议随机变量独立性及其应用
作者：张利荣 指导老师：桂春燕
摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义,
随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明.
关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布
1 引言
概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视.
随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明.
2 随机变量独立性的定义
定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即
()()()
y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤, ,
)1(
则称X 与Y 相互独立.
若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则
)1(式等价于
()()()y F x F y x F Y X ?=,.
3 随机变量独立性的性质及其判别方法
3.1 离散型随机变量独立性的判定
判别法一
定理1 设二维离散型随机变量()Y X ,的联合分布列为
()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1;2,1==j i ,
X 的边分缘布列是
()i i x X P p ==?,() ,2,1=i ,
Y 的边缘分布列是
()j j y Y P p ==?,() ,2,1=j ,
则X 和Y 相互独立的充要条件为:对所有的取值()
j i y x ,有
() ,2,1;,2,1,==?=??j i p p p j i ij .
证明 充分性：若() ,2,1,,2,1,==?=??j i p p p j i ij ,因为()Y X ,是二维离散型随机变量,所以对任意的y x ,有
()()
,,()()
()()
i j i j i j i j ij i j x x y y
ij i j
x x y y
x x
y y
i j x x
y y
p P X x Y y P X x Y y p p p P X x P Y y P X x P Y y ≤≤??≤≤≤≤≤≤=≤≤=====?====≤≤∑∑∑∑∑∑∑∑
即X 和Y 相互独立.
必要性：若X 和Y 相互独立,不妨设
123123,i j x x x x y y y y <<<
<<<<<<<
,
则对任意y x ,,有
()()()y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤,.
当11,y y x x ==时,有
()()()1111,y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤,
即
()()()1111,y Y P x X P y Y x X P =?====,
亦即
1111???=p p p . )2(
如此进行下去,最后可得
() ,2,1,11=?=??j p p p j j .
如此下去,最后得出.
() ,2,1,,2,1,==?=??j i p p p j i ij .
由此定理得证.
例1 设随机变量X 和Y 相互独立,并且有
{}{}p Y P X P ====11,{}==0X P {}q p Y P =-==10,10<
定义随机变量ζ为
??
?++=.
0,1为奇数若，为偶数；
若Y X Y X ζ 问当p 取何值时,X 和ζ相互独立?
解 由于
{}{}{}0,01,11======Y X Y X ζ, {}{}{}0,11,00======Y X Y X ζ
,
所以
{}{}{}{}2111,11,1p Y P X P Y X P X P ==?=======ζ,
{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==?=======010,10,1ζ, {}{}{}{}2000,01,0q Y P X P Y X P X P ==?=======ζ,
{}{}{}{}pq Y P X P Y X P X P ==?=======101,00,0ζ.
由此得()ζ,X 的联合分布列及其边缘分布列如表1所示.
表 1
1
j p ? 0
pq 2q q 1
pq
2p
p
?i p
pq 2
22q p +
1
为使X 和ζ相互独立,有
ζ
X
()(
)222
2222,,2,.
pqq pq p q q q pqp pq p q p p =??+=?
?
=?
?+=? 由于10<
判别法二：设()Y X ,是二维离散型的随机变量,它的联合概率分布列为
()j i ij y Y x X P p ===,, () ,2,1,=j i 可以用下表所示
表 2
1y
2y
j y
1x 11p
12p j p 1 2x 21p
22p
j p 2
i x 1i p
2i p
ij p
且∑∑=≥i
j
ij
ij p
p 1,
0,矩阵
??????
?
?
?
?=
ij i i j j p p p p p p p p p A 212222111211
称为()Y X ,的联合概率分布矩阵,其行向量记为
()() ,2,1,,,,,21==i p p p a ij i i i ,
记()Y X ,的联合分布列()A Y X ~,.
引理
]
7[ 设1α是非零向量,1α和2α线性相关,则2α可由1α线性表出.
证明 因为1α和2α线性相关,所以存在不全为零的两个数1λ和2λ,使得
Y
X
02211=+ααλλ,
又因为1α是非零向量,如果02=λ,则01=λ,则02≠λ,所以
12
1
2ααλλ-
=, 即2α可由1α线性表出.
定理2 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.
证明 充分性：若A 中任意的两个行向量线性相关,由∑∑=≥i
j
ij
ij p
p 1,
0,则A 中至少
有一个元素不为零,即至少有一个非零行向量,不妨设1α是非零向量,由引理可知,2α
,3α ,,i α都可以由1α线性表示,则() ,2,1,1==i k i i αα,11=k ,且
???????
?
?
?=
j i i i j j
p k p k p k p k p k p k p k p k p k A 112111212211211121111, 这里() ,2,1,,1=?=j i p k p j i ij ,且
111∑∑∑∑∑∑===i
j
i
j
j i j
i i
j
ij
p k p k p .
又由于X ,Y 的边缘分布分别为:
()∑∑===j
j i j
ij i p k p x X P 1,
()∑∑∑?====i
i j i
j i i
ij j k p p k p y Y P 11,
因此
()()),
,(1111j i j
i
i
j j i i
i
j j
j i i
ij j
ij j i y Y x X P k p p k k p p k p p y Y P x X P ===?=?===?=∑∑∑∑∑∑
即X 与Y 相互独立.
必要性：若X 与Y 相互独立,由j i ij p p p ??=,则A 中的任意两个行向量可写为
()() ,,,,,,,,2121j m j m m m m p p p p p p p p p p ??????????==α,
()() ,,,,,,,,2121j n j n n n n p p p p p p p p p p ??????????==α,
显然m α与n α线性相关.
推论1 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素成比例.
推论2 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两个行向量(或列向量)线性无关.
推论3 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是存在矩阵A 的任意两行(或两列)对应元素不成比例.
推论4 若()A Y X ~,,则X 与Y 相互独立的充要条件是矩阵A 的秩为1. 推论5 若()A Y X ~,,则X 与Y 不相互独立的充要条件是矩阵A 的秩大于1. 推论6 若()A Y X ~,中有某个0=ij P ,但元素ij P 所在的行与列的所有元素不全为零,则
X 与Y 不相互独立.
例2 从一只装有三个黑球和二个白球的口袋中取球两次,每次去一个球,设
???=.,1;,0第一次取出黑球第一次取出白球X ???=.,1;,0第二次取出黑球
第二次取出白球
Y
分别在放回抽样和不放回抽样的试验条件下写出二维随机变量()Y X ,的联合分布列,并判别
X 与Y 的相互独立性.
解 1)放回抽样：二维随机变量()Y X ,的联合分布列为:
表 3
1
254 256 1
25
6 25
9 且
???? ??→???? ??→?????
? ??=0032966425925
625625
4A , 因此()1=A r ,故X 与Y 相互独立.
2)不放回抽样：二维随机变量()Y X ,的联合分布列为:
Y
X
表 4
1
202 206 1
20
6 20
6 且
???? ??→???? ??→?????
? ??=1031666220620620620
2A , 因此()12>=A r , 所以X 与X 不相互独立.
3.2 连续型随机变量独立性的判定
判别法一：
定理3 设()Y X ,是二维连续型随机变量,若它们的联合密度函数和边缘分布函数分别为
()()()y f x f y x f Y X ,,,，并且都是除面积为零的区域外的连续函数,则X 和Y 相互独立的充要
条件为:除面积为零的区域外,恒有
()()()y f x f y x f Y X ?=,.
证明 充分性：设()()()y f x f y x f Y X ?=,,则对任意的实数y x ,,有
()()()()?
???
∞-∞-∞-∞
-==x
y x y
Y X u v v f u f u v v u f y x f d d d d ,,
()()()()y f x f v v f u u f Y X y Y x
X ==
??
∞
-∞
-d d .
所以,X 和Y 相互独立.
必要性：设X 和Y 相互独立,则有
()()()()()??
??∞
-∞
∞-∞
==y
Y X Y
X
x y v v f u u f y f x f u v v u f d d d d ,x
--
()()??
∞-∞
-=
x y
Y X u v u f u f d d .
因为上式对任意的y x ,都成立,于是有()()()y f x f y x f Y X ?=,,综上,定理得证.
例3
]
1[ 若()Y X ,的联合密度函数为
()???≤≤≤≤=其他，,
0;
10,0,8,y y x xy y x f
问X 和Y 是否相互独立?
解 先分别求X 和Y 的边缘密度函数:
Y
X
当0
()31
44d 8x x y xy x f x
X -==?.
因此
()??
?≤≤-=.,
0;
10,443其他x x x x f X 当0
48y dx xy y f y
Y ==?
.
因此
()?
??≤≤=.,0;
10,43其他y y y f Y
很明显,()()()y f x f y x f Y X ≠,,所以X 和Y 不相互独立.
判别法二
定理]2[4 设),(Y X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为
??
?≤≤≤≤=.,
0;
,),,(),(其他d y c b x a y x f y x F 则随机变量相互独立的充要条件为
(i) 存在连续函数)(),(y g x h 使)()(),(y g x h y x f =. (ii)
d c b a 、、、 是分别与y x 、 无关的常数.
证明 充分性: 首先分别求随机变量),(Y X 对y x 、 的边缘密度函数.
??????∞
∞
-∞∞-======b a
b
a
Y d c
d
c
X dx x h y g dx y g x h dx y x F y f dy y g x h dy y g x h dy y x F x f .
)()()()(),()(,
)()()()(),()(
d c b a 、、、是分别与y x 、 无关的常数, 所以上式积分中的结果?d c dy y g )( 与?b
a dx x h )(
是分别与y x 、 无关的常数, 分别记为B A 、 进一步由联合密度函数的性质,有
(,)()()()()()()()()()()(,)
b d
b
d
a
c
a
c
X Y b
d
a
c
f x y dxdy h x
g y dxdy
f x f y h x
g y AB
h x g y h x dx g y dy
f x y =====??
?
?
??
即)()(),(y f x f y x f Y X = 故Y X ,相互独立.
必要性: 若Y X , 相互独立, 有
)()(),(y f x f y x f Y X =, ,,d y c b x a ≤≤≤≤
取)()(),()(y g y f x h x f Y X ==, 则有)()(),(y g x h y x f =, 所以定理中的条件1) 成立. 以下用反证法证明,若d c b a 、、、中至少有一个是与x 或y 有关的函数,不妨设)(y a a =,由于
)()(x h x f X = 是关于x 的边缘密度函数, 必有1)(=?dx x f b a
X , 而)()(y Ag dx x f b
a
X =?是一
个与y 有关的不恒为1的y 的函数, 与前述结果矛盾.因此必有a 与y 无关,进一步可得
d c b a 、、、都应与y 无关, 从而必要性得以证明.
推论1 定理4 的条件中如果c a 、 有一个或两个都趋于d b 、,∞- 中有一个或两个都趋于∞+,则定理的结果也成立.
推论2 若上述定理的条件成立, 则)(x h 与)(x f X 呈正比例关系,)(y g 与)(y f Y 呈正比例关系.
在n 维连续型随机变量场合, 我们有
定理5 设),,,(21n X X X 是连续型随机变量, 其联合密度函数为),,,(21n x x x f , 满足n i b x a x x x f i i i n ,,2,1,,0),,,(21 =≤≤> 则随机变量n X X X ,,,21 相互独立的充要条件为
(i) 存在连续函数n i x h i i ,,2,1),( =, 满足∏==n
i i
i
n x h x x x f 1
21)(),,,( .
(ii))1(,n i b a i i ≤≤ 均为与n x x x ,,,21 无关的实常数.
证明 充分性: 设),,,(21n x x x f 满足条件(i)与(ii) , 则可求得)1(n i X i ≤≤ 的边缘分布函数为
1
1
1212
111
1()(,,,)()
()()
(),,
i n n
j j
X i n n
b b n n n
a a
b i i j j j i i i a j i n
f x f x x x dx dx dx h x h x dx dx h x h x dx a x b +∞
+∞
-∞-∞
≤≠≤===≤≤?
??
?
∏?
而当[]i i i b a x ,?时, n i x f i X i ,,2,1,0)( ==. 又因其中)1(,n i b a i i ≤≤均为与n x x x ,,,21 无关的实常数, 故上述积分j j b a j dx x h j
j
)(?
，n j ,,2,1 = 分别是与n x x x ,,,21 无关的实常
数, 故记为
,,,2,1,)(n j dx x h A j j b a j j j
j
==?
则当)1(n i b x a i i i ≤≤≤≤ 时, 有
1
1
2111221121))(,,,())(()()()()()(21-=-=∏∏==n n
i i n n n
i i n n n X X X A x x x f A x h x h x h x f x f x f n
其中
n n b a n b a b a n
i i dx x h dx x h dx x h A n
n
)()()(2221111
22
11
???∏== ,
而n n b b a a ,,,,,11 与n x x x ,,,21 无关, 故(1) 式可合并为n 重积分, 即
1
),,,()()(212121111
1
1
112
2===???
??∏=n
b a b a n n
n n b a b a b a n
i i dx dx dx x x x f dx dx dx x h x h A n n
n
n
故),,,()()()(212121n n X X X x x x f x f x f x f n =,即n X X X ,,,21 相互独立.
必要性: 设n X X X ,,,21 相互独立, 则有
)()()(),,,(212121n X X X n x f x f x f x x x f n =
成立.
此时只须取n i x f x h i X i i i ,,2,1),()( ==, 故条件(i) 成立.
现假定条件(ii) 不成立, 则)1(,n i b a i i ≤≤中至少有一个是与n x x x ,,,21 有关的函数, 不妨设),,,(2111n x x x a a =, 由于)()(1111x h x f X = 是关于1X 的边缘密度函数, 则必有
.1)()(1
1
11
1
11111==??
b a X b a dx x f dx x h
而此时
),,,()(21)
,,,(111
2111n b x x x a X x x x Ag dx x f n =?
是关于n x x x ,,,21 的函数, 并非恒等于1. 这于上式相矛盾, 因而必有1a 与n x x x ,,,21 无关. 同理证得)1(,n i b a i i ≤≤均与n x x x ,,,21 无关. 从而条件(ii) 满足. 必要性得证. 由上述连续型随机变量的定理4及其对应的推论进行判别X 与Y 的独立性，该定理的方
便之处在于不需要求边缘分布函数，故用此方法判别连续型随机变量的独立性比较容易. 例4 设()Y X ,的联合密度函数为
()2222
122,,0;,220,
.x ny n
n n y e x y f x y n π+--?
??? ?????-∞<<+∞<<+∞=???Γ ??
???
??其他 讨论Y X ,的独立性.
解 令
()()
2222
122222x
n
ny n n h x e g y y e n π---?? ???==???Γ ?
??
，,
则有()()()y g x h y x f ?=,,又因为∞→=∞→∞→d c b a ,0,,,由推论7可知Y X ,相互独立.
4 随机变量独立性的应用
应用一 由离散型随机变量的独立性及其边缘分布列，求其联合分布列.
例5 n 重贝努里试验中，若令i X 表示第i 次试验中事件A 出现的次数).,,2,1(n i =请写出),,,(21n X X X 的联合分布列.
解 ),,2,1(.
,0,1n i A i A i X i =???=不出现次试验第出现；
次试验第令
其分布列为
).,,2,1)(1,0()(1n i x q p x X P i x x i i i i ====-
由试验的独立性知，n X X X ,,,21 相互独立，得出),,,(21n X X X 的联合分布列为
).1,0(),,,(1
1
2211=∑∑
======-
i x n x n n x q
p
x X x X x X P n
i i
n
i i
应用二 利用离散型随机变量的独立性确定分布中的参数. 例6 设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为
1x 2x 3x
1y
a
9
1 c
Y
X
2y
9
1 b
3
1 若X 与Y 相互独立，求参数c b a 、、的值.
解 由随机变量的独立性及联合分布律的基本性质：
??
??
???
==?====≥??∑∑)
,2,1;,2,1(;1),2,1;,2,1(0 j i p p p p j i p j i ij i j ij ij 得出X 与Y 的边缘分布律：
1x 2x 3x j P ?
1y a
91 c
91
1++=?c a p
2y
9
1 b
3
1 3
1912++
=?b p ?i p
9
1
1+=?a p
9
12+
=?b p 3
1
3+=?c p
∑∑===313
1
1i j ij
p
从而解得
???
?
?
???
?===6192181c b a 注意 求出c b a 、、后，要验证它们对任意j i ,是否均满足.j i ij p p p ???=若不满足，则所求参数不符合要求，舍去.通过验证上面所求得的c b a 、、的值均满足条件，故上面
c b a 、、的值为所求.
应用三 利用连续型随机变量的独立性求常用分布函数的联合概率密度.
例7 设随机变量X 和Y 相互独立，并且X 服从),(2
σμN ，Y 在],[b b -上服从均匀分布，求),(Y X 的联合概率密度函数.
解 因为X 和Y 相互独立，所以
)()(),(y f x f y x f Y X =.
又
);(,21
)(2
22)(+∞<<-∞=
--
x e x f x X σμσ
π
Y
X
?????≤≤-=.,
0,
,21
)(其他b y b b
y f Y 得：
,21
21),(2
22)(σμσ
π--?=x e
b y x f
其中.,b y b x ≤≤-∞<<∞-当b y >时，.0),(=y x f
应用四 随机变量的独立性与实际生活相结合
例8 一负责人到达办公室的时间均匀分布在12~8时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在9~7时，设他们到达的时间相互独立求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率
.
解 如图所示，设负责人和他秘书到达办公室的时间分别记为X 和Y ，则X 和Y 的概率密度分别为
?????<<=?????<<=.,
0;
97,21)(.,0;128,41)(其他其他y y f x x f Y X
由于X 和Y 相互独立，得),(Y X 的概率密度为
?????<<<<==.,
0;
97,128,81
)()(),(其他y x y f x f y x f Y X
G G S dxdy y x f Y X P ?==????
??
≤-??81),(121
而
6
1
'=
-=??C AB ABC G S S S . 于是
48181121=
?=?
?????
≤-G S Y X P
1
所以他们到达办公室的时间之差不超过5分钟的概率是.
48
结束语
本论文在随机变量独立性定义的基础上讨论了随机变量独立性的性质，并分别对离散型随机变量和连续型随机变量用多种方法进行判定，最后通过随机变量独立性的相关应用说明其在生活中的重要性，从而让人们更深入的认识概率论的思想和方法，更好的解决我们身边的实际问题.除此之外，随机变量的独立性还可以和其他数学分支紧密结合，以便很好地解决数学问题.
参考文献
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About independent random variables and its application
Author: Zhang Lirong Supervisor: Gui Chunyan
Abstract The independence of the random variables is an important concept in probability theory.The paper first introduces the definition and the nature of independent random variables,then it gives different discriminant methods of the independence of the discrete random variable and continuous random variable,according to the different problems using the method to determine the corresponding discriminant,in addition ,it also gets some relevant inference by the nature and the determination of the independence of random variables,at last it gives some examples of its application.
Keywords Discrete random variables Continuous random variables Independence Joint distribution
1 引言 概率与统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学.随着社会的不断发展，概率与统计的知识越来越重要，运用抽样数据进行推断已经成为现代社会一种普遍适用且强有力的思考方式.独立性[5]是随机变量非常重要的性质，其应用也很广泛.在解决很多问题时都有随机变量独立这样的前提，只有这样问题才能得以解决或解决起来比较简单.众所周知，随机变量独立性的判定无论从理论还是在实践中都有着重要意义，因此寻找独立性判断方法显得尤为重要.不少的文献对此进行了深入的研究，给出了一些很好的判断方法[3]，但到目前为止人们还没找到简便有效的方法，从而对其深入研究很有必要. 2 相关定义 定义1离散型随机变量 定义在样本空间Ω上，取值于实数域R ，且只取有限个或可列个值的变量()ξξω=，称做是一维（实值）离散型随机变量，简称离散型随机变量. 定义2 n 维离散型随机变量 设12,,,n ξξξ???是样本空间Ω上的n 个离散型随机变量，则称n 维向量（12,,,n ξξξ???）是Ω上的一个n 维离散型随机变量. 定义3 联合分布型 设(,)ξη是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取值为(,),,1,2,i j a b i j =???，令 (,),,1 ,2,ij i j P P a b i j ξη====??? 称(,1 ,2,)ij P i j =???是二维离散型随机变量(,)ξη的联合分布列. 我们容易证明()(1,2,i i P a P i ξ?===???是ξ的分布列，同理有()(1 ,2,)j j P b P j η?===???是η的分布列，称,ξη的分布列是（,ξη）的联合分布列的边际分布列. 定义 4 离散型随机变量独立性 设离散型随机变量ξ的可能取值为(1,2,)i a i =???，η的可能取值为(1,2,)j b j =???，如果对任意的,i j a b ，有
第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差
§3.4相互独立的随机变量
课 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。 F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 定义（随机变量的独立性） 设 F (x , y ) 是二维随机变量(X , Y )的联合分布 函数，F X (x )和F Y (y )分别是(X , Y )关于X 和关 于Y 的边缘分布函数。 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y }
即 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y } F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) 四川大学 徐小湛 即X 和Y 相互独立当且仅当它们的联合分布函 数等于关于它们的边缘分布函数的乘积。 这时，联合分布可由边缘分布唯一确定。 则称随机变量X 和Y 相互独立。
传课 可以证明：对于连续型二维随机变量(X , Y )， 即 则称随机变量X 和Y 相互独立。 若对于任意实数 x 和 y , 有 P {X ≤ x ,Y ≤ y }= P {X ≤ x }P {Y ≤ y } F (x , y ) = F X (x )F Y (y ) X 和Y 相互独立当且仅当 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 在平面上几乎处处成立（即等式不成立的点 构成集合的“测度(面积)”等于零。） 这时，联合概率密度可由边缘概率密度唯一确定。
对于连续型二维随机变量(X , Y )，X 和Y 相互 独立当且仅当 f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 此时，在条件Y =y 下，X 的条件概率密度 X |Y f f Y ( y ) f Y ( y ) X ( x ) (x | y ) = f (x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = f 同理，在条件X =x 下，Y 的条件概率密度 X f ( x ) Y | X Y f ( y | x ) = f ( x , y ) = f (y ) 条件概率密度 等于边缘密度
议随机变量独立性及其应用 作者：张利荣 指导老师：桂春燕 摘要 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念.本文首先介绍了随机变量独立性的定义, 随机变量独立性的性质，然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了不同的判别方法，从而针对不同的问题运用相应的判别方法进行判定，除此还通过随机变量独立性的性质及其判别方法得出了一些相关的推论，并对其应用进行了举例说明. 关键词 离散型随机变量 连续型随机变量 独立性 联合分布 1 引言 概率统计是研究随机现象中数量规律的一门数学学科，它是近代数学的重要分支，理论严谨、应用广泛，并且与其他学科互相渗透结合.概率论是对随机现象统计规律演绎的研究,由于随机现象的普遍性,使得其具有极其广泛的应用,特别是在科学技术、工农业生产等方面.独立性是概率统计中最基本的概念之一,无论在理论研究还是在实际应用中都具有特别重要的意义.概率论和数理统计已有的成果大部分都是在某种独立性的前提下才得到的.因而随机变量独立性的研究倍受重视. 随机变量独立性的研究一直经历着缓慢的发展过程.进入二十世纪九十年代后,随机变量独立性判定的研究进入了一个新的阶段.关于这方面的著作、文献逐渐多了起来,如文献[2]中毛纲源对随机变量独立性的判定进行了分析并举例说明;文献[7]中明杰秀等对二维随机变量独立性的判定及其应用等相关内容进行了论述.本文将在此基础上对随机变量独立性做一下详细、全面的论述,重点介绍离散型随机变量和连续型随机变量独立性的判定方法,并对随机变量的独立性的应用进行举例说明. 2 随机变量独立性的定义 定义]1[ 设),(Y X 为二维随机变量,若对于任意的实数y x ,,事件{}x X ≤与{}y Y ≤相互独立,即 ()()() y Y P x X P y Y x X P ≤?≤=≤≤, , )1( 则称X 与Y 相互独立. 若()y x F ,为X 与Y 的联合分布函数,()x F X 、()y F Y 分别是X 与Y 的边缘分布函数,则 )1(式等价于 ()()()y F x F y x F Y X ?=,. 3 随机变量独立性的性质及其判别方法
数学学科自习卷（二） 一、选择题 1．将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是（ ） A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091 D.91216，12 2．设随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()232P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为 A ．73 B ．53 C ．5 D ．3 3．已知随机变量ξ～)2,3(2N ，若23ξη=+,则D η= A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 4 4．同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（ ） A ．20 B ．25 C. 30 D ．40 5． 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为 23,乙在每局中获胜的概率为13 ,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243 6．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券,则此人得奖金额的数学期望为（ ） A ．6 B ．395 C ．415 D ．9 7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，,,(0,1)a b c ∈，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab 的最大值为 （ ） A ．148 B ．124 C ．112 D ．16 8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为 23，向右移动的概率为13，则电子兔移动五次后位于点(1,0)-的概率是 （ ） A ．4243 B ．8243 C ．40243 D ．80243
概率论与数理统计教学设计 课程名称概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师刘涛专业与班级财务管理B1601---B1606课型新授课课题二维随机变量及其分布 教材分析 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 了解二维随机变量的背景来源； 了解二维随机变量的基本思想； 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 过程与方法 通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分 析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价 值观 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发 学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索 精神。 教学分析教学内容1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布
5.随机变量的相互独立性 教学重点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性教学难点二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 板书设计 前50分： 1.引例 3.二维离散变量 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分： 5.边缘分布 6.相互独立性 教学时间设计 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念
分类号：密级： 毕业论文 （本科生） 论文题目（中文）随机变量的独立性判别 论文题目（外文）The discrimination of the independence of random variables 学生姓名 导师姓名、职称 学生所属学院 专业 年级
诚信责任书 本人郑重声明：本人所呈交的毕业论文（设计），是在导师的指导下独立进行研究所取得的成果。毕业论文（设计）中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或在网上发表的论文。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：日期： 关于毕业论文（设计）使用授权的声明本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用毕业论文的规定，同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本毕业论文。本人离校后发表、使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 本毕业论文研究内容： √可以公开 □不易公开，已在学位办公室办理保密申请，解密后适用本授权书。 （请在以上选项内选择其中一项打“√”）
论文作者签名：导师签名：日期：日期：
随机变量的独立性判别 摘要 随机变量独立性的判别历来都是高等学校概率论与数理统计教学的一个课题, 通过研究文献资料，理解随机变量及其独立性的相关概念，对离散型和连续型随机变量综合列举的几种常见求法，讨论几种常见的随机变量独立性判别方法 并对其进行概括、总结，加深自己对随机变量及其分布的理解，争取有新的发现。 关键词：随机变量独立性连续型离散型判别方法
摘要 随机变量的独立性是概率论中最基本的概念之一,通过对它的研究可使许多实际问题的具体计算得到简化.本文首先介绍了随机变量独立性的定义.然后对离散型随机变量和连续型随机变量的独立性分别给出了两种判别方法,同时得出了一些相关的推论,并对其应用进行了举例说明.最后文章对随机变量独立性在求随机变量特征数中的一些应用进行了整合. 关键词:离散型随机变量;连续型随机变量;独立性;数学期望;方差
The Research on the Independence of Random Variables 10204631SUN Jing-jing Mathematics and Applied Mathematics Tutor LI Jian-li Abstract The independence of the random variable is the most basic concept of probability. Through the study of it can simplify many specific calculations of the practical problems. Firstly, this paper introduces the definition of the independence of random variables. Secondly, for the independence of discrete random variables and continuous random variables, the article gives two judgmental methods to them, and obtains some inferences; this paper also illustrates some examples for these applications. Finally, this paper composes some applications of the independence of the random variable for the calculation of some random variable numeral characters. Key words: discrete random variable; continuous random variable; independence; mathematical expectation; variance
第三章多元随机变量 3.1 二维随机向量及其分布函数 3.2 二维离散随机向量 3.3 二维连续随机向量 3.4 边缘分布 3.5 条件分布 3.6 随机变量的独立性 3.7 随机向量函数的分布 3.8 n维随机向量函数的分布(不讲)
§3.6 随机变量的独立性 事件A 与 B 独立的定义是： 若 P (AB ) = P (A )P (B )，则称事件A 与B 相互独立 。 设 X , Y 是两个随即变量, 对任意的 x , y , 若 , )( )() ,(y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤则称 X 与Y 相互独立。 用联合分布函数与边缘分布函数表示上式, 就是 . )( )(),(y F x F y x F Y X =,,x y ?
P70例3.6.2：P61例3.4.3：设(X ,Y )服从单位圆域 x 2+y 2≤1上的均匀分布。已求得X 和Y 的边缘概率密度如下， ?? ?? ??∈=.),( 0,),( 1 ),(D y x D y x y x f ，， π解:因2 21,[1,1], ()0,[1,1];X x x f x x π ??∈???=? ????? ?? ?? ????∈?=].1,1[,0],1,1[,12)(2y y y y f Y π ,)x y D ∈（时， 故，X 和Y 不相互独立。 问X 与Y 的独立性。 ()() X Y f x f y 222211x y π π???? ??=????????,,(,)()() X Y x y f x y f x f y ?=连续型X 与Y 相互独立 ?1π≠(,)f x y = ,[1,1]x y ∈?，
概率论与数理统计教学设计 课程名称 概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师课型 刘涛 新授课 专业与班级 课题 财务管理B1601---B1606 二维随机变量及其分布 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75 教材分析 页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上， 对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布 是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 过程与方法 情感态度与价 值观 了解二维随机变量的背景来源； 了解二维随机变量的基本思想； 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分 析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发 学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索 精神。 1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 教学分析教学内容 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布
5.随机变量的相互独立性 教学重点教学难点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 前50分： 1.引例 3.二维离散变量 板书设计 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分： 5.边缘分布 6.相互独立性 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 教学时间设计 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念
二维随机变量及独立性--教学设计
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概率论与数理统计教学设计 课程名称概率论与数理 统计 课时100分钟 任课教师刘涛专业与班级财务管理B1601---B1606 课型新授课课题二维随机变量及其分布 教材分析 “二维随机变量及其分布”属于教材第三章内容，位于教材的第75页至第93页.是在前一章“一维随机变量及其分布”的概念提出的基础上，对两个及两个以上的随机变量进行描述。可以说，二维随机变量及其分布是对前一章一维随机变量内容的总结以及综合应用。 学习目标 知识与技能 了解二维随机变量的背景来源； 了解二维随机变量的基本思想； 掌握二维随机变量的适用范围、基本步骤及其具体运 用。 过程与方法 通过日常生活中常常出现的实例的引入，引导学生分 析、解决问题，培养学生将实际问题转化为数学问题的 能力，培养学生提出、分析、理解问题的能力，进而发 展整合所学知识解决实际问题的能力。 情感态度与价 值观 通过介绍概率论与数理统计在实际生活中的运用，激发 学生自主学习的兴趣，也培养了学生的创新意识和探索 精神。 教学分析教学内容1.二维随机变量及联合分布函数定义 2.二维离散型随机变量及联合概率函数 3.二维连续型随机变量及联合概率密度 4.二维随机变量的边缘分布
5.随机变量的相互独立性 教学重点二维离散型、连续随机变量及其分布，相互独立性教学难点二维连续型随机变量及其分布 教学方法与策略 板书设计 前50分： 1.引例 3.二维离散变量 2.联合分布函数定义 4.二维连续变量 后50分： 5.边缘分布 6.相互独立性 教学时间设计 1.引导课题…………2分钟 2.学生活动…………3分钟 3.二维随机变量及联合分布函数定义……15分钟 4.二维离散型随机变量及联合概率函数……10分钟 5.二维连续型随机变量及联合概率密度……20分钟 6.二维随机变量的边缘分布……20分钟 7.随机变量的相互独立性……25分钟 8.课堂小结…………5分钟 教学手段多媒体播放教学视频、PPT演示与板书演练书写相结合。 教学进程 教学意图教学内容教学理念
2．2．2事件的相互独立性 教学目标： 知识与技能：理解两个事件相互独立的概念。 过程与方法：能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：独立事件同时发生的概率 教学难点：有关独立事件发生的概率计算 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率 m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的， 如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥 11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=?=- 12．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++
12.相互独立的随机变量 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第三章第§4相互独立的随机变量 【教材分析】：在多维随机变量中，各分量的取值有时会相互影响，但有时会毫无影响，譬如一个人的身高X和体重Y救护相互影响，但与收入Z一般无影响，当两个随机变量的取值互不影响时，就称它们是相互独立的。本节将利用两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念，这是一个十分重要的概念。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了两个事件相互独立的概念，对独立性有了一定的认识。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高。 【教学目标】： 1、知识与技能 理解随机变量的独立性定义，掌握随机变量的独立性的判定方法。 2、过程与方法 在知识的教学过程中，用类比的方法培养学生的探索归纳能力及运算能力和应用新知的能力，渗透归纳、转化的数学思想方法． 3、情感态度与价值观 创设教学情境，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，加深学生对从特殊到一般的思想认知规律的认识，树立学生善于创新的思维品质． 【教学重点、难点】： 重点：二维随机变量独立性的判定方法。 难点：二维随机变量独立性的判定方法。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】： 一、问题引入 若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A ，B相互独立。 【设计意图】：两个事件相互独立的概念引出两个随机变量相互独立的概念。 二、随机变量的独立性
(,)(),() (,). ,{,}{}{},(,)()(),. X Y X Y F x y F x F y X Y x y P X x Y y P X x P Y y F x y F x F y X Y ≤≤=≤≤= 定义 设及分别是二维随机变量的分布函数及边缘分布函数若对于所有有即则称随机变量和是的相互独立 1、若(,)X Y 为离散型随机变量 X Y 和相互独立充分必要条件： ()()()(),,i j i j P X x Y y P X x y i j N Y P =====∈ ij i j p p p ??=? (|)(|),j i i j j i p p P X x Y y P Y y X x ????====== 2、若(,)X Y 为连续随机变量 X Y 和 相互独立充分必要条件：(,)()()(,)X Y f x y f x f y x y =?对任意实数 已知随机变量 例1已知(,)X Y 的联合分布律为 1 2 3 1 1/3 a b 2 1/6 1/9 1/18 试确定常数 a 与 b ，使X Y 与相互独立。 解：先求(,)X Y 关于X Y ， 的边缘分布律： 1 2 3 {}Y j P Y y = 1 1/3 a b 1 +3a b + 2 1/6 1/9 1/18 13 {}X i P X x = 12 19a + 1+18 b 1 要使X Y 与 相互独立， ij i j p p p ??=? ()()(),2222P X Y P X Y P =====，(,)()()3232P X Y P X P Y ===== X Y X Y