数列
与数学归纳法专项训练
1.如图，曲线2
(0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值;（2）求数列{n a }的通项公式n a 。
2.设
{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有
21,,n n n a b a +成等差数列，22
11,,n n n b a b ++成等比数列．
（1）试问
{}n b 是否成等差数列？为什么？
（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ??
????
的前n 项和n S ．
3.已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66. （Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b )1(2+=
，n n b b b T +++=Λ21，求证：n T ≥1
6
.
4.已知数列{n a }中5
31=
a ，112--=n n a a （n ≥2，+
∈N n ），数列}{n b ，满足11-=
n n a b （+
∈N n ）
（1）求证数列{n b }是等差数列；
（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）记++=21b b S n …n b +，求1
)1(lim +-∞
→n n
S b n n ．
5.已知数列{a n }中，a 1>0,且a n +1=
2
3n
a +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列；
(Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；
(Ⅲ)若a 1=2，设b n =|a n +1－a n |(n =1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：
S n <
2
5．
6.（1）已知：)0(∞+∈x ，求证
x x x x 11ln 11<+<+； （2）已知：2≥∈n N n 且，求证：1
1
211ln 13121-+++<<+++n n n ΛΛ。
7.已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意*
∈N n ，都有
n n pa p S p -=?-)1(（p 为大于1的常数），并记
n
n
n
n
n n n S a C a C a C n f ??++?+?+=21)(2211Λ. （1）求n a ； （2）比较)1(+n f 与
)(21
n f p
p ?+的大小*∈N n ； （3）求证：???
????????? ??-+-?-+≤≤?---=∑1
21
21
11111)()()12(n n i p p p p i f n f n (*
∈N n ). 8.已知n N *
∈，各项为正的等差数列
{}n a 满足
263521,10a a a a ?=+=，又数列{}lg n b 的前n 项和是
()()1
1lg312
n S n n n n =+--。
（1）求数列
{}n a 的通项公式； （2）求证数列
{}n b 是等比数列；
（3）设n n n c a b =，试问数列
{}n c 有没有最大项？如果有，求出这个最大项，如果没有，说明
理由。
9.设数列{}n a 前项和为n s ,且(3),(32)+
∈+=+-N n m ma s m n n ,其中m 为常数,m .3≠ (1) 求证:是等比数列;
若数列{}n a 的公比q=f(m),数列{}n b 满足),2,)((2
3
1,11≥∈=
=+-n N n b f b a b n n 求证:?
??
??
?n b 1为等差数列,求n b . 10.已知数列}{n a 满足：,2
1
,121=
=a a 且0]1)1[(22])1(3[2=--+--++n
n n n
a a ，
*N n ∈．
（Ⅰ）求3a ，4a ，5a ，6a 的值及数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设n n n a a b 212?=-，求数列}{n b 的前n 项和n S ；
11.将等差数列{}n a 所有项依次排列，并作如下分组：1234567(),(,),(,,,),a a a a a a a …第一组1项，第二组2项，第三组4项，…，第n 组1
2
n -项。记n T 为第n 组中各项的和。已知
3448,0T T =-=。
（1）求数列{}n a 的通项； （2）求{}n T 的通项公式；
（3）设{}n T 的前n 项的和为n S ，求8S 。 12.设各项为正数的等比数列{}n a 的首项2
1
1=
a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。
（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
13.设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1
sin )(n n a x n
x f -=,[n a x ∈]1+n a 满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根。 （1）试写出
)(1x f y =，并求出2a ；
（2）求n n a a -+1，并求出}{n a 的通项公式； （3）设n n n a a a a a S 1
4321)
1(--++-+-=Λ，求n S 。
14.已知数列3021,,,a a a Λ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1
的等差数列；201110,,,a a a Λ是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a Λ是公差为2d 的等差数列（0>d ）.
(Ⅰ)若4020=a ，求d ；（Ⅱ）试写出30a 关于d 的关系式，并求30a 的取值范围； （Ⅲ）续写已知数列，使得403130,,,a a a Λ是公差为3d 的等差数列，……，依次类推， 把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？(所得的结论不必证明)
15.一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，按照某种运算程序：①当从A 口输入自
然数1时，从B 口得到
13，记为()1
13
f =；②当从A 口输入自然数()2n n ≥时，在B 口得到的结果()f n 是前一个结果()1f n -的()()211
213
n n ---+倍.
（1）当从A 口分别输入自然数2，3，4时，从B 口分别得到什么数？试猜想()f n 的关系式，
并证明你的结论； （2）记n S 为数列
(){}f n 的前n n
S
的值.
16.已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4. （1）求λ的值；
（2）求数列}{n a 的通项公式a n ；
（3）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较
2
n
T 与S n 的大小. 17.定义：若数列{}n A 满足2
1n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，12a =，且2
122n n n a a a +=+，其中n 为正整数．
(1)设21n n b a =+，证明：数列{}n b 是“平方递推数列”，且数列{lg }n b 为等比数列； (2)设(1)中“平方递推数列”{}n b 的前n 项之积为n T ，即12(21)(21)(21)n n T a a a =+++L ，
求数列{}n a 的通项及n T 关于n 的表达式；
(3)记21log n n a n c T +=，求数列{}n c 的前n 项之和n S ，并求使2008n S >的n 的最小值． 18.在不等边△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A 2
sin ，B 2
sin ，C 2
sin 依次成等差数列，给定数列
a A cos ，
b B cos ，c
C
cos ． （1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号： 数列
a A cos ，
b B cos ，c
C
cos （ ）． A ．是等比数列而不是等差数列 B ．是等差数列而不是等比数列 C ．既是等比数列也是等差数列 D ．既非等比数列也非等差数列 （2）证明你的判断．
19.已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，已知a 2=8，S 10=185， （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设n n b a 2log =，证明}{n b 是等比数列，并求其前n 项和T n . 20.已知数列{a n }中，a 11=，a a a n n n =+
--11
1（n ＝2，3，4，…）
（I ）求a a 23、的值；
（II ）证明当n ＝2，3，4，…时，2132n a n n -<≤-
21.已知等差数列{a n }中，a S n 3
8=，是其前n 项的和且S 20610=
（I ）求数列{a n }的通项公式。
（II ）若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n
项，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，求数列{b n }的前n 项和T n 。
22.已知正项等比数列{n a }满足条件：①12154321=++++a a a a a ；②
251
11115
4321=++++a a a a a ，求{n a }的通项公式n a ． 23.已知函数f （x ）＝3log （ax ＋b ）图象过点A （2，1）和B （5，2）．
（1）求函数f （x ）的解析式； （2）记)
(3
x f n a =，*N ∈n ，是否存在正数k ，使得)11)(11(2
2a a ++
…12)1
1(+≥+
n k a n
对一切*N ∈n 均成立，若存在，求出k 的最大值，若不存在，请说明理由．
24.已知f(x)=log 2(x+m),m ∈R
（1）如果f(1)，f(2)，f(4)成等差数列，求m 的值；
（2）如果a,b,c 是两两不等的正数，且a,b,c 依次成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论。
26.}{n a 和}{n b 分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第二项与第四项的和分别是90和34，令集合2
1{a A =，2
2a ，2
3a ，…，}2
n a ，1{b B
=，2b ，3b ，…，
}n b ．求证：≠?B A ．
27.已知曲线C ：x y 1=
，n C ：n x y -+=2
1（*
∈N n ）。从C 上的点),(n n n y x Q 作x 轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，交C 于点),(111+++n n n y x Q ，
设111,,1++-=-==n n n n n n y y b x x a x 。 （I ）求21,Q Q 的坐标； （II ）求数列{}n a 的通项公式；
（III ）记数列{}n n b a ?的前n 项和为n S ，求证：3
1
1.解：①由条件可得1111,22P a a ?? ? ???,代入2 (0)y x y =≥得21111312,0,423a a a a =>∴=Q ②12n n S a a a =+++Q L ∴1111(,)22 n n n n P S a a ++++；代入曲线2(0)y x y =≥并 整理得211314 2 n n n S a a ++=-,∴于是当* 2,n n N ≥∈时,221113131()()4242 n n n n n n n a S S a a a a -++=-=--- 即11113()()()24n n n n n n a a a a a a ++++=+?-*1120,(2,)3 n n n n a a a a n n N ++>>∴-=≥∈Q 又当2122231421,,(4233n S a a a ==-∴=-时舍去） ；212 3a a ∴-=,故*12()3n n a a n N +-=∈∴所以数列{n a }是首项为23、公差为23的等差数列,2 3 n a n =。 2.由题意，得2 12n n n b a a +=+，（1） 222 11n n n a b b ++=g （2） （1）因为0,0n n a b >>，所以由式（2）得11n n n a b b ++=g ，从而当2n ≥时，1n n n a b b -=g ， 代入式（1）得2 112n n n n n b b b b b -+=+， 即()1122n n n b b b n -+=+≥，故{}n b 是等差数列． （2）由1 11,a b ==1），式（2），易得223,a b == 因此 {}n b 的公差2d = ，从而())1112 n b b n d n =+-=+， 得()()11 122 n a n n += ++（3） 又11a =也适合式（3），得() ()*12 n n n a n N += ∈， 所以 ()121 1211n a n n n n ??==- ?++?? ， 从而111111221 (2122311) 1n n S n n n n ?????? ?????? ??? ?=-+-++-=-= ? ? ??? ?++???????? ? ?????? 3.解：（Ⅰ）1118 6,265 666 224n a d a d a d a n d +=???==??+=??∴=+Q （Ⅱ）2211 (1)1)(24)12 n n b n a n n n n = ==-+++++（， 1211111111 23344512 n n T b b b n n =+++= -+-+-++- ++L L ， = 11 22 n - + 而1122n ??-? ?+?? 是递增数列，1111236n T T ∴≥=-=≥16. 4.（1）1 1 121 11111-=--=-= ---n n n n n a a a a b ， 而 1 111-= --n n a b ， ∴ 11 1 11111=-=-= -----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为25 1111-=-= a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11= -，而5.31)1(2 5 -=-+-=?n n b n ， ∴ 5.31 1-= -n a n ． 对于函数5 .31 -=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0 故当n ＝4时，5 .31 1-+=n a n 取最大值3 而函数5 .31 -=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12 <--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数． 故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2 )5)(1(2) 25 225)(1(1-+= -+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ， ∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1． 5.(Ⅰ)欲使数列{a n }是一个常数数列，则a n +1= 2 3n a +=a n 又依a 1>0，可得a n >0并解出：a n =23，即a 1=a n =2 3 (Ⅱ)研究a n +1－a n =23n a +－231-+n a =?? ? ? ??+++---2323211 n n n n a a a a (n ≥2) 注意到??? ? ??+++-232321n n a a >0 因此，可以得出：a n +1－a n ，a n －a n －1，a n －1－a n －2，…，a 2－a 1有相同的符号7’ 要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2－a 1>0即可. 由 1123a a -+>0，解得：0 3 (Ⅲ)用与(Ⅱ)中相同的方法，可得 当a 1> 2 3 时，a n +1 =|a 2－a 1|+|a 3－a 2|+…+|a n +1－a n | =a 1－a 2＋a 2－a 3＋…＋a n －a n +1 =a 1－a n +1=2－a n +1 又：a n +2=231++n a 2 3 , 故S n <2－ 23=2 1 6.（1）令t x =+11，由x>0，∴t>1，1 1 -= t x 原不等式等价于1ln 1 1-<<-t t t 令f(t)=t-1-lnt ， ∵t t f 11)(-='当),1(+∞∈t 时，有0)(>'t f ，∴函数f(t)在),1(+∞∈t 递增 ∴f(t)>f(1) 即t-1 另令t t t g 11ln )(+ -=，则有01 )(2>-='t t t g ∴g(t)在),1(+∞上递增，∴g(t)>g(1)=0 ∴t t 1 1ln -> 综上得 x x x x 11ln 11<+<+ （2）由（1）令x=1,2,……(n-1)并相加得 即得 1 1 211ln 13121-+ ++<<+++n n ΛΛ 7.(1)易求得n n p a = （2）n n n n n n n n n p p p S a C a C a C n f -?+?-=??++?+?+=11 )21(2121)(2211Λ 作差比较易得：)(21 )1(n f p p n f +< + （3）当1=n 时，不等式组显然成立. 当?? ? ???-+--+< -+++ ≥-12)11(111)12()2()1(2n p p p p n f f f n Λ时，先证 由（2）知)1()1 1()1()11()(11)1(2f p p n f p p n f p p n f n -+<<--+<-+< +Λ ∑-=---??????+--+=+- +-+=++++++< ∴1 21 121 2122)21(111211) 21( 121)21()21(21)(n i n n n p p p p p p p p p p p p p p p p i f Λ再证)()12()12()2()1(n f n n f f f ->-+++Λ 而221221 2)1(21)(1n n n n n p p p p p p p -=+?-<++--- 同理：)(2)22()2(n f n f f >-+，)(2)32()3(n f n f f >-+，……， 以上各式相加得：[])()12(2)12()2()1(2 n f n n f f f ->-+++Λ 即 )()12()(1 21 n f n i f n i ->∑-=. 8.（1）263510a a a a +=+=，又Q 2621a a ?= 2637a a =?∴?=?或2673 a a =??=? 若26 7 3a a =?? =?，则9n a n =-，101a =-与0n a >矛盾； 若2637 a a =??=?，则1n a n =+，显然0n a >， （2）111lg 2lg 3,9 b S b ==∴=， 当2n ≥时，1 19lg lg910n n n n b S S --?? =-=? ? ??，欧1 9910n n b -?? ∴=? ? ?? 1n =Q 时，19n b b ==，1 99,10n n b n N -*?? ∴=?∈ ? ?? ∴数列是以9为首项， 9 10 为公比的等比数列。 （3）()1 99110n n c n -?? =+ ? ?? ，设()2k c k ≥是数列{}n c 中的最大项，则 由1 1 k k k k c c c c +-≥?? ≥?可得89k ≤≤ ∴数列{}n c 有最大项，最大项是7 8998110c c ?? ==? ??? 。 9.（1）由,32)3(32)3(11+=+-+=+-++m ma s m m ma s m n n n n 得 ∴{}n a 是等比数列。 （2）2,32)(,111≥∈∴+= ===+n N n m m m f q a b 10. （Ⅰ）经计算33=a ，414=a ，55=a ，8 1 6=a ． 当n 为奇数时，22+=+n n a a ，即数列}{n a 的奇数项成等差数列， 122)1(112-=?-+=∴-n n a a n ； 当n 为偶数，n n a a 21 2= +，即数列}{n a 的偶数项成等比数列， n n n a a )2 1 ()2 1 (1 22=?=∴-． 因此，数列}{n a 的通项公式为?? ???=)() 21()( 2 为偶数为奇数n n n a n n ． （Ⅱ）Θn n n b )2 1 ()12(?-=， n n n n n S )2 1 ()12()21()32()21(5)21(3211132?-+?-++?+?+? =∴-Λ……（1） 1432)2 1()12()21()32()21(5)21(3)21(1 21+?-+?-++?+?+?=n n n n n S Λ…（2） （1）、（2）两式相减， 得 132)2 1 ()12(])21()21()21[(2211 21+?--++++?=n n n n S Λ 11)21()12(211])21(1[2121+-?----?+=n n n 1)21()32(23+?+-=n n ． n n n S )2 1 ()32(3?+-=∴． 11.设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则 34567141848T a a a a a d =+++=+=-（1） 489151...8840T a a a a d =+++=+=（2） 解得121,2a d =-=，则223n a n =-。 （2）当2n ≥时，在前n-1组中共有项数为：2 2 1122...221n n --++++=-。故第n 组中的 第一项是数列{}n a 中的第1 2n -项，且第n 组中共有1 2 n -项。 所以11 1122121 2 2(21)322422 n n n n n n n T a d ------=?+?-=?-? 当n=1时，1121T a ==-也适合上式，故22 132 242n n n T --=?-?。 （3）8128...S T T T =+++。即数列{}n a 前8组元素之和，且这8组总共有项数 278122...221255++++=-=。 则8111 255255254255(21)25525425941522S a d =+ ???=?-+???= 12.（Ⅰ）由0)12(21020103010=++-S S S 得,)(21020203010 S S S S -=- 即,)(220121********* a a a a a a +++=+++ΛΛ 可得.)(2 2012112012111010 a a a a a a q +++=+++?ΛΛ 因为0>n a ，所以,1210 10 =q 解得21= q ，因而.,2,1,2 111Λ===-n q a a n n n （Ⅱ）因为}{n a 是首项211=a 、公比2 1 =q 的等比数列，故 则数列}{n nS 的前n 项和),2 2221()21(2n n n n T +++-+++=ΛΛ 前两式相减，得 122)212121()21(212+++++-+++=n n n n n T ΛΛ 122 11) 211(214)1(++---+=n n n n n 即.22212)1(1-+++=-n n n n n n T 13.（1）∵01=a ,当1=n 时,|sin ||)sin(|)(11x a x x f =-=,],0[2a x ∈, 又∵对任意的)1,0[∈b , b x f =)(1总有两个不同的根,∴π=2a ∴ ],0[,sin )(1π∈=x x x f ，π=2a 由(1),],[|,2 cos ||)(21sin ||)(21sin |)(322a x x x a x x f ππ∈=-=-= ∵对任意的)1,0[∈b , b x f =)(1总有两个不同的根,∴ π33=a ],3[|,3 1 sin ||)3(31sin ||)(31sin |)(433a x x a x x f πππ∈=-=-= ∵对任意的)1,0[∈b , b x f =)(1总有两个不同的根,∴π64=a 由此可得πn a a n n =-+1，2 )1(π -= n n a n （1） 当Z k k n ∈=,2，k k k a a a a a a S 21243212-++-+-=-ΛΛ π πππππ4 ])12(53[) ()()[(22 1223412n k k a a a a a a k k -=-=-++++-=-++-+--=-ΛΛ∴π42n S n -= 当Z k k n ∈+=,12，πππ4 ) 1)(1(22)12(2 12212+-=++ -=+=++n n k k k a S S k k k ∴π4 ) 1)(1(+-= n n S n 14.（1）3,401010.102010=∴=+==d d a a . （2）( ) )0(110102 2 2030>++=+=d d d d a a ，??? ?????+??? ??+=4321102 30 d a ， 当),0(∞+∈d 时，.),10(30+∞∈a （3）所给数列可推广为无穷数列{}n a ，其中1021,,,a a a Λ是首项为1，公差为1的等差数列，当1≥n 时，数列)1(1011010,,,++n n n a a a Λ是公差为n d 的等差数列. 研究的问题可以是：试写出)1(10+n a 关于d 的关系式，并求)1(10+n a 的取值范围． 15.（1）由已知得()()()23 12,21n f n f n n n N n *-= -≥∈+ 当2n =时，()()43111 21415315f f -=?=?=+，1分 同理可得()()11 3,43563 f f ==3分猜想 下面用数学归纳法证明成立 ①当时，由上面的计算结果知 成立6分 ②假设 时， 成立，即， 那么当时， 即 当 时， 也成立 综合①②所述，对， 成立。 （2）由（1）可得 16.（I ）解：由得 ， （II ）由， ∴数列{ }是以S 1+1=2为首项，以2为公比的等比数列， 当n=1时a 1=1满足 （III ）① ，② ①－②得， 则 . 当n =1时， 即当n =1或2时， 当n >2时， 17.（1）由条件a n ＋1＝2a n 2 ＋2a n ，得2a n ＋1＋1＝4a n 2 ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2 ．∴{b n }是“平方递推数 列”．∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列． （2）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2 n －1 lg5，∴2a n ＋1＝5，∴a n ＝(5－1)． ∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝＝(2n －1)lg5． ∴T n ＝5． （3）c n ＝＝＝＝2－， ∴S n ＝2n －[1＋＋＋…＋]＝2n －＝2n －2[1－]＝2n －2＋2． 由S n ＞2008得2n －2＋2＞2008，n ＋＞1005， 当n ≤1004时，n ＋＜1005，当n ≥1005时，n ＋＞1005，∴n 的最小值为1005． 18.（1）B （2）因为A 2 sin 、 、C 2 sin 成等差数列，所以 ， 所以．又，， ．显然，即 a A cos 、 b B cos 、c C cos 成等差数列．若其为等比数列，有 ，所以 ， ，与题设矛盾 19.（1） 解得 （2）……7分是公比为8的等比数列……10分 20.（I）， 4分 （II）当k＝2，3，4，5，…时， ∴，∴ ∴，∴ ， ∵a11 ∴ ∴ ∴，∴ ∴ 21.（I）设数列的公差为d，则， 又 由（1）（2）得 数列的通项公式 （II） 数列的前n项和 22.设等比数列的公比为q，由已知条件， 得 ①÷②得：，所以．①×②，得， 即．或．（舍去） 由得： ∴ 23.（1）由已知，得解得： ． ∴ （2）． 设存在正数k，使得…对一切均成立，则…．记… ，则…．∵． ∴，∴F（n）是随n的增大而增大， ∵，∴当时，． ∴，即k的最大值为． 24.（1）∵f(1),f(2),f(4)成等差数列， ∴f(1)+f(4)=2f(2). 即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2 ∴(m+1)(m+4)=(m+2)2 即m2+5m+4=m2+4m+4 ∴m=0 (2)∵f(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2[(a+m)(c+m)], 2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2, ∵a,b,c成等比数列， ∴ ∵(a+m)(c+m)-(b+m)2 =ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2 =ac+m(a+c)-b2-2bm =m(a+c)-2m ∵a>0,c>0. ∴a+c≥2 ①m>0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2>0, ∴log2[(a+m)(c+m)>log2(b+m)2 ∴f(a)+f(c)>2f(b); ②m<0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2<0, ∴log2[(a+m)(c+m)] ∴f(a)+f(c)<2f(b); ③m=0时，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0 ∴log2[(a+m)(c+m)]=log2(b+m)2 ∴f(a)+f(c)=2f(b); 25.∵ ∴ 即 ∴ ∴ 即 解之，得 把d=2代入a1+2d=6,得a1=2 ∴ 26.等比数列}{n a 中， 当时，化简得 ，所以，， ，等差数列}{n b 中， 解得所以．，，，…，， B ＝{9，13，17，…，4n ＋5}．设A 中任意元素为，则需证是B 中的一个元素， 设其为，则需证，即，则需证是4 的倍数．因为 ，所以以上多项式各项都是4的倍数， 能被4整除．所以集合A 中的 任意元素都是B 中的元素，又，，所以 27.（1）由题意得知， ， （2） ， ，点 的坐标为 在曲线上，， 又在曲线上， （III ）……+……7分 == ， 《时间序列》练习题及解答 一、单项选择题 从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案，并将其编号（A、B、C、D）填入题干后面的括号内。 1、构成时间数列的两个基本要素是（）。 A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是（）。 A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中，各项指标数值可以相加的是（）。 A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平（）。 A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是（）。 A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度 6、由间断时点数列计算序时平均数，其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为（）。 A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是（）。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响 D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是（）。 A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同，发展速度有（）。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度 10、如果时间序列逐期增长量大体相等，则宜配合（）。 A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型 该商场第二季度平均完成计划为（）。 A、100%124%104% 108.6% 3 ++ = B、 506278 108.6% 506278 100%124%104% ++ = ++ C、 506278 100%124%104%92.1% 506278 ++ = ++ D、50100%62124%78104% 109.5% 506278 ?+?+? = ++ 12、增长速度的计算公式为（）。 A、=增长量 增长速度 基期水平B、= 增长量增长速度 期初水平 浙江省2019届高三数学一轮复习典型题专项训练 数列 一、选择、填空题 1、（2018浙江省高考题）已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)，若a 1>1，则( ) A . a 1a 3，a 2a 4 D . a 1>a 3，a 2>a 4 2、（2017浙江省高考题）已知等差数列{}n a 的公差为d,前n 项和为n S ,则“d>0”是465"+2"S S S >的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3、（2016浙江省高考题）如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 4、（杭州市2018届高三第二次模拟）设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为Sn ，若S 4＝80，S 2＝8，则公比q ＝______，a 5＝_______． 5、（2016浙江省高考题）设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 6、（湖州市2018届高三5月适应性考试）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，63a S =，且 k a a a ,,63成等比数列，则=n S ▲ ，k = ▲ ． 7、（嘉兴市2018届高三4月模拟）已知数列}{n a 为等差数列，且18=a ，则||||2109a a +的最小值为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 8、（嘉兴市2018届高三上学期期末）各项均为实数的等比数列}{n a ，若11=a ，95=a ，则=3a ▲ ，公比=q ▲ ． 一．填空题（共23小题） 1．（2014?武威）铝、铁、铜是人类广泛使用的三种金属，与我们生活息息相关． （1）在空气中制品（填“铝”或“铁”）更耐腐蚀． （2）人们大量使用的是合金而不是纯金属，这是因为合金具有更多优良性能，例如钢比纯铁硬度（填“大”或“小”）． （3）用下列试剂验证这三种金属的活动性顺序，能达到目的是（填序号）．A．硫酸铝溶液B．硫酸亚铁溶液C．硫酸铜溶液 （4）硫酸和盐酸都能除铁锈，写出盐酸与铁锈主要成分反应的化学方程式．2．（2014?重庆模拟）汽车是现代生活中不可缺少的代步工具．请回答下列问题： （1）汽车电路中的导线大都是铜制的，这是利用了金属铜的延展性和性．（2）下列汽车配件及用品中，属于有机合成材料的是（填序号，下同）． （3）铁在潮湿的空气中容易锈蚀． ①汽车表面喷漆，可以延缓汽车的锈蚀，其防锈原理是隔绝和水． ②喷漆前需将铁制品放入稀盐酸中除锈（铁锈主要成分是Fe2O3），观察到溶液变黄，有无色气泡逸出，反应的化学方程式是；． 3．（2014?大兴区一模）金属在生产、生活中应用广泛． （1）在汽车电路中，经常用铜作导线，这是利用了铜的；汽车车体表面喷漆不仅美观，而且可有效防止与接触而生锈． （2）铝和氧化铁在高温下发生置换反应，放出大量的热，工业上常利用此反应焊接铁轨．该反应的化学方程式为． （3）向一定质量AgNO3和Cu（NO3）2的混合溶液中加入Zn，溶液质量与加入Zn的质量关系如图所示，则a点溶液中的溶质及c点所得固体分别为（写化学式）． 4．（2014?合肥三模）随着科技的不断进步，太阳能路灯（如图所示）越来越多的出现在我们城市道路的两旁．节约能源的同时减少了环境的污染，是实现“低碳生活”的一种典型措施．请你根据图中内容回答下列问题： （1）图中标示的物质属于金属材料的有（一个即可，填序号，下同）；属于有机合成材料的是． （2）各组成材料中属于单质的是（填名称，一个即可）；不锈钢属于 （填“纯净物”或“混合物”）． （3）请用一个化学方程式证明铝比铜活泼． 5．（2015?雁江区模拟）请你各举出一个实例，说明下列有关溶液的叙述是错误的．（1）溶液一定是无色的．实例：； 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 等差数列、等比数列同步练习题 等差数列 一、选择题 1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（） A、89 B、-101 C、101 D、-89 2、等差数列{a n}中，a15 = 33，a45 = 153，则217是这个数列的（） A、第60项 B、第61项 C、第62项 D、不在这个数列中 3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 A、4 B、5 C、6 D、不存在 4、等差数列{a n}中，a1 + a7 = 42，a10 - a3 = 21，则前10项的S10等于（） A、720 B、257 C、255 D、不确定 5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a：b等于（） A、1 4B、 1 3C、 1 3或 1 D、 1 2 6、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数列{ C n }，其通项公式为（）A、C n= 4n - 3 B、C n= 8n - 1 C、C n= 4n - 5 D、C n= 8n - 9 7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30，若此数列的最后一项比第1项大10，则这个数列共有（） A、6项 B、8项 C、10项 D、12项 8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1 = 25，b1 = 75，且a100 + b100 = 100，则数列{a n + b n}的前100项和为（） A、0 B、100 C、10000 D、505000 二、填空题 9、在等差数列{a n}中，a n = m，a n+m= 0，则a m= ______。 10、在等差数列{a n}中，a4 +a7 + a10 + a13 = 20，则S16 = ______ 。 11、在等差数列{a n}中，a1 + a2 + a3 +a4 = 68，a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30，则从a15到a30的和是 ______ 。 12、已知等差数列 110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和为 ______ 。 13、在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2 + a3 = 13，则a4 + a5 +a6 = 14、如果等差数列{a n}中，a3 +a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 +…+ a7 = 15、设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1 = 3，a5 = 11，S7 = 16、已知{a n}为等差数列，a1 + a3 + a5 = 105，a2 +a4 + a6 = 99，则a20 = 高考复习数列专题： 数 列(参考答案附后) 第一节 数列的概念与数列的简单表示 一、选择题 1．已知数列{}a n 对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－ 6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 3．若数列{a n }的前n 项积为n 2 ，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2 C ．a n ＝ n ＋12 n 2 D ．a n ＝ n 2n －1 2 4．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6的值是( ) A ．－3 B ．－11 C ．－5 D ．19 5．已知数列{a n }中，a n ＝n －79n －80 (n ∈N *)，则在数列{a n }的前50 项中最小项和最大项分别是( ) A ．a 1，a 50 B ．a 1，a 8 C ．a 8，a 9 D ．a 9， a 50 二、填空题 6．若数列{}a n 的前n 项和S n ＝n 2 －10n (n ＝1,2,3，…)，则此数 列的通项公式为________；数列{}na n 中数值最小的项是第__________项． 7．数列35，12，511，37，7 17，…的一个通项公式是 ___________________________． 8．设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项a n ＝__________. 三、解答题 9．如果数列{}a n 的前n 项和为S n ＝3 2a n －3，求这个数列的通项 公式． 10．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N ＋ )在函数y ＝x 2 ＋1的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若列数{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2＜b 2 n ＋1. 二、填空题（每小题3分，共21分） 9. 写出一个大于21-的负整数___________． 10. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，若BD ∥AE ，∠DBC =20°，则∠CAE 的度数是___________． E D C B A 第10题图 第11题图 11. 如图，一次函数y 1=ax +b （a ≠0）与反比例函数2k y x =的图象交于A (1，4)，B (4，1)两点，若使y 1>y 2， 则x 的取值范围是___________． 12. 在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从如图的五张卡片中任 意拿走三张，使剩下的卡片从左到右连成一个两位数，该数就是他猜的价格．如果商品的价格是50元，那么他一次就能猜中的概率是___________． 6553 N M O A B C D 第12题图 第13题图 13. 如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，直径MN ∥AD ，则阴影部分面积占圆面积的____________． 14. 如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =125°，∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在BC ，DE 上分别找 一点M ，N ，使得△AMN 周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为__________． E D C B A M N 15. 已知□ABCD 的周长为28，自顶点A 作AE ⊥DC 于点E ，AF ⊥BC 于点F ．若AE =3，AF =4，则 CE -CF =____________． 2017年中考数学填空题专项训练（一）答案 9. -4（答案不唯一） 10. 70° 11.1 高三理科数学数列解答题专项训练 为成等比数列，，且，满足数列已知公差不为零的等差n n S a a a a a a a 1751531,,12}{.1=++项和的前n a n }{。 的值成立的最大正整数）求使得的通项公式；（求数列n a s a n n n 52}{)1(< 121,1...11)3(121<≤+++= -+n n n n n b a a a b 证明：设 的等差中项是，且的前项和设数列3211,42}{.2a a a a a s a n n n +-= 的通项公式求数列}{)1(n a 221}{)2(<≤n n n T T n a n ，求证：项和的前求数列 *),2(),2(2,3}{.311N n n n a a a a n n n ∈≥-+==-中，在数列 的通项公式 是等比数列，并求证明：数列}{}{)1(n n a n a + n s n 项和的前求数列}{a )2(n *)(,23,3,1}{.41221N n a a a a a a n n n n ∈-===++满足已知数列 是等比数列；证明：数列}{)1(1n n a a -+ 2 1}{2)2(11<=+-n n n n n n n T n b T a a b 项和，证明：的前是数列，设 7,}{1}{.53=s a s a n n n 已知的前项和为数列的等比数列，是公比大于设 构成等差数列且4,3,3321++a a a n n n n n T n b n a b a 项和的前求数列，）令的通项公式；（求数列}{,...2,1ln 2}{)1(13==+ n n n n a a a a 23,1}{.611+==+满足数列 2 31...112}2{)1(21<++++n n n a a a n a ，有 ）对一切正整数是等比数列；（求证：数列 *),2(,221}{.711N n n a a a a n n n n ∈≥+==-，且满足已知数列 的最大项，试求数列设求的前项和）设数列（的通项公式； 求数列}{a 3 3)3(,}{2}{)1(n n n n n n n n s b s s a a -= 的取值范围）求（与）求（，且公比为的各项均为正数，，等比数列项和为其前中，在等差数列n n n n n n s s s b a b s q s b q b b s n a a 1...1121,12,1}{,3}{.821222211+++= =+== 321...1131)3(21<+++≤n s s s 证明： 中考英语综合填空题专项训练05.附详解 根据上下文和括号里的汉语提示，在下面的空白处写出正确的单词和短语，使短文意思完整。 Most of American businesses are open five days a week. American school children attend school five days a week as well. American families usually have a （1）______（两天） weekend. The weekend is Saturday and Sunday. Over the weekend people spend their time （2）______（以许多不同的方式）。 Many families enjoy weekends （3）______（一起）。 They may go shopping， go for a drive or visit friends. They may also invite friends over and （4）______（聚会） at home. Many American families participate （参加） in sports during the weekend. （5）______（跑步）， biking， playing volleyball and swimming （6）______ （流行） in summer. Skiing and skating are the （7）______ （最喜爱的） winter sports. Weekends are also a time for American families to work on something in their yards or in （8）______（他们的） houses. Many families plant flowers and have vegetable gardens. Some families use the weekends （9）______（粉刷） or repair their houses. （10）______（对大部分美国人来说）， weekends are very busy. 「答案与解析」 本文讲述美国人是如何过周末的情况。 （二）数列专项练习 1. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足() 12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥， （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足()2 42log 1n n b a =+，证明：对一切正整数222 121111 ,1112 n n b b b ++???+<---有 . 2．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列 {}n b 对任意N n *∈，总有123 12n n n b b b b b a -???=+成立. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记2 4(1)(21)n n n n b c n ?=-+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 3．（本小题满分12分）已知数列{} n a 是递增的等比数列,149a a +=,238a a =. （Ⅰ）求数列{} n a 的通项公式; （Ⅱ）若2log n n n b a a =? ,求数列{} n b 的前n 项和n T . 4．已知双曲线=1的一个焦点为，一条渐近线方程为y=x ，其中{a n }是以4 为首项的正数数列． （Ⅰ）求数列{c n }的通项公式； （Ⅱ）若不等式对一切正常整数n 恒成立，求实数x 的取 值范围． 5．已知正项数列{a n }，其前n 项和Sn 满足，且a 2是a 1和a 7的等比中项． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）符号[x]表示不超过实数x 的最大整数，记，求． 6.（本小题满分12分）单调递增数列{}n a 的前行项和为 n S ，且满足 2 44n n S a n =+． (I)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)数列 {}n b 满足： 1221 log log 2 n n n a b a ++=。求数列{}n b 的前n 项和 n T 。 用动词的正确形式填空专项训练题（一） 1. Look! The children________(swim) in the river. 2. Now we________(want) to play basketball. 3. -________you________(draw) a picture? -No, I'm not. I________(write) a letter. 4．What are you _________(do) now? I ___________(eat) bread. 5.It’s nine o’clock. My father_______________(work) in the office. 6.Look, the boy____________(put) the rubbish into the bin. 7.__________he__________(clean) the classroom? No, he isn’t. He____________(play). 8.Where is Make? He___________(run) on the grass. 9.Listen, who________(sing) in the music room? Oh, Mary______(sing) there. 10.Tom ___________ (swim) in the river now. 11.It’s eight o’clock now. The boys ____________ (watch) TV. 12.She usually ____________ (do) her homework in the evening. 13.Tom and Tony can’t ____________ (swim). 14.What does your father ______ (do)? He’s a worker. 15.Look! Jim and Tom ____________ (run) there. 16. A:___________(be) you at school yesterday? B: No, I _______(be) not. I ______(be) ill. I ______(stay) at home. 17. She ________( not like) swimming. 18. There _______ (be)a table and two chairs in Jenny’s room. 19. Can he ________(watch)TV? 20. She _______(listen) to music at 7:00 this morning. 高三数列专题训练二 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； 1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T . 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n n c a b =?，若对任意*n N ∈，求λ的取值范围． 4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =， 24b a =，313b a =． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ； （Ⅱ）记数列的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式； （3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 13-14学年度上学期高三理数综合练习 高三理科数学寒假作业 数列答案 1.在等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求数列{a n}的通项公式； (2)对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为b m，求 数列{b m}的前m项和S m. 解(1)因为{a n}是一个等差数列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，即a4＝28. 设数列{a n}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1. 所以a n＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)对m∈N*，若9m＜a n＜92m， 则9m＋8＜9n＜92m＋8，因此9m－1＋1≤n≤92m－1， 故得b m＝92m－1－9m－1. 于是S m＝b1＋b2＋b3＋…＋b m ＝(9＋93＋…＋92m－1)－(1＋9＋…＋9m－1) ＝9×(1－81m) 1－81 － 1－9m 1－9 ＝92m＋1－10×9m＋1 80. 2．已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求数列{a n}的通项公式； (2)若数列{a n}唯一，求a的值． 解(1)设数列{a n}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)． 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－ 2. 所以数列{a n}的通项公式为a n＝(2＋2)n－1或a n＝(2－2)n－1. (2)设数列{a n}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a －1＝0(*)， 由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根． 由数列{a n}唯一，知方程(*)必有一根为0， 代入(*)得a＝1 3. 3.在等比数列{a n}中，a2＝6，a3＝18，(1)求数列{a n}的通项公式； 填空题专项训练（一） 1. 某校高一、高二、高三共有3600名学生，其中高一学生1400名，高二学生1200名，高三学生1000名，现用分层抽样的方法抽取样本，已知抽取高一学生数为21，则抽取高三生数为 2. 已知正项等比数列{}n a 的公比1≠q ，且653,,a a a 成等差数列，则 6 453a a a a ++= 3.已知三角形ABC 中，有：22tan tan a B b A =，则三角形ABC 的形状是 4.直线01cos =-+y x θ)(R ∈θ的倾斜角的范围为 5.不等式()03222≥---x x x 的解集为 6.已知函数c bx x x f ++=2)(，其中40,40≤≤≤≤c b ，记函数)(x f 满足条件???≤-≤3 )1(12)2(f f 为事件A ，则A 发生的概率为 7.已知样本y x ,,9,8,7的平均值为8，标准差为2，则=xy 8.ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列， 且2c a =，则cos B = 9. 执行如图所示的算法，输出的结果是 10.已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，若85< 数列大题专题训练1 1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1 1()2 n n S a n N +=∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设* 3log (1)()n n b S n N =-∈，求满足方程2334111125 51 n n b b b b b b ++++= L 的n 值. 【解析】 试题分析：（1）由 n S 与n a 关系求数列{}n a 的通项公式时，注意分类讨论：当1n =时，11a S =；当2n ≥时， 1n n n a S S -=-，得到递推关系1 1 3n n a a -=，再根据等比数列定义确定公比，由通项公式求通项 （2）先求数列{}n a 前n 项和11() 3n n S =-，再代入求得n b n =-，因为11111n n b b n n +=-+，从而根据裂项相消法求和23 3411111121n n b b b b b b n ++++=-+L ，解11252151n -= +得n 值 试题解析：（1）当1n =时， 123a = ， 当1n >时， 112n n S a + =，111 12n n S a --+=， ∴131022n n a a --=，即1 1 3n n a a -= ∴ 23n n a = . （2）21(1()) 1331()1313n n n S -==--，∴n b n =-，11111n n b b n n +=-+， ∴23 3411111121n n b b b b b b n ++++=-+L ， 即11252151n -= +，解得101n =. 考点：由 n S 与n a 关系求数列{}n a 的通项公式，裂项相消法求和 【方法点睛】将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用 于形如?? ?? ?? c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂 2015-2016学年度依兰县高级中学数列专项测试卷 考试范围：数列专项训练；考试时间：150分钟；命题人：刘朝亮 学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 1、已知三角形△ABC 的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周 长是（ ） A ．18 B ．21 C ．24 D ．15 2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8﹣S 2=30，则S 10=（ ） A ．40 B ．45 C ．50 D ．55 3、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 3+a 6=0，则=（ ） A ．﹣11 B ．﹣8 C ．5 D ．11 4、已知数列{a n }，如果a 1，a 2﹣a 1，a 3﹣a 2，，a n ﹣a n ﹣1，，是首项为1，公比为的等比数列，则a n =（ ） A ．（1﹣ ） B ．（1﹣ ） C ．（1﹣ ） D ．（1﹣ ） 5、等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．7 D ．9 6、等差数列a n 中，已知前15项的和S 15=90，则a 8等于（ ） A ． B ．12 C ． D ．6 7、在等差数列{a n }中，a 7=8，前7项和S 7=42，则其公差是（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣ D ． 8、已知数列{a n }满足a n+1=2a n （n ∈N ），其前n 项和为S n ，则=（ ） A ． B ． C ． D ． 9、数列，，，，的第10项是（ ） A ． B ． C ． D ． 10、我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增.共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 11、已知等差数列{}n a 满足n a a n n 41=++，则=1a （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3 12、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ） A ．－2 B ．－ 5 3 C ．2 D ．3 13、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） 综合小测1 一、选择题 1.函数y =2x +1的图象是 2.△ABC 中，cos A = 135，sin B =53 ,则cos C 的值为 A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N*，则可作出的l 的条数为 A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是 A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为 A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 9.设F 1，F 2是双曲线4 2 x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1 PF ·2PF =0，则|1 PF |·|2PF |的值等于 A.2 B.22 C.4 D.8 10.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N*)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为 A.31 B.40 C.31或40 D.71或80 11.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率 A.小 B.大 C.相等 D.大小不能确定 12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在 A.P 点 B.Q 点 C.R 点 D.S 点 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 二、填空题 13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________. 14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________. 15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________. 数列（2） 【例1】（2018年高考北京卷 文）设{}n a 是等差数列，且123ln2,5ln2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++L . 【例2】（2019·镇江期末）已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S ， 且数列也为公差为d 的等差数列，则d =______． 【例3】（2019天津卷理19）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知 1122334,622,24a b b a b a ===-=+，. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n k k n c c b n +?<<==?=?其中*k ∈N . （i ）求数列(){} 221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2* 1n i i i a c n =∈∑N . 【例4】（2019·临川一中实验学校高考模拟）已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它 的前n 项和，13a =且222 13,2n n n S n a S n -=+≥． （1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列. （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【例5】（2019天津卷文18）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0，已知113a b ==，23b a = ，3243b a =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足2 1, , ,n n n c b n ?? =???为奇数为偶数求()* 112222n n a c a c a c n N +++∈L . 【例6】（2016年全国卷Ⅱ理17）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且28,171==S a ， 记][lg n n a b =，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如1]99[lg ,0]9.0[==． （1）求101111,,b b b ； （2）求数列{}n b 前1000项和． 【例7】（2019年高考北京卷 文）设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列． （1）求{a n }的通项公式； （2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值． 数列高考真题汇编 1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，(3分) 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(5分) (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1) ＝(－1)n －1? ?? ??12n －1＋12n ＋1.(6分) 当n 为偶数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…＋? ????12n －3＋12n －1－? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 当n 为奇数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…－? ????12n －3＋12n －1＋? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1 .(10分) 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2 ＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .第六章_时间数列练习题及解答
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