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2013高考数学必考题型解答策略三角函数

三角函数解答策略

1．三角函数恒等变形的基本策略：（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如22

1cos sin αα=+tan cot tan

αα=?=等。

（2）项的分拆与角的配凑。

如分拆项：2

cos 2sin cos sin sin ααααα+=++ 2

1sin α=+；配凑角：α=（αβ+）－β，β=2βα+－2βα-等。

（3）降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。

（4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。

（5）引入辅助角。asin α+bcos α=2

b a +sin(α+?)，这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定，?角的值由tan ?=a

确定。

（6）万能代换法。巧用万能公式可将三角函数化成tan

的有理式。 2．证明三角等式的思路和方法：

（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。

3．证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的单调性，利用正、余弦函数

的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。 4．解答三角高考题的策略：

（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。

（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。典型例题

考点一有关三角函数的概念和公式的简单应用例1：已知α∈(

2π，π)，sin α

tan 2α= 【解析】

α∈(

2π，π)，sin α

cos 5

a ==- 则tan α

=sin 1cos 2a a ==- 故tan 2α=2

2()2tan 142121tan 31()24a a ?--===---- 例2：已知tan

=2，则

6sin cos 3sin 2cos αα

αα

+-的值为．

解∵ tan

2α=2, ∴ 22tan

2242tan 1431tan 2

αα?=

==---; 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2

αα+-=46()1

7346

3()23

-+=--.

考点二有关三角函数的性质问题例3：已知函数()4cos sin() 1.6f x x x π

=+-（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ??

-????

上的最大值和最小值。

【解析】：（Ⅰ）因为1)6

sin(cos 4)(-+

=π

x x x f 1)cos 2

sin 23(

cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)6

2sin(2π

=x 所以)(x f 的最小正周期为π

（Ⅱ）因为.326

ππ

≤

≤-

≤≤-x x 所以于是，当6

,262π

ππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6

,66

2x f x x 时即π

-=-

取得最小值1-．

【名师点睛】对于形如sin cos y a x b x ωω=+

型，要通过引入辅助角化为)y x ω?=+

(cos ?

＝

，sin ?

＝

)的形式来求．

例4：已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02

A π

ω?>><<）的图象与x 轴的交点中，相

邻两个交点之间的距离为

π，且图象上一个最低点为2(,2)3M π

-.(Ⅰ)求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[,]122

x ππ

∈，求()f x 的值域.

解（1）由最低点为2(,2)3M π-得A=2.由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2

，即T π=，222T ππωπ===由点2(,2)3M π-在图像上的242sin(2)2,)133ππ???+=-+=-即sin(

故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126k π?π∴=-又(0,),,()2sin(2)266

f x x πππ??∈∴==+故（2）7[,],2[,]122636x x πππππ∈∴+∈

当26x π+=2π，即6x π

=时，()f x 取得最大值2；当7266x ππ+=即2

x π=时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]

【名师点睛】求函数sin()y A x ω?=+ (或cos()y A x ω?=+，或t a

n ()y A x ω?=+)的单调区间(1)将ω化为正．(2)将x ω?+看成一个整体，由三角函数的单调性求解．

例5：设函数2()sin()2cos 1468

x x f x πππ=--+．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期．（Ⅱ）若函数()y g x =与

()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4

[0,]3

x ∈时()y g x =的最大值．

解：（Ⅰ）()f x =sin

cos

sin

cos

x x x π

3cos 424

x x ππ

sin()43x ππ-

故()f x 的最小正周期为T =

(Ⅱ)解法一：在()y g x =的图象上任取一点(,())x g x ，它关于1x =的对称点(2,())x g x - .由题设条件，点(2,())x g x -在()y f x =

的图象上，从而()(2)sin[

(2)]43

g x f x x ππ

=-=--

sin[]243x πππ--

)43x ππ+ 当304x ≤≤时，23433

x ππππ

≤+≤，因此()y g x =在区

间4[0,]3

上的最大值为max 3

g π

解法二：因区间4[0,]3

关于x = 1的对称区间为2[,2]3

，且()y g x =与()y f x =的图象关于x = 1对称，故()y g x =在4[0,]3上的最大值为()y f x =在2[,2]3上的最大值由（Ⅰ）知()f x sin()43

x ππ

当

223x ≤≤时，6436ππππ-≤-≤因此()y g x =在4[0,]3上的最大值为

w.w max 6g π== . 【名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为sin()y A x B ω?=++的形式，进而结合

三角函数的性质求解，有时还要注意x ω?+的取值范围(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解. 考点三三角函数的图象变换

例6：将函数sin 2y x =的图象向左平移

个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 2

2sin y x = C.)4

2sin(1π++=x y D. cos 2y x =

【解析】:将函数sin 2y x =的图象向左平移4

π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)2y x π

cos 2x =的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=,故选A.

【名师点睛】平移变换：①沿x 轴平移时，由()y f x =变为()y f x ?=+时，“左加右减”即φ>0，左移；φ<0，右移．②沿y 轴平移：由()y f x =变为()y f x k =+时，“上加下减”，即k >0，上移；k <0，下移．伸缩变换：①沿x 轴伸缩：由()y f x =变为()y f x ω=时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1

|ω|倍．②

沿y 轴伸缩：由()y f x =变为()y Af x =，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A |倍．例7：设函数()sin()cos()(0,)2

f x x x π

ω?ω?ω?=+++><

的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则

（A ）()f x 在0,

2π??

???

单调递减（B ）()f x 在3,44ππ??

单调递减（C ）()f x 在0,

2π??

单调递增（D ）()f x 在3,44

ππ??

???

单调递增解析：函数解析式可化为)4

sin(2)(π

?ω+

+=x x f ，2,2=∴=

ωπω

T 又因为该函数是偶函数，所

以，x x f 2cos 2)(4=∴=

?，所以该函数在??

??2,0π上是减函数。故选A 考点四三角恒等变换

例8：cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（）

A ．

B C D 【解析】原式=1

sin (43-13)=sin 30=

，故选A 。例9：已知函数()()2

1cot sin 2sin sin 44f x x x x x ππ??

?=+-+

- ? ??

???

．

（1）若tan 2α=，求()f α；（2）若,122x ππ??

∈?

???

，求()f x 的取值范围．解：（1）2

1cos 21

()sin sin cos cos 2sin 2cos 222

x f x x x x x x x -=++=

++ 11(sin 2cos 2)22x x =++，由tan 2α=得2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos 1tan 5

ααααααα===++， 222222cos sin 1tan 3

cos 2sin cos 1tan 5

ααααααα--===-++，所以3()5f α=．

（2）由（1）得111

()(sin 2cos2))2242

f x x x x π=

++=++，

由,122x ππ??

∈?

???

得552,4124x πππ??+∈????，所以sin(2)4x π??+∈????，

从而11())0,2422f x x π?=++∈???

．例10：

3sin 70

2cos 10

-=-（）

A ．

B C ．2

解：2222

3sin 703cos 203(2cos 101)

22cos 102cos 102cos 10

----===--- 【名师点睛】给值求值、给值求角问题. ⑴发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；⑵寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系；⑶合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化. 例11：已知(0,)2π

α∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7

sin()9

αβ+= (Ⅰ) 求cos β的值；(Ⅱ) 求sin α的值.

解:（Ⅰ）因为(,)2

βπ

∈,cos 0β<又2

7cos 22cos 19ββ=-=-,所以1

c o s 3

β=-

（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin 3

β==

8分

而3(

)22ππ

αβ+∈,且7sin()9αβ+=

,cos()αβ+== 1

故sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+=7

()(933

?--= 【名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．角的常见变换：α＋2β＝(α＋β)＋β，(α－β2)－(α2－β)＝α＋β

考点五解三角形及实际应用

例12：在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A a c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++

即2

a b c bc =++ 由余弦定理得2

2cos a b c bc A =+-故 1

cos 2

A =-

，A=120°6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得： sin sin sin sin(60)B C B B +=+?-1

sin sin(60)2

B B B =+=?+ 故当B=30°时，sinB+sin

C 取得最大值1。

例13：在ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知cos A-2cosC 2c-a =cos B b .（Ⅰ）求s i n s i n C

的值；

（Ⅱ）若4

cos =

B ，2b =,求AB

C ?的面积. 【解析】（Ⅰ）由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =

所以

cos A-2cos C 2c-a =cos B b =2sin sin sin C A

-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,

即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以

2sin sin =A

（Ⅱ）由（Ⅰ）知:

2sin sin ==A

a c ,即a c 2=,又因为2

b =,所以由余弦定理得：2222cos b

c a ac B =+-，即2

124224a a a a =+-??

,解得1a =,所以2=c ,又因为41cos =B ，所以4

15sin =B ，故ABC ?的面积为

11sin 1222ac B =??

例14：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（I ）求角C 的大小；（II ）

cos()4

A B π

的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．

解析：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =

因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4

A C C C C C π

>=≠==从而又所以则

（II ）由（I ）知3.4

B A π

-于是

cos()cos()

cos 2sin().

3110,,,,

46612623

A B A A A A A A A A A π

ππ

πππππππ

-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时 2sin()6A π

取最大值2

cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312

A B ππ==

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：

函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：

【高考宝典】高考数学解答题常考公式及答题模板

高考数学解答题常考公式及答题模板题型一：解三角形 1、正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin === （R 是AB C ?外接圆的半径）变式①：?????===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：?? ?? ? ???? == = R c C R b B R a A 2sin 2sin 2sin 变式③： C B A c b a sin :sin :sin ::= 2、余弦定理：???????-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222 22222 变式：???? ? ??????-+= -+=-+= ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2 22222222 3、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、射影定理：?? ? ??+=+=+=A b B a c A c C a b B c C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^） 5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：??? ??=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ??? ??-=+-=+-=+A C B B C A C B A cos )cos(cos )cos(cos )cos( 7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θ θ θcos sin tan = 奇： 2 π 的奇数倍偶： 2 π 的偶数倍

高中三角函数公式大全必背知识点

三角函数公式两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 21 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式

高考数学常用公式及结论200条(一)【天利】

高考数学常用公式及结论200条（一）湖北省黄石二中杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}m i n m a x m a x ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(), ()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}m i n () m i n ( ),() f x f p f q = ，若

高中数学公式三角函数公式大全

高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a

=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa

(完整版)高中数学三角函数历年高考题汇编(附答案)

三角函数历年高考题汇编一.选择题1、（2009）函数 22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为 2π的奇函数 D ．最小正周期为2 π 的偶函数 2、（2008）已知函数 2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（） 4.(2009山东卷文)将函数 sin 2y x =的图象向左平移 4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是 A. 22cos y x = B. 2 2sin y x = C.)4 2sin(1π++=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13)cos f x x x =的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ． 2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4( ,0)3 π 中心对称，那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数 ()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数 πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（）

高考数学公式大全

高考数学公式大全一、集合 1.集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2.非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3.空集的符号为? 二、函数 1.定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2.偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3.单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减单调减函数：与增函数相反 4.指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数；当10<a 时， x a y log =为增函数对数函数必过定点)0,1( 6.幂函数：a x y = 7.函数的零点：①)(x f y =的零点指0)(=x f ②)(x f y =在),(b a 内有零点；则0)()(