等比数列知识点并附例题及解析
1、等比数列的定义：()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：
()11110,0n n
n n a a a q q A B a q A B q
-==
=??≠?≠，首项：1a ；公比：q
推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：
（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =
或
A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：
（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q
S q
q
--=
=
-- 11''11n n n a a
q A A B A B A q q
=
-=-?=---（,,','A B A B 为常数）
5、等比数列的判定方法：
（1）用定义：对任意的n ，都有1
1(0){}n n n n n n
a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列
（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：
依据定义：若
()()*1
2,n
n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：
（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=???
（4）数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列{}n
k
a ，{}n k a ?，{}k n a ，{}n n k a
b ??，{}
n n a b （k 为非零常数）均为等比数列。
（5）数列{}n a 为等比数列，每隔*()k k N ∈项取出一项23(,,,,)m m k m k m k a a a a +++???仍为等比数列
（6）如果{}n a 是各项均为正数的等比数列，则数列{log }a n a 是等差数列 （7）若{}n a 为等比数列，则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -???，成等比数列 （8）若{}n a 为等比数列，则数列12n a a a ??????，122n n n a a a ++??????，21223n n n a a a ++???????成等比数列
（9）①当1q >时，110{}0{}{n n a a a a ><，则为递增数列
，则为递减数列 ②当1q <0<时，110{}0{}{
n n a a a a ><，则为递减数列
，则为递增数列
③当1q =时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）； ④当0q <时,该数列为摆动数列.
（10）在等比数列{}n a 中，当项数为*
2()n n N ∈时，1S S q
=奇偶
二 例题解析
【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．（ ）
A ．是等比数列
B ．当p ≠0时是等比数列 B ．
C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列
D ．不是等比数列
【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．
【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－
，求通项公1
2
式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
【例4】 求数列的通项公式：
(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2
(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0
三、 考点分析
考点一：等比数列定义的应用
1、数列{}n a 满足()1123
n n a a n -=-≥，14
3a =，则4a =_________．
2、在数列{}n a 中，若11a =，()1211n n a a n +=+≥，则该数列的通项
n a =______________． 考点二：等比中项的应用
1、已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ）
A ．4-
B ．6-
C ．8-
D ．10-
2、若a 、b 、c 成等比数列，则函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．不确定
3、已知数列{}n a 为等比数列，32a =，2420
3
a a +=，求{}n a 的通项公式． 考点三：等比数列及其前n 项和的基本运算 1、若公比为
23的等比数列的首项为98，末项为1
3
，则这个数列的项数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2、已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项
n a =_________________．
3、若{}n a 为等比数列，且4652a a a =-，则公比q =________．
4、设1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，其公比为2，则
12
34
22a a a a ++的值为（ ）
A ．1
4
B ．
12 C ．1
8
D ．1 5、等比数列{a n }中，公比q=2
1
且a 2+a 4+…+a 100=30，则a 1+a 2+…
+a 100=______________.
考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用
1、在等比数列{}n a 中，如果66a =，99a =，那么3a 为（ ）
A ．4
B ．32
C ．16
9
D ．2
2、如果1-，a ，b ，c ，9-成等比数列，那么（ ） A ．3b =，9ac =
B ．3b =-，9ac =
C ．3b =，9ac =-
D ．3b =-，9ac =-
3、在等比数列{}n a 中，11a =，103a =，则23456789a a a a a a a a 等于（ ） A ．81
B
．C
D ．243
4、在等比数列{}n a 中，()9100a a a a +=≠，1920a a b +=，则99100a a +等于
（ ） A ．98b a B ．9
b a ?? ??? C ．109
b a D ．10
b a ?? ???
5、在等比数列{}n a 中，3a 和5a 是二次方程250x kx ++=的两个根，则246a a a 的值为（ ） A ．25
B
．C
．-
D
．±
6、若{}n a 是等比数列，且0n a >，若243546225a a a a a a ++=，那么35a a +的值等于
考点五：公式11,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -=?=?-≥?的应用
1、若数列的前n 项和S n =a 1+a 2+…+a n ，满足条件log 2S n =n ，那么{a n }是( ) A.公比为2的等比数列 B.公比为
2
1
的等比数列 C.公差为2的等差数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 2、等比数列前n 项和S n =2n -1，则前n 项的平方和为( )
A.(2n -1)2
B.31(2n -1)2
C.4n -1
D.3
1
(4n -1)
3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n =3n +r ，那么r 的值为______________.
一、等差和等比数列比较：
二、等差数列的定义与性质
定义：1n n a a d +-=（d 为常数）， 通项：()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和：()()
1112
2
n n a a n n n S na
d +-=
=+
性质：{}n a 是等差数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n ；
（3）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --=
（4）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数，可能有最大值或最小值） （5）项数为偶数n 2的等差数列{}
n a ，有
),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S
nd S S =-奇偶，
1
+=
n n
a a S S 偶
奇. (6)项数为奇数12-n 的等差数列{}
n a ，有
)()12(12为中间项n n n a a n S -=-， n a S S =-偶奇，
1
-=
n n S S 偶
奇.
三、等比数列的定义与性质
定义：
1
n n
a q a +=（q 为常数，0q ≠）
，通项：11n n a a q -=. 等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ?=
，或G =
前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =??
=-?≠?
-?
（要注意q ！）
性质：{}n a 是等比数列
（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··
（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
四、数列求和的常用方法：
1 、裂项分组法：
1111
122334*********()()()()122334111111
n n n n n n n ++++???+=-+-+-++-+=-=
++（）、
1111
1,2,3,4,n 392781
1111
1234392781
+的前和是：（++++）+（+++）
2、 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法， 例
：
求
：
23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++
+++≠
解：
23n-2n-1n n S =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)++++++≠ ① 234
n-1n n+1n xS =x 3x 5x (2n-5)x (2n-3)x (2n-1)x (x 1)+++++≠ ②
① 减 ② 得：
()()()()23n-1n n+1
n 2n-1n+1
(1x)S =x 2x 2x 2x 2x 2n 1x 2x 1x x 2n 1x
1x
-+++
++---=+
---
从而求出n S 。
错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式；(2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式；(3)用①-②，错位相减；(4)化简计算。 3、倒序相加法：前两种方法不行时考虑倒序相加法 例：等差数列求和：
n 123n 2n 1n
n n n 1n 2321
S =a a a a a a S =a a a a a a ----+++
++++++
+++
两式相加可得：
()()()()()()
n 1n 2n 13n 23n 22n 11n 2S =a a a a a a a a a a a a ----++++++
++++++
即 ：()1n 2n a a n S =+
所以
等比数列·例题解析
【例1】 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N*)，那么数列{a n }．
[ ]
A ．是等比数列
B ．当p ≠0时是等比数列
C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列
D ．不是等比数列
【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ．
()1n n a a 2
n S +=
【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－
，求通项公1
2
式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求
证…＜
．x x x a b
n n 122
【例5】
设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．
【例6】 求数列的通项公式： (1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2
(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0
【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242
2
1342232
1234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．
【例8】若a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等
比数列，求b的值．
【例9】已知等差数列{a n}的公差和等比数列{b n}的公比都是d，又知d≠1，且a4=b4，a10=b10：
(1)求a1与d的值；
(2)b16是不是{a n}中的项？
【例10】{a}b=(1
2
)b b b=
21
8
b b b=1
8
n n
a n
123
123
设是等差数列，，已知＋＋，，求等差数列的通项．
【例11】三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．
【例12】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，
并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数
的和是12，求这四个数．
【例13】已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数
列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求
这两个数列．
【例14】已知在数列{a n}中，a1、a2、a3成等差数列，a2、a3、a4
成等比数列，a3、a4、a5的倒数成等差数列，证明：a1、a3、
a5成等比数列．
【例15】已知(b－c)log m x＋(c－a)log m y＋(a－b)log m z=0．
(1)设a，b，c依次成等差数列，且公差不为零，求证：x，y，z成等比数列．
(2)设正数x，y，z依次成等比数列，且公比不为1，求证：a，b，c成等差数列．
等比数列·例题解析
【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}．
[ ] A．是等比数列
B ．当p ≠0时是等比数列
C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列
D ．不是等比数列
分析 由S n ＝p n (n ∈N*)，有a 1=S 1＝p ，并且当n ≥2时， a n =S n －S n-1＝p n －p n-1＝(p －1)p n-1
故－，因此数列成等比数列≠－≠a =(p 1)p {a }p 0p 10
(p 1)p 2n n 1?--=-???
??
????--()()p p
p p p n 212 但满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D ．
说明 数列{a n }成等比数列的必要条件是a n ≠0(n ∈N*)，还要注
意对任∈，≥，
都为同一常数是其定义规定的准确含义．n *n 2N a a n
n -1
【例2】 已知等比数列1，x 1，x 2，…，x 2n ，2，求x 1·x 2·x 3·…·x 2n ． 解 ∵1，x 1，x 2，…，x 2n ，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q 2n+1
x 1x 2x 3...x 2n ＝q .q 2.q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)
=q
2n(1+2n)
2
==+q n n n ()212
【例3】 {a }(1)a =4a n 25等比数列中，已知，＝－
，求通项公1
2
式；(2)已知a 3·a 4·a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值．
解 (1)a =a q q =5252-∴－1
2
∴＝＝－＝∵·＝··＝a a q 4()()(2)a a a a a a a =8
n 2n 2n 2n 4
354234543
----121
2
∴a 4＝2
又＝＝∴a a a a a a a a a a =a =32
2635423456452
【例4】 已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，在a ，b 之间插入n 个正数x 1，x 2，…，x n ，使得a ，x 1，x 2，…，x n ，b 成等比数列，求
证…＜
．x x x a b
n n 122
+ 证明 设这n ＋2个数所成数列的公比为q ，则b=aq n+1
∴∴……＜
q b a
x x x aqaq aq aq
ab a b n n n n n n ++=
===+112212
2
【例5】 设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b －c)2＋(c －a)2＋(d －b)2＝(a －d)2．
证法一 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列
∴
a b b c c d
== ∴b 2＝ac ，c 2＝bd ，ad ＝bc
∴左边=b 2－2bc ＋c 2＋c 2－2ac ＋a 2＋d 2－2bd ＋b 2 =2(b 2－ac)＋2(c 2－bd)＋(a 2－2bc ＋d 2) ＝a 2－2ad ＋d 2 ＝(a －d)2＝右边
证毕．
证法二 ∵a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为q ，则： b ＝aq ，c ＝aq 2，d=aq 3
∴左边＝(aq －aq 2)2＋(aq 2－a)2＋(aq 3－aq)2 ＝a 2－2a 2q 3＋a 2q 6 =(a －aq 3)2 ＝(a －d)2=右边 证毕．
说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b 、c 的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b 、c 的路子．证法二则是把a 、b 、c 、d 统一化成等比数列的基本元素a 、q 去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性．
【例6】 求数列的通项公式：
(1){a n }中，a 1＝2，a n+1＝3a n ＋2
(2){a n }中，a 1=2，a 2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n ＝0 思路：转化为等比数列．
解 (1)a =3a 2a 1=3(a 1)n+1n n+1n ＋＋＋?
∴{a n ＋1}是等比数列 ∴a n ＋1=3·3n-1 ∴a n =3n －1
(2)a 3a 2a =0a a =2(a a )n+2n+1n n+2n+1n+1n －＋－－?
∴{a n+1－a n }是等比数列，即 a n+1－a n =(a 2－a 1)·2n-1=3·2n-1
再注意到a 2－a 1=3，a 3－a 2=3·21，a 4－a 3=3·22，…，a n －a n-1=3·2n-2，这些等式相加，即可以得到
a =3[1222
]=3=3(21)n 2n-2
n 1＋＋＋…＋·－21
21
1n ----
说明 解题的关键是发现一个等比数列，即化生疏为已知．(1)中发现{a n ＋1}是等比数列，(2)中发现{a n+1－a n }是等比数列，这也是通常说的化归思想的一种体现．
【例7】 a a a a (a a )a 2a (a a )a a a =0a a a a 1234122242
2
1342232
1234若实数、、、都不为零，且满足＋－＋＋＋求证：、、成等比数列，且公比为．
证 ∵a 1、a 2、a 3、a 4均为不为零的实数
∴＋－＋＋＋为实系数一元二次方程
等式＋－＋＋＋说明上述方程有实数根．
(a a )x 2a (a a )x a a =0(a a )a 2a (a a )a a a =0a 12222213223212
22422134223
24
∴上述方程的判别式Δ≥0，即
[2a (a a )]4(a a )(a a )=4(a a a )0(a a a )0
213212222232
2213222132－＋－＋＋－－≥∴－≤
又∵a 1、a 2、a 3为实数
∴－≥必有－即(a a a )0
a a a =0a =a a 2213222
132
213
因而a 1、a 2、a 3成等比数列
又∵a =2a 42()()()a a a a a a a a a a a a 1312
222131213
2
12++=++= ∴a 4即为等比数列a 1、a 2、a 3的公比．
【例8】 若a 、b 、c 成等差数列，且a ＋1、b 、c 与a 、b 、c ＋2都成等比数
列，求b 的值．
解 设a 、b 、c 分别为b －d 、b 、b ＋d ，由已知b －d ＋1、b 、b ＋d 与b －d 、b 、b ＋d ＋2都成等比数列，有
b =(b d 1)(b d)b =(b d)(b d 2)
22－＋＋①－＋＋②
?????
整理，得
b =b d b d
b =b d 2b 2d
222222
－＋＋－＋－????? ∴b ＋d=2b －2d 即b=3d 代入①，得
9d 2=(3d －d ＋1)(3d ＋d) 9d 2=(2d ＋1)·4d 解之，得d=4或d=0(舍) ∴b=12
【例9】 已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d ，又知d ≠1，且a 4=b 4，a 10=b 10：
(1)求a 1与d 的值； (2)b 16是不是{a n }中的项？ 思路：运用通项公式列方程
解 (1)a =b a =b 3d =a d
a 9d =a d a (1d )=3d a (1d )=9d
441010113
119
13
19
由＋＋－－－－????????
???????a ??==-=-==-d d 2=063＋－舍或∴d d a d d 123133122
2
()
(2)∵b 16=b 1·d 15=－32b 1
且＋·－－∴a =a 3d =22=b b =b d =2b =22b =a =2
413441313113- ∴b 16=－32b 1=－32a 1，如果b 16是{a n }中的第k 项，则 －32a 1=a 1＋(k －1)d ∴(k －1)d=－33a 1=33d
∴k=34即b 16是{a n }中的第34项．
【例10】 {a }b =(12)b b b =218
b b b =1
8
n n a n 123123设是等差数列，，已知＋＋，
，求等差数列的通项．
解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n =a 1＋(n －1)d
∴·b =(12
)b b =(12)(12)=(12
)b n a 13a a +2d 2(a +d)2
2
1
111+-()n d
1
由，解得，解得，代入已知条件整理得＋b b b =18b =18b =12b b b =18b b =14
b b =17
8123232
123131
3b b b 123218++=??
??????
?????? 解这个方程组，得
b =2b =
18b =1
8
b =21313，或， ∴a 1=－1，d=2或a 1=3，d=－2
∴当a 1=－1，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=2n －3 当a 1=3，d=2时，a n =a 1＋(n －1)d=5－2n
【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加4就成等差数列，再把这个等
差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．
解法一 按等比数列设三个数，设原数列为a ，aq ，aq 2 由已知：a ，aq ＋4，aq 2成等差数列 即：2(aq ＋4)=a ＋aq 2
①
a ，aq ＋4，aq 2＋32成等比数列 即：(aq ＋4)2=a(aq 2＋32)
?aq 2=4a ＋②
①，②两式联立解得：或－∴这三数为：，，或，，．
a =2q =3a =
29q =52618????
?
???-2910950
9
解法二 按等差数列设三个数，设原数列为b －d ，b －4，b ＋d
由已知：三个数成等比数列 即：(b －4)2=(b －d)(b ＋d)
?8b d =16
2－①
b －d ，b ，b ＋d ＋32成等比数列 即b 2=(b －d)(b ＋d ＋32)
?32b d 32d =0
2－－②
①、②两式联立，解得：或∴三数为，，或，，．
b =269d =83b =10
d =82618?????
????
?-2910950
9
解法三 任意设三个未知数，设原数列为a 1，a 2，a 3 由已知：a 1，a 2，a 3成等比数列
得：①a =a a 2213
a 1，a 2＋4，a 3成等差数列 得：2(a 2＋4)=a 1＋a 3
②
a 1，a 2＋4，a 3＋32成等比数列 得：(a 2＋4)2=a 1(a 3＋32)
③
①、②、③式联立，解得：或a =29a =109a =509a =2
a =6a =18123123
-
?
???
?
?
?
?????
?? 说明 将三个成等差数列的数设为a －d ，a ，a ＋d ；将三个成
等比数列的数设为，，或，，是一种常用技巧，可起到a aq aq (a aq)2a
q
简化计算过程的作用．
【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
分析 本题有三种设未知数的方法
方法一 设前三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则第四个数由已知条
件可推得：()a d a
+2
方法二 设后三个数为b ，bq ，bq 2，则第一个数由已知条件推得为2b －bq ．
方法三 设第一个数与第二个数分别为x ，y ，则第三、第四个数依次为12－y ，16－x ．
由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，
解法一 a d a a d 设前三个数为－，，＋，则第四个数为．()a d a
+2
依题意，有－＋
＋＋a d =16a (a d)=12()a d a
+????
?2
解方程组得：或－a =4
d =4a =9d =6
1122?????
? 所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法二 设后三个数为：b ，bq ，bq 2，则第一个数为：2b －bq
依题意有：－＋＋2b bq bq =16
b bq =12
2???
解方程组得：或b =4q =2 b =9q =13
1122??????
??
所求四个数为：0，4，8，16或15，9，3，1．
解法三 设四个数依次为x ，y ，12－y ，16－x ．
依题意有＋－·－－x (12y)=2y
y (16x)=(12y)2
???
解方程组得：或x =0y =4x =15
y =91122
?????
? 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．
【例13】 已知三个数成等差数列，其和为126；另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到85，76，84．求这两个数列．
解 设成等差数列的三个数为b －d ，b ，b ＋d ，由已知，b －d ＋b ＋b ＋d=126 ∴b=42
这三个数可写成42－d ，42，42＋d ．
再设另三个数为a ，aq ，aq 2．由题设，得
a 42d =85ap 42=76
aq 42d =84
2
＋－＋＋＋???
??
整理，得－①②＋③
a d =43aq =34
aq d =42
2
???
?? 解这个方程组，得 a 1=17或a 2=68
当a=17时，q=2，d=－26
当时，，a =68q =
1
2
d =25 从而得到：成等比数列的三个数为17，34，68，此时成等差的三个数为68，42，16；或者成等比的三个数为68，34，17，此时成等差的三个数为17，42，67．
【例14】 已知在数列{a n }中，a 1、a 2、a 3成等差数列，a 2、a 3、a 4成等比数列，a 3、a 4、a 5的倒数成等差数列，证明：a 1、a 3、a 5成等比数列．
证明 由已知，有 2a 2=a 1＋a 3
①
a =a a 3224
·②③
211435a a a =+
由③，得·由①，得代入②，得··a =2a a a +a a =
a +a 2a =a +a 243535
213
3
213235
35
a a a a + 整理，得a =
a (a +a )
a +a 351235
即 a 3(a 3＋a 5)=a 5(a 1＋a 3)
a a a =a a a a a =a a 323515353
2
15
＋＋∴·
所以a 1、a 3、a 5成等比数列．
【例15】 已知(b －c)log m x ＋(c －a)log m y ＋(a －b)log m z=0．
(1)设a ，b ，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证：x ，y ，z 成等比数列．
等比数列练习（含答案） 一、选择题 1.(广东卷文)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 【答案】B 【解析】设公比为q ,由已知得( )2 2 8 41112a q a q a q ?=,即2 2q =,又因为等比数列}{n a 的公比为 正数，所以q = 故212a a q = == ,选B 2、如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{ n a 的通项公式是=+++-=1021),23()1(a a a n a n n Λ则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 答案：A 4.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B 解析： 20 ,100,1111111110=∴+==∴=a d a a a S S Θ 5.（四川）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是() A.(],1-∞- B.()(),01,-∞+∞U C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞U 答案 D 6.（福建)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为( ) A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.（重庆）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 答案 A 8．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案：B 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 6= （A ）3 × 44 （B ）3 × 44+1 （C ）44 （D ）44+1 答案：A 解析：由a n +1 =3S n ，得a n =3S n －1（n ≥ 2），相减得a n +1－a n =3(S n －S n －1)= 3a n ，则a n +1=4a n （n ≥ 2），a 1=1，a 2=3，则a 6= a 2·44=3×44，选A ． 10.(湖南) 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．111 22 - 答案 B 11.（湖北）若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且 310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 答案 D 解析 由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由310a b c ++=可得b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，选D 12.（浙江）已知{}n a 是等比数列，4 1 252= =a a ，，则13221++++n n a a a a a a Λ=（ ） A.16（n --41） B.6（n --21） ,,a b c ,,c a b
数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?
例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+
例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠
课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标
●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______．
等比数列·例题解析 【例1】已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＝p n(p∈R，n∈N*)，那么数列{a n}． [ ] A．是等比数列 B．当p≠0时是等比数列 C．当p≠0，p≠1时是等比数列 D．不是等比数列 分析由S n＝p n(n∈N*)，有a1=S1＝p，并且当n≥2时， a n=S n－S n-1＝p n－p n-1＝(p－1)p n-1 但满足此条件的实数p是不存在的，故本题应选D． 说明数列{a n}成等比数列的必要条件是a n≠0(n∈N*)，还要注 【例2】已知等比数列1，x1，x2，…，x2n，2，求x1·x2·x3·…·x2n．解∵1，x1，x2，…，x2n，2成等比数列，公比q ∴2＝1·q2n+1 x1x2x3...x2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2) 式；(2)已知a3·a4·a5＝8，求a2a3a4a5a6的值． ∴a4＝2 【例4】已知a＞0，b＞0且a≠b，在a，b之间插入n个正数x1，x2，…，x n，使得a，x1，x2，…，x n，b成等比数列，求 证明设这n＋2个数所成数列的公比为q，则b=aq n+1 【例5】设a、b、c、d成等比数列，求证：(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2． 证法一∵a、b、c、d成等比数列 ∴b2＝ac，c2＝bd，ad＝bc
∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2 =2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2) ＝a2－2ad＋d2 ＝(a－d)2＝右边 证毕． 证法二∵a、b、c、d成等比数列，设其公比为q，则： b＝aq，c＝aq2，d=aq3 ∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2 ＝a2－2a2q3＋a2q6 =(a－aq3)2 ＝(a－d)2=右边 证毕． 说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b、c的特点，走的是利用等比的条件消去左边式中的b、c的路子．证法二则是把a、b、c、d统一化成等比数列的基本元素a、q去解决的．证法二稍微麻烦些，但它所用的统一成基本元素的方法，却较证法一的方法具有普遍性． 【例6】求数列的通项公式： (1){a n}中，a1＝2，a n+1＝3a n＋2 (2){a n}中，a1=2，a2＝5，且a n+2－3a n+1＋2a n＝0 思路：转化为等比数列． ∴{a n＋1}是等比数列 ∴a n＋1=3·3n-1∴a n=3n－1 ∴{a n+1－a n}是等比数列，即 a n+1－a n=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到a2－a1=3，a3－a2=3·21，a4－a3=3·22，…，a n－a n-1=3·2n-2，
精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；
1）1^2+2^2+3^2+......+n^2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边 数学归纳法可以证 也可以如下做比较有技巧性 n^2=n(n+1)-n 1^2+2^2+3^2+......+n^2 =1*2-1+2*3-2+....+n(n+1)-n =1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n) 由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 所以1*2+2*3+...+n(n+1) =[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3 [前后消项] =[n(n+1)(n+2)]/3 所以1^2+2^2+3^2+......+n^2 =[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2 =n(n+1)[(n+2)/3-1/2] =n(n+1)[(2n+1)/6] =n(n+1)(2n+1)/6 2）1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1）=？ 设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+...+n(n+1) =2(2^2+4^2+6^2+...(n-1)^2)+n(n+1) =8(1^2+2^2+3^2+...+[(n-1)/2]^2)+n(n+1) =8*[(n-1)/2][(n+1)/2]n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下！ 所以， 1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 设an=n×（n+1）=n^2+n Sn=1×2+2×3+3×4+...+n×（n+1） =(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+(1+2+3+……+n) =n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 =n(n+1)(n+2)/3
§2.4等比数列练习 1、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 2、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 3、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=． 4、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n n a a q --=；③1 1n n a q a -=；④n m n m a q a -=． 5、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?． 一.选择题：1.下列各组数能组成等比数列的是（ ） A. 111,,369 B. lg3,lg9,lg 27 C. 6,8,10 D. 3,- 2.等比数列{}n a 中，32a =，864a =，那么它的公比q =（ ） A. 4 B. 2 D. 12 3.已知{}n a 是等比数列，n a >0，又知243546225a a a a a a ++=g g g ，那么35a a +=（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4.等比数列{}n a 中，11a =，1q q ≠公比为且，若12345m a a a a a a =g g g g ，则m 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 5. “2 b a c =”是“a 、b 、c 成等比数列”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6.若{}n a 是等差数列，公差0d ≠，236,,a a a 成等比数列，则公比为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D. 4 二.填空题： 7.等比数列中，首项为 98，末项为13，公比为23 ，则项数n 等于 . 8.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 9.在等比数列{}n a 中，n a >0，()n N +∈且3698a a a =，则 22242628210log log log log log a a a a a ++++= . 10.若{}n a 是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为是 . ① {}2n a ② {}2n a ③ 1n a ?????? ④ {} lg n a 三.解答题 11.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，求56a a +. 12.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.
数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9
1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===
等比数列经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列{}n a 中，1964a a ?=, 3720a a +=,求11a . 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出 3a 、7a ，再求11a . 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。 【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。 【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。 类型二：等比数列的前n 项和公式 例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1. 因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1. 由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---， 整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0， 由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0， 因q 3 ≠1，故3 1 2 q =-，所以342q =-。 举一反三： 【变式1】求等比数列11 1,,,39 的前6项和。 【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5. 【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -?=，126n S =，求n 和 类型三：等比数列的性质 例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ?=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三： 【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a＞0)，公比为q(q＞0)，前n项和为80，其中 最大的一项为54，又它的前2n项和为6560，求a和q. 解：由S n=80，S2n=6560，故q≠1 ∵a＞0，q＞1，等比数列为递增数列，故前n项中最大项为an． ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q－1 ⑤ 由⑤，⑥联立方程组解得a=2，q=3 证∵Sn=a1＋a1q＋a1q2＋...＋a1q n-1 S2n=S n＋(a1q n＋a1q n+1＋...＋a1q2n-1)
=S n＋q n(a1＋a1q＋...＋a1q n-1)=S n＋q n S n=S n(1＋q n) 类似地，可得S3n=S n(1＋q n＋q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解，也很容易．上边的解法，灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系．介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧． 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数． 分析设等比数列为{a n}，公比为q，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为q2，首项分别为a1，a1q． 解设项数为2n(n∈N*)，因为a1=1，由已知可得q≠1． 即公比为2，项数为8． 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时，对公比q要分情况讨论．有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程，可采用两式相除的方法达到降次的目的．
等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项： （1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式： （1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或 为常数，为等比数列 （2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。 （3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：
等比数列的求和公式 一、 基本概念和公式 等比数列的求和公式： q q a n --1)1(1 （1≠q ） q q a a n --11（1≠q ） n S = 或 n S = 1na （q = 1） 即如果q 是否等于1不确定则需 要对q=1或1≠q 推导性质：如果等差数列由奇数项，则S 奇-S 偶=a 中 ；如果等差数列由奇数项，则S 偶-S 奇= d n 2 。 二、 例题精选： 例1：已知数列{n a }满足：43,911=+=+n n a a a ，求该数列的通项n a 。 例2：在等比数列{n a }中，36,463==S S ，则公比q = 。 - 例3：（1）等比数列{n a }中，91,762==S S ，则4S = ； （2）若126,128,66121===+-n n n S a a a a ，则n= 。
例4：正项的等比数列{n a }的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求数列的首项1a 和公比q 。 例5：已知数列{n a }的前n 项和n S =1-n a ，（a 是不为0的常数），那么数列{n a }是？ 例6：设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q 。 例7：求和：)()3()2()1(32n a a a a n ----+-+-+-。 例8：在 n 1和n+1之间插入n 个正数，使这n+2个数成等比数列，求插入的n 个数的积。 例9：对于数列{n a }，若----------,,,,,123121n n a a a a a a a 是首项为1，公比为31的等比数列，求：（1） n a ；（2） n a a a a +---+++321。
等比数列经典例题 例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 答：这个数列的第1项与第2项分别是 . 8316 与 例2.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。 2,,aq aq a ：解：设原来的三个数是 431= -+n n c c
问：如何用a 1和q 表示第n 项a n 1.叠乘法（累乘法） a 2/a 1=q a 3/a 2=q a 4/a 3=q … a n /a n-1=q 这n-1个式子相乘得a n /a 1=q n-1 所以 a n =a 1q n-1 2.不完全归纳法 a 2=a 1q a 3=a 2q=a 1q 2 a 4=a 3q=a 1q 3 … a n =a 1q n-1 1． 在等比数列{a n }中，已知 a 2＝2，a 4a 6＝256，则 a 8 等于（128） 2． 等比数列{a n }中，a 5＝3，则 a 2·a 8 等于（9） 3． 将 20,50,100 这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列， 则其公比是__ 5/3__. 4． 已知等比数列 a n /a 1 {a n }的公比 q ＝ －1 3，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8 ＝ （-3） 5． 在等比数列{a n }中，若 a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25. 求 a 3＋
a 5 的值． 6． 在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和为 21， 则 a 3＋a 4＋a 5＝( 84 ) 7． 在等比数列{a n }中，若 a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比 q 值 的可能个数为( 4 ) 8． 已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前 n 项和，且 a 2＝3,4S 2＝S 4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证数列{2an }是等比数列； (3)求使得 S n ＋2>2S n 的成立的 n 的集合． 解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由题意得：??? ?? a 1＋d ＝3 4×(2a 1＋d )＝4a 1＋6d ， 解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1. (2)依题意得，12 2n n a a -＝22n － 1 2 2n －3＝4， ∴数列{2n a }为首项为2，公比为4的等比数列， (3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2，∴S n ＋2>2S n ?(n ＋2)2>2n 2?(n －2)2<8，∴n ＝1,2,3,4，故n 的集合为：{1,2,3,4}．
数列高考真题汇编 1．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n -14n a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，(3分) 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(5分) (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1) ＝(－1)n －1? ?? ??12n －1＋12n ＋1.(6分) 当n 为偶数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…＋? ????12n －3＋12n －1－? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 . 当n 为奇数时， T n ＝? ????1＋13－? ????13＋15＋…－? ????12n －3＋12n －1＋? ?? ??12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1 .(10分) 2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2 ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2 ＝n . 故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .
等比数列练习题加答案 2.4 等比数列（人教A 版必修5） 一、选择题（每小题3分，共27分） 1. 如果数列an 是等比数列，那么（ ） A. 数列｛a2｝是等比数列 a n B. 数列 是等比数列 C. 数列lg an 是等比数列 D. 数列nan 是等比数列 2. 在等比数列an 中，a 4+比=10, a6 + a = 20,则 a 8+ a 9=（ ） A.90 B.30 C.70 D.40 3. 已知等比数列a n 的各项为正数，且3是 比 为（） n p A. k n B. n p p k n k k p C. n p D. n p 9.已知在等比数列a n 中, a 5,a 95为方程 8.已知公差不为零的等差数列的第k,n,p 项构 成等比数列的连续三项，贝U 等比数列的公 a s 和a e 的等比中项，贝U aa ?L 日。=（ A.3 C.311 B.3 D.3 10 12 4.在等比数列an 中，若 a 3a 5a 7a 9an — 243,则 2 並的值为( ) an A.9 B.1 C.2 D.3 5. 已知在等比数列 列bn 是 b s +b 9 =（ A.2 C.8 6. 在等比数列 6, 84+ a 〔4 3n 中，有 a 3d1=4a 7，数 等差数列，且b 7= a ，则 ） B.4 D.16 a n 中 a n 5,则至=（ a 16 *+1，且 a 7an = 3 A.3 1 C.1 B. D.6 各项都是正数, 且 a , a 3 , 2a 2成等差数列. 贝卩比3,0 2 a 7 a 8 ( ) A.1 + 2 B.1 —2 C.3 + 2 2 D.3 —2 2 中, n 7.已知在等比数列a x 2+10x + 16=0的两根，则 a 20 a 50 a 80 的值为 （ ） A.256 B. ± 256 C.64 D. ± 64 二、 填空题（每小题4分，共16分） 10. 等比数列an 中，a n 0，且a 2=1 - q , a 4=9 — a 3，贝 U a 4+ a 5 = _______ ? 1 11. 已知等比数列a n 的公比q =— 3贝U a 1 a 3 a 5 a 7 = a 2 a 4 a 6 a 8 12. 在3和一个未知数间填上一个数，使三 数成等差数列，若中间项减去 6,则成等比 数列，此未知数是 _________ ? 13. 一种专门占据内存的计算机病毒的大小 为2 KB ,它每3 s 自身复制一次，复制后所 占内存是原来的两倍，则内存为 64 MB （1 MB =210 KB ）的计算机开机后经过 s ，内 存被占完. 三、 解答题（共57分） 14. （8分）已知an 是各项均为正数的等比数 列，且 a + a 2 = 2 ——, a 1 a 2 a 3+ a 4 = 32丄丄?求 an 的通项公式. a 3 a 4