曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录
第三版序言
我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。
这里涉及到科学上的继承和创新的关系。“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。 讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。
要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。
量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观
从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；
人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；
康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；
在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；
微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；
电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31
在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；
经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；
波函数归一化不影响概率分布：P32
多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。
动量分布概率：
1 波包的频谱分析
具有一定波长的平面波可表示为：
()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1）
波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包
221()exp()2x a x ψ=-
(A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1
x a <
区域中.
所以波包宽度可近似估计为:
1/x a ? (A1.3)
波包可以看成许多不同波数(长)的平面波的叠
加,这就是波包的傅里叶分析或频谱分析.
()x ψ的傅里叶变换()k φ定义如下:
()()exp()
x k ikx dk
ψφ+∞=? (A1.4a)
其逆变换为:
()()exp()
k x ikx dx φψ+∞=-? (A1.4b)
例如,高斯包波的傅里叶变换为:
2222
1
11()exp()exp(/2)
2k a x ikx dx k a a φ+∞=--=-?
(A1.5) ()k φ代表波包()x ψ中所含波数为k 的分波的波幅, 2
()k φ代表该分波的成分.对于高斯波包, 2()k φ的图形如图A.1所示,仍为一高斯波包.波数k 主要集中在k a <范围中,因此, ()k φ的宽度可粗略估计为:
~k a ? (A1.6) 这样
~1x k ??? (A1.7)
此关系式不限于高斯波包,对任何波包都适用,它是人波包的频谱分析得出的一般结论.
与上类似,时间的函数()f t 也可作傅里叶分析,
()()exp()
f t
g i x d ωωω+∞=? (A1.8a) ()()exp()
g f t i t dt ωω+∞=-?
(A1.8b)
2 动量分布概率
按上述波函数
《量子力学》卷II （第三版）科学出版社
波函数的统计诠释是能把波动粒子两象性统一起来的惟一符合实验的方案
1 实验已确切证明,微观粒子具有波粒一同两象性;（个人注：为什么粒子会具有波粒二象
性：量子现象本身无法用经典语言描述，但又必须借助于经典语言进行描述）
2 对波动粒子二象性做认真分析后发现,实验观测中所展现出来的“粒子性”，只不过是微
观粒子的“原子性”或“颗粒性”，即粒子是具有确切的内禀属性（电荷、质量等）的一个客体；但并不意味着粒子在空间运动具有确切的轨道，轨道是经典力学中粒子在空
间运动的特性，也双缝干涉实验中显示出的粒子的波动性是不相容的；另一方面，实验观测到的微观粒子的“波动性”，只不过是波动现象最本质的要素，即波的“相干叠加性”，但并不意味着这种波动一定是某种实在的物理量的波动（如密度波、压强波等）。 3 能把实物粒子的“原子性”和波动的“相干叠加性”统一起来的，惟一自洽的方案是玻
尔提出的“概率波”概念，即波函数的统计解释。这已为无数实验所确证。
4 对于多粒子体系，波函数描述的是6维位形空间中的波动，除了给予概率诠释外，别无
它途，因为“6维空间中的实在物理量的波动”是难以理解的。
5 波函数的统计解释中的概率分布，与数学概率论中的概率分布概念有本质不同。日常生
活中，是因为所处理的问题太复杂、决定事物进程的因素较多，人们无法根据已掌握的事物现状去准确预测事物随后将出现的结果，不得不借助于概率统计的方法进行预测；量子力学中，波函数必须采用统计解释是由波动-粒子两象性导致的。波函数所预言的概率分布，只是对粒子测量结果的一种预期，并非粒子已经具有那样的分布（既成事实）等待人们去观测。这涉及到纯态（纯系综）和混合态（混合系综）的概念。
6 认为量子力学对事物的描述总是概率性的看法是片面的。量子力学中，对于用波函数描
述的微观粒子，并非对所有物理量的测量结果的预言都是概率性的。这要看测量的是哪一个力学量，其中对某些力学量的观测结果的预言只能是概率性的，而对另外某些力学量的观测的预言则可能是决定论性的，即只能出现唯一的结果，概率为1。这里就涉及力学量的本征态的概念和本征态的相干叠加的概念。这也可以认为是“互补性原理”的一个重要方面。
7 考虑到波粒二象性，微观粒子的力学量必定有与经典粒子本质上不同的特征。首先，按
德布罗意关系/p h λ=，粒子的动量与波长成比例，波长是表征波动随空间地点变化快慢的量，所以一般说来，“在空间某一点的波长”的提法，就没有严格的意义；同样，“微观粒子局域于空间某一点的动量”的提法也无严格的意义。这表面在直接用波函数来计算动量的平均值时，不得不引进动量（梯度）算符，并可以看出，动量的平均值是也波函数的梯度（而不是与波函数在某点的局域值）相联系。这个梯度越大，就表现为波长越短，因而动量平均值就越大。这在物理图像上是很清楚的。（个人注：这里可以作为量子力学直观性的一个说明）
8 动量在直角坐标中各分量算符与坐标各分量满足对易关系:
,j k jk x p i δ??=??
是量子力学最基本的对易关系,是波粒二象性的反映.凡有经典对应的力学量之间的对易关
系,均可由它导出.如粒子的角动量??L r p
=? 的分量之间的对易关系 ???[,]L L i L αβαβγγε=
其中, αβγε为Levi-civita 符号.
9 波粒二象性的另一个集中表现就是海森伯提出的坐标-动是不确定度关系.事实上,对于任何波动(无论经典波或概率波),都可以证明:
(~)1x k ??>或
其中, k 为波数.但此式还不是不确定度关系.但如果考虑到微观粒子的波动性,按德布罗意关系p k = ,,才得出x p ??≥ ,也由此看出,它是粒子波动性的必然结果.
10 不确定度关系概括地说明：考虑到波粒二象性，就不能全盘用经典粒子的所有概念，特别是轨道概念来描述微观粒子，它指明了应用经典粒子运动概念来描述微观粒子应受到的限制。从形式上讲，当0h →时，粒子波长趋于零，0x p ??→，波动效应（即量子效应）就可忽略，而经典力学很好地描述粒子的运动。在此极限下，粒子的坐标和动量就彼此对易，粒子的轨道运动概念就近似成立。
11 量子力学中，“力学量用算符来描述”的含义是多方面的，除了计算力学量的平均值要用到算符表示外，量子力学中的一个假定：一个力学量，如F ，在实验观测中的可能取值，即相应的算符的本征值。由于可观测量都为实数，这就要求相应的算符为厄米算符。
12 力学量之间的关系与表现在算符的关系上（P6）：如两个力学量是否可以同时具有确定值，就取决于相应的算符是否对易。若两个算符对易，则有共同本征态，在这种共同本征态下，对易的两个力学量算符对应的力学量同时具有确定值。若两个算符不对易，则一般说来相应的两个力学量不能同时具有确定值。此时，可以证明：
1??,2A B A B ????≥?
??? 特别是将坐标与动量的基本对易关系代入上式即得取海森堡不确定度关系。
13 本征态的简并往往与算符的对称性有关（偶然简并除外）（P6）。
14 在量子力学中，一个力学量F （不显含t ）是否是守恒量，就根据它与体系的哈密顿量
是否对易来判断：??,0F H ??=??
，这与经典力学中根据泊松括号{},0F H =是否成立来判断守恒量相对应。
15 关于力学量的本征值问题，还有几点值得提到：（P6）
● 量子力学中并非所有力学量的本征值都是量子化的（即离散的）。对于角动量，根据它
的分量的对易关系，可以证明，角动量只能是 的整数或半奇数倍。对于坐标或动量，本征值是连续的，而对于哈密顿量，本征值既可能是离散的（束缚态），也可能是连续的（游离态或散射态）。
● 量子力学对力学量测量值的预言，既可能是概率性的，也可能是决定论性的，这取决于
体系所处状态是否待测量力学量的本征态。
● 力学量完全集概念：一组彼此两两对易的、函数独立的力学量，如果它们的共同本征态
足以对体系的量子态给予确切的描述，则称之为体系的一组力学量完全集。对于具有n 个自由度的体系，完全集内的力学量的数目不少于自由度数。如三维粒子的三个坐标分
量???(,,)x
y z 或动量分量???(,,)x y z p p p 都可选为力学量完全集。不同的体系，由于它们的对称性的差异，守恒量完全集一般与不同，对于一个体系，守恒量完全集的选取也可能
不止一种。如三维自由粒子，???(,,)x y z p p p 和2??(,,)z
H L L 都可以选作守恒量完全集。对于中心力场()V r 中的粒子，2??(,,)z H L L 、2??(,,)x H L L 、2??(,,)y
H L L 都可选为守恒量完全集。但注意，守恒量完全集内守恒量的数目并不一定等于自由度数。如一维自由粒子，
动量?p
就构成守恒量完全集，而哈密顿量2??/2H p m =本身并不构成守恒量完全集（由于H 的本征态是二重简并的），但??(,)H P 则构成一维自由粒子的一组守恒量完全集，其
中?P
为空间反射算符。
16 量子态叠加原理，表象与表象变换：P7
（1） 当体系处于某力学量F 的若干个本征态的叠加态时，就导致测量（F ）结果的不确
定性。这完全是一种量子力学效应，是量子力学区别于经典力学的最显著的也是最难理解的一个特征。量子态叠加原理是波的叠加性与波函数完全描述一个体系的量子态两个概念的概括。
(2) 当体系处于力学量F 的叠加态1122C C ψψψ=+时,测量F 得到1F 的概率21C ∝,测得
2F 的概率22
C ∝,22121C C +=表示归一化条件.但是量子态的相位有不定性,即1122()i C C e αψψ+(α为实数)与1122()C C ψψ+描述的是同一个量子态,但叠加态的相
对相位却是有物理意义的,如1122()(0)i C e C αψψα+≠与1122()C C ψψ+描述的就是不
同的量子态.,这个相对相位并未体现在2
n C 中.
(3) 一个力学量的本征态一般不是另一个力学量的本征态,除非它们是这两个力学量的共
同本征态.如谐振子的基态0ψ是能量最低的本征态,但它不是坐标(或动量)的本征态.在
0ψ下,测量其能量,所得结果是唯一的,即0/2E ω= ,概率为1.这是量子态的决定论性描述的一面.而测量粒子坐标时,其结果就不是确定的,而有一个分布,测得粒子位置在x
的概率22(x e αα-∝=,呈高斯分布,这是量子态的概率性描述的一面.
谐振子处于两个能量本征态的叠加时,如01()/
ψψψ=+就构成一个定态.在此态下测量其能量时,所得结果就呈出不定性,即既可能再现0E 也可能出现1E ,概率各为1/2.不同能
量本征态的叠加所导致的测量能量结果的不确定性,似乎都可以理解,并末引起很大的困扰.但量子态叠加原理的深刻内涵却并不是容易搞清楚的.例如,量子态叠加原理实质上已隐含了量子态的非定域性.在非定态ψ中表示出的测量能量结果的不确定性,是由于ψ是不同能量本征态叠加所导致的,而在一般的量子态ψ下,由于它们并非粒子坐标的本征态,而是许多坐标的本征态的叠加,就表现出非定域性.
在涉及多粒子体系或多自由度体系时,普遍存在一种叠加态,后来被称为纠缠态.
(4) 彼此不对易的两个力学量,一般来说,它们不能具有共同本征态.量子态的叠加原理隐含了不确定度关系,它们都是微观粒子波动-粒子两象性的表现.例如,粒子的坐标与动量不对易,不能有共同本征态,所以,在任何量子态下,它们的测量值的不确定度绝不可能同时为0.按n
n n C ψψ=∑,体系的任一量子态都可以表示成它的某一组力