一、选择题
1．已知0x >，0y >，且1x y xy +=-，则（ ）
A ．xy 的最大值为322+
B ．xy 的最大值为6
C ．2x y +的最小值为332+
D ．2x y +的最小值为7
2．设实数x 满足0x >，函数4
231
y x x =+++的最小值为（ ） A ．431-
B ．432+
C ．421+
D ．6
3．已知2x >，那么函数4
2
y x x =+-的最小值是（ ） A ．5
B ．6
C ．4
D ．8
4．已知m ＞0，xy ＞0，当x +y ＝2时，不等式4m x y +≥9
2
恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．1,)2
?+∞??
B ．[
1,)+∞
C ．]
(01，
D ．1(02?
??
，
5．已知1x >，0y >，且12
11x y
+=-，则2x y +的最小值为（ ） A ．9
B ．10
C ．11
D ．726+
6．已知A 、B 、C 为ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tan 2tan B A =，则
11
tan tan B C
+的最小值为（ ） A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．1
7．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ??
-<
，则a b -=（ ） A ．4-
B ．14
C ．10-
D ．10
8．如图，在ABC 中，2
3
BD BC =
，E 为线段AD 上的动点，且CE xCA yCB =+，则13
x y
+的最小值为（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．10
9．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与AB ，AD 所在直线分别交于点M ，N ，若AB ＝m AM ，AN ＝n AD （m ＞0，n ＞0），则
m
n
的最大值为（ ）
A ．
22
B ．1
C ．2
D ．2
10．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则
c c a b
> C ．若a b >，则a c b c +>+
D ．若a b >，则a c b c ->-
11．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式
20cx bx a ++>的解集是( )
A ．11,βα?? ???
B ．11,,βα????-∞+∞
? ?????
C ．(),αβ
D ．(]
(),,αβ-∞+∞
12．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．4ab
a b a b
+<
+ B 2ab
ab a b
<
+ C 22222a b ab + 13．已知函数2 2 ()(32)(2)1 f x m m x m x =-++-+的定义域为R ，则实数m 的取值范 围是________. 14．已知函数2()21f x x ax =-+，若对?(] 0,2x ∈，恒有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是___________． 15．若a ，b 为实数，且12,12a b ≤≤≤≤，则 2 1a b ab +的最小值是________． 16．已知关于x 的不等式230x ax ++，它的解集是[1，3]，则实数a =__． 17．若不等式2 56x xt <--对于1,22 x ?∈????? 恒成立，则实数t 的取值范围是______. 18．设A .B 分别为双曲线22 221x y a b -=（a >0，b >0）的左.右顶点，P 是双曲线上不同于A .B 的一点，直线AP .BP 的斜率分别为m .n ，则当3b a 取最小值时，双曲线的离心率为__________. 19．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是?，则实数a 的取值范围是______． 20．已知0a >，0b >，且22a b +=，那么 21 a b +的最小值为________． 三、解答题 21．已知命题:p 实数x 满足28200x x --≤，命题:q 实数x 满足 222(1)0(0)x x m m -+-≤>，若p ?是q ?的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 22．2018年10月23日，习近平总书记在珠海出席港珠澳大桥开通仪式上宣布：历经5年规划，9年建设，总长约55公里，总投资约1100亿的港珠澳大桥正式开通，将给我国粤港澳大湾区经济腾飞带来积极影响.港珠澳大桥作为一项独特的工程奇观，为跨海旅游线路增添新亮点.某旅游公司为了提高相关线路旅游门票的销量，准备举办一场促销会.据市场调查，当每张门票售价定为x 元时，销售量可达到()150.1x -万张.现投资方为配合旅游公司的活动，决定进行门票价格改革，将每张门票的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万张)成反比，并且根据调查，每张门票售价定为100元时，旅游公司获得的总利润为340万元.（每张门票的销售利润＝售价－供货价格）. （1）求出每张门票所获利润()f x 关于售价x 的函数关系式，并写出定义域； （2）每张门票售价定为多少元时，每张门票所获利润最大？并求出该最大值. 23．已知函数()()2 21f x ax a x b =-++-. （1）若2a =-，9b =，求函数() ()0f x y x x = <的最小值； （2）若1b =-，解关于x 的不等式()0f x ≥. 24．已知函数()()()2 24f x x a x a R =-++∈． （1）解关于x 的不等式()42f x a ≤-； （2）若对任意的[] 0,4x ∈，()10f x a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 25．当a 为何值时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集是全体实数？ 26．设0x >，0y >，4xy x y a =++，其中a 为参数. （1）当0a =时，求x y +的最小值； （2）当5a =时，求xy 的最小值. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除 一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 利用公式x y +≥，将等式转化为不等式，求xy 的范围；由条件转化为1 1 x y x +=-，代入2x y +后，利用基本不等式求最小值. 【详解】 0,0x y >>，x y +≥1xy ∴-≥2 10-≥， 10x y xy +=-> 1>1t =>，即2210t t --≥，解得：1t ≥ 或1t ≤1≥，(2 13xy ≥=+，所以xy 的最小值是 3+AB 不正确； 1 0,0,1011 x x y x y xy y x x +>>+=-?=>?>- ()1122 2222121111 x x x y x x x x x x +-++=+ =+=-+++--- ()2213371x x =-+ +≥=-，当()2211x x -= -时，即2x =时等号成立，所以2x y +的最小值是7，故D 正确. 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题考查根据条件等式，利用基本不等式求最值，条件等式除了基本变形，同时也需注意变量的范围，比如本题中的1,1xy x >>等条件. 2．A 解析：A 【分析】 将函数变形为()4 3111 y x x =++-+，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】 解：由题意0x >，所以10x +>， 所以()4423231311 y x x x x =++ =++-+++ ()4 311111x x =++ -≥=+， 当且仅当()4311x x += +，即10x =->时等号成立， 所以函数4 231 y x x =+++的最小值为1. 故选：A ． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 3．B 解析：B 【分析】 根据基本不等式可求得最小值． 【详解】 ∵2x >，∴442+24+2622y x x x x = +=+-≥==--，当且仅当4 22 x x =--，即4x =时等号成立．∴y 的最小值是6． 故选：B ． 【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．B 解析：B 【分析】 根据“乘1法”，可得()4142m m x y x y x y ?? +=++ ??? ，展开后，利用基本不等式可推出其最小 值，则可得不等式(19 422 m ++≥，解不等式即可. 【详解】 解： xy ＞0，且x +y ＝2， 0,0x y ∴>>， ()(4141411 4442222m m y mx x y m m m x y x y x y ?????∴+=++=+++≥++=++ ? ? ????? 当且仅当4y mx x y =2y =时，等号成立， 不等式 4m x y +≥9 2 恒成立， (19 422 m ∴ ++≥，化简得50m +≥ 解得m 1≥. ∴m 的取值范围是[1,)+∞ 故选：B ． 【点睛】 本题考查利用基本不等式解决最值问题，熟练掌握“乘1法”是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题 5．B 解析：B 【分析】 利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)211x y x y ?? -+++ ?-?? 的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】 1x >，10x ->，又0y >，且 12 11x y +=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++ []12(1)211x y x y ?? =-+++ ?-?? 22(1) 61y x x y -=+ +- 262 x +-10=， 当且仅当22(1) 1y x x y -=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ． 【点睛】 本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键. 6．C 解析：C 【分析】 将 11tan tan B C +化为关于tan A 的式子，然后利用基本不等式可以求出最小值. 【详解】 在ABC 中，()tan tan C A B =-+， 111111tan tan tan tan tan tan tan tan tan A B B C B A B B A B ， tan 2tan B A =， 211tan tan 112tan 12tan tan tan tan 2tan 3tan 6tan 3 A B A A B A B A A A , 角A 为锐角,tan 0A ∴>， 12tan 12tan 2 2 6tan 3 6tan 3 3 A A A A ， 当且仅当 12tan 6tan 3 A A ，即1 tan 2A =时，等号成立， ∴11tan tan B C +的最小值为23. 故选：C. 【点睛】 本题考查三角形中角的互化，和的正切公式的应用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 7．C 解析：C 【分析】 由题意可知方程220ax bx ++=的根为11 ,23 - ，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值. 【详解】 由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23 - 由根与系数的关系可知，11112 ,2323b a a -+=--?= 解得12,2a b =-=- 即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】 本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题. 8．A 解析：A 【分析】 由已知可得A ，D ，E 三点共线，结合平面向量基本定理可得31x y +=，0x >，0y >，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 解：∵2 3 BD BC = ， ∴3CB CD =， 3CE xCA yCB xCA yCD =+=+， 因为A ，D ，E 共线，所以31x y +=， 则 ()3313333101016x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+. 当且仅当33y x x y =且31x y +=即1 4 x y ==时取等号， 故选：A. 【点睛】 本题主要考查三点共线的向量表示，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．B 解析：B 【分析】 根据向量共线的推论，结合向量的线性运算求得1 2m n +=，再用基本不等式即可求得结果. 【详解】 因为11 22 AO AB AD = +，又AB ＝m AM ，AN ＝n AD ， 故可得 122m AO AM AN n =+，又,,O M N 三点共线， 故可得 1122m n +=，即12m n +=. 故2 11114m m m n n n ?? =?≤+= ??? ，当且仅当1m n ==时取得最大值. 故选：B . 【点睛】 本题考查平面向量共线定理的推论以及基本不等式的应用，属综合中档题. 10．B 解析：B 【分析】 根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】 对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若 2,1,1a b c ===，则 c c a b <，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】 本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 11．A 解析：A 【分析】 根据不等式20ax bx c ++>的解集,判断出,,a b c 的符号,利用韦达定理表示出αβ+和 αβ?与,,a b c 的关系. 设不等式20cx bx a ++>的解集为(),m n ,利用韦达定理建立,αβ 与,m n 的关系,进而用,αβ表示出,m n ,即可得不等式20cx bx a ++>的解集. 【详解】 不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<< 所以20ax bx c ++=的两个根分别为12,x x αβ== 因为0α>,所以0β>,所以0a < 由韦达定理可知120b x x a αβ+=+=->,120c x x a αβ?=?=> 由0a <,可知0,0b c >< 因为0c <,所以可设20cx bx a ++>的解集为(),m n .由于m n <,所以11 n m < 则,b a m n m n c c +=-?= 因为 b c αβαβ+=-?,c a αβ?= 所以111m n m n m n αβαβαβαβ+?+==+??? ? ?=??? ? 解方程组可得11m n βα?=?? ??=?? 所以不等式2 0cx bx a ++>的解集为11,βα?? ??? 故选:A 【点睛】 本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题. 12．D 解析：D 【分析】 本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()2 2224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A 2211ab a b a b > = ++，所以排除选项B ；接着根据基本 > =，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得 到选项D 正确. 【详解】 解：对于选项A ：因为01a <<，1b >， 所以()2 2224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误； 对于选项B 2211ab a b a b > = ++，故选项B 错误； 对于选项 C > =C 错误； 对于选项D ：()2 2222222a b a ab b a b +>++=+ ， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】 本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题. 二、填空题 13．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析：2 (,)[2,)3 -∞?+∞ 【分析】 因为函数的定义域为R ，即不等式2 2 (32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围. 【详解】 ∵ 函数()f x 的定义域为R ， ∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>， ① 若2320m m -+=， 则2m =或1， 当1m =时， 不等式即为101x x -+>?<， 不符合题意， 当2m =时， 不等式即为10>，符合题意， ∴ 2m =符合题意； ② 若2320m m -+≠，由题意得 ()222 320 24(32)0m m m m m ?-+>???=---+ ， 解得：2m >或23 m <； 综上可得，m 的取值范围是2m ≥或2 3 m <． 故答案为：2(,)[2,)3 -∞?+∞. 【点睛】 关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 14．【分析】利用参变分离得在上恒成立结合双勾函数性质求出的最小值即可 【详解】解：由题意知：在上恒成立所以在上恒成立又因为函数在上单调递减在上单调递增所以当时最小为2所以即故答案为：【点睛】方法点睛：在解 解析：1a ≤ 【分析】 利用参变分离得211 2x a x x x +≤=+在(]02x ∈， 上恒成立，结合双勾函数性质求出1 y x x =+ 的最小值即可． 【详解】 解：由题意知：()2 210f x x ax =-+≥在(]02x ∈，上恒成立，所以211 2x a x x x +≤=+ 在(] 02x ∈， 上恒成立， 又因为函数1 y x x =+ 在()01x ∈，上单调递减，在()12x ∈， 上单调递增，所以当1x =时，1 x x + 最小为2， 所以2a ≤2，即1a ≤， 故答案为：1a ≤． 【点睛】 方法点睛：在解决二次函数的恒成立问题，常常采用参变分离法，如此可以避免对参数进行分类讨论． 15．【分析】利用基本不等式得到通过求出进而求解【详解】由得又因为所以当时此时成立可得时满足条件所以的最小值是；故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的求最值得到进而求解 解析： 2 【分析】 利用基本不等式，得到21a b ab +≥= ，通过求出min 2?= ??，进而求解 【详解】 由12,12a b ≤≤≤≤ 得， 21a b ab +≥=，又因为12b ≤≤，所以，当2b = 时，min 2?=??，此时21a b ab =成立，可得，2a b = ，a =2b =时， 满足条件，所以， 2 1a b ab + 的最小值是2 ； 【点睛】 关键点睛：解题的关键在于基本不等式后得到的 min 2?=??，进而求解 16．【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系利用根与系数的关系求出的值【详解】关于的不等式它的解集是所有关于的方程的两根为1和3由根与系数的关系知实数故答案为：【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程 解析：4- 【分析】 由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a 的值． 【详解】 关于x 的不等式230x ax ++，它的解集是[1，3]， 所有关于x 的方程2x ax 30++=的两根为1和3， 由根与系数的关系知，实数(13)4a =-+=-． 故答案为：4-． 【点睛】 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题． 17．【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可【详解】由得则对于恒成立令则；令则；综上：故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题 解析：57,22?? ??? 【分析】 整理已知条件得到2211010 x xt x xt ?+- ????恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可. 【详解】 由2 56x xt <--， 得2 2 2 65565xt x x xt x -<-?-<-<-， 则2211010 x xt x xt ?+- 令()2 11f x x xt =+-， 则()43 1072 272202 t f t t f ???? ?? ????< ?? ； 令()2 1g x x xt =-+， 则()5 105 2252202 t g t t g ????> ? ???>?? ????> ； 综上： 5722 t <<. 故答案为：57,22?? ??? . 【点睛】 本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题. 18．【分析】先根据点的关系确定mn 再根据基本不等式确定最小值最后根据最小值取法确定双曲线的离心率【详解】设则因此当且仅当时取等号所以离心率是故答案为：【点睛】本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单 【分析】 先根据点的关系确定mn ，再根据基本不等式确定最小值，最后根据最小值取法确定双曲线的离心率. 【详解】 设11(,)P x y ，则 22 111222 111y y y b mn x a x a x a a = ?==+--， 因此 3b a +3b a a b =+≥= 当且仅当3a b 时取等号, 所以离心率是c e a ===. 【点睛】 本题考查双曲线离心率和基本不等式求最值的简单综合问题，属于基础题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a = 求解；2.公式法： c e a === 3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程. 19．(－13)【解析】由题意得 解析：(－1,3) 【解析】 由题意得222 min (23)2122113x x a a a a a -+>--∴>--?-<< 20．4【分析】根据1的变形运用均值不等式即可求解【详解】且当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】本题主要考查了基本不等式的灵活运用属于中档题 解析：4. 【分析】 根据“1”的变形，运用均值不等式即可求解. 【详解】 0a >，0b >，且22a b +=, 1 (2)12 a b ∴+= ()211211422222b a a b a b a b a b ????∴+=++=+++ ? ????? 1442b a a b ??=++ ?? ?1442?≥+= ? 当且仅当 4b a a b =，即21a b ==时，等号成立． 故答案为：4 【点睛】 本题主要考查了基本不等式的灵活运用，属于中档题. 三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无26．无
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