浙江大学城市学院实验报告
课程名称 数值计算方法
实验项目名称 常微分方程初值问题的数值解法
实验成绩 指导老师（签名 ） 日期 2015/12/16
一. 实验目的和要求
1． 用Matlab 软件掌握求微分方程数值解的欧拉方法和龙格－库塔方法； 2． 通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题。
二. 实验内容和原理
编程题2-1要求写出Matlab 源程序(m 文件)，并有适当的注释语句；分析应用题2-2，2-3，2-4，2-5要求将问题的分析过程、Matlab 源程序和运行结果和结果的解释、算法的分析写在实验报告上。 2-1 编程
编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下： 在区间[],a b 内(1)N +个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。
0(,)()y f x y a x b y a y '=≤≤=
Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1)
改进Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1)
2-2 分析应用题
假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题
()()20
(0)10y t y t y '=-??
=?
并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。
2-3 分析应用题
用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 201
(0)1
y y x
x y '=+≤≤??
=?
画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法； 3）龙格－库塔方法；
2-4 分析应用题
考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)，社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为：
()
(1())dp t rb p t dt
=- 其中变量()()()i p t x t x t =表示在时刻t 社会上与众不同的人的比例，()i x t 表示在时刻t 人口
中与众不同的人的数量。
1）假定(0)0.01,0.02p b ==和0.1r =，当步长为1h =年时，求从0t =到50t =解()p t 的近似值，并作出近似解的曲线图形。
2）精确求出微分方程的解()p t ，并将你当50t =时在分题(b)中得到的结果与此时的精确值进行比较。
【MATLAB 相关函数】
求微分方程的解析解及其数值的代入
dsolve(‘egn1’， ‘egn2’， ‘x ’)
subs (expr, {x,y,…}, {x1,y1,…} )
其中‘egn i ’表示第i 个方程，‘x ’表示微分方程中的自变量，默认时自变量为t 。 subs 命令中的expr 、x 、y 为符合型表达式，x 、y 分别用数值x1、x2代入。 >> syms x y z
>> subs('x+y+z',{x,y,z},{1,2,3}) ans = 6 >> syms x >> subs('x^2',x,2) ans = 4
>> s=dsolve(‘12Dy y ∧=+’, ‘(0)1y =’, ‘x ’)
ans =
tan(14)x pi -* >> syms x >> subs(s,x,2)
ans =
-0.3721
f x y的自动生成
?右端函数(,)
f= inline(‘expr’, ’var1’, ‘var2’,……)
其中’expr’表示函数的表达式，’var1’, ‘var2’表示函数表达式中的变量，运行该函数，生成一个新的函数表达式为f (var1, var2, ……)。
>> f=inline('x+3*y','x','y')
f =
Inline function:
f(x,y) = x+3*y
>> f(2,3)
ans =
11
?4，5阶龙格－库塔方法求解微分方程数值解
[t,x]=ode45(f,ts,x0,options)
其中f是由待解方程写成的m文件名；x0为函数的初值；t,x分别为输出的自变量和函数值(列向量)，t的步长是程序根据误差限自动选定的。若ts=[t0,t1,t2,…,tf]，则输出在自变量指定值，等步长时用ts=t0:k:tf，输出在等分点；options用于设定误差限(可以缺省，缺省时设定为相对误差3
10-)，程序为：
10-，绝对误差6
options=odeset(‘reltol’,rt,’abstol’,at)，这里rt,at分别为设定的相对误差和绝对误差。常用选项见下表。
例：解微分方程
204(0)1t y y t y y ?'
=-<
??=?
在命令窗口执行
>> odefun = inline (‘2*y t y -’, ‘t ’, ‘y ’)；
>> [],45(,[0,4],1)t y ode odefun =； >> [],t y
ans =
0 1.0000 0.0502 1.0490 0.1005 1.0959 0.1507 1.1408 ……
3.8507 2.9503 3.9005 2.9672 3.9502 2.9839
4.0000 3.0006
>> plot(t ,y ,‘o-’,) %解函数图形表示
>> 45(,[0,4],1)ode odefun %不用输出变量，则直接输出图形 >> [],45(,0:4,1)t y ode odefun =；[],t y
ans =
0 1.0000 1.0000 1.7321 2.0000 2.2361 3.0000 2.6458 4.0000 3.0006
三. 操作方法与实验步骤（包括实验数据记录和处理）
2-1 编程
编写用向前欧拉公式和改进欧拉公式求微分方程数值解的Matlab 程序，问题如下： 在区间[],a b 内(1)N +个等距点处，逼近下列初值问题的解，并对程序的每一句添上注释语句。
0(,)()y f x y a x b y a y '=≤≤=
Euler 法 y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1)
改进Euler 法 y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1)
Euler 法
y=euler(a,b,n,y0,f,f1,b1) y=zeros(1,n+1); y(1)=y0;
h=(b-a)/n; x=a:h:b; for i=1:n;
y(i+1)=y(i)+h*f(x(i),y(i)); end
plot(x,y)
hold on
% 求微分方程的精确解x1=linspace(a,b,100); '精确解为'
s=dsolve(f1,b1,'x') syms x
y1=zeros(1,100);
for
i=1:100
y1(i)=subs(s,x,x1(i)); end
plot(x1,y1,'r')
title('红色代表精确解')
改进Euler法
y=eulerpro(a,b,n,y0,f,f1,b1) % 求微分方程的数值解
y=zeros(1,n+1);
y(1)=y0;
h=(b-a)/n;
x=a:h:b;
for
i=1:n;
T1=f(x(i),y(i));
T2=f(x(i+1),y(i)+h*T1);
y(i+1)=y(i)+(h/2)*(T1+T2); end
plot(x,y)
hold on
% 求微分方程的精确解
x1=linspace(a,b,100);
'精确解为'
s=dsolve(f1,b1,'x') syms x
y1=zeros(1,100); for i=1:100
y1(i)=subs(s,x,x1(i)); end
plot(x1,y1,'r') title('红色代表精确解')
2-2分析应用题
假设等分区间数100n =，用欧拉法和改进欧拉法在区间[0,10]t ∈内求解初值问题
()()20
(0)10
y t y t y '=-??
=? 并作出解的曲线图形，同时将方程的解析解也画在同一张图上，并作比较，分析这两种方法的精度。
(1)向前欧拉法
>> euler(0,10,100,10,inline('y-20','x','y'),'Dy=y-20','y(0)=10')
_ ans =
精确解为
s =
20 - 10*exp(x)
ans =
1.0e+005 *
Columns 1 through 8
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000
0.0000
Columns 9 through 16
-0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0002
-0.0002
Columns 17 through 24
-0.0003 -0.0003 -0.0004 -0.0004 -0.0005 -0.0005 -0.0006 -0.0007
Columns 25 through 32
-0.0008 -0.0009 -0.0010 -0.0011 -0.0012 -0.0014 -0.0015 -0.0017
Columns 33 through 40
-0.0019 -0.0021 -0.0024 -0.0026 -0.0029 -0.0032 -0.0035 -0.0039
Columns 41 through 48
-0.0043 -0.0048 -0.0053 -0.0058 -0.0064 -0.0071 -0.0078 -0.0086
Columns 49 through 56
-0.0095 -0.0105 -0.0115 -0.0127 -0.0140 -0.0154 -0.0170 -0.0187
Columns 57 through 64
-0.0206 -0.0227 -0.0250 -0.0275 -0.0302 -0.0333 -0.0366 -0.0403
Columns 65 through 72
-0.0444 -0.0488 -0.0537 -0.0591 -0.0651 -0.0716 -0.0788 -0.0867
Columns 73 through 80
-0.0954 -0.1049 -0.1154 -0.1270 -0.1397 -0.1537 -0.1691 -0.1860
Columns 81 through 88
-0.2046 -0.2251 -0.2477 -0.2724 -0.2997 -0.3297 -0.3627
-0.3990
Columns 89 through 96
-0.4389 -0.4828 -0.5311 -0.5842 -0.6427 -0.7070 -0.7777 -0.8555
Columns 97 through 101
-0.9410 -1.0352 -1.1387 -1.2526 -1.3779
（2）改进欧拉法
>> eulerpro(0,10,100,10,inline('y-20','x','y'),'Dy=y-20','y(0)=10')
ans =
精确解为
s =
20 - 10*exp(x)
ans =
1.0e+005 *
Columns 1 through 8
0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 -0.0000
Columns 9 through 16
-0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0001 -0.0001 -0.0002 -0.0002 -0.0002
Columns 17 through 24
-0.0003 -0.0003 -0.0004 -0.0005 -0.0005 -0.0006 -0.0007
-0.0008
Columns 25 through 32
-0.0009 -0.0010 -0.0011 -0.0013 -0.0014 -0.0016 -0.0018 -0.0020
Columns 33 through 40
-0.0022 -0.0025 -0.0028 -0.0031 -0.0034 -0.0038 -0.0042 -0.0047
Columns 41 through 48
-0.0052 -0.0058 -0.0064 -0.0071 -0.0079 -0.0087 -0.0097 -0.0107
Columns 49 through 56
-0.0119 -0.0131 -0.0145 -0.0161 -0.0178 -0.0197 -0.0218 -0.0241
Columns 57 through 64
-0.0266 -0.0294 -0.0325 -0.0360 -0.0398 -0.0440 -0.0486 -0.0537
Columns 65 through 72
-0.0594 -0.0656 -0.0726 -0.0802 -0.0886 -0.0980 -0.1083 -0.1197
Columns 73 through 80
-0.1323 -0.1462 -0.1615 -0.1785 -0.1973 -0.2180 -0.2409 -0.2663
Columns 81 through 88
-0.2942 -0.3251 -0.3593 -0.3971 -0.4388 -0.4849 -0.5358 -0.5921
Columns 89 through 96
-0.6543 -0.7230 -0.7989 -0.8828 -0.9755 -1.0780 -1.1912 -1.3163
Columns 97 through 101
-1.4545 -1.6073 -1.7760 -1.9626 -2.1686
改进欧拉法的精度比向前欧拉法更高。 2-3分析应用题
用以下三种不同的方法求下述微分方程的数值解，取10h = 201
(0)1
y y x x y '=+≤≤??
=?
画出解的图形，与精确值比较并进行分析。 1）欧拉法； 2）改进欧拉法；
2-4分析应用题
考虑一个涉及到社会上与众不同的人的繁衍问题模型。假设在时刻t (单位为年)，社会上有人口()x t 人，又假设所有与众不同的人与别的与众不同的人结婚后所生后代也是与众不同的人。而固定比例为r 的所有其他的后代也是与众不同的人。如果对所有人来说出生率假定为常数b ，又如果普通的人和与众不同的人的婚配是任意的，则此问题可以用微分方程表示为：
()
(1())dp t rb p t dt
=- 其中变量()()()i p t x t x t =表示在时刻t 社会上与众不同的人的比例，()i x t 表示在时刻t 人口
中与众不同的人的数量。
1）假定(0)0.01,0.02p b ==和0.1r =，当步长为1h =年时，求从0t =到50t =解()p t 的近
似值，并作出近似解的曲线图形。
2）精确求出微分方程的解()p t ，并将你当50t 时在分题(b)中得到的结果与此时的精确值进行比较。
1）
>>
euler(0,50,50,0.01,inline('0.002-0.002*p','t','p'),'Dp=0.002-0.002*p','p(0)=0.0 1') ans = 精确解为 s =
1 - 99/(100*exp(x/500)) ans =
Columns 1 through 8
0.0100 0.0120 0.0140 0.0159 0.0179 0.0199 0.0218 0.0238
Columns 9 through 16
0.0257 0.0277 0.0296 0.0316 0.0335 0.0354 0.0374 0.0393
Columns 17 through 24
0.0412 0.0431 0.0450 0.0470 0.0489 0.0508 0.0527 0.0546
Columns 25 through 32
0.0564 0.0583 0.0602 0.0621 0.0640 0.0658 0.0677 0.0696
Columns 33 through 40
0.0714 0.0733 0.0751 0.0770 0.0788 0.0807 0.0825 0.0844
Columns 41 through 48
0.0862 0.0880 0.0898 0.0917 0.0935 0.0953 0.0971
0.0989
Columns 49 through 51 0.1007 0.1025 0.1043
第8章 常微分方程边值问题的数值解法 引 言 第7章介绍了求解常微分方程初值问题的常用的数值方法；本章将介绍常微分方程的边值问题的数值方法。 只含边界条件(boundary-value condition)作为定解条件的常微分方程求解问题称为常微分方程的边值问题(boundary-value problem). 为简明起见，我们以二阶边值问题为 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 推论 若线性边值问题 ()()()()()(),, (),()y x p x y x q x y x f x a x b y a y b αβ'''=++≤≤?? ==? (8.1.2) 满足 (1) (),()p x q x 和()f x 在[,]a b 上连续； (2) 在[,]a b 上, ()0q x >, 则边值问题(8.1.1)有唯一解。 求边值问题的近似解，有三类基本方法： (1) 差分法(difference method)，也就是用差商代替微分方程及边界条件中的导数，最终化为代数方程求解； (2) 有限元法(finite element method)；
(3) 把边值问题转化为初值问题，然后用求初值问题的方法求解。 差分法 8.2.1 一类特殊类型二阶线性常微分方程的边值问题的差分法 设二阶线性常微分方程的边值问题为 (8.2.1)(8.2.2) ()()()(),,(),(), y x q x y x f x a x b y a y b αβ''-=<
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
1.4习题答案 1. (1) 12150, (2) 2.52. 2(1) 0,200P P = =, (2) 0200P <<, (3) 200P >. 3.(1) 0,50,200P P P = = =, (2) 50200P <<, (3) 050,200P P << >. 4.解: 因为当 0dy dt =时, ()y t 将保持不变; 当0dy dt >时, ()y t 将增加; 当0dy dt <时, ()y t 将减少. 由3220dy y y y dt =--知, (1) 当3 2 200y y y --=, 即0,4,5y y y = =-=时, ()y t 将保持不变. (2) 当3 2 200y y y -->, 即40y -<< 或5y > 时, ()y t 将增加. (3) 当3 2 200y y y --<, 即4y <- 或05y << 时, ()y t 将减少. 5. 7071. 6.解: (1) 设 ()N t 为在时刻t 的放射性同位素质量. 则模型为dN kN dt =-, 0k >为比例系数, 方程的解为 ()kt N t ce -=, 由0t = 时, (0)50N =, 得(0)50N c ==,于是 ()50kt N t e -=, 又因为 2t = 时, (2)50(110%)45N =?-=, 得 24550k e -=, 110 ln 0.05329 k =≈, 因此 0.053()50t N t e -=. (2) 当 4t = 时, 0.0534 (4)5040.5N e -?== (3) 质量减半时 ()25N t =, 得1 0.053ln 2 t -=, 13t ≈. 7. (1) ln 20.000125730≈, (2) ln 2 0.866438 ≈, (3) 一样. 8.(1) 1065, (2) 17669, (3) 32600, (4) 168 9. 解: (1) (1)10dS S k S dt N =--. (2) 1 (1)3dS S k S S dt N =--. (3) (1)dS S k S dt N =--其中 l 是捕获量与总量平方根的比例系数. 10.(1) 趋向于2000, (2) 鱼的数量递减趋于0. 11.2()23y t t =+. 12.()ln ,0g t t t t =- >.
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x
淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日
常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差
Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error
i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。
一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y =
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常微分方程初值问题数值解法 朱欲辉 （浙江海洋学院数理信息学院, 浙江舟山316004） [摘要]：在常微分方程的课程中讨论的都是对一些典型方程求解析解的方法.然而在生产实 际和科学研究中所遇到的问题往往很复杂, 在很多情况下都不可能给出解的解析表达式. 本篇文章详细介绍了常微分方程初值问题的一些数值方法, 导出了若干种数值方法, 如Euler法、改进的Euler法、Runge－Kutta法以及线性多步法中的Adams显隐式公式和预测校正 公式, 并且对其稳定性及收敛性作了理论分析. 最后给出了数值例子, 分别用不同的方法计算出近似解, 从得出的结果对比各种方法的优缺点. [关键词]：常微分方程;初值问题; 数值方法; 收敛性; 稳定性; 误差估计 Numerical Method for Initial-Value Problems Zhu Yuhui (School of Mathematics, Physics, and Information Science, Zhejiang Ocean University, Zhoushan, Zhejiang 316004) [Abstract]:In the course about ordinary differential equations, the methods for analytic solutions of some typical equations are often discussed. However, in scientific research, the problems are very complex and the analytic solutions about these problems can’t be e xpressed explicitly. In this paper, some numerical methods for the initial-value problems are introduced. these methods include Euler method, improved Euler method, Runge-Kutta method and some linear multistep method (e.g. Adams formula and predicted-corrected formula). The stability and convergence about the methods are presented. Some numerical examples are give to demonstrate the effectiveness and accuracy of theoretical analysis. [Keywords]:Ordinary differential equation; Initial-value problem; Numerical method; Convergence; Stability;Error estimate
第三章 二阶线性常系数微分方程 1.考虑两个参数的线性方程组 .Y a b b a dt dY ??? ? ??= 若)0,0(分别是鞍点、汇、源，试在平面上确定出相应的区域。 解：方程的特征方程为0)(22 22=-+-b a a λλ. 解得特征根为b a b a ±=±=2 2,1λ。 需分类讨论： （I ）当0>b 时，知b a b a +=<-=21λλ。 （i ）当0<+<-b a b a ，即b a -<时，)0,0(是汇。 （ii ）当b a b a +<<-0，即b a b <<-时，)0,0(是鞍点。 （ii ）当b a b a +<-<0，即b a >时，)0,0(是源。 （II ）当0-=21λλ。 （i ）当0<-<+b a b a ，即b a <时，)0,0(是汇。 （ii ）当b a b a -<<+0，即b a b -<<时，)0,0(是鞍点。 （ii ）当b a b a -<+<0，即b a ->时，)0,0(是源。 图3-1
2.求解下列给定二阶微分方程的通解: （1）076 22=--y dt dy dt y d 解：方程的特征方程为0762 =--λλ. 解得特征根为1,721-==λλ. 因此，t t e t y e t y -==)(,)(271 为齐次方程的两个解。 设21,k k 为常数，使得 0271≡+-t t e k e k 。 将上式两端求导得 07271≡-t t e k e k 。 令0=t 得???=-=+. 07,02121k k k k 由此得021==k k 。因此，t e t y 71)(=与t e t y -=)(2线性无 关。则由二阶齐次常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 t t e c e c t y -+=271)(。 （2）096 22=++y dt dy dt y d 解：特征方程：0962 =++λλ. 解得特征根为321-==λλ. 因此，t t te t y e t y 3231)(,)(--== 为齐次方程的两个解。 设21,k k 为常数，使得 03231≡+--t t te k e k 。 将上式两端求导得 03)3(32312≡----t t te k e k k 。 令0=t ，得021==k k 。因此，t e t y 31)(-=与t te t y 32)(-=线性无关。则由二阶齐次 常系数微分方程解的线性原理知，原方程的通解为 t t te c e c t y 3231)(--+=。 （3）0258 22=++y dt dy dt y d 解：特征方程：02582 =++λλ. 解得特征根为.34,3421i i --=+-=λλ. 因此，t e t y t e t y t t 3sin )(,3cos )(4241--== 为齐次方程的两个解。 设21,k k 为常数，使得 03sin 3cos 4241≡+--t e k t e k t t 。
各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程
令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数
第八章 常微分方程数值解法 考核知识点： 欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法，单步法的收敛性与稳定性。 考核要求： 1． 解欧拉法，改进欧拉法的基本思想；熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法、求微 分方程近似解的方法。 2． 了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的方 法。 3． 了解单步法的收敛性、稳定性与绝对稳定性。 例1 用欧拉法，预估——校正法求一阶微分方程初值问题 ? ??=-='1)0(y y x y ，在0=x （0，1）0.2近似解 解 （1）用1.0=h 欧拉法计算公式 n n n n n n x y y x y y 1.09.0)(1.01+=-+=+，1.0=n 计算得 9.01=y 82.01.01.09.09.02=?+?=y （2）用预估——校正法计算公式 1,0)(05.01.09.0)0(111)0(1=???-+-+=+=++++n y x y x y y x y y n n n n n n n n n 计算得 91.01=y ，83805.02=y 例2 已知一阶初值问题 ???=-='1 )0(5y y y 求使欧拉法绝对稳定的步长n 值。 解 由欧拉法公式 n n n n y h y h y y )51(51-=-=+ n n y h y ~)51(~1-=+
相减得01)51()51(e h e h e n n n -==-=-Λ 当 151≤-h 时，4.00≤ 第八章 常微分方程的数值解法 一．内容要点 考虑一阶常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 微分方程的数值解：设微分方程的解y (x )的存在区间是[a,b ]，在[a,b ]内取一系列节 点a= x 0< x 1<…< x n =b ,其中h k =x k+1-x k ；(一般采用等距节点，h=(b-a)/n 称为步长)。在每个节点x k 求解函数y(x)的近似值:y k ≈y(x k )，这样y 0 , y 1 ,...,y n 称为微分方程的数值解。 用数值方法，求得f(x k )的近似值y k ，再用插值或拟合方法就求得y(x)的近似函数。 (一)常微分方程处置问题解得存在唯一性定理 对于常微分方程初值问题:?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 如果： (1) 在B y y A x x 00≤-≤≤,的矩形内),(y x f 是一个二元连续函数。 (2) ),(y x f 对于y 满足利普希茨条件，即 2121y y L y x f y x f -≤-),(),(则在C x x 0≤≤上方程?????==0 0)() ,(y x y y x f dx dy 的解存在且唯一，这里C=min((A-x 0),x 0+B/L),L 是利普希茨常数。 定义：任何一个一步方法可以写为),,(h y x h y y k k k 1k Φ+=+，其中),,(h y x k k Φ称为算法的增量函数。 收敛性定理：若一步方法满足： (1)是p 解的. (2) 增量函数),,(h y x k k Φ对于y 满足利普希茨条件. (3) 初始值y 0是精确的。则),()()(p h O x y kh y =-kh =x -x 0,也就是有 0x y y lim k x x kh 0h 0 =--=→)( (一)、主要算法 1．局部截断误差 局部截断误差：当y(x k )是精确解时，由y(x k )按照数值方法计算出来的1~ +k y 的误差y (x k+1)- 1~ +k y 称为局部截断误差。 注意：y k+1和1~ +k y 的区别。因而局部截断误差与误差e k +1=y (x k +1) -y k +1不同。 如果局部截断误差是O (h p+1),我们就说该数值方法具有p 阶精度。 第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2) 的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,常微分方程数值解法
(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.
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