浅析动点到两个定点的距离之和（差）的最值
一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值．
例1（1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；
（2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．
解析：（1）如图1，当点P在x轴上运动时，PA+PB?AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)
∴(PA+PB)min =AB=
此时，点P的坐标为
（2）如图2，当点P在x轴上运动时，PB- PA =AB(当且仅当A，P，B三点共线时等号成立)
∴(PB-PA)max =AB=
此时，点P的坐标为
变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P是x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为，此时点P的坐标为；
解析：（1）如图3，作点B关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有PB=PBˊ
当点P在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成
立)∴(PA+PB)min =AB?=此时，点P的坐标为
（2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P是x轴上任意一点，则PB-PA的最大值为，此时点P的坐标为．
解析：（2）如图4，作点B关于x轴的对称点Bˊ，则有PB=PBˊ
当点P在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ
(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)
∴(PB-PA)max =ABˊ=
此时，点P的坐标为
归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值；
②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值．
若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法．
例2函数的值域为．
解析：将函数进行化简得：
即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例1可知：
该值域为
二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值．
（一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解．
例3（1）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA-MB的范围是；
解析：(1)如图5，在?MAB中有MA-MB
综上所述：-AB≦MA-MB≦AB
（2）已知A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆上的动点，则MA+MB的最大值是．
解析：(2) 如图6，因为点A恰为椭圆的右焦点，所以由椭圆的定义可得MA+MB=10-MF+MB（F为椭圆的左焦点），同（1）可得MB-MF﹦BF(当且仅当点M位于
点M4处时，等号成立)所以(MA+MB)max =(10-MF+MB)max=10+BF=10+
点评：因为点A，B都在椭圆的内部（即两定点都在曲线的同侧），故可直接求出动点M到两定点A，B的距离之差的最值；若要求动点M到两定点A，B的距离之和的最值（其中A恰为焦点），需要利用椭圆的定义转化为动点M到两定点F，B的距离之差的最值（点F为另一焦点）．
例4(1)已知F是双曲线的左焦点，A(4，1)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF的最小值为；
解析：(1)如图7，在 PAB中有PA+PF>AB，当P，A，F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PF=AF，
所以(PA+PF)min=AF=．
(2)已知F是双曲线的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PA+PF 的最小值为．
解析：(2)如图8，设F2是双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得PA+PF=PA+2a+PF2=8+ PA+PF2=8+AF2(当P，A，F2三点共线即点P位于P2处时等号成立)，
所以(PA+PF)min=8+AF2=13．
点评：本题需要特别关注点与双曲线的位置关系，两定点一定要在动点的轨迹（曲线）的异侧．
（二）利用圆锥曲线的统一定义将圆锥曲线上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离进行互化后进行求解．
例5（1）已知点A(2，2)，F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，则
PF+PA的最小值是，此时，点的坐标为；
解析：如图9，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，
即(当且仅当A，P，Pˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)
此时点P的坐标为P(，2).
（2）已知点A(5，2)，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上的动点，则PF+PA 的最小值是，此时点的坐标为．
解析：如图10，设点P到右准线的距离为PP ，由圆锥曲线的统一定义可知，
即(当且仅当A，P，P ˊ三点共线，即点P位于点P1处时取等号)
此时点P的坐标为P(，2)
点评：此类最显著的特征是动点与焦点距离前有系数，可以利用圆锥曲线的统一定义将动点到焦点的距离转化为到相应准线的距离．
例6（1）抛物线的焦点为F，A(4，-2)为一定点，在抛物线上找一点M，当MA+MF为最小值时，点M的坐标为；
解析：如图11，为抛物线的准线，MMˊ为点M到准线的距离．利用抛物线的定义：
MF=MMˊ，可得MA+MF= MA+MMˊ﹦AMˊ（当且仅当A，M，Mˊ三点共线时等号成立，即当点M在Mˊ处时等号成立）
此时点M的坐标为M(，-2)
（2）P为抛物线上任一点，A(3，4)为一定点，过P作PPˊ垂直y轴于点P ˊ，则AP+ PPˊ的最小值为．
解析：如图12，延长PPˊ交抛物线的准线于点P′′，
由抛物线的定义：PP′=PF，所以AP+ PP′= AP+ PP′′-1= AP+PF-1 AF-1(当且仅当A，P，F三点共线时等号成立，即当点P位于P1处时等号成立)
点评：本题需要注意两点：①定点所在位置是抛物线的内部还是外部；②利用抛物线的定义将动点（在抛物线上）到焦点与到准线的距离进行互化．
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． 25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长． 25．如图，在 半径为5的⊙O 中，点 A 、 B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点 C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点 D ，设AC=x ，BD=y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径； （3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由． A B E F C D O A B E F C D O A B C P E M 第25题图1 D A B C M 第25题图2 N
圆中动点问题 一、选择题 【题1】如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确 ．．．的是（ C ） A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。 B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。 C、当PO⊥AC时，∠ACP=300. D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形 【答案】 【题2】如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ）
A.等于42 B.等于43 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化 【答案】分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OD：OA，即（r+x）：1=9：（r﹣x），求出r2﹣x2=9，根据垂径定理和勾股定理可求出答案． 解答：解：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x， ∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1， ∵AB是直径，∴∠APB=90°，∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°， ∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB，∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA， ∴OC OD OB OA =，即 9 1 r x r x + = - 解得：r2﹣x2=9， 由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9， 即OE=OF=3，∴EF=2OE=6，故选C． 【题3】如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是0.5cm 【答案】解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D． 【题4】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是d＞5cm或2cm≤d＜3cm．
2.如图7，梯形中，，，, ，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． 1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；（全等） 2）试用表示，并写出的取值范围；（相似） 3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+ 相似） 答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 于点，则有： 在中，有 在中， 解得： 2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又与关于对称， 3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为
则有，过点作， 连接，得 解得：（舍去） 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t>0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与
【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明， （2）分两种情况①当t>1 时，点E在y轴的负半轴上，0 动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分 （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值最大值是多少 （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A P Q B y C O x A 备用图 B y C O x A 备用图 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1 个单位的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单位的速度向点D运动，连结MN，设运动时 间为t（s）． （1）当t为何值时，MN∥BC （2）当点N在CD边上运动时，设MN与BD相交于点P，求证： 点P的位置固定不变； （3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得 MN与半圆O相切若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若 不存在，请说明理由．A C B D M N 3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从A点 出发，沿AC向点C移动，同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点 到达终点时，它们都停止移动，设移动的时间为t秒． ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC 求出t的值． C 中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D． 1．C 考点二：动态几何型题目 与圆有关的动点问题 G D M D C 0 6 B (1)求/ APC 与Z ACD 的度数 ⑶OD 动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周 Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点E S A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M 2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐 ⑴求证：OD 与边BC 也相切 向左移动正 M , N 分别是边BC , AD ⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二) (2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上. 过点B 作的一条切线BE , E 为切点. 如图1,当点A 在。O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由 1、如图,?O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧 O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C 團2 与AB 、 过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 A B 点(不与A. C 重合) F D C ( F 图1 4、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时 DFC / 图3 BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° ° AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H . t 7』 B\ / 1 2014 年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题 1、如图，⊙O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点 C 作⊙O 的切线 DC ，P 点为优弧 CBA 上一动点（不与 A ．C 重合）． （1） 求∠APC 与∠ACD 的度数； （2） 当点 P 移动到 CB 弧的中点时，求证：四边形 OBPC 是菱形． （3）P 点移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等，请说明理由． 2、如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P ， AC= 1 2 AB ，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A 、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点． （1） 如图 1，求证：△PCD ∽△ABC ； （2） 当点 P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图 2 中画出△PCD 并说明理由； （3） 如图 3，当点 P 运动到 CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数． 3、如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 D、E． （1）当BC=1 时，求线段 OD 的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在， 请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为 y，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域． 4、如图，菱形ABCD 的边长为2cm，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运 动．当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动．设点 P 运动的时间为 ts． （1）当P 异于A．C 时，请说明PQ∥BC； （2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P与 边BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ 与圆有关的动点问题的教学设计 一、教学内容分析 与圆有关的动点问题是动态问题中的一类问题，它以圆为载体，主要研究几何图形在点的运动中的位置关系和数量关系；它集几何、代数知识于一体，是数形结合的完美表现，具有较强的综合性、灵活性和多样性。而做这种题就是要抓住图形运动的本质规律，用“静态”的方法来分解图形的运动的过程，用静态的方法来研究运动当中的变与不变的函数关系，把复杂的运动过程化为简单的数学问题。复习时，除了深刻理解图形的基本性质外，还必须注重数形结合、转化等数学思想方法的学习，努力发展空间观念，切实提高分析解决问题的能力。 二、学情分析 九年级的学生已经具备了抽象、概括和分析问题解决问题的能力，通过合作交流、共同探讨，形成了一定的探究能力，此年龄段的学生独立意识、表现欲望较为强烈，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志。因此在课程内容的安排中创设了一些具有一定难度的问题，加强学生在学习过程中自主探索与合作交流的紧密结合，鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，从中获得成功的体验，激发学习热情。 三、教学目标： （1）知识与技能： 培养学生观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力。引导学生正确分析变量与其它量之间的内在联系，建立它们之间的关系，（2）过程与方法： 通过观察、动手操作培养学生发现问题、解决问题的能力；（3）情感、态度与价值观 让学生通过观察图形，探索动点运动的特点和规律的能力，培养学生数形结合的思想。 四、教学重难点： 重点：如何探索动点运动的特点和规律。 难点：如何探索动点运动的特点和规律。 五、教学方法分析 根据本专题的特点，为了较好的达成本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我采用教师启发引导，学生合作交流的方式来组织本节课的教学。同时利用Z Z动态演示图形的运动变化过程，化抽象为直观，采取动中觅静、动静互化、以动制动的策略来帮助学生寻找图形中的基本关系，突破难点。 六、教学策略与手段： 新教材倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以 2.如图7，梯形中，，，,，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． （1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等) （2）试用表示，并写出的取值范围；（相似） （3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又 又与关于对称， （3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为 则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ① ② ③ 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y 轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的 值；若不存在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似） 【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明， （2）分两种情况①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，0＜t≤1时，点E在y轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解， （3）分两种情况，当1＜t＜2时，当t＞2时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t． 【解答】： 证明：（1）如图，连接PM，PN， ∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN， ∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE， 在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA）， ∴PE=PF， （2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图， 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a， ②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上， 同理可证△PMF≌△PNE， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a， （3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时， ∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称， ∴F′（1﹣t，0） ∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t， 由（1）得△PMF≌△PNE [来源:学,科,网] ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1 【思考 1】已知：如图（ 1），射线AM //射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在 AM 、BN 上运动（点 D 与点 A 不重合、点 C 与点 B 不重合）， E 是 AB 边上的动点（点 E 与 A 、 B 不重合），在运动过程中始终保持 DE EC ，且 AD DE AB a ． （ 1）求证：ADE ∽ BEC ； （ 2）如图（ 2），当点E为AB边的中点时，求证：AD BC CD； （ 3）设AE m ，请探究： BEC 的周长是否与m值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC 的周长；若无关，请说明理由． 第 25题（1）第25题（2） 【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很 自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一类关 系当中，看是否为定值，如果是关于 M 的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结 论了。 【思考 2】△ABC是等边三角形，P 为平面内的一个动点，BP=BA，若 0 ＜∠ PBC＜180°，且∠ PBC平分线上的一点D满足 DB=DA， （ 1）当BP与BA重合时（如图1），∠BPD=°； （2）当BP在∠ABC的内部时（如图 2），求∠BPD的度数； （3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数，并画出相应的图形． 【思路分析】本题中，和动点 P 相关的动量有∠PBC，以及 D 点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA，从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P 点的轨迹就是以 B 为圆心， BA 为半径的一个圆，那 D 点是什么呢？留给大家思考一下~ 【思考 3】如图：已知，四边形ABCD中， AD//BC， DC⊥ BC，已知 AB=5， BC=6， cosB= 3．5 点 O为 BC边上的一个动点，连结 OD，以 O为圆心， BO为半径的⊙O 分别交边 AB 于点 P，交线段 OD于点 M，交射线BC于点 N，连结 MN． （ 1）当 BO=AD时，求 BP 的长； （ 2）点 O运动的过程中，是否存在 BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时 BP=MN；若不存在，请说明理 与圆有关得动点问题 1、如图，⊙O得直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O得切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD得度数； （2）当点P移动到CB弧得中点时，求证：四边形OBPC就是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心得⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分得面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3 S△MDF时，求动点M 经过得弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm得与⊙O边长为2cm得正方形ABCD在水平直线l得同侧， ⊙O与l相切于点F，DC在l上． （1）过点B作得一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA得度数就是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA得长； （2）以正方形ABCD得边AD与OF重合得位置为初始位置，向左移动正 方形（图3），至边BC与OF重合时结束移动，M，N分别就是边BC，AD 与⊙O得公共点，求扇形MON得面积得范围． 4、如图，Rt△ABC得内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径得长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x得函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应得y值． 圆中的动态问题 【方法点拨】 圆中的动态问题实际是圆的分类讨论问题，做这种题型重要的是如何将动点转化为固定的点，从而将题型变为分类讨论 【典型例题】 题型一：圆中的折叠问题 例题一 （2012江西南昌12分）已知，纸片⊙O 的半径为2，如图1，沿弦AB 折叠操作． （1）①折叠后的AB 所在圆的圆心为O ′时，求O ′A 的长度； ②如图2，当折叠后的AB 经过圆心为O 时，求AOB 的长度； ③如图3，当弦AB =2时，求圆心O 到弦AB 的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O 沿弦CD 折叠操作． ①如图4，当AB ∥CD ，折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，设点O 到弦AB ．CD 的距离之和为d ，求d 的值； ②如图5，当AB 与CD 不平行，折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时，设点M 为AB 的中点，点N 为CD 的中点，试探究四边形OMPN 的形状，并证明你的结论． 【答案】解：（1）①折叠后的AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，∴O ′A =OA =2。 ②当AB 经过圆O 时，折叠后的AB 所在圆O ′在⊙O 上，如图2所示，连 接O ′A ．OA ．O ′B ，OB ，OO ′。 ∵△OO ′A ，△OO ′B 为等边三角形， ∴∠AO ′B =∠AO ′O +∠BO ′O =60°+60°=120°。 ∴AOB 的长度120241803 ππ ??= = 。 ③如图3所示，连接OA ，OB ， ∵OA =OB =AB =2， ∴△AOB 为等边三角形。 过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE =OA ?sin 60°=3。 （2）①如图4，当折叠后的AB 与CD 所在圆外切于点P 时， 过点O 作EF ⊥AB 交AB 于点H 、交A E B 于点E ， 交CD 于点G 、交C F D 于点F ，即点E 、H 、P 、O 、G 、F 在直径EF 上。 ∵AB ∥CD ，∴EF 垂直平分AB 和CD 。 根据垂径定理及折叠，可知PH = 12PE ，PG =1 2 PF 。 又∵EF =4，∴点O 到AB ．CD 的距离之和d 为： d =PH +PG = 12PE +12PF =1 2 （PE +PF ）=2。 ②如图5，当AB 与CD 不平行时，四边形是OMPN 平行四边形。证明如下： 设O ′，O ″为APB 和CPD 所在圆的圆心， ∵点O ′与点O 关于AB 对称，点O ″于点O 关于CD 对称， ∴点M 为的OO ′中点，点N 为OO ″的中点。 ∵折叠后的APB 与CPD 所在圆外切， ∴连心线O ′O ″必过切点P 。 ∵折叠后的APB 与CPD 所在圆与⊙O 是等圆， ∴O ′P =O ″P =2，∴PM = 12OO ″=ON ，PN =1 2 OO ′=OM ， ∴四边形OMPN 是平行四边形。 【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。 【分析】（1）①折叠后的AB 所在圆O ′与⊙O 是等圆，可得O ′A 的长度。 ②如图2，过点O 作OE ⊥AB 交⊙O 于点E ，连接OA ．OB ．AE 、BE ，可得△OAE 、△OBE 为等边三角 形，从而得到AOB 的圆心角，再根据弧长公式计算即可。 ③如图3，连接O ′A ．O ′B ，过点O ′作O ′E ⊥AB 于点E ，可得△AO ′B 为等边三角形，根据三角函数的知识 可求折叠后求AOB 所在圆的圆心O ′到弦AB 的距离。 （2）①如图4，AEB 与CFD 所在圆外切于点P 时，过点O 作EF ⊥AB 交AEB 于于点E ，交CFD 于点F ，根 据垂径定理及折叠，可求点O 到AB ．CD 的距离之和。 动点问题(与圆相关) 动点问题（与圆相关） 1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，BC ∥AO ，顶点O 在坐标原点，顶点A （4，0），顶点B （1，4）．动点P 从O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 的方向向A 运动；同时，动点Q 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一个也随之停止．设运动时间为t 秒． （1）当t 为何值时，PB 与AQ 互相平分？ （2）设△PAQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．当t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （3）在整个运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得以PQ 为直径的圆与y 轴相切？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由． B y C O x A 备用图备用图 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，动点M、N分别从点A、B同时出发，动点M沿AB边以每秒1个单位 的速度向点B运动，动点N沿BC→CD边以每秒3 2 个单 位的速度向点D运动，连结MN，设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，MN∥BC？ （2）当点N在CD边上运动时，设 MN与BD相交于点P，求证：点P的位置固定不变；A C B D M N （3）以AD为直径作半圆O，问：是否存在某一时刻t，使得MN与半圆O相切？若存在，求t的值，并判断此时△MON的形状；若不存在，请说明理由． 3（乌鲁木齐）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6米，BC＝8米，动点P以2米/ 沿AC向点C移动，同时，动点Q以1C 点出发，沿CB向点B Q 它们都停止移动，设移动的时间为t秒． （1）①当t＝2.5秒时，求△CPQ的面积； ②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式； （2）在P、Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值； （3）以P为圆心，PA为半径的圆与以Q为圆心，QC为半径的圆相切时， 求出t的值． 与圆有关的动点问题 1、如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧CBA上一动点（不与A．C重合）． （1）求∠APC与∠ACD的度数； （2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形． （3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由． 2、如图，在菱形ABCD中，AB＝23，∠A＝60o，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E． (1)求证：⊙D与边BC也相切； (2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留π)； (3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝3S△MDF时，求动点M 经过的弧长(结果保留π)． 3、半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC 在l上． （1）过点B作的一条切线BE，E为切点． ①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是； ②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长； （2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围． 4、如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H． （1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长； （2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式； （3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值． 5、如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C 重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E． （1）求证：OF∥BE； （2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； 1.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB32 =，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ADC的外接圆. （1）求BC的长；(特殊三角形) （2）求⊙O的半径.（垂径定理+圆周角+圆心角） 【解析】 ∴BC33 =+. （2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=3，∴AC=23. ∵∠D=∠ACB，∠B=∠B，∴△BAC∽△BCD. ∴AB AC CB CD =，即 3223 CD 33 = + . ∴DM=4. ∴⊙O的半径为2. 【考点】：1. 锐角三角函数定义；2.特殊角的三角函数值；3.相似三角形的判定和性质；4.圆周角定理；5.圆内接四边形的性质；6.含30度角直角三角形的性质；7.勾股定理. 2.如图7，梯形中，，，,，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． （1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；(全等) （2）试用表示，并写出的取值范围；（相似） （3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似）【答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又 又与关于对称， （3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为 则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ①②③ 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动， 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10 AB AC ==厘米，8 BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与 CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为 多少时，能够使BPD △与CQP △全等 （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从 点B同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P与 点Q第一次在ABC △的哪条边上相遇 2、直线 3 6 4 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O点出发， 同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为 每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ △的面积为S，求出S 与t之间的函数关系式； （3）当 48 5 S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点 O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标． B 3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P. （1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由； （2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形 4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式； （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值． 圆中的动点问题 教学目标： 【知识与技能】：1.复习圆的基本知识，包括圆的定义,垂经定理，圆 周角定理，切线定理。 2.运用圆的有关知识解决圆中的动点问题。 【过程与方法】：经历探究圆中的动点问题的解题过程，初步体会解 决动点问题的思考方法。 【情感、态度与价值观】：培养学生分类讨论的数学方法，以静制动 的解题策略。 教学重难点： 【重点】：圆中的动点问题的解决方法。 【难点】：分类讨论的数学方法的运用。 教与学互动设计： （一）创设情境导入新课 1.欣赏下列图片 2. 复习圆的定义，与圆有关的角、线段。 （１）圆周角与圆心角的关系： （２）复习垂径定理： （３）切线，切线的性质与切线的判定： （二）合作交流解读探究 例1：已知：点A、B是⊙O上的两个定点，且∠AOB=70? （1）点P是⊙O上不与A、B重合的一个动点，∠APB的度数是 多少？讨论：采用了什么方法和技巧？ （∠APB=35?，145?） ①以静制动②分类讨论 （2）过点O分别作OC⊥PA，OD⊥PB垂足分别为C、D。连接CD，线段CD与AB的位置关系和数量关系会不会随点P的变化而改变， 请说明理由。 例2：已知：AB 为⊙O 的直径，点C 为直径AB 上的一个动点，过 C 作DE ⊥AB （1）连接OD ，作∠ODE 的角平分线交⊙O 于点P （如图2），请观察点P 的位置，你有什么发现吗？ （2）点M 为线段CD 上不同于C ，D 的一动点，作直线AM 交O 于N ，过N 点作O 的切线NG ，直线NG 与直线CD 交于点G ，请你通过观察测量判断?MNG （三） 总结反思 拓展升华 总结：主要数学知识圆的有关知识以及与圆有关的动点问题。 主要数学方法分类讨论与以静制动。 B B 圆的动点问题 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt△ ABC中，/ ACB90°, BC=6, AC=8,过点A作直线MNLAC点E是直线MNk的一个动点， （1）如图1,如果点E是射线AM上的一个动点（不与点A重合），联结CE交AB于点P.若AE为x , AP为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； ⑵在射线AM上是否存在一点E使以点E、A P组成的三角形与厶ABC相似，若存在求 AE的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2,过点B作BD丄MN垂足为D，以点C为圆心，若以AC为半径的O C与以ED 为半径的O E相切，求O E的半径. M D A 25.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的O O 中， 点C 是以AB 为直径的半圆的中点， ODLAC ,垂足为D,点E 是射 线AB 上的任意一点，DF / AB, DF 与 CE 相交于点F ,设EF= x , DF= y . 如图1,当点E 在射线0B 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； 如图2,当点F 在O O 上时，求线段 DF 的长； 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与O (1) (2) (3) 0相切，求线段 DF 的长. E 25.如图，在半径为5的O O中，点A、B在O O上，/ AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点，AC 与OB的延长线相交于点D，设AC=x , BD=y . (1 )求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 如果O O i与O O相交于点A、C,且O O1与O O的圆心距为 2,当BD=-OB 时，求O O1 的半径; (3) 是否存在点C,使得△ DCBDOC ?如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由. A动点问题(与圆相关)
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