小丽打算选择这期间一天或两天去该景区旅游．求下列事件的概率：
(1)随机选择一天，恰好天气预报是晴；
(2)随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．
23．(12分)有四张正面分别标有数字2，1，－3，－4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为n.
(1)请画出树状图并写出(m，n)所有可能的结果；
(2)求所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的概率．
(1)①画树状图得：
第四章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列说法正确的是( )
A ．对应边都成比例的多边形相似
B ．对应角都相等的多边形相似
C ．边数相同的正多边形相似
D ．矩形都相似
2．已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC 的周长为18，则△DEF 的周长为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．54 3．如图，已知BC∥DE，则下列说法不正确的是( C )
A ．两个三角形是位似图形
B ．点A 是两个三角形的位似中心
C ．AE ∶A
D 是相似比 D ．点B 与点
E ，点C 与点D 是对应位似点
4．如图，身高为 m 的小红想测量学校旗杆的高度，当她站在C 处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC ＝ m ，BC ＝ m ，则旗杆的高度是( C )
A ． m
B ． m
C ． m
D ． m
,第3题图) ,第4题图) ,第5题图) ,第6题图)
5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB⊥BC，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB 等于( B )
A ．60 m
B ．40 m
C ．30 m
D ．20 m
6．如图，矩形ABCD 的面积是72，AE ＝12DC ，BF ＝1
2
AD ，那么矩形EBFG 的面积是( B )
A ．24
B ．18
C ．12
D ．9
7．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( B )
A ．(6，0)
B ．(6，3)
C ．(6，5)
D ．(4，2)
,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
8．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE
OB
；
④S △ODE S △ADC ＝13
.其中正确的个数有( B ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
9．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD.下列结论错误的是( C )
A ．∠C ＝2∠A
B ．BD 平分∠ABC
C ．S △BC
D ＝S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点
10．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△PAD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 二、填空题(每小题3分，共18分)
11．若x y ＝m n ＝45(y≠n)，则x －m y －n ＝__45
__．
12．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x 的值是__16__．
13．如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP.要使△ABP∽△ACB，则必须有∠ABP＝__∠C __或
∠APB ＝__∠ABC __或AB AP ＝__AC
AB
__．
,第12题图) ,第13题图) ,第14题图) ,第15题图)
14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF ＝__12
5
__．
15．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有
一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．
16．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得△A′B′C′，已知OB ＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC 的面积之比为__1∶9__．
三、解答题(共72分)
17．(10分)如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD＝∠C，AB ＝6，AD ＝4，求线段CD 的长．
在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝AD
AB
，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC
＝AB 2
AD ＝36
4＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝5
18．(10分)一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．
两种截法：①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有1020＝2550＝3060＝1
2
，从而两个三角形相似；②30厘米与50厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋
截出12厘米和36厘米两部分，则有2012＝5030＝6036＝5
3
，从而两个三角形相似
19．(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．
(1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；
(2)在网格内以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.
20．(10分)如图，矩形ABCD 为台球桌面．AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm .球目前在E 点位置，AE ＝60 cm .如果小丁瞄准了BC 边上的点F 将球打进去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．
(1)求证：△BEF∽△CDF； (2)求CF 的长．
(1)∵FG⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF
(2)设CF ＝x ，则BF ＝260－x ，∵AB ＝130，AE ＝60，BE ＝70，由(1)得，△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF
CF
，
即70130＝260－x x ，∴x ＝169，即CF ＝169 cm
21．(10分)如图，在△ABC 中，AD 是中线，且CD 2
＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.
∵AD 是中线，∴BD ＝CD ，又CD 2＝BE ·BA ，∴BD 2
＝BE ·BA ，即BE BD ＝BD AB
，又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ，
∴ED AD ＝BD
AB ，∴ED ·AB ＝AD·BD
22．(10分)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为点E ，连接DE ，点F 为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．
(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC (2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD
＝AB ＝8.由(1)知△ADF∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD·CD AF ＝63×8
43＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得
AE ＝DE 2
－AD 2
＝122
－（63）2
＝6
23．(12分)将一副三角尺如图①摆放(在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°)，点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C.
(1)求∠ADE 的度数；
(2)如图②，将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为
△DE′F′，DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，试判断PM
CN
的值是否随着α的变化而变化？如果不变，
请求出PM
CN
的值；反之，请说明理由．
(1)由题意知，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD ，∵在△BCD 中，BD ＝CD 且∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴∠ADE ＝180°－∠BDC －∠EDF ＝180°－60°－90°＝
30° (2)PM
CN
的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵△APD 的外角∠MPD ＝∠A ＋∠ADE ＝30°＋30°
＝60°，∴∠MPD ＝∠BCD ＝60°，∵在△MPD 和△NCD 中，∠MPD ＝∠NCD ＝60°，∠PDM ＝∠CDN ＝α，∴
△MPD∽△NCD ，PM CN ＝PD
CD ，∵∠ACB ＝90°，∠BCD ＝60°，∴∠PCD ＝30°.在Rt △PCD 中，∠PCD ＝30°，
∴PD CD ＝13＝33
，∴PM CN ＝PD CD ＝33
第五章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在桌面上，它的俯视图是( D )
2．如图是由4个相同的正方体组成的几何体，则这个几何体的俯视图是( A )
3．如图是一个几何体的实物图，则其主视图是( C )
4．如图是一支架(一种小零件)，支架的两个台阶的高度和宽度都是同一长度，则它的三视图是( A )
5．木棒的长为 m ，则它的正投影的长一定( D )
A ．大于 m
B ．小于 m
C ．等于 m
D ．小于或等于 m 6．下列四个几何体中，俯视图为四边形的是( D )
7．如图是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是( A )
8．小琳过14周岁生日，父母为她预定的生日蛋糕如图所示，当投影线由生日蛋糕的前方射到后方时，它的正投影应该是( B )
9．有两个完全相同的长方体，按如图所示方式摆放，其主视图是( C )
10．如图，小轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20 m 到达Q 点时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知小轩同学的身高是 m ，两个路灯的高度都是9 m ，则两路灯这间的距离是( D )
A ．24 m
B ．25 m
C ．28 m
D ．30 m 二、填空题(每小题3分，共18分)
11．太阳光形成的投影是__平行投影__，电动车灯所发出的光线形成的投影是__中心投影__．
12．如图，在常见的几何体圆锥、圆柱、球、长方体中，主视图与它的左视图一定完全相同的几何体有__①②③__．(填编号)
13．如图所示是由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则这个几何体可能是由__6或7或8__个小正方体搭成的．
,第13题图) ,第15题图) ,第16题图)
14．小刚和小明在太阳光下行走，小刚身高 m ，他的影长为 m ，小刚比小明矮9 cm ，此刻小明的影长是．
15．一个长方体的主视图和左视图如图(单位：cm )，则其俯视图的面积是__6_cm 2
__．
16．如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC ＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN ＝23米，窗户的下沿到教室地面的距离BC ＝1米(点M ，N ，C 在同一直线上)，则窗户的高AB 为__2米__．
三、解答题(共72分)
17．(10分)根据下列主视图和俯视图，指出其对应的物体．
a —D ，
b —A ，
c —B ，
d —C
18．(10分)如图，是一个小正方体所搭几何体从上面看得到的平面图形，正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数．请你画出它从正面和从左面看得到的平面图形．
19．(10分)小亮在某一时刻测得小树高为 m ，其影长为 m ，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，它的一部分影子便落在了教学楼的墙上，经测量，地面部分影长为 m ，墙上影长为2 m ，那么这棵大树高为多少米？
设大树影长为x 米，大树高为y 米，则x －
2
＝错误!，解得x ＝8.∵错误!＝错误!∴y ＝10，答：这棵大
树高为10米
20．(10分)在长、宽都为4 m ，高为3 m 的房间的正中央的天花板上悬挂一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩，如图所示，已知灯罩深8 cm ，灯泡离地面2 m ，为了使光线恰好照在墙脚，问灯罩的直径应为多少？(结果精确到米)
如图，由题意知，DE 为地面上墙脚的对角线连线．过点A 作AM ⊥DE 交DE 于点M ，交BC 于点N.
∵DE∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AN AM ＝BC DE .∵AN ＝，AM ＝2，DE ＝42，∴BC ＝42×
2
≈ m
21．(10分)如图，某居民小区内A ，B 两楼之间的距离MN ＝30 m ，两楼的高度都是20 m ，A 楼在B 楼
正南，B 楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN ＝2 m ，窗户高CD ＝ m ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(参考数据：2＝，3＝，5＝
如图，设光线FE 影响到B 楼的E 处，
作GE⊥FM 于点G ，EG ＝MN ＝30，∠FEG ＝30°，FG ＝103，MG ＝FM －GF ＝20－103≈.又DN ＝2，CD ＝，∴DE ＝－2＝<.∴A 楼的影子影响到B 楼一楼采光，挡住该住户窗户 m
22．(10分)如图是一个密封纸盒的三视图，请你根据图中数据计算这个密封纸盒的表面积．(结果保留根号)
根据该密封纸盒的三视图知道它是一个六棱柱．∵其高为12 cm ，底面边长为 5 cm ，∴其侧面积为
6×5×12＝360(cm 2)，密封纸盒的上、下底面的面积和为：12×5×32×5×12＝753(cm 2
)，∴其表面积为
(753＋360)cm 2
23．(12分)如图，王乐同学在晚上由路灯A 走向路灯B ，当他行到P 处时发现，他在路灯B 下的影长为2 m ，且恰好位于路灯A 的正下方，接着他又走了 m 到Q 处，此时他在路灯A 下的影子恰好位于路灯B 的正下方(已知王乐身高 m ，路灯B 高9 m )．
(1)标出王乐站在P 处时，在路灯B 下的影子； (2)计算王乐站在Q 处时，在路灯A 下的影长； (3)计算路灯A 的高度．
(1)线段CP 为王乐在路灯B 下的影子． (2)由题意得Rt △CEP ∽Rt △CBD.∴EP BD ＝CP
CD
，∴错误!＝错误!，
解得QD ＝ m ．所以王乐站在Q 处时，在路灯A 下的影长为 m (3)路灯A 的高度为12 m
第六章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．反比例函数的图象经过点(－2，3)，则此函数的图象也经过点( A )
A ．(2，－3)
B ．(－3，－3)
C ．(2，3)
D ．(－4，6) 2．如图，是我们学过的反比例函数的图象，它的函数表达式可能是( B )
A ．y ＝x 2
B ．y ＝4x
C ．y ＝－3x
D ．y ＝1
2
x
3．为了更好的保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m 3
)一定的污水处理池，池的底面积S(m 2
)与其深度h(m )满足关系式：V ＝Sh(V≠0)，则S 关于h 的函数图象大致是( C )
4．反比例函数y ＝k x 的图象经过点(－2，3
2
)，则它的图象位于( B )
A ．第一、三象限
B ．第二、四象限
C ．第一、二象限
D ．第三、四象限
5．若在同一直角坐标系中，直线y ＝k 1x 与双曲线y ＝k 2
x
有两个交点，则有( C )
A ．k 1＋k 2>0
B ．k 1＋k 2<0
C ．k 1k 2>0
D ．k 1k 2<0
6．反比例函数y ＝2
x
的图象上有两个点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1 A ．y 1>y 2 B ．y 1 C ．y 1＝y 2 D ．不能确定 7．在反比例函数y ＝4 x 的图象上，阴影部分的面积不等于4的是( B ) 8．如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝k x (x>0)的 图象经过顶点B ，则k 的值为( D ) A ．12 B ．20 C ．24 D ．32 ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图) 9．如图，函数y ＝－x 与函数y ＝－4 x 的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足 分别为点C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( D ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 10．反比例函数y ＝m x 的图象如图所示，以下结论：①常数m<－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而 增大；③若A(－1，h)，B(2，k)在图象上，则h A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．反比例函数y ＝k x 的图象经过点(1，－2)，则k 的值为__－2__． 12．已知正比例函数y ＝－2x 与反比例函数y ＝k x 的图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点的 坐标为__(1，－2)__． 13．已知反比例函数y ＝k x (k≠0)的图象经过点(3，－1)，则当1＜y ＜3时，自变量x 的取值范围是__ －3＜x ＜－1__． 14．在某一电路中，保持电压不变，电流I(安)与电阻R(欧)成反比例，其图象如图所示，则这一电路的电压为__12__伏． ,第14题图) ,第15题图) ,第16题图) 15．如图，直线x ＝2与反比例函数y ＝2x ，y ＝－1 x 的图象分别交于A ，B 两点，若点P 是y 轴上任意一 点，则△PAB 的面积是__3 2 __． 16．如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM ，ON ，MN.下列结论：①△OCN≌△OAM；②ON＝MN; ③四边形DAMN 与△MON 面积相等；④若∠MON＝45°，MN ＝2，则点C 的坐标为(0，2＋1)．其中正确结论的序号是__①③④__． 三、解答题(共72分) 17．(10分)已知反比例函数的图象与直线y ＝2x 相交于点A(1，a)，求这个反比例函数的表达式． 将点A (1，a )代入直线y ＝2x 得a ＝2×1＝2，∴点A 的坐标为(1，2)，将A (1，2)代入y ＝k x 中，可得 反比例函数的表达式为y ＝2 x 18．(10分)已知反比例函数的图象过点A(－2，3)． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)这个函数的图象分布在哪些象限？y 随x 的增大如何变化？ (3)点B(1，－6)，C(2，4)和D(2，－3)是否在这个函数的图象上？ (1)y ＝－6 x (2)分布在第二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大 (3)∵函数的表达式是y ＝－6 x ，∴x ＝1时，y ＝－6，x ＝2时，y ＝－3，∴点B 和点D 在这个函数图象 上，点C 不在这个函数图象上 19．(10分)如图，已知直线y 1＝x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y 2＝k x (k≠0， x<0)交于C ，D 两点，且C 点的坐标为(－1，2)． (1)分别求出直线AB 及反比例函数的表达式； (2)求出点D 的坐标； (3)利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时，y 1>y 2. (1)y 1＝x ＋3，y 2＝－2 x (2)D (－2，1) (3)由图象知－2 20．(10分)已知一次函数y ＝x ＋6和反比例函数y ＝k x (k≠0)． (1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个公共点？ (2)设(1)中的公共点为A 和B ，则∠AOB 是锐角还是钝角？ (1)由? ????y ＝x ＋6，y ＝k x ，得x ＋6＝k x ，∴x 2＋6x －k ＝0，∴Δ＝62 －4×1×(－k )＝36＋4k.当36＋4k>0时， 即k>－9(k≠0)时，这两个函数在同一坐标系中的图象有两个公共点 (2)∵y ＝x ＋6的图象过第一、二、三象限，当－9 x 的图象在第二、四象限，则此时 两函数图象的公共点A ，B 均在第二象限，∠AOB 显然为锐角；当k>0时，函数y ＝k x 的图象位于第一、三 象限，此时公共点A ，B 分别位于第一、三象限内，显然∠AOB 为钝角 21．(10分)如图，四边形ABCD 为正方形，点A 的坐标为(0，2)，点B 的坐标为(0，－3)，反比例函数y ＝k x 的图象经过点C ，一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过点A ，C. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点P 是反比例函数图象上的一点，△AOP 的面积恰好等于正方形ABCD 的面积，求P 点的坐标． (1)由题意知，C 点坐标为(5，－3)，把C (5，－3)代入y ＝k x 中，－3＝k 5 ，∴k ＝－15，∴反比例函数 的表达式为y ＝－15 x .把A (0，2)，C (5，－3)两点坐标分别代入y ＝ax ＋b 中，得?????b ＝2，5a ＋b ＝－3，解得? ?? ??a ＝－1，b ＝2.∴一次函数的表达式为y ＝－x ＋2 (2)设P 点坐标为(x ，y )．∵S △AOP ＝S 正方形ABCD ，S △AOP ＝1 2 ×OA·|x|，S 正 方形ABCD ＝52，∴12×OA·|x|＝52 ，12×2|x|＝25，x ＝±25.把x ＝±25分别代入y ＝－ 15x 中，得y ＝±35，∴P 点坐标为(25，－35)或(－25，3 5 ) 22．(10分)如图，点B(3，3)在双曲线y ＝k x (x>0)上，点D 在双曲线y ＝－4 x (x<0)上，点A 和点C 分 别在x 轴、y 轴的正半轴上，且点A ，B ，C ，D 构成的四边形为正方形． (1)求k 的值； (2)求点A 的坐标． (1)∵点B (3，3)在双曲线y ＝k x 上，∴k ＝3×3＝9 (2)过点D 作DM⊥x 轴于点M ，过点B 作BN⊥x 轴于点N ，垂足分别为点M ，N ，∵B (3，3)，∴BN ＝ON ＝3，设MD ＝a ，OM ＝b ，∵D 在双曲线y ＝－4 x (x ＜0)上，∴－ab ＝－4，即ab ＝4，则∠DMA ＝∠ANB ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAB ＝90°，AD ＝AB ，∴∠MDA ＋∠DAM ＝90°，∠DAM ＋∠BAN ＝90°，∴∠ ADM ＝∠BAN ，在△ADM 和△BAN 中，???? ?∠MDA ＝∠NAB ， ∠DMA ＝∠ANB ，AD ＝AB ， ∴△ADM≌△BAN (AAS )，∴BN ＝AM ＝3，MD ＝AN ＝a ， ∴OA ＝3－a ，即AM ＝b ＋3－a ＝3，a ＝b ，∵ab ＝4，∴a ＝b ＝2，∴OA ＝3－2＝1，即点A 的坐标是(1，0) 23．(12分)保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动，某化工厂2017年1月的利润为200万元．设2017年1月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2017年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例，到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元(如图)． (1)分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，y 与x 之间的函数关系式； (2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂月利润才能达到200万元？ (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？ (1)①当1≤x ≤5时，设y ＝k x ，把(1，200)代入，得k ＝200，即y ＝200 x ；②当x ＝5时，y ＝40，所以 当x ＞5时，设y ＝20x ＋b ，则20×5＋b ＝40，得b ＝－60，即x>5时，y ＝20x －60 (2)当y ＝200时，20x －60＝200，解得x ＝13.所以治污改造工程顺利完工后经过13－5＝8个月后，该厂利润达到200万元 (3) 对于y ＝200 x ，当y ＝100时，x ＝2；对于y ＝20x －60，当y ＝100时，x ＝8，所以资金紧张期共有8－2－1 ＝5个月 北师大版初中数学知识点汇总九年级(上册) 班级姓名 第一章证明(二) 1、三角形全等的性质及判定 全等三角形的对应边相等，对应角也相等 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、 2、等腰三角形的判定、性质及推论 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”） 3、等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。或者三个角都相等的三角形是等边三角形。 含30度的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 4、直角三角形 （1）勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 （2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。 （3）直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL） 5、线段的垂直平分线 （1）线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （2）三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。 6、角平分线 （1）角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。北师大版九年级数学上册知识点总结
北师大版数学九年级上册知识点归纳