放缩法的常见技巧
(1)舍掉(或加进)一些项
(2)在分式中放大或缩小分子或分母。
(3)应用基本不等式放缩(例如均值不等式)。
(4)应用函数的单调性进行放缩
(5)根据题目条件进行放缩。
(6)构造等比数列进行放缩。
(7)构造裂项条件进行放缩。
(8)利用函数切线、割线逼近进行放缩。
使用放缩法的注意事项
(1)放缩的方向要一致。
(2)放与缩要适度。
(3)很多时候只对数列的一部分进行放缩法,保留一些项不变(多为前几项或后几项)。(4)用放缩法证明极其简单,然而,用放缩法证不等式,技巧性极强,稍有不慎,则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法,只需要了解,不宜深入。
先介绍工具
柯西不等式(可以通过向量表示形式记住即摸摸大于向量乘积)
均值不等式
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
绝对值三角不等式
定理1:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
推论1:|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|
此性质可推广为|a1+a2+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.
推论2:|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
常用放缩思想
这几个务必牢记
不常见不常用的不等式
这几个一般用不到,放的太大了,知道有印象就好了下面就是常用思路了,主要就是裂项部分
当年apucng与V_First研究的题
二项平方和
f(x)=(a1x-b1)^2+(a2x-b2)^2+……(anx-bn)^2 由f(x)≥0可得△小于等于0
高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 技巧积累:(1)2221441 124412121n n n n n ??=<=- ?--+?? (2) 12 11211 (1)(1)(1)(1) n n C C n n n n n n n +==-+--+ (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)25 )1(123112111)11(<-++?+?+ +<+n n n n (5) n n n n 21 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<< -+n n n n n
1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法.中学教材中的数学归纳法是这样叙述的:如果一个命题与自然数有关,命题对n =1正确;若假设此命题对n -1正确,就能推出命题对n 也正确,则命题对所有自然数都正确.通俗的说法:命题对n =1正确,因而命题对n =2也正确,然后命题对n =3也正确,如此类推,命题对所有自然数都正确.对于中学生来说,这样形象地说明就足够了;但是毕竟自然数是无限的,因而上述描述是不够严格的,有了皮阿罗公理后,我们就能给出归纳法的严格证明. 定理1.19 如果某个命题T,它的叙述含有自然数,如果命题T对n =1是正确的,而且假定如果命题T对n 的正确性就能推出命题T对n +1也正确,则命题T对一切自然数都成立.(第一数学归纳法) 证明 设M是使所讨论的例题T正确的自然数集合,则 (1) M ∈1. 设M n ∈,则命题T对n 正确,这时命题对n n '=+1也正确,即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理D,M含有所有自然数,即命题T对所有自然数都成立. 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题. 例1 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时,有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1,公式正确. (2)假设当k =n 时,公式正确,即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n +1时,有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确.
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容,一般会在压轴题中进行考察,而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移:平行等线段(平行四边形) 对称:角平分线或垂直或半角 旋转:相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明:以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换,产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明:上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称(翻折),翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角:有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转:有一对相邻等线段,需要构造旋转全等 共旋转:有两对相邻等线段,直接寻找旋转全等 中点旋转:倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明:旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角,通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。
自旋转模型 构造方法: 遇60度旋60度,造等边三角形 遇90度旋90度,造等腰直角 遇等腰旋顶点,造旋转全等 遇中点旋180度,造中心对称 共旋转模型 说明:旋转中所成的全等三角形,第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明:模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化,另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时,先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点,围绕公共顶点找到两组相邻等线段,分组组成三角形证全等。
用放缩法处理数列和不等问题(教师版) 一.先求和后放缩(主要是先裂项求和,再放缩处理) 例1.正数数列{}n a 的前n 项的和n S ,满足12+=n n a S ,试求: (1)数列{}n a 的通项公式; (2)设11+= n n n a a b ,数列{}n b 的前n 项的和为n B ,求证:2 1 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 构造法在初中数学中的应用 所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质,构造满足条件或结论的数学对象,并借助该对象来解决数学问题的思想方法。构造法是一种富有创造性的数学思想方法。运用构造法解决问题,关键在于构造什么和怎么构造。充分地挖掘题设与结论的内在联系,把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来,进行构造,往往能促使问题转化,使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来,从而恰当地构造数学模型,进而谋求解决题目的途径。下面介绍几种数学中的构造法: 一、构造方程 构造方程是初中数学的基本方法之一。在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析,根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系,挖掘潜在已知和未知之间的因素,从而构造出方程,使问题解答巧妙、简洁、合理。 1、某些题目根据条件、仔细观察其特点,构造一个"一元一次方程" 求解,从而获得问题解决。 例1:如果关于x的方程ax+b=2(2x+7)+1有无数多个解,那么a、b的值分别是多少? 解:原方程整理得(a-4)x=15-b ∵此方程有无数多解,∴a-4=0且15-b=0 分别解得a=4,b=15 2、有些问题,直接求解比较困难,但如果根据问题的特征,通过转化,构造"一元二次方程",再用根与系数的关系求解,使问题得到解决。此方法简明、功能独特,应用比较广泛,特别在数学竞赛中的应用。 3、有时可根据题目的条件和结论的特征,构造出方程组,从而可找到解题途径。 例3:已知3,5,2x,3y的平均数是4。 20,18,5x,-6y的平均数是1。求 的值。 分析:这道题考查了平均数概念,根据题目的特征构造二元一次方程组,从而解出x、y的值,再求出的值。 二、构造几何图形 1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题,要善于发掘题设条件中的几何意义,可以通过构造适当的图形把其两者联系起来,从而构造出几何图形,把代数问题转化为几何问题来解决.增强问题的直观性,使问题的解答事半功倍。 例4:已知,则x 的取值范围是() 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现,在高考试题中占有重要地位,在近几年的高考试题中,多个省份都有所考查,甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法,笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时,普遍感到困难,找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩,消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, (Ⅰ)求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; (Ⅱ)证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析:(Ⅰ)数学归纳法。 (Ⅱ)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积,可将其放缩为等差型两项之积,通过裂项求和。 (Ⅰ)略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+,. (Ⅱ)11115612 a b =<+.n ≥2时,由(Ⅰ)知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+. 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??,综上,原不等式成立. 点评: 数列和式不等式中,若数列的通项为分式型,可考虑对其分母进行放缩,构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外,熟悉一些常用的放缩方法, 如: ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 初中数学方法大全之构造法 构造法是数学中重要的解题方法,对于一些较繁难的数学问题时,用常规解法,或是无从下手,或是解题过程异常繁杂,这时,若能根据问题的特点,进行巧妙的换元,往往可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的功效。 一、以概念为框架构造 【例1】已知方程 20(0)ax bx c a ++=≠的两根之和为1S ,两根平方和为2S ,两根立方和为 2)x + 90 ,. ac bd B D Rt ABC Rt CDA AC CA Rt ABC Rt CDA a d b c =? ?∠=∠=???????=? ????==∽≌ 三、从公式特征构造 【例3】已知x 、y 、z 、r 都为正数,且满足2222,x y z z x +==。 求证:xy=rz 。 【思路分析】此题中,题设222x y z +=与勾股定理的结论非常相似,故可以从构造勾股定理入手进行本题的研究。 证明:如图,构造Rt △ABC ,使AC =x ,BC =y ,斜边AB =z 。作CD ⊥AB 于D 。 由射影定理可知:2AC AD AB =?,则有: 性解决周长与面积的最大值,但这样一来,本题的计算量就很大,而且也较麻烦。换一个思路,以矩形的一组邻边所在的直线为坐标轴,利用函数思想来解决本题,会有意料之外的效果。 解:以AB 、AD 所在的直线为坐标轴,建立平面直 角坐标系xOy 。 根据题意有:(24,0),(0,12)P Q ,易得PQ 所在的直线解 析式为:1122 y x =-+。 设1(,12)(024)2M m m m - +≤≤,则136,602 MF m ME m =-=-。 ∴周长12()2(3660)1922 MF ME m m m =+=++-=-+ 面积211(36)(60)(6)217822MF ME m m m =?=+-=-++ ∴当m =0时,周长最大等于192m ; 当m =0时,面积最大等于2160m 2。 六、其它构造 【例6】在锐角三角形ABC 中,求作一个正方形DEFG ,使D 、E 都落在BC 边上,F 、G 分别落在AC 、AB 边上。 【思路分析】要想作出这样的正方形,确实有些困 难,我们可以把条件放宽:求作一个正方形,使其有三个 顶点落在两边上,这样的正方形就比较好作了,我们可以 马上作出一个这样的正方形1111D E FG 。 这个正方形可以成为本题的一个跳板吗?实际上,我们得到的这个正方形,可以利用位似去作出需要的正方形DEFG 。 解:(略) 在学习数学的过程中,我们会遇到很多这样的题:有些题目有着深厚的“几何背景”,这样的题我们可以恰当地构造出几何图形,以形助数;有些题目有着浓厚的“代数氛围”,我们可以适时地构造出代数模型,以数解形;有些题目有着深刻的“函数味道”,我们可以合理地以函数为框架进行构造。这样不但能够达到另辟蹊径,巧思妙解的目的,而且对培养创造性思维也有很大的帮助。 典型例题: 已知:AC 是正方形ABCD 的对角线,∠EMF 的顶点在线段AC 上运动,∠EMF 绕点M 旋转,角的两边与CD 、BC 交于点F 、E.(点F 不与C 、D 重合). (1)当∠EMF=90°时,试探究ME 与MF 的数量关系并说明理由.探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系,并说明理由. 变式1: (2)当点M 在直线AC 上运动,∠EMF 绕点M 旋转,当角的两边交CD 、CB 的延长线于点F 、E,其余条件不变,结论是否成立? 探究CE 、CM 、CF 之间的数量关系,并说明理由.. A A A 变式3: (4)当点M 在直线AC 上,当∠FME=∠ABC,其他条件不变,结论是否成立?并说明理由. 旋转法构造全等 学习目标: 题目中出现有一个公共端点的相等线段时,可试用旋转方法构造全等三角形. 活动一: 变式2: (3)将正方形ABCD 改为∠ABC=120°的菱形,当∠FME=120°结论是否成立?并说明理由. 分层练习: (A 层) 1. 把含15°角的三角板ABC ,绕点B 逆时针旋转90°到三角板DBE 位置(如图所示),则sin ∠ADE=_______。 (第1题) (第2题) (第3题) 2. 点p 是等边△ABC 内一点,若PA=13,PB=5,PC=12,∠BPA=_________. 3. 如图所示,把正方形ABCD 绕点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG ,边FG 与 BC 交于点 H.(1)线段HG 与线段HB 相等吗?证明你的猜想.(2)若旋转角为30,HG 的长. (B 层) 1.如图,若把△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ,那么对应边AB=___,BC=___,对应角∠CAB=____,∠B=____. (第1题) (第2题) (第3题) 2.已知:如图,在正方形ABCD 中,点E 在BC 上,将△DCE 绕点D 按顺时针方向旋转,与△DAF 重合,那么旋转角等于____度. 3. 在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,如果将该三角形绕点A 按顺时针方向旋转到△ A ’ B ’ C ’的位置,点B ’恰好落在边BC 的中点处,则旋转角_____度.高中数学放缩法技巧全总结材料
中考数学构造法解题技巧
第一轮复习 放缩法技巧全总结
初中数学方法大全之构造法
数学人教版九年级上册旋转法构造全等三角形
用放缩法证明不等式的方法与技巧答案