第 十三 章 能 量 法
一、选择题
1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ）。 A 应变能相同，自由端扭转角不同； B 应变能不同，自由端扭转角相同； C 应变能和自由端扭转角均相同； D 应变能和自由端扭转角均不同。
（图1）
2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面B 的转角为θ，若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。
A 不做功；
B 做正功；
C 做负功，其值为θM ；
D 做负功，其值为
θM 2
1
。 3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F 、M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三种为先加M ，后加F 。在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。 A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。
4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F 作用。若已知杆的拉压刚度为
EA ，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为
EA
Fl
μ，l 为杆件长
度。（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F 。） A 0； B EA
Fb
； C
EA Fb
μ； D 无法确定。
（图2） （图3）
二、计算题
1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA 相等。试求节点C 的水平位移。
解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。 由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。
(
)()
EA
a
P EA
Pa EA Pa P C 22222212
2
22++=?
可得出：()
EA
Pa
C 122+=
?
解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。 在点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示。
则C 点水平位移为：()
EA
Pa
C 122+=?
2．图示刚架，已知各段的拉压刚度均为EA ，抗弯刚度均为EI 。试求A 截面的铅直位移。
解：采用图乘法，如果不计轴向拉压，在A 点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图所示。
h Fl Fl l h Fl l l Fl EI A 233
1
3221+=??+??=
?
EA Fh
dx EA F dx EA N N dx EA N N h h BC BC l
AB AB AN
=--+=+=????20
2010)1)((0
故A 点总的铅直位移为：
EA
Fh
EI h Fl Fl A ++=?3323
3．试求图示悬臂梁B 截面的挠度和转角（梁的EI 为已知常数）。
B
解：应用图乘法，在B 点分别加单位力和单位力偶。它们的内力图如图所示。
??? ??-=??
? ??-??
=?4642
313
2
a l qa a l qa a EI B
6
12313
2qa qa a EI B =??=θ
4．图示刚架，已知EI 及EA 。试用莫尔积分法或图乘法计算B 截面的垂直位移w B 和转角θ
B 。
解：应用图乘法，如果不计轴向拉压，在B 点分别加单位力和单位力偶。它们的内力图如图所示。
852432314
22qa a a qa a qa a EI B =??+??=?
3
21212313
22qa a qa qa a EI B =??+?
?=θ
如果考虑轴向拉压，解法同第2题，略。
5．如图所示刚架受一对平衡力F 作用，已知各段的EI 相同且等于常量，试用图乘法求两端
A 、
B 间的相对转角。
Fa
B
A
Fa
Fa
1
1
解：应用图乘法，在A 、B 点加一对单位力偶。它们的内力图如图所示。
221212
1
Fa a Fa a Fa EI AB =??+???=
θ
6．图示刚架，已知各段的抗弯刚度均为EI 。试计算B 截面的水平位移和C 截面的转角。
P
A
Pl Pl-M
解：应用图乘法，在B 截面加一水平单位力，在C 截面加一单位力偶，它们的内力图如图所示。
()2331
232213221Ml Pl l l M Pl l l Pl l l Pl EI B -=??-+??+??=? ()()l M Pl l M Pl EI AB
-=??-=3
1
3221θ
第十三章能量法 一、选择题 1.一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（A ）。 M A 应变能相同，自由端扭转角不同； B 应变能不同，自由端扭转角相同； 2 M M C 应变能和自由端扭转角均相同； D 应变能和自由端扭转角均不同。—_a—一i—_a—一 （图1） 2?图2所示悬臂梁，当单独作用力F时，截面B的转角为θ,若先加力偶M,后加F,则在加F的过程中，力偶M （ C ）。 A 不做功； B 做正功； 1 C 做负功，其值为Md ； D 做负功，其值为一Mr。 2 3 ?图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F、M同时按比例施加；第二种 为先加F ,后加M;第三种为先加M ,后加F。在线弹性范围内，它们的变形能应为（D ）。 A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。 4.图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F作用。若已知杆的拉压刚度为 μFl EA ,材料的泊松比为μ,则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为，I为杆件长 EA 度。（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F。） A0 ； 卩Fb C EA F l M I *] A B C4 （图2） Fb EA D 无法确定。 b：
、计算题 1.图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为 EA 相等。试求节点 C 的水平位移。 解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与 P 力方向一致，所以可以用这种方法。 由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。 L 2 — 2 Pa 2 Pa 2 ” 2 P ] i 一 2 a 2 EA 2 EA 2 EA 可得出：厶C =2 '2 1 Pa EA 解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。 在C 点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所杆 N i N i I i N i N t J i AB P 1 a Pa BC P 1 a Pa CD 0 0 a 0 BD -Λ∕2P -√2^ √2a 2、''2Pa AD a （2丁2 +2）Pa EA 则C 点水平位移为： 札 J 2 IPa EA EA ,抗弯刚度均为 El 。试求A 截面的铅直位移。 1 P iC 2 2 ?图示刚架，已知各段的拉压刚度均为
第 十三 章 能 量 法 一、选择题 1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ）。 A 应变能相同，自由端扭转角不同； B 应变能不同，自由端扭转角相 同； C 应变能和自由端扭转角均相同； D 应变能和自由端扭转角均不同。 （图1） 2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面B 的转角为θ， 若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。 A 不做功； B 做正功； C 做负功，其值为θM ； D 做负功，其值为θM 2 1 。 3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F 、 M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三种为先 加M ，后加F 。在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。 A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。 4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F 作 用。若已知杆的拉压刚度为，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为 EA Fl μ，l 为杆件长度。（提示： 在杆的轴向施加另一组拉力F 。）
A 0； B EA Fb ； C EA Fb ； D 无法确定。 （图3）
二、计算题 1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为相等。试求节点C 的水 平位移。 解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。 由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。 ( )() EA a P EA Pa EA Pa P C 22222212 2 2 2 ++=? 可得出：() EA Pa C 122+= ? 解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。 在C 点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示。
材料力学习题册答案-第13章-能量法
第 十三 章 能 量 法 一、选择题 1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其 （ A ）。 A 应变能相同，自由端扭转角不同； B 应变能不同，自由端 扭转角相同； C 应变能和自由端扭转角均相同； D 应变能和自由端扭转角均不同。 （图1） 2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面 B 的转角为θ，若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。 A 不做功； B 做正功； C 做负功，其值为θM ； D 做负功，其值为θM 2 1 。 3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式： 第一种为F 、M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三种为先加M ，后加F 。在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。 a 2M M a M
A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。 4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方 向相反的力F 作用。若已知杆的拉压刚度为EA ，材料的泊松比为μ，则由功的互等定理 可知，该杆的轴向变形为EA Fl μ，l 为杆件长度。 （提示：在杆的轴向施加另一组拉力F 。） A 0； B EA Fb ； C EA Fb μ； D 无法确 定。 F M A B C b F F （图2 ） （图3）
二、计算题 1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA 相 等。试求节点C 的水平位移。 a a P C B A D 解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。 由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。 ( )()EA a P EA Pa EA Pa P C 22222212 2 2 2++=? 可得出：( )EA Pa C 122+= ? 解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。 在C 点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示。 1
材料力学第七章能量方法部分 教案重点内容： 1. 以脆性断裂为标志的强度理论 1.1最大拉应力理论（第一强度理论）认为材料的破坏原因是由于最大拉应力的作用，其强度条件为: 11[]r σσσ=≤ 1.2最大线应变理论(第二强度理论)认为材料的破坏原因是由于最大伸长线应变．其强度条件为： 2123()[]r σσμσσσ=--≤ 2. 以塑性屈服为标志的强度理论 2.1最大剪应力理论(第三强度理论)认为材料的破坏原因是由于最大剪应力的作用，其强度条件为: 313[]r σσσσ=-≤ 2.2最大形状改变比能理论(第四强度理论)认为材料的破坏原因是由于最大形状改变比能的作用．其强度条件为: []σ≤ 3. 强度理论的选用 一般情况下，脆性材料选用关乎脆性断裂的强度理论(第一、二强度理沦)，塑性材料选用关于屈服的强度理论(第三、四强度理论)。但事实亡材料的危险状态不仅与材料有关,还与所处的应力状态、温度等因素有关。如低碳钢这样的高塑性材料，在三向拉伸应力条件下(图7—2(a)所示带有尖锐环形深切口的圆柱形试件承受轴向拉仲)会发生脆断, 反之，通常所谓脆性材料，在三向压应力作用下，也会表现出明显的塑性，如大理石柱形试件在轴向压缩和径向均匀压力（σσ>径轴）作用下，图7—2(b))．会出现明显 的塑性变形而使试件成为鼓形。因此，对于此类情况，必须强调材料处于脆性状态或
塑性状态的概念，应先确定材料所处的状态，再选取相应的强度理论。但在工程常见情况下．一般可按脆性或塑性材料选用相应的强度理论。 难点： 摩尔强度理论 课程要求： 了解四个强度理论的基本观点、相应的强度条件及其应用范围。能正确应用强度理论进行强度计算。对摩尔强度理论有先行了解。 8.10强度理论概述 由固体材料制作的杆件或零件的强度问题．是材料力学研究的最基本问题之一。所谓杆件的强度，就是指杆件抵抗破坏的能力。工程中当杆件承载达到一定程度时，其材料就会在杆件危险截面上的危险点处首先发生屈服或裂开而进入危险状态。因此，为了保证杆件能够正常工作，必须找出杆件材料进人危险状态的原因，并由此建立相应的强度条件。在本章以前，对于各种杆件的强度计算，总是先计算出其横截面上的最大正应力和最大切应力，然后从这两个方面建立其强度条件，即最大正应力小于其许用正应力，最大切应力小于其许用切应力。而许用正应力（切应力），分别由单向应力状态试验（纯剪切试验）在试件破坏时测得的极限应力 (屈服极限或强度极限)除以适当的安全系数n ，得到的。这种强度条件并没有考虑材料的破坏是由什么因素(或主要原因)引起的，因此，对于不考虑材料的破坏是由什么因素引起，而直接根据试验结果建立强度条件的方法，只对危险截面上危险点处是单向应力状态或纯剪应力状态这类特殊情况才适用。在工程实际中，结构及其杆件的危险点并不一定是处于单向应力状态或纯剪切应力状态，而是处于任意二向应力状态或三向应力状态，即复杂应力状态，此时又如何建立强度条件?仍通过直接试验求出极限应力是不可能的。因为在复杂应力状态下，三个主应力1σ，2σ，3σ之间的比例可能有无限多种，要在每一种比例下都通过对材料的直接试验来确定其极限应力值，不仅是十分繁冗的，而且也是难以 a
第十三章 能 量 法 一、是非题 13.1 杆系结构的变形能，等于各杆变形能之和。 （ ） 13.2 弹性体变形能与加力次序无关，只与最后受力有关。 （ ） 13.3 结构上的外力作功可能为正或负，因而结构的变形能有正负之分。 （ ） 13.4 线性弹性结构的变形能可以叠加而非弹性结构的变形能不能叠加。 （ ） 13.5 载荷与变形能之间必为非线形关系。 （ ） 13.6 结构上作用n 个外力Pi (i =1，2…，n)，沿力作用方向的位移分别为，则结构变形能 i Δi i P u Δ∑=2 1，这说明变形能可以叠加。 （ ） 13.7 以莫尔积分求各种结构在载荷作用下的位移时都可以采用图形互乘法。 （ ） 13.8 应用单位力法计算出结构在某处的位移Δ值时在数值上就等于该单位力所做的虚功。 （ ） 13.9 若由载荷引起之弯矩图面积的代数和为零（ω=0），则不论其形心所对应的单位力弯矩图之值Mc 为何值，图乘所得必为零。 （ ） 13.10 超静定结构的多余约束数即等于建立力法方程的变形条件数。 （ ） 13.11 结构中的内力与应力只与结构受力和结构尺寸有关，与材料无关。 （ ） 13.12 变形协调法在本质上也是力法。 （ ） 13.13 力法的基本未知量均不能用静力平衡条件求得。 （ ） 13.14 温度变化和支座位移不会引起静定结构的内力，但一般会引起超静定结构的内力。 （ ） 13.15 力法基本方程均是根据结构支座处的位移约束条件建立的。 （ ） 13.16 n 次超静定结构的静定基可由解除结构任意n 个约束而得。 （ ） 13.17 力法正则方程等号右边总是零，即。 ( ) 01=Δ+∑=n j ip j ij X δ 13.18 力法正则方程适用于任何材料制成的小变形超静定结构。 （ ） 13.19 外力超静定结构必须解除外部多余约束而得到静定基。 （ ） 13.20 以力法求解超静定结构后经力平衡方程验算无误，说明结果正确。 （ ） 二、选择题 13.21 设一梁在n 个广义力F 1，F 2，……，F n 共同作用下的外力功∑=Δ=n i i i F W 121，则式 中Δ i 为（ ）。 A. 广义力F i 在其作用处产生的挠度 B. 广义力F i 在其作用处产生的相应广义位移 C. n 个广义力在F i 作用处产生的挠度 D. n 个广义力在F i 作用处产生的广义位移 13.22 一根梁处于不同的载荷或约束状态，则（ ） A. 梁的弯矩图相同，其变形能也一定相同 B. 梁的弯矩图不同，其变形能也一定不同 C. 梁的变形能相同，其弯矩图也一定相同 D. 梁的弯矩图相同，而约束状态不同，其变形能也不同 13.23 一梁在集中力F 作用下，其应变能为V ε 。若将力F 改为2F ，其他条件不变，则其
第 十三 章 能 量 法 令狐文艳 一、选择题 1．一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ）。 A 应变能相同，自由端扭转角不同； B 应变能不同，自由端扭转角 相同； C 应变能和自由端扭转角均相同； D 应变能和自由端扭转角均不同。 （图1） 2．图2所示悬臂梁，当单独作用力F 时，截面B 的转角为 θ，若先加力偶M ，后加F ，则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。 A 不做功； B 做正功； C 做负功，其值为θM ； D 做负功，其值为θ M 21 。 3．图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为 F 、M 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加M ；第三 种为先加M ，后加F 。在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。 A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。 4．图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力
F 作用。若已知杆的拉压刚度为EA ，材料的泊松比为 μ，则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为 EA Fl μ， l 为杆件长度。（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F 。） A 0； B EA Fb ； C EA Fb μ； D 无法确定。 （图2） （图3） 二、计算题 1．图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为EA 相等。试求节 点C 的水平位移。 解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P 力方向一致，所以可以用这种方法。 由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。 可得出： () EA Pa C 122+= ? 解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。 在C 点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示。 杆 i N i N i l i i i l N N ??
材料力学第七章能量方法部分 教案 重点内容： 1. 以脆性断裂为标志的强度理论 1.1最大拉应力理论（第一强度理论）认为材料的破坏原因是由于最大拉应力的作用，其强度条件为: 11[]r σσσ=≤ 1.2最大线应变理论(第二强度理论)认为材料的破坏原因是由于最大伸长线应变．其强度条件为： 2123()[]r σσμσσσ=--≤ 2. 以塑性屈服为标志的强度理论 2.1最大剪应力理论(第三强度理论)认为材料的破坏原因是由于最大剪应力的作用，其强度条件为: 313[]r σσσσ=-≤ 2.2最大形状改变比能理论(第四强度理论)认为材料的破坏原因是由于最大形状改变比能的作用．其强度条件为: []σ 3. 强度理论的选用 一般情况下，脆性材料选用关乎脆性断裂的强度理论(第一、二强度理沦)，塑性材料选用关于屈服的强度理论(第三、四强度理论)。但事实亡材料的危险状态不仅与材料有关,还与所处的应力状态、温度等因素有关。如低碳钢这样的高塑性材料，在三向拉伸应力条件下(图7—2(a)所示带有尖锐环形深切口的圆柱形试件承受轴向拉仲)会发生脆断, 反之，通常所谓脆性材料，在三向压应力作用下，也会表现出明显的塑性，如大理石柱形试件在轴向压缩和径向均匀压力（σσ>径轴）作用下，图7—2(b))．会出现明显 的塑性变形而使试件成为鼓形。因此，对于此类情况，必须强调材料处于脆性状态或塑性状态的概念，应先确定材料所处的状态，再选取相应的强度理论。但在工程常见情况下．一般可按脆性或塑性材料选用相应的强度理论。
难点： 摩尔强度理论 课程要求： 了解四个强度理论的基本观点、相应的强度条件及其应用范围。能正确应用强度理论进行强度计算。对摩尔强度理论有先行了解。 8.10强度理论概述 由固体材料制作的杆件或零件的强度问题．是材料力学研究的最基本问题之一。所谓杆件的强度，就是指杆件抵抗破坏的能力。工程中当杆件承载达到一定程度时，其材料就会在杆件危险截面上的危险点处首先发生屈服或裂开而进入危险状态。因此，为了保证杆件能够正常工作，必须找出杆件材料进人危险状态的原因，并由此建立相应的强度条件。在本章以前，对于各种杆件的强度计算，总是先计算出其横截面上的最大正应力和最大切应力，然后从这两个方面建立其强度条件，即最大正应力小于其许用正应力，最大切应力小于其许用切应力。而许用正应力（切应力），分别由单向应力状态试验（纯剪切试验）在试件破坏时测得的极限应力 (屈服极限或强度极限)除以适当的安全系数n ，得到的。这种强度条件并没有考虑材料的破坏是由什么因素(或主要原因)引起的，因此，对于不考虑材料的破坏是由什么因素引起，而直接根据试验结果建立强度条件的方法，只对危险截面上危险点处是单向应力状态或纯剪应力状态这类特殊情况才适用。在工程实际中，结构及其杆件的危险点并不一定是处于单向应力状态或纯剪切应力状态，而是处于任意二向应力状态或三向应力状态，即复杂应力状态，此时又如何建立强度条件?仍通过直接试验求出极限应力是不可能的。因为在复杂应力状态下，三个主应力1σ，2σ，3σ之间的比例可能有无限多种，要在每一种比例下都通过对材料的直接试验来确定其极限应力值，不仅是十分繁冗的，而且也是难以做到的。因此，必须找到某种方法，以便能够利用单向应力状态和纯剪切应力状态下试验获得的极限应力数据，来建立复杂应力状态下的强度条件。 实践表明，杆件的危险点无论在单向应力状态下，还是在复杂应力状态下，其破坏的形式大体可以分为两类：一类是脆性断裂，另一类是塑性屈服(或塑性流动)。各种材 a
第十三章 能量法 、选择题 1. 一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（ A ） A 应变能相同，自由端扭转角不 B 应变能不同，自由端扭转角相 C 应变能和自由端扭转角均相 D 应变能和自由端扭转角均不 （图1） 2. 图2所示悬臂梁，当单独作用力 F 时，截面B 的转角为9 , 若先 加力偶M 后加F ,则在加F 的过程中，力偶M （ C ）。 A 不做功； B 做正功； C 做负功，其值为Mr ; D 做负功，其值为-。 2 3 .图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为 F 、M 同时按比例施加；第二种为先加F ,后加M 第三种为先加M 后加 F 。在线弹性范围内，它们的变形能应为（ D ）。 A 第一种大； B 第二种大； C 第三种大； D 一样大。 4.图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力 F 作 用。若已知杆的拉压刚度为，材料的泊松比为 □，则由功的 互等定理可知，该杆的轴向变形为 旦,l 为杆件长度。（提 EA 示：在杆的轴向施加另一组拉力 F 。） 同; 同; 同; 同
A 0 ； B fb； EA
」Fb EA 无法确 定。M CL b： （图2）（图3）
二、计算题 1 .图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为相等。试求节点C的水 平位移。 解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与P力方向一致，所以可以用这种方法。 由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示 1 A Pa 2 Pa2 ?2P ^'2a f P=C 二 2 2EA 2EA 2EA 可得出：，C = 2 2 1 Pa EA 解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。 在C点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所示