数值分析第一次作业及参考答案
1. 设2
12
S gt =
，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝
对误差增加，而相对误差却减少。 解：
2
*
*
2
2
2
11()0.122()0.10.2
()1122
,(),
().
r r e S S S gt
gt gt
e S gt e S t
gt
gt
t e S e S =-=
-==
=
=
∴↑↑↓
2. 设2()[,]f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证2''
1m ax ()()m ax ().8
a x b
a x b
f x b a f x ≤≤≤≤≤
-
解：由112,0),(,0)()()0()00.a b L x l x l x =?+?=（两点线性插值 插值余项为"
111()()()()()()
[,]2
R x f x L x f x a x b a b ξξ=-=--∈
[,].
x a b ∴?∈有
12
211()()"()()()m ax "()[()()]
2
21()()
1m ax "()[
]()m ax "().
2
2
8
a x b
a x b
a x b
f x R x f x a x b f x x a b x x a b x f x b a f x ξ≤≤≤≤≤≤==
--≤---+-≤
=
-
2
1m ax ()()m ax "()8
a x b
a x b
f x b a f x ≤≤≤≤∴≤
-
3. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），
（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为
0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)
2
x x l x x x +-=
=-
+-+-
同理 1211()(2),
()(1)3
6
l x x x l x x x =
-=
+
故
2
20
2
151
()()(1)(
2)(2)(1)
2
36
31
i i i p x y l x x x x x x x x x =-=
=-
+-+-++=-+∑
（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为
0112155(1)[,]4,
[,]20(1)
12
f x x f x x ---=
=-=
=-----
0124(2)[,,]102
f x x x ---=
=-
2
2()1(4)(0)
1*(
0)(
1)31
P x x x x x x =+--
+-+=-+
4. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使
截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：
()
4
0000(),
(),
[4,4],,,, 1.x
k x f x e f
x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及
(3)
20004
4
3
4
3
()
()[(()]()[()]
3!
(1)(1)
(1)(1)3!
3!
.
(4,4).6
f
R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h
e
ξξ=----+-+≤+??-=≤∈-则
4
36
((1)(1)10
0.006.
t t t h h --+±<< 在点取到极大值令
得
5. 求2
()f x x =在［a,b ］上的分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。
解：
22
22111
1
11
2211
11
1
()()k k k k h k
k k k k k
k k k k
k k k k k k k k x x x x x x I x x x
x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x +++++++++++---=
+
=
---?-?-
=+--
[]
2
112
2
11()()()[()]
11()()4
4
h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h
++++=-=-+-=--≤
-=
6. 已知单调连续函数()y f x =的如下数据
用插值法计算x 约为多少时() 1.f x =（小数点后至少保留4位）
解：作辅助函数()()1,g x f x =-则问题转化为x 为多少时，()0.g x =此时可作新的关于()i g x 的函数表。由()f x 单调连续知()g x 也单调连续，因此可对()g x 的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为
1
()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10)
0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)
x g
y y y y y y y -==-+++++-++-
故 1(0) 1.321497.x g -==
7. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高于3
的多项式3()P x ，使其满足3(0)0P =，3(1)1P =，3'(1)3P =,3(2)1P = 。并写出误差估计式。
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式3()P x ， 32
357()72
2
p x x x x
=-+-
2
112(1)
()(2);()(1)(2);();2
x x x x x x x x x x αβα-=--=---=
由题意可设23()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--
为确定待定函数()k x ，作辅助函数： 23()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =---- 则()g t 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点,0,1,2(1t x t ==为二
重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)ξ∈使4()0g ξ=，从而得
(4)
1()()4!k x f
ξ=
。
故误差估计式为(4)
2
1()()(1)(2)
(0,3)4!R x f
x x x ξξ=
--∈
8. 设函数()y f x =在节点0,1,2,3x =的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的
三次样条插值函数()S x ：
（1）''(0)1,(3)0f f == （2）''''(0)1,(3)0f f ==
解：（1）取i x 处的一阶导数i m 作为参数，1,2i =。由于
11111,
1,
3([,][,])022
i i i i i i i i i i i i i
h g f x x f x x h h λμλλμ-+-=
==-=
=+=+
以及由三转角方程 112,1,2i i i i i i m m m g i λμ-+++==
得 012123
1
12022
1120
22
m m m m m m ?++=????++=?? 由于031,0,m m ==从而 12124140m m m m +=-??+=?
解之可得124/15,1/15m m =-=
故 2(1)(1511)/15,
[0,1]()(1)(2)(73)/15,
[1,2](3)(2)/15,[2,3]
x x x x S x x x x x x x x --∈??
=---∈??--∈?
（2）取i x 处的二阶导数i M 作为参数，1,2i =。由于
111111,
1,
6[,,]022
i i i i i i i i i i
h d f x x x h h μλμ--+-=
==-=
==+
以及由三弯矩方程
01211123
1
12022
21,21120
22
i i i i i i
M M M M M M d i M M M μλ-+?++=??++==?
?
?++=?? 由于031,0,M M ==代入方程可得 134/15,1/15,M M =-=
故 (1)(1926)/90,[0,1]()(1)(2)(512)/90,
[1,2](3)(2)(4)/90,[2,3]
x x x x S x x x x x x x x x --∈??
=---∈??---∈?
9．编程实现题：
略。
10、试求最佳一次一致逼近多项式，一致被逼近函数为 （1）()sin ,
[0,
]2
f x x x π
=∈ （2）(),
[0,1]x
f x e x =∈
解：（1）因为''()sin f x x =-在[0,/2]π内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为 *1111()[(0)()]/2(/2)P x f f x a x x =++- 式中 '
11111(/2)(0)
2
0.63661977
()cos 0.88068924
/20
f f a a f x x x πππ
-=
=
===?=-
从而 *1111()(sin )/2(/2)0.105256830.63661977P x x a x x x =+-=+
（2）()x f x e =在[0,1]内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为
1
1(1)(0)110
1
x f f e a e
--=
=
=- 得111.71828183,0.54132485a x ==
从而 1
*111()(1)/2(/2)0.89406658 1.71828183x P x e a x x x =++-=+
11、给定43()1f x x x =+-，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在[0,1]上求()f x 的三次最佳一致逼近多项式。
2
3
4
2
234(()21,()43,()881)T x x T x x x T x x x =-=-=-+
解：令4
3
11121()(
)(
)3(
) 1.2
2
2
t t t t x f x f +++=-?==+-
设*3()P x 为()f x 在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式，由于1()
2t f +的首项系
数为
4
12
，故
*
3441
*
4
3
42
3*
4
3
4
2
33
2
11116[(
)()]()222
11
11(
)(
)(
)1(881)
2
2
2
168
1()(31)[8(21)8(21)1]
168
511293.[0,1]
4
4
128
t t f P T t t t t P t t P x x x x x x x x x -++-=
+++?=+--
-+??=+-----+?=-
+
-
∈
12、设{}{}100101
121,,,span x span x x
??==，分别在1
2
??
、上求一函数，使其为
2
[0,1]x C ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。
解：
*
*01112
00010
1
2
11100112
2
010
***
010*
1*
**101
221
2
2
1 (,)11,
(,),
2
11(,),(,),
3
2
11(,)1,
(,),
34
11
1123()6111
6
12
34a a x dx xdx x dx f x dx f x xdx a a a x x
a a a f
????????????δ=+=
=====
=
=
?=
=
?=
?+=??=-?????
=-
+?
???=+=???=-
??
?
?
?
*
1(1)设因1
*0(,)0.00556
k
k k a
f ?=≈∑
*
*
100
*
101
20111100
2
100
101
0001100
1111012
102
103
11010
*
*
01**0
1(2)()11(,)(),
(,)(,),
201202
111(,)(),
(,),
(,).
203103
104
111
201
202103111202203
104
x b x b x
x
dx x
x
dx x
dx f x
dx f x dx b b b b ???????????=+==
==?=
=
==
=
=
=
?+=?+
=
??
?
?
?
设*
0*
1*
100
101
21
122*
4
2
2
2
375.24253375.14825
()375.24253375.14825.
11(,)[375.24253375.14825]0.16406
103
104
k k k b b x x
x
f
b f x dx ?δ?=??≈??
?
?≈-?????
=-=-
=
-?
-?
≈∑
?
由结果知（1）比（2）好。
13、用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。
4
4
2
22
01000
4
42
01100
10
4
4
4
111
100
4
4
00
004
2
11
()1,().(,)()15,
(,)(,)()()5327,
(,)()()7277699,
(,)()271.4,
(,)()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x y x y y y x y x ?????
?????
????
???
??
============
====
=========
=∑∑∑∑∑∑∑∑∑因有4
2
22012
2
2
369321.5,
55327271.40.972604553277277699369321.50.05003510.97260450.0500351.
(,)(,)0.016954.
0.130207526.
i i y a b a a b b y x y
a y
b y δ??δ
==+==??????+==???=+=--==∑
14、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书） 解： 构造正交多项式
0()1x ?= 1000
11000
(,)1(,)
2
1xd x
x d x
??α??=
=
=
?
?
111()2
x x x ?α=-=-
1
2
11212110
1
()(,)12
1(,)
2
()2
x x d x
x x d x ??α??-
=
=
=
-?
?
12
1121000
1()(,)12
(,)
12
1x d x
d x
??β??-
=
=
=
?
?
2
2
22120111()()()()()212
6
x x x x x x x ?α?β?=--=-
-
=-+
于是
1
000
(,)11dx ??=
=?
12
110
11(,)()2
12
x d x ??=
-
=
?
12
2
220
11(,)()6
180
x x dx ??=
-+
=
?
100
2
(,)s in f x d x ?ππ=
=
?
110
1(,)()sin 02
f x xdx ?π=
-
=?
2
12
230
112
(,)()sin 6
3f x x xdx π?ππ
-=
-+
=?
所以，()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为
0120120011222
(,)(,)(,)()()()()
(,)
(,)
(,)
4.1225 4.12250.05047
f f f x x x x x
x ?????????????=
+
+
≈-+-
15、求()x f x e =在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre 正交多项式）
解 先计算(,)(0,1,2,3)k f P k =。
3504.21d ),(11
0≈-
==
?
-e
e x e P
f x
；
7358.02d ),(1
11
1≈==
--?
e x xe
P f x
；
1431.07d 212
3),(211
2≈-=??? ??-=
?
-e e x e x P f x
；
.02013.05137d 232
5),(3
11
3≈-=??? ??-
=?
-e e x e x x P f x ； 又有
1752.12/),(0*
0==P f a ，
1036.12/),(31*
1==P f a
3578.02/),(52*
2==P f a ， 07046.02/),(73*
3==P f a ，
得
*
2
3
32
3
11() 1.1752 1.10360.3578(31)0.07046(53)
2
2
0.99630.99790.53670.1761S x x x x x x x x
=++?
-+?
-=+++均方误差
*
32
2
()
0.0084
x
n
e S x δ=
-=
≤
16、 A 、B 、C 三点连成一条直线，AB 长为1x ，BC 长为2x ，某人测量的结果为115.5x =米，2 6.1x =米，
为控制丈量的准确性，又测量1220.9AC x x =+=米，试合理地决定1x 和2x 的长度。（小数点后取四位有效数字）
解：令*1x 为AB 的所求值，*
2x 为BC 的所求值，则**11122215.5, 6.1,x x x x εε==+==+
**
****
12123112231220.9.
15.5, 6.1,20.9().x x x x x x x x εεεε+==++=-=-=-+故
在最小二乘意义下，要222
123f εεε=++达到极小，
即求*2*2**2
1212(15.5)( 6.1)(20.9)f x x x x =-+-++-的极小点。
令
***
***
112212*
*
1
2
2(15.5)2(20.9)0,
2( 6.1)2(20.9)0,f f x x x x x x x x ??=-++-==-++-=??
解的*
*
1215.2667, 5.8667x x ==。故应取1215.2667,
5.8667x x ≈≈。
17、求函数()x
f x e =在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书） 解：三种方法，见参考讲义。 （1） 截断切比雪夫级数
由富利叶级数系数公式得
*
cos 0
2
cos d k C e
k πθ
θθπ
=
?
，
它可用数值积分方法计算，得到 ,13031821.1,
53213176.2*1*
0==C C ,04433685.0,
27149534.0*
3*
2==C C
由 ),(2
)(*
1
*
0*x T C C x C k k n
k n
∑
=+
=
及)(x T k 的公式得到
*
2
3
3()0.9945710.9973080.5429910.177347,C x x x x =+++
*
3()
0.00607.x
e
C x ∞
-≈
（2） 拉格朗日插值余项的极小化
由)(4x T 的4个零点 21co s
(1,2,3,4)8
k k x k π
-==
做插值点可求得
323175176.0542900.0998967.0994584.0)(x x x x L +++=， .
00666.0)
(3=-∞
x L e x
（3） 台劳级数项数的节约
应用x
e
的台劳展开，取6=n ，得
2
3
4
5
6
611111()1.2
6
24
120
720
P x x x x x x x =++
+
+
+
+
作为x
e
的近似，其误差为
4
61
110
3934.5!
7)(max -≤≤-?<≤
-e x P e
x
x ，
由于 ,32
116
923)(32
12
4
66+
-
+
=x
x
x T x ,16
54
5)(16
13
55x x
x T x -
+
=
则
),(32
1720
1)(16
1120
1)()(654
,66x T x T x M x P ?
+
?
+=
其中 2
4
,64996094.09973958.00000434.1)(x x x M
++= .043750.01770833.04
3
x x ++
用)(4
,6x M
做x
e
的逼近多项式，其误差为
23040
11920
10005393.0)(max 4
,61
1+
+
≤-≤≤-x M
e
x
x
若再用8
1)(8
12
44
-
+=
x
x T x 代入)(4
,6x M
可求出
,177083.0542969.0997396.0994575.0)(3
2
3
,6x x
x x M
+++=
.
00651.0)(max 3
,61
1≤-≤≤-x M
e x
x
18.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书） 略。
19． 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
1）101()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 2）21012()()(0)();h h f x dx A f h A f A f h --≈-++?
3）1121(1)2()3()
();3
f f x f x f x dx --++≈?
4）2
'
'
[(0)()]
()[(0)()].2
h
h f f h f x dx ah f f h +≈
+-?
解：（1）三个参数，代入
11012
11023111
3
3
3
4
4
4
1324()1,,,()032
1()33()()
()()
3
3
3
3
4()()(0)().
3
3
3
h h h h
h h
A h
A A A h f x x x h A A A h
h A A h A h h h h h x dx h h x dx h h h h h f x dx f h f f h -------?
=???++=???=?--=?=??????+==???=
-+≠-+
∴≈-+
+?
?
?
具有三次代数精度
（2）三个参数，代入
11012
110223
111
23
3
3
3
224
5
4
4
4
5
2228344()1,,,03168()33848()0()033
36484816()0()5
3
3
3
3
84()()3
h h h h
h h
A h
A A A h f x x x hA hA A h
h A h A h
A h h h x dx h h h h h x dx h h h h h h
h f x dx f h -------?=???++=??-?=?-+=?=??????-+==???=--?+
==
≠
--?+=
∴
≈
-+?
?
?
8(0)().
3
3
h h f f h +具有三次代数精度
1121
2
121122
12221(3)()1,()[(1)2()3()].
3
,(),2310.689900.289902310.126600.52660
f x f x dx f f x f x f x x x x x x x x x x x -==
-++=+===-????????+==-=????
当时有两个参数令精确成立
或
1
3
33
121
111
1
1[123]
3
()[(1)2(0.68990)3(0.12660)]/3 ()[(1)2(0.28990)3(0.52660)]/3
2.
x dx x x f x dx f f f f x dx f f f ---≠
-++≈-++-≈-+-+???
而 故与均具有次代数精度 2
2
2
22
2
3
3
3
2
2
4
4
3
1(4)()1,,1[11]0,
[0](11).
2
2
(),1[0][202].
2
12
(), [0][03]2
12
(),
()[0][04].
2
12
.
h
h h h
h h f x x dx xdx h ah f x x h x dx h ah h a h h
f x x x dx h h h h
f x x f x dx h h ==
++=
++-==
++?-?=
==
++-=≠++
-??
?
??
时有故令时求积公式精确成立
当时时故只有三次代数精度
20、已知013113,,424
x x x =
=
=
，
（1） 推导以这三个点为求积节点在［0，1］上的插值型求积公式。
（2） 求上述求积公式的代数精确度。 （3） 用上述公式计算1
2
0x dx ?。
解：（1）过013113,,4
2
4
x x x =
=
=
三点的二次插值为 21
3
1311()()
()()
()()
11
32
44442()()()()11
13
11133131424()()()()()()424424244442
x x x x x x L x f f f -
-
-
-
-
-
=
+
+------ 故有
2
1120
()()()k
k k f x dx L x dx A
f x =≈
=
∑?
?
其中 11010
13
1
3
()()
()()
2
12444,
,11
1311
1333()()()()4244
2424
x x x x A dx A dx -
-
-
-
=
==
=-----?
?
1
201
1
()()
24231
313()()4442
x x A dx -
-
==--?
故求积公式为 1011
13()[2()
()2()][]
34
2
4
f x d x f f f
Q f ≈-+=? （2）因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将34(),f x x x =代入有
113
3
4
4
1137[]
[]4
5192
x dx Q x x dx Q x =
==
≠=
?
?
故该求积公式的代数精度为3次。 （3）1
22220111
3
1[2()()2()]3424
3
x dx ≈?-+?=
?
21、如果要用复化梯形公式计算积分[]()b a
I f f x dx =
?
，试问应将积分区间［a,b ］分成多
少份，才能保证误差不超过ε。
解：已知将［a,b ］分成n 份的复化梯形公式的余项为
3
2''
''
2
()[]()(),
(,)12
12b a b a R f h f f a b n
ξξξ--=-
=-
∈
记''
m ax ()a x b
M f x ≤≤=，则按要求应满足
3
2
()[]12b a R f M n n
ε-≤
≤?
≤
故
n =，为上取整。
22、对积分12
4
1I dx x
=
+?
作Romberg 数值计算，并自上而下地一行一行算出()
k m T 数表，是
近似值稳定至小数后第5位。（精确值112
44arctan 3.1415926...1dx I x
x
π====+?
）
解：记2
()4/(1),[0,1]f x x x =+∈，编制()
k m T 数表如下：
第一行：1[(0)(1)]/23T f f =+= 第二行：21[(1/2)]/2 3.1T T f =+= 121(4)/(4
1)
3.13333
S T T =--= 第三行：42/2[(1/4)(3/4)]/4 3.13118T T f f =++=
242(4)/(41) 3.14157S T T =--= 121(16)/15
3.14212
C S S =-=
第四行：84/2[(1/8)(3/8)(5/8)(7/8)]/8 3.13899T T f f f f =++++=
442(4)/(41) 3.14159S T T =--= 242(16)/15
3.14
159C S S =-= 上面的4S 与2C 数值已稳定至小数点后5位，故可取 3.14159I ≈。
23、已知勒让德（Legendre ）正交多项式()n p x 有三项递推关系式：
011
1()1,
()21()()()(1,2,)
11n n n p x p x x n n p x xp x p x n n n +-==??
+?
=-=?++?
试确定三点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 10011221
()()()()f x dx f x f x f x ωωω-≈++?
的求积系数和节点，并利用此公式写出1
2
1
x I e dx =
?
的计算式（无需计算结果）。
解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式3
31()(53).2
p x x x =-令3()0p x =，其三个零
点为
0100.7745967,
0,
0.7745967.5
5
x x x =-
≈-==
≈
则所求的高斯求积公式为10121
()((0)5
5
f x dx f f f ωωω-≈-
++?
因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对2
()1,,f x x x =均精确成立，
1
001211021112
022
15298055933255539dx xdx x dx ωωωωωωωω---?
?
=++==???
?
?
?
-+==?
=???
?
??+===???
?
???
所以三点的高斯－勒让德求积公式为11
585()((0)9
5
9
9
5
f x dx f f f -≈-++?
对1
2
1
x I e dx =
?
，作变换1(3)2
x t =
+，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1］，即
1
2
2
13
1
1
1.2
x
t I e dx e
dt +-=
=
?
?
用三点的高斯－勒让德求积公式计算，有
2
2
2
0.7745967330.7745967354518
9
18
I e e e -++≈
+
+
24、
建立高斯型求积公式100110
()()()x dx A f x A f x ≈+?
。
（参考讲稿与参考书） 解：
100101001102
2200110
332001101
32732637307
35
2
15217x A A x x A x A x x x A x A A x A x A dx A ??
=-
?+==???
??
?=+
+==????-
+
=?
?
?
??
+===+??????+==
=-??
??
????
数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )
特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ清华大学数值分析A第一次作业
7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？ 答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？ 答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。 答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613
12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字 答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。 答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
数值分析第一次作业 班级 学号 姓名 习题2 4、用Newton法求方程f(x)=x^3-2*x^2-4*x-7=0在[3，4]中的根。 代码： function[x_star,k]=Newton1[fname,dfname,x0,ep,Nmax] if nargin<5 Nmax=500; end if nargin<4 ep=1e-5;end x=x0;x0=x+2*ep;k=0; while abs(x0-x)>ep&k x0=x1; x1=x2; end x_star=x1; if k==Nmax warning('已迭代上限次数');end fun=inline('x^3-2*x^2-4*x-7'); [x_star,k]=Gline(fun,3,4) x2 = 3.5263 x2 = 3.6168 x2 = 3.6327 x2 = 3.6320 x2 = 3.6320 x_star = 3.6320 k = 5 习题3 数值分析试题答案 1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3 (x)f x =，要求 （1）取节点011,1x x =-=作线性插值 （2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值 答案：（1）代入方程得 0110 10010 1,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+ -=- （2）代入方程得 1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x)y x (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------= ++=------ 2、给出数据点：01234 39 61215 i i x y =?? =? 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插 值多项式3 () N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。 33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250, ()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54 (1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194 N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈ -=四（分） 3、已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。 答案： )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L 数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表： （3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使 截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少 解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及 (3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点 得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。 解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据 用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新 的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++- 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与 高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 || 数值分析经典例题1.y' = y , x [0,1] ,y (0) =1 , h = 0.1。 1求解析解。 2 Eular法 3 R-K法 ○1解析法 在MATLAB命令窗口执行 clear >> x=0:0.1:1; >> y=exp(x); >> c=[y]' c = 1.000000000000000 1.105170918075648 1.221402758160170 1.349858807576003 1.491824697641270 1.648721270700128 1.822118800390509 2.013752707470477 2.225540928492468 2.459603111156950 2.718281828459046 ○2Euler法 在Matlab中建立M文件如下： function [x,y]=euler1(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end x=x';y=y' 在MATLAB命令窗口执行 clear >> dyfun=inline('y+0*x'); >> [x,y]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1); >> [x,y] 得到 ans = 0 1.000000000000000 0.100000000000000 1.100000000000000 0.200000000000000 1.210000000000000 0.300000000000000 1.331000000000000 0.400000000000000 1.464100000000000 0.500000000000000 1.610510000000000 0.600000000000000 1.771561000000000 0.700000000000000 1.948717100000000 0.800000000000000 2.143588810000000 0.900000000000000 2.357947691000000 1.000000000000000 2.593742460100000 ○3R-K法（龙格-库塔法） 在本题求解中，采用经典4阶龙格-库塔法 首先在Matlab的M文件窗口对4阶龙格-库塔算法进行编程： function [x,y]=RungKutta41(dyfun,x0,y0,h,N) x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; k1=h*feval(dyfun,x(n),y(n)); k2=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k1); k3=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k2); k4=h*feval(dyfun,x(n+1)+h,y(n)+k3); y(n+1)=y(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end 在MATLAB命令窗口执行 clear >> dyfun=inline('y','x','y'); >> [x,y]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10); >> c=[x;y]' 得到 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 问题1：20.给定数据如下表： 试求三次样条插值S(x)，并满足条件 (1)S`(0.25)=1.0000，S`(0.53)=0.6868； （2）S ’’(0.25)=S ’’(0.53)=0。 分析：本问题是已知五个点，由这五个点求一三次样条插值函数。边界条件有两种，（1）是 已知一阶倒数，（2）是已知自然边界条件。 对于第一种边界(已知边界的一阶倒数值)，可写出下面的矩阵方程。 ????????????????=???????? ?? ??? ???????????????????4321043210343 22 110d M M M M M 2000200 00 02 002 2d d d d λμμλμλμλ 其中μj = j 1-j 1-j h h h +，λi= j 1-j j h h h +，dj=6f[x j-1,x j ,x j+1]， μn =1，λ0=1 对于第一种边界条件d 0= 0h 6（f[x 0,x 1]-f 0`），d n =1 -n h 6 （f`n-f `[x n-1,x n ]） 解：由matlab 计算得： 由此得矩阵形式的线性方程组为： ? ?????????????=???????????????????????? ?????? 2.1150-2.4286-3.2667-4.3143-5.5200-M M M M M 25714.0000 120 4286.0000 04000.02 6000.0006429.023571.00 012 432 10 解得 M 0=-2.0286;M 1=-1.4627;M 2= -1.0333; M 3= -0.8058; M 4=-0.6546 S(x)= ??? ????∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-∈-+-+-]53.0,45.0[x 5.40x 9.1087x 35.03956.8.450-x 1.3637-x .5301.67881- ]45.0,39.0[x 9.30x 11.188x 54.010.418793.0-x 2.2384 -x .450(2.87040-]39.0,30.0[x 03.0x 6.9544x 9.30 6.107503.0-x 1.9136-x .3902.708779 -]30.0,25.0[x 5.20x 10.9662x 0.3010.01695.20-x 4.8758-x .3006.76209-333 33 33 3），（）（）（）（），（）（）（）），（）（）（）（），（）（）（）（ Matlab 程序代码如下： 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110 l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ． () 00l x ＝1， ()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C === ，那么() 3 3C = 4. 因为方程 ()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满 足 ，所以 ()0 f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公 式 . 填空题答案 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案数值分析试题答案
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