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的 MA THEMA TICA 教程
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矩阵和线性代数 线性系统
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| CharacteristicPolynomial CholeskyDecomposition
Det Eigensystem
Eigenvalues Eigenvectors Inverse JordanDecomposition LinearSolve
LUDecomposition MatrixExp MatrixPower MatrixRank Minors Norm NullSpace Orthogonalize PseudoInverse QRDecomposition RowReduce SchurDecomposition SingularV alueDecomposition SingularV alueList 函数 ?
在 Mathematica 的后续版本中引入了与本教程内容相关的附加功能. 最新信息请见矩阵和线性代数.
矩阵计算
本节教程将对所提供的用于进行矩阵计算的函数进行评述. 关于这些函数的更多信息可以在 Golub 和 van Loan 或 Meyer 等作者撰写的标准数学教科书中找到. 本节教程所介绍的运算，除了范数的计算也可扩展至标量和向量外，其它的计算都是矩阵所特有的. 基本运算
本节回顾了一些基本概念和运算，它们将贯穿整节教程，用于讨论矩阵运算.
范数
一个数学对象的范数是关于该对象的长度、尺寸或程度的度量. 在 Mathematica 中，范数存在于标量、向量和矩阵中. Norm[num] 一个数的范数
Norm[vec]
向量的2范数 Norm[vec,p] 向量的范数 Norm[mat] 矩阵的2范数 Norm[mat,p]
矩阵的 p 范数 Norm[mat,"Frobenius"] 矩阵的 Frobenius 范数
Mathematica 中范数的计算. 一个数的范数是其绝对值. In[1]:=
Out[1]= In[2]:=
Out[2]=
向量范数
在向量空间上，范数允许度量距离. 这使得对诸如邻域、近似接近度以及拟合优度等常见概念的定义成为可能. 向量范数是一个满足下述关系的函数
.
通常该函数用符号表示. 下标用于区分不同的范数，其中p 范数尤其重要. 对于
，p 范数的定义如下.
一些常见的p 范数为1范数、2范数和范数.
在Mathematica 中，向量p 范数可以通过函数Norm 计算. 下面的例子中得到了1范数、2范数和范数.
In[1]:=
In[2]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[3]=
In[4]:=
Out[4]=
2范数尤其有用，这是其默认值.
In[5]:=
Out[5]=
向量的范数用精确的数值输入表示.
In[5]:=
Out[5]=
向量的范数也可以用符号输入表示.
In[6]:=
Out[6]=
另外，如果使用的是符号p，则结果也用该符号表示.
In[7]:=
Out[7]=
矩阵范数
矩阵范数用于给出矩阵空间上距离的度量. 如果要对矩阵之间的距离进行量化，例如一个矩阵接近于降秩矩阵，矩阵范数的存在是很有必要的.
矩阵范数也采用向量范数的双竖线表示符号. 最常见的矩阵范数之一是Frobenius 范数（也称作Euclidean 范数）.
另一个常见范数是p 范数. 它们以向量p 范数的形式进行定义如下.
因此，矩阵p 范数表示矩阵可以应用于任何向量的最大扩展.
Mathematica 中Frobenius 范数的计算可以按照下面所示进行.
In[1]:=
In[2]:=
Out[2]=
矩阵2范数的计算如下所示.
In[3]:=
Out[3]=
也可以给定一个参数来指定1、2或矩阵p 范数.
In[4]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
In[6]:=
Out[6]=
这里计算由输入矩阵得到的不同向量的集合的扩展. 可以看到最大值仍小于2范数.
In[7]:=
Out[7]=
所有p 范数均支持精确数值矩阵.
In[8]:=
Out[8]=
In[9]:=
Out[9]=
In[10]:=
Out[10]=
然而，对于符号表示的矩阵，只有1 和矩阵p 范数被支持.
In[11]:=
Out[11]=
In[12]:=
Out[12]=
零空间
与每个矩阵相关的基本子空间之一是零空间. 在一个矩阵的零空间的向量通过矩阵映射到零. NullSpace[m] 一列基本向量，其线性组合满足
对于某些矩阵（例如，非降秩方阵），零空间为空.
In[1]:=
Out[2]=
该矩阵的零空间含有一个向量.
In[3]:=
Out[4]=
In[5]:=
Out[5]=
该矩阵的零空间有两个基本向量.
In[6]:=
Out[7]=
矩阵的秩
矩阵的秩对应于矩阵中线性无关的行或列的个数.
矩阵的秩对应于矩阵中线性无关的行或列的个数.
MatrixRank[mat] 给出矩阵mat的秩
如果一个m×n矩阵的各行不具有线性相关性，则它的秩等于，这种情况被称作满秩.
In[1]:=
Out[2]=
如果一个矩阵的行之间存在任何相关性，它的秩必定小于. 这种情况时，该矩阵被称为秩亏矩阵.
In[3]:=
Out[4]=
注意一个矩阵的秩等于其转置矩阵的秩. 这意味着线性无关的行数等于线性无关的列数.
In[5]:=
Out[5]=
对于一个m×n矩阵A，下述关系成立：Length[NullSpace[A]]+MatrixRank[A]n，且
Length[NullSpace[A T]]+MatrixRank[A T]m. 由此得到，当且仅当矩阵的秩等于n时零空间为空，并且当且仅当A的秩等于m时A的转置矩阵的零空间为空.
如果秩与列数相等，则被称为满列秩；如果秩与行数相等，则被称为满行秩. 列梯形形式可以帮助理解矩阵的秩的概念.
简化行阶梯形式
将一个矩阵化简成行阶梯形式可以通过一组行变换实现，从左上角的元素所在的首元位置开始，将首元所在行以下的各行减去首元行的倍数，使得同一列中首元下方的所有元素为零. 然后选取位于下一行和下一列的元素作为下一个首元. 如果这一首元为零，并且其下方同一列中有非零元素，则进行行交换，并重复上面的步骤，直到进行到最后一行或最后一列为止.
如果对于一个矩阵的任意零行（行的各元素全部为零），其后的各行都是零行；并且如果行的第一个非
零元素位于列，则第1至列位于下方的元素都为零，则该矩阵为行阶梯形式. 阶梯形矩阵并不唯一，但它的形式是唯一的，即各个首元的位置相同. 这也提供了一种用非零行个数确定矩阵的秩的方法.
如果一个行阶梯形矩阵，每个首元是1，并且每个首元所在的列的其它元素都为零，则称该矩阵是简化阶梯形矩阵.得到这种形式的步骤与得到行阶梯形矩阵的步骤类似，同样经过几步使首元简化成1（通过除法），将与首元所在列中首元上方的元素化简为零（通过减去当前首元行的倍数）. 矩阵的简化阶梯形式是唯一的.
简化行阶梯形式以及行阶梯形式提供了一种用非零行个数确定矩阵的秩的方法. 在Mathematica中，矩阵的简化行阶梯形式可以通过函数RowReduce计算得到.
RowReduce[mat] 给出矩阵mat的简化行阶梯形式
这个矩阵的简化行阶梯形式只有一个非零行，这说明矩阵的秩为1.
In[1]:=
Out[2]//MatrixForm=
这是一个各列线性无关的3×2随机矩阵.
In[3]:=
Out[4]//MatrixForm=
简化行阶梯形式有两个非零行；因此它的秩应该是2.
In[5]:=
Out[5]//MatrixForm=
MatrixRank计算得到的秩也是2.
In[6]:=
Out[6]=
转置矩阵的简化行阶梯形式也有两个非零行. 这与矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等这一事实是一致的，即使矩阵是长方形也是如此.
In[7]:=
Out[7]//MatrixForm=
矩阵的逆
方阵A的逆的定义如下：
其中为单位矩阵. 在Mathematica中，矩阵的逆可以通过函数Inverse得到.
Inverse[mat] 给出一个矩阵mat的逆
这是一个2×2样本矩阵.
In[1]:=
Out[3]//MatrixForm=
这里表明矩阵符合定义.
In[4]:=
Out[4]//MatrixForm=
不是所有矩阵都有逆；如果一个矩阵没有逆则被称作奇异矩阵. 如果矩阵是秩亏矩阵，则该矩阵是奇异的.
In[5]:=
Out[6]=
In[7]:=
Out[7]=
原则上矩阵的逆可用于求解矩阵方程
方法是在方程两边同乘以的逆.
然而，直接求解该矩阵方程往往更简单. 这些技巧将在"求解线性方程组"一节中讨论.
伪逆矩阵
对于奇异矩阵或非方阵矩阵，找到一个使最小化的近似逆仍然是可能的. 当使用2范数时，这将得到被称作伪逆矩阵的最小二乘解.
PseudoInverse[mat] 给出矩阵mat的伪逆矩阵
这将得到先前定义的奇异矩阵的伪逆矩阵.
In[1]:=
Out[3]//MatrixForm=
结果不是单位矩阵，但接近于单位矩阵.
In[4]:=
Out[4]//MatrixForm=
计算一个长方形矩阵的伪逆.
In[5]:=
Out[7]//MatrixForm=
结果非常接近于单位矩阵.
In[8]:=
Out[8]//MatrixForm=
通过伪逆得到的解是最小二乘解. 更多细节请见"最小二乘解"的讨论.
行列式
一个n×n矩阵的行列式定义如下.
它在Mathematica中可以通过函数Det计算得到.
Det[mat] 矩阵mat的行列式Minors[mat] 矩阵mat的子式
Minors[mat,k] mat的k阶子式
这里是一个2×2样本矩阵.
In[1]:=
Out[2]=
行列式的一个非常有用的性质是：当且仅当为奇异矩阵时， .
In[3]:=
Out[4]=
正如已经指出的那样，如果矩阵是奇异的，则没有满秩.
In[5]:=
Out[5]=
子式
矩阵的子式是任意k×k子矩阵的行列式. 这个例子使用函数Minors来计算全部2×2子式.
In[1]:=
Out[2]=
子矩阵的大小可以通过一个第二选项控制. 这里计算得到了1×1子式，它们就是矩阵的各个项.
In[3]:=
Out[3]=
注意Minors[m]等价于Minors. 一般地，Minors计算矩阵m所有可能k×k子矩阵的行列式（这通过选取不同的k行和k列完成）. 对于一个4×4 矩阵的2×2 子式，将得到一个6×6 矩阵，原因是从四行中选取2行或2列只有6种不同的方式.
In[4]:=
Out[4]=
矩阵的秩的一个性质是它等于最大非奇异子矩阵的大小. 这一点可以通过Minors进行示范. 在这个例
子中，下述矩阵的秩为2.
In[5]:=
Out[6]=
矩阵的行列式为零.
In[7]:=
Out[7]=
当2×2子式计算得到后，可以看到不是所有子式都为零，这进一步证实矩阵的秩为2.
In[8]:=
Out[8]=
求解线性方程组
矩阵的重要用途之一是表示和求解线性方程组. 这一节讨论如何在Mathematica中求解线性方程组. 它充分利用为实现这一目的所提供的主要函数——LinearSolve.
求解一个线性方程组涉及到求解一个矩阵方程. 由于是一个×矩阵，它代表的是含有
个未知数的个线性方程的集合.
当时，方程组被称为正定. 意味着方程数大于未知数的个数，这时的方程组为超定方程组. 如果，则表示方程数小于未知数的个数，这时的方程组为欠定方程组.
squ are ；解可以存在或不存在
ov erdetermin ed ；解可以存在或不存在
un derdetermined ；无解或有无穷解
n on sin gu lar 独立方程的个数等于变量的个数且行列式非零；存在唯一解
con sisten t 至少存在一个解
in con sisten t 无解
由长方形矩阵所表示的线性方程组的类别.
需要注意的是，即使能够通过计算逆矩阵继而求解矩阵方程，这种方法并不值得推荐. 用户应该使用一种专门设计的函数来直接求解线性方程组，在Mathematica中，这由LinearSolve所提供.
LinearSolve[m,b] 求解矩阵方程得到的向量x
LinearSolve[m] 可重复应用在不同b的一个函数
通过LinearSolve求解线性方程组.
这里使用LinearSolve来求解一个矩阵方程.
In[1]:=
Out[3]=
该解可以进行测试，以证明它解决了问题.
In[4]:=
Out[4]=
您可以随时从输入矩阵中生成线性方程组.
In[5]:=
Out[5]=
然后应用Solve找到解.
In[6]:=
Out[6]=
LinearSolve对于矩阵方程右首也是一个矩阵方程的情形同样有效.
In[7]:=
Out[9]=
In[10]:=
Out[10]=
对于超定系统，如果有解存在的话，LinearSolve将得到一个解.
In[11]:=
In[13]:=
Out[13]=
如果找不到解，则方程组不一致. 这时，找到最适合的解仍可能是有用的. 这通常用最小二乘技术完成，这将在"最小二乘解" 中探讨.
如果方程组欠定，则可能无解或者有无穷多的解，这时LinearSolve将返回一个.
In[14]:=
In[16]:=
Out[16]=
当且仅当矩阵与其增广矩阵（即在矩阵的右边添上一列所构成的矩阵）的秩相等时，该方程组是相容的. 下面的例子证明了先前的方程组是相容的.
In[17]:=
Out[17]=
LinearSolve可用于Mathematica所支持的各种不同类型的矩阵，包括符号式、精确数值式、机器数值以及任意精度数所组成的各种矩阵. 它也可应用于密集与稀疏矩阵. 当稀疏矩阵用于LinearSolve 时，将采用适用于稀疏矩阵的专用技术，并且结果是解集向量.
In[18]:=
Out[20]=
选项名称默认值
Method Automatic求解所用的方法
Modulus0 取方程作为模n
ZeroTest(#=0&) 用于零值测试符号法的函数
LinearSolve的选项.
LinearSolve有三种选项允许用户进行更多控制. 选项Modulus和ZeroTest用于符号技术，在"
符号和精确矩阵"一节中讨论. 如果已知某些方法适用于某个具体问题，选项Method允许用户从这些方法中做出选择. 默认设置Automatic表示LinearSolve根据输入选择方法.
奇异矩阵
不存在逆矩阵的矩阵称为奇异矩阵. 测试奇异性的一种方式是计算行列式；如果是奇异矩阵，则行列式为零. 例如下面的矩阵是奇异的.
In[1]:=
Out[2]=
对于许多右端无解.
In[3]:=
Out[4]=
然而对于某些值解存在.
In[5]:=
Out[6]=
在第一个例子中，的秩不等于增广矩阵的秩. 这进一步证实了方程组不相容，不能用LinearSolve求解.
In[7]:=
Out[7]=
在第二个例子中，的秩等于增广矩阵的秩. 这进一步证实了方程组相容，可以通过LinearSolve求解.
In[8]:=
Out[8]=
对于无法找到解的情形，找到一个最适合的解仍是有可能的. 关于最适合的解的一种重要类别涉及到最小二乘解，这将在"最小二乘解"中讨论.
齐次方程
其次矩阵方程的右端是零.
如果矩阵是奇异的，这个方程有一个非零解. 可以通过计算行列式来测试一个矩阵是否奇异.
In[1]:=
Out[2]=
可以使用函数NullSpace得到齐次方程的解. 这将返回一个正交向量组，每个向量都是齐次方程的解. 在接下来的例子中，只有一个向量.
In[3]:=
Out[3]=
这里说明该解实际上解出了齐次方程.
In[4]:=
Out[4]=
函数Chop可用于替换接近0的近似数.
In[5]:=
Out[5]=
该齐次方程的解可以构成非齐次方程的无穷多个解. 这里解出了一个非齐次方程.
In[6]:=
Out[7]=
该解实际上就是方程的解.
In[8]:=
Out[8]=
如果在上增加一个任意因数与齐次方程的解的乘积，新的向量也是该矩阵方程的解.
In[9]:=
Out[9]=
准确性的估计和计算
对线性方程组解的准确性进行量化的一个重要途径是计算条件数. 对于一个适当的范数选取，它的定义如下.
对于矩阵方程，可以证明的相对误差是乘以和的相对误差. 因此，条件数使解的准确性得到量化. 如果一个矩阵的条件数很大，该矩阵被称作"病态的". 从病态矩阵中是不能期望得到一个好的解的. 对于某些过于病态的方程组，得到任何解都是不可能的.
在Mathematica中，条件数的近似值可以通过函数
计算得到.
LinearAlgebra`MatrixConditionNumber[mat]
近似数值矩阵的无穷范数近似条件数
LinearAlgebra`MatrixConditionNumber[mat,Norm->p]
一个矩阵的p-范数近似条件数，其中p的值可以为1、2 或
这里计算得到一个矩阵的条件数.
In[1]:=
Out[2]=
该矩阵是奇异的，其条件数为.
In[3]:=
Out[4]=
这个矩阵的条件数很大，被称为"病态的".
In[5]:=
Out[6]=
如果一个矩阵与自身相乘，条件数增加.
In[7]:=
Out[8]=
如果求解的矩阵方程涉及到一个病态矩阵，结果可能不准确.
In[9]:=
Out[11]=
对于矩阵，这个解的准确性较低.
In[12]:=
Out[13]=
对付这类问题的方法是避免构建可能病态的矩阵，例如避免将矩阵与其自身相乘. 求解这类问题的另外一种方法是使用Mathematica中的任意精度计算；这将在"任意精度矩阵"中讨论.
In[14]:=
Out[16]=
符号和精确矩阵
LinearSolve适用于可在Mathematica 中表示的各种不同类型的矩阵. 有关于此的更多细节将在"矩阵类型"中介绍.
这里是一个关于纯符号矩阵的例子.
In[1]:=
Out[2]//MatrixForm=
In[3]:=
Out[4]=
初始矩阵可以与解相乘.
In[5]:=
Out[5]=
相乘的结果需要通过Simplify进行某些后处理以达到期望值. 这表明了在线性代数符号计算中进行中间处理的需要. 如果不加考虑，这些中间结果可以变得非常大，使计算运行缓慢.
In[6]:=
Out[6]=
为了简化中间表达式，ZeroTest选项可能派上用场.
LinearSolve也可用于求解精确问题.
In[7]:=
Out[8]//MatrixForm=
In[9]:=
Out[10]=
In[11]:=
Out[11]=
有许多专用于符号和精确计算的方法：，以
及. 这些将在"符号方法"一节中讨论.
行变换
行变换涉及到将多个行相加尽可能得到0元素. 最终得到的矩阵将是前面所介绍的简化行阶梯矩阵. 如果输入矩阵是非奇异方阵，结果将是一个单位矩阵.
In[1]:=
Out[1]=
这可以作为求解方程组的一种方法.
In[2]:=
Out[2]=
它可以与使用LinearSolve得到的结果进行比较.
In[3]:=
Out[3]=
因式分解的保存
线性方程组的许多应用涉及到同一矩阵、但不同的方程右端，因此常常要将因式分解保存以用于解决重复性问题. 在Mathema tica 中，这通过使用LinearSolve的单参数形式实现；这将返回一个泛函，用户可以将其应用到不同的向量得到相应的解.
In[1]:=
Out[2]=
当用户能够应用LinearSolveFunction到一个特定的右端时，即得到了解.
In[3]:=
Out[4]=
这里解出了矩阵方程.
In[5]:=
Out[5]=
不同的右端产生不同的解.
In[6]:=
Out[7]=
新的解解出了矩阵方程.
In[8]:=
Out[8]=
LinearSolve的单参数形式与双参数形式的运行方式完全等价. 例如，它应用于输入矩阵的同一范围，返回符号式、精确或稀疏矩阵输入的预期结果. 它所接受的选项也相同.
单参数形式的一个问题是，对于一定的输入矩阵，其因式分解无法保存. 例如，对于超定方程组，精确解并不一定存在. 这种情况下，将生成一个警告信息，提示用户因式分解将在泛函每次
应用于一个特定的右端时进行重复.
In[9]:=
Out[10]=
对于这个右端存在解，其返回如下.
In[11]:=
Out[12]=
然而，对于这个右端不存在解，将出现一个错误信息.
In[13]:=
Out[14]=
方法
LinearSolve提供了不同的技术来求解针对与具体问题的矩阵方程. 用户可以使用选项Method对这些技术做出选择. 在这种方式下，提供了一个统一的接口，通向Mathematica所提供的用于求解矩阵方程的全部功能.
选项Method的默认设置是Automatic，这表示该方程组将对所用的方法进行自动选择. 对于LinearSolve，如果输入矩阵是数值型稠密矩阵，则将采用一种使用LAPACK 的方法的例行程序；如果输入矩阵是数值型稀疏矩阵，则采用直接多波前法求解程序. 如果矩阵是符号型的，则使用专门的符号式例行程序.
现在将详细介绍各种不同方法.
LAPACK
LAPACK 是求解密集数值矩阵的默认方法. 当矩阵为方阵且非奇异时，对于实数矩阵，例行程序是dgesv、dlange 以及dgecon，对于复数矩阵，例行程序是zgesv、zlange 以及 zgecon. 当矩阵非方阵或奇异时，对于实数矩阵将使用dgelss，对于复数矩阵，将使用zgelss. 关于LAPACK 的更多信息请见参考文献.
如果输入矩阵使用的是任意精度数值，则将采纳扩展至任意精度计算的LAPACK算法.
多波前法
当输入矩阵为稀疏矩阵时，多波前法是一种默认使用的直接求解程序；它的选定也可以通过指定一个方法选项来实现.
这里读入一个以Matrix Market 形式存储的样本稀疏矩阵. 关于矩阵导入的更多信息请见"稀疏矩阵的导入和导出"一节.
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
这里使用样本矩阵解出了矩阵方程.
In[3]:=
如果多波前法所涉及到的输入矩阵是稠密型的，它将被转化成稀疏矩阵.
多波前法的执行使用的是"UMFPACK"程序库.
Krylov
Krylov 法是一种迭代求解程序，适用于大型稀疏线性方程组，诸如出现在偏微分方程的数值求解的方程组等. Mathematica执行两种Krylov 方法：共轭梯度（适用于正定对称矩阵）和BiCGSTAB（适用于非对称方程组）. 使用适当的子选项对所用的方法以及一些其它参数进行设定是可能的.
选项名称默认值
MaxIterations Automatic迭代的最大数量
Method BiCGSTAB 求解所用的方法
Preconditioner None预调节器
ResidualNormFunction Automatic要最小化的范数
Tolerance Automatic使迭代终止所用的公差（tolerance）Krylov 法的子选项.
BiCGSTAB 作为Krylov 的默认方法，代价较高但适用性广. 共轭梯度方法适用于正定对称矩阵，总是收敛到一个解（尽管收敛可能会很慢）. 如果矩阵不是对称矩阵正定，共轭梯度可能不能收敛到一个解. 在这个例子中，矩阵不是对称正定矩阵，共轭梯度法不能收敛到一个解.
In[1]:=
Out[3]=
默认方法BiCGSTAB 收敛并返回解.
In[4]:=
Out[4]=
对刚才找到的解进行测试.
In[5]:=
Out[5]=
下面这个例子显示了Krylov 方法的优越性和预调节器的使用. 首先，定义了一个函数用于构建一个结构化的带状稀疏矩阵.
In[6]:=
这里展示了由这个函数生成的矩阵的结构.
In[7]:=
Out[7]=
这里通过一个10000×10000 矩阵建立了一个更大的方程组.
In[8]:=
这将使用默认的稀疏求解程序，一个多波前法直接求解程序.
In[11]:=
Out[11]=
Krylov 法速度较快.
In[12]:=
Out[12]=
ILU 预调节器的适用使速度更快. 目前，只有当矩阵有非零对角线元素时，预调节器才能发挥效用.
In[14]:
=
Out[14]=
当前只内置了ILU 预调节器. 但用户仍可以通过定义一个应用于输入矩阵的函数来自定义预调节器. 下面是一个关于求解对角矩阵的例子.
首先设定一个问题，并在不使用预调节器的情况下对该问题求解.
In[15]:=
Out[18]=
现在将使用一个预调节器函数；计算速度得到了显著提高.
In[19]:
=
Out[20]=
一般来说，一个问题不会如此构造，使之能够受益于这样一个简单的预调节器. 但是，这个例子的用意在于它显示了如何创建和使用自定义的预调节器.
如果Krylov 方法的输入矩阵是密集的，仍能得到这个结果，原因在于该方法基于的是矩阵/向量乘法. Krylov 方法可用于求解对于直接求解程序来说过大的方程组. 然而，这不是通用的一般求解程序，主要适合于求解有某种形式的对角优势的问题.
Cholesky
Cholesky 方法适用于求解对称正定方程组.
In[1]:=
Out[1]=
In[2]:=
In[3]:=
Out[3]=
对于这个矩阵来说，Cholesky 方法较快.
In[3]:=
Out[3]=
同时，Cholesky 方法更稳定. 这可以通过下面的矩阵说明.
In[4]:=
对于这个矩阵，默认的LU 方法生成一个潜在错误的报告.
In[7]:=
Out[7]=
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。
50Mathematica线性代数运算命令与例题
第五章 线性代数运算命令与例题 线性代数中常用的工具是矩阵(向量)和行列式。用这些工具可以表示工程技术，经济工作中一些需要用若干个数量从整体上反映其数量关系的问题。用这些工具可以简明凝练而准确地把所要研究的问题描述出来，以提高研究的效率。在线性代数课程中我们看到了用这些工具研究齐次和非齐次线性方程组解的理论和解的结构，矩阵的对角化，二次型化标准形等问题的有力，便捷. 5.1向量与矩阵的定义 数学上矩阵是这样定义的: 由n m ?个数排成m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a Λ M M M Λ Λ21 2222111211 称为m 行n 列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。
记作: ????? ?? ?????=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛM M M ΛΛ2122221 11211 两个n m ?矩阵称为同型矩阵。 线性代数中的运算对象是向量和矩阵，因此首先介绍向量和矩阵的输入。 5.1.1输入一个矩阵 命令形式1:Table[f[i,j]，{i ，m}，{j ，n}] 功能: 输入n m ?矩阵，其中f 是关于i 和j 的函数，给出[i ， j]项的值. 命令形式2:直接用表的形式来输入 功能:用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。 注意: 1.Mathematica 是采用一个二重表的形式来表示矩阵的，即用 {{…},{…},…,{…}} 其中表中的每个表元素都是等长的一维表，第一
个表元素是矩阵的第一行，第二个表元素是矩阵的第二行，一般，第n 个表元素是矩阵的第n 行。要看通常的矩阵形式可以用命令: MatrixForm[%] 2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为 Table[f[j]，{j,n}]或直接输入一个一维表{a1,a2,…,an}，这里a1,a2,…,an 是数或字母。 例题 例 1.输入矩阵A=???? ??????---41381639121458561203 12、向量 b={1,4,7,-3}。 解:Mathematica 命令 In[1]:= a={{12，-3，0，2，1}，{56，-8，-45，21，91}，{3，6，81，13，4}} Out[1]:= {{12，-3，0，2，1}，{56，-8，-45，21，91}，{3，6，81，13，4}} In[2]:=b={1, 4, 7, -3} Out[2]:= {1, 4, 7, -3}
考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;
(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量
线性代数基本定理一、矩阵的运算 1.不可逆矩阵的运算不满足消去律AB=O,A 也可以不等于 O 11-1-1?è???÷1-1-11?è???÷=0000?è?? ? ÷ 2.矩阵不可交换 (A+B)2=A 2+AB+BA+B 2 (AB)k =ABABABAB ...A B 3.常被忽略的矩阵运算规则 (A+B)T =A T +B T (l A)T =l A T
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算 (diag(a 1,a 2 ,...,a n ))-1=diag( 1 a 1 , 1 a 2 ,..., 1 a n ) (kA)-1=1 k A-1 方法 1.特殊矩阵的乘法 A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且： B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵2.矩阵等价的判断 A@B?R(A)=R(B) 任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换如：m*n 的矩阵，左乘 m 阶为行变换，右乘 n 阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆如：A 2 -A-2I =O ，证明(A+2I)可逆。把2I 项挪到等式右边，左边凑出含有 A+2I 的一个多项式， 在确保A 平方项与 A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I 项多加或少加了几个。5.矩阵的分块进行计算加法：分块方法完全相同 矩阵乘法（以A*B 为例）：A 的列的分法要与B 行的分法一 致，如： 如红线所示：左边矩阵列分块在第 2列与第3列之间，那么，右边矩阵分 块在第二行与第三行之间 1-1003-1000100002-1 é? êêêêù?úúúú1000-1000013-1021 4 é? ê êêêù? úúúú
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 0010020010000 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算 例2 一个n 阶行列式 n ij D a =的元素满足 ,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i i a a =-，即 0,1,2, ,ii a i n ==
故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式 若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。 因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。 例3 计算n 阶行列式 a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，
特殊行列式及行列式计算方法总结 一、 几类特殊行列式 1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式 111121 12,1221222,11,21,1 1,1 12 ,1 (1)2 12,1 1 000000000000000 00 (1) n n n n n n n n n n n nn n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------= ==- 3. 分块行列式（教材P14例10） 一般化结果： 00n n m n n m n m m n m m n m A C A A B B C B ????==? 0(1)0n m n n m n mn n m m m n m m n A C A A B B C B ????==-? 4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！ 以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算 二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】 1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式； 2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；
3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降 阶进行计算——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算； 4) 递推法或数学归纳法； 5) 升阶法（又称加边法） 【常见的化简行列式的方法】 1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式 例1 （2001年考研题） 0001000200019990002000000 002001 D = 分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。 解法一：定义法 (1,2,...,2,1,)012...19990(1)2001!(1)2001!2001!n n n D τ--+++++=-=-= 解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n -1,n -2,…,2,1行交换（这里n =2001），即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。 2001(20011) 20011 20011 2 000020010 001000200(1) (1) (1)2001!2001!019990002000 00 D ?---=- =--=
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法，并举例说明。 1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式 00100 20010000 n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---= . 该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于 (1)(2) 2 n n --，故 (1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足 ,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j a a =-知i i i a a =-，即 0,1,2,,ii a i n == 故行列式D n 可表示为 1213112 23213 2331230000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A ' = 1213112 23213 2331230000n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112 23213 23312300(1)00 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =- 当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
习题1—1 全排列及行列式的定义 1． 计算三阶行列式123 4 56789 。 2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。 3． 利用行列式的定义计算下列行列式： ⑴0 004003002001 0004 D
⑵0 0000000052 51 42413231 2524232221 151********a a a a a a a a a a a a a a a a D = ⑶0 001 0000 200 0010 n n D n -= 4． 利用行列式的定义计算210111()0211 1 1 x x x f x x x -= 中34 , x x 的系数。
习题1—2 行列式的性质 1． 计算下列各行列式的值： ⑴ 2141 012112025 62 - ⑵ef cf bf de cd bd ae ac ab --- ⑶ 2 2 2 2 2 2 2 2 22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a
2． 在n 阶行列式nn n n n n a a a a a a a a a D 2 1 222 2111211 = 中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij =-=， 证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值： ⑴x a a a x a a a x D n = ⑵n n a a a D +++= 11 1 1 1111121 ()120n a a a ≠
111 第5章 线性代数的基本运算 本章学习的主要目的： 1 复习线性代数中有关行列式、矩阵、矩阵初等变换、向量的线性相关性、线性方程组的求解、相似矩阵及二次型的相关知识. 2学会用MatLab 软件进行行列式的计算、矩阵的基本运算、矩阵初等变换、向量的线性相关性的判别、线性方程组的求解、二次型化标准形的运算. 5.1 行列式 5.1.1 n 阶行列式定义 由2n 个元素),,2,1,(n j i a ij 组成的记号 D=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶行列式.其值是所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n np 2p 21p 1a a a 的代数和,各项的符号由n 级排列n p p p 21决定,即
112 D= ∑ -n p p p n p p p 21n np 2 p 21 p 1) 21( a a a )1(τ, 其中 ∑n p p p 21表示对所有n 级排列求和, ) ,,,(21n p p p τ是排列 n p p p 21的逆序数. 5.1.2 行列式的性质 (1) 行列式与它的转置行列式相等. (2) 互换行列式的两行(列),行列式变号. (3) 若行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零. (4) 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k 乘此行列式. (5) 若行列式有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. (6) 若行列式的某一列(行)的元素是两数的和,则此行列式等 于对应两个行列式之和.即 nn n n ni n n i i nn n n ni n n i i nn n n ni ni n n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 21'2 1 '22221 '11211212 1 22221 112 1121'2 1 '222221'111211+ =+++ (7) 若行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行列式不变.
线性代数之行列式的性质及计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列，得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即
111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 11121112212 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=L L L L L L L L L L L 1112112 12 n i i in n n nn a a a a a a a a a +L L L L L L L L L L L 111211212 n i i in n n nn a a a b b b a a a L L L L L L L L L L L . 证: 由行列式定义 1212()12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑L L L 12121212()()1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑L L L L L L 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 111211212 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=L L L L L L L L L L L 11121112212 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++L L L L L L L L L L L 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值．
第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；
1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1 D ，则(1)2 1 (1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3 D ，则3 D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式 ： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子 式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-；
②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11 ** ()() ()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若 12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、1 2s A A A A = ；
线性代数基本计算 一. 行列式 1. 计算排列的逆序数； 2. 计算行列式的一行（列）元素的代数余子式及余子式之和； 3. 计算行列式??? 化为三角形行列式计算 利用行列式展开定理计算 二. 矩阵 1. 计算矩阵的乘积； 2. 计算方阵的方幂； 3. 判断方阵的可逆性 () ()||0()0ij n n A a A B E BA E A r A n A Ax ?=?==?≠?=??=可逆 的列（行）向量组线性无关齐次线性方程组只有零解 4. 求可逆方阵的逆阵1 11||(,)(,)A A A A E E A -*-?=?? ? ??? 公式法:初等行变换初等变换法： 5. 解矩阵方程 1,||0,(,)(,)AX B A X A B A B E X -=≠?=????→初等行变换
1 ,||0, (,)(,)T T T XA B A X BA A E A B E X B X -=≠?=???? ????→????→ ? ????? 初等行变换 初等列变换或 6. 计算矩阵的秩 ()A A r A A ????→?=初等行变换 阶梯形矩阵的非零行数 三. 线性方程组 1.判断线性方程组是否有解，确定解的个数 (1)()()Ax r A r A β=?=有解， r n r n =?
行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.
阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i 线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 011102120 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 111111 1 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 12 11 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法 2 011102120 n n n D n n --= -- 1 1,2,,111111112 i i r r i n n n +-=----=-- 12,,100120123 1 j c c j n n n n +=---= --- = 12 (1)2 (1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2 前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 111 1n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =1 11n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 第二节 行列式的性质与计算 § 行列式的性质 考虑111212122212 n n n n nn a a a a a a D a a a = 将它的行依次变为相应的列，得 112111222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.（T D D =） 事实上，若记1112 12122212 n n T n n nn b b b b b b D b b b = 则(,1,2, ,)ij ji b a i j n == 12 12 () 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑12 12() 12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑ 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?)，行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行（列）完全相同，则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数k ，等于数k 乘以此行列式，即 111211112 11212 1 2 12 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面； (2) D 中某一行(列)所有元素为零，则0D =； 性质4: 行列式中如果有两行(列)元素对应成比例, 则此行列式等于零． 性质5: 若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即 1112111221 2 n i i i i in in n n nn a a a a b a b a b a a a +++=1112112 12n i i in n n nn a a a a a a a a a +1112112 12 n i i in n n nn a a a b b b a a a . 证: 由行列式定义 12 12() 12(1)()n i i n p p p p p ip ip np D a a a b a τ=-+∑ 12 12 12 12() () 1212(1)(1).n n i n i n p p p p p p p p ip np p p ip np a a a a a a b a ττ=-+-∑∑ 性质6 行列式D 的某一行（列）的各元素都乘以同一数k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变()i j r kr D D +=，即 11121121 2 i j n r kr i i in n n nn a a a a a a a a a +=1112111221 2 n i j i j in jn n n nn a a a a ka a ka a ka a a a +++ 计算行列式常用方法: 利用性质2,3,6, 特别是性质6把行列式化为上(下)三角形行列式, 从而, 较容易的计算行列式的值． 例1: 计算行列式 2 324311112321311 (1)(2) 323 4 11310 4 25 1113 D --= -线性代数行列式经典例题
线性代数之行列式的性质及计算
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