对数与对数函数题型归纳总结
知识梳理 1．对数的概念
如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b
log c
a (a ，c 均大于0且不等于1，
b ＞0)．
利用换底公式推导下面的结论 ①a
b b a log 1
log =
．推广log log log log a b c a b c d d ??=． ②b m
n
b a n
a m log log =
，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：
①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M
N ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )．
3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞．
注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：
x y 2log 2=，5
log 5
x
y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质
结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，? ????
1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数
指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析
题型一 对数的运算
例题1： （1）计算：? ??
??lg 14－lg 25÷100－
1
2＝_____；
(2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618
log 64＝___
解析：
(1)原式＝(lg 2－2
－lg 52
)×1001
2＝lg ? ??
??
122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.
(2)原式＝
1－2log 63＋（log 63）2＋log 66
3·log 6（6×3）
log 64
＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 6
4
＝2（1－log 63）2log 6
2＝log 66－log 63log 6
2
＝log 62log 6
2＝1.
例题2： 设x 、y 、z 为正数，且，则x 、y 、z 之间的关系式为 . 解析：设，由知，取以为底的对数可得
，所以
，，，所以，所以. 变式1： （1）若lg 2，lg(2x ＋1)，lg(2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于 (2)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝5
2，a b ＝b a ，则a ＝___，b ＝____ 解析： (1)由题意知lg 2＋lg(2x ＋5)＝2lg(2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，(2x )2－9＝0，2x ＝3，x ＝log 23. (2)设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝5
2，
∴t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，∴b 2b ＝b b 2
，即2b ＝b 2，又a >b >1，得b ＝2，a ＝4. 变式2： 已知1a b >>．若log lo 5
2
g a b b a +=
，b a a b =，则a =______，b =____ 分析：进行对数运算常用的方法：（1）将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2lg51+=
解析：设log ,1b a t t =>则，所以1
52
t t +=，解得2t =，所以2a b =， 于是由b a a b =，得2
2b b b b =，所以22b b =， 解得2,4b a ==．
题型二 对数函数的定义域
346x y z
==346x y z t ===0x >1t >t log 3log 4log 61t t t x y z ===1log 3t x =1log 4t y
=1
log 6t z =1111log 6log 3log 2log 422t t t t z x y -=-===111
2z x y
-=
例题3： 函数y =__________．
解析：要使()21log 1y x =-+有意义，则()21log 10x -+≥，即()2log 11x +≤，即012x <+≤，即11x -<≤，即函数()21log 1y x =-+的定义域为(]1,1-．
变式3： 函数256
()lg 3
x x f x x -+-的定义域为（ ）
A ．(2,3)
B ．(2,4]
C ．(2,3)(3,4]U
D ．(1,3)(3,6]-U 分析：求函数的定义域主要从三个方面考虑：（1）分式中的分母要求不等于0；（2）偶次根式的被开方数要求非负；（3）对数式的真数要求为正数． 解析：由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：
2564||0,03x x x x -+-≥>-，解得44,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为
(2,3)(3,4]U ，故应选C ．
题型三 对数函数的值域 例题4： 求下列函数的值域：
（1）31log y x =-；（2）()212
log 23y x x =--．
解析：（1）∵31log 0x -≥∴33log 1log 3x ≤=
∴0x <<3，函数的定义域为(]0,3x ∈∵31log 0x -≥函数的值域为[)0,y ∈+∞． （2）∵2230x x -->∴3x >或1x -<所以函数的定义域为()(),13,x ∈-∞-+∞U 因为2230x x -->，即223x x --能取遍一切正实数，所以()212
log 23x x R --∈
所以函数的值域为y R ∈． 题型四 对数函数的奇偶性
例题5： 若函数()f x 为奇函数，当0x >时，()2log f x x =，则12f f ??
??= ?
?????
（） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1
解析：()()2211log 11log 1022f f f f f ?
????
?==-=-=-= ? ?
????
???，选C ．
变式4： 若函数()2lg 2+1f x a x ?
?= ?+??
为奇函数，则实数a =_______．
解析：1
2
-
题型五 对数函数的对称性
例题6： 若1x 满足522=+x x ，2x 满足5)1(log 222=-+x x ，则=+21x x 解析：x x 252-=，x x 25)1(log 22-=-，即x x -=
-2521，x x -=-2
5
)1(log 2，作出12-=x y ，x y -=
2
5
，)1(log 2-=x y 的图象
（如图）．由图知12-=x y 与)1(log 2-=x y 的图象关于1-=x y 对称，它们与x y -=25的交点A 、B 的中点为x y -=2
5
与
1-=x y 的交点C ，47221=+=x x x C ，∴2
7
21=+x x
题型六 对数函数的单调性
例题7： 求函数()20.1log 253y x x =--的递减区间． 解析：先求函数的定义域，由22530x x -->，得1
2
x -
<，或3x >．令2253u x x =--，0.1log y u =，∵对数的底数0.11<，∴函数0.1log y u =减函数，
由复合函数单调性“同增异减”的规律可知，要求原函数的单调间区间，只需求
函数2253u x x =--（1
2
x -<，或3x >）的递增区间即可．
∵2
2549253248u x x x ?
?=--=-- ???，∴函数2253u x x =--（12x -<，或3x >）
的递增区间()3,+∞，所以函数()20.1log 253y x x =--的递减区间为()3,+∞．
变式5： 函数()()
2log 45a f x x x =--（1a >）的单调递增区间是（） A ．(),2-∞- B ．(),1-∞- C ．()2,+∞ D ．()5,+∞
分析：复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．
解析：由函数()()
2log 45a f x x x =--得2450x x -->，得1x <-或5x >， 根据题意，设245u x x =--，则()2
29u x =--，图象开口向上， 因函数()()
2log 45a f x x x =--为单调增函数， 由1a >得：()log a f x u =也是增函数，
又因245u x x =--在()5,+∞上是增函数，故x 的取值范围是()5,+∞，故选D ． 变式6： 已知函数()212
log y x ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，则实数a 的取
值范围是___________．
分析：（1）忽视真数要求大于0的条件；（2）只注意真数所对应的二次函数的单调性而忽视外层函数的单调性．
解析：令2t x ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可得函数t 在
区间()2,+∞上是增函数，且(2)0t >，所以2
2(2)420
a
t a ?≤???=->?，解得4a ≤
所以实数a 的取值范围是4a ≤
变式7： 若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为________.
解析：令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有???g （1）＞0，a ≥1，即???2－a ＞0，
a ≥1，
解得1≤a ＜2，即a ∈[1，2).．
变式8： 已知函数 (a >0，且a ≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a 的取值范围是________.
()()8a f x log ax ＝－()1f x >
解析：当时，在[1，2]上是减函数，
由在区间[1，2]上恒成立，则，解之得。 若时，在[1，2]上是增函数，由在区间[1，2]上恒成立， 则，且.∴，且，故不存在.
综上可知，实数a 的取值范围是.
例题8： 若函数()()12,2,{ log ,2
a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范
围是_______．
分析：题考查了分段函数的单调性的应用，属于中档题，分段函数在定义域上单调递减时，每段函数都要递减，但要注意分界点处函数值的处理，在分界点处函数是可以连续的，即两个函数值是可以相等的，因此在处理分界处的函数值是容易出现错误的，做题时要注意考虑完全．
例题9： 已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且
()()()()1234f x f x f x f x ===，则
1234
1111
x x x x +++=（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．随a 值变化
解析：不妨设1a ＞，则令10a f x log x b =-=（）＞，则1a log x b -=或1a log x b -=- 故12341111b b b b x a x a x a x a --=-+=-+=+=+，，，， 故
221423112112
11b b
x x a x x a -+=+=--，； 1a >()()8a f x log ax ＝－()1f x >()(1)82a min f x log a >＝－8
13
a <<
01a <<()f x ()1f x >()(1)82a min f x log a >＝－820a >－4a >4a <8(1,)
3
2222212341111222221111b b b b
b a x x x x a a a a -+++=+=+=----故，故选A ． 题型七 对数函数的零点问题
例题10： 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为
分析：在函数与方程的关系中，如果求解与函数零点、方程的根、图象的交点等问题时，常常要利用数形结合的思想来解决．
解析：0.5()2|log |1x f x x =-的零点，即为方程0.52|log |1x x =的根，亦即为函数
0.5|log |y x =与1
()2x y =函数的交点横坐标，因此在同一坐标系中作出函数1()
2x y =与0.5|log |y x =的图象，由图象可知零点个数为2个
例题11： 已知函数f (x )＝???2x ，x <1，
log 2x ，x ≥1，若方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，则
实数a 的取值范围是________.
解析：作出函数y ＝f (x )的图象(如图所示).
方程f (x )－a ＝0恰有一个实根，等价于函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 恰有一个公共点，故a ＝0或a ≥2，即a 的取值范围是{0}∪[2，＋∞).
变式9：已知函数f(x)={kx+1,x≤0
lnx,x>0，则函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断正确的是（）
A. 当k>0时，有4个零点；当k<0时，有1个零点
B. 无论k为何值，均有2个零点
C. 当k>0时，有3个零点；当k<0时，有2个零点
D. 无论k为何值，均有4个零点
故函数y=f(f(x))+1有四个零点.应选答案A.。
变式10：若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）= f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，则函数y=f（x）﹣log
|x|的零点个数是（）
3
A．多于4个B．4个C．3个D．2个
分析：根据定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）= f（x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x，我们易画出函数f（x）的图象，然后根据函数y= f（x）-log3|x|的零点个数，即为对应方程的根的个数，即为函数数f（x）与函数y=log
|x|的图象
3
交点的个数，利用图象法得到答案．
解析：若函数f（x）满足f（x+2）=f（x），
则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R 上的偶函数， 结合当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，
我们可以在同一坐标系中画出函数y =f （x ）与函数y=log 3|x |的图象如下图所示：
由图可知函数y =f （x ）与函数y=log 3|x |的图象共有4个交点， 即函数y =f （x ）﹣log 3|x |的零点个数是4个，故选B 题型八 对数函数值域
例题12：
函数2()log )f x x =的最小值为___________．
解析：()()()2
222222111log 2log 1log log log 224f x x x x x x ??=?+=+=+-?? ????
?， 所以，当21log 2x =-
，即2x =时，()f x 取得最小值14
-．
例题13： 若函数?????>≤=-2,log 2
,)21()(3
x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实
数a 的取值范围是________．
分析：本题属于一道逆向型的问题，中档偏难题．解题时一定要注意对底数a 进行分类．解题过程中还运用了函数值域内中的一个重要性质),2[),2(log +∞?+∞a ，并以此为基点建立不等式求出了参数a 的取值范围．解本题的关键是如何理解题设中“值域为),2[+∞”并能建立等价的不等式．
解析：当2≤x 时，2)2
1
()(32=≥-x f ，即函数的值域为),2[+∞；当2>x 且1>a 时，
2log )(a x f >，即函数的值域为),2(log +∞a ，由),2[),2(log +∞?+∞a ，得22log ≥a ，
解得21≤x 且10< 所以实数的 取值范围是21≤ 例题14： 若函数2()log (1)(0a f x x ax a =-+->且1)a ≠有最大值，则实数a 的取值范围是___________． 分析：（1）注意真数对应的二次函数的开口方向；（2）注意函数为复合函数，解答时注意利用单调性的复合规律求解；（3）注意定义域要求． 变式11： 设函数()22log ,1 2{ 142 ,1333 x x f x x x x ?? -≤- ???=-++>-，若()f x 在区间[],4m 上的值域为[]1,2-，则实数m 的取值范围为__________． 分析：本题主要考查分段函数的图象与性质以及数形结合思想，属于难题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 解析： 变式12： 已知函数()sin (1)cos t x f x t t x += >+的最大值和最小值分别是,M m ，则 log log t t M m +的值为 A ．1 B ．0 C ．-1 D ．-2 分析：在处理求函数值域问题时，往往结合所给式子的几何意义进行处理可起到事半功倍的效果，常用的有： y b x a --表示过点(),x y 和点(),a b 的直线的斜率，()() 22 x a y b -+-表示点(),x y 和点(),a b 的距离的平方． 解析：由题意，得()sin (1)cos t x f x t t x += >+表示单位圆上动点()cos ,sin A x x 和单位 圆外一点(),B t t --的连线的斜率k ，当直线AB 与圆221x y +=相切时，斜率k 取得最大值和最小值，设切线方程为()y t k x t +=+，即0kx y kt t -+-= ，则 1d = =，即()22221210t k t k t --+-=的两根分别为,M m ，则1Mm =， 即log log log log 10t t t t M m Mm +===；故选B ． 题型九 对数函数的定点问题 例题15： 函数()()log 2101a y x a a =-+≠且>恒过定点． 解析：当3x =时，1y =，故函数()()log 2101a y x a a =-+≠且>恒过定点 ()3,1． 变式13： 函数log (3)1(0,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中m ，n 均大于0，则 12 m n +的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 分析：因为指数函数log (0,1)a y x a a =>≠恒过定点，则函数 log ()(0,1)a y m f x n a a =+>≠所过的定点可令()1f x =求得横坐标，而纵坐标为n ，由此可得定点坐标． 解析：根据题意，有(2,1)A --，所以有21m n +=， 所以12124()(2)4n m m n m n m n m n +=++=+ + 48≥+=，故选C ． 题型十 利用对数函数性质判断图象 例题16： 已知函数log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0a >且1a ≠）的图象如图，则下列结论成立的是（ ） A ．1,1a c >> B ．1,01a c ><< C ．01,1a c <<> D ．01,01a c <<<< 解析：由图可知，log ()a y x c =+的图象是由log a y x =的图象向左平移c 个单位而得到的，其中01c <<，再根据单调性易知01a <<，故选D 例题17： 函数()a f x x =满足()24f =，那么函数()()log 1a g x x =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 例题18： 若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( ) 解析：(1)由f (x )在R 上是减函数，知0 又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞). ∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位得到. 因此选项D 正确. 例题19： 当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2 A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2] D. ? ????0，12 解析：由题意，易知a >1. 在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象. 若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2. 根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 变式14： 函数y= lg|x|x 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 分析：先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项． 解析：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，所以排除A，B 当x=1时，f（x）=0排除C，故选D 变式15：若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数 y=log a|1 x |的图象大致为（） A．B．C． D． 分析：由于当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，利用指数函数的图象和性质可得0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象，此函数是偶函数， 当x＞0时，即为y=log a x，而函数y=log a|1 x |=﹣log a|x|，即可得出图象． 解析：∵当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1． 因此，必有0＜a＜1．先画出函数y=log a|x|的图象：黑颜色的图象． 而函数y=log a|1 x |=﹣log a|x|，其图象如红颜色的图象．故选B． 变式16：函数y=1 ln|e x?e?x| 的部分图象大致为（） A．B．C．D． 分析：判断奇偶性排除B，C，再利用特殊函数值判断即可得出答案． 解析：∵y=f（x）=1 ln|e x?e?x|，∴f（﹣x）=1 ln|e?x?e x| =1 ln|e x?e?x| =f（x）， ∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，所以排除B，C． ∵f（2）=1 ln|e2?e?2| ＞0，∴（2，f（2））在x轴上方，所以排除A，故选：D． 题型十一 对数方程的解法 例题20： 方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________． 分析：对数方程的最基本的法则是首先统一底数，然后根据方程的特征利用对数的运算性质，结合对数相等，真数相等去掉对数符号，或通过换元去掉对数符号，转化为代数方程后，利用代数的方法求求解，最后回代验证即可． 解析：设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+?-=->2430t t ?-+= ， 1333112x t t x x -=?=?-=?=． 题型十二 比较大小或解不等式 例题21： 不等式12 log (1)1x ->的解集是_______． 分析：求对数不等式的解集主要就是利用其单调性，因此必须考察对数的底数，同时易忽视真数的限制条件． 解析：由log ()12 11x ->得1012x <-<，即312x <<． 变式17： 若log a (a 2＋1) ?? 12，1. 例题22： 已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 1 3，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >a D.c >a >b 法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 12 1 3＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b . 法二 log 121 3＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象， 由图知c >a >b . 变式18：已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数， 记a=f（log 0.53），b=f（log 2 5），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 分析：根据函数奇偶性得f（x）=2|x|﹣1={2x?1，x≥0 2?x?1，x＜0 ，利用单调性求解即可 解析：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0， ∵f（x）=2|x|﹣1={2x?1，x≥0 2?x?1，x＜0 ，∴f（x）在（0，+∞）单调递增， ∵a=f（log 0.53）=f（log 2 3），b=f（log 2 5），c=f（2m）=f（0）=0， 0＜log 23＜log 2 5，∴c＜a＜b，故选：B 题型十三综合运用 例题23：已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则() A.f(x)在(0，2)上单调递增 B.f(x)在(0，2)上单调递减 C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上 单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误.答案 C 例题24： 已知函数.若且，则的范围是( ) A ． B ． C ． D ． 解析：函数的图象如图所示， 由图象知，一个大于1，一个小于1，不妨设,. 因为，所以，即， 所以 例题25： 函数g （x ）=log 22x x+1（x ＞0），关于方程|g （x ）|2+m|g （x ）|+2m+3=0有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，4﹣2√7）∪（4+2√7，+∞） B ．（4﹣2√7，4+2√7） C ．（﹣3 4，﹣2 3） D ．（﹣3 2，﹣4 3] 分析：先确定0＜g （x ）＜2，作出y=|g （x ）|大致图象，设|g （x ）|=t ，则|g （x ）|2+m|g （x ）|+2m+3=0有三个不同的实数解，即为t 2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，由此可得结论． ()|lg |f x x =a b ≠()()f a f b =a b +(1,)+∞[1,)+∞(2,)+∞[2,)+∞()|lg |f x x =a b 1a >01b <<()()f a f b =1()|lg |lg ()lg lg f a a a f b b b ====-=1 a b =12a b b b +=+ >= 解析：∵2x x+1= 2(x+1)?2x+1 =2﹣2x+1，∴当x ＞0时，0＜2﹣2 x+1＜2，即g （x ）＜1， 则y=|g （x ）|大致图象如图所示， 设|g （x ）|=t ，则|g （x ）|2+m|g （x ）|+2m+3=0有三个不同的实数解， 即为t 2+mt+2m+3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上， 当t=0时，2m+3=0，得m=﹣3 2，此时方程为t 2﹣3 2t=0，解得t=0或t=3 2， 当t=0时，g （x ）=0有一个根x=1， 当t=3 2时，由|g （x ）|=3 2，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足 设h （t ）=t 2+mt+2m+3， ①当有一个根为1时，h （1）=12+m+2m+3=0，解得m=﹣4 3，此时另一根为1 3，满足 ②根不是1时，则{ ?(0)＞0?(1)＜0，∴{2m +3＞01+m +2m +3＜0 ∴﹣32＜m ＜?4 3． 综上﹣3 2＜m ≤﹣4 3，即实数m 的取值范围为（﹣3 2，﹣4 3]，故选：D ． 例题26： 已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若a ，b ∈[﹣1，1]，且a+b ≠0，有 f(a)+f(b)a+b ＞0恒成立． （1）判断f （x ）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式f （log 2x ）＜f （log 43x ）的解集； （3）若f （x ）≤m 2﹣2am+1对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，求实数m 的取值范围． 分析：（1）直接根据单调性的定义判断和证明该函数为增函数； （2）根据对数函数的图象和性质列出不等式组解出即可； （3）问题转化为m 2﹣2am+1≥f （x ）max ，再构造函数并通过分类讨论求范围． 解析：（1）f （x ）在[﹣1，1]上为增函数，证明如下： 任取x 1，x 2满足﹣1≤x 1＜x 2≤1，由f （x ）为奇函数，∴ f(x 2)?f(x 1)x 2?x 1 = f(x 2)+f(?x 1)x 2+(?x 1) ， 又因为a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0，都有f(a)+f(b) a+b ＞0， ∴f(x2)?f(x1) x2?x1=f(x2)+f(?x1) x2+(?x1) ＞0，∵x 2 ﹣x 1 ＞0，∴f（x 2 ）﹣f（x 1 ）＞0， 所以f（x）在[﹣1，1]上为增函数； （2）原不等式等价于：?1≤log2x≤1?1 2 ≤x≤2，① ?1≤log43x≤1?1 12≤x≤4 3 ，② log2x＜log43x?log2x＜log2√3x?0＜x＜③ 综合以上三式得，原不等式解集为：{x|1 2≤x≤4 3 }； （3）f（x）在[﹣1，1]递增，则f（x） max =f（1）， ∴m2﹣2am+1≥f（x） max ，即m2﹣2am≥0对a∈[﹣1，1]恒成立， 记关于a的函数g（a）=﹣2m?a+m2，﹣1≤a≤1， 问题等价为：g（a） min ≥0在a∈[﹣1，1]上恒成立， ①当m=0时，g（a）=0满足， ②当m＜0时，g（a）递增，令g（a） min =g（﹣1）≥0?m≤﹣2； ③当m＞0时，g（a）递减，令g（a） min =g（1）≥0?m≥2， 综合以上讨论得，实数m的取值范围为：（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）． 变式19：对于下列结论： ①函数y=a x+2（x∈R）的图象可以由函数y=a x（a＞0且a≠1）的图象平移得到； ②函数y=2x与函数y=log 2 x的图象关于y轴对称； ③方程log 5（2x+1）=log 5 （x2﹣2）的解集为{﹣1，3}； ④函数y=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）为奇函数． 其中正确的结论是①④（把你认为正确结论的序号都填上）． 分析：①利用图象的平移关系判断．②利用对称的性质判断．③解对数方程可得．④利用函数的奇偶性判断． 解析：①y=a x+2的图象可由y=a x的图象向左平移2个单位得到，①正确； ②y=2x与y=log 2 x互为反函数，所以的图象关于直线y=x对称，②错误； 对数函数知识点及典型例题讲解 1．对数： (1) 定义：如果，那么称为，记作，其中称为对数的底，N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数，记作___________． ②以无理数为底的对数称为自然对数，记作_________． (2) 基本性质： ①真数N为 (负数和零无对数)；②；③； ④对数恒等式：． (3) 运算性质： ① log a(MN)＝___________________________； ② log a＝____________________________； ③ log a M n＝ (n∈R). ④换底公式：log a N＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0) ⑤ . 2．对数函数： ①定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为； 3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数； 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)； 4) 函数y＝log a x与的图象关于x轴对称． ③函数值的变化特征： ①②③①②③ 例1 计算：（1） （2）2(lg)2+lg·lg5+; （3）lg-lg+lg. 解：（1）方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==（2+）-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. （2）原式=lg（2lg+lg5）+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. （3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1：化简求值. （1）log2+log212-log242-1; （2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25; （3）(log32+log92)·(log43+log83). 解：(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 （2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. （3）原式=( 例2 比较下列各组数的大小. （1）log3与log5;（2）log1.10.7与（3）已知logb＜loga＜logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解：（1）∵log3＜log31=0,而log5＞log51=0,∴log3＜log5. (2)方法一∵0＜＜1,＜,∴0＞, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7＜方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7＜为减函数，且, ∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c. 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log a的大小关系是（） B. C. D. 解： C 例3已知函数f(x)=log a x(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围. 解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0. 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥log a3. 因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立. 只要log a3≥1=log a a即可，∴1＜a≤3. 当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f（x）=log a x在［3，+∞）上为减函数， ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数. ∴对于任意x∈［3，+∞）都有 对数函数及其性质题型总结 1．对数函数的概念 (1)定义：一般地，我们把函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． (2)对数函数的特征： 特征Error! 判断一个函数是否为对数函数，只需看此函数是否具备了对数函数的特征． 比如函数y ＝log 7x 是对数函数，而函数y ＝－3log 4x 和y ＝log x 2均不是对数函数，其原因是不符合对数函数解析式的特点． 【例1－1】函数f (x )＝(a 2－a ＋1)log (a ＋1) x 是对数函数，则实数a ＝__________． (1)图象与性质 a ＞10＜a ＜1 图 象 (1)定义域{x |x ＞0} (2)值域{y |y R } ∈(3)当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1,0) (4)当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1时，y ＜0(4)当x ＞1时，y ＜0；当 0＜x ＜1时，y ＞0 性质 (5)在(0，＋∞)上是增函数(5)在(0，＋∞)上是减函数性质（6）底数与真数位于1的同侧函数值大于0，位于1的俩侧函数值小于0 性质（7）直线x ＝1的右侧底大图低 谈重点 对对数函数图象与性质的理解 对数函数的图象恒在y 轴右侧，其单调性取决于底数．a ＞1时，函数单调递增；0＜a ＜1时，函数单调递减．理解和掌握对数函数的图象和性质的关键是会画对数函数的图象，在掌握图象的基础上性质就容易理解了．我们要注意数形结合思想的应用． 题型一：定义域的求解 求下列函数的定义域． 例1、(1)y ＝log 5(1－x )； (2)y ＝log (2x －1)(5x －4)； (3)． y =在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于y ＝log a f (x )的定义域时，应首先保证f (x )＞0． 题型二:对数值域问题 对数型函数的值域的求解 对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47) a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0 对数极对数函数题型总结 例题讲解 一、利用对数恒等式化简求值 1．求值： 2．求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0) 二、积、商、幂的对数 3．求值 (1)(2)lg2·lg50+(lg5)2(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2 4．已知3a=5b=c，，求c的值. 5．设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：. 6．已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：. 三、换底公式的运用 7．(1)已知log x y=a，用a表示； (2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x. 8．求值：(1)；(2)；(3). 9． 10． 11．四、对数运算法则的应用 12．9．求值 13．(1) log89·log2732 14．(2) 15．(3) 16．(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) 17． 18．10．求值： 19． 11．已知：log23=a，log37=b，求：log4256=? 五、函数的定义域、值域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用. 12. 求下列函数的定义域. (1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a11，k?R). 13．函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域. 六、函数图象问题 七、14．作出下列函数的图象： 八、(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx. 九、 七、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值. 15．已知则（） A．B．C．D． 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 对数与对数函数-知识点与题型归纳 ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般 对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数 函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数 (a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 2 3 一般地，对于指数式a b ＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝n m log a M . (2)对数的性质 ①a log aN ＝N ；②log a a N ＝N (a >0，且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 注意：(补充)特殊结论:log 10,log 1a a a == 指对函数 1比较大小，是指对函数这里很爱考的一类题型，主要依靠指对函数本身的图像性质来做题，此外，对于公式的理解也很重要。常用方法有建立中间量；估算；作差法；作商法等。 1、若π2log =a ，6log 7=b ，8.0log 2=c ，则（ ） A.c b a >> B.c a b >> C.b a c >> D.a c b >> 2、三个数6log ,7.0,6 7.067 .0的大小顺序是（ ） A.60.70.70.7log 66<< B.60.70.70.76log 6<< C.0.760.7log 660.7<< D.60.7 0.7log 60.76<< 3、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A.312y y y >> B.213y y y >> C.132y y y >> D.123y y y >> 4、当10<> B.a a a a a a >> C.a a a a a a >> D.a a a a a a >> 5、设 1)3 1()31(31<<>x x b a ，则下列不等式成立的是( ) A ．10<<a 且1≠a ），则()f x 一定过点（ ） A.无法确定 B.)3,0( C.)3,1( D.)4,2( 2、当10≠>a a 且时，函数()32-=-x a x f 必过定点（ ） 3、函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点（ ） 4、函数1)5.2(log )(-+=x x f a 恒过定点（ ） 5、指数函数()x a x f =的图象经过点?? ? ??161,2，则a =（ ） 6、若函数log ()a y x b =+ (0>a 且1≠a )的图象过)0,1(-和)1,0(两点，则b a ,分别为（ ） A.2,2==b a B.2,2==b a C.1,2==b a D.2,2==b a 3针对指对函数图像性质的题 对数函数题型总结： 类型1：（求对数函数定义域与值域）1.N > 0 2. a > 0且 不= 1 例1、求下列函数的定义域： （1） （2）（3） 变式练习1. 求下列函数的定义域： （1）（2） （3）（4） 1. 函数 212 log (617) y x x =-+的值域是________ 2. 设1a >，函数 ()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为1 2，则a =___________ 3. 函数 ()log (1)x a f x a x =++在[0,1]上最大值和最小值之和为a ，则a 的值为___________ 类型二、指数式与对数式互化及其应用 例2．： (1) (2) ： 变式2： 求下列各式中x 的值： (3)lg100=x (4) 类型三、利用对数恒等式化简求值：恒等式 例3 ．求值： 变式3：求的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0) 类型四、积、商、幂的对数 ① log a (MN)＝___________________________；② log a ＝____________________________； ③ log a M n ＝(n ∈R). 例4．已知lg2=a ，lg3=b ，用a 、b 表示下列各式. (1)lg9 ((2)lg64 (3)lg6(4)lg12 (5)lg5 (6) lg15 【变式4】求值(1) N M 2 a y log x =a y log (4x) =-2 (3x)y log x -=5y log (1x)=-21y log x = 7 1 y log 13x = -y = 指数与对数函数题型总结 题型1 指数幂、指数、对数的相关计算 【例1】计算：3 5 3 log 1+－2 3 2 log 4+＋10 3lg3 ＋????1252log . 【例2】计算下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋2 3lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 变式： 1.计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋3 5 lg 27－lg 3 lg 81－lg 27. 2.计算下列各式的值： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4 ； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06. 3.计算下列各式 (1)化简 a 4 3－8a 3 1b 4b 3 2 ＋23 ab ＋a 3 2÷? ?? ??1－2 3b a ×3ab ； (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－253 5log . (3)求lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25 ＋525log ＋1643 的值．(4)已知x ＞1，且x ＋x － 1＝6，求x 21－x 21 -. 题型2指数与对数函数的概念 【例1】若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________． 【例2】指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 【例3】函数y ＝a x － 5＋1(a ≠0)的图象必经过点________． 变式： 1.指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ； (3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1. 题型3 指数与对数函数的图象 【例1】如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( ） A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．b ＜a ＜1＜d ＜c C ．1＜a ＜b ＜c ＜d D ．a ＜b ＜1＜d ＜c 【例2】函数y ＝|2x －2|的图象是( ) 对数及对数函数 1、对数的基本概念 （1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对 数， 记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式 （2）常用对数：N 10log ，记作N lg ； 自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln . （3）指数式与对数式的关系：log x a a N x N =?=（0>a ，且1≠a ，0N >） （4）对数恒等式： 2、对数的性质 （1）负数和零没有对数，即0>N ； （2）1的对数是零，即01log =a ； （3）底的对数等于1，即1log =a a 3、对数的运算性质 （1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③M n M a n a log log = （2）换底公式： 推论：① b N N b log 1log = ； ② ； ③ 1log log =?a b b a 4、对数函数的定义： 函数 叫做对数函数，其中x 是自变量 （1）研究对数函数的图象与性质： 由于对数函数 与指数函数 互为反函数，所以 的图像和 的图像关于直线 对称。 （2）复习)10(≠>=a a a y x 且的图象和性质 ()010log >≠>=N a a N a N a ，且b N N a a b log log log = b m n b a n a m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x =x y a =y x = 经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1．已知f(x)=225x - (0≤x ≤4)， 求f(x)的反函数. 思路点拨：这里要先求f(x)的范围(值域). 解：∵0≤x ≤4，∴0≤x 2≤16， 9≤25-x 2≤25，∴ 3≤y ≤5， ∵ y=225x -， y 2=25-x 2，∴ x 2=25-y 2 .∵ 0≤x ≤4，∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x ， y 互换，∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2．已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上，又在它的反函数图象上，求f(x)解析式. 思路点拨：由前面总结的性质我们知道，点(4，1)在反函数的图象上，则点(1，4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ，b 的点，也就有了两个求解a ，b 的方程. 解： ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51， b=521，∴ f(x)=-51x+521. 另：这个题告诉我们，函数的图象若与其反函数的图象相交，交点不一定都在直线y=x 上. 例5．已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-，求a ，b ，c 的值. 思路点拨：注意二者互为反函数，也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解：求f -1(x)=253 x x +-的反函数，令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2)，f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-，∴ a=3， b=5， c=-2. ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数， 它们的图象关于直线y ＝x 对称． (补充) 设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)， 1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象 关于直线y x =对称． 对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用 1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4 -- 3 函数()f x =的定义域为（ ]1,0()0,1( - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。 . 1、 已知0707..m n >，则m n 、的关系是（ ） A 、 10>>>m n B 、 10>>>n m C 、 m n > D 、 m n < 2、三个数a b c =-==(.)(.).030320203，，，则a b c 、、的关系是（ ） A 、 a b c << B 、 a c b << C 、 b a c << D 、 b c a << 3、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是 （ ） A 、60.70.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4 、 设 1.5 0.9 0.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、 123y y y >> 5、当10<> B 、a a a a a a >> C 、a a a a a a >> D 、a a a a a a >> 6．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1 2)－1.5，则( ) . A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 7．设13<(13)b <(1 3)a <1，则( ) A ．a a b >c B ．a 0，且a ≠1)． 12．设y 1＝40.9，y 2＝80.48 ，y 3＝(12)－1.5 ，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 2．设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 3．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 4．设a ＝log 1312，b ＝log 13 23，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 对数与对数函数例题及习题 一、对数 （一）、对数的基本知识点 1、定义： 如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记 )1,0(log ≠>=a a N b a 即有：?=N a b )1,0(log ≠>=a a N b a 2、性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a ； 3、恒等式：N a N a =log ；b a b a =log )1,0(≠>a a 4、运算法则： N M MN a a a log log log )1(+= N M N M a a a log log log )2(-= M n M a n a log log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>0 5、换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>= m m a a N a N N m m a 且且 （二）、题型 题型一．对数式的化简和运算 例1 计算： 练习 求下列各式的值： 例2 用x a log ，y a log ，z a log 表示下列各式： ; (1)log z xy a 3 2log )2(z y x a 例3计算： （1）1log 2log 2 a a +； （2）33log 18log 2-； （3）1lg lg 254 -； （4）552log 10log 0.25+； （5）522log 253log 64+； （6）22log (log 16)。 换底公式的应用: a b b c c a log log log = =a b lg lg （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 对数与对数函数题型归纳总结 知识梳理 1．对数的概念 如果a x ＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log aN ＝N ；②log a a b ＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b log c a (a ，c 均大于0且不等于1， b ＞0)． 利用换底公式推导下面的结论 ①a b b a log 1 log = ．推广log log log log a b c a b c d d ??=． ②b m n b a n a m log log = ，特例：log log n n a a b b = (3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： ①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ，③log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 3．函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，x 是自量，函数定义域是(0,)+∞． 注意：（1）对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如： x y 2log 2=，5 log 5 x y =都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．（2）对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 4．对数函数的定义、图象与性质 结论1.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 结论 2.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，? ???? 1a ，－1，函数图象只在第一、四象限. 5.反函数 指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 例题分析 题型一 对数的运算 例题1： （1）计算：? ?? ??lg 14－lg 25÷100－ 1 2＝_____； (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618 log 64＝___ 解析： (1)原式＝(lg 2－2 －lg 52 )×1001 2＝lg ? ?? ?? 122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 对数与对数函数 1.对数 （1）对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④对数换底公式：log b N = b N a a log log （a ＞0，a ≠1， b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数 （1）对数函数的定义 函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？ 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象 a <11)) 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.对数函数知识点及典型例题讲解
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