第五章 留 数 一、选择题： 1．函数 3 2cot -πz z 在2=-i z 内的奇点个数为 ( ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．设函数)(z f 与)(z g 分别以a z =为本性奇点与m 级极点，则a z =为函数)()(z g z f 的( ) （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）m 级极点 （D ）小于m 级的极点 3．设0=z 为函数 z z e x sin 14 2 -的m 级极点，那么=m ( ) （A ）5 （B ）4 (C)3 （D ）2 4．1=z 是函数1 1 sin )1(--z z 的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 一级零点 （D ）本性奇点 5．∞=z 是函数2 3 23z z z ++的( ) (A)可去奇点 （B ）一级极点 （C ） 二级极点 （D ）本性奇点 6．设∑∞ == )(n n n z a z f 在R z <内解析，k 为正整数，那么=]0,) ([ Re k z z f s ( ) （A ）k a （B ）k a k ! （C ）1-k a （D ）1)!1(--k a k 7．设a z =为解析函数)(z f 的m 级零点，那么='],) () ([ Re a z f z f s ( ) (A)m （B ）m - （C ） 1-m （D ）)1(--m 8．在下列函数中，0]0),([Re =z f s 的是（ ）
（A ） 2 1)(z e z f z -= （B ）z z z z f 1 sin )(-= （C ）z z z z f cos sin )(+= (D) z e z f z 1 11)(--= 9．下列命题中，正确的是( ) （A ） 设)() ()(0z z z z f m ?--=，)(z ?在0z 点解析，m 为自然数，则0z 为)(z f 的m 级 极点． （B ） 如果无穷远点∞是函数)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re =∞z f s （C ） 若0=z 为偶函数)(z f 的一个孤立奇点，则0]0),([Re =z f s （D ） 若 0)(=?c dz z f ，则)(z f 在c 内无奇点 10． =∞],2cos [Re 3 z i z s ( ) （A ）3 2- （B ）32 （C ）i 32 （D ）i 32- 11．=-],[Re 1 2i e z s i z ( ) （A ）i +- 61 （B ）i +-65 （C ）i +61 （D ）i +6 5 12．下列命题中，不正确的是( ) （A ）若)(0∞≠z 是)(z f 的可去奇点或解析点，则0]),([Re 0=z z f s （B ）若)(z P 与)(z Q 在0z 解析，0z 为)(z Q 的一级零点，则) ()(],)() ([Re 000z Q z P z z Q z P s '= （C ）若 0z 为 )(z f 的m 级极点，m n ≥为自然数，则 )]()[(lim !1]),([Re 1000z f z z dz d n z z f s n n n x x +→-=
习 题 课 （复变函数的导数与解析函数） 1.(1)11 (2)2 (3)22 (4)Im()4 z z z z i z i z i z ?=++=?=++=求下列各题中点的集合，并作图： 23 12.13 (2)1(3) (4)(3)i i e i Ln π?+???计算函数值及主值： （）（ 23.1-4iz-(4-9i)0 (2)10z z e =??=解方程： （） 332224.(1)(1)z 01() ,z z 00(2),0 x i y i f z x y f(z)z z ?+??≠?==+?=?? ==讨论下列函数的可导性与解析性： （）0 332222 (3)33(4)()f(z)x y i x y f z i x y x y =+=?++
3232 5.(),,my nx y i x lxy l m n +++设为解析函数，试求。 6.(cos sin ),()(0)0. x u e x y y y f z u iv f =?=+=已知求解析函数，并满足()2z . 7. 证明函数f z e =()2 2z f z ze ′=在全平面（复平面）上是解析的， 并证明。 8.如果f(z)=u+iv 是z 的解析函数,证明 ()()()222.f z f z f z x y ??????′+=?????????? 9.由下列各个条件求出解析函数()()()f ,z u x ,,y iv x y =+ (要求用复变量z 表示） (1) ()22(,),1.u x y x xy y f i i =+?=?+ (2) 3322(,)(,)3322.u x y v x y x y x y xy x y +=?+???