平面几何 图形集 2010·07
浙江奥数网专家 过伯祥
一. 基本图形与基本结论
用综合法解平几题，一般可先问：（每个平几题都有涉及的基本图形与基本结论！） 发现了什么基本图形?有什么基本结论可以利用么? 从（几十个）基本图形、基本结论入手:
1. (三角形的内切圆、旁切圆的性质)
基本图形：三角形的
内切圆、旁切圆，及其在边上的切点.
基本结论一: 三角形内切圆的性质（可用a 、b 、c 表出与切点有关的诸线段.） 2AM ＝AB ＋AC ＋BC ＝2p ；2AG ＝AB ＋AC －BC ；GM ＝BC 等. [参练习1图] 基本结论二：三角形内切圆与旁切圆性质：若D 为内切圆的切点，F 为旁切圆的切点，则有BD ＝CF ＝CM ＝p －b ；S ＝p r ； S ＝（AB ＋AC －BC ）A r ÷2等. [参练习1图]
2.(圆与弧、角，三角形五心的性质)
基本图形：三角形及其外接圆，外心，内心.
基本结论三: 三角形角B 平分线与其外接圆的交点G 有性质: GI ＝GA ＝GC ； ∠BIC ＝90°＋
2
1
∠A ；∠BOC ＝2∠A ；abc ＝4RS 等． 基本结论四:顺向全等的三角形保角，即对应边的夹角保持相等．
A
顺向全等的三角形（如△ADE 与△GOI ）的定义:
两三角形全等；且对应顶点的排列顺序相同. 顺向全等三角形的判定：两三角形全等；各对应边的夹角同为锐角或钝角.
3. (圆与幂，证两线垂直的新法)
与圆的幂，与证线段垂直有关的 问题！
基本结论五: 一点关于一圆的幂： PR ·PC ＝PO 2－r 2.
基本结论六: 两线垂直的条件 AO ⊥
AQ 2－AP 2＝OQ 2－OP 2.
4.(圆、平行线与角，证一角为锐角或钝角的方法，射影定理的引伸)
基本结论七: 一角为直角、锐角、钝角的条件
当CH ⊥AB 时，
∠BCA CH 2＝AH ·BH ； ∠BCA CH 2＞AH ·BH ； ∠BCA CH 2＜AH ·BH. 要证∠RIS 是锐角,只要证:BI ⊥SR ，BI 2＞BS ·BR.
证一角为锐角的三种方法：利用斜率；余弦定理；及射影定理之逆．
A
D ※5.（多圆与等幂轴，即根轴的性质）
一个与圆的根轴有关的问题．根轴，是对两圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线．
基本结论八: 两圆相交，根轴就是公共弦所在的直线；两圆相离，四条公切线的中点在根轴上．
由任意点P 到两圆O 、O 1的切线PE 、PF ，有PE 2－PF 2=2PH ×OO 1. （PH 垂直于根轴，H 为垂足.PE ＞PF.）
※6．（三角形诸要素间的关系）
基本结论九：三角形的内半与外半 r ＝4R sin
2A sin 2B sin 2
C
； 2r ≤R ； 基本结论十： 三角形的角 sin 2
A
＝()()bc
c p b p --；
三角形的角平分线a t ＝
()a p bcp c b -+2＝2
cos 2A
c b bc +．
二. 常用的辅助线添法
用综合法解平几题，关键常是：要添好适当的辅助线！
这样添辅助线，你是怎么想到的? 是从什么情境 中想出来的?
想法与添线：从条件、结论及准备想用的证法中， 形成的想法．
7.(对称添线，从结论想到的)
考虑到∠ADE ＝∠ADF ，为了把DE 与DF 拉直！用三角形不等式证明线段的不等关系
作出E 点关于BC 的对称点E 1，使新四线段CE 1、CF 、DE 1
、DF 大致能形成一个三角形.． 可能还要利用塞瓦图景！
8.(平移添线，使分散的线段BE 、CF 、AD 集中到一处)
C
把线段EB 、FC 平移到DI 、DJ 处，与AD 集中在一个四边形AIDJ 中！
于是，欲证不等式的方向正与托勒密不等式的方向相同，可能用四边形的托勒密定理证线段的不等关系么？．
9.(旋转添线，构造全等形)
两个结论，证明了一个，另一个即
“同理可证”．
考虑到圆内接四边形的外角的性质及条件BC ＝CD ！
绕着C 点旋转图形的一部分：把△CDF 转到△CBH 处！这就增多了
相等线段、相等角，与比例线段、平行线等．可以一试！
C
H
B
A
※ 10.(距离比,三角法)
先证A 、C 、U 共线（余仿此！）.考察相交线形成的角的图景：即APUS 与CRUQ 两个四边形形成的图景．
利用锐角三角函数，比例线段与相似形．注意到AP ＝AS ；CR ＝CQ 等．
※ 11．(由要用的证法想到了辅助线)
有多种证法！
一种想法是：欲利用三圆的等幂轴共点的性质来证．这就要：构造出三个适当的圆，使三条对角线恰好为每两个圆的一条等幂轴．——想法引导出辅助线的一例．
三. 常用方法
平几题有多种非纯几何证法！这也反映 了平几与数学各科的紧密联系与优势． 三角法,向量法,代数法, 解析法，面 积法等
12.(三角法, 充要条件)
三角法的要点是；设定能确定本问题情境的几个基本量后，使重要的相关量都能用基本量表示出来．
基本量:R 、α（∠ACD ）、β（∠BCE ），再令∠DCE ＝γ.
B
P
以R 、α、β（γ）为基本量,如何表出PQ,AP,BQ?
13.(向量法，比例关系)
向量法的要点是：选定几个向量为基向量后.重要的相关向量均能用基向量表示出来. 取任一点为原O 点，以OP 、OQ 、OA 、OB 为基向量．
14. (代数法,几何最值)
只要证什么？可归结为证什么？；
先把问题三角化，转化为证一个与半角相关的不等式； 再令x A
2
sin
，化为证一个代数不等式——代数化.
15.( 对称法,三角法)
中垂线，角平分线作为图形的对称轴！ 只要去证相关的面积比为1.用什么面积公式比较合适?
把各个比集中到一直线上，以便化简.
Y
C
B
B
※ 16.( 分析法)
圆的角；共圆点．多处梅涅劳斯图景． 要证这个，可化归为证什么？ 一步步倒推分析！
※17．(同一法)
CD ⊥AB 与 CH ⊥AB 且DH ⊥AB 同一．因为过一点只能作某直线的一条垂线.
四. 思路的方向
思路的方向与选择合适的方法，这两者都很重要: 你自以为，解题要点、思路方向选准了么? 从题情出发，试选择一种合适的方法!
18.(代数法，几何计算)
K
O B
D
B
求三角形的面积的公式： S ＝p r ＝()()()c p b p a p p ---＝22R sin A sin B sin C
＝
R
abc
4. 猜想的作用: 可能有: △BGF ∽△CGE. 如果相似的话…，怎样证明它们相似? 地位对等的利用.比如，对于△BGF 与△CGE ，同理可证!!
19.（同一法，利用同理可证！！）
证三点共线的方法： 综合法，同一法，向量法.
P 点关于△ADC ，与Q 点关于△ABC 地位对等.
20.(多个托勒密定理的图景)
B
D
D
条件利用于添辅助线；托勒密定理的图景. 要求最小值的结论的启示: 最小值与不等式；
要求f （P ）的最小值,就是要证f （P ）不小于某一个值.
※21.（四边形各边中点图景，辅助线）
三角形各边中点与中位线定理．y ＝EG ＋FH ，x ＝AC ＋BD. 于是,目标是推出: y ≤?x .因此,
可以归结为推证:EG ≤?,FH ≤?.直线段不大于同端点的曲线段之和.
※22. (阿氏圆)
阿氏圆:到两定点的距离比为定值的点的轨迹. 当AB ∶AC 为定值时，A 点的轨迹为∠BAC 的内、外角的平分线与BC 的交点连线为直径的圆.此圆即称为阿氏圆. 又有性质：
∠CAP －∠BAP ＝2∠FAP .
S
F1
S
初中数学竞赛辅导资料(65) 图象法 甲内容提要 1. 在第45讲（一元二次方程）中，根据根的判别式和根与系数的关系，介绍了存在实数 根，有理数根，整数根的充分必要条件. 2. 要讨论两个实数根的符号，则可以建立不等式组.方程ax 2+bx+c=0中， ① 有两个实数根的充分必要条件是?? ?≥?≠0 a ②有两个正实数根的充要条件是?????? ??? >>≥?00-0a c a b (a ≠0包含在0 >a c 之中) ③有一正一负实数根的充要条件是 00均已包含在内) ④有一正一负实根且负根绝对值较大的充要条件是???????<-<00a b a c 3. 在较小区间内讨论实数根，则常利用图象来建立不等式组. 4. 一些含有绝对值符号的方程、不等式的题解，也可借助图象. 乙例题 例1..已知：方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0的两个实数根x 1,x 2满足：0
解这个不等式组得?? ? ??><<<->-<.30422 1k k k k k 或；；或 ∴原不等式组解集是 －2 高中物理竞赛辅导（2） 静力学力和运动 共点力的平衡 n个力同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为 共点力，如图1所示。 作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力 学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用 线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡 状态的条件是：合力为零。 （1） 用分量式表示： （2） [例1]半径为R的刚性球固定在水 平桌面上，有一质量为M的圆环状均匀 弹性细绳圈，原长为，绳 圈的弹性系数为k。将圈从球的正上方 轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持 水平，最后停留在平衡位置。考虑重力， 不计摩擦。①设平衡时绳圈长 ，求k值。②若 ，求绳圈的平衡位置。 分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上。在绳圈上任取一小元段， 长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示（a）和（b）表示。 元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力N方向沿半径R 指向球外；两端张力，张力的合力为 位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经 线所在平面内，如图示（c）所示。将它们沿经线的切向和法向分 解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。 解：（1）由力图（c）知：合张力沿经线切向分力为： 重力沿径线切向分力为： （2-2） 当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。 （2-3） 由以上三式得 （2-4） 式中 由题设：。把这些数据代入（2-4）式得。于是。 （2）若时，C=2，而。此时（2-4）式变成 tgθ=2sinθ-1, 即 sinθ+cosθ=sin2θ, 平方后得。 在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于k值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。 [例2]四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径k倍时，则四球将互相分离。试求k值。 分析：设每个球的质量为m，半径为r ，下面四个球的相互作用力为N，如图示（a）所示。 又设球形碗的半径为R，O' 为球形碗的球心，过下面四球的 球心联成的正方形的一条对角线 AB作铅直剖面。如图3（b）所示。 当系统平衡时，每个球所受的合 力为零。由于所有的接触都是光 滑的，所以作用在每一个球上的 力必通过该球球心。 上面的一个球在平衡时，其 重力与下面四个球对它的支力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力N， 大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。 初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。 丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3 高中物理《竞赛辅导》力学部分 目录 ：力学中的三种力 【知识要点】 （一）重力 重力大小G=mg，方向竖直向下。一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。 （二）弹力 1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定． 3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x为弹簧的拉伸或压缩量)来计算． 在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k1,k2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：，即弹簧变软；反之．若 以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力 一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。 2．滑动摩擦力的大小由公式f=μN 计算。 3．静摩擦力的大小是可变化的，无特定计算式，一般根据物体运动性质和受力情况分析求解。其大小范围在0＜f≤f m 之间，式中f m 为最大静摩擦力，其值为f m =μs N ，这里μs 为最大静摩擦因数，一般情况下μs 略大于μ，在没有特别指明的情况下可以认为μs =μ。 4．摩擦角 将摩擦力f 和接触面对物体的正压力N 合成一个力F ，合力F 称为全反力。在滑动摩擦情况下定义tgφ=μ=f/N ，则角φ为滑动摩擦角；在静摩擦力达到临界状态时，定义tgφ0=μs =f m /N ，则称φ0为静摩擦角。由于静摩擦力f 0属于范围0＜f≤f m ，故接触面作用于物体的全反力同接触面法线 的夹角≤φ0，这就是判断物体不发生滑动的条件。换句话说，只要全反力的作用线落在（0，φ0）范围时，无穷大的力也不能推动木块，这种现象称为自锁。 本节主要内容是力学中常见三种力的性质。在竞赛中以弹力和摩擦力尤为重要，且易出错。弹力和摩擦力都是被动力，其大小和方向是不确定的，总是随物体运动性质变化而变化。弹力中特别注意轻绳、轻杆及胡克弹力特点；摩擦力方向总是与物体发生相对运动或相对运动趋势方向相反。另外很重要的一点是关于摩擦角的概念，及由摩擦角表述的物体平衡条件在竞赛中应用很多，充分利用摩擦角及几何知识的关系是处理有摩擦力存在平衡问题的一种典型方法。 【典型例题】 【例题1】如图所示，一质量为m 的小木块静止在滑动摩擦因数为μ=的水平面上，用一个与水平方 向成θ角度的力F 拉着小木块做匀速直线运动，当θ角为多大时力F 最小？ 【例题2】如图所示，有四块相同的滑块叠放起来置于水平桌面上，通过细绳和定滑轮相互联接起来.如果所有的接触面间的摩擦系数均为μ，每一滑块的质量均为 m ，不计滑轮的摩擦.那么要拉动最上面一块滑块至少需要多大的水平拉力?如果有n 块这样的滑块叠放起 来，那么要拉动最上面的滑块，至少需多大的拉力? 【例题3】如图所示，一质量为m=1㎏的小物块P 静止在倾角为θ=30°的斜面 上，用平行于斜面底边的力F=5N 推小物块，使小物块恰好在斜面上匀速运动，试求小物块与斜面间的滑 动摩擦因数（g 取10m/s 2 ）。 【练习】 1、如图所示，C 是水平地面，A 、B 是两个长方形物块，F 是作用在物块B 上沿水平方向的力，物块A 和B 以相同的速度作匀速直线运动，由此可知， A 、 B 间的滑动 θ F P θ F A B F C N F f m f 0 α φ 7.1简谐振动 一、简谐运动的定义 1、平衡位置：物体受合力为0的位置 2、回复力F ：物体受到的合力，由于其总是指向平衡位置，所以叫回复力 3、简谐运动：回复力大小与相对于平衡位置的位移成正比，方向相反 F k x =- 二、简谐运动的性质 F kx =- ''mx kx =- 取试探解（解微分方程的一种重要方法） cos()x A t ω?=+ 代回微分方程得： 2m x kx ω-=- 解得： 22T π ω== 对位移函数对时间求导，可得速度和加速度的函数 cos()x A t ω?=+ sin()v A t ωω?=-+ 2cos()a A t ωω?=-+ 由以上三个方程还可推导出： 222()v x A ω += 2a x ω=- 三、简谐运动的几何表述 一个做匀速圆周运动的物体在一条直径 上的投影所做的运动即为简谐运动。 因此ω叫做振动的角频率或圆频率， ωt +φ为t 时刻质点位置对应的圆心角，也叫 做相位，φ为初始时刻质点位置对应的圆心 角，也叫做初相位。 四、常见的简谐运动 1、弹簧振子 (1)水平弹簧振子 (2)竖直弹簧振子 2、单摆（摆角很小） sin F mg mg θθ=-≈- x l θ≈ 因此： F k x =- 其中： mg k l = 周期为：222T π ω=== 例1、北京和南京的重力加速度分别为g 1=9.801m/s 2和g 2=9.795m/s 2，把在北京走时准确的摆钟拿到南京，它是快了还是慢了？一昼夜差多少秒？怎样调整？ 例2、三根长度均为l=2.00m 、质量均匀的直杆，构成一正三角彤框架 ABC ．C 点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动．杆AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动? 高中物理竞赛辅导讲义 第2篇 运动学 【知识梳理】 一、匀变速直线运动 二、运动的合成与分解 运动的合成包括位移、速度和加速度的合成，遵从矢量合成法则（平行四边形法则或三角形法则）。 我们一般把质点对地或对地面上静止物体的运动称为绝对运动，质点对运动参考照系的运动称为相对运动，而运动参照系对地的运动称为牵连运动。以速度为例，这三种速度分别称为绝对速度、相对速度、牵连速度，则 v 绝对 = v 相对 + v 牵连 或 v 甲对乙 = v 甲对丙 + v 丙对乙 位移、加速度之间也存在类似关系。 三、物系相关速度 正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可充分利用物系相关速度之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用。 1．刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（速度投影定理）。 2．接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时亦相同。 3．线状交叉物系交叉点的速度，是相交物系双方运动速度沿双方切向分解后，在对方切向运动分速度的矢量和。 四、抛体运动： 1．平抛运动。 2．斜抛运动。 五、圆周运动： 1．匀速圆周运动。 2．变速圆周运动： 线速度的大小在不断改变的圆周运动叫变速圆周运动，它的角速度方向不变，大小在不断改变，它的加速度为a = a n + a τ，其中a n 为法向加速度，大小为2 n v a r =，方向指向圆心；a τ为切向加速度，大小为0lim t v a t τ?→?=?，方向指向切线方向。 六、一般的曲线运动 一般的曲线运动可以分为很多小段，每小段都可以看做圆 周运动的一部分。在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可 以采用圆周运动的分析方法来处理。对于一般的曲线运动，向心加速度为2n v a ρ =，ρ为点所在曲线处的曲率半径。 七、刚体的平动和绕定轴的转动 1．刚体 所谓刚体指在外力作用下，大小、形状等都保持不变的物体或组成物体的所有质点之间的距离始终保持不变。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动。刚体的任 初三上参考答案（6） 练习58 一.1. 90 2. 712+n 3. 1，3＋3 4. －1 5. －2 6. a 2－2b,当a 2－2b ＜0时无解 7. 2，－2 8.②3（a+b ）(b+c)(c+a) 9. a,b, 2 b a + 10. x=y=z=w=±17 二.①B ②C ③C ④A ⑤C 三.① －3，1， 2153±－ ②－41，－1，－5 ③2（增根－1） 四.（仿例4） 五.已知两边乘以x-1得x 5=1, 原式=x 1985(x 4+x 3+x 2+x)=1×(-1)=-1 练习59 1. ①-1或3 ②3且-3 ③ x ≥1且 x ≠3 ④1或-1或3或-3 ⑤x=1且y=1；…… 2 ①x>0或x<0 ②a<-3或-3 高中物理竞赛辅导讲义 第1篇 静力学 【知识梳理】 一、力和力矩 1．力与力系 （1）力：物体间的的相互作用 （2）力系：作用在物体上的一群力 ①共点力系 ②平行力系 ③力偶 2．重力和重心 （1）重力：地球对物体的引力（物体各部分所受引力的合力） （2）重心：重力的等效作用点（在地面附近重心与质心重合） 3．力矩 （1）力的作用线：力的方向所在的直线 （2）力臂：转动轴到力的作用线的距离 （3）力矩 ①大小：力矩=力×力臂，M =FL ②方向：右手螺旋法则确定。 右手握住转动轴，四指指向转动方向，母指指向就是力矩的方向。 ③矢量表达形式：M r F =? （矢量的叉乘），||||||sin M r F θ=? 。 4．力偶矩 （1）力偶：一对大小相等、方向相反但不共线的力。 （2）力偶臂：两力作用线间的距离。 （3）力偶矩：力和力偶臂的乘积。 二、物体平衡条件 1．共点力系作用下物体平衡条件： 合外力为零。 （1）直角坐标下的分量表示 ΣF ix = 0，ΣF iy = 0，ΣF iz = 0 （2）矢量表示 各个力矢量首尾相接必形成封闭折线。 （3）三力平衡特性 ①三力必共面、共点；②三个力矢量构成封闭三角形。 2．有固定转动轴物体的平衡条件： 3．一般物体的平衡条件： （1）合外力为零。 （2）合力矩为零。 4．摩擦角及其应用 （1）摩擦力 ①滑动摩擦力：f k = μk N（μk－动摩擦因数） ②静摩擦力：f s ≤μs N（μs－静摩擦因数） ③滑动摩擦力方向：与相对运动方向相反 （2）摩擦角：正压力与正压力和摩擦力的合力之间夹角。 ①滑动摩擦角：tanθk=μ ②最大静摩擦角：tanθsm=μ ③静摩擦角：θs≤θsm （3）自锁现象 三、平衡的种类 1．稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使之回到平衡位置，这样的平衡叫稳定平衡。2．不稳定平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，有一个力或力矩使它的偏离继续增大，这样的平衡叫不稳定平衡。 3．随遇平衡： 当物体稍稍偏离平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它能在新的位置上再次平衡，这样的平衡叫随遇平衡。 【例题选讲】 1．如图所示，两相同的光滑球分别用等长绳子悬于同一点，此两球同时又支撑着一个等重、等大的光滑球而处于平衡状态，求图中α（悬线与竖直线的夹角）与β（球心连线与竖直线的夹角）的关系。 面圆柱体不致分开，则圆弧曲面的半径R最大是多少？（所有摩擦均不计） R 专业资料 初中数学竞赛辅导讲义（初三） 第一讲 分式的运算 [知识点击] 1、 分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。 2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。 3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。 [例题选讲] 例1．化简 2312++x x + 6512++x x + 12 712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + ) 4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 4 1+x =) 4)(1(3++x x 例2． 已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。 专业资料 解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 则?? ???=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若 ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1 例3．设 1 2+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。 解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=1 21-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2 +1整除，求ａ的值。 解： 原 子 物 理 自1897年发现电子并确认电子是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题就是探索原子内部的奥秘，经过众多科学家的努力，逐步弄清了原子结构及其运动变化的规律并建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系——量子力学。本章简单介绍一些关于原子和原子核的基本知识。 §1.1 原子 1．1．1、原子的核式结构 1897年，汤姆生通过对阴极射线的分析研究发现了电子，由此认识到原子也应该具有内部结构，而不是不可分的。1909年，卢瑟福和他的同事以α粒子轰击重金属箔，即α粒子的散射实验，发现绝大多数α粒子穿过金箔后仍沿原来的方向前进，但有少数发生偏转，并且有极少数偏转角超过了90°，有的甚至被弹回，偏转几乎达到180°。 1911年，卢瑟福为解释上述实验结果而提出了原子的核式结构学说，这个学说的内容是：在原子的中心有一个很小的核，叫原子核，原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外的空间里软核旋转，根据α粒子散射的实验数据可估计出原子核的大小应在10-14nm 以下。 1、1． 2、氢原子的玻尔理论 1、核式结论模型的局限性 通过实验建立起来的卢瑟福原子模型无疑是正确的，但它与经典论发生了严重的分歧。电子与核运动会产生与轨道旋转频率相同的电磁辐射，运动不停，辐射不止，原子能量单调减少，轨道半径缩短，旋转频率加快。由此可得两点结论： ①电子最终将落入核内，这表明原子是一个不稳定的系统； ②电子落入核内辐射频率连续变化的电磁波。原子是一个不稳定的系统显然与事实不符，实验所得原子光谱又为波长不连续分布的离散光谱。如此尖锐的矛盾，揭示着原子的运动不服从经典理论所表述的规律。 为解释原子的稳定性和原子光谱的离经叛道的离散性，玻尔于1913年以氢原子为研究对象提出了他的原子理论，虽然这是一个过渡性的理论，但为建立近代量子理论迈出了意义重大的一步。 2、玻尔理论的内容： 一、原子只能处于一条列不连续的能量状态中，在这些状态中原子是稳定的，电子虽做加速运动，但并不向外辐射能量，这些状态叫定态。 二、原子从一种定态（设能量为E 2）跃迁到另一种定态（设能量为E 1）时，它辐射或吸收一定频率的光子，光子的能量由这种定态的能量差决定，即 γh =E 2-E 1 三、氢原子中电子轨道量子优化条件：氢原子中，电子运动轨道的圆半径r 和运动初速率v 需满足下述关系： π2h n rmv =，n=1、2…… 其中m 为电子质量，h 为普朗克常量，这一条件表明，电子绕核的轨道半径是不连 （共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨：求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨：运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注：一元二次方程常见的变形形式有： (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==. 第一篇 一元一次方程的讨论 第一部分 基本方法 1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =a b ； 当a =0且b ≠0时，无解； 当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解； 当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析 例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？ 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？ 例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？ 例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 第三部分典题精练 1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x +1)=0, ②x 2 =9, ③|x |=9， ④|x |=－3, ⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x 2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________ 3. 在方程a (a －3)x =a 中， 当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。 4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ ① x = k 4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？ 7. 己知方程 2 2 1463+= +-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？ 微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a = （7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+? 初中数学竞赛辅导资料（6） 数学符号 甲内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即 当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1, 元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用⊙和△ 表示园和三角形等。 2, 关系符号：如等号，不等号，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。 3, 运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4, 逻辑符号：略 5, 约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和b 中，如果a 除 以b 的商的整数部份记作Z （ b a ），而它的余数记作R （b a ）， 那么 Z （310）＝3，R （3 10）＝1；又如设[]x 表示不大于x 的最大整数，那么[]2.5＝5，[]2.5-＝－6，?? ????32＝0，[]3-＝－3。 正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深， 由具体到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作 出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。 乙例题 例1设[]Z 表示不大于Z 的最大整数，＜n>为正整数n 除以3的余数 计算： ①〔4.07〕＋〔－7 32 〕－〈13;〉＋〈2004〉 ②〈〔14.7〕〉＋〔234><〕。 解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0 ②原式＝＜14＞＋〔2 1〕＝2＋0＝2 例2①求19871988的个位数 ②说明19871989－19931991能被10整除的理由 解：设N （x ）表示整数x 的个位数， ① N （19871988）＝N （74×497）＝N （74）＝1 ②∵N （19871989）－N （19931991）＝N （74×497＋1）－N （34×497＋3） ＝N （71）－N （33）＝7－7＝0 ∴19871989－19931991能被10整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。 高中物理竞赛辅导讲义 第8篇 稳恒电流 【知识梳理】 一、基尔霍夫定律（适用于任何复杂电路） 1． 基尔霍夫第一定律（节点电流定律） 流入电路任一节点（三条以上支路汇合点）的电流强度之和等于流出该节点的电流强度之和。即∑I =0。 若某复杂电路有n 个节点，但只有（n ?1）个独立的方程式。 2． 基尔霍夫第二定律（回路电压定律） 对于电路中任一回路，沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零。即∑U =0。 若某复杂电路有m 个独立回路，就可写出m 个独立方程式。 二、等效电源定理 1． 等效电压源定理（戴维宁定理） 两端有源网络可以等效于一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路，内阻仍保留在网络中）网络的电阻。 2． 等效电流源定理（诺尔顿定理） 两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流I 0等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络两端看除源网络的电阻。 三、叠加原理 若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流等于各个电动势单独存在时，在该支路产生的电流之和（代数和）。 四、Y?△电路的等效代换 如图所示的（a ）（b ）分别为Y 网络和△网络，两个网络中的6个电阻满足一定关系 时完全等效。 1． Y 网络变换为△网络 12 2331 123 R R R R R R R R ++=， 122331 231R R R R R R R R ++= 122331 312 R R R R R R R R ++= 2． △网络变换为Y 网络 12311122331R R R R R R = ++，23122122331R R R R R R =++，3123 3122331 R R R R R R =++ 初中数学竞赛辅导资料（33） 同一法 甲内容提要 1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。 2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。这称为同一法则。 互逆两个命题一般是不等价的。例如 原命题：福建是中国的一个省（真命题） 逆命题：中国的一个省是福建（假命题） 但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如 原命题：中国的首都是北京（真命题） 逆命题：北京是中国的首都（真命题） 因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题） 逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题） 因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。 3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是： ①作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立） ②证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设） 乙例题 例1.求证三角形的三条中线相交于一点 已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线 求证：AD，BE，CF相交于同一点 分析：在证明AD和BE相交于点G之后，本应再证明CF经过点G，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB 于F，，证明CF，就是第三条中线（即证明AF，＝F，B） 证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180 ∴AD和BE相交，设交点为G 连结并延长CG交AB于F， 连结DE交CF，于M ∵DE∥AB F, G A B C D E F 初中数学竞赛辅导资料(55) 未知数比方程个数多的方程组解法 甲内容提要 在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数. 解这类方程或方程组，一般有两种情况： 一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解； 二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等. 乙例题 例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组： ①021 112 2=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0； ③???=-=++4 222z xy z y x 解：① 根据在实数范围内，二次根式被开方数是非负数，分母不等于零. 得不等式组 ?? ???≠-≥-≥-01010122x x x 解得x 2=1而x ≠1, ∴? ??-=-=21y x ② 整理为关于x 的二次方程，利用方程有实数根，则判别式 △≥0. x 2+(y －3)x+(y 2－3y+3)=0. ∵x 是实数， ∴△≥0. 即( y －3)2－4(y 2－3y+3)≥0 . 解得 (y －1)2≤0 . 而(y －1)2≥0. ∴y=1. ∴???==1 1y x 是原方程的解. ③消去一元后，利用实数平方是非负数性质. 由①得z=2－x －y . 代入②得2xy －(2－x －y)2－4=0. 整理配方，得(x －2)2+(y －2)2=0. ∵相加得0的两个数，只有是互为相反数. 而 x, y 是实数， ∴(x －2)2≥0，(y －2)2≥0. 郑梁梅高级中学高一物理竞赛辅导讲义 第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心 【知识要点】 （一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。 （二）力矩：力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL ，单位“牛·米”。一般规定逆时针方向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。 （三）有固定转轴物体的平衡条件 作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零或逆时针方向力矩总是与顺时针方向力矩相等。即ΣM=0，或ΣM 逆=ΣM 顺。 （四）重心：物体所受重力的作用点叫重心。 计算重心位置的方法： 1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。 2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。 3、公式法：如图所示，在平面直角坐标系中，质量为m 1和m 2的A 、B 两质点坐标分别为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则由两物体共同组成的整体的重心坐标为： 212211m m x m x m x C ++= 212211m m y m y m y C ++= 一般情况下，较复杂集合体，可看成由多个质点组成的质点系， 其重心C 位置由如下公式求得： i i i C m x m x ∑∑= i i i C m y m y ∑∑= i i i C m z m z ∑∑= 本节内容常用方法有：①巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；②复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；③无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，或者助物体重心公式计算。 【典型例题】 【例题1】如图所示，光滑圆弧形环上套有两个质量不同的小球A 和B 两球之间连有弹簧，平衡时圆心O 与球所在位置的连线与竖直方向的夹角分别为α和β，求两球质量之比。 y y y 12C α β A B O高中物理竞赛辅导(2)
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